Primeiro, vamos lembrar o que é um produto vetorial.

Observação 1

arte vetorial para $\vec(a)$ e $\vec(b)$ é $\vec(c)$, que é algum terceiro vetor $\vec(c)= ||$, e esse vetor tem propriedades especiais:

• O escalar do vetor resultante é o produto de $|\vec(a)|$ e $|\vec(b)|$ vezes o seno do ângulo $\vec(c)= ||= |\vec(a )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Todos os $\vec(a), \vec(b)$ e $\vec(c)$ formam uma tripla à direita;
• O vetor resultante é ortogonal a $\vec(a)$ e $\vec(b)$.

Se houver algumas coordenadas para vetores ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ e $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), então seu produto vetorial em o sistema de coordenadas cartesianas pode ser determinado pela fórmula:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

A maneira mais fácil de lembrar esta fórmula é escrevê-la na forma de um determinante:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

Essa fórmula é bastante conveniente de usar, mas para entender como usá-la, primeiro você precisa se familiarizar com o tema das matrizes e seus determinantes.

Área de paralelogramo, cujos lados são definidos por dois vetores $\vec(a)$ e $vec(b)$ é igual a ao escalar do produto vetorial dos dois vetores dados.

Esta proporção é bastante fácil de derivar.

Lembre-se da fórmula para encontrar a área de um paralelogramo comum, que pode ser caracterizado por seus segmentos $a$ e $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

Nesse caso, os comprimentos dos lados são iguais aos valores escalares dos vetores $\vec(a)$ e $\vec(b)$, o que é bastante adequado para nós, ou seja, o escalar do produto vetorial desses vetores será a área da figura em consideração.

Exemplo 1

Dados vetores $\vec(c)$ com coordenadas $\(5;3; 7\)$ e um vetor $\vec(g)$ com coordenadas $\(3; 7;10 \)$ em coordenadas cartesianas. Encontre a área do paralelogramo formado por $\vec(c)$ e $\vec(g)$.

Decisão:

Encontre o produto vetorial para esses vetores:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(array) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(array) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Agora vamos encontrar o valor modular para o segmento direcional resultante, é o valor da área do paralelogramo construído:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.

Essa linha de raciocínio é válida não apenas para encontrar a área em um espaço tridimensional, mas também em um espaço bidimensional. Confira a próxima pergunta sobre este tópico.

Exemplo 2

Calcule a área do paralelogramo se seus segmentos geradores forem dados pelos vetores $\vec(m)$ com coordenadas $\(2; 3\)$ e $\vec(d)$ com coordenadas $\(-5; 6\)$.

Decisão:

Este problema é um exemplo particular do problema 1, resolvido acima, mas ambos os vetores estão no mesmo plano, o que significa que a terceira coordenada, $z$, pode ser tomada como zero.

Para resumir o acima, a área do paralelogramo será:

$S = \begin(array) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Exemplo 3

Dados vetores $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Encontre a área do paralelogramo que eles formam.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $

Vamos simplificar de acordo com a tabela fornecida para vetores unitários:

Figura 1. Decomposição de um vetor em termos de uma base. Author24 - intercâmbio online de trabalhos de estudantes

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Tempo de cálculo:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Os problemas anteriores eram sobre vetores cujas coordenadas são dadas no sistema de coordenadas cartesianas, mas considere também o caso se o ângulo entre os vetores base for diferente de $90°$:

Exemplo 4

O vetor $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, os comprimentos de $\vec(a)$ e $\vec(b)$ são iguais entre si e igual a um, e o ângulo entre $\vec(a)$ e $\vec(b)$ é 45°.

Decisão:

Vamos calcular o produto vetorial $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Para produtos vetoriais, de acordo com suas propriedades, vale o seguinte: $$ e $$ são iguais a zero, $ = - $.

Vamos usar isso para simplificar:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$.

Agora vamos usar a fórmula $(1)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5.5$.

A área de um paralelogramo construído sobre vetores é igual ao produto dos comprimentos desses vetores e o ângulo do ângulo que se encontra entre eles.

