Sistema de m equações lineares com n incógnitas chamado de sistema da forma

Onde aij E eu (eu=1,…,eu; b=1,…,n) são alguns números conhecidos, e x 1 ,…,xn- desconhecido. Na notação dos coeficientes aij primeiro índice eu denota o número da equação, e o segundo jé o número da incógnita em que este coeficiente se encontra.

Os coeficientes para as incógnitas serão escritos na forma de uma matriz , que chamaremos matriz do sistema.

Os números no lado direito das equações b 1 ,…,b m chamado membros gratuitos.

Agregar n números c 1 ,…,c n chamado decisão deste sistema, se cada equação do sistema se tornar uma igualdade após substituir números nela c 1 ,…,c n em vez das incógnitas correspondentes x 1 ,…,xn.

Nossa tarefa será encontrar soluções para o sistema. Neste caso, podem surgir três situações:

Um sistema de equações lineares que tem pelo menos uma solução é chamado articulação. Caso contrário, ou seja se o sistema não tiver soluções, então ele é chamado incompatível.

Considere maneiras de encontrar soluções para o sistema.

MÉTODO MATRIZ PARA RESOLVER SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

As matrizes permitem escrever brevemente um sistema de equações lineares. Seja dado um sistema de 3 equações com três incógnitas:

Considere a matriz do sistema e colunas matriciais de membros desconhecidos e livres

Vamos encontrar o produto

aqueles. como resultado do produto, obtemos os lados esquerdos das equações deste sistema. Então, usando a definição de igualdade matricial, este sistema pode ser escrito como

ou mais curto A∙X=B.

Aqui matrizes A E B são conhecidos e a matriz X desconhecido. Ela precisa ser encontrada, porque. seus elementos são a solução deste sistema. Esta equação é chamada equação matricial.

Seja o determinante da matriz diferente de zero | A| ≠ 0. Então a equação matricial é resolvida da seguinte forma. Multiplique ambos os lados da equação à esquerda pela matriz A-1, o inverso da matriz A: . Porque o UMA -1 UMA = E E E∙X=X, então obtemos a solução da equação matricial na forma X = A -1 B .

Observe que, como a matriz inversa só pode ser encontrada para matrizes quadradas, o método matricial só pode resolver os sistemas nos quais o número de equações é igual ao número de incógnitas. No entanto, a notação matricial do sistema também é possível no caso em que o número de equações não é igual ao número de incógnitas, então a matriz A não é quadrado e, portanto, é impossível encontrar uma solução para o sistema na forma X = A -1 B.

Exemplos. Resolva sistemas de equações.

REGRA DE CRAMER

Considere um sistema de 3 equações lineares com três incógnitas:

Determinante de terceira ordem correspondente à matriz do sistema, ou seja, composto por coeficientes em incógnitas,

chamado determinante do sistema.

Compomos mais três determinantes da seguinte forma: substituímos sucessivamente 1, 2 e 3 colunas no determinante D por uma coluna de membros livres

Então podemos provar o seguinte resultado.

Teorema (regra de Cramer). Se o determinante do sistema for Δ ≠ 0, então o sistema em consideração tem uma e apenas uma solução, e

Prova. Então, considere um sistema de 3 equações com três incógnitas. Multiplique a 1ª equação do sistema pelo complemento algébrico Um 11 elemento um 11, 2ª equação - ligada A21 e 3º - em Um 31:

Vamos adicionar estas equações:

Considere cada um dos colchetes e o lado direito desta equação. Pelo teorema da expansão do determinante em termos dos elementos da 1ª coluna

Da mesma forma, pode-se mostrar que e .

Finalmente, é fácil ver que

Assim, obtemos a igualdade: .

Por isso, .

As igualdades e são derivadas de forma semelhante, de onde segue a afirmação do teorema.

