Fie dat sistemul, ∆≠0. (unu)
metoda Gauss este o metodă de eliminare succesivă a necunoscutelor.

Esența metodei Gauss este de a transforma (1) într-un sistem cu o matrice triunghiulară, din care valorile tuturor necunoscutelor sunt apoi obținute succesiv (invers). Să luăm în considerare una dintre schemele de calcul. Acest circuit se numește circuit cu o singură diviziune. Deci, să aruncăm o privire la această diagramă. Fie un 11 ≠0 (element conducător) să împartă la 11 prima ecuație. obține
(2)
Folosind ecuația (2), este ușor să excludem necunoscutele x 1 din ecuațiile rămase ale sistemului (pentru aceasta, este suficient să scădem ecuația (2) din fiecare ecuație înmulțită preliminar cu coeficientul corespunzător la x 1), că este, la primul pas obținem
.
Cu alte cuvinte, la pasul 1, fiecare element al rândurilor următoare, începând de la al doilea, este egal cu diferența dintre elementul original și produsul „proiecției” acestuia pe prima coloană și primul rând (transformat).
După aceea, lăsând în pace prima ecuație, peste restul ecuațiilor sistemului obținut la primul pas, vom efectua o transformare similară: alegem dintre ele o ecuație cu un element conducător și o folosim pentru a exclude x 2 din ecuațiile rămase (pasul 2).
După n pași, în loc de (1) obținem un sistem echivalent
(3)
Astfel, în prima etapă, vom obține un sistem triunghiular (3). Acest pas se numește înainte.
La a doua etapă (deplasare inversă) găsim secvenţial din (3) valorile x n , x n -1 , …, x 1 .
Să notăm soluția obținută ca x 0 . Atunci diferența ε=b-A x 0 se numeste rezidual.
Dacă ε=0, atunci soluția găsită x 0 este corectă.

Calculele prin metoda Gauss sunt efectuate în două etape:

1. Prima etapă se numește cursul direct al metodei. În prima etapă, sistemul original este convertit într-o formă triunghiulară.
2. A doua etapă se numește inversă. La a doua etapă se rezolvă un sistem triunghiular echivalent cu cel inițial.

Coeficienții a 11 , a 22 , ... se numesc elemente conducătoare.
La fiecare pas, sa presupus că elementul conducător este diferit de zero. Dacă nu este cazul, atunci orice alt element poate fi folosit ca lider, ca și cum ar rearanja ecuațiile sistemului.

Scopul metodei Gauss

Metoda Gauss este destinată rezolvării sistemelor de ecuații liniare. Se referă la metode directe de soluție.

Tipuri de metoda Gauss

1. Metoda Gauss clasică;
2. Modificări ale metodei Gauss. Una dintre modificările metodei gaussiene este circuitul cu alegerea elementului principal. O caracteristică a metodei Gauss cu alegerea elementului principal este o astfel de permutare a ecuațiilor, astfel încât la pasul k-lea elementul principal este cel mai mare element din k-a coloană.
3. metoda Jordan-Gauss;

Diferența dintre metoda Jordan-Gauss și cea clasică metoda Gauss constă în aplicarea regulii dreptunghiului atunci când direcția căutării unei soluții este de-a lungul diagonalei principale (transformare în matricea identității). În metoda Gauss, direcția căutării unei soluții are loc de-a lungul coloanelor (transformare într-un sistem cu matrice triunghiulară).
Ilustrați diferența metoda Jordan-Gauss din metoda Gauss pe exemple.

Exemplu de soluție Gauss
Să rezolvăm sistemul:

Pentru confortul calculelor, schimbăm liniile:

Înmulțiți al 2-lea rând cu (2). Adăugați a treia linie la a doua

Înmulțiți al 2-lea rând cu (-1). Adăugați al 2-lea rând la primul

Din prima linie exprimăm x 3:
Din a doua linie exprimăm x 2:
Din a treia linie exprimăm x 1:

Un exemplu de soluție prin metoda Jordan-Gauss
Vom rezolva același SLAE folosind metoda Jordano-Gauss.

Vom alege secvenţial elementul de rezoluţie al RE, care se află pe diagonala principală a matricei.
Elementul de activare este egal cu (1).



