Fie doi vectori și dat în spațiu. Lăsați deoparte de un punct arbitrar O vectori și . colţîntre vectori și se numește cel mai mic dintre unghiuri. Notat .

Luați în considerare axa lși trasați un vector unitar pe el (adică un vector a cărui lungime este egală cu unu).

Unghiul dintre vector și axă lînțelegeți unghiul dintre vectori și .

Asa ca lasa l este o axă și este un vector.

Notează prin A 1și B1 proiecții pe axă l puncte Ași B. Să ne prefacem că A 1 are o coordonată x 1, A B1- coordonata x2 pe osie l.

Apoi proiecție vector pe axă l se numeste diferenta x 1 – x2între coordonatele proiecţiilor capătului şi începutului vectorului pe această axă.

Proiecția unui vector pe o axă l vom nota .

Este clar că dacă unghiul dintre vector și axă l ascuțit atunci x2> x 1, și proiecția x2 – x 1> 0; dacă acest unghi este obtuz, atunci x2< x 1și proiecție x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, apoi x2= x 1și x2– x 1=0.

Astfel, proiecția vectorului pe axă l este lungimea segmentului A 1 B 1 luate cu un semn anume. Prin urmare, proiecția unui vector pe o axă este un număr sau un scalar.

Proiecția unui vector pe altul este definită în mod similar. În acest caz, proiecțiile capetelor acestui vector se găsesc pe linia pe care se află al 2-lea vector.

Să ne uităm la unele dintre principalele proprietăți de proiecție.

SISTEME DE VECTORI LINEAR DEPENDENTE ȘI LINEAR INDEPENDENTE

Să luăm în considerare câțiva vectori.

Combinație liniară dintre acești vectori este orice vector de forma , unde sunt unele numere. Numerele sunt numite coeficienți ai combinației liniare. Se mai spune că în acest caz este exprimat liniar în termeni de vectori dați, i.e. obţinute din ele prin operaţii liniare.

De exemplu, dacă sunt dați trei vectori, atunci vectorii pot fi considerați combinația lor liniară:

Dacă un vector este reprezentat ca o combinație liniară a unor vectori, atunci se spune că este descompus de-a lungul acestor vectori.

Se numesc vectorii dependent liniar, dacă există astfel de numere, nu toate egale cu zero, că . Este clar că vectorii dați vor fi dependenți liniar dacă oricare dintre acești vectori este exprimat liniar în termenii celorlalți.

Altfel, i.e. când raportul efectuat numai atunci când , acești vectori sunt numiți liniar independent.

Teorema 1. Oricare doi vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă sunt coliniari.

Dovada:

Următoarea teoremă poate fi demonstrată în mod similar.

Teorema 2. Trei vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă sunt coplanari.

Dovada.

BAZĂ

Bază este o colecție de vectori liniar independenți nenuli. Elementele bazei vor fi notate cu .

În subsecțiunea anterioară, am văzut că doi vectori necoliniari din plan sunt independenți liniar. Prin urmare, conform teoremei 1 din paragraful anterior, o bază pe un plan este oricare doi vectori necoliniari de pe acest plan.

În mod similar, oricare trei vectori necoplanari sunt liniar independenți în spațiu. Prin urmare, trei vectori necoplanari sunt numiți bază în spațiu.

Următoarea afirmație este adevărată.

Teorema. Să fie dată o bază în spațiu. Atunci orice vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară , Unde X, y, z- unele numere. O astfel de descompunere este unică.

Dovada.

Astfel, baza vă permite să asociați în mod unic fiecare vector cu un triplu de numere - coeficienții de expansiune a acestui vector în ceea ce privește vectorii bazei: . Este adevărat și invers, fiecare triplu de numere x, y, z folosind baza, puteți potrivi vectorul dacă faceți o combinație liniară .

Dacă baza și , apoi numerele x, y, z numit coordonate vectori în baza dată. Coordonatele vectoriale denotă .

SISTEMUL DE COORDONATE CARTESIAN

Să fie dat un punct în spațiu Oși trei vectori necoplanari.

Sistemul de coordonate carteziene in spatiu (pe un plan) se numeste multimea unui punct si a unei baze, i.e. set de un punct și trei vectori necoplanari (2 vectori necoliniari) care ies din acest punct.

