Orice ecuație pătratică completă ax2 + bx + c = 0 poate fi adus în minte x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, dacă mai întâi împărțim fiecare termen la coeficientul a înainte x2. Și dacă introducem o nouă notație (b/a) = pși (c/a) = q, atunci vom avea ecuația x 2 + px + q = 0, care în matematică se numește ecuație pătratică redusă.
Rădăcinile ecuației pătratice reduse și coeficienții pși q interconectate. Acest lucru este confirmat teorema lui Vieta, numit după matematicianul francez Francois Vieta, care a trăit la sfârșitul secolului al XVI-lea.
Teorema. Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0 egal cu al doilea coeficient p, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor - la termenul liber q.
Scriem aceste rapoarte în următoarea formă:
Lasa x 1și x2 diverse rădăcini ale ecuației reduse x 2 + px + q = 0. Conform teoremei lui Vieta x1 + x2 = -pși x 1 x 2 = q.
Pentru a demonstra acest lucru, să substituim fiecare dintre rădăcinile x 1 și x 2 în ecuație. Obținem două egalități adevărate:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Scădeți a doua din prima egalitate. Primim: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Extindem primii doi termeni conform formulei diferenței pătratelor:
(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0
După condiție, rădăcinile x 1 și x 2 sunt diferite. Prin urmare, putem reduce egalitatea cu (x 1 - x 2) ≠ 0 și exprimăm p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Prima egalitate este dovedită.
Pentru a demonstra a doua egalitate, înlocuim în prima ecuație
x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 în loc de coeficientul p, numărul său egal este (x 1 + x 2):
x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0
Transformând partea stângă a ecuației, obținem:
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;
x 1 x 2 = q, care urma să fie demonstrat.
Teorema lui Vieta este bună pentru că, chiar și fără a cunoaște rădăcinile ecuației pătratice, putem calcula suma și produsul acestora .
Teorema lui Vieta ajută la determinarea rădăcinilor întregi ale ecuației pătratice date. Dar pentru mulți elevi, acest lucru provoacă dificultăți din cauza faptului că nu cunosc un algoritm clar de acțiune, mai ales dacă rădăcinile ecuației au semne diferite.
Deci, ecuația pătratică dată are forma x 2 + px + q \u003d 0, unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile sale. Conform teoremei Vieta x 1 + x 2 = -p și x 1 x 2 = q.
Putem trage următoarea concluzie.
Dacă în ecuație ultimul termen este precedat de semnul minus, atunci rădăcinile x 1 și x 2 au semne diferite. În plus, semnul rădăcinii mai mici este același cu semnul celui de-al doilea coeficient din ecuație.
Pe baza faptului că atunci când adăugați numere cu semne diferite, modulele acestora sunt scăzute și semnul numărului mai mare este pus în fața rezultatului, ar trebui să procedați după cum urmează:
- determinați astfel de factori ai numărului q astfel încât diferența lor să fie egală cu numărul p;
- pune semnul celui de-al doilea coeficient al ecuației în fața celui mai mic dintre numerele obținute; a doua rădăcină va avea semnul opus.
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 1.
Rezolvați ecuația x 2 - 2x - 15 = 0.
Decizie.
Să încercăm să rezolvăm această ecuație folosind regulile propuse mai sus. Atunci putem spune cu siguranță că această ecuație va avea două rădăcini diferite, deoarece D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
Acum, din toți factorii numărului 15 (1 și 15, 3 și 5), îi selectăm pe cei a căror diferență este egală cu 2. Acestea vor fi numerele 3 și 5. Punem semnul minus în fața numărului mai mic. , adică semnul celui de-al doilea coeficient al ecuației. Astfel, obținem rădăcinile ecuației x 1 \u003d -3 și x 2 \u003d 5.
Răspuns. x 1 = -3 și x 2 = 5.
Exemplul 2.
Rezolvați ecuația x 2 + 5x - 6 = 0.
Decizie.
