Curs 6. Aplicarea derivatelor la studiul funcţiilor

Dacă funcţia f(X) are o derivată în fiecare punct al segmentului [ A, b], atunci comportamentul acestuia poate fi studiat folosind derivata f"(X).

Să ne uităm la teoremele de bază ale calculului diferențial care stau la baza aplicațiilor derivate.

teorema lui Fermat

Teorema(Fermă) ( despre egalitatea derivatei la zero ). Dacă funcția f(X), diferențiabilă pe interval (A, b) și atinge valoarea sa cea mai mare sau cea mai mică în punctul c є ( A, b), atunci derivata funcției în acest punct este zero, adică f"(Cu) = 0.

Dovada. Lasă funcția f(X) este diferențiabilă pe intervalul ( A, b) și la punct X = Cu ia cea mai mare valoare M la Cu є ( A, b) (Fig. 1), adică

f(Cu) ≥ f(X) sau f(X) – f(c) ≤ 0 sau f(s +Δ X) – f(Cu) ≤ 0.

Derivat f"(X) la un moment dat X = Cu: .

Dacă X> c, Δ X> 0 (adică Δ X→ 0 la dreapta punctului Cu), Acea prin urmare f"(Cu) ≤ 0.

Dacă X< с , Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 la stânga punctului Cu), Acea , din care rezultă că f"(Cu) ≥ 0.

După condiție f(X) este diferențiabilă la punct Cu, prin urmare, limita sa la X→ Cu nu depinde de alegerea direcţiei de abordare a argumentului X până la punctul Cu, adică .

Obținem un sistem din care rezultă f"(Cu) = 0.

În cazul în care f(Cu) = T(acestea. f(X) ia la punct Cu cea mai mică valoare), dovada este similară. Teorema a fost demonstrată.

Sensul geometric al teoremei lui Fermat: în punctul celei mai mari sau mai mici valori realizate în interval, tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa x.

Fişier FERMA-KDVar © N. M. Koziy, 2008

Certificatul Ucrainei nr. 27312

SCURTĂ DOVĂRĂ A ultimei teoreme a lui FERmat

Ultima Teoremă a lui Fermat este formulată după cum urmează: Ecuația diofantină (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

A n + B n = C n * /1/

Unde n- un număr întreg pozitiv mai mare de doi nu are soluție în numere întregi pozitive A , B , CU .

DOVADA

Din formularea ultimei teoreme a lui Fermat rezultă: dacă n este un număr întreg pozitiv mai mare decât doi, cu condiția ca două dintre cele trei numere A , ÎN sau CU- numere întregi pozitive, unul dintre aceste numere nu este un întreg pozitiv.

Construim demonstrația pe baza teoremei fundamentale a aritmeticii, care se numește „teorema unică de factorizare” sau „teorema unicității de factorizare a numerelor întregi compuse”. Sunt posibili exponenți pare și impar n . Să luăm în considerare ambele cazuri.

1. Cazul unu: exponent n - numar impar.

În acest caz, expresia /1/ este transformată conform formulelor cunoscute după cum urmează:

A n + ÎN n = CU n /2/

Noi credem că AȘi B- numere întregi pozitive.

Numerele A , ÎNȘi CU trebuie să fie numere prime reciproce.

Din ecuația /2/ rezultă că pentru valori date ale numerelor AȘi B factor ( A + B ) n , CU.

Să presupunem că numărul CU - număr întreg pozitiv. Ținând cont de condițiile acceptate și de teorema fundamentală a aritmeticii, condiția trebuie îndeplinită :

CU n = A n + B n =(A+B) n ∙ D n , / 3/

unde este factorul Dn D

Din ecuația /3/ rezultă:

Din ecuația /3/ rezultă și că numărul [ Cn = A n + Bn ] cu condiția ca numărul CU ( A + B ) n. Cu toate acestea, se știe că:

A n + Bn < ( A + B ) n /5/

Prin urmare:

- un număr fracționar mai mic decât unu. /6/

Un număr fracționar.

n

Pentru exponenți ciudați n >2 număr:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Din analiza ecuației /2/ rezultă că pentru un exponent impar n număr:

CU n = A n + ÎN n = (A+B)

constă din doi factori algebrici specifici și pentru orice valoare a exponentului n factorul algebric rămâne neschimbat ( A + B ).

Astfel, Ultima Teoremă a lui Fermat nu are o soluție în numere întregi pozitive pentru exponenții impari n >2.

2. Cazul doi: exponent n - număr par .

Esența ultimei teoreme a lui Fermat nu se va schimba dacă rescriem ecuația /1/ după cum urmează:

A n = Cn - Bn /7/

În acest caz, ecuația /7/ este transformată după cum urmează:

A n = C n - B n = ( CU +B)∙(C n-1 + C n-2 · B+ C n-3 ∙ B 2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/

Acceptăm asta CUȘi ÎN- numere întregi.

Din ecuația /8/ rezultă că pentru valori date ale numerelor BȘi C factor (C+ B ) are aceeași valoare pentru orice valoare a exponentului n , prin urmare este un divizor al numărului A .

Să presupunem că numărul A– un număr întreg. Ținând cont de condițiile acceptate și de teorema fundamentală a aritmeticii, condiția trebuie îndeplinită :

A n = C n - Bn =(C+ B ) n ∙ Dn , / 9/

unde este factorul Dn trebuie să fie un număr întreg și, prin urmare, numărul D trebuie să fie și un număr întreg.

Din ecuația /9/ rezultă:

/10/

Din ecuația /9/ rezultă și că numărul [ A n = CU n - Bn ] cu condiția ca numărul A– un număr întreg, trebuie să fie divizibil cu un număr (C+ B ) n. Cu toate acestea, se știe că:

CU n - Bn < (С+ B ) n /11/

Prin urmare:

- un număr fracționar mai mic decât unu. /12/

Un număr fracționar.

Rezultă că pentru o valoare impară a exponentului n ecuația /1/ a ultimei teoreme a lui Fermat nu are soluție în numere întregi pozitive.

Chiar și pentru exponenți n >2 număr:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Astfel, ultima teoremă a lui Fermat nu are soluție în numere întregi pozitive și pentru exponenți pare n >2.

Concluzia generală rezultă din cele de mai sus: ecuația /1/ a ultimei teoreme a lui Fermat nu are soluție în numere întregi pozitive A, BȘi CU cu condiția ca exponentul n >2.

JUSTIFICARE SUPLIMENTARĂ

În cazul în care exponentul n – număr par, expresie algebrică ( Cn - Bn ) se descompune în factori algebrici:

C 2 – B 2 =(C-B) ∙ (C+B); /13/

C 4 – B 4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C 2 + B 2);/14/

C 6 – B 6 =(C-B) ∙ (C+B) · (C 2 –CB + B 2) ∙ (C 2 +CB+ B 2) ; /15/

C 8 – B 8= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4)./16/

Să dăm exemple în cifre.

EXEMPLUL 1: B=11; C=35.

C 2 – B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) = 2 4 3 23;

C 4 – B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) = 2 4 3 23 673;

C 6 – B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) =2 ∙ 3 ​​​​∙ 23 ∙ 31 2 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 23) (2 673) ∙ (2 75633) = 2 5 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633 .

EXEMPLUL 2: B=16; C=25.

C 2 – B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) =3 2 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 37) (3 ∙ 7 61) = 3 3 7 ∙ 13 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 26833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 26833.

Din analiza ecuațiilor /13/, /14/, /15/ și /16/ și a exemplelor numerice corespunzătoare rezultă:

Pentru un exponent dat n , dacă este un număr par, numărul A n = C n - Bn se descompune într-un număr bine definit de factori algebrici bine definiti;

Pentru orice exponent n , dacă este un număr par, în expresia algebrică ( Cn - Bn ) există întotdeauna multiplicatori ( C - B ) Și ( C + B ) ;

Fiecărui factor algebric îi corespunde un factor numeric complet definit;

Pentru numere date ÎNȘi CU factorii numerici pot fi numere prime sau factori numerici compuși;

Fiecare factor numeric compus este un produs al numerelor prime care sunt parțial sau complet absente din alți factori numerici compoziți;

Mărimea numerelor prime în compoziția factorilor numerici compoziți crește odată cu creșterea acestor factori;

Cel mai mare factor numeric compus care corespunde celui mai mare factor algebric include cel mai mare număr prim la o putere mai mică decât exponentul n(cel mai adesea în gradul I).

CONCLUZII: Dovezi suplimentare susțin concluzia că Ultima Teoremă a lui Fermat nu are soluție în numere întregi pozitive.

inginer mecanic

Judecând după popularitatea interogării „Teorema lui Fermat - dovada scurta" această problemă matematică interesează cu adevărat multă lume. Această teoremă a fost formulată pentru prima dată de Pierre de Fermat în 1637 pe marginea unei copii de Aritmetică, unde a susținut că are o soluție prea mare pentru a se potrivi pe margine.

Prima dovadă de succes a fost publicată în 1995, o demonstrație completă a teoremei lui Fermat de către Andrew Wiles. A fost descris drept „progres uimitor” și l-a determinat pe Wiles să primească Premiul Abel în 2016. Deși este descrisă relativ pe scurt, demonstrația teoremei lui Fermat a dovedit, de asemenea, o mare parte a teoremei de modularitate și a deschis noi abordări pentru numeroase alte probleme și metode eficiente de creștere a modularității. Aceste realizări au avansat matematica cu 100 de ani. Dovada micii teoreme a lui Fermat nu este ceva ieșit din comun astăzi.

Problema nerezolvată a stimulat dezvoltarea teoriei numerelor algebrice în secolul al XIX-lea și căutarea unei dovezi a teoremei de modularitate în secolul al XX-lea. Este una dintre cele mai notabile teoreme din istoria matematicii și, înainte de demonstrarea completă a ultimei teoreme a lui Fermat prin diviziune, a fost în Cartea Recordurilor Guinness ca „cea mai grea problemă matematică”, una dintre caracteristicile căreia este că are cel mai mare număr de dovezi ratate.

Referință istorică

Ecuația lui Pitagora x 2 + y 2 = z 2 are un număr infinit de soluții întregi pozitive pentru x, y și z. Aceste soluții sunt cunoscute sub numele de trinități pitagoreice. În jurul anului 1637, Fermat a scris pe marginea unei cărți că ecuația mai generală a n + b n = c n nu avea soluții în numere naturale dacă n era un număr întreg mai mare decât 2. Deși Fermat însuși pretindea că are o soluție la problema lui, el a făcut să nu lase detalii despre dovada ei. Dovada elementară a teoremei lui Fermat, afirmată de creatorul ei, a fost mai degrabă invenția lui lăudăroasă. Cartea marelui matematician francez a fost descoperită la 30 de ani după moartea sa. Această ecuație, numită Ultima Teoremă a lui Fermat, a rămas nerezolvată în matematică timp de trei secole și jumătate.

Teorema a devenit în cele din urmă una dintre cele mai notabile probleme nerezolvate din matematică. Încercările de a demonstra acest lucru au declanșat dezvoltări semnificative în teoria numerelor și, în timp, Ultima Teoremă a lui Fermat a devenit cunoscută ca o problemă nerezolvată în matematică.