Punct O numită origine; liniile drepte care trec prin origine în direcția vectorilor de bază se numesc axe de coordonate - axa abscisă, ordonată și aplicată. Planurile care trec prin axele de coordonate se numesc planuri de coordonate.

Luați în considerare un punct arbitrar din sistemul de coordonate ales M. Să introducem conceptul de coordonată punct M. Vectorul care leagă originea de punct M. numit vector rază puncte M.

Un vector din baza selectată poate fi asociat cu un triplu de numere - coordonatele sale: .

Coordonate vectoriale cu raza punctului M. numit coordonatele punctului M. în sistemul de coordonate considerat. M(x,y,z). Prima coordonată se numește abscisă, a doua este ordonată, iar a treia este aplicată.

Coordonatele carteziene de pe plan sunt definite în mod similar. Aici punctul are doar două coordonate - abscisa și ordonata.

Este ușor de observat că pentru un anumit sistem de coordonate, fiecare punct are anumite coordonate. Pe de altă parte, pentru fiecare triplet de numere, există un singur punct care are aceste numere drept coordonate.

Dacă vectorii luați ca bază în sistemul de coordonate ales au lungimea unitară și sunt perpendiculari pe perechi, atunci sistemul de coordonate se numește dreptunghiular cartezian.

Este ușor să arăți că.

Cosinusurile direcției unui vector determină complet direcția acestuia, dar nu spun nimic despre lungimea sa.

Introducere…………………………………………………………………………………………… 3

1. Valoarea unui vector și a unui scalar……………………………………………………….4

2. Definirea proiecției, axei și coordonatei unui punct…………..5

3. Proiecție vectorială pe axă……………………………………………………………6

4. Formula de bază a algebrei vectoriale………………………………………..8

5. Calculul modulului vectorului din proiecțiile acestuia………...9

Concluzie………………………………………………………………………………….11

Literatură……………………………………………………………………….12

Introducere:

Fizica este indisolubil legată de matematică. Matematica oferă fizicii mijloacele și tehnicile unei expresii generale și precise a relației dintre mărimile fizice care sunt descoperite în urma experimentului sau a cercetării teoretice.La urma urmei, principala metodă de cercetare în fizică este experimentală. Aceasta înseamnă că omul de știință dezvăluie calculele cu ajutorul măsurătorilor. Indică relația dintre diferitele mărimi fizice. Apoi, totul este tradus în limbajul matematicii. Se formează un model matematic. Fizica este o știință care studiază cele mai simple și în același timp cele mai generale legi. Sarcina fizicii este de a crea în mintea noastră o astfel de imagine a lumii fizice care să reflecte cel mai pe deplin proprietățile acesteia și să ofere astfel de relații între elementele modelului care există între elemente.

Deci, fizica creează un model al lumii din jurul nostru și îi studiază proprietățile. Dar orice model este limitat. Atunci când se creează modele ale unui anumit fenomen, sunt luate în considerare numai proprietățile și conexiunile care sunt esențiale pentru o gamă dată de fenomene. Aceasta este arta unui om de știință - din toată varietatea pentru a alege principalul lucru.

Modelele fizice sunt matematice, dar matematica nu este baza lor. Relațiile cantitative dintre mărimile fizice sunt clarificate ca rezultat al măsurătorilor, observațiilor și studiilor experimentale și sunt exprimate doar în limbajul matematicii. Cu toate acestea, nu există un alt limbaj pentru a construi teorii fizice.

1. Valoarea unui vector și a unui scalar.

În fizică și matematică, un vector este o mărime care se caracterizează prin valoarea și direcția sa numerică. În fizică, există multe mărimi importante care sunt vectori, cum ar fi forța, poziția, viteza, accelerația, cuplul, impulsul, câmpurile electrice și magnetice. Ele pot fi contrastate cu alte cantități, cum ar fi masa, volumul, presiunea, temperatura și densitatea, care pot fi descrise printr-un număr obișnuit și sunt numite " scalari" .