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - element de activare (1), A și B - elemente de matrice care formează un dreptunghi cu elemente de STE și RE.
Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Elementul de activare este egal cu (3).
În locul elementului de rezolvare, obținem 1, iar în coloana însăși scriem zerouri.
Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele coloanei B, sunt determinate de regula dreptunghiului.
Pentru a face acest lucru, selectați patru numere care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includ întotdeauna elementul de activare al RE.

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Elementul de activare este (-4).
În locul elementului de rezolvare, obținem 1, iar în coloana însăși scriem zerouri.
Toate celelalte elemente ale matricei, inclusiv elementele coloanei B, sunt determinate de regula dreptunghiului.
Pentru a face acest lucru, selectați patru numere care sunt situate la vârfurile dreptunghiului și includ întotdeauna elementul de activare al RE.
Să prezentăm calculul fiecărui element sub forma unui tabel:

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Răspuns: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementarea metodei Gauss

Metoda Gauss este implementată în multe limbaje de programare, în special: Pascal, C++, php, Delphi și există și o implementare online a metodei Gauss.

Folosind metoda Gauss

Aplicarea metodei Gauss în teoria jocurilor

În teoria jocurilor, la găsirea strategiei maxime optime a unui jucător, se alcătuiește un sistem de ecuații, care se rezolvă prin metoda Gauss.

Aplicarea metodei Gauss in rezolvarea ecuatiilor diferentiale

Pentru a căuta o anumită soluție a unei ecuații diferențiale, găsiți mai întâi derivatele gradului corespunzător pentru soluția particulară scrisă (y=f(A,B,C,D)), care sunt înlocuite în ecuația originală. În plus, pentru a găsi variabilele A, B, C, D, este compilat un sistem de ecuații, care se rezolvă prin metoda Gauss.

Aplicarea metodei Jordan-Gauss în programarea liniară

În programarea liniară, în special, în metoda simplex, pentru a transforma un tabel simplex la fiecare iterație, se folosește regula dreptunghiului, care folosește metoda Jordan-Gauss.

Să fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare, care trebuie rezolvat (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor хi care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate).

Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:

1) Nu au soluții (fi incompatibil).
2) Au infinit de soluții.
3) Aveți o soluție unică.

După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinite de soluții sau este inconsecvent. metoda Gauss – cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea de soluții la orice sistem de ecuații liniare, care în fiecare caz conduce-ne la raspuns! Algoritmul metodei în toate cele trei cazuri funcționează în același mod. Dacă metodele Cramer și matrice necesită cunoașterea determinanților, atunci aplicarea metodei Gauss necesită cunoașterea doar a operațiilor aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și pentru școlari. școală primară.

Transformări matrice extinse ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi) sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:

1) cu troky matrici poate sa rearanja locuri.

2) dacă există (sau sunt) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci urmează șterge din matrice, toate aceste rânduri cu excepția unuia.

3) dacă în matrice a apărut un rând zero în timpul transformărilor, atunci urmează și el șterge.

4) rândul matricei poate înmulțire (împărțire) la orice alt număr decât zero.

5) la rândul matricei, puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero.

În metoda Gauss, transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații.

Metoda Gauss constă din două etape:

1. „Mișcare directă” - folosind transformări elementare, aduceți matricea extinsă a sistemului de ecuații algebrice liniare într-o formă în trepte „triunghiulară”: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (deplasarea de sus în jos) ). De exemplu, la acest tip:

Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași:

1) Să considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul la x 1 este egal cu K. A doua, a treia etc. transformăm ecuațiile astfel: împărțim fiecare ecuație (coeficienți pentru necunoscute, inclusiv termeni liberi) la coeficientul pentru necunoscut x 1, care se află în fiecare ecuație, și înmulțim cu K. După aceea, scădem prima din a doua ecuație ( coeficienţi pentru necunoscute şi termeni liberi). Obținem la x 1 în a doua ecuație coeficientul 0. Din a treia ecuație transformată scădem prima ecuație, deci până când toate ecuațiile, cu excepția primei, cu necunoscut x 1 nu vor avea coeficient 0.

2) Treceți la următoarea ecuație. Fie aceasta a doua ecuație și coeficientul de la x 2 este egal cu M. Cu toate ecuațiile „subordonate”, procedăm așa cum este descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 în toate ecuațiile vor fi zerouri.

3) Trecem la următoarea ecuație și așa mai departe până rămâne un ultim termen liber necunoscut și transformat.

1. „Mișcarea inversă” a metodei Gauss este de a obține o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare (mișcarea „de jos în sus”). Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n \u003d B. În exemplul de mai sus, x 3 \u003d 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 - 4 \u003d 1, adică x 2 \u003d 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.

Exemplu.

Rezolvăm sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss, așa cum ne sfătuiesc unii autori:

Scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem la o formă de pas:

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Acolo ar trebui să avem o unitate. Problema este că nu sunt deloc nimeni în prima coloană, așa că nimic nu poate fi rezolvat prin rearanjarea rândurilor. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Hai să o facem așa:
1 pas . La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu -1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu -1 și am efectuat adăugarea primei și a doua rânduri, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus „minus unu”, care ni se potrivește perfect. Cine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu -1 (schimbați-i semnul).

2 pas . Prima linie înmulțită cu 5 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 3 a fost adăugată la a treia linie.

3 pas . Prima linie a fost înmulțită cu -1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel, la a doua „treaptă, am avut unitatea dorită.

4 pas . La a treia linie, adăugați a doua linie, înmulțită cu 2.

5 pas . A treia linie este împărțită la 3.

Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar o greșeală de scriere) este un rezultat „proast”. Adică, dacă avem ceva de genul (0 0 11 | 23) mai jos și, în consecință, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atunci cu un grad mare de probabilitate putem spune că a fost făcută o greșeală în timpul elementului transformări.

Efectuăm o mișcare inversă, în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, iar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează „de jos în sus”. În acest exemplu, cadoul a rezultat:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, prin urmare x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Răspuns:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Să rezolvăm același sistem folosind algoritmul propus. Primim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Împărțim a doua ecuație cu 5 și a treia cu 3. Obținem:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Scădeți prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Împărțiți a treia ecuație la 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Scădeți a doua ecuație din a treia ecuație, obținem matricea augmentată „în trepte”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Astfel, deoarece o eroare acumulată în procesul de calcule, obținem x 3 \u003d 0,96, sau aproximativ 1.

x 2 \u003d 3 și x 1 \u003d -1.

Rezolvând astfel, nu te vei încurca niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, vei obține rezultatul.

Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ține cont de caracteristicile specifice ale coeficienților pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să se ocupe de coeficienți neîntregi.

Iti doresc noroc! Ne vedem la ore! Tutor Dmitri Aistrakhanov.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Astăzi ne ocupăm de metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare. Puteți citi despre ce sunt aceste sisteme în articolul anterior dedicat rezolvării aceluiași SLAE prin metoda Cramer. Metoda Gauss nu necesită cunoștințe specifice, sunt necesare doar grijă și consecvență. În ciuda faptului că din punct de vedere al matematicii, pregătirea școlară este suficientă pentru aplicarea ei, stăpânirea acestei metode provoacă adesea dificultăți elevilor. În acest articol, vom încerca să le reducem la nimic!

metoda Gauss

M metoda Gauss este cea mai universală metodă de rezolvare a SLAE (cu excepția sistemelor foarte mari). Spre deosebire de cel discutat mai devreme, este potrivit nu numai pentru sistemele care au o soluție unică, ci și pentru sistemele care au un număr infinit de soluții. Există trei opțiuni aici.

1. Sistemul are o soluție unică (determinantul matricei principale a sistemului nu este egal cu zero);
2. Sistemul are un număr infinit de soluții;
3. Nu există soluții, sistemul este inconsecvent.

Deci, avem un sistem (lăsați-l să aibă o soluție) și îl vom rezolva folosind metoda Gaussiană. Cum functioneaza?

Metoda Gauss constă din două etape - directă și inversă.

Metoda Gauss directă

Mai întâi, scriem matricea augmentată a sistemului. Pentru a face acest lucru, adăugăm o coloană de membri liberi la matricea principală.

Întreaga esență a metodei gaussiene este reducerea acestei matrice la o formă în trepte (sau, după cum se spune, triunghiulară) prin intermediul transformărilor elementare. În această formă, ar trebui să existe doar zerouri sub (sau deasupra) diagonalei principale a matricei.

Ce se poate face:

1. Puteți rearanja rândurile matricei;
2. Dacă există rânduri identice (sau proporționale) în matrice, puteți șterge toate, cu excepția unuia;
3. Puteți înmulți sau împărți un șir cu orice număr (cu excepția zero);
4. Liniile zero sunt eliminate;
5. Puteți adăuga un șir înmulțit cu un număr diferit de zero la un șir.

Metoda Gauss invers

După ce transformăm sistemul în acest fel, unul necunoscut xn devine cunoscut și este posibil să găsiți toate necunoscutele rămase în ordine inversă, substituind x-urile deja cunoscute în ecuațiile sistemului, până la prima.

Când internetul este întotdeauna la îndemână, puteți rezolva sistemul de ecuații folosind metoda Gauss pe net . Tot ce trebuie să faceți este să introduceți cotele în calculatorul online. Dar trebuie să recunoști, este mult mai plăcut să realizezi că exemplul a fost rezolvat nu de un program de calculator, ci de propriul tău creier.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații folosind metoda Gauss

Și acum - un exemplu, pentru ca totul să devină clar și de înțeles. Să fie dat un sistem de ecuații liniare și este necesar să-l rezolvăm prin metoda Gauss:

Mai întâi, să scriem matricea augmentată:

Acum să aruncăm o privire asupra transformărilor. Amintiți-vă că trebuie să obținem o formă triunghiulară a matricei. Înmulțiți primul rând cu (3). Înmulțiți al 2-lea rând cu (-1). Să adăugăm al 2-lea rând la primul și să obținem:

Apoi înmulțiți al treilea rând cu (-1). Să adăugăm a treia linie la a doua:

Înmulțiți primul rând cu (6). Înmulțiți al 2-lea rând cu (13). Să adăugăm a doua linie la prima:

Voila - sistemul este adus în forma corespunzătoare. Rămâne de găsit necunoscutele:

Sistemul din acest exemplu are o soluție unică. Vom lua în considerare soluția sistemelor cu un set infinit de soluții într-un articol separat. Poate că la început nu veți ști de unde să începeți cu transformările matriceale, dar după o practică adecvată veți pune mâna pe ea și veți face clic pe SLAE gaussian ca pe nuci. Și dacă dați brusc peste un SLAU, care se dovedește a fi o nucă prea dură de spart, contactați autorii noștri! puteți lăsând o cerere în Corespondență. Împreună vom rezolva orice problemă!

Una dintre cele mai simple moduri de a rezolva un sistem de ecuații liniare este o metodă bazată pe calcularea determinanților ( regula lui Cramer). Avantajul său este că vă permite să înregistrați imediat soluția, este mai ales convenabil în cazurile în care coeficienții sistemului nu sunt numere, ci niște parametri. Dezavantajul său este greutatea calculelor în cazul unui număr mare de ecuații, în plus, regula lui Cramer nu este direct aplicabilă sistemelor în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute. În astfel de cazuri, este de obicei folosit metoda Gauss.

Se numesc sisteme de ecuații liniare care au același set de soluții echivalent. În mod evident, setul de soluții ale unui sistem liniar nu se va schimba dacă vreo ecuație este interschimbată sau dacă una dintre ecuații este înmulțită cu un număr diferit de zero, sau dacă o ecuație este adăugată la alta.

metoda Gauss (metoda de eliminare succesiva a necunoscutelor) constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul se reduce la un sistem treptat echivalent. În primul rând, cu ajutorul primei ecuații, X 1 din toate ecuațiile ulterioare ale sistemului. Apoi, folosind a 2-a ecuație, eliminăm X 2 din a 3-a și toate ecuațiile ulterioare. Acest proces, numit metoda Gauss directă, continuă până când rămâne doar o necunoscută în partea stângă a ultimei ecuații x n. După aceea, se face Revers gaussian– rezolvând ultima ecuație, găsim x n; după aceea, folosind această valoare, din penultima ecuație pe care o calculăm x n-1 etc. Ultimul găsim X 1 din prima ecuație.

Este convenabil să se efectueze transformări gaussiene realizând transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricele coeficienților lor. Luați în considerare matricea:

numit sistem de matrice extinsă, deoarece pe lângă matricea principală a sistemului, include o coloană de membri liberi. Metoda Gaussiană se bazează pe aducerea matricei principale a sistemului într-o formă triunghiulară (sau formă trapezoidală în cazul sistemelor nepătrate) folosind transformări elementare de rând (!) ale matricei extinse a sistemului.

Exemplul 5.1. Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss:

Decizie. Să scriem matricea augmentată a sistemului și, folosind primul rând, după aceea vom seta restul elementelor la zero:

primim zerouri în rândurile 2, 3 și 4 ale primei coloane:

Acum avem nevoie ca toate elementele din a doua coloană de sub al doilea rând să fie egale cu zero. Pentru a face acest lucru, puteți înmulți a doua linie cu -4/7 și adăugați la a treia linie. Totuși, pentru a nu avea de-a face cu fracțiile, vom crea o unitate în al 2-lea rând al celei de-a doua coloane și numai

Acum, pentru a obține o matrice triunghiulară, trebuie să eliminați elementul din al patrulea rând al coloanei a treia, pentru aceasta puteți înmulți al treilea rând cu 8/54 și îl puteți adăuga la al patrulea. Totuși, pentru a nu avea de-a face cu fracțiile, vom schimba rândurile al 3-lea și al 4-lea și al 3-a și al 4-lea coloane și numai după aceea vom reseta elementul specificat. Rețineți că atunci când coloanele sunt rearanjate, variabilele corespunzătoare sunt schimbate și acest lucru trebuie reținut; alte transformări elementare cu coloane (adunare și înmulțire cu un număr) nu pot fi efectuate!

Ultima matrice simplificată corespunde unui sistem de ecuații echivalent cu cel inițial:

De aici, folosind cursul invers al metodei Gauss, găsim din a patra ecuație X 3 = -1; din a treia X 4 = -2, din a doua X 2 = 2 și din prima ecuație X 1 = 1. În formă de matrice, răspunsul se scrie ca

Am luat în considerare cazul când sistemul este definit, adică. când există o singură soluție. Să vedem ce se întâmplă dacă sistemul este inconsecvent sau nedeterminat.

Exemplul 5.2. Explorați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Decizie. Scriem și transformăm matricea augmentată a sistemului

Scriem un sistem simplificat de ecuații:

Aici, în ultima ecuație, s-a dovedit că 0=4, adică. contradicţie. Prin urmare, sistemul nu are soluție, adică. ea este incompatibil. à

Exemplul 5.3. Explorați și rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Decizie. Scriem și transformăm matricea extinsă a sistemului:

Ca urmare a transformărilor s-au obținut doar zerouri în ultima linie. Aceasta înseamnă că numărul de ecuații a scăzut cu una:

Astfel, după simplificări, rămân două ecuații, și patru necunoscute, adică. două „în plus” necunoscute. Lasă „de prisos”, sau, după cum se spune, variabile libere, voi X 3 și X 4 . Apoi

Presupunând X 3 = 2Ași X 4 = b, primim X 2 = 1–Ași X 1 = 2b–A; sau sub formă de matrice

O soluție scrisă în acest fel se numește general, din moment ce, prin darea parametrilor Ași b valori diferite, este posibil să descriem toate soluțiile posibile ale sistemului. A

Se spune că două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă mulțimea tuturor soluțiilor lor este aceeași.

Transformările elementare ale sistemului de ecuații sunt:

1. Ștergerea din sistemul de ecuații triviale, i.e. cele pentru care toți coeficienții sunt egali cu zero;
2. Înmulțirea oricărei ecuații cu un număr diferit de zero;
3. Adunarea oricărei ecuații i-a a oricărei ecuații j-a, înmulțită cu orice număr.

Variabila x i se numește liberă dacă această variabilă nu este permisă, iar întregul sistem de ecuații este permis.

Teorema. Transformările elementare transformă sistemul de ecuații într-unul echivalent.

Semnificația metodei Gauss este de a transforma sistemul original de ecuații și de a obține un sistem echivalent permis sau echivalent inconsistent.

Deci, metoda Gauss constă din următorii pași:

1. Luați în considerare prima ecuație. Alegem primul coeficient diferit de zero și împărțim întreaga ecuație la el. Obtinem o ecuatie in care intra o variabila x i cu un coeficient de 1;
2. Să scădem această ecuație din toate celelalte, înmulțind-o cu numere astfel încât coeficienții pentru variabila x i din ecuațiile rămase să fie setate la zero. Obținem un sistem care se rezolvă în raport cu variabila x i și este echivalent cu cel inițial;
3. Dacă apar ecuații triviale (rar, dar se întâmplă; de exemplu, 0 = 0), le ștergem din sistem. Ca rezultat, ecuațiile devin cu una mai puțin;
4. Repetăm ​​pașii anteriori de cel mult n ori, unde n este numărul de ecuații din sistem. De fiecare dată când selectăm o nouă variabilă pentru „procesare”. Dacă apar ecuații conflictuale (de exemplu, 0 = 8), sistemul este inconsecvent.

Ca urmare, după câțiva pași obținem fie un sistem permis (eventual cu variabile libere), fie unul inconsistent. Sistemele permise se împart în două cazuri:

1. Numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații. Deci sistemul este definit;
2. Numărul de variabile este mai mare decât numărul de ecuații. Colectăm toate variabilele libere din dreapta - obținem formule pentru variabilele permise. Aceste formule sunt scrise în răspuns.

Asta e tot! Sistemul de ecuații liniare este rezolvat! Acesta este un algoritm destul de simplu și, pentru a-l stăpâni, nu trebuie să contactați un tutore de matematică. Luați în considerare un exemplu:

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Descrierea etapelor:

1. Scădem prima ecuație din a doua și a treia - obținem variabila admisă x 1;
2. Înmulțim a doua ecuație cu (−1), și împărțim a treia ecuație la (−3) - obținem două ecuații în care variabila x 2 intră cu coeficientul 1;
3. Adăugăm a doua ecuație la prima și scadem din a treia. Să obținem variabila permisă x 2 ;
4. În final, scădem a treia ecuație din prima - obținem variabila admisă x 3 ;
5. Am primit un sistem autorizat, notăm răspunsul.

Soluția generală a unui sistem comun de ecuații liniare este un sistem nou, echivalent cu cel original, în care toate variabilele permise sunt exprimate în termeni de cele libere.

Când ar putea fi necesară o soluție generală? Dacă trebuie să faceți mai puțini pași decât k (k este câte ecuații în total). Totuși, motivele pentru care procesul se termină la un pas l< k , может быть две:

1. După pasul l -lea, obținem un sistem care nu conține o ecuație cu numărul (l + 1). De fapt, acest lucru este bine, pentru că. sistemul rezolvat este primit oricum – chiar și cu câțiva pași mai devreme.
2. După pasul l -a, se obține o ecuație în care toți coeficienții variabilelor sunt egali cu zero, iar coeficientul liber este diferit de zero. Aceasta este o ecuație inconsistentă și, prin urmare, sistemul este inconsecvent.

Este important de înțeles că apariția unei ecuații inconsistente prin metoda Gauss este un motiv suficient pentru inconsecvență. În același timp, observăm că, ca urmare a pasului l-lea, ecuațiile triviale nu pot rămâne - toate sunt șterse direct în proces.

Descrierea etapelor:

1. Scădeți prima ecuație cu 4 din a doua. Și adăugați, de asemenea, prima ecuație la a treia - obținem variabila permisă x 1;
2. Scădem a treia ecuație, înmulțită cu 2, din a doua - obținem ecuația contradictorie 0 = −5.

Deci, sistemul este inconsecvent, deoarece a fost găsită o ecuație inconsistentă.

Sarcină. Investigați compatibilitatea și găsiți soluția generală a sistemului:

Descrierea etapelor:

1. Scădem prima ecuație din a doua (după înmulțirea cu doi) și a treia - obținem variabila admisă x 1;
2. Scădeți a doua ecuație din a treia. Deoarece toți coeficienții din aceste ecuații sunt aceiași, a treia ecuație devine trivială. În același timp, înmulțim a doua ecuație cu (−1);
3. Scădem a doua ecuație din prima ecuație - obținem variabila permisă x 2. Întregul sistem de ecuații este acum și el rezolvat;
4. Deoarece variabilele x 3 și x 4 sunt libere, le mutăm spre dreapta pentru a exprima variabilele permise. Acesta este răspunsul.

Deci, sistemul este comun și nedefinit, deoarece există două variabile permise (x 1 și x 2) și două libere (x 3 și x 4).