Scurt istoric al dovezilor

Dacă n = 4, așa cum a demonstrat însuși Fermat, este suficient să se demonstreze teorema pentru indicii n, care sunt numere prime. În următoarele două secole (1637-1839) conjectura a fost dovedită doar pentru numerele prime 3, 5 și 7, deși Sophie Germain a actualizat și a demonstrat o abordare care se aplica întregii clase de numere prime. La mijlocul secolului al XIX-lea, Ernst Kummer a extins acest lucru și a demonstrat teorema pentru toate numerele prime regulate, făcând ca numerele prime neregulate să fie analizate individual. Bazându-se pe munca lui Kummer și folosind cercetări computerizate sofisticate, alți matematicieni au reușit să extindă soluția teoremei, urmărind să acopere toți exponenții majori până la patru milioane, dar dovezile pentru toți exponenții erau încă indisponibile (însemnând că matematicienii au luat în considerare soluția în general). la teorema imposibil, extrem de dificil sau de neatins cu cunoștințele actuale).

Lucrări de Shimura și Taniyama

În 1955, matematicienii japonezi Goro Shimura și Yutaka Taniyama au bănuit că există o legătură între curbele eliptice și forme modulare, două domenii complet diferite ale matematicii. Cunoscută la acea vreme sub numele de conjectura Taniyama-Shimura-Weil și (în cele din urmă) ca teorema de modularitate, a stat de la sine, fără nicio legătură aparentă cu ultima teoremă a lui Fermat. A fost considerată pe scară largă ca o teoremă matematică importantă în sine, dar a fost considerată (ca și teorema lui Fermat) imposibil de demonstrat. În același timp, demonstrarea marii teoreme a lui Fermat (prin metoda împărțirii și utilizarea formulelor matematice complexe) a fost realizată doar o jumătate de secol mai târziu.

În 1984, Gerhard Frey a observat o legătură evidentă între aceste două probleme neînrudite anterior și nerezolvate. Dovada completă că cele două teoreme au fost strâns legate a fost publicată în 1986 de Ken Ribet, care a construit pe o demonstrație parțială a lui Jean-Pierre Serres, care a demonstrat toate părțile, cu excepția uneia, cunoscută sub numele de „conjectura epsilon”. Mai simplu spus, aceste lucrări ale lui Frey, Serres și Ribe au arătat că, dacă teorema de modularitate ar putea fi demonstrată pentru cel puțin o clasă semistabilă de curbe eliptice, atunci și demonstrația ultimei teoreme a lui Fermat ar fi descoperită mai devreme sau mai târziu. Orice soluție care poate contrazice ultima teoremă a lui Fermat poate fi folosită și pentru a contrazice teorema modularității. Prin urmare, dacă teorema de modularitate s-a dovedit a fi adevărată, atunci prin definiție nu poate exista o soluție care să contrazică ultima teoremă a lui Fermat, ceea ce înseamnă că ar fi trebuit să fie demonstrată în curând.

Deși ambele teoreme erau probleme dificile de matematică, considerate de nerezolvat, munca celor doi japonezi a fost prima sugestie a modului în care ultima teoremă a lui Fermat putea fi extinsă și demonstrată pentru toate numerele, nu doar pentru unele. Important pentru cercetătorii care au ales tema de cercetare a fost faptul că, spre deosebire de ultima teoremă a lui Fermat, teorema de modularitate a fost un domeniu activ major de cercetare pentru care s-a dezvoltat o demonstrație, și nu doar o ciudățenie istorică, deci timpul petrecut. lucrul la acesta ar putea fi justificat din punct de vedere profesional. Cu toate acestea, consensul general a fost că rezolvarea conjecturei Taniyama-Shimura nu era practică.

Ultima teoremă a lui Fermat: demonstrația lui Wiles

După ce a aflat că Ribet a dovedit că teoria lui Frey este corectă, matematicianul englez Andrew Wiles, care era interesat de ultima teoremă a lui Fermat încă din copilărie și avea experiență de lucru cu curbe eliptice și câmpuri înrudite, a decis să încerce să demonstreze conjectura Taniyama-Shimura ca o modalitate de a demonstrează ultima teoremă a lui Fermat. În 1993, la șase ani după ce și-a anunțat obiectivul, în timp ce lucra în secret la problema rezolvării teoremei, Wiles a reușit să demonstreze o presupunere înrudită, care la rândul său l-ar ajuta să demonstreze ultima teoremă a lui Fermat. Documentul lui Wiles era enorm în dimensiune și întindere.

Defectul a fost descoperit într-o parte a lucrării sale originale în timpul evaluării de către colegi și a necesitat încă un an de colaborare cu Richard Taylor pentru a rezolva împreună teorema. Drept urmare, dovada finală a lui Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat nu a întârziat să apară. În 1995, a fost publicat la o scară mult mai mică decât lucrarea matematică anterioară a lui Wiles, arătând în mod clar că el nu s-a înșelat în concluziile sale anterioare cu privire la posibilitatea de a demonstra teorema. Realizarea lui Wiles a fost raportată pe scară largă în presa populară și popularizată în cărți și programe de televiziune. Părțile rămase ale conjecturii Taniyama-Shimura-Weil, care au fost acum dovedite și sunt cunoscute ca teorema modularității, au fost ulterior dovedite de alți matematicieni care au construit pe munca lui Wiles între 1996 și 2001. Pentru realizarea sa, Wiles a fost onorat și a primit numeroase premii, inclusiv Premiul Abel 2016.

Dovada lui Wiles a ultimei teoreme a lui Fermat este un caz special de soluție a teoremei de modularitate pentru curbele eliptice. Cu toate acestea, acesta este cel mai faimos caz al unei operații matematice la scară atât de mare. Odată cu rezolvarea teoremei lui Ribet, matematicianul britanic a obținut și o demonstrație a ultimei teoreme a lui Fermat. Ultima teoremă a lui Fermat și teorema modularității au fost considerate aproape universal de nedemonstrat de către matematicienii moderni, dar Andrew Wiles a reușit să demonstreze întregii lumi științifice că până și expertii se pot înșela.

Wiles a anunțat pentru prima dată descoperirea sa miercuri, 23 iunie 1993, într-o prelegere la Cambridge intitulată „Forme modulare, curbe eliptice și reprezentări Galois”. Cu toate acestea, în septembrie 1993 s-a stabilit că calculele sale conțineau o eroare. Un an mai târziu, pe 19 septembrie 1994, în ceea ce el ar numi „cel mai important moment al vieții sale profesionale”, Wiles a dat peste o revelație care i-a permis să corecteze soluția problemei până la punctul în care ar putea satisface criteriile matematice. comunitate.

Caracteristicile muncii

Dovada lui Andrew Wiles a teoremei lui Fermat folosește multe tehnici din geometria algebrică și teoria numerelor și are multe ramificații în aceste domenii ale matematicii. El folosește, de asemenea, constructe standard ale geometriei algebrice moderne, cum ar fi categoria schemelor și teoria Iwasawa, precum și alte metode din secolul al XX-lea care nu erau disponibile lui Pierre Fermat.

Cele două articole care conțin dovezile însumează 129 de pagini și au fost scrise pe parcursul a șapte ani. John Coates a descris această descoperire drept una dintre cele mai mari realizări ale teoriei numerelor, iar John Conway a numit-o principala realizare matematică a secolului al XX-lea. Wiles, pentru a demonstra ultima teoremă a lui Fermat prin demonstrarea teoremei de modularitate pentru cazul special al curbelor eliptice semistabile, a dezvoltat metode puternice de ridicare a modularității și a descoperit noi abordări pentru numeroase alte probleme. Pentru rezolvarea ultimei teoreme a lui Fermat a fost numit cavaler și a primit alte premii. Când a fost anunțat că Wiles a câștigat premiul Abel, Academia Norvegiană de Științe a descris realizarea sa drept „o dovadă minunată și elementară a ultimei teoreme a lui Fermat”.

Cum a fost

Unul dintre cei care au analizat manuscrisul original al soluției teoremei lui Wiles a fost Nick Katz. În timpul revizuirii sale, el i-a adresat britanicului o serie de întrebări clarificatoare, ceea ce l-a forțat pe Wiles să admită că munca sa conținea în mod clar o lacună. A existat o eroare într-o parte critică a dovezii care a oferit o estimare pentru ordinea unui anumit grup: sistemul Euler folosit pentru a extinde metoda Kolyvagin și Flach a fost incomplet. Totuși, greșeala nu i-a făcut munca inutilă - fiecare parte a lucrării lui Wiles a fost foarte semnificativă și inovatoare în sine, la fel ca multe dintre dezvoltările și metodele pe care le-a creat în cursul muncii sale și care au afectat doar o parte a manuscrisul. Cu toate acestea, această lucrare originală, publicată în 1993, nu a oferit de fapt o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat.

Wiles a petrecut aproape un an încercând să redescopere soluția teoremei, mai întâi singur și apoi în colaborare cu fostul său elev Richard Taylor, dar toate păreau a fi în zadar. Până la sfârșitul anului 1993, se răspândiseră zvonuri că dovada lui Wiles nu eșuase la testare, dar nu se știa cât de gravă a fost eșecul. Matematicienii au început să facă presiuni asupra lui Wiles pentru a-i dezvălui detaliile lucrării sale, fie că a fost finalizată sau nu, astfel încât comunitatea mai largă de matematicieni să poată explora și folosi tot ceea ce a realizat el. În loc să-și corecteze rapid greșeala, Wiles a descoperit doar complexități suplimentare în demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat și, în cele din urmă, și-a dat seama cât de dificil era.

Wiles afirmă că în dimineața zilei de 19 septembrie 1994 a fost la un pas să renunțe și să renunțe și aproape că s-a resemnat cu faptul că nu a reușit. Era dispus să-și publice lucrarea neterminată, astfel încât alții să poată construi pe ea și să găsească unde greșise. Matematicianul englez a decis să-și dea o ultimă șansă și a analizat teorema pentru ultima oară pentru a încerca să înțeleagă principalele motive pentru care abordarea sa nu a funcționat, când și-a dat seama brusc că abordarea Kolyvagin-Flac nu va funcționa până nu include și dovezi în procesul teoria lui Iwasawa, făcându-l să funcționeze.

Pe 6 octombrie, Wiles le-a cerut celor trei colegi (inclusiv Faltins) să-și revizuiască noua lucrare, iar pe 24 octombrie 1994, a trimis două manuscrise, „Curbe eliptice modulare și ultima teoremă a lui Fermat” și „Proprietăți teoretice ale inelului unor algebre Hecke”. „, al doilea dintre care Wiles a scris împreună cu Taylor și a susținut că au fost îndeplinite anumite condiții necesare pentru a justifica pasul corectat din articolul principal.

Aceste două lucrări au fost revizuite și în cele din urmă publicate ca o ediție integrală în numărul din mai 1995 al Annals of Mathematics. Noile calcule ale lui Andrew au fost analizate pe scară largă și în cele din urmă acceptate de comunitatea științifică. Aceste lucrări au stabilit teorema de modularitate pentru curbele eliptice semistabile, pasul final către demonstrarea ultimei teoreme a lui Fermat, la 358 de ani după ce a fost creată.

Istoria Marii Probleme

Rezolvarea acestei teoreme a fost considerată cea mai mare problemă din matematică timp de multe secole. În 1816 și din nou în 1850, Academia Franceză de Științe a oferit un premiu pentru o demonstrație generală a ultimei teoreme a lui Fermat. În 1857, Academia ia acordat lui Kummer 3.000 de franci și o medalie de aur pentru cercetările sale asupra numerelor ideale, deși nu a aplicat pentru premiu. Un alt premiu i-a fost oferit în 1883 de către Academia de la Bruxelles.

Premiul Wolfskehl

În 1908, industriașul german și matematicianul amator Paul Wolfskehl a lăsat moștenire 100.000 de mărci de aur (o sumă mare pentru acea vreme) Academiei de Științe din Göttingen ca premiu pentru o demonstrație completă a ultimei teoreme a lui Fermat. La 27 iunie 1908, Academia a publicat nouă reguli de premii. Printre altele, aceste reguli impuneau publicarea dovezilor într-un jurnal evaluat de colegi. Premiul nu urma să fie acordat decât la doi ani de la publicare. Concursul urma să expire pe 13 septembrie 2007 - la aproximativ un secol după începerea sa. Pe 27 iunie 1997, Wiles a primit premiul lui Wolfschel și apoi alți 50.000 de dolari. În martie 2016, a primit 600.000 de euro de la guvernul norvegian ca parte a Premiului Abel pentru „dovada sa uluitoare a ultimei teoreme a lui Fermat folosind conjectura de modularitate pentru curbele eliptice semistabile, deschizând o nouă eră în teoria numerelor”. A fost un triumf mondial pentru umilul englez.

Înainte de demonstrația lui Wiles, teorema lui Fermat, așa cum am menționat mai devreme, a fost considerată absolut de nerezolvat timp de secole. Mii de dovezi incorecte au fost prezentate comitetului lui Wolfskehl în diferite momente, în valoare de aproximativ 10 picioare (3 metri) de corespondență. Numai în primul an de existență a premiului (1907-1908), au fost depuse 621 de cereri care pretindeau rezolvarea teoremei, deși până în anii 1970 acest număr scăzuse la aproximativ 3-4 cereri pe lună. Potrivit lui F. Schlichting, recenzentul lui Wolfschel, majoritatea dovezilor s-au bazat pe metode rudimentare predate în școli și au fost adesea prezentate de „oameni cu o pregătire tehnică, dar cu o carieră nereușită”. Potrivit istoricului de matematică Howard Aves, ultima teoremă a lui Fermat a stabilit un fel de record - este teorema cu cele mai multe dovezi incorecte.

Laurii Fermat au mers la japonezi

După cum am menționat mai devreme, în jurul anului 1955, matematicienii japonezi Goro Shimura și Yutaka Taniyama au descoperit o posibilă legătură între două ramuri aparent complet diferite ale matematicii - curbele eliptice și forme modulare. Teorema de modularitate rezultată (cunoscută atunci sub numele de conjectura Taniyama-Shimura) din cercetările lor afirmă că fiecare curbă eliptică este modulară, ceea ce înseamnă că poate fi asociată cu o formă modulară unică.

Teoria a fost inițial respinsă ca improbabilă sau foarte speculativă, dar a fost luată mai în serios atunci când teoreticianul numerelor Andre Weyl a găsit dovezi care să susțină concluziile japonezilor. Ca urmare, conjectura a fost adesea numită conjectura Taniyama-Shimura-Weil. A devenit parte a programului Langlands, care este o listă de ipoteze importante care necesită dovezi în viitor.

Chiar și după o atenție serioasă, conjectura a fost recunoscută de matematicienii moderni ca fiind extrem de dificil sau poate imposibil de demonstrat. Acum, această teoremă îl așteaptă pe Andrew Wiles, care ar putea surprinde întreaga lume cu soluția ei.

Teorema lui Fermat: demonstrația lui Perelman

În ciuda mitului popular, matematicianul rus Grigory Perelman, cu tot geniul său, nu are nimic de-a face cu teorema lui Fermat. Ceea ce, însă, nu diminuează în niciun fel numeroasele sale servicii către comunitatea științifică.

Deci, Ultima Teoremă a lui Fermat (numită adesea ultima teoremă a lui Fermat), formulată în 1637 de genialul matematician francez Pierre Fermat, este de natură foarte simplă și de înțeles pentru oricine cu studii medii. Se spune că formula a la puterea lui n + b la puterea lui n = c la puterea lui n nu are soluții naturale (adică nu fracționale) pentru n > 2. Totul pare simplu și clar, dar cei mai buni matematicieni și amatori obișnuiți s-au luptat cu căutarea unei soluții timp de mai bine de trei secole și jumătate.

De ce este atât de faimoasă? Acum vom afla...



Există multe teoreme dovedite, nedovedite și încă nedovedite? Ideea aici este că Ultima Teoremă a lui Fermat reprezintă cel mai mare contrast între simplitatea formulării și complexitatea demonstrației. Ultima Teoremă a lui Fermat este o problemă incredibil de dificilă și totuși formularea ei poate fi înțeleasă de oricine cu clasa a V-a de liceu, dar nici măcar orice matematician profesionist nu poate înțelege dovada. Nici în fizică, nici în chimie, nici în biologie, nici în matematică, nu există o singură problemă care să poată fi formulată atât de simplu, dar să rămână nerezolvată atât de mult timp. 2. În ce constă?

Să începem cu pantalonii pitagoreici.Formularea este cu adevărat simplă - la prima vedere. După cum știm din copilărie, „pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile”. Problema pare atât de simplă pentru că se baza pe o afirmație matematică pe care toată lumea o cunoaște - teorema lui Pitagora: în orice triunghi dreptunghic, pătratul construit pe ipotenuză este egal cu suma pătratelor construite pe catete.

În secolul al V-lea î.Hr. Pitagora a fondat frăția lui Pitagora. Pitagorei, printre altele, au studiat triplete întregi care satisfac egalitatea x²+y²=z². Ei au demonstrat că există infinit de triple pitagorice și au obținut formule generale pentru găsirea lor. Probabil că au încercat să caute C și grade superioare. Convinși că acest lucru nu a funcționat, pitagoreicii și-au abandonat încercările inutile. Membrii frăției erau mai mult filozofi și esteți decât matematicieni.


Adică, este ușor să selectați un set de numere care să satisfacă perfect egalitatea x²+y²=z²

Pornind de la 3, 4, 5 - într-adevăr, un elev junior înțelege că 9 + 16 = 25.