Ele sunt scrise fie cu litere ale unui font obișnuit, fie cu cifre (a, b, t, G, 5, -7 ....). Scalarii pot fi pozitivi sau negativi. În același timp, unele obiecte de studiu pot avea astfel de proprietăți, pentru o descriere completă a cărei cunoaștere doar a unei măsuri numerice este insuficientă, este necesară și caracterizarea acestor proprietăți printr-o direcție în spațiu. Astfel de proprietăți sunt caracterizate de mărimi vectoriale (vectori). Vectorii, spre deosebire de scalari, sunt notați cu litere aldine: a, b, g, F, C ....
Adesea, un vector este notat printr-o literă obișnuită (neîngroșată), dar cu o săgeată deasupra sa:

În plus, un vector este adesea notat cu o pereche de litere (de obicei cu majuscule), prima literă indicând începutul vectorului, iar a doua literă indicând sfârșitul acestuia.

Modulul vectorului, adică lungimea segmentului de linie dreaptă direcționată, este notat cu aceleași litere ca și vectorul însuși, dar în scrierea obișnuită (nebold) și fără săgeată deasupra lor, sau exact ca vector (adică îngroșat sau regulat, dar cu săgeată), dar apoi desemnarea vectorului este închisă în liniuțe verticale.
Un vector este un obiect complex care este caracterizat atât de mărime, cât și de direcție în același timp.

De asemenea, nu există vectori pozitivi și negativi. Dar vectorii pot fi egali între ei. Acesta este atunci când, de exemplu, a și b au aceleași module și sunt direcționate în aceeași direcție. În acest caz, înregistrarea A= b. De asemenea, trebuie avut în vedere că simbolul vectorial poate fi precedat de un semn minus, de exemplu, -c, cu toate acestea, acest semn indică simbolic că vectorul -c are același modul ca vectorul c, dar este direcționat în direcție opusă.

Vectorul -c se numește opusul (sau inversul) vectorului c.
În fizică, totuși, fiecare vector este umplut cu conținut specific, iar atunci când se compară vectori de același tip (de exemplu, forțe), punctele de aplicare a acestora pot avea, de asemenea, o importanță semnificativă.

2.Determinarea proiecției, axei și coordonatei punctului.

Axă este o linie dreaptă căreia i se dă o direcție.
Axa este indicată prin orice literă: X, Y, Z, s, t ... De obicei, se alege (arbitrar) un punct pe axă, care se numește origine și, de regulă, este indicat prin litera O Distanțele către alte puncte de interes pentru noi sunt măsurate din acest punct.

proiecția punctului pe axă se numește baza perpendicularei căzute din acest punct către axa dată. Adică proiecția unui punct pe axă este un punct.

coordonata punctului pe o axă dată se numește un număr a cărui valoare absolută este egală cu lungimea segmentului axei (în scara selectată) cuprins între începutul axei și proiecția punctului pe această axă. Acest număr se ia cu semnul plus dacă proiecția punctului este situată în direcția axei de la începutul ei și cu semnul minus dacă este în sens opus.

3.Proiecția unui vector pe o axă.

Proiecția unui vector pe o axă este un vector care se obține prin înmulțirea proiecției scalare a unui vector pe această axă și vectorul unitar al acestei axe. De exemplu, dacă a x este proiecția scalară a vectorului a pe axa X, atunci a x i este proiecția sa vectorială pe această axă.

Să notăm proiecția vectorială în același mod ca vectorul însuși, dar cu indicele axei pe care este proiectat vectorul. Deci, proiecția vectorială a vectorului a pe axa X va fi notată cu un x (litera îngroșată care indică vectorul și indicele numelui axei) sau

(litera neîngroșată care denotă un vector, dar cu o săgeată în partea de sus (!) și un indice al numelui axei).

Proiecție scalară se numește vector pe axă număr, a cărui valoare absolută este egală cu lungimea segmentului axei (în scara selectată) cuprins între proiecțiile punctului de început și punctul final al vectorului. De obicei, în locul expresiei proiecție scalară spune pur și simplu - proiecție. Proiecția se notează cu aceeași literă cu vectorul proiectat (în scriere normală, fără caractere aldine), cu un indice (de obicei) al numelui axei pe care este proiectat acest vector. De exemplu, dacă un vector este proiectat pe axa x A, atunci proiecția sa se notează cu x . Când proiectați același vector pe o altă axă, dacă axa este Y , proiecția sa va fi notă cu y .

Pentru a calcula proiecția vector pe o axă (de exemplu, axa X) este necesar să se scadă coordonatele punctului de început din coordonatele punctului său final, adică

și x \u003d x k - x n.

Proiecția unui vector pe o axă este un număr.În plus, proiecția poate fi pozitivă dacă valoarea lui x k este mai mare decât valoarea lui x n,

negativ dacă valoarea lui x k este mai mică decât valoarea lui x n

și egal cu zero dacă x k este egal cu x n.

Proiecția unui vector pe o axă poate fi găsită și cunoscând modulul vectorului și unghiul pe care îl formează cu axa respectivă.

Din figură se poate observa că a x = a Cos α

Adică, proiecția vectorului pe axă este egală cu produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului dintre direcția axei și direcția vectorială. Dacă unghiul este ascuțit, atunci
Cos α > 0 și a x > 0, iar dacă este obtuz, atunci cosinusul unui unghi obtuz este negativ, iar proiecția vectorului pe axă va fi, de asemenea, negativă.

Unghiurile numărate de pe axă în sens invers acelor de ceasornic sunt considerate pozitive, iar în direcția - negative. Totuși, deoarece cosinusul este o funcție pară, adică Cos α = Cos (− α), atunci când se calculează proiecțiile, unghiurile pot fi numărate atât în ​​sensul acelor de ceasornic, cât și în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru a găsi proiecția unui vector pe o axă, modulul acestui vector trebuie înmulțit cu cosinusul unghiului dintre direcția axei și direcția vectorului.

4. Formula de bază a algebrei vectoriale.

Proiectăm un vector a pe axele X și Y ale unui sistem de coordonate dreptunghiular. Găsiți proiecțiile vectoriale ale vectorului a pe aceste axe:

și x = a x i și y = a y j.

Dar conform regulii de adunare vectorială

a \u003d a x + a y.

a = a x i + a y j.

Astfel, am exprimat un vector în termenii proiecțiilor sale și ortele unui sistem de coordonate dreptunghiulare (sau în termenii proiecțiilor sale vectoriale).

Proiecțiile vectoriale a x și a y se numesc componente sau componente ale vectorului a. Operația pe care am efectuat-o se numește descompunerea vectorului de-a lungul axelor unui sistem de coordonate dreptunghiulare.

Dacă vectorul este dat în spațiu, atunci

a = a x i + a y j + a z k.

Această formulă se numește formula de bază a algebrei vectoriale. Desigur, se poate scrie și așa.

iar pe o axă sau alt vector, există concepte de proiecție geometrică și proiecție numerică (sau algebrică). Rezultatul unei proiecții geometrice este un vector, iar rezultatul unei proiecții algebrice este un număr real nenegativ. Dar înainte de a trece la aceste concepte, să ne amintim informațiile necesare.

Informații preliminare

Conceptul principal este în mod direct conceptul de vector. Pentru a introduce definiția unui vector geometric, să ne amintim ce este un segment. Introducem următoarea definiție.

Definiția 1

Un segment este o parte a unei linii drepte care are două limite sub formă de puncte.

Segmentul poate avea 2 direcții. Pentru a indica direcția, una dintre limitele segmentului o vom numi începutul său, iar cealaltă limită - sfârșitul său. Direcția este indicată de la începutul până la sfârșitul segmentului.

Definiția 2

Un vector sau un segment direcționat este un segment pentru care se știe care dintre limitele segmentului este considerat început și care este sfârșitul acestuia.

Notație: Două litere: $\overline(AB)$ – (unde $A$ este începutul și $B$ este sfârșitul).

Într-o literă mică: $\overline(a)$ (Figura 1).

Să mai introducem câteva concepte legate de conceptul de vector.

Definiția 3

Doi vectori nenuli vor fi numiți coliniari dacă se află pe aceeași linie sau pe linii paralele între ele (Fig. 2).

Definiția 4

Doi vectori nenuli vor fi numiți codirecționali dacă îndeplinesc două condiții:

1. Acești vectori sunt coliniari.
2. Dacă sunt îndreptate într-o singură direcție (Fig. 3).

Denumire: $\overline(a)\overline(b)$

Definiția 5

Doi vectori nenuli vor fi numiți direcționați opus dacă îndeplinesc două condiții:

1. Acești vectori sunt coliniari.
2. Dacă sunt îndreptate în direcții diferite (Fig. 4).

Denumire: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definiția 6

Lungimea vectorului $\overline(a)$ este lungimea segmentului $a$.