É bom quando os comprimentos desses mesmos vetores são dados de acordo com as condições. No entanto, também acontece que é possível aplicar a fórmula para a área de um paralelogramo construído em vetores somente após cálculos em coordenadas.
Se você tiver sorte e os comprimentos dos vetores forem fornecidos de acordo com as condições, basta aplicar a fórmula, que já analisamos detalhadamente no artigo. A área será igual ao produto dos módulos pelo seno do ângulo entre eles:

Considere um exemplo de cálculo da área de um paralelogramo construído em vetores.

Tarefa: O paralelogramo é construído sobre os vetores e . Encontre a área se , e o ângulo entre eles é de 30°.
Vamos expressar os vetores em termos de seus valores:

Talvez você tenha uma pergunta - de onde vieram os zeros? Vale lembrar que estamos trabalhando com vetores, e para eles . observe também que, se obtivermos uma expressão como resultado, ela será convertida para. Agora vamos fazer os cálculos finais:

Vamos voltar ao problema quando os comprimentos dos vetores não são especificados nas condições. Se o seu paralelogramo estiver no sistema de coordenadas cartesianas, você precisará fazer o seguinte.

Cálculo dos comprimentos dos lados de uma figura dada por coordenadas

Para começar, encontramos as coordenadas dos vetores e subtraímos as coordenadas iniciais correspondentes das coordenadas finais. Vamos supor as coordenadas do vetor a (x1;y1;z1) e do vetor b (x3;y3;z3).
Agora encontramos o comprimento de cada vetor. Para fazer isso, cada coordenada deve ser elevada ao quadrado, então somar os resultados e extrair a raiz de um número finito. De acordo com nossos vetores, os seguintes cálculos serão feitos:


Agora precisamos encontrar o produto escalar de nossos vetores. Para isso, suas respectivas coordenadas são multiplicadas e somadas.

Dados os comprimentos dos vetores e seu produto escalar, podemos encontrar o cosseno do ângulo entre eles .
Agora podemos encontrar o seno do mesmo ângulo:
Agora temos todas as quantidades necessárias e podemos encontrar facilmente a área de um paralelogramo construído em vetores usando a fórmula já conhecida.

Nesta lição, veremos mais duas operações com vetores: produto cruzado de vetores e produto misto de vetores (link imediato para quem precisar). Tudo bem, às vezes acontece que para a felicidade completa, além de produto escalar de vetores , mais e mais é necessário. Assim é o vício em vetores. Pode-se ter a impressão de que estamos entrando na selva da geometria analítica. Isso não é verdade. Nesta seção de matemática superior, geralmente há pouca lenha, exceto talvez o suficiente para Pinóquio. Na verdade, o material é muito comum e simples - pouco mais difícil que o mesmo produto escalar , mesmo haverá menos tarefas típicas. O principal na geometria analítica, como muitos verão ou já viram, é NÃO ERRAR DE CÁLCULO. Repita como um feitiço, e você será feliz =)

Se os vetores brilharem em algum lugar distante, como relâmpagos no horizonte, não importa, comece com a lição Vetores para bonecos restaurar ou readquirir conhecimentos básicos sobre vetores. Leitores mais preparados podem se familiarizar com as informações de forma seletiva, tentei coletar a coleção mais completa de exemplos que são frequentemente encontrados em trabalhos práticos

O que vai te fazer feliz? Quando eu era pequeno, eu sabia fazer malabarismos com duas e até três bolas. Funcionou bem. Agora não há necessidade de fazer malabarismos, pois consideraremos apenas vetores espaciais, e vetores planos com duas coordenadas serão deixados de fora. Por quê? Foi assim que essas ações nasceram - o vetor e o produto misto de vetores são definidos e funcionam no espaço tridimensional. Já mais fácil!

Nesta operação, da mesma forma que no produto escalar, dois vetores. Que sejam letras imperecíveis.

A ação em si denotado Da seguinte maneira: . Existem outras opções, mas estou acostumado a designar o produto vetorial de vetores dessa forma, entre colchetes com uma cruz.

E imediatamente pergunta: se em produto escalar de vetores dois vetores estão envolvidos, e aqui dois vetores também são multiplicados, então Qual é a diferença? Uma clara diferença, antes de tudo, no RESULTADO:

O resultado do produto escalar de vetores é um NÚMERO:

O resultado do produto vetorial dos vetores é um VETOR: , ou seja, multiplicamos os vetores e obtemos um vetor novamente. Clube fechado. Na verdade, daí o nome da operação. Em várias literaturas educacionais, as designações também podem variar, usarei a letra .

Definição de produto cruzado

Primeiro haverá uma definição com uma imagem, depois comentários.

Definição: produto cruzado não colinear vetores, tomadas nesta ordem, é chamado VETOR, comprimento que é numericamente igual à área do paralelogramo, construído sobre esses vetores; vetor ortogonal aos vetores, e é direcionado para que a base tenha uma orientação correta:

Analisamos a definição por ossos, há muitas coisas interessantes!

Assim, podemos destacar os seguintes pontos significativos:

1) Vetores de origem, indicados por setas vermelhas, por definição não colinear. Será apropriado considerar o caso de vetores colineares um pouco mais tarde.

2) Vetores tomados em uma ordem estrita: – "a" é multiplicado por "ser", não "ser" para "um". O resultado da multiplicação vetorialé VECTOR , que é indicado em azul. Se os vetores são multiplicados na ordem inversa, obtemos um vetor igual em comprimento e oposto em direção (cor carmesim). Ou seja, a igualdade .

3) Agora vamos nos familiarizar com o significado geométrico do produto vetorial. Este é um ponto muito importante! O COMPRIMENTO do vetor azul (e, portanto, do vetor carmesim ) é numericamente igual à ÁREA do paralelogramo construído sobre os vetores . Na figura, este paralelogramo está sombreado em preto.

Observação : o desenho é esquemático e, claro, o comprimento nominal do produto vetorial não é igual à área do paralelogramo.

Recordamos uma das fórmulas geométricas: a área de um paralelogramo é igual ao produto dos lados adjacentes pelo seno do ângulo entre eles. Portanto, com base no exposto, a fórmula para calcular o COMPRIMENTO de um produto vetorial é válida:

Ressalto que na fórmula estamos falando do COMPRIMENTO do vetor, e não do vetor em si. Qual é o significado prático? E o significado é tal que, em problemas de geometria analítica, a área de um paralelogramo é frequentemente encontrada através do conceito de produto vetorial:

Obtemos a segunda fórmula importante. A diagonal do paralelogramo (linha pontilhada vermelha) divide-o em dois triângulos iguais. Portanto, a área de um triângulo construído em vetores (sombreamento vermelho) pode ser encontrada pela fórmula:

4) Um fato igualmente importante é que o vetor é ortogonal aos vetores , ou seja, . É claro que o vetor de direção oposta (seta carmesim) também é ortogonal aos vetores originais .

5) O vetor é direcionado de modo que base Tem direita orientação. Em uma aula sobre transição para uma nova base Eu falei em detalhes sobre orientação do plano, e agora vamos descobrir qual é a orientação do espaço. Eu vou explicar em seus dedos mão direita. Combine mentalmente dedo indicador com vetor e dedo do meio com vetor. Dedo anelar e dedo mindinho pressione em sua palma. Como resultado polegar- o produto vetorial aparecerá. Esta é a base orientada para a direita (está na figura). Agora troque os vetores ( dedos indicador e médio) em alguns lugares, como resultado, o polegar girará e o produto vetorial já estará olhando para baixo. Esta é também uma base orientada para a direita. Talvez você tenha uma pergunta: que base tem uma orientação à esquerda? "Atribuir" os mesmos dedos mão esquerda vetores , e obter a base esquerda e orientação do espaço esquerdo (neste caso, o polegar estará localizado na direção do vetor inferior). Figurativamente falando, essas bases “torcem” ou orientam o espaço em diferentes direções. E esse conceito não deve ser considerado algo forçado ou abstrato - por exemplo, o espelho mais comum muda a orientação do espaço e, se você "puxar o objeto refletido para fora do espelho", em geral não será possível combiná-lo com o “original”. A propósito, leve três dedos ao espelho e analise o reflexo ;-)

... como é bom que agora você saiba orientado para a direita e para a esquerda bases, pois as declarações de alguns palestrantes sobre a mudança de orientação são terríveis =)

Produto vetorial de vetores colineares

A definição foi elaborada em detalhes, resta descobrir o que acontece quando os vetores são colineares. Se os vetores são colineares, então eles podem ser colocados em uma linha reta e nosso paralelogramo também “dobra” em uma linha reta. A área de tal, como dizem os matemáticos, degenerar paralelogramo é zero. O mesmo segue da fórmula - o seno de zero ou 180 graus é igual a zero, o que significa que a área é zero

Assim, se , então e . Observe que o próprio produto vetorial é igual ao vetor zero, mas na prática isso é muitas vezes negligenciado e escrito que também é igual a zero.

