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Gorner Williams George (1786-22 de setembro de 1837) foi um matemático inglês. Nasceu em Bristol. Ele estudou e trabalhou lá, depois nas escolas de Bath. Trabalhos básicos de álgebra. Em 1819 publicou um método para o cálculo aproximado das raízes reais de um polinômio, que agora é chamado de método de Ruffini-Horner (este método era conhecido pelos chineses já no século 13). O esquema para dividir um polinômio por um binômio x-a é nomeado após Horner.

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ESQUEMA DE HORNER

Um método de dividir um polinômio do enésimo grau por um binômio linear - a, baseado no fato de que os coeficientes do quociente incompleto e o resto r estão relacionados aos coeficientes do polinômio divisível e a a pelas fórmulas:

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Os cálculos de acordo com o esquema Horner são colocados em uma tabela:

Exemplo 1 Divisão O quociente incompleto é x3-x2+3x - 13 e o resto é 42=f(-3).

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A principal vantagem deste método é a compacidade da notação e a capacidade de dividir rapidamente um polinômio em um binômio. De fato, o esquema de Horner é outra forma de registrar o método de agrupamento, embora, diferentemente deste último, seja completamente não descritivo. A resposta (fatorização) aqui acontece por si só, e não vemos o próprio processo de obtê-la. Não trataremos de uma justificativa rigorosa do esquema de Horner, mas apenas mostraremos como ele funciona.

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Exemplo2.

Provamos que o polinômio P(x)=x4-6x3+7x-392 é divisível por x-7 e encontramos o quociente. Decisão. Usando o esquema de Horner, encontramos Р(7): Portanto, obtemos Р(7)=0, ou seja. o resto da divisão do polinômio por x-7 é zero e, portanto, o polinômio P (x) é um múltiplo de (x-7). Neste caso, os números da segunda linha da tabela são os coeficientes do quociente da divisão de P (x) por (x-7), portanto P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

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Fatore o polinômio x3 - 5x2 - 2x + 16.

Este polinômio tem coeficientes inteiros. Se um inteiro é a raiz deste polinômio, então é um divisor de 16. Assim, se o polinômio dado tem raízes inteiras, então estes só podem ser números ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Por verificação direta, garantimos que o número 2 é a raiz desse polinômio, ou seja, x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)Q(x), onde Q(x) é um polinômio do segundo grau

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Os números resultantes 1, −3, −8 são os coeficientes do polinômio, que é obtido dividindo o polinômio original por x - 2. Assim, o resultado da divisão: 1 x2 + (-3)x + (-8 ) = x2 - 3x - 8. O grau do polinômio obtido como resultado da divisão é sempre 1 a menos que o grau do original. Então: x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)(x2 - 3x - 8).

Ao resolver equações e desigualdades, muitas vezes torna-se necessário fatorar um polinômio cujo grau é igual a três ou superior. Neste artigo, veremos a maneira mais fácil de fazer isso.

Como de costume, vamos recorrer à teoria para obter ajuda.

Teorema de Bezout afirma que o resto da divisão de um polinômio por um binômio é .

Mas não é o teorema em si que é importante para nós, mas corolário disso:

Se o número é a raiz de um polinômio, então o polinômio é divisível sem resto pelo binômio.

Estamos diante da tarefa de encontrar pelo menos uma raiz do polinômio, então dividindo o polinômio por , onde é a raiz do polinômio. Como resultado, obtemos um polinômio cujo grau é um a menos que o grau do original. E então, se necessário, você pode repetir o processo.

Esta tarefa é dividida em duas: como encontrar a raiz de um polinômio e como dividir um polinômio em um binômio.

Vamos dar uma olhada mais de perto nesses pontos.

1. Como encontrar a raiz de um polinômio.

Primeiro, verificamos se os números 1 e -1 são as raízes do polinômio.

Os seguintes fatos nos ajudarão aqui:

Se a soma de todos os coeficientes de um polinômio for zero, então o número é a raiz do polinômio.

Por exemplo, em um polinômio a soma dos coeficientes é igual a zero: . É fácil verificar qual é a raiz de um polinômio.

Se a soma dos coeficientes de um polinômio em potências pares for igual à soma dos coeficientes em potências ímpares, então o número é uma raiz do polinômio. O termo livre é considerado um coeficiente em grau par, pois , a é um número par.

Por exemplo, em um polinômio a soma dos coeficientes em graus pares é : , e a soma dos coeficientes em graus ímpares é : . É fácil verificar qual é a raiz de um polinômio.

Se nem 1 nem -1 são raízes do polinômio, então continuamos.

Para um polinômio de grau reduzido (ou seja, um polinômio no qual o coeficiente principal - o coeficiente de - é igual a um), a fórmula Vieta é válida:

Onde estão as raízes do polinômio.

Existem também fórmulas de Vieta para os demais coeficientes do polinômio, mas é esta que nos interessa.

Desta fórmula Vieta segue que se as raízes do polinômio são inteiras, então elas são divisores de seu termo livre, que também é um inteiro.

Com base nisso, precisamos decompor o termo livre do polinômio em fatores e, sequencialmente, do menor para o maior, verificar qual dos fatores é a raiz do polinômio.

Considere, por exemplo, o polinômio

Divisores membros livres: ; ; ;

A soma de todos os coeficientes do polinômio é igual, portanto, o número 1 não é a raiz do polinômio.

A soma dos coeficientes em potências pares:

A soma dos coeficientes em potências ímpares:

Portanto, o número -1 também não é uma raiz do polinômio.

Vamos verificar se o número 2 é a raiz do polinômio: portanto, o número 2 é a raiz do polinômio. Assim, de acordo com o teorema de Bezout, o polinômio é divisível sem resto pelo binômio.

2. Como dividir um polinômio em um binômio.

Um polinômio pode ser dividido em um binômio por uma coluna.

Dividimos o polinômio em uma coluna binomial:

Existe outra maneira de dividir um polinômio em um binômio - o esquema de Horner.

Assista esse vídeo para entender como dividir um polinômio por um binômio por uma coluna e usando o esquema de Horner.

Observo que se, ao dividir por uma coluna, algum grau da incógnita estiver ausente no polinômio original, escrevemos 0 em seu lugar - assim como ao compilar uma tabela para o esquema de Horner.

Portanto, se precisarmos dividir um polinômio em um binômio e, como resultado da divisão, obtivermos um polinômio, podemos encontrar os coeficientes do polinômio usando o esquema de Horner:

Também podemos usar O esquema de Horner para verificar se o número dado é a raiz do polinômio: se o número é a raiz do polinômio, então o resto da divisão do polinômio por é zero, ou seja, na última coluna da segunda linha do Horner esquema, obtemos 0.

Usando o esquema de Horner, "matamos dois coelhos com uma cajadada só": ao mesmo tempo, verificamos se o número é a raiz de um polinômio e dividimos esse polinômio por um binômio.

Exemplo. Resolva a equação:

1. Escrevemos os divisores do termo livre e procuraremos as raízes do polinômio entre os divisores do termo livre.

Divisores de 24:

2. Verifique se o número 1 é a raiz do polinômio.

A soma dos coeficientes de um polinômio, portanto, o número 1 é a raiz do polinômio.

3. Divida o polinômio original em um binômio usando o esquema de Horner.

A) Escreva os coeficientes do polinômio original na primeira linha da tabela.

Como o membro que o contém está ausente, na coluna da tabela em que o coeficiente de at deve ser escrito, escrevemos 0. À esquerda, escrevemos a raiz encontrada: o número 1.

B) Preencha a primeira linha da tabela.

Na última coluna, como esperado, obtivemos zero, dividimos o polinômio original em um binômio sem resto. Os coeficientes do polinômio resultantes da divisão são mostrados em azul na segunda linha da tabela:

É fácil verificar que os números 1 e -1 não são raízes do polinômio

C) Vamos continuar a tabela. Vamos verificar se o número 2 é a raiz do polinômio:

Assim, o grau do polinômio, que é obtido como resultado da divisão por um, é menor que o grau do polinômio original, portanto, o número de coeficientes e o número de colunas são menores por um.

Na última coluna, obtivemos -40 - um número que não é igual a zero, portanto, o polinômio é divisível por um binômio com resto, e o número 2 não é a raiz do polinômio.

C) Vamos verificar se o número -2 é a raiz do polinômio. Como a tentativa anterior não foi bem sucedida, para não haver confusão com os coeficientes, vou apagar a linha correspondente a esta tentativa:

Multar! No restante, obtivemos zero, portanto, o polinômio foi dividido em um binômio sem resto, portanto, o número -2 é a raiz do polinômio. Os coeficientes do polinômio, que é obtido pela divisão do polinômio pelo binômio, são mostrados em verde na tabela.

Como resultado da divisão, obtemos um trinômio quadrado , cujas raízes são facilmente encontradas pelo teorema de Vieta:

Então, as raízes da equação original:

{}

Responda: ( }

O site "tutor profissional em matemática" dá continuidade à série de artigos metodológicos sobre o ensino. Publico descrições dos métodos do meu trabalho com os temas mais complexos e problemáticos do currículo escolar. Este material será útil para professores e tutores em matemática, que trabalham com alunos de 8ª a 11ª série, tanto no programa regular quanto no programa de aulas de matemática.

Um tutor de matemática nem sempre pode explicar o material que é mal apresentado em um livro didático. Infelizmente, há cada vez mais tópicos desse tipo, e erros de apresentação, seguindo os autores dos manuais, são cometidos em massa. Isto aplica-se não só a tutores principiantes em matemática e tutores a tempo parcial (tutores - estudantes e tutores universitários), mas também a professores experientes, tutores - profissionais, tutores com experiência e qualificações. Longe de todos os tutores de matemática têm o talento de um corretor competente da rugosidade dos livros escolares. Nem todos também entendem que essas correções (ou acréscimos) são necessárias. Apenas alguns estão empenhados em adaptar o material para sua percepção qualitativa pelas crianças. Infelizmente, já passou o tempo em que professores de matemática, juntamente com metodologistas e autores de publicações, discutiam massivamente cada letra do livro didático. No passado, antes de um livro didático ser introduzido nas escolas, eram realizadas análises e estudos sérios sobre os resultados da aprendizagem. Chegou a hora dos diletantes que se esforçam para tornar os manuais universais, adequando-os aos padrões das fortes aulas de matemática.

A corrida para aumentar a quantidade de informação só leva a uma diminuição na qualidade de sua assimilação e, como resultado, uma diminuição no nível de conhecimento real em matemática. Mas ninguém presta atenção nisso. E nossos filhos são obrigados a estudar já na 8ª série o que passamos no instituto: teoria da probabilidade, resolução de equações de graus elevados, e outra coisa. A adaptação do material em livros para sua plena percepção pela criança deixa muito a desejar e o tutor de matemática se vê obrigado a lidar de alguma forma com isso.

Vamos falar sobre a metodologia para o ensino de um tema tão específico como "divisão por um canto de um polinômio por um polinômio", mais conhecido na matemática adulta como "teorema de Bezout e esquema de Horner". Apenas alguns anos atrás, a questão não era tão aguda para um tutor de matemática, porque ele não estava incluído no currículo escolar principal. Agora, os respeitados autores do livro didático, editado por Telyakovsky, fizeram alterações na última edição do melhor, na minha opinião, livro didático e, tendo estragado completamente, apenas adicionaram preocupações desnecessárias ao tutor. Professores de escolas e turmas que não têm o status de matemática, focando nas inovações dos autores, começaram a incluir parágrafos adicionais em suas aulas com mais frequência, e crianças curiosas, olhando as belas páginas de seu livro didático de matemática, perguntam cada vez mais aos tutor: “O que é essa divisão por um canto? Estamos passando por isso? Como compartilhar um canto? Não há como esconder essas perguntas diretas. O tutor terá que dizer algo à criança.

Mas como? Provavelmente, eu não descreveria o método de trabalho com o tema se ele fosse apresentado corretamente nos livros didáticos. Como está tudo conosco? Os livros didáticos precisam ser impressos e vendidos. E para isso eles precisam ser atualizados regularmente. Os professores universitários reclamam que as crianças chegam até eles com a cabeça vazia, sem conhecimentos e habilidades? Os requisitos para o conhecimento matemático estão crescendo? Multar! Vamos remover alguns dos exercícios e, em vez disso, inserir tópicos que são estudados em outros programas. Por que nosso livro é pior? Vamos incluir alguns capítulos adicionais. Os alunos não conhecem a regra da divisão por um canto? Isso é matemática elementar. Devemos tornar esse parágrafo opcional, encabeçando-o "para aqueles que querem saber mais". Tutores contra? E o que nos importa os tutores em geral? Metodistas e professores também são contra? Não vamos complicar o material e considerar a parte mais simples dele.

E é aqui que começa. A simplicidade do tema e a qualidade de sua assimilação reside, antes de tudo, na compreensão de sua lógica, e não no fato de que, segundo a prescrição dos autores do livro didático, realizar um determinado conjunto de operações que não estão claramente relacionados entre si. Caso contrário, o nevoeiro na cabeça do aluno será fornecido. Se os autores estiverem contando com alunos relativamente fortes (mas estudando de acordo com o programa regular), você não deve enviar o tópico em um formulário de equipe. O que vemos no livro didático? Crianças, é necessário dividir de acordo com esta regra. Obtenha o polinômio no canto. Assim, o polinômio original será fatorado. No entanto, não está claro por que os termos sob o canto são escolhidos dessa maneira, por que eles precisam ser multiplicados por um polinômio sobre o canto e depois subtraídos do restante atual - não está claro. E o mais importante, não está claro por que os monômios escolhidos devem ser adicionados no final e por que os colchetes resultantes serão a expansão do polinômio original. Qualquer matemático competente colocará um ponto de interrogação em negrito nas explicações que são dadas no livro.

Trago ao conhecimento de tutores e professores de matemática a minha solução para o problema, que praticamente torna óbvio para o aluno tudo o que consta no livro didático. De fato, provaremos o teorema de Bezout: se o número a é a raiz de um polinômio, esse polinômio pode ser decomposto em fatores, um dos quais é x-a, e o segundo é obtido do original de três maneiras: extraindo um fator linear por meio de transformações, dividindo por um canto, ou de acordo com o esquema de Horner. É com essa formulação que será mais fácil para um tutor de matemática trabalhar.

O que é uma metodologia de ensino? Em primeiro lugar, é uma ordem clara na sequência de explicações e exemplos, com base na qual as conclusões matemáticas são tiradas. Este tópico não é exceção. É muito importante para um tutor de matemática apresentar à criança o teorema de Bezout antes que a divisão de canto seja executada. É muito importante! A melhor maneira de entender é com um exemplo concreto. Vamos pegar algum polinômio com uma raiz escolhida e mostrar a técnica de sua fatoração usando o método de transformações idênticas familiar ao aluno da 7ª série. Com explicações apropriadas, acentos e dicas de um tutor de matemática, é bem possível transmitir o material sem cálculos matemáticos gerais, coeficientes e graus arbitrários.

Dicas importantes para professores de matemática- siga as instruções do início ao fim e não altere esta sequência.

Então, digamos que temos um polinômio. Se substituirmos o número 1 em vez de seu x, o valor do polinômio será zero. Portanto, x = 1 é sua raiz. Vamos tentar decompor em dois termos para que um deles seja o produto de uma expressão linear e algum monômio, e o segundo tenha um grau um menor que . Ou seja, representamos na forma

Escolhemos o monômio para o campo vermelho para que, quando multiplicado pelo termo principal, coincida completamente com o termo principal do polinômio original. Se o aluno não for o mais fraco, então ele será bem capaz de dar ao tutor de matemática a expressão desejada:. O tutor deve ser imediatamente solicitado a inseri-lo na caixa vermelha e mostrar o que acontecerá quando eles forem abertos. É melhor assinar este polinômio temporário virtual sob as setas (sob a foto), destacando-o com alguma cor, por exemplo, azul. Isso o ajudará a escolher a soma para o campo vermelho, chamado de resíduo da seleção. Eu aconselharia os tutores a apontarem aqui que esse resto pode ser encontrado por subtração. Realizando esta operação, obtemos:

Um tutor de matemática deve chamar a atenção do aluno para o fato de que, substituindo uma unidade nessa igualdade, temos a garantia de obter zero no lado esquerdo (já que 1 é a raiz do polinômio original), e no direito, obviamente, também definiremos o primeiro termo como zero. Assim, sem qualquer verificação, podemos dizer que a unidade é a raiz do “resíduo verde”.

Vamos lidar com isso da mesma forma que fizemos com o polinômio original, extraindo dele o mesmo fator linear . O professor de matemática desenha duas caixas na frente do aluno e pede que ele preencha da esquerda para a direita.

O aluno seleciona para o tutor o monômio para o campo vermelho para que, quando multiplicado pelo maior termo da expressão linear, dê o maior termo do polinômio expandido. Entramos no quadro, imediatamente abrimos o colchete e destacamos em azul a expressão que precisa ser subtraída da expandida. Realizando esta operação, obtemos

E finalmente, fazendo o mesmo com o último resto

finalmente conseguir

Agora tiramos a expressão dos colchetes e nos deparamos com a decomposição do polinômio original em fatores, um dos quais é “x menos a raiz escolhida”.

Para que o aluno não pense que o último “resíduo verde” foi decomposto aleatoriamente nos fatores necessários, o tutor de matemática deve apontar uma propriedade importante de todos os resíduos verdes - cada um deles tem uma raiz 1. os resíduos diminuem, então não importa o grau do polinômio inicial, nenhum polinômio nos foi dado, mais cedo ou mais tarde, obteremos um "resíduo verde" linear com uma raiz de 1 e, portanto, deve ser decomposto no produto de um certo número e uma expressão.

Após esse trabalho preparatório, não será difícil para um tutor de matemática explicar ao aluno o que acontece ao dividir um canto. Este é o mesmo processo, só que de forma mais curta e compacta, sem sinais de igual e sem reescrever os mesmos termos selecionados. Escrevemos o polinômio a partir do qual o multiplicador linear é alocado à esquerda do canto, coletamos os monômios vermelhos selecionados em um ângulo (agora fica claro por que eles devem somar), para obter os “polinômios azuis”, você precisa multiplicar o “vermelho” por x-1, e então subtrair do atual selecionado como é feito na divisão usual de números em uma coluna (aqui é uma analogia com o estudado anteriormente). Os "resíduos verdes" resultantes são submetidos a uma nova seleção e seleção de "monômios vermelhos". E assim sucessivamente até que se obtenha um "resíduo verde" zero. O mais importante é que o destino dos polinômios escritos acima e abaixo do canto fique claro para o aluno. Obviamente, estes são colchetes, cujo produto é igual ao polinômio original.

A próxima etapa no trabalho de um tutor em matemática é a formulação do teorema de Bezout. De fato, sua formulação com esta abordagem do tutor torna-se óbvia: se o número a é a raiz do polinômio, então ele pode ser decomposto em fatores, um dos quais, e o outro é obtido do original em um dos três maneiras:

• decomposição direta (análoga ao método de agrupamento)
• dividindo por um canto (em uma coluna)
• através do esquema de Horner

Devo dizer que nem todos os tutores de matemática mostram aos alunos o esquema de Horner e nem todos os professores da escola (felizmente para os próprios tutores) se aprofundam tanto no tópico nas aulas. No entanto, para um aluno de matemática, não vejo razão para parar na divisão longa. Além disso, o mais conveniente e velozes A técnica de decomposição é baseada precisamente no esquema de Horner. Para explicar à criança de onde vem, basta traçar o aparecimento de coeficientes mais altos nos resíduos verdes usando o exemplo da divisão por um canto. Torna-se claro que o coeficiente mais alto do polinômio inicial é demolido no coeficiente do primeiro "monômio vermelho", e além do segundo coeficiente do polinômio superior atual subtraído o resultado da multiplicação do atual coeficiente "monômio vermelho" por . Portanto, você pode adicionar o resultado da multiplicação por . Depois de focar a atenção do aluno nas especificidades das ações com coeficientes, um tutor de matemática pode mostrar como essas ações geralmente são realizadas sem escrever as próprias variáveis. Para fazer isso, é conveniente inserir a raiz e os coeficientes do polinômio original em ordem de precedência na tabela a seguir:

Se algum grau estiver faltando no polinômio, seu coeficiente zero será forçosamente inserido na tabela. Os coeficientes dos "polinômios vermelhos" são inseridos alternadamente na linha inferior de acordo com a regra do "gancho":

A raiz é multiplicada pelo último "coeficiente vermelho" demolido, adicionado ao próximo coeficiente da linha superior e o resultado é demolido na linha inferior. Na última coluna, temos a garantia de obter o maior coeficiente do último “saldo verde”, ou seja, zero. Após a conclusão do processo, os números imprensado entre uma raiz combinada e zero restante acabam sendo os coeficientes do segundo fator (não linear).

Como a raiz a dá zero no final da linha inferior, o esquema de Horner pode ser usado para verificar os números para o posto da raiz de um polinômio. Se um teorema especial sobre a seleção de uma raiz racional. Todos os candidatos a este título obtidos com sua ajuda são simplesmente inseridos da esquerda no esquema de Horner. Assim que obtivermos zero, o número testado será a raiz e, ao mesmo tempo, obteremos os coeficientes da expansão do polinômio original em fatores. Muito confortavelmente.

Em conclusão, gostaria de observar que para a introdução precisa do esquema de Horner, bem como para a consolidação prática do tópico, um tutor de matemática deve ter um número suficiente de horas à sua disposição. Um tutor trabalhando com o modo “uma vez por semana” não deve se envolver em dividir um canto. No Exame Estadual Unificado em matemática e no GIA em matemática, é improvável que na primeira parte haja uma equação do terceiro grau, resolvida por tais meios. Se um tutor prepara uma criança para um exame de matemática na Universidade Estadual de Moscou, o estudo do tópico se torna obrigatório. Os professores universitários gostam muito, ao contrário dos compiladores do Exame Estadual Unificado, de verificar a profundidade do conhecimento do candidato.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, professor de matemática Moscou, Strogino

Lições objetivas:

• ensinar os alunos a resolver equações de graus superiores usando o esquema de Horner;
• desenvolver a capacidade de trabalhar em pares;
• criar, em conjunto com as principais secções do curso, uma base para o desenvolvimento das capacidades dos alunos;
• ajudar o aluno a avaliar seu potencial, desenvolver o interesse pela matemática, a capacidade de pensar, falar sobre o tema.

Equipamento: cartões para trabalho em grupo, um cartaz com o esquema de Horner.

Método de ensino: palestra, história, explicação, realização de exercícios de treinamento.

Forma de controle: verificação de problemas de solução independente, trabalho independente.

Durante as aulas

1. Momento organizacional

2. Atualização do conhecimento dos alunos

Que teorema permite determinar se o número é a raiz de uma dada equação (para formular um teorema)?

Teorema de Bezout. O resto da divisão do polinômio P(x) pelo binômio x-c é igual a P(c), o número c é chamado de raiz do polinômio P(x) se P(c)=0. O teorema permite, sem realizar a operação de divisão, determinar se um determinado número é raiz de um polinômio.

Quais declarações tornam mais fácil encontrar raízes?

a) Se o coeficiente líder do polinômio for igual a um, então as raízes do polinômio devem ser procuradas entre os divisores do termo livre.

b) Se a soma dos coeficientes de um polinômio é 0, então uma das raízes é 1.

c) Se a soma dos coeficientes em lugares pares for igual à soma dos coeficientes em lugares ímpares, então uma das raízes é igual a -1.

d) Se todos os coeficientes são positivos, então as raízes do polinômio são números negativos.

e) Um polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.

3. Aprendendo novo material

Ao resolver equações algébricas inteiras, é preciso encontrar os valores das raízes dos polinômios. Esta operação pode ser bastante simplificada se os cálculos forem realizados de acordo com um algoritmo especial chamado esquema de Horner. Este esquema recebeu o nome do cientista inglês William George Horner. O esquema de Horner é um algoritmo para calcular o quociente e o resto da divisão de um polinômio P(x) por x-c. Resumidamente, como funciona.