Notație: $|\overline(a)|$

Să trecem la definiția egalității a doi vectori

Definiția 7

Doi vectori vor fi numiți egali dacă îndeplinesc două condiții:

1. Ele sunt aliniate;
2. Lungimile lor sunt egale (Fig. 5).

proiecție geometrică

După cum am spus mai devreme, rezultatul unei proiecții geometrice va fi un vector.

Definiția 8

Prin proiecția geometrică a vectorului $\overline(AB)$ pe axă înțelegem un astfel de vector, care se obține astfel: Punctul de început al vectorului $A$ este proiectat pe axa dată. Se obține punctul $A"$ - începutul vectorului dorit. Punctul final al vectorului $B$ este proiectat pe această axă. Se obține punctul $B"$ - sfârșitul vectorului dorit. Vectorul $\overline(A"B")$ va fi vectorul dorit.

Luați în considerare problema:

Exemplul 1

Construiți o proiecție geometrică $\overline(AB)$ pe axa $l$ prezentată în Figura 6.

Desenați o perpendiculară pe axa $l$ din punctul $A$, obțineți punctul $A"$ pe ea. Apoi, trageți perpendiculara pe axa $l$ din punctul $B$, obțineți punctul $B" $ pe el (Fig. 7).

1°.A determina cantitate vectorială, pe lângă valoarea numerică, este necesar să se cunoască direcția acesteia. Exemple de astfel de mărimi sunt viteza și accelerația, mișcarea unui punct atunci când un corp se mișcă. Definiție.Un vector este un segment direcționat, adică un segment în care se disting un început și un sfârșit.Începutul vectorului se numește punctul de aplicare a acestuia; Drept l, pe care se află vectorul, se numește linia sa de acțiune. Definiție.Modulul unui vector este lungimea acestuia. Modulul unui vector este notat cu simbolul |A¯B| sau |a¯|.

Definiție.Proiecția unui vector pe o axă este un scalar egal cu modulul componentei vectoriale de-a lungul acestei axe, luată cu semnul plus dacă direcția componentei coincide cu direcția axei și cu semnul minus dacă aceste direcții. sunt opuse. Dacă vectorul este perpendicular pe axă, atunci proiecția sa este zero.Proprietăți ale proiecției vectoriale pe axă:

1. Proiecția unui vector pe o axă nu se modifică față de translația paralelă a vectorilor. etc l AB = pr l A 1 B 1

2. Aditivitatea de proiecție. Proiecția sumei vectorilor pe o anumită axă este egală cu suma proiecțiilor acestor vectori pe această axă. pr l (a 1 + a 2 + a 3) = pr l a 1 + pr l a 2 + pr l a 3 3. omogenitatea proiecției. Factorul scalar poate fi scos din semnul proiecției vectorului pe axă 4. Vector dreapta pe axa egal. prod. mod.vector pe cosinus al unghiului dintre vector și axă pr l а‾ = /а‾/ * cosφ - dacă unghiul φ ascuțit - proiecție pozitivă

- dacă unghiul φ obtuz - proiecție negativă

6. Conceptul de produs scalar al vectorilor. Cu cantitatea scalară este definit de un singur număr care exprimă raportul dintre această mărime și unitatea de măsură. Exemple de astfel de mărimi sunt temperatura, volumul, masa.Produsul scalar a doi vectori se numește: un scalar egal cu produsul modulelor acestor vectori și cos al unghiului dintre ei. Exemplu: găsiți dacă soluția:

Semnificația mecanică a produsului scalar: lăsați punctul material să se miște din punctul B în punctul C în linie dreaptă sub acțiunea unei forțe - vectorul deplasare. După cum știți, munca A este gata.

Deplasarea scalară Dacă punctul materialului este variabil. rectiliniu sub acțiunea unei forțe, apoi produsul scalar al forței și vectorul deplasare = munca efectuată în timpul acesteia. Proprietățile produsului punct:

1) Commutativ (legea deplasării)

2) asociativ (asociativ) h.

3) Distributiv (distribuit) h.

Formula pentru calcularea coordonatelor factorilor:Coordonatele vectorului a‾ sunt proiecțiile sale a x, a y și z pe axele de coordonate. Produsul vectorial al doi vectori = produsul de ordinul trei, în care ortele sunt pe prima linie, coordonatele primului vector sunt pe a doua linie, iar coordonatele celui de-al doilea vector sunt pe a treia linie.

exemplu:, decizie:

Răspuns:

TEORMECH

1. Forță, elemente de grafostatică.

O măsură a interacțiunii mecanice a corpurilor, de ex. interacţiunea care le afectează starea de repaus sau de mişcare se caracterizează prin forţă. Forța este definită:

Astfel, forța este o mărime vectorială.

Sistemul de forță vom numi totalitatea forţelor care acţionează asupra unui corp considerat. Există sisteme de forțe convergente, paralele și situate arbitrar.

Dacă un anumit sistem de forțe este echivalent cu o singură forță, atunci această forță se numește rezultanta acest sistem de forţe.

Se numește o mărime egală cu suma geometrică a forțelor oricărui sistem vector principal acest sistem de forţe. suma geometrică R Ch, (vectorul principal) al oricărui sistem de forțe este determinat fie prin adăugarea succesivă a forțelor sistemului conform regulii paralelogramului (sau triunghiului), fie prin construirea unui poligon de forțe.

Sistemul rezultant al forțelor convergente se găsește direct folosind legea paralelogramului de forțe. O problemă similară poate fi rezolvată pentru un sistem arbitrar de forțe dacă găsim posibilitatea de a transfera toate forțele într-un punct. O astfel de posibilitate există. Să transferăm puterea F de la punctul A la punctul B.

Sistemul rezultat de trei forțe este forța F 1 = F, dar aplicat la punctul B, și o pereche F,F2.(O pereche de forțe este un sistem de două forțe egale în valoare absolută, paralele și direcționate în direcții opuse, care acționează asupra unui corp absolut rigid). Astfel, un sistem de forțe situate arbitrar, atunci când este redus la un centru ales arbitrar, este echivalent cu o forță R ch (vector principal) aplicată la centrul de reducere și o pereche M ch (moment principal).

Rețineți că forța R cap nu este un sistem rezultant de forţe, deoarece înlocuiește sistemul de forțe nu singur, ci împreună cu o pereche de M cap .

Pentru echilibrul oricărui sistem de forțe, este necesar și suficient ca R cap=0 și M cap =0.

2. fragilitate și plasticitate fragilitate- capacitatea materialului de a se prăbuși la neglijabilă. deformatii reziduale. Plastic-mod de a obține un echilibru semnificativ. Deformare fără rupere. La proiectarea structurilor de construcție, este necesar să se stabilească valorile cantităților care caracterizează proprietățile de rezistență și deformare ale materialelor. Cele mai bune informații despre proprietățile mecanice ale metalelor pot fi obținute din încercările de întindere statică. Diagrame de tensiune înregistrate folosind un dispozitiv special (adică grafice ale relației dintre forța de tracțiune Fși alungirea probei ∆l) arată ca:

Prima diagramă este tipică pentru materialele plastice (oțel cu conținut scăzut de carbon). Diagrama are un număr de secțiuni caracteristice: OA - zona elastică, sarcina este proporțională cu deformația;

AB - până la punctul B nu se găsesc semne de deformare plastică (reziduală) în material;

CD - zona de fluiditate, deformarile cresc practic fara cresterea sarcinii;

BD - zona de curgere generala, in aceasta zona se dezvolta semnificativ deformarile plastice.

DE - zona de intarire, la forta maxima (sau putin mai mica) asupra probei, are loc o ingustare in punctul cel mai slab - "gât";

EK - zonă de fluiditate locală, deformări apar în zona „gâtului” până la o rupere în punctul K.

A doua diagramă este tipică pentru un material fragil (fontă). Diagrama nu are o secțiune dreaptă inițială pronunțată. Ruptura specimenelor din metale casante se produce la o foarte usoara alungire si fara formarea unui gat.

Diagramă F = f(∆l) depinde de mărimea probei, deci este reconstruită în coordonatele efort-deformare. Tensiunea este forța internă pe unitate de suprafață într-un punct dat al secțiunii considerate σ = F / A . Modificarea ∆l a lungimii inițiale a tijei l se numește alungire absolută. Raportul de alungire absolută la lungimea inițială ε = ∆ ll numită alungire relativă sau deformare. În cazul deformațiilor elastice, relația dintre deformații și tensiuni este liniară și este descrisă de legea lui Hooke: σ = E* ε , unde E este modulul de elasticitate.