Um caso especial é o produto vetorial de um vetor e ele mesmo:

Usando o produto vetorial, você pode verificar a colinearidade de vetores tridimensionais, e também analisaremos esse problema, entre outros.

Para resolver exemplos práticos, pode ser necessário tabela trigonométrica para encontrar os valores dos senos a partir dele.

Bem, vamos começar um incêndio:

Exemplo 1

a) Encontre o comprimento do produto vetorial de vetores se

b) Encontre a área de um paralelogramo construído sobre vetores se

Decisão: Não, isso não é um erro de digitação, intencionalmente fiz os mesmos dados iniciais nos itens de condição. Porque o design das soluções será diferente!

a) De acordo com a condição, é necessário encontrar comprimento vetor (produto vetorial). De acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

Como foi perguntado sobre o comprimento, na resposta indicamos a dimensão - unidades.

b) De acordo com a condição, é necessário encontrar quadrado paralelogramo construído sobre vetores. A área deste paralelogramo é numericamente igual ao comprimento do produto vetorial:

Responda:

Observe que na resposta sobre o produto vetorial não há conversa, fomos questionados sobre área da figura, respectivamente, a dimensão é unidades quadradas.

Sempre olhamos o QUE deve ser encontrado pela condição e, com base nisso, formulamos Claro responda. Pode parecer literalismo, mas há literalistas suficientes entre os professores, e a tarefa com boas chances será devolvida para revisão. Embora este não seja um detalhe particularmente tenso - se a resposta estiver incorreta, fica-se com a impressão de que a pessoa não entende coisas simples e / ou não se aprofundou na essência da tarefa. Este momento deve ser sempre mantido sob controle, resolvendo qualquer problema em matemática superior, e em outras disciplinas também.

Para onde foi a letra grande "en"? Em princípio, poderia ser adicionalmente preso à solução, mas para encurtar o registro, não o fiz. Espero que todos entendam isso e seja a designação da mesma coisa.

Um exemplo popular para uma solução faça você mesmo:

Exemplo 2

Encontre a área de um triângulo construído em vetores se

A fórmula para encontrar a área de um triângulo através do produto vetorial é fornecida nos comentários à definição. Solução e resposta no final da lição.

Na prática, a tarefa é realmente muito comum, os triângulos geralmente podem ser torturados.

Para resolver outros problemas, precisamos:

Propriedades do produto vetorial de vetores

Já consideramos algumas propriedades do produto vetorial, no entanto, vou incluí-las nesta lista.

Para vetores arbitrários e um número arbitrário, as seguintes propriedades são verdadeiras:

1) Em outras fontes de informação, este item geralmente não se destaca nas propriedades, mas é muito importante em termos práticos. Que assim seja.

2) - a propriedade também é discutida acima, às vezes é chamada anticomutatividade. Em outras palavras, a ordem dos vetores importa.

3) - combinação ou associativo leis do produto vetorial. As constantes são facilmente retiradas dos limites do produto vetorial. Realmente, o que eles estão fazendo lá?

4) - distribuição ou distribuição leis do produto vetorial. Também não há problemas com a abertura de colchetes.

Como demonstração, considere um pequeno exemplo:

Exemplo 3

Encontre se

Decisão: Por condição, é novamente necessário encontrar o comprimento do produto vetorial. Vamos pintar nossa miniatura:

(1) De acordo com as leis associativas, retiramos as constantes além dos limites do produto vetorial.

(2) Retiramos a constante do módulo, enquanto o módulo “come” o sinal de menos. O comprimento não pode ser negativo.

(3) O que se segue é claro.