Seja um polinômio arbitrário P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. A divisão deste polinômio por x-c é sua representação na forma P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Privado g (x) \u003d em 0 x n-1 + em n x n-2 + ... + em n-2 x + em n-1, onde em 0 \u003d a 0, em n \u003d sv n- 1 + a n , n=1,2,3,…n-1. Restante r (x) \u003d St n-1 + a n. Este método de cálculo é chamado de esquema de Horner. A palavra "esquema" no nome do algoritmo deve-se ao fato de que normalmente sua execução é formalizada da seguinte forma. Primeiro desenhe a tabela 2(n+2). O número c é escrito na célula inferior esquerda e os coeficientes do polinômio P (x) são escritos na linha superior. Nesse caso, a célula superior esquerda é deixada vazia.

	em 0 = um 0	em 1 \u003d sv 1 + a 1	em 2 \u003d sv 1 + uma 2		em n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

O número, que após a execução do algoritmo acaba sendo escrito na célula inferior direita, é o restante da divisão do polinômio P(x) por x-c. Os outros números em 0 , em 1 , em 2 ,… da linha inferior são os coeficientes do quociente.

Por exemplo: Divida o polinômio P (x) \u003d x 3 -2x + 3 por x-2.

Obtemos que x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Consolidação do material estudado

Exemplo 1: Fatorize o polinômio P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 com coeficientes inteiros.

Estamos procurando raízes inteiras entre os divisores do termo livre -1: 1; -1. Vamos fazer uma tabela:

X \u003d -1 - raiz

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Vamos verificar 1/2.

					X=1/2 - raiz

Portanto, o polinômio P(x) pode ser representado como

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Exemplo 2: Resolva a equação 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Como a soma dos coeficientes do polinômio escrito no lado esquerdo da equação é igual a zero, então uma das raízes é 1. Vamos usar o esquema de Horner:

						X=1 - raiz

Obtemos P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Vamos procurar raízes entre os divisores do termo livre 2.

Descobrimos que não existem mais raízes inteiras. Vamos verificar 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - raiz

Resposta 1; -1/2.

Exemplo 3: Resolva a equação 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Vamos procurar as raízes desta equação entre os divisores do termo livre 5: 1; -1; 5; -5. x=1 é a raiz da equação, pois a soma dos coeficientes é zero. Vamos usar o esquema de Horner:

representamos a equação como um produto de três fatores: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Resolvendo a equação quadrática 5x 2 -7x+5=0, temos D=49-100=-51, não há raízes.

Cartão 1

1. Fatore o polinômio: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Resolva a equação: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Cartão 2

1. Fatore o polinômio: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Resolva a equação: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Cartão 3

1. Fatorar: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Resolva a equação: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Cartão 4

1. Fatorar: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Resolva a equação: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Resumindo

O teste de conhecimento ao resolver em pares é realizado na lição, reconhecendo o método de ação e o nome da resposta.

Trabalho de casa:

Resolva as equações:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Literatura

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra and the Beginnings of Analysis Grade 10 (estudo aprofundado de matemática): Enlightenment, 2005.
2. IU Sakharchuk, L. S. Sagatelova, Solução de equações de graus superiores: Volgograd, 2007.
3. S.B. Sistemas GashkovNumber e sua aplicação.

etc. é de caráter geral e grande importância para estudar TODO o curso de matemática superior. Hoje vamos repetir as equações da "escola", mas não apenas as da "escola" - mas aquelas que são encontradas em todos os lugares em várias tarefas do vyshmat. Como de costume, a história seguirá de maneira aplicada, ou seja, Não vou focar em definições, classificações, mas vou compartilhar com vocês minha experiência pessoal de resolução. A informação destina-se principalmente a iniciantes, mas os leitores mais preparados também encontrarão muitos pontos interessantes por si mesmos. E, claro, vai ter material novo que vai além do ensino médio.

Então a equação... Muitas pessoas se lembram dessa palavra com um estremecimento. Quais são as equações "fantasiosas" com raízes... ...esqueça-as! Porque mais adiante você encontrará os "representantes" mais inofensivos desta espécie. Ou equações trigonométricas chatas com dezenas de métodos para resolver. Sinceramente, também não gostei muito... Nada de pânico! - então você é esperado principalmente por "dentes de leão" com uma solução óbvia em 1-2 etapas. Embora a "bardana", é claro, se apegue - aqui você precisa ser objetivo.

Curiosamente, em matemática superior é muito mais comum lidar com equações muito primitivas como linear equações.

O que significa resolver esta equação? Isso significa - encontrar TAL valor de "x" (raiz), o que o transforma em uma verdadeira igualdade. Vamos virar a "troika" para a direita com uma mudança de sinal:

e solte os "dois" para o lado direito (ou, a mesma coisa - multiplique ambas as partes por) :

Para conferir, substituímos o troféu ganho na equação original:

A igualdade correta é obtida, o que significa que o valor encontrado é de fato a raiz desta equação. Ou, como dizem, satisfaz essa equação.

Observe que a raiz também pode ser escrita como uma fração decimal:
E tente não ficar com esse estilo desagradável! Repeti a razão muitas vezes, em particular, na primeira aula sobre álgebra superior.

A propósito, a equação também pode ser resolvida "em árabe":

E o mais interessante - este registro é completamente legal! Mas se você não é professor, então é melhor não fazer isso, porque a originalidade é punível aqui =)

E agora um pouco sobre

método de solução gráfica

A equação tem a forma e sua raiz é coordenada "x" pontos de interseção gráfico de função linear com gráfico de função linear (eixo das abcissas):

Parece que o exemplo é tão elementar que não há mais nada para analisar aqui, mas mais uma nuance inesperada pode ser “espremida” dele: representamos a mesma equação na forma e traçamos os gráficos da função:

Em que, por favor não confunda os dois: uma equação é uma equação, e funçãoé uma função! Funções só ajuda encontre as raízes da equação. Dos quais pode haver dois, três, quatro e até infinitamente muitos. O exemplo mais próximo nesse sentido é que todo mundo sabe Equação quadrática, cujo algoritmo de solução recebeu um item separado fórmulas escolares "quentes". E isso não é por acaso! Se você pode resolver uma equação quadrática e sabe o teorema de Pitágoras, então, pode-se dizer, “o chão da matemática superior já está no seu bolso” =) Exagerado, claro, mas não tão longe da verdade!

