Să rezolvăm problema. Avem două tipuri de cookie-uri. Unele sunt de ciocolată, iar altele sunt simple. Sunt 48 de bucati de ciocolata, si 36 simple.Este necesar sa se realizeze cat mai multe cadouri din aceste fursecuri, si trebuie folosite toate.
Mai întâi, să notăm toți divizorii fiecăruia dintre aceste două numere, deoarece ambele numere trebuie să fie divizibile cu numărul de cadouri.
Primim
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Să găsim printre divizori pe cei comuni pe care îi au atât primul cât și al doilea număr.
Divizorii comuni vor fi: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Cel mai mare divizor comun dintre toate este 12. Acest număr se numește cel mai mare divizor comun dintre 36 și 48.
Pe baza rezultatului, putem concluziona că din toate prăjiturile pot fi făcute 12 cadouri. Un astfel de cadou va contine 4 fursecuri de ciocolata si 3 fursecuri obisnuite.
Găsirea celui mai mare divizor comun
- Cel mai mare număr natural cu care două numere a și b sunt divizibile fără rest se numește cel mai mare divizor comun al acestor numere.
Uneori, abrevierea GCD este folosită pentru a prescurta intrarea.
Unele perechi de numere au unul ca cel mai mare divizor comun. Se numesc astfel de numere numere coprime. De exemplu, numerele 24 și 35. Au GCD =1.
Cum să găsiți cel mai mare divizor comun
Pentru a găsi cel mai mare divizor comun, nu este necesar să scrieți toți divizorii acestor numere.
Puteți face altfel. Mai întâi, factorizează ambele numere în factori primi.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Acum, din factorii care sunt incluși în extinderea primului număr, îi ștergem pe toți cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr. În cazul nostru, acestea sunt două două.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Rămân factorii 2, 2 și 3. Produsul lor este 12. Acest număr va fi cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36.
Această regulă poate fi extinsă la cazul trei, patru și așa mai departe. numerele.
Schema generală pentru găsirea celui mai mare divizor comun
- 1. Descompune numerele în factori primi.
- 2. Din factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere.
- 3. Calculați produsul factorilor rămași.
Găsirea celui mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere poate fi redusă la găsirea succesivă a mcd a două numere. Am menționat acest lucru când am studiat proprietățile GCD. Acolo am formulat și demonstrat teorema: cel mai mare divizor comun al mai multor numere a 1 , a 2 , …, a k este egal cu numărul dk, care se regăsește în calculul secvenţial GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d2, a3)=d3, GCD(d3, a4)=d4, …,GCD(dk-1, ak)=dk.
Să vedem cum arată procesul de găsire a GCD-ului mai multor numere luând în considerare soluția exemplului.
Exemplu.
Găsiți cel mai mare divizor comun al patru numere 78 , 294 , 570 și 36 .
Decizie.
În acest exemplu a 1 =78, a2=294, a 3 \u003d 570, a4=36.
În primul rând, folosind algoritmul Euclid, determinăm cel mai mare divizor comun d2 primele două numere 78 și 294 . Când împărțim, obținem egalitățile 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18 3+6și 18=6 3. Prin urmare, d 2 \u003d GCD (78, 294) \u003d 6.
Acum să calculăm d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Să folosim din nou algoritmul lui Euclid: 570=6 95, prin urmare, d 3 \u003d GCD (6, 570) \u003d 6.
Rămâne de calculat d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). La fel de 36 impartit de 6 , apoi d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.
Deci cel mai mare divizor comun al celor patru numere date este d4=6, adică mcd(78, 294, 570, 36)=6.
Răspuns:
mcd(78, 294, 570, 36)=6.
Descompunerea numerelor în factori primi vă permite, de asemenea, să calculați GCD a trei sau mai multe numere. În acest caz, cel mai mare divizor comun se găsește ca produsul tuturor factorilor primi comuni ai numerelor date.
Exemplu.
Calculați GCD-ul numerelor din exemplul anterior utilizând factorizările lor prime.
Decizie.
Să descompunem numerele 78 , 294 , 570 și 36 în factori primi, obținem 78=2 3 13,294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3 3. Factorii primi comuni ai tuturor celor patru numere date sunt numerele 2 și 3 . Prin urmare, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.
Răspuns:
mcd(78, 294, 570, 36)=6.
