Ecuații cuadratice.

Ecuație pătratică- ecuaţia algebrică de formă generală

unde x este o variabilă liberă,

a, b, c sunt coeficienți și

Expresie numit trinom pătrat.

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

1. METODĂ : Factorizarea părții stângi a ecuației.

Să rezolvăm ecuația x 2 + 10x - 24 = 0. Să factorizăm partea stângă:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Prin urmare, ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:

(x + 12)(x - 2) = 0

Deoarece produsul este zero, atunci cel puțin unul dintre factorii săi este zero. Prin urmare, partea stângă a ecuației devine zero la x = 2, și, de asemenea, când x = - 12. Aceasta înseamnă că numărul 2 Și - 12 sunt rădăcinile ecuației x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODĂ : Metoda de selectare a unui pătrat complet.

Să rezolvăm ecuația x 2 + 6x - 7 = 0. Selectați un pătrat complet din partea stângă.

Pentru a face acest lucru, scriem expresia x 2 + 6x în următoarea formă:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

În expresia rezultată, primul termen este pătratul numărului x, iar al doilea este produsul dublu al lui x cu 3. Prin urmare, pentru a obține un pătrat complet, trebuie să adăugați 3 2, deoarece

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

Să transformăm acum partea stângă a ecuației

x 2 + 6x - 7 = 0,

adunând la el și scăzând 3 2. Avem:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Astfel, această ecuație poate fi scrisă după cum urmează:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Prin urmare, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 sau x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODĂ :Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind formula.

Să înmulțim ambele părți ale ecuației

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

pe 4a și secvenţial avem:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Exemple.

A) Să rezolvăm ecuația: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, două rădăcini diferite;

Astfel, în cazul unui discriminant pozitiv, i.e. la

b 2 - 4ac >0, ecuația ax 2 + bx + c = 0 are două rădăcini diferite.

b) Să rezolvăm ecuația: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, o rădăcină;

Deci, dacă discriminantul este zero, i.e. b 2 - 4ac = 0, apoi ecuația

ax 2 + bx + c = 0 are o singură rădăcină

V) Să rezolvăm ecuația: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Această ecuație nu are rădăcini.

Deci, dacă discriminantul este negativ, i.e. b 2 - 4ac< 0 , ecuația

ax 2 + bx + c = 0 nu are rădăcini.

Formula (1) a rădăcinilor unei ecuații pătratice ax 2 + bx + c = 0 vă permite să găsiți rădăcini orice ecuație pătratică (dacă există), inclusiv redusă și incompletă. Formula (1) se exprimă verbal după cum urmează: rădăcinile unei ecuații pătratice sunt egale cu o fracție al cărei numărător este egal cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, plus minus rădăcina pătrată a pătratului acestui coeficient fără a dubla de patru ori produsul primului coeficient cu termenul liber și numitorul este dublu față de primul coeficient.

4. METODA: Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema lui Vieta.

După cum se știe, ecuația pătratică redusă are forma

x 2 + px + c = 0.(1)

Rădăcinile sale satisfac teorema lui Vieta, care, când a = 1 se pare ca

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Din aceasta putem trage următoarele concluzii (din coeficienții p și q putem prezice semnele rădăcinilor).

a) Dacă semi-membru q ecuația dată (1) este pozitivă ( q > 0), atunci ecuația are două rădăcini de semn egal și aceasta depinde de al doilea coeficient p. Dacă R< 0 , atunci ambele rădăcini sunt negative dacă R< 0 , atunci ambele rădăcini sunt pozitive.

De exemplu,

x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2Și x 2 = 1, deoarece q = 2 > 0Și p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7Și x 2 = - 1, deoarece q = 7 > 0Și p= 8 > 0.

b) Dacă un membru liber q ecuația dată (1) este negativă ( q< 0 ), atunci ecuația are două rădăcini de semn diferit, iar rădăcina mai mare va fi pozitivă dacă p< 0 , sau negativ dacă p > 0 .

De exemplu,

x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5Și x 2 = 1, deoarece q= - 5< 0 Și p = 4 > 0;

x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9Și x 2 = - 1, deoarece q = - 9< 0 Și p = - 8< 0.

Exemple.

1) Să rezolvăm ecuația 345x 2 – 137x – 208 = 0.

Soluţie. Deoarece a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), Acea

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

Raspunsul 1; -208/345.

2) Rezolvați ecuația 132x 2 – 247x + 115 = 0.

Soluţie. Deoarece a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), Acea

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

Raspunsul 1; 115/132.

B. Dacă al doilea coeficient b = 2k este un număr par, apoi formula rădăcinii

Exemplu.

Să rezolvăm ecuația 3x2 - 14x + 16 = 0.

Soluţie. Avem: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, două rădăcini diferite;

Răspuns: 2; 8/3

ÎN. Ecuație redusă

x 2 + px + q= 0

coincide cu o ecuaţie generală în care a = 1, b = pȘi c = q. Prin urmare, pentru ecuația pătratică redusă, formula rădăcinii este

Ia forma:

Formula (3) este deosebit de convenabilă de utilizat atunci când R- număr par.

Exemplu. Să rezolvăm ecuația x 2 – 14x – 15 = 0.

Soluţie. Avem: x 1,2 = 7±

Răspuns: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. METODA: Rezolvarea grafică a ecuațiilor.

Exemplu. Rezolvați ecuația x2 - 2x - 3 = 0.

Să reprezentăm grafic funcția y = x2 - 2x - 3

1) Avem: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Aceasta înseamnă că vârful parabolei este punctul (1; -4), iar axa parabolei este dreapta x = 1.

2) Luați două puncte de pe axa x care sunt simetrice față de axa parabolei, de exemplu punctele x = -1 și x = 3.

Avem f(-1) = f(3) = 0. Să construim punctele (-1; 0) și (3; 0) pe planul de coordonate.

3) Prin punctele (-1; 0), (1; -4), (3; 0) desenăm o parabolă (Fig. 68).

Rădăcinile ecuației x2 - 2x - 3 = 0 sunt abscisele punctelor de intersecție ale parabolei cu axa x; Aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației sunt: ​​x1 = - 1, x2 - 3.

Să ne amintim proprietățile de bază ale gradelor. Fie a > 0, b > 0, n, m orice numere reale. Apoi
1) a n a m = a n+m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (a n) m = a nm

4) (ab) n = a n b n

5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1, dacă a > 1, n > 0

8) a n 1, n
9) a n > a m dacă 0

În practică, funcțiile de forma y = a x sunt adesea folosite, unde a este un număr pozitiv dat, x este o variabilă. Astfel de funcții sunt numite indicativ. Acest nume se explică prin faptul că argumentul funcției exponențiale este exponentul, iar baza exponentului este numărul dat.

Definiție. O funcție exponențială este o funcție de forma y = a x, unde a este un număr dat, a > 0, \(a \neq 1\)

Funcția exponențială are următoarele proprietăți

1) Domeniul de definiție al funcției exponențiale este mulțimea tuturor numerelor reale.
Această proprietate rezultă din faptul că puterea a x unde a > 0 este definită pentru toate numerele reale x.

2) Setul de valori ale funcției exponențiale este mulțimea tuturor numerelor pozitive.
Pentru a verifica acest lucru, trebuie să arătați că ecuația a x = b, unde a > 0, \(a \neq 1\), nu are rădăcini dacă \(b \leq 0\) și are o rădăcină pentru orice b > 0 .

3) Funcția exponențială y = a x crește pe mulțimea tuturor numerelor reale dacă a > 1 și descrește dacă 0. Aceasta rezultă din proprietățile gradului (8) și (9)

Să construim grafice ale funcțiilor exponențiale y = a x pentru a > 0 și pentru 0. Folosind proprietățile considerate, observăm că graficul funcției y = a x pentru a > 0 trece prin punctul (0; 1) și este situat deasupra axa Ox.
Dacă x 0.
Dacă x > 0 și |x| crește, graficul crește rapid.

Graficul funcției y = a x la 0 Dacă x > 0 și crește, atunci graficul se apropie rapid de axa Ox (fără a o traversa). Astfel, axa Ox este asimptota orizontală a graficului.
Dacă x

Ecuații exponențiale

Să luăm în considerare câteva exemple de ecuații exponențiale, i.e. ecuații în care necunoscutul este conținut în exponent. Rezolvarea ecuațiilor exponențiale se reduce adesea la rezolvarea ecuației a x = a b unde a > 0, \(a \neq 1\), x este o necunoscută. Această ecuație este rezolvată folosind proprietatea puterii: puterile cu aceeași bază a > 0, \(a \neq 1\) sunt egale dacă și numai dacă exponenții lor sunt egali.

Rezolvați ecuația 2 3x 3 x = 576
Deoarece 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, ecuația poate fi scrisă ca 8 x 3 x = 24 2, sau ca 24 x = 24 2, din care x = 2.
Răspuns x = 2

Rezolvați ecuația 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Luând factorul comun 3 x - 2 din paranteze din partea stângă, obținem 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
de unde 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Răspuns x = 2

Rezolvați ecuația 3 x = 7 x
Deoarece \(7^x \neq 0 \) , ecuația poate fi scrisă sub forma \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), din care \(\left(\frac(3) )( 7) \right) ^x = 1 \), x = 0
Răspuns x = 0

Rezolvați ecuația 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Prin înlocuirea 3 x = t, această ecuație se reduce la ecuația pătratică t 2 - 4t - 45 = 0. Rezolvând această ecuație, găsim rădăcinile ei: t 1 = 9, t 2 = -5, de unde 3 x = 9, 3 x = -5 .
Ecuația 3 x = 9 are rădăcină x = 2, iar ecuația 3 x = -5 nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială nu poate lua valori negative.
Răspuns x = 2

Rezolvați ecuația 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Să scriem ecuația sub forma
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, de unde
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Răspuns x = 2

Rezolvați ecuația 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Deoarece 3 > 0, \(3 \neq 1\), atunci ecuația inițială este echivalentă cu ecuația |x-1| = |x+3|
Punând la pătrat această ecuație, obținem corolarul ei (x - 1) 2 = (x + 3) 2, din care
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Verificarea arată că x = -1 este rădăcina ecuației originale.
Răspuns x = -1

Cablul LSV 2-7 16x0,12 aparține tipului de benzi de calitate care sunt utilizate cu succes pentru instalarea intra și inter-dispozitive a dispozitivelor electrice și radio-electronice care funcționează în rețelele de alimentare cu un curent continuu de 350 V sau cu un 250 V. tensiune alternativă la frecvențe de până la 50 Hz. Instalarea hardware-ului se realizează cu participarea diferitelor tipuri de conectori, utilizarea conectorilor de sertizare și de contact, pentru care izolația poate fi străpunsă prin lipire, precum și adezivi și lacuri care nu afectează izolația. Izolația nu este compromisă dacă miezurile sunt separate printr-un jumper. Marca rezistă perfect influenței vibrațiilor sinusoidale, zgomotului acustic, accelerației liniare, șocurilor mecanice simple și multiple.

Explicația marcajului LSV 2-7 16x0,12:

• L - bandă
• S - serial
• B - Izolatie PVC

Elemente structurale cablu LSV 2-7 16x0,12

1. Conductor interior monofir din cupru cositorit
2. Izolație din PVC polimer

Parametrii tehnici ai cablului LSV 2-7 16x0,12

Certificate și garanții

I. ax 2 =0 – incomplet ecuație pătratică (b=0, c=0 ). Rezolvare: x=0. Raspuns: 0.

Rezolvați ecuații.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Soluţie. Să deschidem paranteze prin înmulțire 2x pentru fiecare termen dintre paranteze:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; Mutăm termenii din partea dreaptă la stânga:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Iată termeni similari:

3x 2 =0, deci x=0.

Răspuns: 0.

II. ax 2 +bx=0 –incomplet ecuație pătratică (c=0 ). Rezolvare: x (ax+b)=0 → x 1 =0 sau ax+b=0 → x 2 =-b/a. Răspuns: 0; -b/a.

5x 2 -26x=0.

Soluţie. Să eliminăm factorul comun Xîn afara parantezelor:

x(5x-26)=0; fiecare factor poate fi egal cu zero:

x=0 sau 5x-26=0→ 5x=26, împărțiți ambele părți ale egalității la 5 și obținem: x=5.2.

Răspuns: 0; 5,2.

Exemplul 3. 64x+4x 2 =0.

Soluţie. Să eliminăm factorul comun 4xîn afara parantezelor:

4x(16+x)=0. Avem trei factori, 4≠0, prin urmare, sau x=0 sau 16+x=0. Din ultima egalitate obținem x=-16.

Răspuns: -16; 0.

Exemplul 4.(x-3) 2 +5x=9.

Soluţie. Aplicând formula pentru pătratul diferenței a două expresii, vom deschide parantezele:

x 2 -6x+9+5x=9; transforma la forma: x 2 -6x+9+5x-9=0; Să prezentăm termeni similari:

x2-x=0; o vom scoate Xîn afara parantezelor, obținem: x (x-1)=0. De aici sau x=0 sau x-1=0→ x=1.

Răspuns: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 –incomplet ecuație pătratică (b=0 ); Rezolvare: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Dacă (-c/a)<0 , atunci nu există rădăcini reale. Dacă (-с/а)>0

Exemplul 5. x 2 -49=0.

Soluţie.

x 2 =49, de aici x=±7. Răspuns:-7; 7.

Exemplul 6. 9x 2 -4=0.

Soluţie.

Adesea trebuie să găsiți suma pătratelor (x 1 2 +x 2 2) sau suma cuburilor (x 1 3 +x 2 3) a rădăcinilor unei ecuații pătratice, mai rar - suma valorilor reciproce ​a pătratelor rădăcinilor sau a sumei rădăcinilor pătrate aritmetice ale rădăcinilor unei ecuații pătratice:

Teorema lui Vieta poate ajuta cu asta:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Să ne exprimăm prin pȘi q:

1) suma pătratelor rădăcinilor ecuației x 2 +px+q=0;

2) suma cuburilor rădăcinilor ecuației x 2 +px+q=0.

Soluţie.

1) Expresie x 1 2 +x 2 2 obţinută prin pătrarea ambelor părţi ale ecuaţiei x 1 + x 2 = -p;

(x1 +x2)2 =(-p)2; deschideți parantezele: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; exprimăm suma necesară: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Avem o egalitate utilă: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Expresie x 1 3 +x 2 3 Să reprezentăm suma cuburilor folosind formula:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2) -3q).

O altă ecuație utilă: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Exemple.

3) x 2 -3x-4=0. Fără a rezolva ecuația, calculați valoarea expresiei x 1 2 +x 2 2.

Soluţie.

x 1 +x 2 =-p=3, si munca x 1 ∙x 2 =q=în exemplul 1) egalitate:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Avem -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Apoi x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Răspuns: x 1 2 +x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Calculați: x 1 3 +x 2 3 .

Soluţie.

După teorema lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații pătratice reduse este x 1 +x 2 =-p=2, si munca x 1 ∙x 2 =q=-4. Să aplicăm ceea ce am primit ( în exemplul 2) egalitate: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Răspuns: x 1 3 +x 2 3 =32.

Întrebare: ce se întâmplă dacă ni se oferă o ecuație pătratică neredusă? Răspuns: poate fi întotdeauna „redusă” prin împărțirea termenului cu termen la primul coeficient.

5) 2x 2 -5x-7=0. Fără a decide, calculează: x 1 2 +x 2 2.

Soluţie. Ni se oferă o ecuație pătratică completă. Împărțiți ambele părți ale egalității la 2 (primul coeficient) și obțineți următoarea ecuație pătratică: x 2 -2,5x-3,5=0.

Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor este egală cu 2,5 ; produsul rădăcinilor este egal -3,5 .

O rezolvăm în același mod ca exemplul 3) folosind egalitatea: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Răspuns: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Găsi:

Să transformăm această egalitate și, folosind teorema lui Vieta, să înlocuim suma rădăcinilor -p, iar produsul rădăcinilor prin q, obținem o altă formulă utilă. La derivarea formulei, am folosit egalitatea 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

În exemplul nostru x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Inlocuim aceste valori in formula rezultata:

7) x 2 -13x+36=0. Găsi:

Să transformăm această sumă și să obținem o formulă care poate fi folosită pentru a găsi suma rădăcinilor pătrate aritmetice din rădăcinile unei ecuații pătratice.

Avem x1 +x2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Inlocuim aceste valori in formula rezultata:

Sfat : verificați întotdeauna posibilitatea de a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice folosind o metodă adecvată, deoarece 4 revizuit formule utile vă permit să finalizați rapid o sarcină, mai ales în cazurile în care discriminantul este un număr „incomod”. În toate cazurile simple, găsiți rădăcinile și operați asupra lor. De exemplu, în ultimul exemplu selectăm rădăcinile folosind teorema lui Vieta: suma rădăcinilor ar trebui să fie egală cu 13 , și produsul rădăcinilor 36 . Care sunt aceste numere? Cu siguranță, 4 și 9. Acum calculați suma rădăcinilor pătrate ale acestor numere: 2+3=5. Asta este!

I. Teorema lui Vieta pentru ecuația pătratică redusă.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 este egal cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Găsiți rădăcinile ecuației pătratice date folosind teorema lui Vieta.

Exemplul 1) x 2 -x-30=0. Aceasta este ecuația pătratică redusă ( x 2 +px+q=0), al doilea coeficient p=-1, și membrul gratuit q=-30.În primul rând, să ne asigurăm că această ecuație are rădăcini și că rădăcinile (dacă există) vor fi exprimate în numere întregi. Pentru a face acest lucru, este suficient ca discriminantul să fie un pătrat perfect al unui număr întreg.

Găsirea discriminantului D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Acum, conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor trebuie să fie egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, adică. ( -p), iar produsul este egal cu termenul liber, i.e. ( q). Apoi:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Trebuie să alegem două numere astfel încât produsul lor să fie egal cu -30 , iar suma este unitate. Acestea sunt numere -5 Și 6 . Răspuns: -5; 6.

Exemplul 2) x 2 +6x+8=0. Avem ecuația pătratică redusă cu al doilea coeficient p=6și membru gratuit q=8. Să ne asigurăm că există rădăcini întregi. Să găsim discriminantul D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Discriminantul D 1 este pătratul perfect al numărului 1 , ceea ce înseamnă că rădăcinile acestei ecuații sunt numere întregi. Să selectăm rădăcinile folosind teorema lui Vieta: suma rădăcinilor este egală cu –р=-6, iar produsul rădăcinilor este egal cu q=8. Acestea sunt numere -4 Și -2 .

De fapt: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Răspuns: -4; -2.

Exemplul 3) x 2 +2x-4=0. În această ecuație pătratică redusă, al doilea coeficient p=2, și membrul gratuit q=-4. Să găsim discriminantul D 1, deoarece al doilea coeficient este un număr par. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Discriminantul nu este un pătrat perfect al numărului, așa că facem concluzie: Rădăcinile acestei ecuații nu sunt numere întregi și nu pot fi găsite folosind teorema lui Vieta. Aceasta înseamnă că rezolvăm această ecuație, ca de obicei, folosind formulele (în acest caz, folosind formulele). Primim:

Exemplul 4). Scrieți o ecuație pătratică folosind rădăcinile ei dacă x 1 =-7, x 2 =4.

Soluţie. Ecuația necesară va fi scrisă sub forma: x 2 +px+q=0și, pe baza teoremei lui Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Atunci ecuația va lua forma: x 2 +3x-28=0.

Exemplul 5). Scrieți o ecuație pătratică folosind rădăcinile sale dacă:

II. teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă ax 2 +bx+c=0.

Suma rădăcinilor este minus b, impartit de A, produsul rădăcinilor este egal cu Cu, impartit de A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Exemplul 6). Aflați suma rădăcinilor unei ecuații pătratice 2x 2 -7x-11=0.

Soluţie.

Ne asigurăm că această ecuație va avea rădăcini. Pentru a face acest lucru, este suficient să creați o expresie pentru discriminant și, fără a o calcula, asigurați-vă că discriminantul este mai mare decât zero. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Acum să folosim teorema Vieta pentru ecuații pătratice complete.

x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Exemplul 7). Aflați produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice 3x 2 +8x-21=0.

Soluţie.

Să găsim discriminantul D 1, deoarece al doilea coeficient ( 8 ) este un număr par. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Ecuația pătratică are 2 rădăcină, conform teoremei lui Vieta, produsul rădăcinilor x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– ecuație pătratică generală

Discriminant D=b2-4ac.

Dacă D>0, atunci avem două rădăcini reale:

Dacă D=0, atunci avem o singură rădăcină (sau două rădăcini egale) x=-b/(2a).

Daca D<0, то действительных корней нет.

Exemplu 1) 2x 2 +5x-3=0.

Soluţie. A=2; b=5; c=-3.

D=b2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 rădăcini adevărate.

4x 2 +21x+5=0.

Soluţie. A=4; b=21; c=5.

D=b2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 rădăcini adevărate.

II. ax 2 +bx+c=0 – ecuație pătratică de formă particulară cu chiar secundă

coeficient b

Exemplu 3) 3x 2 -10x+3=0.

Soluţie. A=3; b=-10 (număr par); c=3.

Exemplul 4) 5x 2 -14x-3=0.

Soluţie. A=5; b= -14 (număr par); c=-3.

Exemplul 5) 71x 2 +144x+4=0.

Soluţie. A=71; b=144 (număr par); c=4.

Exemplul 6) 9x 2 -30x+25=0.

Soluţie. A=9; b=-30 (număr par); c=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – ecuație pătratică tip privat furnizat: a-b+c=0.

Prima rădăcină este întotdeauna egală cu minus unu, iar a doua rădăcină este întotdeauna egală cu minus Cu, impartit de A:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

Exemplul 7) 2x 2 +9x+7=0.

Soluţie. A=2; b=9; c=7. Să verificăm egalitatea: a-b+c=0. Primim: 2-9+7=0 .

Apoi x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. Răspuns: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – ecuație pătratică a unei anumite forme supuse : a+b+c=0.

Prima rădăcină este întotdeauna egală cu unu, iar a doua rădăcină este egală cu Cu, impartit de A:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Exemplul 8) 2x 2 -9x+7=0.

Soluţie. A=2; b=-9; c=7. Să verificăm egalitatea: a+b+c=0. Primim: 2-9+7=0 .

Apoi x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5. Răspuns: 1; 3,5.