Să verificăm dacă această ecuație are rădăcini. Pentru a face acest lucru, găsim discriminantul:
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Ecuația are două rădăcini diferite.
Factorii posibili ai numărului 6 sunt 2 și 3, 6 și 1. Diferența este 5 pentru o pereche de 6 și 1. În acest exemplu, coeficientul celui de-al doilea termen are semnul plus, deci numărul mai mic va avea acelasi semn. Dar înainte de al doilea număr va apărea un semn minus.
Răspuns: x 1 = -6 și x 2 = 1.
Teorema lui Vieta poate fi scrisă și pentru o ecuație pătratică completă. Deci dacă ecuația pătratică ax2 + bx + c = 0 are rădăcini x 1 și x 2 , atunci ele satisfac egalitățile
x 1 + x 2 = -(b/a)și x 1 x 2 = (c/a). Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme în ecuația pătratică completă este destul de problematică, deoarece dacă există rădăcini, cel puțin una dintre ele este un număr fracționar. Și lucrul cu selecția fracțiilor este destul de dificil. Dar totuși există o cale de ieșire.
Se consideră ecuația pătratică completă ax 2 + bx + c = 0. Înmulțiți laturile sale stânga și dreapta cu coeficientul a. Ecuația va lua forma (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Acum să introducem o nouă variabilă, de exemplu t = ax.
În acest caz, ecuația rezultată se transformă într-o ecuație pătratică redusă de forma t 2 + bt + ac = 0, ale cărei rădăcini t 1 și t 2 (dacă există) pot fi determinate de teorema Vieta.
În acest caz, rădăcinile ecuației pătratice originale vor fi
x 1 = (t 1 / a) și x 2 = (t 2 / a).
Exemplul 3.
Rezolvați ecuația 15x 2 - 11x + 2 = 0.
Decizie.
Facem o ecuație auxiliară. Să înmulțim fiecare termen al ecuației cu 15:
15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.
Facem schimbarea t = 15x. Noi avem:
t 2 - 11t + 30 = 0.
Conform teoremei Vieta, rădăcinile acestei ecuații vor fi t 1 = 5 și t 2 = 6.
Revenim la înlocuirea t = 15x:
5 = 15x sau 6 = 15x. Astfel x 1 = 5/15 și x 2 = 6/15. Reducem și obținem răspunsul final: x 1 = 1/3 și x 2 = 2/5.
Răspuns. x 1 = 1/3 și x 2 = 2/5.
Pentru a stăpâni soluția ecuațiilor pătratice folosind teorema Vieta, elevii trebuie să exerseze cât mai mult posibil. Acesta este tocmai secretul succesului.
site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Una dintre metodele de rezolvare a unei ecuații pătratice este aplicația formule VIETA, care a fost numit după FRANCOIS VIETE.
A fost un avocat celebru și a slujit în secolul al XVI-lea cu regele francez. În timpul liber, a studiat astronomia și matematica. El a stabilit o legătură între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice.
Avantajele formulei:
1 . Prin aplicarea formulei, puteți găsi rapid soluția. Pentru că nu trebuie să introduceți al doilea coeficient în pătrat, apoi să scădeți 4ac din el, să găsiți discriminantul, să înlocuiți valoarea acestuia în formula pentru găsirea rădăcinilor.
2 . Fără o soluție, puteți determina semnele rădăcinilor, puteți ridica valorile rădăcinilor.
3 . După ce am rezolvat sistemul de două înregistrări, nu este dificil să găsiți rădăcinile în sine. În ecuația pătratică de mai sus, suma rădăcinilor este egală cu valoarea celui de-al doilea coeficient cu semnul minus. Produsul rădăcinilor din ecuația pătratică de mai sus este egal cu valoarea celui de-al treilea coeficient.
4 . După rădăcinile date, scrieți o ecuație pătratică, adică rezolvați problema inversă. De exemplu, această metodă este utilizată în rezolvarea problemelor de mecanică teoretică.
5 . Este convenabil să aplicați formula atunci când coeficientul de conducere este egal cu unu.
Dezavantaje:
1
. Formula nu este universală.
Teorema lui Vieta Clasa 8
Formulă
Dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date x 2 + px + q \u003d 0, atunci:
Exemple
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - rădăcinile ecuației x 2 - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Teorema inversă
Formulă
Dacă numerele x 1 , x 2 , p, q sunt legate prin condițiile:
Atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației x 2 + px + q = 0.
Exemplu
Să facem o ecuație pătratică după rădăcinile sale:
X 1 \u003d 2 -? 3 și x 2 \u003d 2 +? 3 .
P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
Ecuația dorită are forma: x 2 - 4x + 1 = 0.
I. Teorema lui Vieta pentru ecuația pătratică redusă.
Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 este egal cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Găsiți rădăcinile ecuației pătratice date folosind teorema lui Vieta.
Exemplul 1) x 2 -x-30=0. Aceasta este ecuația pătratică redusă ( x 2 +px+q=0), al doilea coeficient p=-1, și termenul liber q=-30.În primul rând, asigurați-vă că ecuația dată are rădăcini și că rădăcinile (dacă există) vor fi exprimate ca numere întregi. Pentru aceasta, este suficient ca discriminantul să fie pătratul întreg al unui număr întreg.
Găsirea discriminantului D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Acum, conform teoremei Vieta, suma rădăcinilor trebuie să fie egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, i.e. ( -p), iar produsul este egal cu termenul liber, i.e. ( q). Apoi:
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Trebuie să alegem astfel de două numere, astfel încât produsul lor să fie egal cu -30 , iar suma este unitate. Acestea sunt numerele -5 și 6 . Răspuns: -5; 6.
Exemplul 2) x 2 +6x+8=0. Avem ecuația pătratică redusă cu al doilea coeficient p=6și membru gratuit q=8. Asigurați-vă că există rădăcini întregi. Să găsim discriminantul D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Discriminantul D 1 este pătratul perfect al numărului 1 , deci rădăcinile acestei ecuații sunt numere întregi. Alegem rădăcinile după teorema Vieta: suma rădăcinilor este egală cu –p=-6, iar produsul rădăcinilor este q=8. Acestea sunt numerele -4 și -2 .
De fapt: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Răspuns: -4; -2.
Exemplul 3) x 2 +2x-4=0. În această ecuație pătratică redusă, al doilea coeficient p=2, și termenul liber q=-4. Să găsim discriminantul D1, deoarece al doilea coeficient este un număr par. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Discriminantul nu este un pătrat perfect al unui număr, așa că facem concluzie: rădăcinile acestei ecuații nu sunt numere întregi și nu pot fi găsite folosind teorema lui Vieta. Deci, rezolvăm această ecuație, ca de obicei, conform formulelor (în acest caz, conform formulelor). Primim:
Exemplul 4). Scrieți o ecuație pătratică folosind rădăcinile ei dacă x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
Decizie. Ecuația dorită va fi scrisă sub forma: x 2 +px+q=0, de altfel, pe baza teoremei Vieta –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Atunci ecuația va lua forma: x2 +3x-28=0.
Exemplul 5). Scrieți o ecuație pătratică folosind rădăcinile sale dacă:
II. teorema lui Vieta pentru ecuația pătratică completă ax2+bx+c=0.
Suma rădăcinilor este minus b impartit de A, produsul rădăcinilor este cu impartit de A:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
Astăzi merită să fie cântat în versuri
Despre proprietățile rădăcinilor, teorema lui Vieta.
Care este mai bine, să zicem, constanța acestui lucru:
Ai înmulțit rădăcinile - și fracția este gata
În numărător cu, la numitor A.
Și suma rădăcinilor este, de asemenea, o fracție
Chiar și cu un minus această fracție
Care este problema
În numărători în, la numitor A.
(Din folclorul școlar)
În epigrafă, remarcabila teoremă a lui François Vieta este dată nu tocmai exact. Într-adevăr, putem scrie o ecuație pătratică care nu are rădăcini și putem nota suma și produsul lor. De exemplu, ecuația x 2 + 2x + 12 = 0 nu are rădăcini reale. Dar, apropiindu-ne formal, le putem nota produsul (x 1 x 2 \u003d 12) și suma (x 1 + x 2 \u003d -2). Al nostru versurile vor corespunde teoremei cu avertismentul: „dacă ecuația are rădăcini”, adică. D ≥ 0.
Prima aplicație practică a acestei teoreme este compilarea unei ecuații pătratice care a dat rădăcini. În al doilea rând: vă permite să rezolvați verbal multe ecuații pătratice. La dezvoltarea acestor abilități, în primul rând, se atrage atenția asupra manualelor școlare.
Aici vom considera probleme mai complexe rezolvate folosind teorema Vieta.
Exemplul 1
Una dintre rădăcinile ecuației 5x 2 - 12x + c \u003d 0 este de trei ori mai mare decât a doua. Găsiți cu.
Decizie.
Fie a doua rădăcină x2.
Atunci prima rădăcină x1 = 3x2.
Conform teoremei Vieta, suma rădăcinilor este 12/5 = 2,4.
Să facem ecuația 3x2 + x2 = 2,4.
Prin urmare, x 2 \u003d 0,6. Prin urmare, x 1 \u003d 1,8.
Răspuns: c \u003d (x 1 x 2) a \u003d 0,6 1,8 5 \u003d 5,4.
Exemplul 2
Se știe că x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației x 2 - 8x + p = 0 și 3x 1 + 4x 2 = 29. Aflați p.
Decizie.
Conform teoremei Vieta x 1 + x 2 = 8, iar prin condiția 3x 1 + 4x 2 = 29.
După ce am rezolvat sistemul acestor două ecuații, găsim valoarea x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5.
Și prin urmare p = 15.
Răspuns: p = 15.
Exemplul 3
Fără a calcula rădăcinile ecuației 3x 2 + 8 x - 1 \u003d 0, găsiți x 1 4 + x 2 4
Decizie.
Rețineți că conform teoremei Vieta x 1 + x 2 = -8/3 și x 1 x 2 = -1/3 și transformați expresia
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 - 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2) 2 - 2 (x 1 x 2) 2 \u003d ((-8/3) 2 - 2 (-1/3)) 2 - 2 (-1/3) 2 \u003d 4898/9
Raspuns: 4898/9.
Exemplul 4
La ce valori ale parametrului a este diferența dintre rădăcinile cele mai mari și cele mai mici ale ecuației
2x 2 - (a + 1) x + (a - 1) \u003d 0 este egal cu produsul lor.
Decizie.
Aceasta este o ecuație pătratică. Va avea 2 rădăcini diferite dacă D > 0. Cu alte cuvinte, (a + 1) 2 - 8 (a - 1) > 0 sau (a - 3) 2 > 0. Prin urmare, avem 2 rădăcini pentru tot a, pentru cu excepția a = 3.
Pentru certitudine, presupunem că x 1 > x 2 și obținem x 1 + x 2 \u003d (a + 1) / 2 și x 1 x 2 \u003d (a - 1) / 2. Pe baza stării problemei x 1 - x 2 \u003d (a - 1) / 2. Toate cele trei condiții trebuie îndeplinite simultan. Considerați prima și ultima ecuație ca un sistem. Se rezolvă ușor prin metoda adunării algebrice.
Obținem x 1 \u003d a / 2, x 2 \u003d 1/2. Să verificăm pentru ce A a doua egalitate va fi îndeplinită: x 1 x 2 \u003d (a - 1) / 2. Să înlocuim valorile primite și vom avea: а/4 = (а – 1)/2. Atunci, a = 2. Este evident că dacă a = 2, atunci toate condițiile sunt îndeplinite.
Răspuns: când a = 2.
Exemplul 5
Care este cea mai mică valoare a lui a pentru care suma rădăcinilor ecuației
x 2 - 2a (x - 1) - 1 \u003d 0 este egal cu suma pătratelor rădăcinilor sale.
Decizie.
Mai întâi de toate, să aducem ecuația la forma canonică: x 2 - 2ax + 2a - 1 \u003d 0. Va avea rădăcini dacă D / 4 ≥ 0. Prin urmare: a 2 - (2a - 1) ≥ 0. Sau (a - 1) 2 ≥ 0. Și această condiție este valabilă pentru orice a.
Aplicăm teorema Vieta: x 1 + x 2 \u003d 2a, x 1 x 2 \u003d 2a - 1. Calculăm
x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2. Sau după înlocuirea x 1 2 + x 2 2 \u003d (2a) 2 - 2 (2a - 1) \u003d 4a 2 - 4a + 2. Rămâne să facem o egalitate care să corespundă condiției problemei: x 1 + x 2 \u003d x 1 2 + x 2 2 . Obținem: 2a \u003d 4a 2 - 4a + 2. Această ecuație pătratică are 2 rădăcini: a 1 \u003d 1 și a 2 \u003d 1/2. Cel mai mic dintre ele este -1/2.
Raspuns: 1/2.
Exemplul 6
Găsiți relația dintre coeficienții ecuației ax 2 + inx + c \u003d 0 dacă suma cuburilor rădăcinilor sale este egală cu produsul pătratelor acestor rădăcini.
Decizie.
Vom pleca de la faptul că această ecuație are rădăcini și, prin urmare, i se poate aplica teorema lui Vieta.
Atunci condiția problemei se va scrie după cum urmează: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 x 2 2. Sau: (x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2) \u003d (x 1 x 2) 2.
Trebuie să convertiți al doilea factor. x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2 \u003d ((x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2) - x 1 x 2.
Obținem (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 - 3x 1 x 2) \u003d (x 1 x 2) 2. Rămâne să înlocuim sumele și produsele rădăcinilor prin coeficienți.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Această expresie poate fi ușor convertită în formă b (3ac - b 2) / a \u003d c 2. Raportul este găsit.
Cometariu. Trebuie luat în considerare faptul că relația rezultată are sens să fie luată în considerare numai după ce cealaltă este îndeplinită: D ≥ 0.
Exemplul 7
Aflați valoarea variabilei a pentru care suma pătratelor rădăcinilor ecuației x 2 + 2ax + 3a 2 - 6a - 2 \u003d 0 este cea mai mare valoare.
Decizie.
Dacă această ecuație are rădăcini x 1 și x 2, atunci suma lor x 1 + x 2 \u003d -2a și produsul x 1 x 2 \u003d 3a 2 - 6a - 2.
Calculăm x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 \u003d (-2a) 2 - 2 (3a 2 - 6a - 2) \u003d -2a 2 + 12a + 4 \u003d -2 (a – 3) 2 + 22.
Acum este evident că această expresie capătă cea mai mare valoare la a = 3.
Rămâne de verificat dacă ecuația pătratică inițială are într-adevăr rădăcini la \u003d 3. Verificăm prin substituție și obținem: x 2 + 6x + 7 \u003d 0 și pentru aceasta D \u003d 36 - 28\u003e 0.
Prin urmare, răspunsul este: pentru a = 3.
Exemplul 8
Ecuația 2x 2 - 7x - 3 \u003d 0 are rădăcini x 1 și x 2. Găsiți suma triplă a coeficienților ecuației pătratice date, ale cărei rădăcini sunt numerele X 1 \u003d 1 / x 1 și X 2 \u003d 1 / x 2. (*)
Decizie.
Evident, x 1 + x 2 \u003d 7/2 și x 1 x 2 \u003d -3/2. Compunem a doua ecuație după rădăcinile sale sub forma x 2 + px + q \u003d 0. Pentru a face acest lucru, folosim afirmația inversă teoremei Vieta. Obținem: p \u003d - (X 1 + X 2) și q \u003d X 1 X 2.
După înlocuirea acestor formule, pe baza (*), atunci: p \u003d - (x 1 + x 2) / (x 1 x 2) \u003d 7/3 și q \u003d 1 / (x 1 x 2) \ u003d - 2/3.
Ecuația dorită va lua forma: x 2 + 7/3 x - 2/3 = 0. Acum putem calcula cu ușurință suma triplă a coeficienților săi:
3(1 + 7/3 - 2/3) = 8. Răspuns primit.
Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să folosești teorema lui Vieta?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!
blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.
teorema lui Vieta
Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice reduse
(1)
.
Atunci suma rădăcinilor este egală cu coeficientul la luat cu semnul opus. Produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:
;
.
O notă despre mai multe rădăcini
Dacă discriminantul ecuației (1) este zero, atunci această ecuație are o rădăcină. Dar, pentru a evita formulările greoaie, se acceptă în general că, în acest caz, ecuația (1) are două rădăcini multiple sau egale:
.
Dovada unu
Să găsim rădăcinile ecuației (1). Pentru a face acest lucru, aplicați formula pentru rădăcinile ecuației pătratice:
;
;
.
Aflarea sumei rădăcinilor:
.
Pentru a găsi produsul, aplicăm formula:
.
Apoi
.
Teorema a fost demonstrată.
Dovada a doua
Dacă numerele și sunt rădăcinile ecuației pătratice (1), atunci
.
Deschidem parantezele.
.
Astfel, ecuația (1) va lua forma:
.
Comparând cu (1) găsim:
;
.
Teorema a fost demonstrată.
Teorema inversă Vieta
Să fie numere arbitrare. Atunci și sunt rădăcinile ecuației pătratice
,
Unde
(2)
;
(3)
.
Dovada teoremei inverse a lui Vieta
Luați în considerare ecuația pătratică
(1)
.
Trebuie să demonstrăm că dacă și , atunci și sunt rădăcinile ecuației (1).
Înlocuiți (2) și (3) în (1):
.
Grupăm termenii din partea stângă a ecuației:
;
;
(4)
.
Înlocuitor în (4):
;
.
Înlocuitor în (4):
;
.
Ecuația este îndeplinită. Adică, numărul este rădăcina ecuației (1).
Teorema a fost demonstrată.
Teorema lui Vieta pentru ecuația pătratică completă
Acum luați în considerare ecuația pătratică completă
(5)
,
unde , și sunt câteva numere. Și .
Împărțim ecuația (5) la:
.
Adică am obținut ecuația de mai sus
,
Unde ; .
Atunci teorema Vieta pentru ecuația pătratică completă are următoarea formă.
Fie și notăm rădăcinile ecuației pătratice complete
.
Apoi suma și produsul rădăcinilor sunt determinate de formulele:
;
.
Teorema lui Vieta pentru o ecuație cubică
În mod similar, putem stabili conexiuni între rădăcinile unei ecuații cubice. Luați în considerare ecuația cubică
(6)
,
unde , , , sunt unele numere. Și .
Să împărțim această ecuație la:
(7)
,
Unde , , .
Fie , , rădăcinile ecuației (7) (și ecuației (6)). Apoi
.
Comparând cu ecuația (7) găsim:
;
;
.
Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea
În același mod, puteți găsi legături între rădăcinile , , ... , , pentru ecuația de gradul al n-lea
.
Teorema lui Vieta pentru o ecuație de gradul al n-lea are următoarea formă:
;
;
;
.
Pentru a obține aceste formule, scriem ecuația sub următoarea formă:
.
Apoi echivalăm coeficienții la , , , ... , și comparăm termenul liber.
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov și colab., Algebra: un manual pentru clasa a VIII-a a instituțiilor de învățământ, Moscova, Educație, 2006.