Începutul paginii
Găsirea mcd-ului numerelor negative
Dacă unul, mai multe sau toate numerele al căror divizor cel mai mare se află sunt numere negative, atunci mcd-ul lor este egal cu cel mai mare divizor comun al modulelor acestor numere. Acest lucru se datorează faptului că numere opuse Ași -A au aceiași divizori, despre care am discutat când am studiat proprietățile divizibilității.
Exemplu.
Găsiți mcd-ul numerelor întregi negative −231 și −140 .
Decizie.
Valoarea absolută a unui număr −231 egală 231 , și modulul numărului −140 egală 140 , și mcd(−231, −140)=mcd(231, 140). Algoritmul lui Euclid ne oferă următoarele egalități: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7și 42=7 6. Prin urmare, mcd(231, 140)=7. Apoi cel mai mare divizor comun dorit al numerelor negative −231 și −140 egală 7 .
Răspuns:
GCD(−231,−140)=7.
Exemplu.
Determinați mcd-ul a trei numere −585 , 81 și −189 .
Decizie.
La găsirea celui mai mare divizor comun, numerele negative pot fi înlocuite cu valorile lor absolute, adică mcd(−585, 81, −189)=mcd(585, 81, 189). Extinderea numărului 585 , 81 și 189 în factori primi sunt, respectiv, de formă 585=3 3 5 13, 81=3 3 3 3și 189=3 3 3 7. Factorii primi comuni ai acestor trei numere sunt 3 și 3 . Apoi GCD(585, 81, 189)=3 3=9, prin urmare, mcd(−585, 81, −189)=9.
Răspuns:
mcd(−585, 81, −189)=9.
35. Rădăcinile unui polinom. teorema lui Bezout. (33 și mai sus)
36. Rădăcini multiple, criteriu de multiplicitate a rădăcinii.
Dar multe numere naturale sunt divizibile egal cu alte numere naturale.
de exemplu:
Numărul 12 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12;
Numărul 36 este divizibil cu 1, cu 2, cu 3, cu 4, cu 6, cu 12, cu 18, cu 36.
Numerele cu care numărul este divizibil (pentru 12 este 1, 2, 3, 4, 6 și 12) se numesc divizori de numere. Împărțitor al unui număr natural A este numărul natural care împarte numărul dat A fără urmă. Se numește un număr natural care are mai mult de doi factori compozit. Rețineți că numerele 12 și 36 au divizori comuni. Acestea sunt numerele: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mare divizor al acestor numere este 12.
Divizor comun a două numere date Ași b este numărul cu care ambele numere date sunt divizibile fără rest Ași b. Divizor comun al numerelor multiple (GCD) este numărul care servește drept divizor pentru fiecare dintre ele.
Pe scurt, cel mai mare divizor comun al numerelor Ași b sunt scrise astfel:
Exemplu: mcd (12; 36) = 12.
Divizorii numerelor din înregistrarea soluției sunt notați cu litera „D”.
Exemplu:
mcd (7; 9) = 1
Numerele 7 și 9 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere sunt numite coprimechi slam.
Numerele coprime sunt numere naturale care au un singur divizor comun - numărul 1. MCD-ul lor este 1.
Cel mai mare divizor comun (GCD), proprietăți.
- Proprietatea principală: cel mai mare divizor comun mși n este divizibil cu orice divizor comun al acestor numere. Exemplu: pentru numerele 12 și 18 cel mai mare divizor comun este 6; este divizibil cu toți divizorii comuni ai acestor numere: 1, 2, 3, 6.
- Corolarul 1: mulțime de divizori comuni mși n coincide cu setul de divizori gcd( m, n).
- Corolarul 2: set de multipli comuni mși n coincide cu setul de LCM-uri multiple ( m, n).
Aceasta înseamnă, în special, că pentru a reduce o fracție la o formă ireductibilă, este necesar să se împartă numărătorul și numitorul acesteia la mcd-ul lor.
- Cel mai mare divizor comun al numerelor mși n poate fi definit ca cel mai mic element pozitiv al mulțimii tuturor combinațiilor lor liniare:
și deci reprezintă ca o combinație liniară de numere mși n:
Acest raport se numește Raportul lui Bezout, și coeficienții uși v — coeficienții bezout. Coeficienții Bézout sunt calculați eficient prin algoritmul Euclid extins. Această afirmație este generalizată la mulțimi de numere naturale - semnificația sa este că subgrupul grupului generat de mulțime este ciclic și este generat de un element: mcd ( A 1 , A 2 , … , un n).