Responda:

É hora de jogar lenha no fogo:

Exemplo 4

Calcule a área de um triângulo construído sobre vetores se

Decisão: Encontre a área de um triângulo usando a fórmula . O problema é que os vetores "ce" e "te" são representados como somas de vetores. O algoritmo aqui é padrão e lembra um pouco os exemplos nº 3 e 4 da lição. Produto escalar de vetores . Vamos dividi-lo em três etapas para maior clareza:

1) Na primeira etapa, expressamos o produto vetorial pelo produto vetorial, de fato, expressar o vetor em termos do vetor. Nenhuma palavra sobre o comprimento ainda!

(1) Substituímos expressões de vetores .

(2) Usando leis distributivas, abrimos os colchetes de acordo com a regra de multiplicação de polinômios.

(3) Usando as leis associativas, retiramos todas as constantes além dos produtos vetoriais. Com pouca experiência, as ações 2 e 3 podem ser executadas simultaneamente.

(4) O primeiro e o último termos são iguais a zero (vetor zero) devido à propriedade agradável . No segundo termo, usamos a propriedade de anticomutatividade do produto vetorial:

(5) Apresentamos termos semelhantes.

Como resultado, o vetor acabou sendo expresso por meio de um vetor, que era o que precisava ser alcançado:

2) Na segunda etapa, encontramos o comprimento do produto vetorial que precisamos. Esta ação é semelhante ao Exemplo 3:

3) Encontre a área do triângulo desejado:

As etapas 2-3 da solução podem ser organizadas em uma linha.

Responda:

O problema considerado é bastante comum em testes, aqui está um exemplo para uma solução independente:

Exemplo 5

Encontre se

Solução curta e resposta no final da lição. Vamos ver como você estava atento ao estudar os exemplos anteriores ;-)

Produto cruzado de vetores em coordenadas

, dado na base ortonormal , é expresso pela fórmula:

A fórmula é realmente simples: escrevemos os vetores coordenados na linha superior do determinante, “empacotamos” as coordenadas dos vetores na segunda e terceira linhas e colocamos em estrita ordem- primeiro, as coordenadas do vetor "ve", depois as coordenadas do vetor "double-ve". Se os vetores precisarem ser multiplicados em uma ordem diferente, as linhas também devem ser trocadas:

Exemplo 10

Verifique se os seguintes vetores espaciais são colineares:
a)
b)

Decisão: O teste é baseado em uma das afirmações desta lição: se os vetores são colineares, seu produto vetorial é zero (vetor zero): .

a) Encontre o produto vetorial:

Portanto, os vetores não são colineares.

b) Encontre o produto vetorial:

Responda: a) não colinear, b)

Aqui, talvez, estejam todas as informações básicas sobre o produto vetorial de vetores.

Esta seção não será muito grande, pois há poucos problemas onde o produto misto de vetores é usado. Na verdade, tudo vai se basear na definição, significado geométrico e algumas fórmulas de trabalho.

O produto misto de vetores é o produto de três vetores:

É assim que eles se alinham como um trem e esperam, não podem esperar até que sejam calculados.

Primeiro novamente a definição e a imagem:

Definição: Produto misto não coplanar vetores, tomadas nesta ordem, é chamado volume do paralelepípedo, construído sobre esses vetores, equipado com um sinal "+" se a base for à direita e um sinal "-" se a base for à esquerda.

Vamos fazer o desenho. Linhas invisíveis para nós são desenhadas por uma linha pontilhada:

Vamos mergulhar na definição:

2) Vetores tomados em uma certa ordem, ou seja, a permutação de vetores no produto, como você pode imaginar, não fica sem consequências.

3) Antes de comentar o significado geométrico, noto o fato óbvio: o produto misto de vetores é um NÚMERO: . Na literatura educacional, o desenho pode ser um pouco diferente, eu costumava designar um produto misto através, e o resultado dos cálculos com a letra “pe”.

Prioridade A o produto misturado é o volume do paralelepípedo, construído em vetores (a figura é desenhada com vetores vermelhos e linhas pretas). Ou seja, o número é igual ao volume do paralelepípedo dado.

Observação : O desenho é esquemático.

4) Não vamos nos preocupar novamente com o conceito de orientação da base e do espaço. O significado da parte final é que um sinal de menos pode ser adicionado ao volume. Em termos simples, o produto misto pode ser negativo: .

A fórmula para calcular o volume de um paralelepípedo construído sobre vetores segue diretamente da definição.