Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Rezolvarea ecuației trigonometrice constă în două etape: transformarea ecuației să fie simplu tip (vezi mai sus) și decizieobtinut cel mai simplu ecuație trigonometrică. Sunt șapte metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

1. Metoda algebrică.

(metoda de substituție și substituție variabilă).

2. Factorizarea.

EXEMPLU 1. Rezolvați ecuația: păcat X+ cos X = 1 .

Soluție. Mută ​​toți termenii ecuației la stânga:

Păcat X+ cos X – 1 = 0 ,

Să transformăm și să factorizăm expresia în

Partea stângă a ecuației:

Exemplul 2. Rezolvați ecuația: cos 2 X+ păcat X cos X = 1.

SOLUȚIA cos 2 X+ păcat X cos X– păcatul 2 X– cos 2 X = 0 ,

Păcat X cos X– păcatul 2 X = 0 ,

Păcat X(cos X– păcat X ) = 0 ,

Exemplul 3. Rezolvați ecuația: cos 2 X– cos 8 X+ cos 6 X = 1.

SOLUȚIA cos 2 X+ cos 6 X= 1 + cos8 X,

2 cos 4 X cos 2 X= 2 cos² 4 X ,

Cos 4 X · (cos 2 X– cos 4 X) = 0 ,

Cos 4 X 2 păcatul 3 X păcat X = 0 ,

unu). cos 4 X= 0, 2). păcatul 3 X= 0, 3). păcat X = 0 ,

3. Aducerea la ecuație uniformă. Ecuația numit omogen din relativ păcatși cos , dacă totul termeni de acelaşi grad cu privire la păcatși cos acelasi unghi. Pentru a rezolva o ecuație omogenă, aveți nevoie de: A) mutați toți membrii săi în partea stângă; b) scoateți toți factorii comuni dintre paranteze; în) egalează toți factorii și parantezele cu zero; G) parantezele puse la zero dau ecuație omogenă de grad mai mic, care ar trebui împărțită la cos(sau păcat) în gradul superior; d) rezolvați ecuația algebrică rezultată în raport cubronzat . păcat 2 X+ 4 păcat X cos X+ 5 cos 2 X = 2. Rezolvare: 3sin 2 X+ 4 păcat X cos X+ 5 cos 2 X= 2 sin 2 X+ 2 cos 2 X , Păcatul 2 X+ 4 păcat X cos X+ 3 cos 2 X = 0 , bronzat 2 X+ 4tan X + 3 = 0 , de aici y 2 + 4y +3 = 0 , Rădăcinile acestei ecuații sunt:y 1 = - 1, y 2 = - 3, prin urmare 1) bronzat X= –1, 2) tan X = –3,

4. Tranziție la jumătatea colțului.

Să ne uităm la această metodă cu un exemplu:

EXEMPLU Rezolvați ecuația: 3 păcat X– 5cos X = 7.

Rezolvare: 6 sin ( X/ 2) cos ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sin² ( X/ 2) =

7 sin² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 sin² ( X/ 2) – 6 sin ( X/ 2) cos ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

bronz²( X/ 2) – 3 bronz ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Introducerea unui unghi auxiliar.

Luați în considerare o ecuație de formă:

A păcat X + b cos X = c ,

Unde A, b, c– coeficienți;X- necunoscut.

Acum coeficienții ecuației au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume: modul (valoare absolută) al fiecăruia din care nu mai mult de 1 iar suma pătratelor lor este 1. Atunci se poate desemna ei respectiv la fel de cos și păcat (aici - așa-zisul unghi auxiliar), șiecuația noastră este

Subiect:„Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice”.

Obiectivele lecției:

educational:

Să formeze abilități de a distinge tipuri de ecuații trigonometrice;

Aprofundarea înțelegerii metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice;

educational:

Educație de interes cognitiv în procesul educațional;

Formarea capacității de analiză a sarcinii;

în curs de dezvoltare:

Să-și formeze abilitățile de a analiza situația cu alegerea ulterioară a celei mai raționale ieșiri din ea.

Echipament: afiș cu formule trigonometrice de bază, computer, proiector, ecran.

Să începem lecția prin repetarea tehnicii de bază pentru rezolvarea oricărei ecuații: reducerea acesteia la o formă standard. Prin transformări, ecuațiile liniare sunt reduse la forma ax \u003d b, cele pătrate la forma ax2+bx +c=0.În cazul ecuațiilor trigonometrice, este necesar să le reduceți la cele mai simple, de forma: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, care pot fi rezolvate cu ușurință.

În primul rând, desigur, pentru aceasta este necesar să folosiți formulele trigonometrice de bază care sunt prezentate pe poster: formule de adunare, formule de unghi dublu, scăderea multiplicității unei ecuații. Știm deja cum să rezolvăm astfel de ecuații. Să repetăm ​​câteva dintre ele:

În același timp, există ecuații, a căror rezolvare necesită cunoașterea unor tehnici speciale.

Tema lecției noastre este luarea în considerare a acestor tehnici și sistematizarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

1. Transformarea într-o ecuație pătratică în raport cu o funcție trigonometrică, urmată de o schimbare a variabilei.

Vom lua în considerare fiecare dintre metodele enumerate cu exemple, dar ne vom opri mai detaliat asupra ultimelor două, deoarece le-am folosit deja pe primele două în rezolvarea ecuațiilor.

1. Transformarea într-o ecuație pătratică în raport cu orice funcție trigonometrică.

2. Rezolvarea ecuațiilor prin metoda factorizării.

3. Rezolvarea ecuațiilor omogene.

Ecuațiile omogene de gradul I și II se numesc ecuații de forma:

respectiv (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).

La rezolvarea ecuațiilor omogene, ambele părți ale ecuației sunt împărțite termen cu termen prin cosx pentru (1) al ecuației și cu cos 2 x pentru (2). O astfel de împărțire este posibilă, deoarece sinx și cosx nu sunt egale cu zero în același timp - ele dispar în puncte diferite. Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor omogene de gradul I și II.

Să ne amintim această ecuație: când luăm în considerare următoarea metodă - introducerea unui argument auxiliar, o vom rezolva într-un mod diferit.

4. Introducerea unui argument auxiliar.

Luați în considerare ecuația deja rezolvată prin metoda anterioară:

După cum puteți vedea, se obține același rezultat.

Să ne uităm la un alt exemplu:

În exemplele luate în considerare, a fost în general clar în ce trebuie împărțită ecuația inițială pentru a introduce un argument auxiliar. Dar se poate întâmpla să nu fie evident ce divizor să alegeți. Există o tehnică specială pentru aceasta, pe care acum o vom lua în considerare într-un mod general. Să fie dată o ecuație.

Metode de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice Conţinuturi

• Metoda de înlocuire variabilă
• Metoda de factorizare
• Ecuații trigonometrice omogene
• Folosind formule trigonometrice:
• Formule de adunare
• Formule turnate
• Formule cu argument dublu

Metoda de înlocuire variabilă

Prin înlocuirea t = sinx sau t = cosx, unde t∈ [−1;1] soluția ecuației inițiale se reduce la soluția unei ecuații pătratice sau a unei alte ecuații algebrice.

Vezi exemplele 1 - 3

Uneori se folosește o substituție trigonometrică universală: t = tg

Exemplul 1 Exemplul 2 Exemplul 3 Metoda de factoring

Esența acestei metode este că produsul mai multor factori este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre ei este egal cu zero, în timp ce ceilalți nu își pierd sensul:

f(x) g(x) h(x) … = 0⟺ f(x) = 0 sau g(x) = 0 sau h(x) = 0

etc. cu condiția ca fiecare dintre factori să existe

Vezi exemplele 4 - 5

Exemplul 4 Exemplul 5 Ecuații trigonometrice omogene O ecuație de forma a sin x + b cos x = 0 se numește ecuație trigonometrică omogenă de gradul I.

a sin x + b cos x = 0

Cometariu.

Împărțirea la cos x este validă deoarece soluțiile ecuației cos x = 0 nu sunt soluții ale ecuației a sin x + b cos x = 0.

a sin x b cos x 0

a tg x + b = 0

tg x = -

Ecuații trigonometrice omogene

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

O ecuație de forma a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 se numește ecuație trigonometrică omogenă de gradul doi.

a tg2x + b tg x + c = 0

a sin2x b sin x cos x c cos2x 0

Cometariu. Dacă în această ecuație a \u003d 0 sau c \u003d 0, atunci ecuația este rezolvată prin metoda expansiunii

pentru multiplicatori.

Exemplul 6

Exemplul 8 Exemplul 9 Exemplul 10 Exemplul 11 1. Formule de adunare:

sin(x + y) = sinx cozy + cosx siny

cos (x + y) = cosx cozy − sinx siny

tgx + tgy

tg(x + y) =

1 − tgx tgy

sin(x − y) = sinx cozy + cosx siny

cos(x − y) = cosx cozy + sinx siny

tgx − tgy

tg (x − y) =

1 + tgx tgy

сtgx сtgy − 1

ctg (x + y) =

сtgу + с tgх

ctgx ctgy + 1

сtg (x − y) =

сtgу − с tgх

Exemplul 12 Exemplul 13 Utilizarea formulelor trigonometrice 2. Formule de turnare:

regula calului

Pe vremurile bune, trăia un matematician absent care, când caută un răspuns, schimbă sau nu denumirea unei funcții ( sinusului pe cosinus), s-a uitat la calul lui deștept și ea a dat din cap de-a lungul axei de coordonate, care aparținea punctului corespunzător primului termen al argumentului. π/ 2 + α sau π + α .

Dacă calul a dat din cap de-a lungul axei OU, atunci matematicianul a considerat că răspunsul a fost primit "da, schimba" dacă de-a lungul axei OH, apoi "nu, nu te schimba".

Folosind formule trigonometrice 3. Formule cu argument dublu:

sin2x = 2sinx cosx

cos2x = cos2x – sin2x

cos2x = 2cos2x - 1

cos2x = 1 – 2sin2x

1-tg2x

ctg 2x =

ctg2x - 1

Exemplul 14 Utilizarea formulelor trigonometrice 4. Formule de reducere a gradului:

5. Formule cu jumătate de unghi:

Folosind formule trigonometrice 6. Formule de sumă și diferență: Folosind formule trigonometrice 7. Formule de produs: Regula mnemonică „Trigonometrie în palmă”

De foarte multe ori se cere să se cunoască pe de rost semnificațiile cos, păcat, tg, ctg pentru unghiuri 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Dar dacă dintr-o dată se uită orice valoare, atunci puteți folosi regula mâinii.

Regulă: Dacă trasezi linii prin degetul mic și degetul mare,

apoi se vor intersecta într-un punct numit „dealul lunar”.

Se formează un unghi de 90°. Linia degetului mic formează un unghi de 0°.

După ce au tras razele din „dealul lunar” prin degetele inelar, mijlociu, arătător, obținem unghiuri de 30 °, 45 °, respectiv 60 °.

Înlocuind în loc de n: 0, 1, 2, 3, 4, obținem valorile păcat, pentru unghiuri 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Pentru cos numărarea este în ordine inversă.

Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!

O egalitate care conține o necunoscută sub semnul unei funcții trigonometrice (`sin x, cos x, tg x` sau `ctg x`) se numește ecuație trigonometrică și vom lua în considerare formulele lor în continuare.

Cele mai simple ecuații sunt `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, unde `x` este unghiul care trebuie găsit, `a` este orice număr. Să scriem formulele rădăcină pentru fiecare dintre ele.

1. Ecuația `sin x=a`.

Pentru `|a|>1` nu are soluții.

Cu `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ecuația `cos x=a`

Pentru `|a|>1` - ca si in cazul sinusului, nu exista solutii intre numerele reale.

Cu `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Cazuri speciale pentru sinus și cosinus în grafice.

3. Ecuația `tg x=a`

Are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ecuația `ctg x=a`

De asemenea, are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice din tabel

Pentru sinusuri:
Pentru cosinus:
Pentru tangentă și cotangentă:
Formule pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin funcții trigonometrice inverse:

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Rezolvarea oricărei ecuații trigonometrice constă în două etape:

• folosind pentru a-l converti în cel mai simplu;
• rezolvați ecuația simplă rezultată folosind formulele de mai sus pentru rădăcini și tabele.

Să luăm în considerare principalele metode de soluție folosind exemple.

metoda algebrică.

În această metodă, se face înlocuirea unei variabile și înlocuirea acesteia în egalitate.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faceți o înlocuire: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, apoi `2y^2-3y+1=0`,

găsim rădăcinile: `y_1=1, y_2=1/2`, din care urmează două cazuri:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Răspuns: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorizarea.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `sin x+cos x=1`.

Decizie. Mutați la stânga toți termenii de egalitate: `sin x+cos x-1=0`. Folosind , transformăm și factorizăm partea stângă:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Răspuns: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducerea la o ecuație omogenă

Mai întâi, trebuie să aduceți această ecuație trigonometrică într-una dintre cele două forme:

`a sin x+b cos x=0` (ecuația omogenă de gradul I) sau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ecuația omogenă de gradul II).

Apoi împărțiți ambele părți prin `cos x \ne 0` pentru primul caz și cu `cos^2 x \ne 0` pentru al doilea. Obținem ecuații pentru `tg x`: `a tg x+b=0` și `a tg^2 x + b tg x +c =0`, care trebuie rezolvate folosind metode cunoscute.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Decizie. Să scriem partea dreaptă ca `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Aceasta este o ecuație trigonometrică omogenă de gradul doi, împărțind părțile din stânga și din dreapta la `cos^2 x \ne 0`, obținem:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Să introducem înlocuirea `tg x=t`, ca rezultat `t^2 + t - 2=0`. Rădăcinile acestei ecuații sunt `t_1=-2` și `t_2=1`. Apoi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Du-te la Half Corner

Exemplu. Rezolvați ecuația: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Decizie. Aplicând formulele unghiului dublu, rezultatul este: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Aplicând metoda algebrică descrisă mai sus, obținem:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introducerea unui unghi auxiliar

În ecuația trigonometrică `a sin x + b cos x =c`, unde a,b,c sunt coeficienți și x este o variabilă, împărțim ambele părți la `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Coeficienții din stânga au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume, suma pătratelor lor este 1 și modulul lor este cel mult 1. Să-i notăm astfel: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , apoi:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Să aruncăm o privire mai atentă la următorul exemplu:

Exemplu. Rezolvați ecuația: `3 sin x+4 cos x=2`.

Decizie. Împărțind ambele părți ale ecuației la `sqrt (3^2+4^2)`, obținem:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Se notează `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Deoarece `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, luăm `\varphi=arcsin 4/5` ca unghi auxiliar. Apoi scriem egalitatea noastră sub forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicând formula pentru suma unghiurilor pentru sinus, scriem egalitatea noastră în următoarea formă:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ecuații trigonometrice fracționale-raționale

Acestea sunt egalități cu fracții, în numărătorii și numitorii cărora există funcții trigonometrice.

Exemplu. Rezolvați ecuația. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Decizie. Înmulțiți și împărțiți partea dreaptă a ecuației cu `(1+cos x)`. Ca rezultat, obținem:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Având în vedere că numitorul nu poate fi zero, obținem `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Echivalează numărătorul fracției cu zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Apoi `sin x=0` sau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Având în vedere că ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, soluțiile sunt `x=2\pi n, n \in Z` și `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Răspuns. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria, și în special ecuațiile trigonometrice, sunt utilizate în aproape toate domeniile geometriei, fizicii și ingineriei. Studiul începe în clasa a X-a, există întotdeauna sarcini pentru examen, așa că încercați să vă amintiți toate formulele ecuațiilor trigonometrice - vă vor fi cu siguranță la îndemână!

Cu toate acestea, nici nu trebuie să le memorați, principalul lucru este să înțelegeți esența și să puteți deduce. Nu este atât de dificil pe cât pare. Vedeți singuri vizionand videoclipul.