Calculul celui mai mare divizor comun (mcd).
Modalități eficiente de a calcula mcd-ul a două numere sunt algoritmul lui Euclidși binaralgoritm. În plus, valoarea GCD ( m,n) poate fi ușor de calculat dacă se cunoaște extinderea canonică a numerelor mși n pentru factorii primi:
unde sunt numere prime distincte și și sunt numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător nu este în expansiune). Apoi gcd ( m,n) și LCM ( m,n) sunt exprimate prin formulele:
Dacă există mai mult de două numere: , GCD-ul lor este găsit conform următorului algoritm:
- acesta este GCD-ul dorit.
De asemenea, pentru a găsi cel mai mare divizor comun, puteți descompune fiecare dintre numerele date în factori primi. Apoi scrieți separat numai acei factori care sunt incluși în toate numerele date. Apoi înmulțim numerele scrise între ele - rezultatul înmulțirii este cel mai mare divizor comun .
Să analizăm pas cu pas calculul celui mai mare divizor comun:
1. Descompuneți divizorii numerelor în factori primi:
Calculele sunt scrise convenabil folosind o bară verticală. În stânga liniei, notați mai întâi dividendul, în dreapta - divizorul. Mai departe în coloana din stânga notăm valorile private. Să explicăm imediat cu un exemplu. Să factorizăm numerele 28 și 64 în factori primi.
2. Subliniem aceiași factori primi în ambele numere:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Găsim produsul factorilor primi identici și notăm răspunsul:
GCD (28; 64) = 2. 2 = 4
Răspuns: GCD (28; 64) = 4
Puteți aranja locația GCD în două moduri: într-o coloană (cum s-a făcut mai sus) sau „în linie”.
Prima modalitate de a scrie GCD:
Găsiți GCD 48 și 36.
GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12
A doua modalitate de a scrie GCD:
Acum să scriem soluția de căutare GCD într-o linie. Găsiți GCD 10 și 15.
D(10) = (1, 2, 5, 10)
D(15) = (1, 3, 5, 15)
D(10, 15) = (1, 5)
Cel mai mare divizor comun
Definiția 2
Dacă un număr natural a este divizibil cu un număr natural $b$, atunci $b$ se numește divizor al lui $a$, iar numărul $a$ este numit multiplu al lui $b$.
Fie $a$ și $b$ numere naturale. Numărul $c$ se numește divizor comun atât pentru $a$, cât și pentru $b$.
Mulțimea divizorilor comuni ai numerelor $a$ și $b$ este finită, deoarece niciunul dintre acești divizori nu poate fi mai mare decât $a$. Aceasta înseamnă că printre acești divizori există cel mai mare, care se numește cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$, iar notația este folosită pentru a-l desemna:
$gcd \ (a;b) \ sau \ D \ (a;b)$
Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al două numere:
- Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.
Exemplul 1
Găsiți mcd-ul numerelor $121$ și $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Alegeți numerele care sunt incluse în extinderea acestor numere
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.
$gcd=2\cdot 11=22$
Exemplul 2
Găsiți GCD-ul monomiilor $63$ și $81$.
Vom găsi conform algoritmului prezentat. Pentru asta:
Să descompunem numerele în factori primi
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Selectăm numerele care sunt incluse în extinderea acestor numere
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Să găsim produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.
$gcd=3\cdot 3=9$
Puteți găsi MCD a două numere într-un alt mod, folosind setul de divizori de numere.
Exemplul 3
Găsiți mcd-ul numerelor $48$ și $60$.
Decizie:
Găsiți setul de divizori de $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Acum să găsim setul de divizori de $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Să găsim intersecția acestor mulțimi: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - această mulțime va determina mulțimea divizorilor comuni ai numerelor $48$ și $60 $. Cel mai mare element din acest set va fi numărul $12$. Deci, cel mai mare divizor comun al 48$ și 60$ este de 12$.
Definiţia NOC
Definiția 3
multiplu comun al numerelor naturale$a$ și $b$ este un număr natural care este un multiplu atât al lui $a$ cât și al $b$.
Multiplii comuni ai numerelor sunt numere care sunt divizibile cu originalul fără rest. De exemplu, pentru numerele $25$ și $50$, multiplii comuni vor fi numerele $50,100,150,200$ etc.