3. Gradul de libertate al sistemului.

grad de libertate sistemele numesc cel mai mic număr de parametri geometrici (coordonatele punctelor, unghiurile de rotație ale elementelor sistemului, lungimile acestora), care se pot schimba independent atunci când sistemul se mișcă în raport cu pământul.

L=3D-2W-3W-Cop-C co 6 cm in

W - gradul de libertate al sistemului, D - numărul de discuri,

W - numărul de balamale, W - numărul de hard disk, C op - numărul de tije de sprijin, C sob - numărul de tije proprii ale sistemului.

W<0. Sistemul este modificabil din punct de vedere geometric, nu are suficiente legături pentru a asigura imuabilitatea. Astfel de sisteme nu sunt utilizate în construcții. W > 0. Sistemul are așa-numitele conexiuni „extra”, care nu sunt necesare pentru a asigura imuabilitatea sistemului și se numește static nedeterminat. W< 0. Sistemul este invariabil geometric.

Indeterminarea statică poate fi externă sau internă. În primul caz, reacțiile de sprijin și, prin urmare, forțele interne, nu pot fi determinate numai folosind ecuațiile statice. În al doilea caz, reacțiile de sprijin pot fi determinate folosind ecuațiile staticii, dar forțele interne nu. W=0 . Sistemul nu are conexiuni suplimentare, asta determinat staticși poate fi imuabil. Pentru a decide oportunitatea utilizării unui astfel de sistem, este necesar să se efectueze analiza structurală a acestuia. Datorită amenajării incorecte a conexiunilor, este posibilă formarea așa-numitelor sisteme modificabile „instantaneu”, care nu pot fi utilizate în construcții.

4. SSS (stări de stres-deformare)

Întindere centrală (sau compresia centrală) este un tip de deformare în care apare doar o forță longitudinală în secțiunea transversală a grinzii. N (în tracțiune sau compresiune) și toate celelalte forțe interne sunt egale cu zero.

Sub tensiune centrală (compresie), în secțiune transversală apar doar tensiuni normale σ=N/A Selectarea secțiunii se efectuează conform formulei

A=N/σ. Sub îndoi înțelegeți acest tip de efort, în care momentele încovoietoare apar în secțiunile transversale ale grinzii. Dacă în secțiunile transversale ale grinzii apar numai momente încovoietoare, acesta este un caz de încovoiere pură, dar dacă apar momente încovoietoare și forțe transversale, aceasta este așa-numita încovoiere transversală.

În toate punctele secțiunii transversale a fasciculului, normal σ și tensiunile tangențiale τ, care pot fi determinate prin formulele:

Diagramele de tensiuni în secțiunile grinzii au forma
Selectarea secțiunii elementului îndoit se efectuează în funcție de valoarea maximă a momentului încovoietor W x mpe6- modulul de sectiune necesar. torsiune se numește acest tip de deformare, în care în secțiunea transversală a arborelui apare doar un cuplu Mcr.

Starea de efort este forfecare pură. Doar tensiunile tangenţiale τ apar în secţiuni transversale.

Selectarea secțiunii se efectuează după formula: Rezistența complexă înseamnă combinații de stări simple de solicitare (tension, compresie, forfecare, torsiune și încovoiere.

îndoi se numește oblic dacă planul de acțiune al momentului încovoietor nu coincide cu niciunul dintre planurile sale principale. O îndoire oblică poate fi considerată o combinație a două îndoituri drepte în planuri reciproc perpendiculare. Cu îndoirea oblică în secțiunile transversale ale grinzii, în cazul general, apar 4 factori de forță interni Q x , M x , Q y u M y .

Răspuns:

Proprietăți de proiecție:

Proprietăți de proiecție vectorială

Proprietatea 1.

Proiecția sumei a doi vectori pe o axă este egală cu suma proiecțiilor vectorilor pe aceeași axă:

Această proprietate vă permite să înlocuiți proiecția sumei vectorilor cu suma proiecțiilor lor și invers.

Proprietatea 2. Dacă un vector este înmulțit cu numărul λ, atunci proiecția lui pe axă este, de asemenea, înmulțită cu acest număr:

Proprietatea 3.

