Após determinar o ângulo inicial de rotação, calcula-se a deflexão da seção A.

2.3 por uma linha pontilhada, é introduzido nos casos em que a deflexão é determinada em uma seção que está fora da área de ação de uma carga distribuída.

O ângulo de rotação da seção B é calculado pela fórmula (2.20), na qual se deve tomar

2.2.2. Integral de Mohr.

A fórmula universal de Mohr para calcular deslocamentos elásticos em sistemas de hastes é uma generalização natural da fórmula de Castigliano. Para sistemas de hastes linearmente elásticas, a fórmula de Castigliano tem a forma

Δ PARA-deslocamento generalizado da seção K,

R Ké a força generalizada correspondente ao deslocamento generalizado Δ PARA,

vocêé a função energia potencial.

A energia potencial é uma função quadrática das forças e para elementos de flexão é escrita como

(2.22)

Na grande maioria dos casos, a influência da força transversal na magnitude da energia potencial é negligenciada. Combinar as fórmulas (2.21) e (2.22) dá

(2.23)

A derivada parcial corresponde à função do momento fletor causado pela ação de uma única força generalizada aplicada na seção K na direção do movimento desejado. Fórmula (2.23) escrita como

(2.24)

define uma forma particular da fórmula universal de Mohr aplicada à definição de deslocamentos em elementos flexionados.

Na prática, é utilizado um método gráfico-analítico para cálculo da integral de Mohr (método de Vereshchagin).

- área do diagrama de carga (diagrama do momento fletor da ação de uma determinada carga);

- ordenada de um diagrama único (é o momento fletor resultante da ação de uma única força generalizada), medida sob o centro do diagrama de carga.

O cálculo da integral de Mohr usando a fórmula de Vereshchagin na literatura educacional é chamado de "multiplicação" de diagramas.

Em vários casos, ao calcular a integral de Mohr, é conveniente usar a fórmula de Simpson

(2.26)

onde os índices “n”, “s”, “k” denotam, respectivamente, o início, meio e fim da seção dos diagramas multiplicados.

Exemplo 2 Determinar a deflexão da seção A e o ângulo de rotação da seção EM vigas consideradas no exemplo 1 (Fig. 2.4.a).

Calcule a integral de Mohr usando a fórmula de Simpson.

Para determinar a deflexão da seção A carga M p(Fig.2.4.b) e curvas simples (Fig.2.4.c) de momentos fletores.

Multiplicando os diagramas de carga e unitários de momentos fletores de acordo com a fórmula de Simpson dá

Para determinar o ângulo de rotação da seção de referência EM o segundo diagrama único do momento fletor é construído a partir da ação de um único momento aplicado na seção EM vigas (Fig. 2.4.d).

O valor do ângulo de rotação é determinado multiplicando os diagramas de carga e unitários (Fig. 2.4.d) dos momentos fletores.

Observação. O sinal menos nas respostas significa que as direções dos deslocamentos reais das seções A E EM será oposta às direções dos deslocamentos correspondentes a forças generalizadas únicas.

2.3. vigas estaticamente indeterminadas
(Método das forças de divulgação da indeterminação estática)

Vigas estaticamente indeterminadas contêm conexões “extras” (ao remover conexões extras, as vigas tornam-se estaticamente determinadas). O número de conexões extras determina o grau de indeterminação estática do problema.

Uma viga estaticamente determinada geometricamente invariável, obtida a partir de uma dada estaticamente indeterminada pela remoção de conexões redundantes, é chamada de sistema principal do método de forças.

O algoritmo para resolver vigas estaticamente indeterminadas pelo método da força é considerado usando o exemplo de uma viga outrora estaticamente indeterminada (Fig. 2.5.a).

A solução do problema começa com a escolha do sistema principal do método das forças (Fig. 2.5.b). De referir que esta não é a única opção de escolha do sistema principal (nomeadamente, é possível retirar ligações internas colocando uma dobradiça).

A essência do método das forças reside na negação dos deslocamentos na direção de uma conexão remota. Matematicamente, esta condição é escrita como a equação de compatibilidade de deslocamento

, (2.27)

δ 11 - movimento na direção da conexão desconectada, causado pela ação de um único valor da reação desconhecida da conexão remota (Fig. 2.5.c)

Δ 1P - movimento no sentido da ligação caída, causado pela ação de uma determinada carga (Fig. 2.5.d)

O cálculo dos deslocamentos δ 11 , Δ 1P é feito de acordo com a fórmula de Simpson.

O coeficiente δ 11 da equação canônica do método das forças é determinado multiplicando o diagrama unitário (Fig. 2.5.e) por ele mesmo

O coeficiente Δ 1Р da equação canônica do método da força é calculado multiplicando a unidade (Fig. 2.5.e) e a carga (Fig. 2.5. d) diagrama

A partir da solução da equação (2.27) a reação é determinada x1 conexão extra

Esta etapa da solução corresponde à divulgação da indeterminação estática do problema.

Gráfico do momento fletor Mx(Fig. 2.5.h) em uma viga estaticamente indeterminada é construída de acordo com a fórmula

(2.28)

Na fig. 2.5.g mostra um diagrama único "corrigido", cujas ordenadas são aumentadas em x1 uma vez.

O algoritmo considerado para resolver problemas estaticamente indeterminados usando o método das forças também é adequado para resolver problemas estaticamente indeterminados com torção, com cargas axiais, bem como com deformações complexas da haste.

2.4. Estabilidade de hastes comprimidas

Para uma compreensão completa do funcionamento da estrutura, juntamente com cálculos de resistência e rigidez, são necessários cálculos de estabilidade de elementos comprimidos e dobrados.

