trigonométrico funções periódico, ou seja, repetido após um determinado período. Como resultado, basta estudar a função neste intervalo e estender as propriedades descobertas para todos os outros períodos.

Instrução

1. Se você recebe uma expressão primitiva na qual há apenas uma função trigonométrica (sen, cos, tg, ctg, sec, cosec), e o ângulo dentro da função não é multiplicado por nenhum número, e ele próprio não é elevado a nenhum poder - use a definição. Para expressões contendo sin, cos, sec, cosec, defina corajosamente o período como 2P, e se houver tg, ctg na equação, então P. Digamos, para a função y \u003d 2 sinx + 5, o período será 2P .

2. Se o ângulo x sob o sinal de uma função trigonométrica for multiplicado por algum número, para encontrar o período dessa função, divida o período típico por esse número. Digamos que você receba uma função y = sin 5x. O período típico para um seno é 2P, dividindo-o por 5, você obtém 2P / 5 - este é o período desejado dessa expressão.

3. Para encontrar o período de uma função trigonométrica elevada a uma potência, avalie a uniformidade da potência. Para um grau par, reduza pela metade o período da amostra. Digamos, se você receber uma função y \u003d 3 cos ^ 2x, o período típico 2P diminuirá 2 vezes, então o período será igual a P. Observe que as funções tg, ctg são periódicas em qualquer extensão P .

4. Se você receber uma equação contendo o produto ou quociente de 2 funções trigonométricas, primeiro encontre o período para todas elas separadamente. Depois disso, encontre o número mínimo que caberia no número inteiro de ambos os períodos. Digamos que a função y=tgx*cos5x seja fornecida. Para a tangente, o período é P, para o cosseno 5x, o período é 2P/5. O número mínimo que pode caber nesses dois períodos é 2P, então o período desejado é 2P.

5. Se você achar difícil fazer da forma proposta ou duvidar do resultado, tente fazer por definição. Tome T como o período da função, é maior que zero. Substitua a expressão (x + T) na equação em vez de x e resolva a igualdade resultante como se T fosse um parâmetro ou um número. Como resultado, você encontrará o valor da função trigonométrica e poderá escolher o menor período. Digamos que, como resultado da facilitação, você obtém a identidade sen (T / 2) \u003d 0. O valor mínimo de T no qual ela é executada é 2P, e este será o resultado da tarefa.

Uma função periódica é uma função que repete seus valores após algum período diferente de zero. O período de uma função é um número cuja adição ao argumento da função não altera o valor da função.

Você vai precisar

• Conhecimento de matemática elementar e os primórdios da pesquisa.

Instrução

1. Vamos denotar o período da função f(x) pelo número K. Nossa tarefa é encontrar esse valor de K. Para fazer isso, imagine que a função f(x), usando a definição de uma função periódica, equacione f (x+K)=f(x).

2. Resolvemos a equação resultante para a incógnita K, como se x fosse uma constante. Dependendo do valor de K, haverá várias opções.

3. Se K>0, então este é o período da sua função. Se K=0, então a função f(x) não é periódica. Se a solução da equação f(x+K)=f(x) não existir para qualquer K diferente de zero, essa função é chamada aperiódica e também não tem período.

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Observação!
Todas as funções trigonométricas são periódicas e todas as funções polinomiais com grau maior que 2 são aperiódicas.

Conselho util
O período de uma função que consiste em 2 funções periódicas é o mínimo múltiplo comum dos períodos dessas funções.

Equações trigonométricas são equações que contêm funções trigonométricas de um argumento desconhecido (por exemplo: 5sinx-3cosx =7). Para aprender a resolvê-los, você precisa conhecer alguns métodos para isso.

Instrução

1. A solução de tais equações consiste em 2 etapas: a primeira é a reforma da equação para adquirir sua forma mais simples. As equações trigonométricas mais simples são chamadas de: Sinx=a; cosx = a etc.

2. A segunda é a solução da equação trigonométrica mais simples obtida. Existem maneiras básicas de resolver equações desse tipo: Resolvendo de forma algébrica. Este método é famoso na escola, no curso de álgebra. É também chamado de método de substituir uma variável e substituir. Aplicando as fórmulas de redução, transformamos, fazemos uma substituição, após o que encontramos as raízes.