E, portanto, não somos preguiçosos e resolvemos alguma equação quadrática de acordo com algoritmo padrão:

, então a equação tem duas válido raiz:

É fácil verificar que ambos os valores encontrados realmente satisfazem essa equação:

O que fazer se de repente você esqueceu o algoritmo da solução e não há ferramentas / mãos úteis à mão? Tal situação pode surgir, por exemplo, em um teste ou exame. Usamos o método gráfico! E há duas maneiras: você pode construção pontual parábola , descobrindo assim onde ele intercepta o eixo (se cruzar em tudo). Mas é melhor agir com mais astúcia: apresentamos a equação na forma, desenhamos gráficos de funções mais simples - e coordenadas "x" seus pontos de interseção, de relance!


Se a reta tocar a parábola, a equação terá duas raízes coincidentes (múltiplas). Se a reta não interceptar a parábola, então não há raízes reais.

Para fazer isso, é claro, você precisa ser capaz de construir gráficos de funções elementares, mas, por outro lado, essas habilidades estão ao alcance até mesmo de um estudante.

E novamente - uma equação é uma equação, e funções , são funções que só ajudou resolva a equação!

E aqui, aliás, cabe lembrar mais uma coisa: se todos os coeficientes da equação forem multiplicados por um número diferente de zero, suas raízes não mudarão.

Assim, por exemplo, a equação tem as mesmas raízes. Como a “prova” mais simples, tirarei a constante dos colchetes:
e removê-lo sem dor (Vou dividir ambas as partes em “menos dois”):

MAS! Se considerarmos a função , então aqui já é impossível se livrar da constante! Só é possível tirar o multiplicador entre parênteses: .

Muitos subestimam o método de solução gráfica, considerando-o algo "indigno", e alguns até esquecem completamente essa possibilidade. E isso é fundamentalmente errado, porque plotar às vezes apenas salva o dia!

Outro exemplo: suponha que você não se lembre das raízes da equação trigonométrica mais simples:. A fórmula geral está nos livros escolares, em todos os livros de referência sobre matemática elementar, mas eles não estão disponíveis para você. No entanto, resolver a equação é fundamental (caso contrário, "dois"). Existe uma saída! - construímos gráficos de funções:


após o que calmamente anotamos as coordenadas "x" de seus pontos de interseção:

Existem infinitas raízes, e sua notação dobrada é aceita em álgebra:
, Onde ( – conjunto de inteiros) .

E, sem "sair do caixa", algumas palavras sobre o método gráfico para resolver inequações com uma variável. O princípio é o mesmo. Então, por exemplo, qualquer "x" é a solução da desigualdade, porque a senóide encontra-se quase inteiramente sob a linha reta. A solução para a desigualdade é o conjunto de intervalos em que as peças da senóide estão estritamente acima da linha reta (abscissa):

ou, em resumo:

E aqui está o conjunto de soluções para a desigualdade - vazio, uma vez que nenhum ponto da senóide está acima da linha reta.

Alguma coisa não está clara? Estude urgentemente as lições sobre conjuntos e gráficos de função!

Aquecimento:

Exercício 1

Resolva graficamente as seguintes equações trigonométricas:

Respostas no final da aula

Como você pode ver, para estudar as ciências exatas, não é necessário enfiar fórmulas e livros de referência! Além disso, esta é uma abordagem fundamentalmente viciosa.

Como já lhe assegurei no início da lição, equações trigonométricas complexas no curso padrão de matemática superior têm que ser resolvidas muito raramente. Toda complexidade, via de regra, termina com equações como , cuja solução são dois grupos de raízes, derivadas das equações mais simples e . Não se preocupe muito com a solução deste último - procure em um livro ou encontre-o na Internet =)

O método gráfico de resolução também pode ajudar em casos menos triviais. Considere, por exemplo, a seguinte equação "variável":

As perspectivas para sua solução parecem... não olham, mas basta apresentar a equação na forma , construir gráficos de função e tudo será incrivelmente simples. O desenho está no meio do artigo sobre funções infinitesimais (abre na próxima aba).

Usando o mesmo método gráfico, você pode descobrir que a equação já tem duas raízes, e uma delas é igual a zero, e a outra, aparentemente, irracional e pertence ao segmento . Essa raiz pode ser calculada aproximadamente, por exemplo, método tangente. A propósito, em algumas tarefas, acontece que é necessário não encontrar as raízes, mas descobrir eles existem em tudo. E aqui também um desenho pode ajudar - se os gráficos não se cruzarem, não haverá raízes.

Raízes racionais de polinômios com coeficientes inteiros.
O esquema de Horner

E agora sugiro que volte os olhos para a Idade Média e sinta a atmosfera única da álgebra clássica. Para uma melhor compreensão do material, recomendo pelo menos um pouco de familiarização com números complexos.

Eles são os mais. Polinômios.

O objeto de nosso interesse serão os polinômios mais comuns da forma com inteira coeficientes. O número natural é chamado grau polinomial, número - coeficiente no mais alto grau (ou apenas o coeficiente mais alto), e o coeficiente é Membro grátis.

Vou denotar este polinômio dobrado por .

Raízes polinomiais chamado de raízes da equação

Eu amo lógica de ferro =)

Por exemplo, vamos ao início do artigo:

Não há problemas em encontrar as raízes de polinômios de 1º e 2º graus, mas à medida que você aumenta, essa tarefa se torna cada vez mais difícil. Mas por outro lado, tudo é mais interessante! E é a isso que a segunda parte da lição será dedicada.

Primeiro, literalmente meia tela de teoria:

1) De acordo com o corolário teorema fundamental da álgebra, o polinômio de grau tem exatamente integrado raízes. Algumas raízes (ou mesmo todas) podem ser particularmente válido. Além disso, entre as raízes reais pode haver raízes idênticas (múltiplas) (mínimo dois, máximo de peças).

Se algum número complexo é raiz de um polinômio, então conjugado seu número também é necessariamente a raiz desse polinômio (as raízes complexas conjugadas têm a forma ).

O exemplo mais simples é a equação quadrática, que foi encontrada pela primeira vez em 8 (Como) aula, e que finalmente “terminamos” no tópico números complexos. Lembro-lhe: uma equação quadrática tem duas raízes reais diferentes, ou raízes múltiplas, ou raízes complexas conjugadas.

2) De Teoremas de Bezout segue-se que se o número é a raiz da equação, então o polinômio correspondente pode ser fatorado:
, onde é um polinômio de grau .

E novamente, nosso velho exemplo: já que é a raiz da equação , então . Depois disso, é fácil obter a conhecida decomposição "escola".

A consequência do teorema de Bezout é de grande valor prático: se conhecemos a raiz da equação do 3º grau, podemos representá-la na forma e da equação quadrática é fácil descobrir as raízes restantes. Se conhecermos a raiz da equação do 4º grau, é possível expandir o lado esquerdo em um produto, etc.

E aqui ficam duas perguntas:

Pergunta um. Como encontrar essa raiz? Em primeiro lugar, vamos definir sua natureza: em muitos problemas de matemática superior é necessário encontrar racional, em particular inteira as raízes dos polinômios e, a esse respeito, ainda estaremos interessados ​​principalmente neles .... … eles são tão bons, tão fofos, que você só quer encontrá-los! =)

A primeira coisa que se sugere é o método de seleção. Considere, por exemplo, a equação . O problema aqui está no termo livre - se fosse igual a zero, então tudo estaria a céu aberto - colocamos o "x" entre colchetes e as próprias raízes "caem" para a superfície:

Mas nosso termo livre é igual ao “três” e, portanto, começamos a substituir vários números na equação que dizem ser chamada de “raiz”. Em primeiro lugar, a substituição de valores únicos sugere-se. Substituto :

Recebido incorreta igualdade, assim, a unidade "não se encaixou". Ok, vamos colocar:

Recebido correto igualdade! Ou seja, o valor é a raiz desta equação.

Para encontrar as raízes de um polinômio de 3º grau, existe um método analítico (as chamadas fórmulas de Cardano), mas agora estamos interessados ​​em um problema um pouco diferente.

Como - é a raiz do nosso polinômio, então o polinômio pode ser representado na forma e surge Segunda questão: como encontrar o "irmão mais novo"?

As considerações algébricas mais simples sugerem que, para isso, você precisa dividir por. Como dividir um polinômio por um polinômio? O mesmo método escolar que divide números comuns - uma "coluna"! Discuti esse método em detalhes nos primeiros exemplos da lição. Limites complexos, e agora vamos considerar outro método, que é chamado O esquema de Horner.

Primeiro, escrevemos o polinômio "sênior" com todos , incluindo coeficientes zero:
, após o qual inserimos esses coeficientes (estritamente em ordem) na linha superior da tabela:

À esquerda, escrevemos a raiz:

Farei imediatamente uma reserva de que o esquema de Horner também funciona se o número “vermelho” nãoé a raiz do polinômio. No entanto, não vamos apressar as coisas.

Retiramos o coeficiente sênior de cima:

O processo de preenchimento das células inferiores lembra um pouco o bordado, onde “menos um” é uma espécie de “agulha” que permeia as etapas subsequentes. Multiplicamos o número "demolido" por (-1) e somamos o número da célula superior ao produto:

Multiplicamos o valor encontrado pela “agulha vermelha” e adicionamos o seguinte coeficiente de equação ao produto:

E, finalmente, o valor resultante é novamente “processado” com uma “agulha” e um coeficiente superior:

Zero na última célula nos diz que o polinômio foi dividido em sem deixar vestígios (como deveria ser), enquanto os coeficientes de expansão são "removidos" diretamente da linha inferior da tabela:

Assim, passamos da equação para uma equação equivalente, e tudo fica claro com as duas raízes restantes (dentro este caso raízes complexas conjugadas são obtidas).

A equação, aliás, também pode ser resolvida graficamente: construir "zíper" e veja que o gráfico cruza o eixo x () no ponto . Ou o mesmo truque "astuto" - reescrevemos a equação na forma , desenhamos gráficos elementares e detectamos a coordenada "x" de seu ponto de interseção.

A propósito, o gráfico de qualquer função polinomial de 3º grau cruza o eixo pelo menos uma vez, o que significa que a equação correspondente tem pelo menos 1 válido raiz. Este fato é verdadeiro para qualquer função polinomial de grau ímpar.

E aqui também quero parar em ponto importante sobre terminologia: polinomial e função polinomial – Não é o mesmo! Mas, na prática, eles costumam falar, por exemplo, sobre o “grafo polinomial”, que, claro, é negligente.

Mas voltemos ao esquema de Horner. Como mencionei recentemente, esse esquema também funciona para outros números, mas se o número nãoé a raiz da equação, então um aditivo diferente de zero (restante) aparece em nossa fórmula:

Vamos "dirigir" o valor "sem sucesso" de acordo com o esquema de Horner. Ao mesmo tempo, é conveniente usar a mesma tabela - escrevemos uma nova “agulha” à esquerda, demolimos o coeficiente mais alto de cima (seta verde esquerda), e vamos lá:

Para verificar, abrimos os colchetes e damos termos semelhantes:
, OK.

É fácil ver que o resto (“seis”) é exatamente o valor do polinômio em . E, de fato - o que é:
, e ainda melhor - assim:

A partir dos cálculos acima, é fácil entender que o esquema de Horner permite não apenas fatorar o polinômio, mas também realizar uma seleção "civilizada" da raiz. Sugiro que você corrija independentemente o algoritmo de cálculo com uma pequena tarefa:

Tarefa 2

Usando o esquema de Horner, encontre toda a raiz da equação e fatorize o polinômio correspondente

Em outras palavras, aqui você precisa verificar sequencialmente os números 1, -1, 2, -2, ... - até que um resto zero seja “extraído” na última coluna. Isso significa que a "agulha" desta linha é a raiz do polinômio

Os cálculos são convenientemente organizados em uma única tabela. Solução detalhada e resposta no final da lição.

O método de seleção de raízes é bom para casos relativamente simples, mas se os coeficientes e/ou o grau do polinômio forem grandes, o processo poderá ser atrasado. Ou talvez alguns valores da mesma lista 1, -1, 2, -2 e não faz sentido considerar? E, além disso, as raízes podem ser fracionárias, o que levará a um puxão completamente não científico.

Felizmente, existem dois teoremas poderosos que podem reduzir significativamente a enumeração de valores “candidatos” para raízes racionais:

Teorema 1 Considerar irredutível fração , onde . Se o número é a raiz da equação, então o termo livre é divisível por e o coeficiente principal é divisível por.

Em particular, se o coeficiente principal for , então essa raiz racional é inteira:

E começamos a explorar o teorema apenas a partir deste saboroso detalhe:

Voltemos à equação. Como seu coeficiente principal é , as raízes racionais hipotéticas podem ser exclusivamente inteiras, e o termo livre deve ser divisível por essas raízes sem deixar resto. E os "três" só podem ser divididos em 1, -1, 3 e -3. Ou seja, temos apenas 4 "candidatos às raízes". E, segundo Teorema 1, outros números racionais não podem ser raízes desta equação EM PRINCÍPIO.

Há um pouco mais de “candidatos” na equação: o termo livre é dividido em 1, -1, 2, -2, 4 e -4.

Observe que os números 1, -1 são "regulares" da lista de possíveis raízes (uma consequência óbvia do teorema) e a melhor escolha para a primeira inspeção.

Vamos para exemplos mais significativos:

Tarefa 3

Decisão: uma vez que o coeficiente principal , então as raízes racionais hipotéticas só podem ser números inteiros, enquanto elas devem necessariamente ser divisores do termo livre. "Menos quarenta" é dividido nos seguintes pares de números:
- um total de 16 "candidatos".

E aqui surge imediatamente um pensamento tentador: é possível eliminar todas as raízes negativas ou todas as positivas? Em alguns casos você pode! Vou formular dois sinais:

1) Se tudo Se os coeficientes de um polinômio são não negativos, então ele não pode ter raízes positivas. Infelizmente, este não é o nosso caso (Agora, se nos dessem uma equação - então sim, ao substituir qualquer valor do polinômio é estritamente positivo, o que significa que todos os números positivos (e irracional também) não podem ser raízes da equação.

2) Se os coeficientes para potências ímpares são não negativos, e para todas as potências pares (incluindo membro gratuito) são negativos, então o polinômio não pode ter raízes negativas. Este é o nosso caso! Olhando de perto, você pode ver que quando qualquer “x” negativo é substituído na equação, o lado esquerdo será estritamente negativo, o que significa que as raízes negativas desaparecem

Assim, restam 8 números para pesquisa:

Consistentemente "carregue" de acordo com o esquema de Horner. Espero que você já tenha dominado os cálculos mentais:

A sorte estava esperando por nós ao testar o "duque". Assim, é a raiz da equação em consideração, e

Resta investigar a equação . É fácil fazer isso por meio do discriminante, mas farei um teste exponencial da mesma maneira. Primeiro, note que o termo livre é igual a 20, o que significa que de acordo com Teorema 1 os números 8 e 40 saem da lista de raízes possíveis, e os valores ficam para pesquisa (um foi eliminado de acordo com o esquema de Horner).

Escrevemos os coeficientes do trinômio na linha superior da nova tabela e começamos a verificar com os mesmos "dois". Por quê? E porque as raízes podem ser múltiplas, por favor: - esta equação tem 10 raízes idênticas. Mas não vamos divagar:

E aqui, claro, fui um pouco astuto, sabendo que as raízes são racionais. Afinal, se eles fossem irracionais ou complexos, eu teria uma verificação malsucedida de todos os números restantes. Portanto, na prática, seja guiado pelo discriminante.

Responda: raízes racionais: 2, 4, 5

No problema analisado, tivemos sorte, pois: a) os valores negativos caíram imediatamente, eb) encontramos a raiz muito rapidamente (e teoricamente poderíamos verificar toda a lista).

Mas na realidade a situação é muito pior. Convido você a assistir a um emocionante jogo chamado "The Last Hero":

Tarefa 4

Encontrar raízes racionais de uma equação

Decisão: em Teorema 1 numeradores de raízes racionais hipotéticas devem satisfazer a condição (leia "doze é divisível por cerveja"), e os denominadores para a condição . Com base nisso, obtemos duas listas:

"lista el":
e "list em": (felizmente, aqui os números são naturais).

Agora vamos fazer uma lista de todas as raízes possíveis. Primeiro, dividimos a “lista de cervejas” por . É bastante claro que os mesmos números acabarão. Por conveniência, vamos colocá-los em uma tabela:

Muitas frações foram reduzidas, resultando em valores que já estão na “lista de heróis”. Adicionamos apenas "recém-chegados":

Da mesma forma, dividimos a mesma "lista de cervejas" por:

e finalmente em

Assim, a equipe de participantes do nosso jogo é composta por:


Infelizmente, o polinômio deste problema não satisfaz o critério "positivo" ou "negativo" e, portanto, não podemos descartar a linha superior ou inferior. Você tem que trabalhar com todos os números.

Como está seu humor? Vamos lá, mantenha o nariz erguido - há outro teorema que pode ser figurativamente chamado de "teorema do assassino" .... ... "candidatos", claro =)

Mas primeiro você precisa percorrer o diagrama de Horner por pelo menos um o todo números. Tradicionalmente, nós pegamos um. Na linha superior escrevemos os coeficientes do polinômio e tudo está como de costume:

Como quatro claramente não é zero, o valor não é a raiz do polinômio em questão. Mas ela vai nos ajudar muito.

Teorema 2 Se para alguns em geral valor do polinômio é diferente de zero: , então suas raízes racionais (Se eles são) satisfazer a condição

No nosso caso e, portanto, todas as raízes possíveis devem satisfazer a condição (vamos chamá-lo de Condição #1). Este quatro será o "assassino" de muitos "candidatos". Como demonstração, examinarei algumas verificações:

Vamos verificar o candidato. Para fazer isso, representamos artificialmente como uma fração , a partir da qual se vê claramente que . Vamos calcular a diferença de cheques: . Quatro é dividido por "menos dois": o que significa que a possível raiz passou no teste.

Vamos verificar o valor. Aqui, a diferença de teste é: . Claro, e, portanto, o segundo "sujeito de teste" também permanece na lista.