Noțiuni de bază

Ca parte a problemei de măsurare a unghiurilor, în această secțiune vom lua în considerare câteva concepte legate de informațiile geometrice inițiale:

• colţ;
• unghi desfășurat și nedezvoltat;
• grad, minut și secundă;
• gradul de măsurare a unghiului;
• unghiuri drepte, acute și obtuze.

Un unghi este o figură geometrică care constă dintr-un punct (vertex) și două raze (laturi) care emană din acesta. Un unghi se numește dezvoltat dacă ambele raze se află pe aceeași linie dreaptă.

Datorită gradului de măsurare a unghiului, unghiurile pot fi măsurate. Măsurarea unghiurilor se efectuează în mod similar cu măsurarea segmentelor. La fel ca la măsurarea segmentelor, la măsurarea unghiurilor, se folosește o unitate de măsură specială. Cel mai adesea este o diplomă.

Definiția 1

Un grad este o unitate de măsură. În geometrie, reprezintă unghiul cu care sunt comparate alte unghiuri. Gradul este egal cu $\frac(1)(180)$ din unghiul drept.

Acum putem defini măsura gradului unui unghi.

Definiția 2

Măsura gradului unui unghi este un număr pozitiv care indică de câte ori este plasat un grad într-un unghi dat.

Un raportor este folosit pentru a măsura unghiurile.

Un exemplu de scriere a unei măsuri de grad: $\angle ABC = 150^(\circ)$. În figură, această intrare înseamnă următoarele:

Oral ei spun asta: „Unghiul ABC este de 150 de grade”.

Unele părți ale gradului au propriile lor nume speciale. Un minut este o parte $\frac(1)(60)$ a unui grad, notat cu semnul $"$. O secundă este o parte $\frac(1)(60)$ a unui minut, notat cu $" „$. Un exemplu de scriere a unui unghi în 75 de grade, 45 de minute și 28 de secunde: $75^(\circ)45"28""$.

Acele unghiuri ale căror grade sunt egale se numesc egale. În consecință, unghiurile pot fi comparate spunând că un unghi este mai mic decât altul sau un unghi este mai mare decât altul.

Definiția unghiului rotit a fost dată mai sus. Folosind conceptul de măsură a gradului, putem descrie diferența dintre un unghi dezvoltat și cel nedezvoltat. Unghiul inversat este întotdeauna $180^(\circ)$. Un unghi nedezvoltat este orice unghi mai mic de $180^(\circ)$.

Există unghiuri drepte, acute și obtuze. Un unghi drept este egal cu $90^(\circ)$, un unghi ascuțit este mai mic de $90^(\circ)$, un unghi obtuz este mai mare de $90^(\circ)$ și mai mic de $180^(\circ) $.

Figura 4. Unghiuri drepte, acute și obtuze. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

În viața de zi cu zi există exemple despre necesitatea și importanța capacității de a măsura unghiurile și de a înțelege grade. Măsurarea unghiurilor este necesară în diverse studii, inclusiv în astronomie atunci când se determină poziția corpurilor cerești.

Pentru practică, încercați să desenați cel puțin trei unghiuri desfăcute și unul desfășurat în moduri diferite, măsurați unghiurile folosind un raportor și notați aceste rezultate. Puteți seta numere aleatorii și puteți exersa acuratețea trasării unghiurilor folosind un raportor, împărțindu-le folosind o bisectoare (o bisectoare este o rază care emană de la vârful unui unghi dat și împărțind unghiul la jumătate).

Exemple de probleme

Exemplul 1

Sarcină. Există un desen:

Razele $DE$ și $DF$ sunt bisectoarele unghiurilor corespunzătoare $ADB$ și $BDC$. Trebuie să găsiți unghiul $ADC$ dacă $\angle EDF = 75^(\circ)$.

Soluţie. Deoarece unghiul $EDF$ conține jumătate din fiecare unghi $ADB$ și $BDC$, putem concluziona că $EDF$ este exact jumătate din unghiul $ADC$ însuși. Obținem calcule simple: $\angle ADC=75\cdot 2=150^(\circ)$.

Răspuns: $150^(\circ)$.

Să dăm un alt exemplu interesant.

Exemplul 2

Sarcină. Se dă un desen.

Unghiul $ABC$ este corect. Unghiurile $ABE$, $EBD$ și $DBC$ sunt egale. Trebuie să găsiți unghiul format de bisectoarele $ABE$ și $DBC$.

Soluţie. Deoarece $ABC$ este un unghi drept, înseamnă că este egal cu $90^(\circ)$. Unghi $\angle EBD=90/3=30^(\circ)$. Deoarece unghiurile $ABE$, $EBD$ și $DBC$ sunt egale, oricare dintre ele va fi egal cu $30^(\circ)$. Bisectoarea oricăruia dintre aceste unghiuri va împărți oricare dintre aceste unghiuri în două unghiuri egale cu $15^(\circ)$. Deoarece cele două jumătăți ale unghiurilor $ABE$ și $DBC$ aparțin unghiului dorit, putem spune că unghiul dorit este egal cu $30+15+15=60^(\circ)$.

Răspuns. $60^(\circ)$

În acest articol am abordat pe deplin problema măsurării gradului unui unghi și a modului de măsurare a unghiurilor.

Cum să aflu măsura gradului unui unghi?

Pentru mulți oameni de la școală, geometria este un adevărat test. Una dintre formele geometrice de bază este unghiul. Acest concept înseamnă două raze care își au originea în același punct. Pentru a măsura valoarea (magnitudinea) unui unghi se folosesc grade sau radiani. Veți învăța cum să găsiți măsura gradului unui unghi în articolul nostru.

Tipuri de unghiuri

Să presupunem că avem un unghi. Dacă o extindem într-o linie dreaptă, atunci valoarea sa va fi egală cu 180 de grade. Un astfel de unghi se numește unghi rotit, iar 1/180 din partea sa este considerat un grad.

Pe lângă un unghi drept, există și unghiuri acute (mai puțin de 90 de grade), obtuz (mai mult de 90 de grade) și unghiuri drepte (egale cu 90 de grade). Acești termeni sunt folosiți pentru a caracteriza gradul de măsură a unui unghi.

Măsurarea unghiului

Unghiul se măsoară cu ajutorul unui raportor. Acesta este un dispozitiv special pe care semicercul este deja împărțit în 180 de părți. Atașați raportorul la colț astfel încât una dintre laturile colțului să coincidă cu partea inferioară a raportorului. Al doilea fascicul trebuie să intersecteze arcul raportorului. Dacă nu se întâmplă acest lucru, scoateți raportorul și folosiți o riglă pentru a prelungi fasciculul. Dacă unghiul „se deschide” la dreapta vârfului, valoarea acestuia este citită pe scara superioară, dacă la stânga - pe cea inferioară.

În sistemul SI, se obișnuiește să se măsoare mărimea unui unghi în radiani, mai degrabă decât în ​​grade. Doar 3,14 radiani se potrivesc în unghiul desfășurat, așa că această valoare este incomod și nu este aproape niciodată folosită în practică. Acesta este motivul pentru care trebuie să știți cum să convertiți radianii în grade. Există o formulă pentru asta:

• Grade = radiani/π x 180

De exemplu, unghiul este de 1,6 radiani. Convertiți în grade: 1,6/3,14 * 180 = 92

Proprietățile colțurilor

Acum știi cum să măsori și să recalculezi grade de unghiuri. Dar pentru a rezolva probleme, trebuie să cunoașteți și proprietățile unghiurilor. Până în prezent, au fost formulate următoarele axiome:

• Orice unghi poate fi exprimat în grade mai mari decât zero. Dimensiunea unghiului rotit este de 360.
• Dacă un unghi este format din mai multe unghiuri, atunci măsura gradului său este egală cu suma tuturor unghiurilor.
• Într-un semiplan dat, din orice rază este posibil să se construiască un unghi de o valoare dată, mai mic de 180 de grade, și doar unul.
• Valorile unghiurilor egale sunt aceleași.
• Pentru a adăuga două unghiuri, trebuie să adăugați valorile acestora.

Înțelegerea acestor reguli și cunoașterea modului de măsurare a unghiurilor este cheia pentru a învăța cu succes geometria.

Un unghi este o figură care constă dintr-un punct - vârful unghiului și două semi-linii diferite care emană din acest punct - laturile unghiului (Fig. 14). Dacă laturile unui unghi sunt semilinii complementare, atunci unghiul se numește unghi dezvoltat.

Un unghi se desemnează fie indicând vârful său, fie indicând laturile sale, fie indicând trei puncte: vârful și două puncte de pe laturile unghiului. Cuvântul „unghi” este uneori înlocuit

Simbolul Unghiului din Figura 14 poate fi desemnat în trei moduri:

Se spune că o rază c trece între laturile unui unghi dacă provine de la vârful său și intersectează un segment cu capete pe laturile unghiului.

În figura 15, raza c trece între laturile unghiului pe măsură ce intersectează segmentul

În cazul unui unghi drept, orice rază care emană din vârful său și diferită de laturile sale trece între laturile unghiului.

Unghiurile se măsoară în grade. Dacă luați un unghi drept și îl împărțiți în 180 de unghiuri egale, măsura gradului fiecăruia dintre aceste unghiuri se numește grad.

Proprietățile de bază ale măsurării unghiului sunt exprimate în următoarea axiomă:

Fiecare unghi are o anumită măsură de grad mai mare decât zero. Unghiul de rotire este de 180°. Gradul de măsurare a unui unghi este egal cu suma gradelor de măsură ale unghiurilor în care este împărțit de orice rază care trece între laturile sale.

Aceasta înseamnă că dacă o rază c trece între laturile unui unghi, atunci unghiul este egal cu suma unghiurilor

Măsura gradului unui unghi se găsește folosind un raportor.

Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept. Un unghi mai mic de 90° se numește unghi ascuțit. Un unghi mai mare de 90° și mai mic de 180° se numește obtuz.

Să formulăm principala proprietate de a pune deoparte colțurile.

Din orice semi-linie, într-un semiplan dat, puteți pune un unghi cu o măsură dată de grad mai mică de 180° și doar unul.

Luați în considerare semilinia a. Să-l extindem dincolo de punctul de plecare A. Linia dreaptă rezultată împarte planul în două semiplane. Figura 16 arată cum, folosind un raportor, să se traseze un unghi cu o măsură de grad dată de 60° de la o semilinie la semiplanul superior.

T. 1. 2. Dacă două unghiuri dintr-o semi-linie dată sunt puse într-un semiplan, atunci latura unghiului mai mic, diferită de semi-linia dată, trece între laturile unghiului mai mare.

Fie unghiurile așezate dintr-o semi-linie dată a într-un semiplan și unghiul să fie mai mic decât unghiul . Teorema 1. 2 afirmă că raza trece între laturile unghiului (Fig. 17).

Bisectoarea unui unghi este raza care emană din vârful său, trece între laturi și împarte unghiul la jumătate. În figura 18, raza este bisectoarea unghiului

În geometrie există conceptul de unghi plan. Un unghi plan este o parte a unui plan delimitată de două raze diferite care emană dintr-un punct. Aceste raze se numesc laturile unghiului. Există două unghiuri plane cu laturi date. Ele sunt numite suplimentare. În figura 19, unul dintre unghiurile plane cu laturile a și este umbrit.

Lectura: Mărimea unghiului, măsura gradului unghiului, corespondența dintre mărimea unghiului și lungimea arcului de cerc

Măsurarea unghiului este cantitatea cu care o rază deviază față de poziția inițială.

Măsura unui unghi poate fi măsurată în două mărimi: grade și radiani, de unde și denumirea unităților - grad și radian măsura unghiului.

Măsura gradului de unghi

Măsura gradului face posibilă estimarea câte grade, minute sau secunde sunt plasate într-un anumit unghi.

Unghiurile în grade sunt calculate din punctul de vedere că rotația completă a fasciculului este de 360°. O jumătate de viraj de 180° este un unghi drept, un sfert - 90° este un unghi drept etc.

Măsura radianilor unghiului

Acum să ne dăm seama care este măsura radianilor unui unghi. După cum știm din fizică, există unități suplimentare. De exemplu, pentru a măsura temperatura, unitatea principală este Kelvin, iar unitatea suplimentară este Celsius. Pentru a măsura lungimea folosim metri, dar britanicii folosesc picioare. Această listă continuă și continuă. Ideea este să înțelegeți că, pe lângă măsura gradului de unghi, există și o măsură radian, care are și dreptul de a exista.

Pentru a determina măsura radianilor unui unghi, se folosește un cerc. Se crede că măsura radianilor este lungimea arcului de cerc descrisă de unghiul central.

Amintiți-vă că un unghi central este un unghi al cărui vârf se află în centrul cercului, iar razele se sprijină pe un arc.

Deci, un unghi de 1 rad are o măsură a gradului de 57,3°. Măsura radianilor unui unghi este descrisă fie prin numere naturale, fie folosind numărul π ≈ 3,14.

Pentru geometrie este mai convenabil să se folosească măsura gradului de unghi, dar pentru trigonometrie folosesc măsura radianilor.

Matematică, geometrie - aceste științe, precum și majoritatea celorlalte științe exacte, sunt extrem de dificile pentru mulți. Oamenilor le este greu să înțeleagă formulele și terminologia ciudată. Ce se ascunde sub acest concept ciudat?

Definiție

Pentru început, trebuie să luați în considerare pur și simplu măsura unghiului. Imaginea unei raze și a unei linii drepte va ajuta în acest sens. Mai întâi trebuie să desenați, de exemplu, o linie dreaptă orizontală. Apoi se trasează o rază din primul său punct, nu paralelă cu dreapta. Astfel, între linie dreaptă și rază apare o anumită distanță, un unghi mic. Măsura unui unghi este dimensiunea acestei rotații a fasciculului.

Acest concept denotă o anumită valoare digitală care va fi mai mare decât zero. Se exprimă în grade, precum și componentele sale, adică minute și secunde. Numărul de grade care se încadrează în unghiul dintre rază și linie dreaptă va fi măsura gradului.

Proprietățile colțurilor

• Absolut fiecare unghi va avea o anumită măsură de grad.
• Dacă este desfășurat complet, numărul va fi de 180 de grade.
• Pentru a găsi măsura gradului, se ia în considerare suma tuturor unghiurilor întrerupte de fascicul.
• Folosind orice rază, puteți crea un semiplan în care puteți face de fapt un unghi. Va avea o măsură a gradului, a cărei valoare va fi mai mică de 180 și nu poate exista decât un astfel de unghi.

Cum să afli măsura unui unghi?

De regulă, măsura minimă a gradului este de 1 grad, care este 1/180 din unghiul rotit. Cu toate acestea, uneori nu puteți obține o cifră atât de clară. În aceste cazuri, se folosesc secunde și minute.

Odată găsită, valoarea poate fi convertită în grade, obținând astfel o fracțiune de grad. Uneori sunt folosite numere fracționale, cum ar fi 80,7 grade.

De asemenea, este important să rețineți cantitățile cheie. Un unghi drept va fi întotdeauna de 90 de grade. Dacă măsura este mai mare, atunci va fi considerată obtuză, iar dacă este mai mică, atunci ascuțită.