3. Decomposição da equação em fatores. Primeiro, transferimos todos os termos para a esquerda e decompomos em fatores.

4. Trazendo a equação para uma homogênea. Equações homogêneas são chamadas de equações se todos os membros são do mesmo grau e seno, cosseno do mesmo ângulo.Para resolvê-lo, você deve: primeiro transferir todos os seus membros do lado direito para o esquerdo; mova todos os fatores comuns para fora dos colchetes; igualar fatores e colchetes a zero; parênteses equacionados dão uma equação homogênea de menor grau, que deve ser dividida por cos (ou sin) em maior grau; resolva a equação algébrica resultante para tan.

5. A próxima maneira é ir para o meio canto. Digamos, resolva a equação: 3 sen x - 5 cos x \u003d 7. Vamos passar para o meio ângulo: 6 sen (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x/2) + 5 sen? (x/2) = 7sen? (x/2) + 7 cos? (x/ 2) , após o que reduzimos todos os termos a uma parte (caso contrário, à direita) e resolvemos a equação.

6. Entrada auxiliar de canto. Quando substituímos o valor inteiro cos(a) ou sin(a). O sinal "a" é um ângulo auxiliar.

7. Uma maneira de reformatar um produto em uma soma. Aqui você precisa aplicar as fórmulas apropriadas. Digamos que dado: 2 sen x sen 3x = cos 4x. Resolvemos convertendo o lado esquerdo em uma soma, ou seja: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p/16 + pk/8.

8. A forma final, chamada de substituição multifuncional. Transformamos a expressão e fazemos uma substituição, digamos Cos(x/2)=u, após o que resolvemos a equação com o parâmetro u. Ao adquirir o total, traduzimos o valor no contrário.

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Se considerarmos pontos em um círculo, então os pontos x, x + 2π, x + 4π, etc. combinar uns com os outros. Então a trigonométrica funções em linha reta periodicamente repetir seu significado. Se o período é famoso funções, é permitido construir uma função neste período e repeti-la em outros.

Instrução

1. O período é um número T tal que f(x) = f(x+T). Para encontrar o período, resolva a equação correspondente, substituindo x e x + T como argumento. Neste caso, os períodos conhecidos para funções são usados. Para as funções seno e cosseno, o período é 2π, e para a tangente e cotangente, é π.

2. Seja a função f(x) = sin^2(10x) dada. Considere a expressão sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Use a fórmula para reduzir o grau: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Então obtenha 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) ou cos 20x = cos (20x+20T). Sabendo que o período do cosseno é 2π, 20T = 2π. Assim, T = π/10. T é o período mínimo correto, e a função será repetida após 2T, e após 3T, e na outra direção ao longo do eixo: -T, -2T, etc.

Conselho util
Use fórmulas para diminuir o grau de uma função. Se você estiver mais familiarizado com os períodos de algumas funções, tente reduzir a função existente às conhecidas.

Encontrar uma função para par e ímpar ajuda a construir um gráfico da função e compreender a natureza de seu comportamento. Para esta pesquisa, você precisa comparar a função dada escrita para o argumento “x” e para o argumento “-x”.

Instrução

1. Escreva a função que deseja explorar como y=y(x).

2. Substitua o argumento da função por "-x". Substitua este argumento em uma expressão funcional.

3. Simplifique a expressão.

4. Assim, você tem a mesma função escrita para os argumentos "x" e "-x". Observe estas duas entradas. Se y(-x)=y(x), então esta é uma função par. Se y(-x)=-y(x), então esta é uma função ímpar. Se for impossível digamos sobre a função que y (-x)=y(x) ou y(-x)=-y(x), então, pela propriedade da paridade, esta é uma função de forma universal. Ou seja, não é nem par nem ímpar.

5. Anote seus resultados. Agora você pode usá-los para traçar um gráfico de função ou em uma futura pesquisa analítica das propriedades de uma função.

6. Também é possível falar sobre funções pares e ímpares no caso em que o gráfico da função é mais bem definido. Digamos que o gráfico foi o resultado de um experimento físico. Se o gráfico de uma função é simétrico em relação ao eixo y, então y(x) é uma função par. Se o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo x, então x(y) é uma função par. x(y) é a função inversa de y(x) Se o gráfico da função é simétrico em relação à origem (0,0), então y(x) é uma função ímpar. A função inversa x(y) também será ímpar.