Pagina 1 din 1 1

Constă în faptul că betonul, armat cu cadre puternice din oțel, este un material de construcție de înaltă rezistență și nu este supus numeroaselor influențe ale mediului, datorită cărora proiectarea fundației unui suport de linie aeriană este capabilă să susțină oțel și armat. suporturi din beton pentru liniile electrice fără amenințarea ca acestea să se răstoarne timp de decenii. Durabilitatea, rezistența la sarcini și rezistența sunt principalele avantaje ale utilizării fundațiilor din beton armat FP2.7x2.7-A pentru suporturile metalice ale liniilor aeriene cu un singur circuit de 220 kV, linii aeriene cu un singur circuit de 330 kV în construcții energetice.

Fundațiile din beton armat FP2.7x2.7-A pentru suporturile metalice ale liniilor aeriene cu un singur circuit de 220 kV, liniile aeriene cu un singur circuit de 330 kV sunt realizate din beton greu cu o clasă de rezistență la compresiune de cel puțin B30, grad - de la M300. Gradul de rezistență la îngheț al betonului nu este mai mic decât F150, pentru rezistența la apă - W4 - W6. Cimentul și inerții utilizați pentru fabricarea betonului trebuie să îndeplinească cerințele SNiP I-B.3-62 și TP4-68. Cea mai mare dimensiune a granulelor din structura de beton nu trebuie să depășească 20-40 mm. Controlul rezistenței betonului a fundațiilor de susținere în conformitate cu GOST 10180-67 „Beton greu. Metode pentru determinarea rezistenței" și GOST 10181-62 "Beton greu. Metode de determinare a mobilității și rigidității unui amestec de beton.”

Ca armare se folosesc fundatii FP2.7x2.7-A pentru suporturi metalice ale liniilor aeriene cu un singur circuit de 220 kV, linii aeriene cu un singur circuit de 330 kV: tije de armatura laminate la cald de clasa A-I, tije de armare laminate la cald de profil periodic din clasa A-III, bare din oțel de armare din clasa profil periodic A-IV și sârmă de armare obișnuită clasa B1. Pentru montarea buclelor, se folosește numai armătură cu tije laminate la cald de clasa A-I din oțel moale carbon.

Bazele suporturilor liniilor de transport de energie electrică pentru construcția de energie se confruntă cu o sarcină responsabilă - să mențină stabilitatea și rezistența suporturilor liniilor de transport de energie electrică timp de mulți ani în diferite condiții climatice, în orice moment al anului și în orice vreme. Prin urmare, se pun cerințe foarte mari asupra fundațiilor de susținere. Înainte de expedierea către client, fundațiile suporturilor FP2.7x2.7-A pentru suporturile metalice ale liniilor aeriene cu un singur circuit de 220 kV, linii aeriene cu un singur circuit de 330 kV sunt testate în funcție de diferiți parametri, de exemplu, gradul de stabilitate , rezistență, durabilitate și rezistență la uzură, rezistență la temperaturi negative și influențe atmosferice. Înainte de sudare, piesele de îmbinare trebuie să fie libere de rugină. Fundațiile din beton armat cu grosimea stratului protector din beton mai mică de 30 mm, precum și fundațiile instalate în soluri agresive, trebuie protejate cu hidroizolație.

În timpul exploatării, fundațiile FP2.7x2.7-A pentru suporturi metalice ale liniilor aeriene cu un singur circuit de 220 kV, linii aeriene cu un singur circuit de 330 kV sunt supuse unei supravegheri atente, în special în primii ani de funcționare a liniei aeriene. Unul dintre cele mai grave defecte ale construcției fundațiilor, greu de eliminat în condiții de funcționare, este încălcarea standardelor tehnologice în timpul fabricării lor: utilizarea pietrișului de calitate scăzută sau prost spălat, încălcarea proporțiilor la prepararea unui amestec de beton etc. . Un defect la fel de grav este betonarea stratificată a fundațiilor, atunci când elementele individuale ale aceleiași fundații sunt betonate în momente diferite fără pregătirea prealabilă a suprafeței. În acest caz, betonul unui element de fundație nu se întărește cu altul, iar distrugerea fundației poate avea loc sub sarcini exterioare care sunt semnificativ mai mici decât cele calculate.