Cel mai mic multiplu comun va fi numit cel mai mic multiplu comun și notat cu LCM$(a;b)$ sau K$(a;b).$
Pentru a găsi LCM a două numere, aveți nevoie de:
- Descompune numerele în factori primi
- Scrieți factorii care fac parte din primul număr și adăugați la ei factorii care fac parte din al doilea și nu merg la primul
Exemplul 4
Găsiți LCM al numerelor $99$ și $77$.
Vom găsi conform algoritmului prezentat. Pentru asta
Descompune numerele în factori primi
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Notați factorii incluși în primul
adaugă la ei factori care fac parte din al doilea și nu merg la primul
Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun dorit
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Compilarea listelor de divizori ai numerelor necesită adesea foarte mult timp. Există o modalitate de a găsi GCD numită algoritmul lui Euclid.
Afirmații pe care se bazează algoritmul lui Euclid:
Dacă $a$ și $b$ sunt numere naturale și $a\vdots b$, atunci $D(a;b)=b$
Dacă $a$ și $b$ sunt numere naturale astfel încât $b
Folosind $D(a;b)= D(a-b;b)$, putem descrește succesiv numerele luate în considerare până ajungem la o pereche de numere astfel încât unul dintre ele să fie divizibil cu celălalt. Apoi, cel mai mic dintre aceste numere va fi cel mai mare divizor comun dorit pentru numerele $a$ și $b$.
Proprietățile GCD și LCM
- Orice multiplu comun al lui $a$ și $b$ este divizibil cu K$(a;b)$
- Dacă $a\vdots b$ , atunci K$(a;b)=a$
Dacă K$(a;b)=k$ și $m$-număr natural, atunci K$(am;bm)=km$
Dacă $d$ este un divizor comun pentru $a$ și $b$, atunci K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d); ) $
Dacă $a\vdots c$ și $b\vdots c$ , atunci $\frac(ab)(c)$ este un multiplu comun al $a$ și $b$
Pentru orice numere naturale $a$ și $b$ egalitatea
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Orice divizor comun al lui $a$ și $b$ este un divizor al lui $D(a;b)$
Acest articol este dedicat unei astfel de întrebări precum găsirea celui mai mare divizor comun. Mai întâi, vom explica ce este și vom da câteva exemple, vom introduce definițiile celui mai mare divizor comun al 2, 3 sau mai multe numere, după care ne vom opri asupra proprietăților generale ale acestui concept și le vom demonstra.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Care sunt divizorii comuni
Pentru a înțelege care este cel mai mare divizor comun, mai întâi formulăm ce este un divizor comun pentru numere întregi.
În articolul despre multipli și divizori, am spus că un întreg are întotdeauna mai mulți divizori. Aici ne interesează divizorii unui anumit număr de numere întregi simultan, mai ales comuni (identici) pentru toți. Să scriem definiția principală.
Definiția 1
Un divizor comun al mai multor numere întregi va fi un număr care poate fi un divizor al fiecărui număr din mulțimea specificată.
Exemplul 1
Iată exemple de astfel de divizor: triplul va fi un divizor comun pentru numerele - 12 și 9, deoarece egalitățile 9 = 3 · 3 și − 12 = 3 · (− 4) sunt adevărate. Numerele 3 și - 12 au alți divizori comuni, cum ar fi 1 , - 1 și - 3 . Să luăm un alt exemplu. Cele patru numere întregi 3 , − 11 , − 8 și 19 vor avea doi divizori comuni: 1 și - 1 .
Cunoscând proprietățile divizibilității, putem spune că orice număr întreg poate fi împărțit la unu și minus unu, ceea ce înseamnă că orice mulțime de numere întregi va avea deja cel puțin doi divizori comuni.
De asemenea, rețineți că dacă avem un divizor comun pentru mai multe numere b, atunci aceleași numere pot fi împărțite la numărul opus, adică la - b. În principiu, putem lua doar divizori pozitivi, atunci toți divizorii comuni vor fi și ei mai mari decât 0 . Această abordare poate fi folosită și, dar numerele negative nu trebuie ignorate complet.