7. É importante lembrar que o conceito de funções pares e ímpares tem relação direta com o domínio da função. Se, digamos, uma função par ou ímpar não existe para x=5, então ela não existe para x=-5, o que é impossível dizer sobre uma função de forma geral. Ao estabelecer par e ímpar, preste atenção ao domínio da função.

8. A busca por funções pares e ímpares correlaciona-se com a localização do conjunto de valores de função. Para encontrar o conjunto de valores de uma função par, basta ver metade da função, à direita ou à esquerda do zero. Se para x>0 uma função par y(x) leva valores de A a B, então ela terá os mesmos valores para x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 função ímpar y(x) leva um intervalo de valores de A a B, então para x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonométricas" uma vez começaram a ser chamadas de funções que são determinadas pela dependência de ângulos agudos em um triângulo retângulo dos comprimentos de seus lados. Essas funções incluem, em primeiro lugar, o seno e o cosseno e, em segundo lugar, a secante e a cossecante, que são inversas a essas funções, as derivadas tangente e cotangente delas, bem como as funções inversas arcseno, arcoseno, etc. mais positivo falar não da “solução” de tais funções, mas do seu “cálculo”, ou seja, de encontrar um valor numérico.

Instrução

1. Se o argumento da função trigonométrica for desconhecido, é permitido calcular seu valor por um método indireto com base nas definições dessas funções. Para fazer isso, você precisa conhecer os comprimentos dos lados do triângulo, a função trigonométrica de um dos ângulos que deseja calcular. Digamos, por definição, que o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o comprimento do cateto oposto a esse ângulo e o comprimento da hipotenusa. Segue-se que para encontrar o seno de um ângulo, basta conhecer os comprimentos desses dois lados. Uma definição semelhante diz que o seno de um ângulo agudo é a razão entre o comprimento da perna adjacente a esse ângulo e o comprimento da hipotenusa. A tangente de um ângulo agudo pode ser calculada dividindo o comprimento da perna oposta pelo comprimento da adjacente, e a cotangente requer a divisão do comprimento da perna adjacente pelo comprimento da perna oposta. Para calcular a secante de um ângulo agudo, você precisa encontrar a razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento da perna adjacente ao ângulo necessário, e a cossecante é determinada pela razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento da perna oposta.

2. Se o argumento da função trigonométrica for realizado, não será necessário conhecer os comprimentos dos lados do triângulo - é permitido usar tabelas de valores ou calculadoras de funções trigonométricas. Essa calculadora está entre os programas padrão do sistema operacional Windows. Para executá-lo, você pode pressionar a combinação de teclas Win + R, digitar o comando calc e clicar no botão OK. Na interface do programa, abra a seção "Visualizar" e selecione o item "Engenharia" ou "Cientista". Mais tarde, é permitido introduzir o argumento da função trigonométrica. Para calcular as funções seno, cosseno e tangente, antes de inserir o valor, clique no botão da interface correspondente (sin, cos, tg), e para encontrar seus recíprocos do arco seno, arcoseno e arco tangente, marque a caixa de seleção Inv antecipadamente.

3. Existem também métodos alternativos. Uma delas é ir ao site do motor de busca Nigma ou Google e inserir a função desejada e seu argumento (digamos, sin 0,47) como uma consulta de pesquisa. Esses mecanismos de pesquisa possuem calculadoras integradas, portanto, após enviar tal solicitação, você receberá o valor da função trigonométrica que inseriu.

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Dica 7: Como detectar o valor de funções trigonométricas

As funções trigonométricas apareceram pela primeira vez como ferramentas para cálculos matemáticos abstratos das dependências das magnitudes dos ângulos agudos em um triângulo retângulo em relação aos comprimentos de seus lados. Agora eles são amplamente utilizados em campos científicos e técnicos da atividade humana. Para cálculos utilitários de funções trigonométricas a partir de argumentos fornecidos, é permitido usar várias ferramentas - algumas especialmente acessíveis são descritas abaixo.

Instrução

1. Use, digamos, um programa de calculadora instalado por padrão com o sistema operacional. Ele abre selecionando o item "Calculadora" na pasta "Utilitários" da subseção "Típica" localizada na seção "Todos os programas". Esta seção pode ser encontrada abrindo o menu principal do sistema operacional clicando no botão "Iniciar". Se você estiver usando a versão do Windows 7, poderá digitar primitivamente a palavra "Calculadora" no campo "Detectar programas e arquivos" do menu principal e clicar no link correspondente nos resultados da pesquisa.

2. Digite o valor do ângulo para o qual você deseja calcular a função trigonométrica e, em seguida, clique no botão correspondente a esta função - sin, cos ou tan. Se você estiver preocupado com funções trigonométricas inversas (arco-seno, arco-cosseno ou arco-tangente), primeiro clique no botão Inv - ele inverte as funções atribuídas aos botões de controle da calculadora.

3. Nas versões anteriores do sistema operacional (digamos, Windows XP), para acessar as funções trigonométricas, você precisa abrir a seção "Visualizar" no menu da calculadora e preferir a linha "Engenharia". Além disso, em vez do botão Inv na interface das versões antigas do programa, há uma caixa de seleção com a mesma inscrição.

4. Você pode ficar sem uma calculadora se tiver acesso à Internet. Existem muitos serviços na web que oferecem calculadoras de funções trigonométricas organizadas de forma diferente. Uma opção particularmente útil está incorporada ao mecanismo de pesquisa Nigma. Tendo ido para a página principal, digite primitivamente o valor que o excita no campo de consulta de pesquisa - digamos, "arco tangente de 30 graus". Depois de pressionar o botão "Descobrir!" o mecanismo de pesquisa calculará e mostrará o resultado do cálculo - 0,482347907101025.

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A trigonometria é um ramo da matemática para compreender funções que expressam diferentes dependências dos lados de um triângulo retângulo nas magnitudes dos ângulos agudos na hipotenusa. Tais funções são chamadas trigonométricas e, para facilitar o trabalho com elas, foram derivadas funções trigonométricas. identidades .

atuação identidades em matemática denota uma igualdade que é satisfeita para quaisquer valores dos argumentos das funções incluídas nela. trigonométrico identidades- estas são as igualdades das funções trigonométricas, confirmadas e aceitas para simplificar o trabalho com fórmulas trigonométricas.A função trigonométrica é uma função elementar da dependência de um dos catetos de um triângulo retângulo da magnitude do ângulo agudo na hipotenusa. Na maioria das vezes, seis funções trigonométricas básicas são usadas: sin (seno), cos (cosseno), tg (tangente), ctg (cotangente), sec (secante) e cosec (cossecante). Essas funções são chamadas diretas, também existem funções inversas, digamos, seno - arcoseno, cosseno - arcoseno, etc. Inicialmente, as funções trigonométricas encontraram reflexo na geometria, depois disso se espalharam para outras áreas da ciência: física, química, geografia, óptica , teoria da probabilidade , bem como acústica, teoria musical, fonética, computação gráfica e muitos outros. Agora é mais difícil imaginar cálculos matemáticos sem essas funções, embora no passado distante elas fossem usadas apenas em astronomia e arquitetura. identidades são usados ​​para simplificar o trabalho com fórmulas trigonométricas longas e trazê-las para uma forma digerível. Existem seis identidades trigonométricas básicas, elas estão associadas a funções trigonométricas diretas: tg ? = sin?/cos?; pecado^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sen^2?; sin (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d sin?. Estes identidades fácil de confirmar a partir das propriedades da razão de lados e ângulos em um triângulo retângulo: sin ? = BC/AC = b/c; porque? = AB/AC = a/c; tg? = b/a. Primeira identidade tg ? = pecado?/cos? segue da razão dos lados do triângulo e da exclusão do lado c (hipotenusa) ao dividir o sen pelo cos. Da mesma forma, a identidade ctg é definida? = cos ?/sin ?, porque ctg ? = 1/tg ?. Pelo teorema de Pitágoras, a^2 + b^2 = c^2. Divida essa igualdade por c^2, obtemos a segunda identidade: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Terceiro e quarto identidades obtém dividindo por b^2 e a^2, respectivamente: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sen^ ? ou 1 + ctg^2 ? \u003d 1 / sin ^ 2?. O quinto e o sexto principal identidades são provados determinando a soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo, que é igual a 90 ° ou? / 2. Trigonometria mais difícil identidades: fórmulas para adicionar argumentos, ângulos duplos e triplos, diminuir o grau, reformar a soma ou produto de funções, bem como fórmulas de substituição trigonométricas, nomeadamente as expressões das principais funções trigonométricas em termos de meio ângulo tg: sin ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

A necessidade de encontrar o mínimo significado matemático funçõesé de interesse real em resolver problemas aplicados, digamos, em economia. Enorme significado para a atividade empreendedora tem minimização de perdas.