Sau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Grozav.

Și așa mai departe. Ce se întâmplă dacă luăm o ecuație similară x³+y³=z³? Poate există și astfel de numere?




Și așa mai departe (Fig. 1).

Deci, se dovedește că NU sunt. Aici începe trucul. Simplitatea este aparentă, deoarece este dificil să dovedești nu prezența a ceva, ci, dimpotrivă, absența lui. Când trebuie să dovediți că există o soluție, puteți și trebuie să prezentați pur și simplu această soluție.

Demonstrarea absenței este mai dificilă: de exemplu, cineva spune: o astfel de ecuație nu are soluții. Să-l pui într-o băltoacă? usor: bam - si iata, solutia! (dai solutie). Și gata, adversarul este învins. Cum să dovedesc absența?

Spune: „Nu am găsit astfel de soluții”? Sau poate nu arătai bine? Dacă există, doar foarte mari, foarte mari, astfel încât chiar și un computer super-puternic încă nu are suficientă putere? Acesta este ceea ce este dificil.

Acest lucru poate fi arătat vizual astfel: dacă luați două pătrate de dimensiuni adecvate și le dezasamblați în pătrate unitare, atunci din acest grup de pătrate unitare obțineți un al treilea pătrat (Fig. 2):


Dar să facem același lucru cu a treia dimensiune (Fig. 3) - nu funcționează. Nu sunt suficiente cuburi sau au mai rămas altele:





Dar matematicianul francez din secolul al XVII-lea Pierre de Fermat a studiat cu entuziasm ecuația generală x n +y n =z n . Și în final, am concluzionat: pentru n>2 nu există soluții întregi. Dovada lui Fermat este iremediabil pierdută. Manuscrisele ard! Tot ce rămâne este remarca lui în Aritmetica lui Diofantus: „Am găsit o dovadă cu adevărat uimitoare a acestei propoziții, dar marginile de aici sunt prea înguste pentru a o conține”.

De fapt, o teoremă fără demonstrație se numește ipoteză. Dar Fermat are reputația că nu greșește niciodată. Chiar dacă nu a lăsat dovezi ale unei declarații, aceasta a fost ulterior confirmată. Mai mult, Fermat și-a dovedit teza pentru n=4. Astfel, ipoteza matematicianului francez a intrat în istorie ca Ultima Teoremă a lui Fermat.

După Fermat, minți atât de mari precum Leonhard Euler au lucrat la căutarea unei dovezi (în 1770 a propus o soluție pentru n = 3),

Adrien Legendre și Johann Dirichlet (acești oameni de știință au găsit împreună dovada pentru n = 5 în 1825), Gabriel Lamé (care a găsit demonstrația pentru n = 7) și mulți alții. La mijlocul anilor '80 ai secolului trecut, a devenit clar că lumea științifică era pe drumul către soluția finală a ultimei teoreme a lui Fermat, dar abia în 1993 matematicienii au văzut și au crezut că epopeea de trei secole a căutării unei dovezi a Ultima teoremă a lui Fermat era practic terminată.

Se arată cu ușurință că este suficient să se demonstreze teorema lui Fermat doar pentru n simplu: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Pentru compusul n, demonstrația rămâne valabilă. Dar există o infinitate de numere prime...

În 1825, folosind metoda lui Sophie Germain, femeile matematiciene, Dirichlet și Legendre au demonstrat independent teorema pentru n=5. În 1839, folosind aceeași metodă, francezul Gabriel Lame a arătat adevărul teoremei pentru n=7. Treptat, teorema a fost demonstrată pentru aproape toți n mai puțin de o sută.


În cele din urmă, matematicianul german Ernst Kummer, într-un studiu strălucit, a arătat că teorema în general nu poate fi dovedită folosind metodele matematicii din secolul al XIX-lea. Premiul Academiei Franceze de Științe, înființat în 1847 pentru demonstrarea teoremei lui Fermat, a rămas neacordat.

În 1907, industriașul german bogat Paul Wolfskehl a decis să-și ia viața din cauza iubirii neîmpărtășite. Ca un adevărat german, a stabilit data și ora sinuciderii: exact la miezul nopții. În ultima zi a făcut testament și a scris scrisori către prieteni și rude. Lucrurile s-au încheiat înainte de miezul nopții. Trebuie spus că Paul era interesat de matematică. Neavând altceva de făcut, s-a dus la bibliotecă și a început să citească faimosul articol al lui Kummer. Deodată i se păru că Kummer făcuse o greșeală în raționamentul său. Wolfskel a început să analizeze această parte a articolului cu un creion în mâini. Miezul nopții a trecut, a venit dimineața. Golul din dovadă a fost umplut. Și chiar motivul sinuciderii arăta acum complet ridicol. Paul și-a rupt scrisorile de adio și și-a rescris testamentul.

El a murit curând din cauze naturale. Moștenitorii au fost destul de surprinși: 100.000 de mărci (mai mult de 1.000.000 de lire sterline actuale) au fost transferate în contul Societății Regale Științifice din Göttingen, care în același an a anunțat un concurs pentru Premiul Wolfskehl. 100.000 de puncte au fost acordate persoanei care a demonstrat teorema lui Fermat. Nici un pfennig nu a fost acordat pentru infirmarea teoremei...

Majoritatea matematicienilor profesioniști au considerat căutarea unei dovezi a ultimei teoreme a lui Fermat o sarcină fără speranță și au refuzat cu hotărâre să piardă timpul cu un exercițiu atât de inutil. Dar amatorii s-au distrat de minune. La câteva săptămâni după anunț, o avalanșă de „dovezi” a lovit Universitatea din Göttingen. Profesorul E.M. Landau, a cărui responsabilitate era să analizeze probele trimise, a împărțit cartonașe elevilor săi:


Dragă. . . . . . . .