Care este cel mai mare divizor comun (mcd)
Conform proprietăților divizibilității, dacă b este un divizor al unui număr întreg a care nu este egal cu 0, atunci modulul lui b nu poate fi mai mare decât modulul lui a, prin urmare orice număr care nu este egal cu 0 are un număr finit de divizori . Aceasta înseamnă că numărul de divizori comuni ai mai multor numere întregi, dintre care cel puțin unul diferă de zero, va fi, de asemenea, finit, iar din întreaga lor mulțime putem selecta întotdeauna cel mai mare număr (am vorbit deja despre conceptul de cel mai mare și cele mai mici numere întregi, vă sfătuim să repetați materialul dat).
În continuarea raționamentului, vom presupune că cel puțin unul din setul de numere pentru care trebuie să găsiți cel mai mare divizor comun va fi diferit de 0 . Dacă toate sunt 0, atunci orice număr întreg poate fi divizorul lor și, deoarece există infinit de mulți dintre ei, nu îl putem alege pe cel mai mare. Cu alte cuvinte, este imposibil să găsim cel mai mare divizor comun pentru mulțimea numerelor egale cu 0 .
Trecem la formularea definiției principale.
Definiția 2
Cel mai mare divizor comun al numerelor multiple este cel mai mare număr întreg care împarte toate acele numere.
În scris, cel mai mare divizor comun este cel mai adesea notat cu abrevierea GCD. Pentru două numere, poate fi scris ca mcd (a, b) .
Exemplul 2
Care este un exemplu de GCD pentru două numere întregi? De exemplu, pentru 6 și - 15 ar fi 3 . Să argumentăm acest lucru. În primul rând, notăm toți divizorii lui șase: ± 6, ± 3, ± 1, iar apoi toți divizorii lui cincisprezece: ± 15, ± 5, ± 3 și ± 1. După aceea, le alegem pe cele comune: acestea sunt − 3 , − 1 , 1 și 3 . Dintre acestea, trebuie să alegeți cel mai mare număr. Acesta va fi 3.
Pentru trei sau mai multe numere, definiția celui mai mare divizor comun va fi aproape aceeași.
Definiția 3
Cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere este cel mai mare număr întreg care împarte toate acele numere în același timp.
Pentru numerele a 1 , a 2 , … , a n divizorul este convenabil notat ca GCD (a 1 , a 2 , … , a n) . Valoarea divizorului în sine este scrisă ca GCD (a 1 , a 2 , … , a n) = b .
Exemplul 3
Iată exemple de cel mai mare divizor comun al mai multor numere întregi: 12 , - 8 , 52 , 16 . Va fi egal cu patru, ceea ce înseamnă că putem scrie că mcd (12, - 8, 52, 16) = 4.
Puteți verifica corectitudinea acestei afirmații notând toți divizorii acestor numere și alegând apoi pe cel mai mare dintre ei.
În practică, există adesea cazuri când cel mai mare divizor comun este egal cu unul dintre numere. Acest lucru se întâmplă atunci când toate celelalte numere pot fi împărțite la un număr dat (în primul paragraf al articolului am dat dovada acestei afirmații).
Exemplul 4
Deci, cel mai mare divizor comun al numerelor 60, 15 și - 45 este 15, deoarece cincisprezece este divizibil nu numai cu 60 și - 45, ci și prin el însuși și nu există un divizor mai mare pentru toate aceste numere.
Numerele coprime sunt un caz special. Sunt numere întregi cu cel mai mare divizor comun de 1.
Principalele proprietăți ale GCD și algoritmul lui Euclid
Cel mai mare divizor comun are unele proprietăți caracteristice. Le formulăm sub formă de teoreme și demonstrăm fiecare dintre ele.
Rețineți că aceste proprietăți sunt formulate pentru numere întregi mai mari decât zero și luăm în considerare doar divizori pozitivi.
Definiția 4
Numerele a și b au cel mai mare divizor comun egal cu mcd pentru b și a , adică mcd (a , b) = mcd (b , a) . Schimbarea locurilor numerelor nu afectează rezultatul final.
Această proprietate decurge din însăși definiția GCD și nu are nevoie de dovezi.
Definiția 5
Dacă numărul a poate fi împărțit la numărul b, atunci mulțimea divizorilor comuni ai acestor două numere va fi similară cu mulțimea divizorilor numărului b, adică mcd (a, b) = b.
Să demonstrăm această afirmație.
Dovada 1
Dacă numerele a și b au divizori comuni, atunci oricare dintre ele poate fi împărțit la ei. În același timp, dacă a este un multiplu al lui b, atunci orice divizor al lui b va fi, de asemenea, un divizor al lui a, deoarece divizibilitatea are o proprietate ca tranzitivitatea. Prin urmare, orice divizor b va fi comun pentru numerele a și b. Aceasta demonstrează că dacă putem împărți a la b , atunci mulțimea tuturor divizorilor ambelor numere coincide cu mulțimea divizorilor unui număr b . Și deoarece cel mai mare divizor al oricărui număr este numărul însuși, atunci cel mai mare divizor comun al numerelor a și b va fi, de asemenea, egal cu b, adică. mcd(a, b) = b. Dacă a = b, atunci mcd (a, b) = mcd (a, a) = mcd (b, b) = a = b, de exemplu, mcd (132, 132) = 132.
Folosind această proprietate, putem găsi cel mai mare divizor comun a două numere dacă unul dintre ele poate fi împărțit la celălalt. Un astfel de divizor este egal cu unul dintre aceste două numere cu care al doilea număr poate fi împărțit. De exemplu, mcd (8, 24) = 8, deoarece 24 este un multiplu de opt.
Definiția 6 Dovada 2
Să încercăm să dovedim această proprietate. Avem inițial egalitatea a = b q + c , iar orice divizor comun al lui a și b va împărți și c , ceea ce se explică prin proprietatea de divizibilitate corespunzătoare. Prin urmare, orice divizor comun al lui b și c va împărți a . Aceasta înseamnă că mulțimea divizorilor comuni a și b va coincide cu mulțimea divizorilor b și c, inclusiv pe cel mai mare dintre ei, ceea ce înseamnă că egalitatea mcd (a, b) = mcd (b, c) este adevărată.
Definiția 7
Următoarea proprietate se numește algoritmul Euclid. Cu acesta, puteți calcula cel mai mare divizor comun a două numere, precum și puteți demonstra alte proprietăți ale GCD.
Înainte de a formula proprietatea, vă sfătuim să repetați teorema pe care am demonstrat-o în articolul despre împărțirea cu rest. Potrivit acestuia, numărul divizibil a poate fi reprezentat ca b q + r, iar aici b este un divizor, q este un număr întreg (se mai numește și coeficient incomplet), iar r este un rest care satisface condiția 0 ≤ r ≤ b.
Să presupunem că avem două numere întregi mai mari decât 0 pentru care următoarele egalități vor fi adevărate:
a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Aceste egalități se termină când r k + 1 devine egal cu 0 . Acest lucru se va întâmpla cu siguranță, deoarece șirul b > r 1 > r 2 > r 3 , … este o serie de numere întregi descrescătoare, care pot include doar un număr finit dintre ele. Prin urmare, r k este cel mai mare divizor comun al lui a și b , adică r k = mcd (a , b) .
În primul rând, trebuie să demonstrăm că r k este un divizor comun al numerelor a și b și, după aceea, că r k nu este doar un divizor, ci cel mai mare divizor comun al celor două numere date.
Să ne uităm la lista de egalități de mai sus, de jos în sus. Conform ultimei egalități,
r k − 1 poate fi împărțit la r k . Pe baza acestui fapt, precum și a proprietății dovedite anterioare a celui mai mare divizor comun, se poate argumenta că r k − 2 poate fi împărțit la r k , deoarece
r k − 1 este divizibil cu r k și r k este divizibil cu r k .
A treia egalitate de jos ne permite să concluzionam că r k − 3 poate fi împărțit la r k , și așa mai departe. Al doilea de jos este că b este divizibil cu r k , iar primul este că a este divizibil cu r k . Din toate acestea concluzionăm că r k este un divizor comun al lui a și b .
Acum să demonstrăm că r k = mcd (a , b) . Ce trebuie sa fac? Arătați că orice divizor comun al lui a și b va împărți r k . Să-l notăm r 0 .
Să ne uităm la aceeași listă de egalități, dar de sus în jos. Pe baza proprietății anterioare, putem concluziona că r 1 este divizibil cu r 0 , ceea ce înseamnă că conform celei de-a doua egalități, r 2 este divizibil cu r 0 . Coborăm prin toate egalitățile și din ultima concluzionăm că r k este divizibil cu r 0 . Prin urmare, r k = mcd (a , b) .
Având în vedere această proprietate, concluzionăm că mulțimea divizorilor comuni ai lui a și b este similară cu mulțimea divizorilor mcd a acestor numere. Această afirmație, care este o consecință a algoritmului lui Euclid, ne va permite să calculăm toți divizorii comuni a două numere date.
Să trecem la alte proprietăți.
Definiția 8
Dacă a și b sunt numere întregi care nu sunt egale cu 0, atunci trebuie să existe alte două numere întregi u 0 și v 0 pentru care egalitatea mcd (a , b) = a u 0 + b v 0 va fi valabilă.
Egalitatea dată în declarația de proprietate este o reprezentare liniară a celui mai mare divizor comun al lui a și b . Se numește raportul Bezout, iar numerele u 0 și v 0 se numesc coeficienți Bezout.
Dovada 3
Să demonstrăm această proprietate. Scriem succesiunea de egalități conform algoritmului Euclid:
a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Prima egalitate ne spune că r 1 = a − b · q 1 . Notați 1 = s 1 și − q 1 = t 1 și rescrieți această egalitate ca r 1 = s 1 · a + t 1 · b . Aici numerele s 1 și t 1 vor fi numere întregi. A doua egalitate ne permite să concluzionăm că r 2 = b − r 1 q 2 = b − (s 1 a + t 1 b) q 2 = − s 1 q 2 a + (1 − t 1 q 2) b . Notați − s 1 q 2 = s 2 și 1 − t 1 q 2 = t 2 și rescrieți egalitatea ca r 2 = s 2 a + t 2 b , unde s 2 și t 2 vor fi de asemenea numere întregi. Acest lucru se datorează faptului că suma numerelor întregi, produsul și diferența lor sunt, de asemenea, numere întregi. Exact în același mod, obținem din a treia egalitate r 3 = s 3 · a + t 3 · b , din următorul r 4 = s 4 · a + t 4 · b etc. În cele din urmă, concluzionăm că r k = s k a + t k b pentru întregul s k și t k . Deoarece r k \u003d GCD (a, b) , notăm s k \u003d u 0 și t k \u003d v 0. Ca rezultat, putem obține o reprezentare liniară a GCD în forma necesară: GCD (a, b) \u003d a u 0 + b v 0.
Definiția 9
gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) pentru orice valoare naturală m.
Dovada 4
Această proprietate poate fi justificată după cum urmează. Înmulțiți cu numărul m ambele părți ale fiecărei egalități din algoritmul Euclid și obținem că mcd (m a , m b) = m r k , iar r k este mcd (a , b) . Prin urmare, mcd (m a, m b) = m gcd (a, b) . Această proprietate a celui mai mare divizor comun este utilizată la găsirea GCD prin metoda factorizării.
Definiția 10
Dacă numerele a și b au un divizor comun p , atunci mcd (a: p , b: p) = mcd (a , b) : p . În cazul în care p = mcd (a, b) obținem mcd (a: mcd (a, b) , b: mcd (a, b) = 1, prin urmare, numerele a: mcd (a, b) și b : mcd (a , b) sunt coprime.
Deoarece a = p (a: p) și b = p (b: p) , atunci, pe baza proprietății anterioare, putem crea egalități de forma mcd (a , b) = mcd (p (a: p) , p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) , printre care va exista o dovada a acestei proprietati. Folosim această afirmație atunci când reducem fracțiile obișnuite la o formă ireductibilă.
Definiția 11
Cel mai mare divizor comun a 1 , a 2 , … , a k va fi numărul d k , care poate fi găsit calculând succesiv mcd (a 1 , a 2) = d 2 , mcd (d 2 , a 3) = d 3 , mcd (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .
Această proprietate este utilă pentru a găsi cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere. Cu el, puteți reduce această acțiune la operațiuni cu două numere. Baza sa este un corolar al algoritmului euclidian: dacă mulțimea divizorilor comuni a 1 , a 2 și a 3 coincide cu mulțimea d 2 și a 3 , atunci coincide și cu divizorii d 3 . Divizorii numerelor a 1 , a 2 , a 3 și a 4 se vor potrivi cu divizorii lui d 3 , ceea ce înseamnă că se vor potrivi și cu divizorii lui d 4 și așa mai departe. În final, obținem că divizorii comuni ai numerelor a 1 , a 2 , … , a k vor coincide cu divizorii d k , iar din moment ce numărul însuși va fi cel mai mare divizor al numărului d k , atunci mcd (a 1 , a 2 , … , a k) = d k .
Atât am dori să vorbim despre proprietățile celui mai mare divizor comun.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