Instrução

1. Para encontrar o mínimo significado funções, é necessário determinar em qual valor do argumento x0 a desigualdade y(x0) será satisfeita? y(x), onde x ? x0. Como de costume, esse problema é resolvido em um determinado intervalo ou em cada faixa de valores funções, se um não estiver definido. Um aspecto da solução é encontrar pontos fixos.

2. O ponto estacionário é chamado significado o argumento de que a derivada funções vai para zero. De acordo com o teorema de Fermat, se uma função diferenciável toma um valor extremo significado em algum ponto (neste caso, um mínimo local), então este ponto é estacionário.

3. Mínimo significado a função geralmente leva exatamente neste ponto, no entanto, não pode ser determinada invariavelmente. Além disso, nem sempre é possível dizer exatamente qual é o mínimo funções ou ele aceita um infinitamente pequeno significado. Então, como de costume, eles encontram o limite para o qual gravita ao diminuir.

4. Para determinar o mínimo significado funções, é necessário realizar uma sequência de ações composta por quatro etapas: encontrar o domínio de definição funções, aquisição de pontos fixos, visão geral de valores funções nestes pontos e nas extremidades do gap, a detecção de um mínimo.

5. Acontece que seja dada alguma função y(x) em um intervalo com limites nos pontos A e B. Encontre o domínio de sua definição e descubra se o intervalo é seu subconjunto.

6. Calcular Derivado funções. Iguale a expressão resultante a zero e encontre as raízes da equação. Verifique se esses pontos estacionários estão dentro do intervalo. Se não, então na próxima etapa eles não são levados em consideração.

7. Observe a lacuna para o tipo de limite: aberto, fechado, composto ou adimensional. Depende de como você encontra o mínimo significado. Digamos que o segmento [A, B] seja um intervalo fechado. Substitua-os na função e calcule os valores. Faça o mesmo com o ponto estacionário. Escolha o menor total.

8. Com intervalos abertos e ilimitados, a situação é um pouco mais difícil. Aqui temos que procurar limites unilaterais, que não dão invariavelmente um resultado inequívoco. Digamos, para um intervalo com uma fronteira fechada e uma perfurada [A, B), deve-se encontrar uma função em x = A e um limite lateral y em x? B-0.

Conceitos Básicos

Vamos começar com as definições funções pares, ímpares e periódicas.

Definição 2

Uma função par é uma função que não muda seu valor quando o sinal da variável independente muda:

Definição 3

Uma função que repete seus valores em algum intervalo regular de tempo:

T é o período da função.

Funções trigonométricas pares e ímpares

Considere a seguinte figura (Fig. 1):

Imagem 1.

Aqui $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ e $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ são vetores de comprimento unitário simétricos em relação ao eixo $Ox$.

Obviamente, as coordenadas desses vetores estão relacionadas pelas seguintes relações:

Como as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser determinadas usando um círculo trigonométrico unitário, obtemos que a função seno será ímpar e a função cosseno será uma função par, ou seja:

Periodicidade das funções trigonométricas

Considere a figura a seguir (Fig. 2).

Figura 2.

Aqui $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ é um vetor de unidade de comprimento.

Vamos dar uma volta completa pelo vetor $\overrightarrow(OA)$. Ou seja, vamos rotacionar o vetor dado por $2\pi $ radianos. Depois disso, o vetor retornará completamente à sua posição original.

Como as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas usando o círculo trigonométrico unitário, obtemos que

Ou seja, as funções seno e cosseno são funções periódicas com o menor período $T=2\pi $.

Considere agora as funções de tangente e cotangente. Como $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, então

Como $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, então

Exemplos de problemas sobre o uso de funções pares, ímpares e periodicidade de funções trigonométricas

Exemplo 1

Prove as seguintes afirmações:

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

c) $sen((-721)^0)=-sen1^0$

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

Como a tangente é uma função periódica com período mínimo de $(360)^0$, obtemos

b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$

Como o cosseno é uma função par e periódica com período mínimo de $2\pi $, obtemos

\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]

c) $sen((-721)^0)=-sen1^0$

Como o seno é uma função ímpar e periódica com um período mínimo de $(360)^0$, obtemos

A dependência da variável y da variável x, na qual cada valor de x corresponde a um único valor de y, é chamada de função. A notação é y=f(x). Cada função tem uma série de propriedades básicas, como monotonicidade, paridade, periodicidade e outras.

Propriedades de paridade e periodicidade

Vamos considerar com mais detalhes as propriedades de paridade e periodicidade, usando o exemplo das principais funções trigonométricas: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

Uma função y=f(x) é chamada mesmo que satisfaça as duas condições a seguir:

2. O valor da função no ponto x pertencente ao escopo da função deve ser igual ao valor da função no ponto -x. Ou seja, para qualquer ponto x, do domínio da função, a seguinte igualdade f (x) \u003d f (-x) deve ser verdadeira.

Se você construir um gráfico de uma função par, ela será simétrica em relação ao eixo y.

Por exemplo, a função trigonométrica y=cos(x) é par.

Propriedades de estranheza e periodicidade

Uma função y=f(x) é dita ímpar se satisfaz as duas condições a seguir:

1. O domínio da função dada deve ser simétrico em relação ao ponto O. Ou seja, se algum ponto a pertence ao domínio da função, então o ponto correspondente -a também deve pertencer ao domínio da função dada.

2. Para qualquer ponto x, do domínio da função, a seguinte igualdade f (x) \u003d -f (x) deve ser satisfeita.

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação ao ponto O - a origem.

Por exemplo, as funções trigonométricas y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) são ímpares.

Periodicidade das funções trigonométricas

Uma função y=f(x) é chamada periódica se existe um certo número T!=0 (chamado de período da função y=f(x)), tal que para qualquer valor de x pertencente ao domínio da função , os números x+T e x-T também pertencem ao domínio da função e a igualdade f(x)=f(x+T)=f(x-T) é satisfeita.

Deve ser entendido que se T é o período da função, então o número k*T, onde k é qualquer número inteiro diferente de zero, também será o período da função. Com base no exposto, obtemos que qualquer função periódica tem infinitos períodos. Na maioria das vezes, a conversa é sobre o menor período da função.

As funções trigonométricas sin(x) e cos(x) são periódicas, com o menor período igual a 2*π.

Objetivo: generalizar e sistematizar o conhecimento dos alunos sobre o tema “Periodicidade das funções”; formar habilidades na aplicação das propriedades de uma função periódica, encontrar o menor período positivo de uma função, traçar funções periódicas; promover o interesse pelo estudo da matemática; cultivar observação, precisão.

Equipamentos: computador, projetor multimídia, cartões de tarefas, slides, relógios, mesas de enfeites, elementos de artesanato popular

“Matemática é o que as pessoas usam para controlar a natureza e a si mesmas”
A. Kolmogorov

Durante as aulas

I. Fase organizacional.

Verificar a prontidão dos alunos para a aula. Apresentação do tema e objetivos da aula.

II. Verificando a lição de casa.

Verificamos a lição de casa de acordo com as amostras, discutimos os pontos mais difíceis.

III. Generalização e sistematização do conhecimento.

1. Trabalho frontal oral.

Questões de teoria.

1) Forme a definição do período da função
2) Qual é o menor período positivo das funções y=sin(x), y=cos(x)
3). Qual é o menor período positivo das funções y=tg(x), y=ctg(x)
4) Use o círculo para provar a exatidão das relações:

y=sen(x) = sen(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sen(x+2π n)=senx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Como traçar uma função periódica?

exercícios orais.

1) Prove as seguintes relações

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Prove que o ângulo de 540º é um dos períodos da função y= cos(2x)

3. Prove que o ângulo de 360º é um dos períodos da função y=tg(x)

4. Transforme essas expressões para que os ângulos nelas incluídos não ultrapassem 90º em valor absoluto.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Onde você encontrou as palavras PERIOD, PERIODICITY?