Când se realizează fundații din beton armat pentru suporturi, standardele sunt, de asemenea, încălcate uneori: se folosește beton de calitate scăzută, armăturile sunt așezate la dimensiuni greșite, conform prevederilor proiectului. În timpul construcției liniilor electrice pe fundații prefabricate sau suprapuse din beton armat pot apărea defecte grave care nu sunt permise de construcția energetică. Astfel de defecte includ instalarea fundațiilor sparte din beton armat, pătrunderea insuficientă a acestora în pământ (mai ales la instalarea suporturilor pe versanții dealurilor și râpelor), compactarea necorespunzătoare în timpul rambleului, instalarea de fundații prefabricate de dimensiuni mai mici etc. Defectele de instalare includ incorecte. instalarea fundațiilor din beton armat, în care fundațiile individuale prefabricate destinate ca bază a unui suport metalic au cote verticale diferite sau deplasări ale fundațiilor individuale în plan. Dacă sunt descărcate necorespunzător, fundațiile FP2.7x2.7-A pentru suporturile metalice ale liniilor aeriene cu un singur circuit de 220 kV, liniile aeriene cu un singur circuit de 330 kV pot fi deteriorate, pot fi expuse așchii de beton și armături. În timpul procesului de acceptare, trebuie acordată o atenție deosebită conformității șuruburilor de ancorare și piulițelor acestora cu dimensiunile de proiectare.

În condiții de exploatare, fundațiile din beton armat FP2.7x2.7-A pentru suporturile metalice ale liniilor aeriene cu un singur circuit de 220 kV, linii aeriene cu un singur circuit de 330 kV sunt deteriorate atât din cauza influențelor mediului, cât și a sarcinilor externe mari. Armarea fundațiilor cu structură poroasă din beton este deteriorată de efectele agresive ale apelor subterane. Fisurile care se formează pe suprafața fundațiilor, atunci când sunt expuse la sarcini alternative operaționale, precum și la vânt, umiditate și temperatură scăzută, se extind, ceea ce duce în cele din urmă la distrugerea betonului și la expunerea armăturii. În zonele situate în apropierea fabricilor chimice, șuruburile de ancorare și partea superioară a suporturilor metalice pentru picioare se deteriorează rapid.

Ruperea fundației de susținere poate apărea și ca urmare a nealinierii acesteia cu suporturile, ceea ce determină momente de încovoiere mari. O defecțiune similară poate apărea atunci când baza fundației este spălată de apele subterane și se abate de la poziția sa verticală.

În timpul procesului de recepție, fundațiile FP2.7x2.7-A pentru suporturi metalice ale liniilor aeriene cu un singur circuit de 220 kV, linii aeriene cu un singur circuit de 330 kV sunt verificate pentru conformitatea lor cu proiectarea, adâncimea de pozare, calitatea betonului, calitatea sudarea armăturii de lucru și a șuruburilor de ancorare, prezența și calitatea protecției împotriva acțiunii apelor agresive. Se măsoară marcajele verticale ale fundațiilor și se verifică locația șuruburilor de ancorare conform șablonului. Dacă se detectează nerespectarea standardelor, toate defectele sunt eliminate înainte de a umple gropile. Fundațiile care au beton ciobit și armătură expusă în partea superioară sunt reparate. Pentru a face acest lucru, se instalează un cadru de beton cu grosimea de 10-20 cm, îngropat la 20-30 cm sub nivelul solului. Trebuie avut în vedere că construcția energetică nu permite un cadru din beton de zgură, deoarece zgura conține un amestec de sulf, care provoacă coroziune intensă a armăturii și ancorelor.șuruburi În cazul unor deteriorări mai semnificative ale fundațiilor (inclusiv cele monolitice), partea deteriorată este acoperită cu armătură sudată pe armătura fundației principale, iar după montarea cofrajului se betonează.