Acho que você merece mais do que isso. Aqui está minha chave para trigonometria:

• Desenhe a cúpula, parede e teto
• As funções trigonométricas nada mais são do que porcentagens dessas três formas.

Metáfora para seno e cosseno: cúpula

Em vez de apenas olhar para os próprios triângulos, imagine-os em ação encontrando um exemplo específico da vida real.

Imagine que você está no meio de uma cúpula e deseja pendurar uma tela de projetor de cinema. Você aponta o dedo para a cúpula em um determinado ângulo “x”, e a tela deve ser suspensa a partir deste ponto.

O ângulo para o qual você aponta determina:

• seno(x) = sin(x) = altura da tela (do chão ao ponto de montagem da cúpula)
• cosseno(x) = cos(x) = distância de você até a tela (por andar)
• hipotenusa, a distância de você até o topo da tela, sempre a mesma, igual ao raio da cúpula

Você quer que a tela seja o maior possível? Pendure-o diretamente acima de você.

Você quer que a tela fique o mais longe possível de você? Pendure-o em linha reta perpendicular. A tela terá altura zero nesta posição e ficará pendurada o mais longe possível, conforme você pediu.

A altura e a distância da tela são inversamente proporcionais: quanto mais perto a tela estiver, maior será sua altura.

Seno e cosseno são porcentagens

Ninguém durante meus anos de estudo, infelizmente, me explicou que as funções trigonométricas seno e cosseno nada mais são do que porcentagens. Seus valores variam de +100% a 0 a -100%, ou de um máximo positivo a zero até um máximo negativo.

Digamos que paguei um imposto de 14 rublos. Você não sabe quanto é. Mas se você disser que paguei 95% de impostos, entenderá que fui simplesmente espoliado.

Altura absoluta não significa nada. Mas se o valor do seno for 0,95, entendo que a TV está pendurada quase no topo da sua cúpula. Muito em breve atingirá a sua altura máxima no centro da cúpula e depois começará a diminuir novamente.

Como podemos calcular essa porcentagem? É muito simples: divida a altura atual da tela pelo máximo possível (o raio da cúpula, também chamado de hipotenusa).

É por isso somos informados de que “cosseno = lado oposto / hipotenusa”. É tudo uma questão de obter interesse! É melhor definir seno como “a porcentagem da altura atual em relação ao máximo possível”. (O seno torna-se negativo se o seu ângulo apontar para “subterrâneo”. O cosseno torna-se negativo se o ângulo apontar para o ponto de cúpula atrás de você.)

Vamos simplificar os cálculos assumindo que estamos no centro do círculo unitário (raio = 1). Podemos pular a divisão e apenas considerar o seno igual à altura.

Cada círculo é essencialmente um único círculo, ampliado ou reduzido até o tamanho desejado. Portanto, determine as conexões do círculo unitário e aplique os resultados ao tamanho específico do seu círculo.

Experimente: pegue qualquer canto e veja qual porcentagem de altura em relação à largura ele exibe:

O gráfico do crescimento do valor do seno não é apenas uma linha reta. Os primeiros 45 graus cobrem 70% da altura, mas os últimos 10 graus (de 80° a 90°) cobrem apenas 2%.

Isso deixará mais claro para você: se você andar em círculo, a 0° você sobe quase verticalmente, mas à medida que se aproxima do topo da cúpula, a altura muda cada vez menos.

Tangente e secante. Parede

Um dia um vizinho construiu um muro bem ao lado um do outro para sua cúpula. Chorei sua vista da janela e um bom preço para revenda!

Mas é possível vencer de alguma forma nesta situação?

Claro que sim. E se pendurássemos uma tela de cinema na parede do vizinho? Você direciona o ângulo (x) e obtém:

• tan(x) = tan(x) = altura da tela na parede
• distância de você até a parede: 1 (esse é o raio da sua cúpula, a parede não está se movendo para lugar nenhum de você, certo?)
• secante(x) = sec(x) = “comprimento da escada” de você no centro da cúpula até o topo da tela suspensa

Vamos esclarecer alguns pontos em relação à tangente, ou altura da tela.

• começa em 0 e pode ir infinitamente alto. Você pode esticar a tela cada vez mais alto na parede para criar uma tela infinita para assistir seu filme favorito! (Para um tamanho tão grande, é claro, você terá que gastar muito dinheiro).
• tangente é apenas uma versão ampliada do seno! E enquanto o aumento do seno diminui à medida que você avança em direção ao topo da cúpula, a tangente continua a crescer!

Sekansu também tem algo do que se gabar:

• A secante começa em 1 (a escada fica no chão, de você até a parede) e começa a subir a partir daí
• A secante é sempre maior que a tangente. A escada inclinada que você usa para pendurar a tela deve ser mais longa que a própria tela, certo? (Com tamanhos irrealistas, quando a tela é muuuito longa e a escada precisa ser colocada quase na vertical, seus tamanhos são quase iguais. Mas mesmo assim a secante será um pouco mais longa).

Lembre-se, os valores são por cento. Se você decidir pendurar a tela em um ângulo de 50 graus, tan(50)=1,19. Sua tela é 19% maior que a distância até a parede (raio da cúpula).

(Insira x=0 e verifique sua intuição - tan(0) = 0 e sec(0) = 1.)

Cotangente e cossecante. Teto

Incrivelmente, seu vizinho decidiu construir um telhado sobre sua cúpula. (O que há de errado com ele? Aparentemente ele não quer que você o espione enquanto ele anda nu pelo quintal...)

Bem, é hora de construir uma saída para o telhado e conversar com seu vizinho. Você escolhe o ângulo de inclinação e inicia a construção:

• a distância vertical entre a saída do telhado e o chão é sempre 1 (o raio da cúpula)
• cotangente(x) = berço(x) = distância entre o topo da cúpula e o ponto de saída
• cosecant(x) = csc(x) = comprimento do seu caminho até o telhado

Tangente e secante descrevem a parede, e COtangente e COsecante descrevem o teto.

Nossas conclusões intuitivas desta vez são semelhantes às anteriores:

• Se você tomar o ângulo igual a 0°, sua saída para o telhado durará para sempre, pois nunca chegará ao teto. Problema.
• A “escada” mais curta para o telhado será obtida se você construí-la em um ângulo de 90 graus em relação ao chão. A cotangente será igual a 0 (não nos movemos ao longo do telhado, saímos estritamente perpendicularmente), e a cossecante será igual a 1 (“o comprimento da escada” será mínimo).

Visualize conexões

Se todos os três casos forem desenhados em uma combinação cúpula-parede-teto, o resultado será o seguinte:

Bem, ainda é o mesmo triângulo, aumentado de tamanho para alcançar a parede e o teto. Temos lados verticais (seno, tangente), lados horizontais (cosseno, cotangente) e “hipotenusas” (secante, cossecante). (Pelas setas você pode ver onde cada elemento chega. A cossecante é a distância total de você até o telhado).

Um pouco de magia. Todos os triângulos compartilham as mesmas igualdades:

A partir do teorema de Pitágoras (a 2 + b 2 = c 2) vemos como os lados de cada triângulo estão conectados. Além disso, as proporções “altura/largura” também devem ser as mesmas para todos os triângulos. (Basta passar do triângulo maior para o menor. Sim, o tamanho mudou, mas as proporções dos lados permanecerão as mesmas).

Sabendo qual lado de cada triângulo é igual a 1 (o raio da cúpula), podemos facilmente calcular que “sen/cos = tan/1”.

Sempre tentei me lembrar desses fatos através de uma simples visualização. Na imagem você vê claramente essas dependências e entende de onde elas vêm. Essa técnica é muito melhor do que memorizar fórmulas secas.

Não se esqueça dos outros ângulos

Psiu... Não fique preso em um gráfico pensando que a tangente é sempre menor que 1. Se aumentar o ângulo, você pode chegar ao teto sem chegar à parede:

As conexões pitagóricas sempre funcionam, mas os tamanhos relativos podem variar.

(Você deve ter notado que as razões seno e cosseno são sempre as menores porque estão contidas na cúpula).

Resumindo: o que precisamos lembrar?

Para a maioria de nós, eu diria que isso será suficiente:

• trigonometria explica a anatomia de objetos matemáticos, como círculos e intervalos repetidos
• A analogia cúpula/parede/telhado mostra a relação entre diferentes funções trigonométricas
• As funções trigonométricas resultam em porcentagens, que aplicamos ao nosso cenário.

Você não precisa memorizar fórmulas como 1 2 + cot 2 = csc 2 . Eles só são adequados para testes estúpidos nos quais o conhecimento de um fato é considerado como compreensão dele. Reserve um minuto para desenhar um semicírculo em forma de cúpula, parede e telhado, rotule os elementos e todas as fórmulas chegarão até você no papel.

Aplicação: Funções Inversas

Qualquer função trigonométrica usa um ângulo como parâmetro de entrada e retorna o resultado como uma porcentagem. pecado (30) = 0,5. Isto significa que um ângulo de 30 graus ocupa 50% da altura máxima.

A função trigonométrica inversa é escrita como sen -1 ou arcsin. Asin também é frequentemente escrito em várias linguagens de programação.

Se a nossa altura for 25% da altura da cúpula, qual é o nosso ângulo?

Na nossa tabela de proporções você pode encontrar uma razão onde a secante é dividida por 1. Por exemplo, a secante por 1 (hipotenusa para a horizontal) será igual a 1 dividido pelo cosseno:

Digamos que nossa secante seja 3,5, ou seja, 350% do raio de um círculo unitário. A que ângulo de inclinação em relação à parede corresponde este valor?

Apêndice: Alguns exemplos

Exemplo: Encontre o seno do ângulo x.

Uma tarefa chata. Vamos complicar o banal “encontrar o seno” para “Qual é a altura como porcentagem do máximo (hipotenusa)?”

Primeiro, observe que o triângulo está girado. Não há nada de errado com isso. O triângulo também tem altura, está indicado em verde na figura.

A que é igual a hipotenusa? De acordo com o teorema de Pitágoras, sabemos que:

3 2 + 4 2 = hipotenusa 2 25 = hipotenusa 2 5 = hipotenusa

Multar! Seno é a porcentagem da altura do lado mais longo do triângulo, ou hipotenusa. No nosso exemplo, o seno é 3/5 ou 0,60.

Claro, podemos seguir vários caminhos. Agora que sabemos que o seno é 0,60, podemos simplesmente encontrar o arco seno:

Asin(0,6)=36,9

Aqui está outra abordagem. Observe que o triângulo está “de frente para a parede”, então podemos usar a tangente em vez do seno. A altura é 3, a distância até a parede é 4, então a tangente é ¾ ou 75%. Podemos usar o arco tangente para voltar de um valor percentual para um ângulo:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Exemplo: Você vai nadar até a costa?

Você está em um barco e tem combustível suficiente para percorrer 2 km. Você está agora a 0,25 km da costa. Em que ângulo máximo em relação à costa você pode nadar até lá para ter combustível suficiente? Além da definição do problema: temos apenas uma tabela de valores de arco cosseno.

O que nós temos? O litoral pode ser representado como uma “parede” no nosso famoso triângulo, e o “comprimento da escada” fixada na parede é a distância máxima possível a ser percorrida de barco até a costa (2 km). Uma secante aparece.

Primeiro, você precisa ir para as porcentagens. Temos 2/0,25 = 8, ou seja, podemos nadar uma distância que é 8 vezes a distância direta até a costa (ou até a parede).

Surge a pergunta: “Qual é a secante de 8?” Mas não podemos responder, uma vez que só temos arcos cossenos.

Usamos nossas dependências derivadas anteriormente para relacionar a secante ao cosseno: “seg/1 = 1/cos”

A secante de 8 é igual ao cosseno de ⅛. Um ângulo cujo cosseno é ⅛ é igual a acos (1/8) = 82,8. E este é o maior ângulo que podemos permitir num barco com a quantidade especificada de combustível.

Nada mal, certo? Sem a analogia cúpula-parede-teto, eu teria me perdido em um monte de fórmulas e cálculos. Visualizar o problema simplifica muito a busca por uma solução, e também é interessante ver qual função trigonométrica acabará por ajudar.

Para cada problema, pense assim: Estou interessado na cúpula (sin/cos), na parede (tan/sec) ou no teto (berço/csc)?

E a trigonometria se tornará muito mais agradável. Cálculos fáceis para você!

Uma das áreas da matemática com a qual os alunos mais lutam é a trigonometria. Não é surpreendente: para dominar livremente esta área do conhecimento, você precisa de pensamento espacial, capacidade de encontrar senos, cossenos, tangentes, cotangentes usando fórmulas, simplificar expressões e ser capaz de usar o número pi em cálculos. Além disso, você precisa ser capaz de usar trigonometria ao provar teoremas, e isso requer uma memória matemática desenvolvida ou a capacidade de derivar cadeias lógicas complexas.

Origens da trigonometria

O conhecimento desta ciência deve começar com a definição de seno, cosseno e tangente de um ângulo, mas primeiro você precisa entender o que a trigonometria faz em geral.

Historicamente, o principal objeto de estudo neste ramo da ciência matemática foram os triângulos retângulos. A presença de um ângulo de 90 graus permite realizar diversas operações que permitem determinar os valores de todos os parâmetros da figura em questão a partir de dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado. No passado, as pessoas notaram esse padrão e começaram a utilizá-lo ativamente na construção de edifícios, na navegação, na astronomia e até na arte.

Primeira etapa

Inicialmente, as pessoas falavam sobre a relação entre ângulos e lados exclusivamente usando o exemplo dos triângulos retângulos. Em seguida, foram descobertas fórmulas especiais que permitiram ampliar os limites de uso desse ramo da matemática na vida cotidiana.

O estudo da trigonometria na escola hoje começa com triângulos retângulos, após os quais os alunos utilizam os conhecimentos adquiridos em física e na resolução de equações trigonométricas abstratas, que começam no ensino médio.

Trigonometria esférica

Mais tarde, quando a ciência atingiu o próximo nível de desenvolvimento, fórmulas com seno, cosseno, tangente e cotangente começaram a ser usadas na geometria esférica, onde se aplicam regras diferentes e a soma dos ângulos em um triângulo é sempre superior a 180 graus. Esta seção não é estudada na escola, mas é necessário saber de sua existência pelo menos porque a superfície da Terra, e a superfície de qualquer outro planeta, é convexa, o que significa que qualquer marcação de superfície terá “formato de arco” em três espaço -dimensional.

Pegue o globo e o fio. Prenda o fio em dois pontos quaisquer do globo para que fique esticado. Observe que ele assumiu a forma de um arco. A geometria esférica trata dessas formas, que são usadas em geodésia, astronomia e outros campos teóricos e aplicados.

Triângulo retângulo

Tendo aprendido um pouco sobre as formas de usar a trigonometria, voltemos à trigonometria básica para entender melhor o que são seno, cosseno, tangente, quais cálculos podem ser realizados com a ajuda deles e quais fórmulas usar.

O primeiro passo é entender os conceitos relacionados a um triângulo retângulo. Primeiro, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90 graus. É o mais longo. Lembramos que segundo o teorema de Pitágoras, seu valor numérico é igual à raiz da soma dos quadrados dos outros dois lados.

Por exemplo, se os dois lados tiverem 3 e 4 centímetros respectivamente, o comprimento da hipotenusa será de 5 centímetros. A propósito, os antigos egípcios sabiam disso há cerca de quatro mil e quinhentos anos.

Os dois lados restantes, que formam um ângulo reto, são chamados de pernas. Além disso, devemos lembrar que a soma dos ângulos de um triângulo em um sistema de coordenadas retangulares é igual a 180 graus.

Definição

Finalmente, com uma compreensão sólida da base geométrica, pode-se recorrer à definição de seno, cosseno e tangente de um ângulo.

O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto (ou seja, o lado oposto ao ângulo desejado) e a hipotenusa. O cosseno de um ângulo é a razão entre o lado adjacente e a hipotenusa.

Lembre-se de que nem seno nem cosseno podem ser maiores que um! Por que? Como a hipotenusa é por padrão a mais longa, não importa o comprimento da perna, ela será mais curta que a hipotenusa, o que significa que sua proporção será sempre menor que um. Assim, se na sua resposta a um problema você obtiver um seno ou cosseno com valor maior que 1, procure algum erro nos cálculos ou no raciocínio. Esta resposta está claramente incorreta.

Finalmente, a tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente. Dividir o seno pelo cosseno dará o mesmo resultado. Veja: de acordo com a fórmula, dividimos o comprimento do lado pela hipotenusa, depois dividimos pelo comprimento do segundo lado e multiplicamos pela hipotenusa. Assim, obtemos a mesma relação que na definição de tangente.

A cotangente, portanto, é a razão entre o lado adjacente ao canto e o lado oposto. Obtemos o mesmo resultado dividindo um pela tangente.

Então, vimos as definições do que são seno, cosseno, tangente e cotangente e podemos passar para as fórmulas.

As fórmulas mais simples

Na trigonometria você não pode prescindir de fórmulas - como encontrar seno, cosseno, tangente, cotangente sem elas? Mas isso é exatamente o que é necessário para resolver problemas.

A primeira fórmula que você precisa saber ao começar a estudar trigonometria diz que a soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo é igual a um. Esta fórmula é uma consequência direta do teorema de Pitágoras, mas economiza tempo se você precisar saber o tamanho do ângulo e não do lado.

Muitos alunos não conseguem se lembrar da segunda fórmula, que também é muito popular na resolução de problemas escolares: a soma de um e o quadrado da tangente de um ângulo é igual a um dividido pelo quadrado do cosseno do ângulo. Observe mais de perto: esta é a mesma afirmação da primeira fórmula, apenas ambos os lados da identidade foram divididos pelo quadrado do cosseno. Acontece que uma simples operação matemática torna a fórmula trigonométrica completamente irreconhecível. Lembre-se: sabendo o que são seno, cosseno, tangente e cotangente, regras de transformação e algumas fórmulas básicas, você pode a qualquer momento derivar as fórmulas mais complexas necessárias em uma folha de papel.

Fórmulas para ângulos duplos e adição de argumentos

Mais duas fórmulas que você precisa aprender estão relacionadas aos valores de seno e cosseno para soma e diferença de ângulos. Eles são apresentados na figura abaixo. Observe que no primeiro caso, seno e cosseno são multiplicados ambas as vezes e, no segundo, o produto pareado de seno e cosseno é adicionado.

Existem também fórmulas associadas a argumentos de ângulo duplo. Eles são completamente derivados dos anteriores - como prática, tente obtê-los você mesmo, tomando o ângulo alfa igual ao ângulo beta.

Finalmente, observe que as fórmulas de ângulo duplo podem ser reorganizadas para reduzir a potência do seno, cosseno e tangente alfa.

Teoremas

Os dois principais teoremas da trigonometria básica são o teorema do seno e o teorema do cosseno. Com a ajuda desses teoremas, você pode entender facilmente como encontrar o seno, o cosseno e a tangente e, portanto, a área da figura e o tamanho de cada lado, etc.

O teorema do seno afirma que dividir o comprimento de cada lado de um triângulo pelo ângulo oposto resulta no mesmo número. Além disso, esse número será igual a dois raios do círculo circunscrito, ou seja, o círculo que contém todos os pontos de um determinado triângulo.

O teorema do cosseno generaliza o teorema de Pitágoras, projetando-o em quaisquer triângulos. Acontece que da soma dos quadrados dos dois lados, subtraia seu produto multiplicado pelo cosseno duplo do ângulo adjacente - o valor resultante será igual ao quadrado do terceiro lado. Assim, o teorema de Pitágoras acaba sendo um caso especial do teorema do cosseno.

Erros por descuido

Mesmo sabendo o que são seno, cosseno e tangente, é fácil cometer erros por distração ou erro nos cálculos mais simples. Para evitar tais erros, vamos dar uma olhada nos mais populares.

Primeiro, você não deve converter frações em decimais até obter o resultado final - você pode deixar a resposta como uma fração, salvo indicação em contrário nas condições. Tal transformação não pode ser chamada de erro, mas deve-se lembrar que a cada etapa do problema podem surgir novas raízes, que, segundo a ideia do autor, deveriam ser reduzidas. Nesse caso, você perderá tempo com operações matemáticas desnecessárias. Isto é especialmente verdadeiro para valores como a raiz de três ou a raiz de dois, porque eles são encontrados em problemas em cada etapa. O mesmo vale para arredondar números “feios”.

Além disso, observe que o teorema do cosseno se aplica a qualquer triângulo, mas não o teorema de Pitágoras! Se você erroneamente esquecer de subtrair duas vezes o produto dos lados multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles, você não apenas obterá um resultado completamente errado, mas também demonstrará uma total falta de compreensão do assunto. Isso é pior do que um erro descuidado.

Em terceiro lugar, não confunda os valores dos ângulos de 30 e 60 graus para senos, cossenos, tangentes, cotangentes. Lembre-se desses valores, pois o seno de 30 graus é igual ao cosseno de 60 e vice-versa. É fácil confundi-los e, como resultado, você inevitavelmente obterá um resultado errôneo.

Aplicativo

Muitos estudantes não têm pressa em começar a estudar trigonometria porque não entendem seu significado prático. O que é seno, cosseno e tangente para um engenheiro ou astrônomo? São conceitos com os quais você pode calcular a distância até estrelas distantes, prever a queda de um meteorito ou enviar uma sonda de pesquisa para outro planeta. Sem eles é impossível construir um edifício, projetar um carro, calcular a carga sobre uma superfície ou a trajetória de um objeto. E estes são apenas os exemplos mais óbvios! Afinal, a trigonometria, de uma forma ou de outra, é usada em todos os lugares, da música à medicina.

Finalmente

Então você é seno, cosseno, tangente. Você pode usá-los em cálculos e resolver problemas escolares com sucesso.

O ponto principal da trigonometria se resume ao fato de que, usando os parâmetros conhecidos de um triângulo, você precisa calcular as incógnitas. Existem seis parâmetros no total: o comprimento de três lados e o tamanho de três ângulos. A única diferença nas tarefas reside no fato de serem fornecidos diferentes dados de entrada.

Agora você sabe como encontrar seno, cosseno e tangente com base nos comprimentos conhecidos das pernas ou hipotenusa. Como esses termos significam nada mais do que uma razão, e uma razão é uma fração, o objetivo principal de um problema de trigonometria é encontrar as raízes de uma equação ordinária ou de um sistema de equações. E aqui a matemática da escola regular irá ajudá-lo.

Cosseno– uma das funções trigonométricas básicas. Cosseno ah, picante ângulo em um triângulo retângulo, a razão entre o lado adjacente e a hipotenusa é chamada. A definição de cosseno está vinculada a um triângulo retângulo, mas muitas vezes o ângulo cujo cosseno precisa ser determinado não é colocado no triângulo retângulo. Como descobrir o valor do cosseno de qualquer ângulo ?

Instruções

1. ângulo em um triângulo retângulo, você precisa usar a definição de cosseno e encontrar a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa: cos? = a/c, onde a é o comprimento da perna, c é o comprimento da hipotenusa.

2. Se você precisar detectar cosseno ângulo em um triângulo arbitrário, você precisa usar o teorema do cosseno: se o ângulo for agudo: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab); se o ângulo for obtuso: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), onde a, b são os comprimentos dos lados adjacentes ao canto, c é o comprimento do lado oposto ao canto.

3. Se você precisar detectar cosseno ângulo em uma figura geométrica arbitrária, você precisa determinar o valor ângulo em graus ou radianos e cosseno ângulo detectar pelo seu valor com o apoio de uma calculadora de engenharia, tabelas Bradis ou qualquer outra aplicação matemática.

Cossenoé uma função trigonométrica básica do ângulo. Saber como determinar o cosseno será útil na álgebra vetorial ao determinar as projeções de vetores em diferentes eixos.

Instruções

1. Cosseno O ohm de um ângulo é a razão entre a perna adjacente ao ângulo e a hipotenusa. Isso significa que em um triângulo retângulo ABC (ABC é um ângulo reto), o cosseno do ângulo BAC é igual à razão AB para AC. Para o ângulo ACB: cos ACB = BC/AC.

2. Mas um ângulo nem sempre pertence a um triângulo, além disso, existem ângulos obtusos que obviamente não podem fazer parte de um triângulo retângulo; Consideremos o caso em que o ângulo é dado por raios. Para calcular o cosseno do ângulo neste caso, proceda da seguinte forma. Um sistema de coordenadas é anexado ao canto, as coordenadas são calculadas a partir do vértice do canto, o eixo X segue ao longo de um lado do canto, o eixo Y é construído perpendicularmente ao eixo X. Depois disso, um círculo de raio unitário. é construído com o centro no vértice do canto. O segundo lado do ângulo cruza o círculo no ponto A. Solte uma perpendicular do ponto A ao eixo X, marque o ponto de intersecção da perpendicular com o eixo Ax. Então você obtém um triângulo retângulo AAxO, e o cosseno do ângulo é AAx/AO. Como o círculo tem raio unitário, então AO = 1 e o cosseno do ângulo é primitivamente igual a AAx.

3. No caso de ângulo obtuso, são realizadas as mesmas construções. Cosseno O ângulo obtuso é negativo, mas também é igual a Ax.

Vídeo sobre o tema

Observação!
Os cossenos de alguns ângulos são apresentados nas tabelas Bradis.

É improvável que conceitos como seno, cosseno e tangente sejam encontrados com frequência na vida cotidiana. No entanto, se você se sentou para resolver problemas matemáticos com seu filho do ensino médio, seria bom lembrar o que são essas representações e como detectar, digamos, um cosseno.

Instruções

Vídeo sobre o tema

Freqüentemente, em problemas geométricos (trigonométricos), é necessário encontrar cossenoângulo em triângulo, porque cossenoângulo permite determinar inequivocamente o tamanho do próprio ângulo.

Instruções

1. Para descobrir cossenoângulo em triângulo, os comprimentos dos lados são conhecidos, podemos usar o teorema cosseno tudo bem. De acordo com este teorema, o quadrado do comprimento de um lado de um triângulo arbitrário é igual à soma dos quadrados dos seus outros 2 lados sem o dobro do produto dos comprimentos desses lados por cossenoângulo entre eles: a?=b?+c?-2*b*c*cos?, onde: a, b, c são os lados do triângulo (ou melhor, seus comprimentos),? – o ângulo oposto ao lado a (seu valor). A partir da igualdade acima é fácil encontrar сos?:сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c) Exemplo 1. Existe um triângulo com lados a, b , iguais a 3, 4, 5 mm, respectivamente. cosseno o ângulo delimitado entre os lados grandes Solução: De acordo com as condições do problema, temos: a = 3, b = 4, c = 5. Denotemos o ângulo oposto ao lado a por ?, então, de acordo com o lado a. fórmula derivada acima, temos: cos? = (b? + c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16 +25-9)/40=32/40=0, 8Resposta: 0,8.

2. Se o triângulo for retângulo, então para encontrar cosseno e basta que um ângulo conheça os comprimentos de cada dois lados ( cosseno o ângulo reto é 0). Seja um triângulo retângulo com lados a, b, c, onde c é a hipotenusa. Vejamos todas as opções: Exemplo 2. Encontre cos se os comprimentos dos lados a e b (as pernas). do triângulo) são conhecidos. Vamos usar adicionalmente o teorema de Pitágoras: c?=b?+a?,c=v(b?+a?)cos?=(b?+c?-a?)/(2*). b*c)=(b?+b?+a? -a?)/(2*b*v(b?+a?))=(2*b?)/(2*b*v(b? +a?))=b/v(b?+a ?)Para verificar a exatidão da fórmula resultante, substituímos nela os valores do exemplo 1, ou seja, a = 3, b = 4. Feitos cálculos básicos, obtemos: cos = 0,8.

3. Semelhante está localizado cosseno em um retângulo triângulo em outros casos: Exemplo 3. Famosos a e c (hipotenusa e perna oposta), encontre сos?b?=с?-а?,b=v(c?-а?)сos?=(b?+c?- a?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а ?)/(2*c*v(c?-a?))=v(c?-a?)/c. Substituindo os valores a=3 e c=5 do primeiro exemplo, obtemos: cos ?=0,8 .

4. Exemplo 4. Vestims b e c (hipotenusa e perna adjacente). Detectando cos? cosseno V triânguloé calculado usando uma fórmula muito fácil: cos = b/c. A simplicidade da fórmula derivada é explicada de forma simples: realmente, adjacente ao canto? a perna é uma projeção da hipotenusa, portanto seu comprimento é igual ao comprimento da hipotenusa multiplicado por cos?. Substituindo os valores b = 4 e c = 5 do primeiro exemplo, obtemos: cos = 0,8. significa que todas as nossas fórmulas estão corretas.

Dica 5: Como detectar um ângulo agudo em um triângulo retângulo

Diretamente carbônico o triângulo, aparentemente, é uma das figuras geométricas mais famosas, do ponto de vista histórico. As “calças” pitagóricas só podem competir com “Eureka!” Arquimedes.

Você vai precisar

• – desenho de um triângulo;
• - governante;
• – transferidor

Instruções

1. Como de costume, os vértices dos cantos de um triângulo são designados por letras latinas maiúsculas (A, B, C), e os lados opostos por letras latinas minúsculas (a, b, c) ou pelos nomes dos vértices do triângulo formando este lado (AC, BC, AB).

2. A soma dos ângulos de um triângulo é 180 graus. Em um retângulo triângulo um ângulo (reto) será invariavelmente de 90 graus, e o restante será agudo, ou seja, menos de 90 graus até o fim. Para determinar qual ângulo em um retângulo triânguloé reto, meça os lados do triângulo com o apoio de uma régua e determine o maior. É chamada de hipotenusa (AB) e está localizada oposta ao ângulo reto (C). Os dois lados restantes formam um ângulo reto e são chamados de pernas (AC, BC).

3. Depois de determinar qual ângulo é agudo, você pode medi-lo usando um transferidor ou calculá-lo usando fórmulas matemáticas.

4. Para determinar o tamanho do ângulo com a ajuda de um transferidor, alinhe seu vértice (denotado pela letra A) com uma marca especial na régua no centro do transferidor, a perna AC deve coincidir com sua borda superior; Marque na parte semicircular do transferidor o ponto por onde passa a hipotenusa AB. O valor neste ponto corresponde ao ângulo em graus. Se houver 2 valores indicados no transferidor, então para um ângulo agudo você precisa escolher o menor, para um ângulo obtuso - o maior.

6. Encontre o valor resultante nas tabelas de referência Bradis e determine a qual ângulo corresponde o valor numérico resultante. Nossas avós usaram esse método.

7. Hoje em dia basta levar uma calculadora com função de cálculo de fórmulas trigonométricas. Digamos que a calculadora integrada do Windows. Inicie o aplicativo “Calculadora”, no item de menu “Visualizar”, selecione o item “Engenharia”. Calcule o seno do ângulo desejado, digamos sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

8. Mude a calculadora para o modo de funções inversas clicando no botão INV no visor da calculadora e, a seguir, clique no botão para calcular a função arco seno (indicada no visor como sen elevado a menos a primeira potência). Uma outra inscrição aparecerá na janela de cálculo: asind (0,5) = 30. Ou seja, o ângulo desejado é de 30 graus.

O teorema do cosseno em matemática é mais frequentemente usado quando você precisa detectar um terceiro lado de um ângulo e dois lados. No entanto, às vezes a condição do problema é oposta: é necessário encontrar um ângulo com determinados 3 lados.

Instruções

1. Imagine que você recebe um triângulo cujos comprimentos de 2 lados e o valor de um ângulo são conhecidos. Todos os ângulos deste triângulo não são iguais entre si e seus lados também têm tamanhos diferentes. Canto? fica oposto ao lado do triângulo, designado AB, que é a base desta figura. Através deste ângulo, bem como através dos restantes lados AC e BC, é possível detectar aquele lado do triângulo que é desconhecido, utilizando o teorema do cosseno, derivando a partir dele a fórmula apresentada a seguir: a^2=b^2 +c^2-2bc*cos?, onde a=BC, b=AB, c=ACO teorema do cosseno, ao contrário, é chamado de teorema de Pitágoras generalizado.

2. Agora imagine que todos os três lados da figura são dados, mas ao mesmo tempo o seu ângulo? desconhecido Sabendo que a fórmula tem a forma a^2=b^2+c^2-2bc*cos?, transforme esta expressão para que o valor desejado se torne o ângulo?: b^2+c^2=2bc*cos?+ a ^2.Depois disso, traga a equação acima para uma forma ligeiramente diferente: b^2+c^2-a^2=2bc*cos?.Depois disso, esta expressão deve ser convertida para a expressão abaixo: cos?= ?b^2+c ^2-a^2/2bc Só falta substituir os números na fórmula e fazer os cálculos.

3. Para encontrar o cosseno do ângulo de um triângulo, designado como ?, ele deve ser expresso através da função trigonométrica inversa chamada arco cosseno. O arco cosseno do número m é o valor do ângulo para o qual o cosseno do ângulo? é igual a m. A função y=arccos m está diminuindo. Imagine, digamos, qual é o cosseno do ângulo? igual a um segundo. Então o ângulo? pode ser definido através do arco cosseno da seguinte forma:? = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, onde m = 1/2 De forma semelhante, é possível detectar os ângulos restantes de um triângulo com outros 2 lados desconhecidos.

4. Se os ângulos forem apresentados em radianos, converta-os em graus usando a seguinte proporção:? radiano = 180 graus Lembre-se de que a grande maioria das calculadoras de engenharia está equipada com a capacidade de alternar unidades angulares.

Seno e cosseno são duas funções trigonométricas chamadas “diretas”. São eles que devem ser calculados com mais frequência do que outros, e para resolver este problema hoje cada um de nós tem uma grande variedade de opções. Abaixo estão alguns métodos particularmente primitivos.

Instruções

1. Use um transferidor, um lápis e um pedaço de papel se nenhum outro meio de cálculo estiver disponível. Uma das definições de cosseno é dada em termos de ângulos agudos em um triângulo retângulo - seu valor é igual à razão entre o comprimento da perna oposta a esse ângulo e o comprimento da hipotenusa. Desenhe um triângulo em que um dos ângulos seja reto (90°) e o outro seja igual ao ângulo cujo cosseno você deseja calcular. O comprimento dos lados não importa - desenhe-os da maneira que você achar mais confortável para medir. Meça o comprimento da perna e da hipotenusa necessárias e divida a primeira pela segunda usando qualquer método conveniente.

2. Aproveite a capacidade de determinar os valores das funções trigonométricas com o suporte da calculadora embutida no mecanismo de busca Nigma, se você tiver acesso à Internet. Digamos que se você precisar calcular o cosseno de um ângulo de 20°, ao carregar a página principal do serviço http://nigma.ru, digite “coseno de 20 graus” no campo de consulta de pesquisa e clique no botão “Detectar!” botão. Você pode omitir a palavra “graus” e substituir a palavra “cosseno” por cos - em qualquer caso, o mecanismo de busca mostrará o resultado com precisão de 15 casas decimais (0,939692620785908).

3. Abra o programa de calculadora padrão instalado no sistema operacional Windows se você não tiver acesso à Internet. Isso pode ser feito, digamos, pressionando as teclas win e r ao mesmo tempo, digitando o comando calc e clicando no botão OK. Para calcular funções trigonométricas, existe uma interface pré-projetada chamada “engenheiro” ou “cientista” (dependendo da versão do sistema operacional) - selecione o item desejado na seção “Visualizar” do menu da calculadora. Posteriormente, insira o valor do ângulo em graus e clique no botão cos na interface do programa.

Vídeo sobre o tema

Dica 8: Como determinar ângulos em um triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é caracterizado por certas relações entre os ângulos e os lados. Conhecendo os valores de alguns deles, é possível calcular outros. Para tanto, são utilizadas fórmulas, baseadas, por sua vez, nos axiomas e teoremas da geometria.

Instruções

1. Pelo próprio nome de um triângulo retângulo fica claro que um de seus ângulos é reto. Independentemente de um triângulo retângulo ser isósceles ou não, ele invariavelmente possui um ângulo igual a 90 graus. Se você receber um triângulo retângulo simultaneamente e isósceles, então, com base no fato de que há um ângulo reto na figura, encontre dois ângulos em sua base. Esses ângulos são iguais entre si, portanto cada um deles tem um valor igual a:?

2. Além do discutido acima, também permitimos outro caso em que o triângulo é retângulo, mas não é isósceles. Em muitos problemas, o ângulo de um triângulo é 30°, e em outros é 60°, então a soma de todos os ângulos de um triângulo deve ser igual a 180°. Se a hipotenusa de um triângulo retângulo e seu cateto forem dados, então o ângulo pode ser encontrado a partir da correspondência desses 2 lados: sin? = a/c, onde a é o cateto oposto à hipotenusa do triângulo, c é o Assim, o ângulo ?=arcsin(a/c ) também pode ser determinado usando a fórmula para encontrar o cosseno: cos ?=b/c, onde b é o cateto adjacente à hipotenusa do triângulo.

3. Se apenas duas pernas forem conhecidas, então o ângulo? pode ser encontrado usando a fórmula da tangente. A tangente deste ângulo é igual à razão entre o lado oposto e o adjacente: tg ? = a/b Segue-se que = arctg (a/b) Quando um ângulo reto e um dos ângulos encontrados pelo método acima são fornecidos, o segundo é encontrado da seguinte forma: = 180°-(90°+?)

A palavra “cosseno” refere-se a uma das funções trigonométricas, que quando escrita é denotada como cos. É especialmente comum lidar com isso ao resolver problemas de localização dos parâmetros de figuras corretas na geometria. Nesses problemas, os valores dos ângulos nos vértices dos polígonos são indicados, como sempre, em letras maiúsculas do alfabeto grego. Se estamos falando de um triângulo retângulo, então, a partir dessa letra, às vezes você pode descobrir qual dos cantos se refere.

Instruções

1. Se o valor do ângulo, indicado pela letra ?, for conhecido pelas condições do problema, então para encontrar o valor correspondente ao cosseno alfa, você pode usar uma calculadora padrão do sistema operacional Windows. É iniciado através do menu principal do sistema operacional - pressione o botão Win, expanda a seção “Todos os programas” do menu, vá para a subseção “Típico” e depois para a seção “Utilitários”. Lá você encontrará a linha “Calculadora” - clique nela para iniciar o aplicativo.

2. Pressione a combinação de teclas Alt + 2 para mudar a interface do aplicativo para a opção “engenharia” (em outras versões do SO – “cientista”). Depois disso, insira o valor do ângulo? e clique no botão marcado com as letras cos com o ponteiro do mouse - a calculadora calculará a função e exibirá o resultado.

3. Se você calcular o cosseno de um ângulo? necessário em um triângulo retângulo, então é provavelmente um dos 2 ângulos agudos. Se os lados de tal triângulo forem designados corretamente, a hipotenusa (o lado mais longo) é denotada pela letra c, e o ângulo reto oposto a ela é denotado pela letra grega ?. Os outros dois lados (pernas) são designados pelas letras aeb, e os ângulos agudos opostos a eles são designados por? E?. Para os valores dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, existem relações que permitirão calcular o cosseno, mesmo sem saber o valor do próprio ângulo.

4. Se em um triângulo retângulo os comprimentos dos lados b (o cateto adjacente ao ângulo?) e c (a hipotenusa) são conhecidos, então calcular o cosseno? divida o comprimento desta perna pelo comprimento da hipotenusa: cos(?)=b/c.

5. Em um triângulo arbitrário, qual é o valor do cosseno do ângulo? Uma quantidade desconhecida pode ser calculada se os comprimentos de todos os lados forem dados nas condições. Para fazer isso, primeiro eleve ao quadrado os comprimentos de todos os lados e, em seguida, os valores resultantes para 2 lados adjacentes ao canto? adicione e subtraia o valor resultante para o lado oposto do total. Depois disso, divida o valor resultante pelo dobro do produto dos comprimentos adjacentes ao canto? lados - este será o cosseno desejado do ângulo?: cos(?)=(b?+c?-a?)/(2*b*c). Esta solução segue do teorema do cosseno.

Conselho util
A notação matemática para cosseno é cos. O valor do cosseno não pode ser maior que 1 e menor que -1.

Como você pode ver, este círculo é construído no sistema de coordenadas cartesianas. O raio do círculo é igual a um, enquanto o centro do círculo está na origem das coordenadas, a posição inicial do vetor raio é fixada ao longo da direção positiva do eixo (no nosso exemplo, este é o raio).

Cada ponto do círculo corresponde a dois números: a coordenada do eixo e a coordenada do eixo. Quais são esses números de coordenadas? E em geral, o que eles têm a ver com o tema em questão? Para fazer isso, precisamos nos lembrar do triângulo retângulo considerado. Na figura acima, você pode ver dois triângulos retângulos inteiros. Considere um triângulo. É retangular porque é perpendicular ao eixo.

A que é igual o triângulo? Isso mesmo. Além disso, sabemos que é o raio do círculo unitário, o que significa. Vamos substituir esse valor em nossa fórmula para cosseno. Aqui está o que acontece:

A que é igual o triângulo? Bem, claro, ! Substitua o valor do raio nesta fórmula e obtenha:

Então, você pode dizer quais são as coordenadas de um ponto pertencente a um círculo? Bem, de jeito nenhum? E se você perceber isso e for apenas números? A que coordenada corresponde? Bem, claro, as coordenadas! E a que coordenada corresponde? Isso mesmo, coordenadas! Assim, ponto final.

O que então são e iguais? Isso mesmo, vamos usar as definições correspondentes de tangente e cotangente e obter isso, a.

E se o ângulo for maior? Por exemplo, como nesta imagem:

O que mudou neste exemplo? Vamos descobrir. Para fazer isso, vamos voltar novamente para um triângulo retângulo. Considere um triângulo retângulo: ângulo (como adjacente a um ângulo). Quais são os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente para um ângulo? É isso mesmo, seguimos as definições correspondentes de funções trigonométricas:

Bem, como você pode ver, o valor do seno do ângulo ainda corresponde à coordenada; o valor do cosseno do ângulo - a coordenada; e os valores de tangente e cotangente às razões correspondentes. Assim, estas relações aplicam-se a qualquer rotação do vetor raio.

Já foi mencionado que a posição inicial do vetor raio está ao longo da direção positiva do eixo. Até agora giramos esse vetor no sentido anti-horário, mas o que acontece se o girarmos no sentido horário? Nada de extraordinário, você também obterá um ângulo de um determinado valor, mas só será negativo. Assim, ao girar o vetor raio no sentido anti-horário, obtemos ângulos positivos, e ao girar no sentido horário - negativo.

Então, sabemos que uma revolução completa do vetor raio em torno de um círculo é ou. É possível girar o vetor raio para ou para? Bem, é claro que você pode! No primeiro caso, portanto, o vetor raio fará uma revolução completa e parará na posição ou.

No segundo caso, ou seja, o vetor raio dará três voltas completas e parará na posição ou.

Assim, a partir dos exemplos acima podemos concluir que ângulos que diferem em ou (onde é qualquer número inteiro) correspondem à mesma posição do vetor raio.

A figura abaixo mostra um ângulo. A mesma imagem corresponde ao canto, etc. Esta lista pode ser continuada indefinidamente. Todos esses ângulos podem ser escritos pela fórmula geral ou (onde é qualquer número inteiro)

Agora, conhecendo as definições das funções trigonométricas básicas e utilizando o círculo unitário, tente responder quais são os valores:

Aqui está um círculo unitário para ajudá-lo:

Está com dificuldades? Então vamos descobrir. Então sabemos que:

A partir daqui determinamos as coordenadas dos pontos correspondentes a determinadas medidas de ângulos. Bom, vamos começar pela ordem: o ângulo em corresponde a um ponto com coordenadas, portanto:

Não existe;

Além disso, seguindo a mesma lógica, descobrimos que os cantos B correspondem a pontos com coordenadas, respectivamente. Sabendo disso, é fácil determinar os valores das funções trigonométricas nos pontos correspondentes. Experimente primeiro e depois verifique as respostas.

Respostas:

Não existe

Não existe

Não existe

Não existe

Assim, podemos fazer a seguinte tabela:

Não há necessidade de lembrar todos esses valores. Basta lembrar a correspondência entre as coordenadas dos pontos do círculo unitário e os valores das funções trigonométricas:

Mas os valores das funções trigonométricas dos ângulos em e, dados na tabela abaixo, deve ser lembrado:

Não tenha medo, agora vamos mostrar um exemplo bastante simples de lembrar os valores correspondentes:

Para utilizar este método, é vital lembrar os valores do seno para todas as três medidas do ângulo (), bem como o valor da tangente do ângulo. Conhecendo esses valores, é bastante simples restaurar toda a tabela - os valores do cosseno são transferidos de acordo com as setas, ou seja:

Sabendo disso, você pode restaurar os valores de. O numerador " " corresponderá e o denominador " " corresponderá. Os valores cotangentes são transferidos de acordo com as setas indicadas na figura. Se você entender isso e se lembrar do diagrama com as setas, será suficiente lembrar todos os valores da tabela.

Coordenadas de um ponto em um círculo

É possível encontrar um ponto (suas coordenadas) em um círculo, conhecer as coordenadas do centro do círculo, seu raio e ângulo de rotação?

Bem, é claro que você pode! Vamos tirar isso fórmula geral para encontrar as coordenadas de um ponto.

Por exemplo, aqui está um círculo à nossa frente:

Sabemos que o ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas de um ponto obtido girando o ponto em graus.

Como pode ser visto na figura, a coordenada do ponto corresponde ao comprimento do segmento. O comprimento do segmento corresponde à coordenada do centro do círculo, ou seja, é igual. O comprimento de um segmento pode ser expresso usando a definição de cosseno:

Então temos isso para a coordenada do ponto.

Usando a mesma lógica, encontramos o valor da coordenada y para o ponto. Por isso,

Assim, em geral, as coordenadas dos pontos são determinadas pelas fórmulas:

Coordenadas do centro do círculo,

Raio do círculo,

O ângulo de rotação do raio do vetor.

Como você pode ver, para o círculo unitário que estamos considerando, essas fórmulas são significativamente reduzidas, pois as coordenadas do centro são iguais a zero e o raio é igual a um:

Bem, vamos experimentar essas fórmulas praticando a localização de pontos em um círculo?

1. Encontre as coordenadas de um ponto no círculo unitário obtido girando o ponto.

2. Encontre as coordenadas de um ponto no círculo unitário obtido girando o ponto.

3. Encontre as coordenadas de um ponto no círculo unitário obtido girando o ponto.

4. O ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtido girando o vetor raio inicial em.

5. O ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtido girando o vetor raio inicial em.

Está tendo problemas para encontrar as coordenadas de um ponto em um círculo?

Resolva estes cinco exemplos (ou seja bom em resolvê-los) e você aprenderá a encontrá-los!

1.

Você pode perceber isso. Mas sabemos o que corresponde a uma revolução completa do ponto de partida. Assim, o ponto desejado estará na mesma posição de quando você girou. Sabendo disso, encontramos as coordenadas necessárias do ponto:

2. O círculo unitário está centrado em um ponto, o que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Você pode perceber isso. Sabemos o que corresponde a duas revoluções completas do ponto de partida. Assim, o ponto desejado estará na mesma posição de quando você girou. Sabendo disso, encontramos as coordenadas necessárias do ponto:

Seno e cosseno são valores de tabela. Lembramos seus significados e obtemos:

Assim, o ponto desejado possui coordenadas.

3. O círculo unitário está centrado em um ponto, o que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Você pode perceber isso. Vamos representar o exemplo em questão na figura:

O raio forma ângulos iguais e com o eixo. Sabendo que os valores tabulares de cosseno e seno são iguais, e tendo determinado que o cosseno aqui assume um valor negativo e o seno assume um valor positivo, temos:

Tais exemplos são discutidos com mais detalhes ao estudar as fórmulas para redução de funções trigonométricas no tópico.

Assim, o ponto desejado possui coordenadas.

4.

Ângulo de rotação do raio do vetor (por condição)

Para determinar os sinais correspondentes de seno e cosseno, construímos um círculo unitário e um ângulo:

Como você pode ver, o valor, isto é, é positivo, e o valor, isto é, é negativo. Conhecendo os valores tabulares das funções trigonométricas correspondentes, obtemos que:

Vamos substituir os valores obtidos em nossa fórmula e encontrar as coordenadas:

Assim, o ponto desejado possui coordenadas.

5. Para resolver este problema, usamos fórmulas de forma geral, onde

Coordenadas do centro do círculo (no nosso exemplo,

Raio do círculo (por condição)

Ângulo de rotação do raio do vetor (por condição).

Vamos substituir todos os valores na fórmula e obter:

e - valores da tabela. Vamos lembrar e substituí-los na fórmula:

Assim, o ponto desejado possui coordenadas.

RESUMO E FÓRMULAS BÁSICAS

O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto (distante) e a hipotenusa.

O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente (próximo) e a hipotenusa.

A tangente de um ângulo é a razão entre o lado oposto (distante) e o lado adjacente (próximo).

A cotangente de um ângulo é a razão entre o lado adjacente (próximo) e o lado oposto (distante).

Cosseno é uma função trigonométrica bem conhecida, que também é uma das principais funções da trigonometria. O cosseno de um ângulo em um triângulo retângulo é a razão entre o lado adjacente do triângulo e a hipotenusa do triângulo. Na maioria das vezes, a definição de cosseno está associada a um triângulo retangular. Mas também acontece que o ângulo para o qual é necessário calcular o cosseno em um triângulo retângulo não está localizado neste mesmo triângulo retângulo. O que fazer então? Como encontrar o cosseno de um ângulo de um triângulo?

Se você precisar calcular o cosseno de um ângulo em um triângulo retângulo, tudo será muito simples. Basta lembrar a definição de cosseno, que contém a solução para este problema. Você só precisa encontrar a mesma relação entre o lado adjacente e a hipotenusa do triângulo. Na verdade, não é difícil expressar aqui o cosseno do ângulo. A fórmula é a seguinte: - cosα = a/c, aqui “a” é o comprimento da perna e o lado “c”, respectivamente, é o comprimento da hipotenusa. Por exemplo, o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo pode ser encontrado usando esta fórmula.

Se você estiver interessado em saber a que é igual o cosseno de um ângulo em um triângulo arbitrário, então o teorema do cosseno vem em socorro, que deve ser usado nesses casos. O teorema do cosseno afirma que o quadrado de um lado de um triângulo é a priori igual à soma dos quadrados dos demais lados do mesmo triângulo, mas sem duplicar o produto desses lados pelo cosseno do ângulo localizado entre eles.

1. Se você precisar encontrar o cosseno de um ângulo agudo em um triângulo, precisará usar a seguinte fórmula: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Se você precisar encontrar o cosseno de um ângulo obtuso em um triângulo, precisará usar a seguinte fórmula: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). As designações na fórmula - aeb - são os comprimentos dos lados adjacentes ao ângulo desejado, c - é o comprimento do lado oposto ao ângulo desejado.

O cosseno de um ângulo também pode ser calculado usando o teorema do seno. Afirma que todos os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Usando o teorema dos senos, você pode calcular os demais elementos de um triângulo, tendo informações apenas sobre dois lados e um ângulo oposto a um lado, ou sobre dois ângulos e um lado. Considere isso com um exemplo. Condições do problema: a=1; b=2; c=3. O ângulo oposto ao lado “A” é denotado por α, então, conforme as fórmulas, temos: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Resposta 1.

Se o cosseno de um ângulo precisar ser calculado não em um triângulo, mas em alguma outra figura geométrica arbitrária, tudo ficará um pouco mais complicado. A magnitude do ângulo deve primeiro ser determinada em radianos ou graus, e só então o cosseno deve ser calculado a partir deste valor. O cosseno por valor numérico é determinado usando tabelas Bradis, calculadoras de engenharia ou aplicativos matemáticos especiais.

Aplicações matemáticas especiais podem ter funções como calcular automaticamente os cossenos dos ângulos em uma figura específica. A beleza de tais aplicativos é que eles dão a resposta correta e o usuário não perde tempo resolvendo problemas às vezes bastante complexos. Por outro lado, com o uso constante exclusivamente de aplicativos para resolução de problemas, perdem-se todas as habilidades no trabalho com a resolução de problemas matemáticos de localização de cossenos de ângulos em triângulos, bem como de outras figuras arbitrárias.