Respostas dos alunos: Um período na música é uma construção em que se afirma um pensamento musical mais ou menos completo. O período geológico faz parte de uma era e é dividido em épocas com um período de 35 a 90 milhões de anos.

A meia-vida de uma substância radioativa. Fração periódica. Periódicos são publicações impressas que aparecem em datas estritamente definidas. Sistema periódico de Mendeleev.

6. As figuras mostram partes dos gráficos de funções periódicas. Defina o período da função. Determine o período da função.

Responda: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Onde em sua vida você se deparou com a construção de elementos repetitivos?

Os alunos respondem: Elementos de ornamentos, arte popular.

4. Resolução coletiva de problemas.

(Resolução de problemas em slides.)

Vamos considerar uma das maneiras de estudar uma função para periodicidade.

Este método contorna as dificuldades associadas a provar que um ou outro período é o menor, e também não há necessidade de tocar em questões sobre operações aritméticas em funções periódicas e sobre a periodicidade de uma função complexa. O raciocínio é baseado apenas na definição de uma função periódica e no seguinte fato: se T é o período da função, então nT(n? 0) é seu período.

Problema 1. Encontre o menor período positivo da função f(x)=1+3(x+q>5)

Solução: Vamos supor que o T-período desta função. Então f(x+T)=f(x) para todo x ∈ D(f), i.e.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Seja x=-0,25 obtemos

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Obtivemos que todos os períodos da função considerada (se existirem) estão entre inteiros. Escolha entre esses números o menor número positivo. Isso é 1 . Vamos verificar se é realmente um período 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Como (T+1)=(T) para qualquer T, então f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), ou seja, 1 - período f. Como 1 é o menor de todos os inteiros positivos, então T=1.

Tarefa 2. Mostre que a função f(x)=cos 2 (x) é periódica e encontre seu período principal.

Tarefa 3. Encontre o período principal da função

f(x)=sen(1,5x)+5cos(0,75x)

Assuma o período T da função, então para qualquer X a proporção

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sen(1,5x)+5cos(0,75x)

Se x=0 então

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sen0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Se x=-T, então

sin0+5cos0=sen(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Somando, temos:

10cos(0,75T)=10

2π n, n€ Z

Vamos escolher entre todos os números "suspeitos" para o período o menor positivo e verificar se é um período para f. Este número

f(x+)=sen(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)=sen(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Portanto, é o período principal da função f.

Tarefa 4. Verifique se a função f(x)=sin(x) é periódica

Seja T o período da função f. Então para qualquer x

sen|x+T|=sen|x|

Se x=0, então sen|T|=sen0, sen|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Suponha. Que para algum n o número π n é um período

função considerada π n>0. Então sen|π n+x|=sen|x|

Isso implica que n deve ser par e ímpar ao mesmo tempo, o que é impossível. Portanto, esta função não é periódica.

Tarefa 5. Verifique se a função é periódica

f(x)=

Seja T o período f, então

, portanto sinT=0, T=π n, n € Z. Vamos supor que para algum n o número π n é de fato o período da função dada. Então o número 2π n também será um período

Como os numeradores são iguais, seus denominadores também são, então

Portanto, a função f não é periódica.

Trabalho em equipe.

Tarefas para o grupo 1.

Tarefas para o grupo 2.

Verifique se a função f é periódica e encontre seu período principal (se existir).

f(x)=cos(2x)+2sen(2x)

Tarefas para o grupo 3.

Ao final do trabalho, os grupos apresentam suas soluções.

VI. Resumindo a lição.

Reflexão.

O professor dá aos alunos cartões com desenhos e se oferece para pintar parte do primeiro desenho de acordo com o grau em que, ao que parece, eles dominam os métodos de estudo da função da periodicidade e em parte do segundo desenho , de acordo com sua contribuição para o trabalho na lição.

VII. Trabalho de casa

1). Verifique se a função f é periódica e encontre seu período principal (se existir)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). A função y=f(x) tem um período T=2 ef(x)=x 2 +2x para x € [-2; 0]. Encontre o valor da expressão -2f(-3)-4f(3,5)

Literatura/

1. Mordkovitch A. G.Álgebra e o início da análise com estudo aprofundado.
2. Matemática. Preparação para o exame. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A.Álgebra e análise inicial para as séries 10-11.