Além das cargas de projeto, os objetos de engenharia podem estar sujeitos a pequenas perturbações adicionais, não previstas no cálculo, que podem causar deformações não projetadas nos elementos do objeto (curvatura do eixo dos elementos comprimidos, flexão espacial de um plano -elemento curvo). O resultado desse impacto adicional depende da intensidade das cargas que atuam no elemento estrutural. Para cada elemento, existe um determinado valor de carga crítica, acima do qual uma pequena perturbação aleatória causa uma deformação irreversível não projetada. Este estado do objeto é perigoso.

Linha elástica de feixe - eixo do feixe após deformação.

Deflexão do feixe $y$ - movimento translacional do centro de gravidade na direção transversal da viga. A deflexão para cima é considerada positiva, para baixo- 'amplo.

Equação da linha elástica - notação matemática da dependência $y(x)$ (deflexão ao longo do comprimento da viga).

Seta de deflexão $f = (y_(\max ))$ - o valor máximo da deflexão do feixe ao longo do comprimento.

Ângulo de rotação da seção $\varphi $ - o ângulo pelo qual a seção gira durante a deformação da viga. O ângulo de rotação é considerado positivo se a seção girar no sentido anti-horário e vice-versa.

O ângulo de rotação da seção é igual ao ângulo de inclinação da linha elástica. Assim, a função de mudança do ângulo de rotação ao longo do comprimento da viga é igual à primeira derivada da função de deflexão $\varphi (x) = y"(x)$.

Assim, ao dobrar, consideramosdois tipos de movimento- deflexão e ângulo de rotação da seção.

Objetivo da definição de deslocamento

Os movimentos em sistemas de barras (particularmente em vigas) são determinados para garantir condições de rigidez (as deflexões são limitadas pelos códigos de construção).

Além disso, a definição de deslocamentos é necessária para calcular a resistência de sistemas estaticamente não salientes.

Equação diferencial de uma linha elástica (eixo curvo) de uma viga

Nesta fase, é necessário estabelecer a dependência dos deslocamentos da viga com as cargas externas, o método de fixação, as dimensões da viga e o material. Para uma solução completa do problema é necessário obter a função de deflexão $y(x)$ ao longo de todo o comprimento da viga. É bastante óbvio que os deslocamentos na viga dependem das deformações de cada secção. Anteriormente, obtivemos a dependência da curvatura da seção da viga com o momento fletor atuante nesta seção.

$\frac(1)(\rho ) = \frac(M)((EI))$.

A curvatura de uma linha é determinada por sua equação $y(x)$ como

$\frac(1)(\rho ) = \frac((y))((((\left((1 + ((\left((y") \right))^2)) \right))^ (3/2))))$ ,

onde $y"$ e $y$ - respectivamente, a primeira e a segunda derivadas da função de deflexão com a coordenada x.

Do ponto de vista prático, esta notação pode ser simplificada. Na verdade $y" = \varphi $- o ângulo de rotação da seção em estruturas reais não pode ser grande, via de regra, não superior a 1 grau= 0,017rad . Então $1 + (\left((y") \right)^2) = 1 + (0,017^2) = 1,000289 \approx 1$, ou seja, podemos assumir que $\frac(1)(\rho ) = y " = \frac(((d^2)y))((d(x^2)))$. Então nós temosequação da linha elástica do feixe(equação diferencial do eixo dobrado da viga). Esta equação foi obtida pela primeira vez por Euler.

$\frac(((d^2)y))((d(x^2))) = \frac((M(x)))((EI)).$

A dependência diferencial obtida mostra a relaçãoentre deslocamentos e forças internas em vigas. Levando em consideração a dependência diferencial entre a força transversal, o momento fletor e a carga transversal, mostraremos o conteúdo das derivadas da função de deflexão.

$y(x)$ - função de deflexão;

$y"(x) = \varphi(x)$ - função de ângulo de rotação;

$EI\cdot y"(x) = M(x)$ - função de mudança de momento fletor;

$EI\cdot y""(x) = M"(x) = Q(x)$- função de mudança de força de cisalhamento;

$EI \cdot (y^(IV))(x) = M"(x) = q(x)$- função de alterar a carga transversal.

Aula 13 (continuação). Exemplos de soluções para cálculo de deslocamentos pelo método Mohr-Vereshchagin e tarefas para solução independente

Definição de deslocamentos em vigas

Exemplo 1

Determinar o movimento de um ponto PARA vigas (ver Fig.) usando a integral de Mohr.

Solução.

1) Compomos a equação do momento fletor a partir da força externa M F .

2) Aplique no ponto PARA força unitária F = 1.

3) Escrevemos a equação do momento fletor a partir de uma força unitária.

4) Determinar deslocamentos

Exemplo 2

Determinar o movimento de um ponto PARA vigas de acordo com o método Vereshchagin.

Solução.

1) Construímos um diagrama de carga.

2) Aplicamos uma força unitária no ponto K.

3) Construímos um único diagrama.

4) Determine a deflexão

Exemplo 3

Determine os ângulos de rotação nos suportes A E EM

Solução.

Construímos diagramas a partir de uma determinada carga e de momentos únicos aplicados em seções A E EM(ver fig.). Os deslocamentos desejados são determinados usando as integrais de Mohr

,

, que são calculados de acordo com a regra de Vereshchagin.

Encontrando parâmetros do diagrama

C 1 = 2/3, C 2 = 1/3,

e então os ângulos de rotação nos suportes A E EM

Exemplo 4

Determine o ângulo de rotação da seção COM para uma determinada viga (ver figura).

Solução.

Determinando reações de suporte R A =R B ,

, , R A = R B = controle de qualidade.

Construímos diagramas do momento fletor a partir de uma determinada carga e de um único momento aplicado na seção COM, onde o ângulo de rotação é procurado. A integral de Mohr é calculada de acordo com a regra de Vereshchagin. Encontrando parâmetros do diagrama

C 2 = -C 1 = -1/4,

e ao longo deles o deslocamento necessário

Exemplo 5

Determine a deflexão na seção COM para uma determinada viga (ver figura).

Solução.

Diagrama M F(Fig. b)

Reações de apoio:

SER: , ,

, R B + R E = F, R E = 0;

AB: , R A = R EM = F; , .

Calculamos os momentos nos pontos característicos, M B = 0, M C = Fá e construa um diagrama do momento fletor de uma determinada carga.

Diagrama(Fig. c).

na seção COM, onde se busca a deflexão, aplicamos uma força unitária e construímos a partir dela uma curva do momento fletor, calculando primeiro as reações de apoio SER - , , = 2/3; , , = 1/3 e, em seguida, momentos em pontos característicos , , .

2. Determinação da deflexão desejada. Vamos usar a regra de Vereshchagin e calcular preliminarmente os parâmetros do diagrama e :

,

Deflexão da seção COM

Exemplo 6

Determine a deflexão na seção COM para uma determinada viga (ver figura).

Solução.

COM. Usando a regra de Vereshchagin, calculamos os parâmetros dos diagramas ,

e encontre a deflexão desejada

Exemplo 7

Determine a deflexão na seção COM para uma determinada viga (ver figura).

Solução.

1. Construção de diagramas de momentos fletores.

Reações de apoio:

, , R A = 2controle de qualidade,

, R A + R D = 3controle de qualidade, R D = controle de qualidade.

Construímos diagramas de momentos fletores de uma determinada carga e de uma força unitária aplicada em um ponto COM.

2. Definição de deslocamentos. Para calcular a integral de Mohr, utilizamos a fórmula de Simpson, aplicando-a sucessivamente a cada uma das três seções em que a viga está dividida.

TramaAB :

Tramasol :

TramaCOM D :

Deslocamento desejado

Exemplo 8

Determinar a deflexão da seção A e o ângulo de rotação da seção E para uma determinada viga (Fig. A).

Solução.

1. Construção de diagramas de momentos fletores.

Diagrama M F(arroz. V). Tendo determinado as reações de apoio

, , R B = 19controle de qualidade/8,

, R D = 13controle de qualidade/8, construímos diagramas da força transversal P e momento fletor M F da carga dada.

Diagrama(Fig. e). na seção A, onde a deflexão é buscada, aplicamos uma força unitária e construímos um diagrama do momento fletor a partir dela.

Diagrama(Fig. e). Este diagrama é construído a partir de um único momento aplicado na seção E, onde o ângulo de rotação é procurado.

2. Definição de deslocamentos. Deflexão da seção A encontramos usando a regra de Vereshchagin. Diagrama M F nas parcelas sol E CD nós o dividimos em partes simples (Fig. d). Os cálculos necessários são apresentados em forma de tabela.

	-controle de qualidade 3 /6	2controle de qualidade 3 /3	-controle de qualidade 3 /2				-controle de qualidade 3 /2
C eu
		-controle de qualidade 4 /2	5controle de qualidade 4 /12	-controle de qualidade 4 /6	-controle de qualidade 4 /12			-controle de qualidade 4 /24

Nós temos .

O sinal de menos no resultado significa que o ponto A não se move para baixo, como a força unitária foi direcionada, mas para cima.

Ângulo de rotação da seção E encontramos de duas maneiras: pela regra de Vereshchagin e pela fórmula de Simpson.

De acordo com a regra de Vereshchagin, multiplicando diagramas M F e, por analogia com o anterior, obtemos

,

Para encontrar o ângulo de rotação usando a fórmula de Simpson, calculamos os momentos fletores preliminares no meio das seções:

O deslocamento desejado, aumentado em EI x uma vez,

Exemplo 9

Determine em que valor do coeficiente k deflexão da seção COM será igual a zero. Com o valor encontrado k construa um diagrama do momento fletor e represente uma visão aproximada da linha elástica da viga (ver Fig.).

Solução.

Construímos diagramas de momentos fletores a partir de uma determinada carga e de uma força unitária aplicada na seção COM, onde a deflexão é buscada.

De acordo com a tarefa V C= 0. Por outro lado, . Integrante na trama AB calculado pela fórmula de Simpson, e no gráfico sol de acordo com a regra de Vereshchagin.

Encontramos com antecedência

Movendo uma seção COM ,

Daqui , .

Com o valor encontrado k determine o valor da reação de apoio no ponto A: , , , com base no qual encontramos a posição do ponto extremo no diagrama M de acordo com a condição .

De acordo com os valores do momento nos pontos característicos

construímos um diagrama do momento fletor (Fig. d).

Exemplo 10

EM viga cantilever mostrada na figura.

Solução.

M da ação de uma força externa concentrada F: M EM = 0, M A = –F 2eu(o enredo é linear).

De acordo com a condição do problema, é necessário determinar o deslocamento vertical no EM pontos EM viga cantilever, então construímos um diagrama unitário a partir da ação de uma força unitária vertical F eu = 1 aplicado no ponto EM.

Considerando que a viga cantilever é composta por duas seções com diferentes rigidezes à flexão, diagramas e M multiplicamos usando a regra de Vereshchagin para seções separadamente. Parcelas M e a primeira seção multiplicamos pela fórmula , e os diagramas da segunda seção - como a área do diagrama M segunda seção FL 2 / 2 para ordenar 2 eu/3 diagramas da segunda seção sob o centro de gravidade do diagrama triangular M da mesma área.

Neste caso, a fórmula dá:

Exemplo 11.

Determine o movimento vertical de um ponto EM viga de vão único mostrada na figura. A viga tem uma rigidez à flexão constante ao longo de todo o seu comprimento EI.

Solução.

Construímos um diagrama de momentos fletores M da ação de uma carga externa distribuída: M A = 0; M D = 0;

Aplique no ponto EM força vertical unitária F eu = 1 e construa um diagrama (ver Fig.):

onde R a = 2/3;

Onde R d = 1/3, então M a = 0; M d = 0; .

Dividimos a viga considerada em 3 seções. A multiplicação dos diagramas da 1ª e 3ª seções não causa dificuldades, pois multiplicamos os diagramas triangulares. Para aplicar a regra de Vereshchagin à 2ª seção, dividimos o diagrama M 2ª seção em dois componentes do diagrama: retangular e parabólico com área (ver tabela).

Centro de gravidade da parte parabólica do diagrama M fica no meio da seção 2.

Assim a fórmula ao usar a regra Vereshchagin dá:

Exemplo 12.

Determine a deflexão máxima em uma viga de dois apoios carregada com uma carga de intensidade uniformemente distribuída q(ver fig.).

Solução.

Encontrando momentos fletores:

De uma determinada carga

A partir de uma força unitária aplicada em um ponto COM, onde a deflexão é buscada.

Calculamos a deflexão máxima desejada que ocorre na seção média da viga

Exemplo 13

Determinar a deflexão em um ponto EM feixe mostrado na figura.

Solução.

Construímos diagramas de momentos fletores de uma determinada carga e uma força unitária aplicada em um ponto EM. Para multiplicar esses diagramas é necessário dividir a viga em três seções, pois um único diagrama é limitado por três retas diferentes.

A operação de multiplicação de diagramas na segunda e terceira seções é realizada de forma simples. Surgem dificuldades no cálculo da área e das coordenadas do centro de gravidade do diagrama principal da primeira seção. Nesses casos, a construção de diagramas em camadas simplifica muito a solução do problema. Neste caso, é conveniente tomar uma das seções condicionalmente como fixa e construir diagramas de cada uma das cargas, aproximando-se desta seção pela direita e pela esquerda. É aconselhável considerar a seção no local da fratura no diagrama de cargas unitárias como fixa.

Diagrama estratificado, em que a seção é considerada fixa EM, mostrado na figura. Tendo calculado as áreas das partes constituintes do diagrama estratificado e as ordenadas correspondentes de um único diagrama, obtemos

Exemplo 14

Determine os deslocamentos nos pontos 1 e 2 da viga (Fig. a).

Solução.

Aqui estão os diagramas M E P para uma viga em A=2m; q=10 kN/m; COM=1,5A; M=0,5controle de qualidade 2 ; R=0,8controle de qualidade; M 0 =M; =200MPa (Fig. b E V).

Determinemos o deslocamento vertical do centro da seção, onde é aplicado o momento concentrado. Para isso, considere uma viga sob a ação apenas de uma força concentrada aplicada no ponto 1 perpendicular ao eixo da viga (na direção do deslocamento desejado) (Fig. d).

Vamos calcular as reações de apoio compilando três equações de equilíbrio

Exame

Reações encontradas corretamente.

Para construir um diagrama, considere três seções (Fig. d).

1 parcela

2 enredo

3 enredo

Com base nesses dados, construímos um diagrama (Fig. e) da lateral das fibras esticadas.

Determinamos pela fórmula de Mohr usando a regra de Vereshchagin. Neste caso, o diagrama curvilíneo, na zona entre os apoios, pode ser representado como a soma de três diagramas. Seta

O sinal menos significa que o ponto 1 sobe (na direção oposta).

Vamos definir o deslocamento vertical do ponto 2, onde é aplicada a força concentrada. Para isso, considere uma viga sob a ação apenas de uma força concentrada aplicada no ponto 2 perpendicular ao eixo da viga (na direção do deslocamento desejado) (Fig. e).

O diagrama é construído de forma semelhante ao anterior.

O ponto 2 sobe.

Vamos determinar o ângulo de rotação da seção onde o momento concentrado é aplicado.

A viga é carregada com uma carga uniformemente distribuída. A rigidez à flexão da seção transversal da viga é constante e igual a. A deflexão no meio do vão da viga é igual a ....

A viga cantilever na seção AB é carregada com uma carga uniformemente distribuída de intensidade q. A rigidez à flexão da seção transversal é constante ao longo de todo o comprimento. Ângulo de rotação da seção B, é igual em valor absoluto a...

Vamos construir um diagrama de momentos fletores de uma determinada carga (). A seguir construiremos um diagrama a partir de um único momento () aplicado na seção EM. Vamos determinar o ângulo de rotação da seção EM. Para fazer isso, multiplicamos os diagramas de uma determinada carga e de um único momento. No lado esquerdo, o resultado da multiplicação é zero. Na seção direita, ambos os diagramas são lineares. Se tomarmos a área de uma única parcela, obtemos: . O sinal menos indica que a seção EM gira na direção oposta à direção do momento unitário. Ao multiplicar diagramas, você pode pegar a área do diagrama de carga e ordenar pela unidade (conforme mostrado na figura).

Tarefa 25

Com esta opção de carregamento, em uma barra de seção transversal retangular (não quadrada), uma combinação de ... ..

Com tensão excêntrica (compressão) da haste na seção transversal, ....

Força longitudinal e momento fletor

Em uma seção transversal retangular arbitrária da haste, os fatores de força internos atuam: N- força longitudinal; e − momentos fletores. Portanto, existe uma combinação...

Alongamento e flexão oblíqua pura

Os momentos fletores podem ser adicionados geometricamente. O plano de ação do momento fletor total não coincidirá com nenhum dos planos centrais principais da barra. Portanto, há uma combinação de tensão e flexão oblíqua pura.

A figura mostra o diagrama de carregamento de uma barra redonda. Em qualquer seção arbitrária da haste na seção II, a combinação ...

Flexão transversal plana com torção e tensão

Cortamos a haste na segunda seção com seção transversal e descartamos a parte esquerda.