Assim, notamos que se o determinante do sistema for Δ ≠ 0, então o sistema possui uma solução única e vice-versa. Se o determinante do sistema for igual a zero, então o sistema tem um conjunto infinito de soluções ou não tem soluções, ou seja, incompatível.

Exemplos. Resolva um sistema de equações

MÉTODO GAUSS

Os métodos considerados anteriormente podem ser utilizados para resolver apenas aqueles sistemas em que o número de equações coincide com o número de incógnitas, e o determinante do sistema deve ser diferente de zero. O método gaussiano é mais universal e adequado para sistemas com qualquer número de equações. Consiste na eliminação sucessiva de incógnitas das equações do sistema.

Considere novamente um sistema de três equações com três incógnitas:

.

Deixamos a primeira equação inalterada e da 2ª e 3ª excluímos os termos que contêm x 1. Para fazer isso, dividimos a segunda equação por A 21 e multiplique por - A 11 e depois adicione com a 1ª equação. Da mesma forma, dividimos a terceira equação em A 31 e multiplique por - A 11 e depois adicione-o ao primeiro. Como resultado, o sistema original terá a forma:

Agora, da última equação, eliminamos o termo que contém x2. Para fazer isso, divida a terceira equação por , multiplique por e some à segunda. Então teremos um sistema de equações:

Portanto, a partir da última equação é fácil encontrar x 3, então da 2ª equação x2 e finalmente a partir do 1º - x 1.

Ao usar o método gaussiano, as equações podem ser trocadas, se necessário.

Muitas vezes, em vez de escrever um novo sistema de equações, limitam-se a escrever a matriz estendida do sistema:

e então traga-o para uma forma triangular ou diagonal usando transformações elementares.

PARA transformações elementares matrizes incluem as seguintes transformações:

1. permutação de linhas ou colunas;
2. multiplicar uma string por um número diferente de zero;
3. adicionando a uma linha outras linhas.

Exemplos: Resolva sistemas de equações usando o método de Gauss.

Assim, o sistema possui um número infinito de soluções.

Uma equação com uma incógnita que, após abrir os colchetes e reduzir os termos semelhantes, assume a forma

machado + b = 0, onde aeb são números arbitrários, é chamado equação linear com um desconhecido. Hoje vamos descobrir como resolver essas equações lineares.

Por exemplo, todas as equações:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linear.

O valor da incógnita que transforma a equação em uma igualdade verdadeira é chamado decisão ou a raiz da equação .

Por exemplo, se na equação 3x + 7 = 13 substituirmos o número 2 em vez da incógnita x, obteremos a igualdade correta 3 2 + 7 = 13. Portanto, o valor x = 2 é a solução ou a raiz da equação.

E o valor x = 3 não transforma a equação 3x + 7 = 13 em uma verdadeira igualdade, pois 3 2 + 7 ≠ 13. Portanto, o valor x = 3 não é uma solução ou raiz da equação.

A solução de quaisquer equações lineares é reduzida à solução de equações da forma

machado + b = 0.

Transferimos o termo livre do lado esquerdo da equação para o direito, enquanto mudamos o sinal na frente de b para o oposto, obtemos

Se a ≠ 0, então x = – b/uma .

Exemplo 1 Resolva a equação 3x + 2 =11.

Transferimos 2 do lado esquerdo da equação para o lado direito, enquanto mudamos o sinal na frente de 2 para o oposto, obtemos
3x = 11 - 2.

Vamos fazer a subtração então
3x = 9.

Para encontrar x, você precisa dividir o produto por um fator conhecido, ou seja,
x = 9:3.

Portanto, o valor x = 3 é a solução ou a raiz da equação.

Resposta: x = 3.

Se a = 0 e b = 0, então obtemos a equação 0x \u003d 0. Esta equação tem infinitas soluções, pois ao multiplicar qualquer número por 0 obtemos 0, mas b também é 0. A solução para esta equação é qualquer número.

Exemplo 2 Resolva a equação 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Vamos expandir os colchetes:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Aqui estão membros semelhantes:
0x = 0.

Resposta: x é qualquer número.

Se a = 0 e b ≠ 0, então obtemos a equação 0x = - b. Esta equação não tem solução, pois ao multiplicar qualquer número por 0, obtemos 0, mas b ≠ 0.

Exemplo 3 Resolva a equação x + 8 = x + 5.

Vamos agrupar os termos contendo incógnitas no lado esquerdo e os termos livres no lado direito:
x - x \u003d 5 - 8.

Aqui estão membros semelhantes:
0x = -3.

Resposta: sem soluções.

Sobre figura 1 o esquema para resolver a equação linear é mostrado

Vamos compor um esquema geral para resolver equações com uma variável. Considere a solução do exemplo 4.

Exemplo 4 Vamos resolver a equação

1) Multiplique todos os termos da equação pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores, igual a 12.

2) Após a redução obtemos
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Para separar membros contendo membros desconhecidos e livres, abra os colchetes:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Agrupamos em uma parte os termos contendo incógnitas, e na outra - termos livres:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Aqui estão membros semelhantes:
-22x = -154.

6) Divida por - 22, obtemos
x = 7.

Como você pode ver, a raiz da equação é sete.

Em geral, tal equações podem ser resolvidas da seguinte forma:

a) trazer a equação para uma forma inteira;

b) colchetes abertos;

c) agrupar os termos contendo a incógnita em uma parte da equação e os termos livres na outra;

d) trazer associados similares;

e) resolver uma equação da forma aх = b, que foi obtida após trazer termos semelhantes.

No entanto, este esquema não é necessário para todas as equações. Ao resolver muitas equações mais simples, é necessário começar não pela primeira, mas pela segunda ( Exemplo. 2), terceiro ( Exemplo. 13) e ainda a partir da quinta etapa, como no exemplo 5.

Exemplo 5 Resolva a equação 2x = 1/4.

Encontramos a incógnita x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Considere a solução de algumas equações lineares encontradas no exame estadual principal.

Exemplo 6 Resolva a equação 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Resposta: - 0,125

Exemplo 7 Resolva a equação - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Resposta: 2.3

Exemplo 8 Resolva a equação

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Exemplo 9 Encontre f (6) se f (x + 2) = 3 7's

Solução

Como precisamos encontrar f(6) e sabemos f (x + 2),
então x + 2 = 6.

Resolvemos a equação linear x + 2 = 6,
obtemos x = 6 - 2, x = 4.

Se x = 4 então
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Resposta: 27.

Se ainda tiver dúvidas, deseja tratar mais detalhadamente da solução de equações, inscreva-se nas minhas aulas no AGENDA. Ficarei feliz em ajudá-lo!

TutorOnline também recomenda assistir a um novo vídeo tutorial de nossa tutora Olga Alexandrovna, que o ajudará a entender equações lineares e outras.

site, com cópia total ou parcial do material, é necessário link para a fonte.

Para o sistema compomos o determinante principal

e calculá-lo.

Então fazemos determinantes adicionais

e calculá-los.

De acordo com a regra de Cramer, a solução do sistema é encontrada pelas fórmulas

;
;
,Se

1)

Vamos calcular:

Pelas fórmulas de Cramer encontramos:

Resposta: (1; 2; 3)

2)

Vamos calcular:

Como o principal determinante
, e pelo menos um adicional não é igual a zero (no nosso caso
), então o sistema não tem solução.

3)

Vamos calcular:

Como todos os determinantes são iguais a zero, o sistema possui um conjunto infinito de soluções, que podem ser encontradas como

Resolva seus próprios sistemas:

A)
b)

Resposta: a) (1; 2; 5) b) ;;

Aula prática número 3 sobre o tema:

O produto escalar de dois vetores e sua aplicação

1. Se for dado
E
, então o produto escalar é encontrado pela fórmula:

∙

2. Se, então o produto escalar desses dois vetores é encontrado pela fórmula

1. Dois vetores são dados
E

Encontramos seu produto escalar da seguinte forma:

.

2. Dois vetores são dados:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

produto escalar é encontrado assim:

3.
,

3.1 Encontrando o trabalho de uma força constante em uma seção reta do caminho

1) Sob a ação de uma força de 15N, o corpo se moveu em linha reta por 2 metros. O ângulo entre a força e a direção do movimento =60 0 . Calcule o trabalho realizado pela força para mover o corpo.

Dado:

Solução:

2) Dado:

Solução:

3) Um corpo movido do ponto M(1; 2; 3) para o ponto N(5; 4; 6) sob a ação de uma força de 60N. Ângulo entre a direção da força e o vetor de deslocamento =45 0 . Calcule o trabalho realizado por esta força.

Solução: encontre o vetor deslocamento

Encontre o módulo do vetor de deslocamento:

De acordo com a fórmula
encontre um emprego:

3.2 Determinando a ortogonalidade de dois vetores

Dois vetores são ortogonais se
, aquilo é

porque

1)

– não ortogonal

2)

-ortogonal

3) Determine para quais  os vetores
E
mutuamente ortogonais.

Porque
, Que
, Significa

Decida por si mesmo:

A)

. Encontre seu produto escalar.

b) Calcule quanto trabalho a força realiza
, se o ponto de sua aplicação, movendo-se em linha reta, passou do ponto M (5; -6; 1) para o ponto N (1; -2; 3)

c) Determine se os vetores são ortogonais
E

Respostas: a) 1 b) 16 c) sim

3.3 Encontrando o ângulo entre vetores

1)

. Encontrar .

Nós achamos

insira na fórmula:

.

1). Os vértices do triângulo A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1) são dados. Encontre o ângulo no vértice A.

Substitua na fórmula:

Decida por si mesmo:

Os vértices do triângulo A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) são dados. Determine o ângulo interno no vértice A.

Resposta: 90º

Aula prática número 4 sobre o tema:

PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES E SUA APLICAÇÃO.

A fórmula para encontrar o produto vetorial de dois vetores:

	tem a forma

1) Encontre o módulo do produto vetorial:

Compomos o determinante e calculamos (de acordo com a regra de Sarrus ou o teorema da expansão do determinante em termos dos elementos da primeira linha).

1º método: de acordo com a regra de Sarrus

2ª via: expanda o determinante pelos elementos da primeira linha.

2) Encontre o módulo do produto vetorial:

4.1. CÁLCULO DA ÁREA DE UM PARALELOGRAMO CONSTRUÍDO SOBRE DOIS VETORES.

1) Calcule a área de um paralelogramo construído sobre vetores

2). Encontre o produto vetorial e seu módulo

4.2. CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Exemplo: dados os vértices do triângulo A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Calcule a área do triângulo.

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de dois vetores que saem do mesmo vértice.

Vamos encontrar seu produto vetorial

4.3. DETERMINAÇÃO DA COLLINEARIDADE DE DOIS VETORES

Se o vetor
E
são colineares, então

, ou seja, as coordenadas dos vetores devem ser proporcionais.

a) Dados vetoriais::
,
.

Eles são colineares porque
E

depois de reduzir cada fração, a proporção é obtida

b) Dados vetoriais:

.

Eles não são colineares porque
ou

Decida por si mesmo:

a) Para quais valores de m e n do vetor
colinear?

Responder:
;

b) Encontre o produto vetorial e seu módulo
,
.

Responder:
,
.

Aula prática número 5 sobre o tema:

LINHA RETA NO AVIÃO

Tarefa número 1. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto A (-2; 3) paralela à linha reta

1. Encontre a inclinação da linha reta
.

é a equação de uma linha reta com inclinação e ordenada inicial (
). É por isso
.

2. Como as linhas MN e AC são paralelas, suas inclinações são iguais, ou seja,
.

3. Para encontrar a equação da reta AC, usamos a equação da reta que passa por um ponto com determinada inclinação:

. Nesta fórmula, em vez de E substituímos as coordenadas do ponto A (-2; 3), em vez de vamos substituir - 3. Como resultado da substituição, obtemos:

Responder:

Tarefa número 2. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto K (1; -2) paralelo à linha reta.

1. Encontre a inclinação da linha reta.

Esta é a equação geral de uma linha reta, que geralmente é dada pela fórmula. Comparando as equações, descobrimos que A = 2, B = -3. A inclinação da linha reta dada pela equação é encontrada pela fórmula
. Substituindo A = 2 e B = –3 nesta fórmula, obtemos a inclinação da reta MN. Então,
.

2. Como as retas MN e KS são paralelas, suas inclinações são iguais:
.

3. Para encontrar a equação da reta KS, usamos a fórmula da equação da reta que passa por um ponto com uma determinada inclinação
. Nesta fórmula, em vez de E substituímos as coordenadas do ponto K(–2; 3), em vez de

Tarefa número 3. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto K (–1; –3) perpendicular à linha reta.

1. é a equação geral de uma reta, que geralmente é dada pela fórmula.

e descobrimos que A = 3, B = 4.

A inclinação da linha reta dada pela equação é encontrada pela fórmula:
. Substituindo A = 3 e B = 4 nesta fórmula, obtemos a inclinação da reta MN:
.

2. Como as retas MN e KD são perpendiculares, suas inclinações são inversamente proporcionais e de sinais opostos:

.

3. Para encontrar a equação da reta KD, usamos a fórmula da equação da reta que passa por um ponto com uma determinada inclinação

. Nesta fórmula, em vez de E substituímos as coordenadas do ponto K(–1; –3), em vez de vamos substituir. Como resultado da substituição, obtemos:

Decida por si mesmo:

1. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto K (–4; 1) paralela à linha reta
.

Responder:
.

2. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto K (5; -2) paralela à linha reta
.

3. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto K (–2; –6) perpendicular à linha reta
.

4. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto K (7; -2) perpendicular à linha reta
.

Responder:
.

5. Encontre a equação da perpendicular lançada do ponto K (–6; 7) até a linha reta
.

2.3.1. Definição.

Sejam dadas equações lineares:

a 1 x + b 1 sim + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

a 2 x + b 2 sim + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

a 3 x + b 3 sim + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Se for necessário encontrar uma solução geral para as equações (2.3.1) ¾ (2.3.3), então dizemos que elas formam sistema . O sistema que consiste nas equações (2.3.1) ¾ (2.3.3) é denotado da seguinte forma:

A solução geral das equações que compõem o sistema é chamada solução de sistema . Resolva o sistema (2.3.4) ¾ isto significa encontrar o conjunto de todas as suas soluções ou provar que não há nenhuma.

Como nos casos anteriores, encontraremos a seguir condições sob as quais o sistema (2.3.4) tem uma solução única, tem mais de uma solução e não tem solução.

2.3.2. Definição. Seja dado o sistema (2.3.4) de equações lineares. matrizes

são chamados respectivamente ( básico )matriz E matriz expandida sistemas.

2.3.3. As definições de sistemas equivalentes da forma (2.3.4), bem como as transformações elementares do 1º e 2º tipos, são introduzidas da mesma forma que para sistemas de duas equações com duas e três incógnitas.

Transformação elementar O terceiro tipo de sistema (2.3.4) é a troca de algumas duas equações deste sistema. Semelhante aos casos anteriores de sistemas de 2 equações sob transformações elementares do sistema, um sistema é obtido,equivalente a isso.

2.3.4. Exercício. Resolva sistemas de equações:

Solução. A)

(1) Trocou a primeira e a segunda equações do sistema (transformação do 3º tipo).

(2) A primeira equação multiplicada por 4 é subtraída da segunda, e a primeira equação multiplicada por 6 é subtraída da terceira (transformação tipo 2); assim, a incógnita foi excluída da segunda e terceira equações x .

(3) A segunda equação multiplicada por 14 é subtraída da terceira; desconhecido foi excluído do terceiro sim .

(4) Da última equação encontramos z = 1, substituindo qual no segundo, encontramos sim = 0. Finalmente, substituindo sim = 0 e z = 1 na primeira equação, encontramos x = -2.с

(1) Trocou a primeira e a segunda equações do sistema.

(2) A primeira equação vezes 4 é subtraída da segunda, e a primeira equação vezes 6 é subtraída da terceira.

(3) A segunda e a terceira equações coincidiram. Excluímos um deles do sistema (ou, em outras palavras, se subtrairmos a segunda equação da terceira equação, então a terceira equação se transforma na identidade 0 = 0; é excluída do sistema. Assumimos z = a .

(4) Substituto z = a na segunda e na primeira equações.

(5) Substituição sim = 12 - 12a na primeira equação, encontramos x .

c) Se a primeira equação for dividida por 4, e a terceira ¾ por 6, então chegamos a um sistema equivalente

que é equivalente à equação x - 2sim - z = -3. As soluções para esta equação são conhecidas (ver Exemplo 2.2.3 b))

A última igualdade no sistema resultante é contraditória. Portanto, o sistema não tem soluções.

As transformações (1) e (2) ¾ são exatamente iguais às transformações correspondentes do sistema b))

(3) Subtraia a segunda equação da última equação.

Resposta: a) (-2; 0; 1);

b) (21 - 23 a ; 12 - 12a ; a ), a Î R;

c) ((-3 + 2 a + b ; a ; b )|a , b Î R};

d) O sistema não tem soluções.

2.3.5. Resulta dos exemplos anteriores que sistema com três incógnitas, bem como um sistema com duas incógnitas, pode ter apenas uma solução, um número infinito de soluções e não tendo uma única solução. A seguir analisaremos todos os casos possíveis. Mas primeiro introduzimos alguma notação.

Denote por D o determinante da matriz do sistema:

Denote por D 1 o determinante obtido de D substituindo a primeira coluna pela coluna de termos livres:

Da mesma forma, vamos colocar

D 2 = e D 3 = .

2.3.6. Teorema. Se D¹0, então o sistema(2.3.4)tem a única solução

, , . (2.3.5)

As fórmulas (2.3.5) são chamadas fórmulas = = 0 para todos eu ¹ j e pelo menos um dos determinantes , , não é igual a zero, então o sistema solução não tem.

4) Se = = = = = = 0 para todos eu ¹ j , então o sistema tem um número infinito de soluções, dependendo de dois parâmetros.

Tarefa 1

Resolva um sistema de equações lineares de duas maneiras: usando as fórmulas de Cramer e o método de Gauss

1) resolver o sistema não homogêneo de equações algébricas lineares Ax = B pelo método de Cramer

O determinante do sistema D não é igual a zero. Encontre determinantes auxiliares D 1 , D 2 , D 3 , se eles não forem iguais a zero, então não há soluções, se forem iguais, então há um número infinito de soluções

Um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas, cujo determinante é diferente de zero, é sempre compatível e possui uma solução única calculada pelas fórmulas:

Resposta: recebeu uma solução:

2) resolver o sistema não homogêneo de equações algébricas lineares Ax = B pelo método de Gauss

Componha a matriz aumentada do sistema

Tomemos a primeira linha como guia e o elemento a 11 = 1 como guia. Com a ajuda da linha guia, obtemos zeros na primeira coluna.

corresponde ao conjunto de soluções do sistema de equações lineares

Resposta: recebeu uma solução:

Tarefa 2

Dadas as coordenadas dos vértices do triângulo ABC

Encontrar:

1) o comprimento do lado AB;

4) a equação da mediana AE;

Construa o triângulo fornecido e todas as linhas no sistema de coordenadas.

UMA(1; -1), B(4; 3). C(5; 1).

1) Distância entre os pontos A( x1; 1) e B( x2; às 2) é determinado pela fórmula

com o qual encontramos o comprimento do lado AB;

2) equações dos lados AB e BC e suas inclinações;

A equação de uma reta que passa por dois pontos dados do plano A( x1; 1) e B( x2; às 2) tem a forma

Substituindo em (2) as coordenadas dos pontos A e B, obtemos a equação do lado AB:

Encontramos a inclinação k AB da reta AB convertendo a equação resultante na forma da equação de uma reta com inclinação e =kx - b.

, isto é, de onde

Da mesma forma, obtemos a equação da reta BC e encontramos sua inclinação.

Substituindo em (2) as coordenadas dos pontos B e C, obtemos a equação do lado BC:

A inclinação k BC da linha reta BC será encontrada convertendo a equação resultante para a forma da equação de uma linha reta com inclinação e =kx - b.

, aquilo é

3) ângulo interno no vértice B em radianos com precisão de 0,01

Para encontrar o ângulo interno do nosso triângulo, usamos a fórmula:

Observe que o procedimento de cálculo da diferença nos coeficientes de inclinação no numerador desta fração depende da posição relativa das retas AB e BC.

Substituindo os valores calculados anteriormente de k ВС e k АВ em (3), encontramos:

Agora, usando as tabelas de uma microcalculadora de engenharia, obtemos » 1,11 rad.

4) a equação da mediana AE;

Para compilar a equação da mediana AE, primeiro encontramos as coordenadas do ponto E, que fica no meio do segmento BC

Substituindo as coordenadas dos pontos A e E na equação (2), obtemos a equação mediana:

5) equação e comprimento da altura CD;

Para compilar a equação da altura CD, usamos a equação de uma linha reta que passa por um determinado ponto M( x0; às 0) com uma determinada inclinação k, que parece

e a condição de perpendicularidade das retas AB e CD, que é expressa pela relação k AB k CD = -1, de onde k CD = -1/k AB = - 3/4

Substituindo em (4) em vez de k o valor de k С D = -3/4, e em vez de x 0 , sim 0 as coordenadas correspondentes do ponto C, obtemos a equação para a altura CD

Para calcular o comprimento da altura CD, usamos a fórmula para encontrar a distância d de um determinado ponto M( x0; às 0) para uma determinada linha reta com a equação Ax + By + С = 0 , que se parece com:

Substituindo em (5) em vez de x0; às 0 coordenadas do ponto C, e em vez de A, B, C os coeficientes da equação da reta AB, obtemos

6) a equação de uma reta que passa pelo ponto E paralelo ao lado AB e ao ponto M de sua intersecção com a altura CD;

Como a reta desejada EF é paralela à reta AB, então k EF = k AB = 4/3. Substituindo na equação (4) em vez de x0; às 0 coordenadas do ponto E, e em vez de k o valor de k EF obtemos a equação da reta EF".

Para encontrar as coordenadas do ponto M, resolvemos juntos as equações das retas EF e CD.

Assim, M(5,48; 0,64).

7) equação de um círculo centrado no ponto E passando pelo vértice B

Como o círculo tem centro no ponto E(4,5; 2) e passa pelo vértice B(4; 3), então seu raio

A equação canônica de um círculo de raio R centrado no ponto M 0 ( x0; às 0) tem a forma

Triângulo ABC, altura CD, mediana AE, reta EF, ponto M e um círculo construído no sistema de coordenadas x0y da Fig.1.

Tarefa 3

Componha a equação da reta, para cada ponto cuja distância ao ponto A (2; 5) seja igual à distância à reta y = 1. Construa a curva resultante no sistema de coordenadas

Solução

Deixe m ( x, sim) - ponto atual da curva desejada. Deixemos cair a perpendicular MB do ponto M até a reta y = 1 (Fig. 2). Então B(x; 1). Como MA = MB, então