Vă mulțumesc că mi-ați trimis manuscrisul cu dovada ultimei teoreme a lui Fermat. Prima eroare este pe pagina... la linie... . Din această cauză, întreaga dovadă își pierde valabilitatea.
Profesorul E. M. Landau











În 1963, Paul Cohen, bazându-se pe descoperirile lui Gödel, a dovedit imposibilitatea uneia dintre cele douăzeci și trei de probleme ale lui Hilbert - ipoteza continuumului. Dacă și Ultima Teoremă a lui Fermat este indecidabilă?! Dar adevărații fanatici ai Marii Teoreme nu au fost deloc dezamăgiți. Apariția computerelor le-a oferit brusc matematicienilor o nouă metodă de demonstrare. După al Doilea Război Mondial, echipe de programatori și matematicieni au demonstrat Ultima Teoremă a lui Fermat pentru toate valorile de la n până la 500, apoi până la 1.000 și mai târziu până la 10.000.

În anii 1980, Samuel Wagstaff a ridicat limita la 25.000, iar în anii 1990, matematicienii au declarat că Ultima Teoremă a lui Fermat era adevărată pentru toate valorile de la n până la 4 milioane. Dar dacă scădeți chiar și un trilion de trilion din infinit, acesta nu va deveni mai mic. Matematicienii nu sunt convinși de statistici. A demonstra Marea Teoremă însemna a o demonstra pentru TOATE n mergând la infinit.




În 1954, doi tineri prieteni matematicieni japonezi au început să cerceteze formele modulare. Aceste forme generează serii de numere, fiecare cu propria sa serie. Din întâmplare, Taniyama a comparat aceste serii cu serii generate de ecuații eliptice. S-au potrivit! Dar formele modulare sunt obiecte geometrice, iar ecuațiile eliptice sunt algebrice. Nicio legătură nu a fost găsită între obiecte atât de diferite.

Cu toate acestea, după o testare atentă, prietenii au prezentat o ipoteză: fiecare ecuație eliptică are un geamăn - o formă modulară și invers. Această ipoteză a devenit fundamentul unei întregi direcții în matematică, dar până când ipoteza Taniyama-Shimura a fost dovedită, întreaga clădire s-ar putea prăbuși în orice moment.

În 1984, Gerhard Frey a arătat că o soluție a ecuației lui Fermat, dacă există, poate fi inclusă într-o ecuație eliptică. Doi ani mai târziu, profesorul Ken Ribet a dovedit că această ecuație ipotetică nu poate avea o contrapartidă în lumea modulară. De acum înainte, Ultima Teoremă a lui Fermat a fost indisolubil legată de conjectura Taniyama-Shimura. După ce am demonstrat că orice curbă eliptică este modulară, concluzionăm că nu există o ecuație eliptică cu o soluție a ecuației lui Fermat, iar Ultima Teoremă a lui Fermat ar fi imediat demonstrată. Dar timp de treizeci de ani nu a fost posibil să se dovedească ipoteza Taniyama-Shimura și au existat din ce în ce mai puține speranțe de succes.

În 1963, când avea doar zece ani, Andrew Wiles era deja fascinat de matematică. Când a aflat despre Marea Teoremă, și-a dat seama că nu poate renunța la ea. Ca școlar, student și student absolvent, el s-a pregătit pentru această sarcină.

După ce a aflat despre descoperirile lui Ken Ribet, Wiles s-a aruncat cu capul năprasnic să dovedească conjectura Taniyama-Shimura. A decis să lucreze în deplină izolare și secret. „Mi-am dat seama că tot ceea ce are de-a face cu Ultima Teoremă a lui Fermat trezește prea mult interes... Prea mulți spectatori interferează evident cu atingerea obiectivului.” Șapte ani de muncă grea au dat roade; Wiles a finalizat în sfârșit dovada conjecturii Taniyama-Shimura.

În 1993, matematicianul englez Andrew Wiles a prezentat lumii dovada ultimei teoreme a lui Fermat (Wiles și-a citit lucrarea senzațională la o conferință la Institutul Sir Isaac Newton din Cambridge.), lucru în care a durat mai bine de șapte ani.







În timp ce hype-ul a continuat în presă, au început lucrări serioase pentru verificarea dovezilor. Fiecare probă trebuie examinată cu atenție înainte ca dovezile să poată fi considerate riguroase și exacte. Wiles a petrecut o vară agitată așteptând feedback de la recenzenți, sperând că va putea câștiga aprobarea lor. La sfârșitul lunii august, experții au constatat că hotărârea este insuficient fundamentată.

S-a dovedit că această decizie conține o eroare gravă, deși în general este corectă. Wiles nu a renunțat, a apelat la ajutorul celebrului specialist în teoria numerelor Richard Taylor și deja în 1994 au publicat o demonstrație corectată și extinsă a teoremei. Cel mai uimitor lucru este că această lucrare a ocupat până la 130 (!) de pagini în jurnalul de matematică „Annals of Mathematics”. Dar povestea nu s-a încheiat nici aici - punctul final a fost atins abia în anul următor, 1995, când a fost publicată versiunea finală și „ideală”, din punct de vedere matematic, a dovezii.

„...la jumătate de minut după începerea cinei festive cu ocazia zilei ei de naștere, i-am oferit Nadyei manuscrisul dovezii complete” (Andrew Wales). Nu am spus încă că matematicienii sunt oameni ciudați?






De data aceasta nu a existat nicio îndoială cu privire la dovezi. Două articole au fost supuse celei mai atente analize și au fost publicate în mai 1995 în Annals of Mathematics.

A trecut mult timp de la acel moment, dar există încă opinia în societate că Ultima Teoremă a lui Fermat este de nerezolvat. Dar chiar și cei care știu despre dovezile găsite continuă să lucreze în această direcție - puțini sunt mulțumiți că Marea Teoremă necesită o soluție de 130 de pagini!

Prin urmare, acum eforturile multor matematicieni (majoritatea amatori, nu oameni de știință profesioniști) sunt aruncate în căutarea unei dovezi simple și concise, dar această cale, cel mai probabil, nu va duce nicăieri...

Pentru numere întregi n mai mari decât 2, ecuația x n + y n = z n nu are soluții diferite de zero în numere naturale.

Probabil îți amintești din zilele tale de școală teorema lui Pitagora: Pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor catetelor. De asemenea, vă puteți aminti de triunghiul dreptunghic clasic cu laturile ale căror lungimi sunt în raportul 3: 4: 5. Pentru aceasta, teorema lui Pitagora arată astfel:

Acesta este un exemplu de rezolvare a ecuației lui Pitagora generalizate în numere întregi diferite de zero cu n= 2. Ultima Teoremă a lui Fermat (numită și „Ultima Teoremă a lui Fermat” și „Ultima Teoremă a lui Fermat”) este afirmația că pentru valorile n> 2 ecuații de formă x n + y n = z n nu au soluții diferite de zero în numere naturale.

Istoria ultimei teoreme a lui Fermat este foarte interesantă și instructivă și nu numai pentru matematicieni. Pierre de Fermat a contribuit la dezvoltarea diferitelor domenii ale matematicii, dar cea mai mare parte a moștenirii sale științifice a fost publicată doar postum. Cert este că matematica pentru Fermat a fost un hobby, și nu o ocupație profesională. El a corespondat cu matematicienii de frunte ai timpului său, dar nu s-a străduit să-și publice opera. Scrierile științifice ale lui Fermat se regăsesc în principal sub formă de corespondență privată și note fragmentare, deseori scrise în marginile diferitelor cărți. Este în marginile (al doilea volum al „Aritmeticii” grecești antice a lui Diophantus. - Notă traducător) la scurt timp după moartea matematicianului, urmașii au descoperit formularea celebrei teoreme și a postscriptiei:

« Am găsit o dovadă cu adevărat minunată în acest sens, dar aceste câmpuri sunt prea înguste pentru asta».

Din păcate, se pare că Fermat nu s-a obosit niciodată să noteze „dovada miraculoasă” pe care a găsit-o, iar descendenții au căutat-o ​​fără succes timp de mai bine de trei secole. Dintre toată moștenirea științifică împrăștiată a lui Fermat, care conține multe afirmații surprinzătoare, Marea Teoremă a fost cea care a refuzat cu încăpățânare să fie rezolvată.

Oricine a încercat să demonstreze Ultima Teoremă a lui Fermat este în zadar! Un alt mare matematician francez, René Descartes (1596–1650), l-a numit pe Fermat „lăudăros”, iar matematicianul englez John Wallis (1616–1703) l-a numit „al naibii de francez”. Fermat însuși, totuși, a lăsat în urmă o demonstrație a teoremei sale pentru acest caz n= 4. Cu dovada pt n= 3 a fost rezolvat de marele matematician elvețian-rus al secolului al XVIII-lea Leonhard Euler (1707–83), după care, neputând găsi dovezi pentru n> 4, a sugerat în glumă ca casa lui Fermat să fie percheziționată pentru a găsi cheia dovezilor pierdute. În secolul al XIX-lea, noile metode în teoria numerelor au făcut posibilă demonstrarea afirmației pentru multe numere întregi în 200, dar din nou, nu pentru toate.

În 1908, a fost stabilit un premiu de 100.000 de mărci germane pentru rezolvarea acestei probleme. Fondul de premii a fost lăsat moștenire de către industriașul german Paul Wolfskehl, care, conform legendei, urma să se sinucidă, dar a fost atât de purtat de Ultima Teoremă a lui Fermat încât s-a răzgândit cu privire la moarte. Odată cu apariția mașinilor de adăugare și apoi a computerelor, bara de valori n a început să crească din ce în ce mai sus - la 617 până la începutul celui de-al Doilea Război Mondial, la 4001 în 1954, la 125.000 în 1976. La sfârșitul secolului al XX-lea, cele mai puternice calculatoare de la laboratoarele militare din Los Alamos (New Mexico, SUA) au fost programate pentru a rezolva problema lui Fermat în fundal (asemănător modului de economizor de ecran al unui computer personal). Astfel, a fost posibil să se arate că teorema este adevărată pentru valori incredibil de mari x, y, zȘi n, dar aceasta nu poate servi ca o dovadă strictă, deoarece oricare dintre următoarele valori n sau triplete de numere naturale ar putea infirma teorema în ansamblu.

În cele din urmă, în 1994, matematicianul englez Andrew John Wiles (n. 1953), care lucra la Princeton, a publicat o dovadă a ultimei teoreme a lui Fermat, care, după unele modificări, a fost considerată cuprinzătoare. Dovada a luat mai mult de o sută de pagini de jurnal și s-a bazat pe utilizarea aparatelor moderne de matematică superioară, care nu a fost dezvoltată în epoca lui Fermat. Deci, ce a vrut să spună Fermat lăsând un mesaj în marginea cărții că a găsit dovada? Majoritatea matematicienilor cu care am vorbit pe această temă au subliniat că de-a lungul secolelor au existat mai mult decât suficiente dovezi incorecte ale ultimei teoreme a lui Fermat și că, cel mai probabil, Fermat însuși a găsit o demonstrație similară, dar nu a reușit să recunoască eroarea. în ea. Cu toate acestea, este posibil să existe încă o dovadă scurtă și elegantă a ultimei teoreme a lui Fermat pe care nimeni nu a găsit-o încă. Un singur lucru poate fi spus cu certitudine: astăzi știm sigur că teorema este adevărată. Majoritatea matematicienilor, cred, ar fi de acord fără rezerve cu Andrew Wiles, care a remarcat despre demonstrația sa: „Acum, în sfârșit, mintea mea este în pace.”