A partir das condições de equilíbrio da parte restante, encontramos

Para uma seção circular (), a flexão oblíqua pode ser reduzida a uma flexão plana se os momentos fletores e as forças cortantes e forem somados geometricamente.Portanto, na segunda seção temos uma flexão transversal plana com torção e tensão.

Os tipos de deformações das seções da haste são ...

I - flexão com torção, II- curvatura plana

As figuras mostram as partes cortadas da haste. As forças de cisalhamento não são mostradas convencionalmente. então a curva oblíqua no site II pode ser reduzido a um momento fletor plano . Localização ativada EU a força causa deformação - flexão plana com torção. Localização ativada II- curva plana.

Tarefa 26

Com um determinado carregamento da barra (a força está no plano), a tensão normal máxima ocorre no ponto....

Uma barra retangular com dimensões é carregada conforme mostrado no diagrama. Força, dimensões são fornecidas. A força está no avião. O valor da tensão normal em um ponto é….

(porque

após a substituição)

A tensão de tração normal máxima em uma haste retangular com dimensões e é igual a. Comprimento da haste eu definir. O significado da força Fé igual a.…

A tensão de tração normal máxima ocorre no ponto EM localizado em uma seção infinitamente próxima ao encaixe.

Considerando que na seção dada e no ponto EM eles causam alongamento, obtemos Portanto, o valor da força

São apresentados gráficos de distribuição de tensões normais na seção transversal da haste. A flexão oblíqua sob uma determinada carga da haste corresponde ao diagrama…

Pela representação física do processo de flexão, fica claro que as camadas superiores da haste serão esticadas e as inferiores comprimidas. Além disso, na flexão oblíqua, a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção transversal. Portanto, a opção 3 está correta.

Tarefa 27

A resistência da coluna quando o ponto de aplicação da força compressiva é afastado do centro de gravidade da seção…….

Diminui

A linha de ação da força compressiva passa pelo ponto PARA o contorno do núcleo da seção. A linha neutra ocupa a posição......

(porque )

A haste está em compressão excêntrica. Em pontos perigosos da seção transversal, temos ______________ estado de tensão.

Linear

Com a compressão excêntrica, dois fatores de força internos surgem na seção transversal da haste: uma força longitudinal e um momento fletor. Portanto, as tensões em qualquer ponto da seção transversal serão a soma das tensões normais de compressão axial e das tensões normais de flexão pura, geralmente oblíqua. Consequentemente, em pontos perigosos da secção temos um estado de tensão linear.

Tarefa 28

O esquema de carregamento de uma barra com seção transversal circular é mostrado na figura. Ponto perigoso...

Uma haste redonda com diâmetro e altura é carregada por duas forças no plano. O valor da tensão equivalente no ponto, de acordo com a teoria das grandes tensões de cisalhamento, é ... ... (Não leve em consideração as tensões de cisalhamento nos cálculos)

A haste de seção redonda com diâmetro é feita de material plástico. O valor da força. A tensão equivalente no ponto perigoso da haste, de acordo com a teoria das maiores tensões de cisalhamento, é...

52 MPa

A seção perigosa sob determinado carregamento da haste estará na terminação. Negligenciamos a influência das forças transversais. Os valores dos momentos de evitação e do torque na seção perigosa são mostrados na figura.

Usando a teoria das maiores tensões de cisalhamento, encontramos a tensão equivalente em um ponto perigoso: ou Depois de substituir os valores dados e obtemos

A haste atua nas deformações de flexão e torção. O estado de tensão que ocorre em um ponto perigoso na seção transversal de uma haste redonda é chamado ...

plano

Se o volume elementar for girado em torno da normal à superfície cilíndrica externa, então sua posição pode ser encontrada na qual as tensões tangenciais em suas faces serão iguais a zero e as tensões normais (tensões principais) não serão iguais a zero. Como a tensão normal ao longo da face superior (uma das tensões principais) é zero, o estado de tensão é plano.

Haste quebrada de seção redonda com diâmetro d carregado de poder F. Os comprimentos das seções são iguais e iguais. O valor da tensão máxima equivalente na barra, de acordo com a teoria das maiores tensões de cisalhamento, é ...

A seção perigosa na haste está infinitamente próxima da terminação. Um momento fletor e um torque atuam nesta seção. Com base na teoria das tensões de cisalhamento máximas, a tensão equivalente em um ponto perigoso de uma seção circular é determinada pela fórmula onde Portanto,

Uma haste retangular sofre deformações de flexão em dois planos e torção. O estado de estresse que ocorre em pontos perigosos será...

Linear e plano

Ao avaliar o estado de tensões em pontos perigosos de uma seção retangular, quando se trabalha nas deformações de flexão em dois planos e torção, são verificados três pontos: angular, no meio dos lados longos e no meio dos lados curtos. Apenas tensões normais surgem no ponto de canto. Portanto, o estado de tensão será linear. Em pontos localizados no meio dos lados longo e curto, juntamente com tensões normais. aparecem tangentes. Portanto, nestes pontos, o estado de tensão será plano.

Tarefa 29

A rigidez à flexão da seção transversal ao longo do comprimento da viga é constante. O tamanho está definido. O valor da força na qual a deflexão da seção final EM será o mesmo...

Uma barra curva com raio é carregada com uma força. A rigidez à flexão da seção transversal é dada. Movimento vertical da seção EMé igual a….

(porque )

Tarefa. Para uma viga, determine os deslocamentos em t. A, EM, COM, D, selecione uma seção de dois canais da condição de resistência, verifique a rigidez, mostre o eixo curvo da viga. Material - aço St3, movimento permitido.

1. Vamos definir reações de apoio.

Aplicamos o valor das reações de suporte a esquema de cálculo

2. Edifício diagrama de momentos de uma determinada carga - diagrama de carga M F .

Porque sob uma carga uniformemente distribuída, a linha é uma curva parabólica, então é necessário um ponto adicional para desenhá-la - colocamos T. PARA no meio da carga.

Construindo um diagrama M F da carga dada.

3. Selecionaremos seção de dois canais:

Nós selecionamos 2 canais nº 33 cm 3.

Vamos checar força seção selecionada.

A durabilidade é garantida.

4. Definir deslocamento em determinados pontos. Removemos toda a carga da viga. Para determinar movimentos lineares(deflexões) aplicam-se força unitária ( F=1 ) e para determinar canto movimentos - único momento .

pontos A E EM são apoios, e de acordo com as condições de contorno em apoios articulados a deflexão não é possível, mas o movimento angular está presente. Em pontos COM E D haverá movimentos lineares (deflexões) e angulares (ângulos de rotação).

Vamos definir deslocamento angular V T. A . Nós aplicamos em A único momento(arroz. b ). Construímos ep, determinamos nele as ordenadas necessárias. (arroz. V ).

Ordenas Ep. M F– todos positivos, ep. - Mesmo.

Vamos definir deslocamentos Método de Mohr.

Vamos definir momento de inércia eu x para seção.

Módulos de elasticidade E para St3 E= 2 10 5 MPa = 2 10 8 kPa. Então:

Ângulo de rotação φA acabou positivo, significa que o ângulo de rotação da seção coincide com a direção do momento unitário.

Vamos definir ângulo de rotaçãoφV. ( arroz .d,d)

Agora vamos definir os deslocamentos em t. COM (linear e angular). Aplicamos uma única força (Fig. e ), determine as reações de apoio e construa ep. de uma única força (Fig. e ).

Considerar arroz. e.

Estamos construindo um ep. :

Vamos definir deflexão em t. COM.

Para determinar o ângulo de rotação em t. COM Apliquemos um único momento (Fig. h ), determine as reações de apoio e construa um diagrama de momentos únicos (Fig. E ).

(sinal "— " diz que reação RA direcionado para trás. Mostramos isso no esquema de cálculo - Fig. h ).

Estamos construindo um ep. ,

Porque o eu=1 aplicado incl. COM vão da viga, então o momento em t. COM definir tanto da esquerda quanto da direita.

Vamos definir deflexão no ponto C.

(o sinal "-" indica que ângulo de rotação é direcionado oposto à direção de um único momento)

Da mesma forma, definimos deslocamentos lineares e angulares nos chamados. D .

Vamos definir no D . (arroz. Para ).

Estamos construindo um ep. (arroz. eu ) :

Vamos definir φD (arroz. eu ):

Estamos construindo um ep. - (arroz. n ).

Vamos definir ângulo de rotação:

(o ângulo de rotação é direcionado na direção oposta ao momento unitário).

Agora vamos mostrar eixo curvo da viga (linha elástica), que se tornou um eixo reto sob a ação da carga. Para fazer isso, desenhe inicial a posição do eixo e na escala deixamos de lado os deslocamentos calculados (Fig. Ó ).

Vamos checar rigidez vigas onde f- deflexão máxima.

Deflexão máxima - a rigidez não é garantida.

Que. neste problema, garantimos que as seções selecionadas a partir da condição de resistência (neste caso, a seção de dois canais) nem sempre satisfazem as condições de rigidez.

Tarefa. Determine o deslocamento horizontal da extremidade livre da estrutura pela integral de Mohr

1. Componha uma expressão momento fletor M F de atual cargas.

2. Retiramos todas as cargas da viga, e no ponto onde é necessário determinar o deslocamento, aplicamos uma força unitária (se determinarmos o deslocamento linear) ou um único momento (se determinarmos o deslocamento angular) no direção do deslocamento necessário. No nosso problema, aplicamos uma força unitária horizontal. Escreva uma expressão para o momento fletor.

Nós definimos momentos de uma única carga F=1

Calculando movimento horizontal:

O movimento é positivo. Isso significa que corresponde à direção de uma força unitária.

Integral, fórmula de Mohr. Em uma viga curva, determine o deslocamento horizontal de um ponto A. A rigidez em todo o comprimento da viga é constante.

O eixo da viga é delineado por parábola, cuja equação é:

Considerando que o feixe sem impulso e o suficiente suavemente inclinado (f/v = 3/15 = 0,2), negligenciamos a influência das forças longitudinais e transversais. Portanto, para determinar o deslocamento, usamos a fórmula:

Porque rigidez EJ é constante, Que:

Componha uma expressão M1 para o estado real da viga ( 1º estado) (arroz. A):

Removemos todas as cargas da viga e aplicamos no ponto A força unitária horizontal ( 2º estado) (arroz. b). Fazemos uma expressão para:

Calculamos o desejado movendo-se para um ponto A :

Sinal menos indica que ponto móvel A oposto à direção da força unitária, ou seja este ponto está se movendo horizontalmente Para a esquerda.

Integral, fórmula de Mohr. Determine o ângulo de rotação do suporte articulado D para um pórtico com certas reações de apoio, a rigidez dos elementos é indicada no diagrama de projeto.

Componha uma expressão M1, usando o diagrama do sistema no 1º estado. M1é a função do momento fletor interno na seção de força para uma determinada viga ou pórtico da ação de determinadas cargas do 1º estado.

Liberamos o quadro das cargas, aplicamos momento único no apoio D, obtemos o sistema segundo estado.

Fazemos expressões - esta é uma função do momento fletor interno na seção de potência para o sistema auxiliar do 2º estado, carregado esforço único:Encontramos o deslocamento desejado - o ângulo de rotação ao longo fórmula (integral):
O valor do ângulo de rotação é positivo, o que significa que a direção corresponde à direção selecionada do momento único.

Integral (fórmula de Mohr). Para um quadro, defina o deslocamento horizontal de um ponto C. A rigidez dos elementos é mostrada na figura. Chamamos o sistema dado de sistema primeiro estados. . Compomos para cada elemento expressão M₁, usando esquema do 1º estado do sistema:

Removemos todas as cargas do quadro e obtemos 2º condição do quadro, aplicando na direção do deslocamento desejado força unitária horizontal. Compomos uma expressão de momentos únicos: . Calcular por fórmula (integral) deslocamento desejado :

Então obtemos:

Sinal menos indica que a direção do movimento é oposta à direção da força unitária.

Para uma viga de aço, selecione as dimensões da seção transversal, composta por duas vigas I, com base na condição de resistência para tensões normais, construa diagramas de deslocamentos lineares e angulares. Dado:

O cálculo das reações de apoio e os valores do diagrama de carga (diagrama de momentos fletores) não serão fornecidos, mostraremos sem cálculos. Então, diagrama de carga de momentos:

Ao mesmo tempo, no diagrama M, os valores dos momentos fletores não possuem sinais, as fibras que experimentam compressão. Como pode ser visto no diagrama, perigoso seção: M C \u003d M máx \u003d 86,7 kNm.

Vamos escolher uma seção de duas vigas I. De condições de força:

De acordo com escolher Viga I nº 27a, qual deles I x 1 \u003d 5500 cm 3, h \u003d 27 cm. valor atual momento axial de resistência de toda a seção W x \u003d 2I x 1 / (h / 2) \u003d 2 5500 / (27/2) \u003d 815 cm 3.

Calcular movimentos lineares e angulares seção de viga método, aplicando . A escolha do número de seções necessárias para traçar diagramas de deslocamento linear e angular em uma viga depende do número de seções e da natureza do diagrama de momento fletor. Na viga em consideração, estas incluem seções A, B, C, D(pertence a fronteiras seções de potência) e seções 1, 2, 3– no meio dos trechos (a determinação dos deslocamentos nesses trechos aumenta precisão de plotagem).

Seção a. Como se sabe, o deslocamento linear de uma secção num suporte articulado simA=0.

Calcular deslocamento angular θ a carregamos o sistema auxiliar com um único par de forças - um momento igual a um
Equações de equilíbrio

Resolvendo as equações de equilíbrio, obtemos:

Determine os valores dos momentos nas seções características

ANÚNCIO do enredo:

EM meio da seção AB significado momento fletor do diagrama de carga M Fé igual a f=73,3 1- 80 1 2 /2=33,3kNm

Nós definimos deslocamento angular da seção A Por :

O deslocamento angular da seção A é direcionado no sentido anti-horário(oposto à ação de um único momento).

Seção B

Aplicamos na seção B força igual a um, para determinar linear deslocamentos e construir um diagrama único dos momentos

Equações de equilíbrio:

Da solução das equações de equilíbrio segue-se:

Determinamos os valores dos momentos em seções características:

Nós definimos movimento linear y V.

Movimento linear e V =3,65×10 -3 m enviado acima(oposto à ação de uma força unitária).

Para determinar o deslocamento angular na seção B, aplicamos único momento e construir um único diagrama de momentos.

Como resultado da "multiplicação" de um único diagrama e um diagrama de carga, obtemos movimento angular:

sentido anti-horário.

Seção C.

Movimento linear:

Movimento angular:

Movimento angular direcionado sentido horário.

Seção D. Movimento linear nesta secção é igual a zero.

Movimento angular:

Movimento angular direcionado sentido horário.

Seções adicionais:

Seção 1 (z=0,5ℓ)

Movimento angular:

Movimento angular direcionado sentido anti-horário.

Da mesma forma, construímos diagramas únicos para a seção 2 (z=1,5ℓ) e seção 3 (z=2,5ℓ), encontramos deslocamentos.

Aplicando a regra dos sinais para deslocamentos lineares para cima - mais, para baixo - menos, e para deslocamentos angulares sentido anti-horário é positivo, sentido horário é negativo, prédio diagramas de deslocamentos lineares e angulares y e θ.

Para uma viga, determine a deflexão máxima e o ângulo máximo de rotação.

Devido à simetria da carga reações de apoio A=B=ql/2

A equação diferencial do eixo curvo da viga:

Integramos esta equação duas vezes. Após a primeira integração, obtemos a equação dos ângulos de rotação:

(A)

Após a segunda integração, obtemos a equação de deflexão:

(b)

Precisa definir um valor constantes de integração - C e D. Vamos defini-los das condições de contorno. Nas seções A e B, a viga tem suportes articulados, Significa as deflexões neles são iguais a zero. Portanto, temos condições de fronteira:

1) z = 0, e = 0.

2) z = eu, e = 0.

Nós usamos primeira condição de contorno: z = 0, sim = 0.

Então de (b) Nós temos:

A segunda condição de contorno em z = eu dá:

, onde:

Finalmente conseguimos.

Equação do ângulo de rotação:

Equação de deflexão:

Quando o ângulo de rotação é zero, e a deflexão será máxima:

Sinal menos diz que com a direção positiva aceita do eixo para cima, a deflexão será para baixo.

O ângulo de rotação tem o maior valor nas seções de referência, por exemplo, quando

O sinal negativo indica que o ângulo de rotação em z = 0 dirigido sentido horário.

Para o quadro, é necessário determinar o ângulo de rotação da seção 1 e movimento horizontal da seção 2 .

Dado: L=8 m, F=2 kN, q=1 kN/m, h=6 m, momentos de inércia I 1 =I, I 2 =2I

1. Determine as reações de apoio e construa o diagrama de carga:

a) Determine as reações de apoio:

A verificação foi aprovada. As reações verticais estão definidas corretamente. Para determinar reações horizontais, você precisa usar dobradiça Propriedade, ou seja, escrever a equação dos momentos relativos à dobradiça de todas as forças, localizado em um lado do quadro.

O teste passou, o que significa as reações horizontais são definidas corretamente.

b) Construímos um diagrama de carga - um diagrama de uma determinada carga. Vamos construir um diagrama de carga em fibras esticadas.

Dividimos o quadro em seções. Em cada trecho, delineamos trechos no início e no final do trecho, e nos trechos com carga distribuída, um trecho adicional no meio. Em cada seção, determinamos o valor do momento fletor interno de acordo com a regra: o momento fletor é igual à soma algébrica dos momentos de todas as forças externas localizadas em um lado da seção, em relação ao centro desta seção. Regra de sinalização para momento fletor: Um momento é considerado positivo se esticar as fibras inferiores.

Estamos construindo diagrama de carga.

2. Determine o ângulo de rotação da seção (1)

a) Para determinar o ângulo de rotação da seção especificada, você precisa esboce o pórtico original sem carga externa e aplique um único momento à seção dada.

Primeiro, definimos as reações:

O sinal “-” significa que a seção é girada contra a direção de um único momento, ou seja, sentido horário.

3. Determine o deslocamento horizontal da seção (2).

a) Para determinar o deslocamento horizontal na seção indicada, é necessário esboçar o pórtico original sem carga externa e aplicar uma força unitária na direção horizontal à seção dada.

Defina reações:

Estamos construindo enredo único de momentos

.

Para uma viga, determine os deslocamentos lineares e angulares nos pontos A, B, C, após selecionar a seção da viga I na condição de resistência.

Dado:a=2m,b=4m, s=3m,F=20kN, M=18kNm,q=6 kN/m, σadministrador=160 MPa, E=210 5MPa

1) Desenhamos um diagrama da viga, determinamos as reações de apoio. Em uma rescisão definitiva, há 3 reações — vertical e horizontal, e ponto de ancoragem. Como não existem cargas horizontais, a reação correspondente é zero. Para encontrar as reações no ponto E, compomos equações de equilíbrio.

∑F y = 0 q7-F+R E =0

R E =-q7+F=-67+20=-22kN(sinal indica que

Vamos encontrar momento de ancoragem em fixação rígida, para o qual resolvemos a equação dos momentos em relação a qualquer ponto escolhido.

∑M C: -M E -R E 9-F6-q77/2-M=0

M E =-18-229+649/2=-18-198+147=-69kNm(sinal indica que a reação é direcionada na direção oposta, mostramos isso no diagrama)

2) Construímos o diagrama de carga M F - o diagrama de momentos de uma determinada carga.

Para construir diagramas de momentos, encontramos momentos em pontos característicos. EM ponto B determinar momentos tanto da direita quanto da esquerda, já que um momento é aplicado neste ponto.

Construir um diagrama de momento na linha de ação de uma carga distribuída (seções AB e BC) nós precisamos pontos adicionais para traçar a curva. Vamos definir os momentos No meio estas áreas. Estes são os momentos nos pontos médios das seções AB e BC 15,34kNm e 23,25kNm. Estamos construindo diagrama de carga.

3) Para determinar os deslocamentos lineares e angulares em um ponto, é necessário aplicar neste ponto, no primeiro caso, força unitária (F=1) e plotar os momentos, no segundo caso, momento único (M=1) e trace o diagrama de momento. Construímos diagramas a partir de cargas unitárias para cada ponto - A, B e C.

4) Para encontrar os deslocamentos, usamos a fórmula de Simpson.

Onde eu eu - comprimento da seção;

E eu eu- rigidez da viga no local;

M F– valores dos momentos fletores do diagrama de carga, respectivamente no início, no meio e no final da seção;

– valores dos momentos fletores de um único diagrama, respectivamente no início, meio e final da seção.

Se as ordenadas dos diagramas estiverem localizadas em um lado do eixo do feixe, então o sinal “+” é levado em consideração na multiplicação, se for diferente, então o sinal “-”.

Se o resultado for com o sinal “-”, então o movimento desejado na direção não coincide com a direção do fator de força unitário correspondente.

Considerar aplicação da fórmula de Simpson no exemplo de determinação de deslocamentos no ponto A.

Vamos definir deflexão, multiplicando o diagrama de carga pelo diagrama de uma força unitária.

A deflexão acabou com sinal "-" significa o deslocamento necessário a direção não coincide com a direção da força unitária (direcionada para cima).

Vamos definir ângulo de rotação, multiplicando o diagrama de carga pelo diagrama de um único momento.

O ângulo de rotação é com sinal "-" significa que o movimento desejado na direção não coincide com a direção do momento único correspondente (direcionado no sentido anti-horário).

5) Para determinar os valores específicos de deslocamento, é necessário selecionar uma seção. Selecionamos a seção da viga I

Onde Mmáx.- Esse momento máximo no diagrama de momento de carga

Nós selecionamos por Viga I nº 30 com W x \u003d 472 cm 3 e I x \u003d 7080 cm 4

6) Determinamos os deslocamentos em pontos, revelador rigidez da seção: E - módulo de elasticidade longitudinal do material ou módulo (2 10 5 MPa),J x - momento axial de inércia da seção

Deflexão no ponto A (para cima)

Ângulo de rotação (sentido anti-horário)

Vamos construir primeiro diagrama de carga da carga dada. Diagrama de área de carga tem uma forma curvilínea e é igual a:

Agora vamos retirar a carga da viga e aplicá-la no ponto onde é necessário determinar o deslocamento força unitária para determinar a deflexão E momento único para determinar o ângulo de rotação. Estamos construindo diagramas de cargas individuais.

Centro de gravidade do lote de carga está à distância um quarto(ver diagrama)

Ordenadas de diagramas unitários opostos ao centro de gravidade do diagrama de carga:

Administrador em .