Proiecția unui vector pe axa l este egală cu produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului dintre vector și axă:

Axa Orth. Descompunerea unui vector în termeni de vectori de coordonate. Coordonatele vectoriale. Proprietățile coordonatelor

Răspuns:

Horti de topoare.

Un sistem de coordonate dreptunghiular (de orice dimensiune) este descris și de un set de vectori unitari aliniați cu axele de coordonate. Numărul de orte este egal cu dimensiunea sistemului de coordonate și toate sunt perpendiculare între ele.

În cazul tridimensional, ortele sunt de obicei notate

Și simboluri cu săgeți și pot fi, de asemenea, folosite.

Mai mult, în cazul unui sistem de coordonate drepte sunt valabile următoarele formule cu produse vectoriale ale ortelor:

Descompunerea unui vector în termeni de vectori de coordonate.

Orth a axei de coordonate este notat cu , axele - cu , axele - cu (Fig. 1)

Pentru orice vector care se află într-un plan are loc următoarea descompunere:

Dacă vectorul este situat în spațiu, atunci expansiunea în termeni de vectori unitari a axelor de coordonate are forma:

Coordonatele vectoriale:

Pentru a calcula coordonatele unui vector, cunoscând coordonatele (x1; y1) ale începutului său A și coordonatele (x2; y2) ale capătului său B, trebuie să scădeți coordonatele începutului din coordonatele de sfârșit: (x2 - x1; y2 - y1).

Proprietățile coordonatelor.

Se consideră o dreaptă de coordonate cu originea în punctul O și un vector unitar i. Atunci pentru orice vector a de pe această linie: a = axi.

Axa numerelor se numește coordonata vectorului a pe axa de coordonate.

Proprietatea 1. Când se adaugă vectori pe axă, coordonatele acestora sunt adăugate.

Proprietatea 2. Când un vector este înmulțit cu un număr, coordonatele sale sunt înmulțite cu acel număr.

Produsul scalar al vectorilor. Proprietăți.

Răspuns:

Produsul scalar a doi vectori nenuli este un număr,

egal cu produsul acestor vectori cu cosinusul unghiului dintre ei.

Proprietăți:

1. Produsul scalar are o proprietate comutativă: ab=ba

Produsul scalar al vectorilor de coordonate. Determinarea produsului scalar al vectorilor dat de coordonatele lor.

Răspuns:

Produs punctual (×) orts

(X)	eu	J	K
eu
J
K

Determinarea produsului scalar al vectorilor dat de coordonatele lor.

Produsul scalar a doi vectori și dat de coordonatele lor poate fi calculat prin formula

Produs vectorial al doi vectori. Proprietățile produsului vectorial.

Răspuns:

Trei vectori necoplanari formează un triplu drept dacă, de la sfârșitul celui de-al treilea vector, rotația de la primul vector la al doilea este în sens invers acelor de ceasornic. Dacă în sensul acelor de ceasornic - atunci la stânga., dacă nu, atunci în sens opus ( arată cum a arătat cu „mânere”)

Produsul încrucișat al unui vector A pe vector b numit vector cu care:

1. Perpendicular pe vectori Ași b

2. Are o lungime egală numeric cu aria paralelogramului format pe Ași b vectori

3. Vectori, a,b, și c formează triplul corect al vectorilor

Proprietăți:

1.

3.

4.

Produs vectorial al vectorilor de coordonate. Determinarea produsului vectorial al vectorilor dat de coordonatele acestora.

Răspuns:

Produs vectorial al vectorilor de coordonate.

Determinarea produsului vectorial al vectorilor dat de coordonatele acestora.

Fie vectorii a = (x1; y1; z1) și b = (x2; y2; z2) dați de coordonatele lor în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare O, i, j, k, iar triplul i, j, k este dreapta.

Extindem a și b în termeni de vectori de bază:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Folosind proprietățile produsului vectorial, obținem

[A; b] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (unu)

Prin definiția unui produs vectorial, găsim

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Având în vedere aceste egalități, formula (1) poate fi scrisă după cum urmează:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Formula (2) oferă o expresie pentru produsul încrucișat a doi vectori dat de coordonatele lor.

Formula rezultată este greoaie. Folosind notația determinanților, o puteți scrie într-o altă formă care este mai convenabilă de reținut:

De obicei formula (3) se scrie și mai scurt: