Ce este o funcție? Aceasta este dependența unei cantități de alta. Într-o funcție matematică, există cel mai adesea două necunoscute: independentă și dependentă, sau x și respectiv y.

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că x poate lua absolut orice valoare, iar y se va adapta la aceasta, modificându-se în funcție de coeficienții funcției.

Există situații în care o funcție are mai multe variabile. Dependent este întotdeauna 1, dar pot exista mai mulți factori care îl influențează. Nu este întotdeauna posibil să afișați o astfel de funcție pe un grafic. În cel mai bun caz, puteți afișa grafic dependența lui y de 2 variabile.

Care este cel mai simplu mod de a reprezenta dependența y(x)?

Da, foarte simplu. Imaginează-ți un copil răsfățat și o mamă bogată și iubitoare. Vin împreună la magazin și încep să cerșească bomboane. Cine știe câte bomboane va cere băiatul astăzi?

Nimeni, dar în funcție de numărul de bomboane, suma pe care o va plăti mama la casă va crește. În acest caz, variabila dependentă este suma din cec, iar variabila independentă este numărul de dulciuri pe care băiatul le dorește astăzi.

Este foarte important să înțelegem că o valoare a funcției y corespunde întotdeauna unei valori a argumentului x. Dar, ca și în cazul rădăcinilor unei ecuații pătratice, aceste valori pot coincide.

Ecuația unei drepte

De ce avem nevoie de ecuația unei drepte dacă vorbim despre ecuația lungimilor laturilor unui triunghi?

Da, pentru că fiecare latură a triunghiului este un segment. Un segment este o parte limitată a unei linii drepte. Adică, putem specifica ecuații de linii drepte. Și în punctele de intersecție, limitați liniile, tăind astfel liniile drepte și transformându-le în segmente.

Ecuația dreptei arată astfel:

$$y_1=a_1x+b_1$$

$$y_2=a_2x+b_2$$

$$y_3=a_3x+b_3$$

Ecuația laturilor unui triunghi

Este necesar să găsim ecuația pentru lungimile laturilor unui triunghi cu vârfuri în punctele A(3,7); B(5,3); C(12;9)

Toate coordonatele sunt pozitive, ceea ce înseamnă că triunghiul va fi situat într-un cadran de coordonate.

Să întocmim ecuații pentru fiecare dintre liniile triunghiului una câte una.

• Prima linie va fi AB. Înlocuim coordonatele punctelor în ecuația dreptei în locul lui x și y. Astfel obținem un sistem de două ecuații liniare. După ce ați rezolvat-o, puteți găsi valoarea coeficienților pentru funcție:

A(3,7); B(5,3):

Din prima ecuație exprimăm b și îl înlocuim în a doua.

Să înlocuim valoarea lui a și să găsim b.

b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13

Să creăm o ecuație pentru o linie dreaptă.

• Să creăm cele două ecuații rămase în același mod.

B(5,3); C(12;9)

9=12a+b=12a+3-5a

$$b=3-5*(6\peste7)=-(9\peste7)$$

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

• A(3,7); C(12;9)

9=12a+b=12a+7-3a=9a+7

$$b=7-(6\over9)=(57\over9)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

• Să scriem ecuația pentru lungimile laturilor unui triunghi:

$$y=(6\over7)x-(9\over7)$$

$$y=(2\over9)x+(57\over9)$$

Ce am învățat?

Am învățat ce este o funcție, am vorbit despre funcția unei drepte și am învățat să derivăm ecuațiile laturilor unui triunghi din coordonatele vârfurilor sale.

Test pe tema

Evaluarea articolului

Rata medie: 4.8. Evaluări totale primite: 45.

Pe segmente numiți o parte a unei linii drepte formată din toate punctele acestei linii care sunt situate între aceste două puncte - se numesc capetele segmentului.

Să ne uităm la primul exemplu. Fie ca un anumit segment să fie definit de două puncte în planul de coordonate. În acest caz, putem găsi lungimea sa folosind teorema lui Pitagora.

Deci, în sistemul de coordonate desenăm un segment cu coordonatele date ale capetelor sale(x1; y1) Și (x2; y2) . Pe axa X Și Y Desenați perpendiculare de la capetele segmentului. Să marchem cu roșu segmentele care sunt proiecții față de segmentul original pe axa de coordonate. După aceasta, transferăm segmentele de proiecție paralele cu capetele segmentelor. Obținem un triunghi (dreptunghiular). Ipotenuza acestui triunghi va fi însuși segmentul AB, iar catetele sale sunt proiecțiile transferate.

Să calculăm lungimea acestor proiecții. Deci, pe axă Y lungimea proiecției este y2-y1 , și pe axă X lungimea proiecției este x2-x1 . Să aplicăm teorema lui Pitagora: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . În acest caz |AB| este lungimea segmentului.

Dacă utilizați această diagramă pentru a calcula lungimea unui segment, atunci nici măcar nu trebuie să construiți segmentul. Acum să calculăm lungimea segmentului cu coordonatele (1;3) Și (2;5) . Aplicând teorema lui Pitagora, obținem: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Aceasta înseamnă că lungimea segmentului nostru este egală cu 5:1/2 .

Luați în considerare următoarea metodă pentru a afla lungimea unui segment. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem coordonatele a două puncte dintr-un sistem. Să luăm în considerare această opțiune folosind un sistem de coordonate carteziene bidimensional.

Deci, într-un sistem de coordonate bidimensional, sunt date coordonatele punctelor extreme ale segmentului. Dacă tragem linii drepte prin aceste puncte, acestea trebuie să fie perpendiculare pe axa de coordonate, atunci obținem un triunghi dreptunghic. Segmentul inițial va fi ipotenuza triunghiului rezultat. Lamele unui triunghi formează segmente, lungimea lor este egală cu proiecția ipotenuzei pe axele de coordonate. Pe baza teoremei lui Pitagora, concluzionăm: pentru a găsi lungimea unui segment dat, trebuie să găsiți lungimile proiecțiilor pe două axe de coordonate.

Să găsim lungimile proiecției (X și Y) segmentul original pe axele de coordonate. Le calculăm găsind diferența în coordonatele punctelor de-a lungul unei axe separate: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Calculați lungimea segmentului A , pentru aceasta găsim rădăcina pătrată:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Dacă segmentul nostru este situat între puncte ale căror coordonate 2;4 Și 4;1 , atunci lungimea sa este egală în mod corespunzător cu √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului ABC.
Aflați: 1) lungimea laturii AB; 2) ecuațiile laturilor AB și AC și coeficienții lor unghiulari; 3) Unghiul intern A în radiani cu o precizie de 0,01; 4) ecuația pentru înălțimea CD și lungimea acestuia; 5) ecuația unui cerc pentru care înălțimea CD este diametrul; 6) un sistem de inegalități liniare care definesc triunghiul ABC.

Lungimea laturilor triunghiului:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|BC| = 14,14
Distanța d de la punctul M: d = 10
Coordonatele vârfurilor triunghiului sunt date: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Lungimea laturilor triunghiului
Distanța d dintre punctele M 1 (x 1 ; y 1) și M 2 (x 2 ; y 2) este determinată de formula:

8) Ecuația unei drepte
O dreaptă care trece prin punctele A 1 (x 1 ; y 1) și A 2 (x 2 ; y 2) este reprezentată de ecuațiile:

Ecuația dreptei AB
sau
sau y = -3 / 4 x -7 / 4 sau 4y + 3x +7 = 0
Ecuația dreptei AC
Ecuația canonică a dreptei: sau
sau y = 1 / 2 x + 9 / 2 sau 2y -x - 9 = 0
Ecuația dreptei BC
Ecuația canonică a dreptei: sau
sau y = -7x + 42 sau y + 7x - 42 = 0
3) Unghiul dintre liniile drepte
Ecuația dreptei AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Ecuația dreaptă AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Unghiul φ dintre două drepte, dat de ecuații cu coeficienți unghiulari y = k 1 x + b 1 și y 2 = k 2 x + b 2, se calculează prin formula:

Pantele acestor linii sunt -3/4 și 1/2. Să folosim formula și să luăm parte din dreapta modulo:

tg φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 sau 1,107 rad.
9) Ecuația înălțimii prin vârful C
Linia dreaptă care trece prin punctul N 0 (x 0 ;y 0) și perpendiculară pe dreapta Ax + By + C = 0 are un vector de direcție (A;B) și, prin urmare, este reprezentată de ecuațiile:



Această ecuație poate fi găsită în alt mod. Pentru a face acest lucru, să găsim panta k 1 a dreptei AB.
Ecuația AB: y = -3 / 4 x -7 / 4, adică. k 1 = -3 / 4
Să aflăm coeficientul unghiular k al perpendicularei din condiția de perpendicularitate a două drepte: k 1 *k = -1.
Înlocuind panta acestei drepte în loc de k 1, obținem:
-3 / 4 k = -1, de unde k = 4 / 3
Deoarece perpendiculara trece prin punctul C(5,7) și are k = 4 / 3, vom căuta ecuația ei sub forma: y-y 0 = k(x-x 0).
Înlocuind x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 obținem:
y-7 = 4 / 3 (x-5)
sau
y = 4 / 3 x + 1 / 3 sau 3y -4x - 1 = 0
Să găsim punctul de intersecție cu dreapta AB:
Avem un sistem de două ecuații:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Din prima ecuație exprimăm y și îl înlocuim în a doua ecuație.
Se obține: x = -1; y=-1
D(-1;-1)
9) Lungimea altitudinii triunghiului trasat de la vârful C
Distanța d de la punctul M 1 (x 1 ;y 1) la dreapta Ax + By + C = 0 este egală cu valoarea absolută a mărimii:

Aflați distanța dintre punctul C(5;7) și linia AB (4y + 3x +7 = 0)


Lungimea înălțimii poate fi calculată folosind o altă formulă, ca distanța dintre punctul C(5;7) și punctul D(-1;-1).
Distanța dintre două puncte este exprimată în coordonate prin formula:

5) ecuația unui cerc pentru care înălțimea CD este diametrul;
Ecuația unui cerc de rază R cu centrul în punctul E(a;b) are forma:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Deoarece CD este diametrul cercului dorit, centrul său E este punctul de mijloc al segmentului CD. Folosind formulele pentru împărțirea unui segment la jumătate, obținem:


Prin urmare, E(2;3) și R = CD / 2 = 5. Folosind formula, obținem ecuația cercului dorit: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) un sistem de inegalități liniare care definesc triunghiul ABC.
Ecuația dreptei AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Ecuația dreptei AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Ecuația dreptei BC: y = -7x + 42

Cum să înveți să rezolvi probleme de geometrie analitică?
Problemă tipică cu un triunghi pe un plan

Această lecție este creată despre abordarea ecuatorului dintre geometria planului și geometria spațiului. În acest moment, este nevoie de sistematizarea informațiilor acumulate și de a răspunde la o întrebare foarte importantă: cum să înveți să rezolvi probleme de geometrie analitică? Dificultatea este că poți veni cu un număr infinit de probleme de geometrie și niciun manual nu va conține toată multitudinea și varietatea de exemple. Nu este derivata unei functii cu cinci reguli de diferențiere, un tabel și mai multe tehnici...

Există o soluție! Nu voi vorbi cu voce tare despre faptul că am dezvoltat un fel de tehnică grandioasă, cu toate acestea, în opinia mea, există o abordare eficientă a problemei luate în considerare, care permite chiar și unui manechin complet să obțină rezultate bune și excelente. Cel puțin, algoritmul general de rezolvare a problemelor geometrice a luat contur foarte clar în capul meu.

CE TREBUIE SĂ ȘTIȚI ȘI SĂ POȚI FACE
pentru rezolvarea cu succes a problemelor de geometrie?

Nu există nicio scăpare din asta - pentru a nu împinge la întâmplare butoanele cu nasul, trebuie să stăpânești elementele de bază ale geometriei analitice. Prin urmare, dacă tocmai ați început să studiați geometria sau ați uitat-o ​​complet, vă rugăm să începeți cu lecția Vectori pentru manechine. Pe lângă vectori și acțiunile cu ei, trebuie să cunoașteți conceptele de bază ale geometriei plane, în special, ecuația unei drepte într-un planȘi . Geometria spațiului este prezentată în articole Ecuația plană, Ecuațiile unei drepte în spațiu, Probleme de bază pe o linie dreaptă și un plan și alte câteva lecții. Liniile curbe și suprafețele spațiale de ordinul doi stau oarecum depărtate și nu există atât de multe probleme specifice cu ele.

Să presupunem că elevul are deja cunoștințe și abilități de bază în rezolvarea celor mai simple probleme de geometrie analitică. Dar se întâmplă așa: citești enunțul problemei și... vrei să închizi totul cu totul, să o arunci în colțul îndepărtat și să o uiți, ca un vis urât. Mai mult, acest lucru nu depinde în mod fundamental de nivelul calificărilor tale; din când în când eu însumi întâlnesc sarcini pentru care soluția nu este evidentă. Ce să faci în astfel de cazuri? Nu trebuie să-ți fie frică de o sarcină pe care nu o înțelegi!

in primul rand, ar trebui instalat - Este aceasta o problemă „plată” sau spațială? De exemplu, dacă condiția include vectori cu două coordonate, atunci, desigur, aceasta este geometria unui plan. Și dacă profesorul l-a încărcat pe ascultătorul recunoscător cu o piramidă, atunci există în mod clar geometria spațiului. Rezultatele primului pas sunt deja destul de bune, pentru că am reușit să tăiem o cantitate imensă de informații inutile pentru această sarcină!

Al doilea. Condiția vă va preocupa de obicei cu o figură geometrică. Într-adevăr, mergi pe coridoarele universității tale natale și vei vedea o mulțime de fețe îngrijorate.

În problemele „plate”, ca să nu mai vorbim de punctele și liniile evidente, cea mai populară figură este un triunghi. O vom analiza în detaliu. Urmează paralelogramul și mult mai puțin frecvente sunt dreptunghiul, pătratul, rombul, cercul și alte forme.

În problemele de spațiu, pot zbura aceleași figuri plate + avioanele în sine și piramidele triunghiulare comune cu paralelipipede.

Intrebarea a doua - Știți totul despre această figură? Să presupunem că condiția vorbește despre un triunghi isoscel și vă amintiți foarte vag ce fel de triunghi este acesta. Deschidem un manual școlar și citim despre un triunghi isoscel. Ce să faci... doctorul a spus un romb, asta înseamnă un romb. Geometria analitică este geometrie analitică, dar problema va fi rezolvată prin proprietățile geometrice ale figurilor în sine, cunoscut la noi din programa școlară. Dacă nu știi care este suma unghiurilor unui triunghi, poți suferi mult timp.

Al treilea. ÎNTOTDEAUNA încercați să urmați desenul(pe o schiță/copie finală/mental), chiar dacă acest lucru nu este cerut de condiție. În problemele „plate”, Euclid însuși a ordonat să ridice o riglă și un creion - și nu numai pentru a înțelege starea, ci și în scopul autotestării. În acest caz, scara cea mai convenabilă este 1 unitate = 1 cm (2 celule de notebook). Să nu vorbim despre studenți și matematicieni neglijenți care se învârt în mormintele lor - este aproape imposibil să greșești în astfel de probleme. Pentru sarcini spațiale, efectuăm un desen schematic, care va ajuta și la analiza stării.

Un desen sau un desen schematic vă permite adesea să vedeți imediat modul de rezolvare a unei probleme. Desigur, pentru aceasta trebuie să cunoașteți fundamentul geometriei și să înțelegeți proprietățile formelor geometrice (a se vedea paragraful anterior).

Al patrulea. Dezvoltarea unui algoritm de soluție. Multe probleme de geometrie sunt în mai multe etape, astfel încât soluția și designul său sunt foarte convenabile de descompus în puncte. Adesea, algoritmul vă vine imediat în minte după ce citiți condiția sau finalizați desenul. În caz de dificultăți, începem cu ÎNTREBAREA sarcinii. De exemplu, conform condiției „trebuie să construiți o linie dreaptă...”. Aici cea mai logică întrebare este: „Ce este suficient să știi pentru a construi această linie dreaptă?” Să presupunem că „cunoaștem ideea, trebuie să cunoaștem vectorul de direcție”. Adresăm următoarea întrebare: „Cum să găsim acest vector de direcție? Unde?" etc.

Uneori există o „bucă” - problema nu este rezolvată și gata. Motivele opririi pot fi următoarele:

– Decalaj serios în cunoștințele de bază. Cu alte cuvinte, nu știi și/sau nu vezi ceva foarte simplu.

– Necunoașterea proprietăților figurilor geometrice.

- Sarcina a fost dificilă. Da, se întâmplă. Nu are rost să aburi ore întregi și să strângi lacrimi într-o batistă. Cereți sfaturi de la profesorul dvs., colegii studenți sau adresați o întrebare pe forum. Mai mult, este mai bine să-și concretizezi afirmația - despre acea parte a soluției pe care nu o înțelegi. Un strigăt sub forma „Cum se rezolvă problema?” nu arată foarte bine... și, mai ales, pentru propria ta reputație.

Etapa cinci. Noi decidem-verificam, decidem-verificam, decidem-verificam-da un raspuns. Este benefic să verificați fiecare punct al sarcinii imediat după ce este finalizat. Acest lucru vă va ajuta să identificați imediat eroarea. Desigur, nimeni nu interzice rezolvarea rapidă a întregii probleme, dar există riscul de a rescrie totul din nou (de multe ori mai multe pagini).

Acestea sunt, poate, toate considerentele principale care ar trebui urmate la rezolvarea problemelor.

Partea practică a lecției este prezentată în geometria plană. Vor fi doar două exemple, dar nu vor părea suficiente =)

Să trecem prin firul algoritmului pe care tocmai m-am uitat în mica mea lucrare științifică:

Exemplul 1

Sunt date trei vârfuri ale unui paralelogram. Găsiți partea de sus.

Să începem să înțelegem:

Primul pas: Este evident că vorbim despre o problemă „plată”.

Pasul doi: Problema tratează un paralelogram. Toată lumea își amintește această cifră paralelogramă? Nu este nevoie să zâmbești, mulți oameni își primesc educația la 30-40-50 de ani sau mai mult, așa că chiar și faptele simple pot fi șterse din memorie. Definiția paralelogramului se găsește în Exemplul nr. 3 al lecției Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor.

Pasul trei: Să facem un desen pe care să marchem trei vârfuri cunoscute. Este amuzant că nu este dificil să construiți imediat punctul dorit:

Construirea lui este, desigur, bună, dar soluția trebuie formulată analitic.

Pasul patru: Dezvoltarea unui algoritm de soluție. Primul lucru care îmi vine în minte este că un punct poate fi găsit ca intersecția dreptelor. Nu le cunoaștem ecuațiile, așa că va trebui să ne ocupăm de această problemă:

1) Laturile opuse sunt paralele. Pe puncte Să găsim vectorul direcție al acestor laturi. Aceasta este cea mai simplă problemă care a fost discutată în clasă. Vectori pentru manechine.

Notă: este mai corect să spunem „ecuația unei drepte care conține o latură”, dar aici și mai departe, pentru concizie, voi folosi expresiile „ecuația unei laturi”, „vector de direcție al unei laturi” etc.

3) Laturile opuse sunt paralele. Folosind punctele, găsim vectorul direcție al acestor laturi.

4) Să creăm o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție

În paragrafele 1-2 și 3-4, am rezolvat de fapt aceeași problemă de două ori, apropo, a fost discutată în exemplul nr. 3 al lecției Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. A fost posibil să luați o rută mai lungă - mai întâi găsiți ecuațiile liniilor și abia apoi „trageți” vectorii de direcție din ele.

5) Acum se cunosc ecuațiile dreptelor. Rămâne doar să compuneți și să rezolvați sistemul corespunzător de ecuații liniare (vezi exemplele nr. 4, 5 din aceeași lecție Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan).

Ideea a fost găsită.

Sarcina este destul de simplă și soluția ei este evidentă, dar există o cale mai scurtă!

A doua soluție:

Diagonalele unui paralelogram sunt tăiate în două de punctul lor de intersecție. Am marcat punctul, dar pentru a nu aglomera desenul, nu am desenat diagonalele în sine.

Să creăm o ecuație pentru partea laterală punct cu punct:

Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți mental sau pe o schiță coordonatele fiecărui punct în ecuația rezultată. Acum să găsim panta. Pentru a face acest lucru, rescriem ecuația generală sub forma unei ecuații cu un coeficient de pantă:

Astfel, panta este:

În mod similar, găsim ecuațiile laturilor. Nu văd prea mult rost să descriu același lucru, așa că voi da imediat rezultatul final:

2) Aflați lungimea laturii. Aceasta este cea mai simplă problemă abordată în clasă. Vectori pentru manechine. Pentru puncte folosim formula:

Folosind aceeași formulă, este ușor să găsiți lungimile altor laturi. Verificarea se poate face foarte repede cu o riglă obișnuită.

Folosim formula .

Să găsim vectorii:

Prin urmare:

Apropo, pe parcurs am găsit lungimile laturilor.

Ca urmare:

Ei bine, se pare că este adevărat; pentru a fi convingător, poți atașa un raportor la colț.

Atenţie! Nu confundați unghiul unui triunghi cu unghiul dintre liniile drepte. Unghiul unui triunghi poate fi obtuz, dar unghiul dintre liniile drepte nu poate (vezi ultimul paragraf al articolului Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan). Cu toate acestea, pentru a găsi unghiul unui triunghi, puteți folosi și formulele din lecția de mai sus, dar rugozitatea este că acele formule dau întotdeauna un unghi ascuțit. Cu ajutorul lor, am rezolvat această problemă în schiță și am obținut rezultatul. Și pe exemplarul final ar trebui să notez scuze suplimentare, că .

4) Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta.

Sarcină standard, discutată în detaliu în exemplul nr. 2 al lecției Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. Din ecuația generală a dreptei Să scoatem vectorul ghid. Să creăm o ecuație a unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție:

Cum să afli înălțimea unui triunghi?

5) Să creăm o ecuație pentru înălțime și să găsim lungimea acesteia.

Nu există nicio scăpare de la definițiile stricte, așa că va trebui să furi dintr-un manual școlar:

Înălțimea triunghiului se numește perpendiculară trasată de la vârful triunghiului la dreapta care conține latura opusă.

Adică, este necesar să se creeze o ecuație pentru o perpendiculară trasată de la vârf la latură. Această sarcină este discutată în exemplele nr. 6, 7 ale lecției Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. Din Eq. elimina vectorul normal. Să compunem ecuația înălțimii folosind un punct și un vector de direcție:

Vă rugăm să rețineți că nu cunoaștem coordonatele punctului.

Uneori ecuația înălțimii se găsește din raportul coeficienților unghiulari ai dreptelor perpendiculare: . În acest caz, atunci: . Să compunem ecuația înălțimii folosind un punct și un coeficient unghiular (vezi începutul lecției Ecuația unei drepte pe un plan):

Lungimea înălțimii poate fi găsită în două moduri.

Există o cale giratorie:

a) găsiți – punctul de intersecție al înălțimii și al laturii;
b) aflați lungimea segmentului folosind două puncte cunoscute.

Dar în clasă Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan a fost luată în considerare o formulă convenabilă pentru distanța de la un punct la o linie. Se cunoaște punctul: , se cunoaște și ecuația dreptei: , Prin urmare:

6) Calculați aria triunghiului. În spațiu, aria unui triunghi este calculată în mod tradițional folosind produs vectorial al vectorilor, dar aici ni se dă un triunghi pe un plan. Folosim formula școlară:
– Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei sale și înălțimea acestuia.

În acest caz:

Cum să găsiți mediana unui triunghi?

7) Să creăm o ecuație pentru mediană.

Mediana unui triunghi numit segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.

a) Aflați punctul - mijlocul laturii. Folosim formule pentru coordonatele punctului mijlociu al unui segment. Coordonatele capetelor segmentului sunt cunoscute: , apoi coordonatele mijlocului:

Prin urmare:

Să compunem punct cu punct ecuația mediană :

Pentru a verifica ecuația, trebuie să înlocuiți coordonatele punctelor în ea.

8) Aflați punctul de intersecție al înălțimii și medianei. Cred că toată lumea a învățat deja cum să efectueze acest element de patinaj artistic fără să cadă: