Discriminantul, precum și ecuațiile pătratice, încep să fie studiate la cursul de algebră din clasa a VIII-a. Puteți rezolva o ecuație pătratică prin discriminant și folosind teorema Vieta. Metodologia de studiu a ecuațiilor pătratice, precum și formula discriminantă, este insuflată mai degrabă fără succes la școlari, la fel ca mult în educația reală. Prin urmare, trec anii de școală, educația din clasele 9-11 înlocuiește „învățământul superior” și toată lumea caută din nou - „Cum se rezolvă o ecuație pătratică?”, „Cum se găsesc rădăcinile unei ecuații?”, „Cum se găsesc discriminantul?” și...

Formula discriminantă

Discriminantul D al ecuației pătratice a*x^2+bx+c=0 este D=b^2–4*a*c.
Rădăcinile (soluțiile) ecuației pătratice depind de semnul discriminantului (D):
D>0 - ecuația are 2 rădăcini reale diferite;
D=0 - ecuația are 1 rădăcină (2 rădăcini coincide):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula de calcul a discriminantului este destul de simplă, așa că multe site-uri oferă un calculator discriminant online. Nu ne-am dat seama încă de acest tip de scripturi, așa că cine știe cum să implementeze acest lucru, vă rugăm să scrieți la e-mail Această adresă de e-mail este protejată de spamboți. Trebuie să aveți JavaScript activat pentru a vizualiza. .

Formula generală pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice:

Rădăcinile ecuației se găsesc prin formula
Dacă coeficientul variabilei din pătrat este pereche, atunci este recomandabil să se calculeze nu discriminantul, ci a patra parte a acestuia.
În astfel de cazuri, rădăcinile ecuației sunt găsite prin formula

Al doilea mod de a găsi rădăcini este Teorema lui Vieta.

Teorema este formulată nu numai pentru ecuații pătratice, ci și pentru polinoame. Puteți citi acest lucru pe Wikipedia sau alte resurse electronice. Cu toate acestea, pentru a simplifica, luați în considerare acea parte a acesteia care se referă la ecuațiile patratice reduse, adică ecuațiile de forma (a=1)
Esența formulelor Vieta este că suma rădăcinilor ecuației este egală cu coeficientul variabilei, luată cu semnul opus. Produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber. Formulele teoremei lui Vieta au o notație.
Derivarea formulei Vieta este destul de simplă. Să scriem ecuația pătratică în termeni de factori primi
După cum puteți vedea, totul ingenios este simplu în același timp. Este eficient să folosiți formula Vieta atunci când diferența dintre modulul rădăcinilor sau diferența dintre modulul rădăcinilor este 1, 2. De exemplu, următoarele ecuații, conform teoremei Vieta, au rădăcini




Analiza cu până la 4 ecuații ar trebui să arate așa. Produsul rădăcinilor ecuației este 6, deci rădăcinile pot fi valorile (1, 6) și (2, 3) sau perechi cu semnul opus. Suma rădăcinilor este 7 (coeficientul variabilei cu semnul opus). De aici concluzionăm că soluțiile ecuației pătratice sunt egale cu x=2; x=3.
Este mai ușor să selectezi rădăcinile ecuației dintre divizorii termenului liber, corectându-le semnul pentru a îndeplini formulele Vieta. La început, acest lucru pare dificil de realizat, dar cu exersarea unui număr de ecuații pătratice, această tehnică va fi mai eficientă decât calcularea discriminantului și găsirea rădăcinilor ecuației pătratice în mod clasic.
După cum puteți vedea, teoria școlară de studiere a discriminanților și a modalităților de a găsi soluții la ecuație este lipsită de sens practic - „De ce au nevoie școlarii de o ecuație pătratică?”, „Care este sensul fizic al discriminantului?”.

Să încercăm să ne dăm seama ce descrie discriminantul?

În cursul algebrei, ei studiază funcții, scheme pentru studierea funcțiilor și trasarea funcțiilor. Dintre toate funcțiile, un loc important este ocupat de o parabolă, a cărei ecuație poate fi scrisă sub forma
Deci sensul fizic al ecuației pătratice este zerourile parabolei, adică punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa absciselor Ox
Vă rog să vă amintiți proprietățile parabolelor care sunt descrise mai jos. Va veni timpul să susțineți examene, teste sau examene de admitere și veți fi recunoscători pentru materialul de referință. Semnul variabilei din pătrat corespunde dacă ramurile parabolei de pe grafic vor urca (a>0),

sau o parabolă cu ramurile în jos (a<0) .

Vârful parabolei se află la jumătatea distanței dintre rădăcini

Sensul fizic al discriminantului:

Dacă discriminantul este mai mare decât zero (D>0), parabola are două puncte de intersecție cu axa Ox.
Dacă discriminantul este egal cu zero (D=0), atunci parabola din partea de sus atinge axa x.
Și ultimul caz, când discriminantul este mai mic decât zero (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ecuații patratice incomplete

Ecuații cuadratice. discriminant. Soluție, exemple.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Tipuri de ecuații pătratice

Ce este o ecuație pătratică? Cu ce ​​seamănă? În termen ecuație pătratică cuvântul cheie este "pătrat".Înseamnă că în ecuație neapărat trebuie să existe un x pătrat. În plus, în ecuație poate exista (sau poate să nu existe!) Doar x (la primul grad) și doar un număr (membru liber).Și nu ar trebui să existe x într-un grad mai mare de doi.

În termeni matematici, o ecuație pătratică este o ecuație de forma:

Aici a, b și c- unele numere. b și c- absolut orice, dar A- orice în afară de zero. De exemplu:

Aici A =1; b = 3; c = -4

Aici A =2; b = -0,5; c = 2,2

Aici A =-3; b = 6; c = -18

Ei bine, ai înțeles ideea...

În aceste ecuații pătratice, în stânga, există Set complet membrii. x pătrat cu coeficientul A, x la prima putere cu coeficient bși membru liber al

Astfel de ecuații pătratice se numesc complet.

Si daca b= 0, ce vom obține? Noi avem X va dispărea în gradul I. Acest lucru se întâmplă de la înmulțirea cu zero.) Se dovedește, de exemplu:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

etc. Și dacă ambii coeficienți bși c sunt egale cu zero, atunci este și mai simplu:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Astfel de ecuații, unde lipsește ceva, sunt numite ecuații pătratice incomplete. Ceea ce este destul de logic.) Vă rugăm să rețineți că x pătrat este prezent în toate ecuațiile.

Apropo de ce A nu poate fi zero? Și tu înlocuiești în schimb A zero.) X-ul din pătrat va dispărea! Ecuația va deveni liniară. Și se face altfel...

Acestea sunt toate tipurile principale de ecuații pătratice. Complet și incomplet.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete.

Ecuațiile cuadratice sunt ușor de rezolvat. După formule și reguli clare simple. În prima etapă, este necesar să aducem ecuația dată la forma standard, adică. la vedere:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă.) Principalul lucru este să determinați corect toți coeficienții, A, bși c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Dar mai multe despre el mai jos. După cum puteți vedea, pentru a găsi x, folosim doar a, b și c. Acestea. coeficienții din ecuația pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și cîn această formulă și numărați. Substitui cu semnele tale! De exemplu, în ecuația:

A =1; b = 3; c= -4. Aici scriem:

Exemplu aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Totul este foarte simplu. Și ce crezi, nu poți greși? Ei bine, da, cum...

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele de valori a, b și c. Sau, mai degrabă, nu cu semnele lor (unde este de confundat?), Ci cu înlocuirea valorilor negative în formula de calcul a rădăcinilor. Aici, o înregistrare detaliată a formulei cu numere specifice salvează. Dacă există probleme cu calculele, atunci, fă-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici A = -6; b = -5; c = -1

Să presupunem că știi că rar primești răspunsuri prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Va dura 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară și numărul de erori va scădea brusc. Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:

Pare incredibil de dificil să pictezi atât de atent. Dar doar pare. Incearca-l. Ei bine, sau alege. Care este mai bine, rapid sau corect? În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să pictezi totul atât de atent. Va funcționa exact. Mai ales dacă aplicați tehnici practice, care sunt descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri va fi rezolvat ușor și fără erori!

Dar, adesea, ecuațiile pătratice arată ușor diferit. De exemplu, așa:

Știai?) Da! Aceasta este ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

Ele pot fi rezolvate și prin formula generală. Trebuie doar să vă dați seama corect ce este egal aici a, b și c.

Realizat? În primul exemplu a = 1; b = -4; A c? Nu există deloc! Ei bine, da, așa este. În matematică, asta înseamnă că c = 0 ! Asta e tot. Înlocuiți zero în formulă în loc de c,și totul se va rezolva pentru noi. La fel și cu al doilea exemplu. Numai zero nu avem aici cu, A b !

Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai ușor. Fără nicio formulă. Luați în considerare prima ecuație incompletă. Ce se poate face pe partea stângă? Puteți scoate X-ul din paranteze! Hai să-l scoatem.

Și ce din asta? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă oricare dintre factori este egal cu zero! Nu crezi? Ei bine, atunci veniți cu două numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero!
Nu funcționează? Ceva...
Prin urmare, putem scrie cu încredere: x 1 = 0, x 2 = 4.

Tot. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele se potrivesc. Când înlocuim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât formula generală. Observ, apropo, care X va fi primul și care al doilea - este absolut indiferent. Ușor de scris în ordine x 1- oricare e mai puțin x 2- ceea ce este mai mult.

A doua ecuație poate fi, de asemenea, rezolvată cu ușurință. Ne deplasăm cu 9 în partea dreaptă. Primim:

Rămâne să extragem rădăcina din 9 și atât. Obține:

de asemenea două rădăcini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie scoțând X din paranteze, fie pur și simplu transferând numărul la dreapta, urmat de extragerea rădăcinii.
Este extrem de dificil să confundăm aceste metode. Pur și simplu pentru că în primul caz va trebui să extragi rădăcina din X, ceea ce este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu este nimic de scos din paranteze...

discriminant. Formula discriminantă.

cuvântul magic discriminant ! Un elev de liceu rar nu a auzit acest cuvânt! Expresia „decide prin discriminant” este liniștitoare și liniștitoare. Pentru că nu este nevoie să așteptați trucuri de la discriminant! Este simplu și fără probleme de utilizat.) Vă reamintesc cea mai generală formulă de rezolvare orice ecuații pătratice:

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant. Discriminantul este de obicei notat prin literă D. Formula discriminantă:

D = b 2 - 4ac

Și ce este atât de special la această expresie? De ce merită un nume special? Ce sensul discriminantului? La urma urmelor -b, sau 2aîn această formulă ei nu numesc în mod specific... Litere și litere.

Ideea este aceasta. Când rezolvați o ecuație pătratică folosind această formulă, este posibil doar trei cazuri.

1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că puteți extrage rădăcina din ea. Dacă rădăcina este extrasă bine sau prost este o altă întrebare. Este important ce se extrage in principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminantul este zero. Atunci ai o soluție. Deoarece adăugarea sau scăderea zero la numărător nu schimbă nimic. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, dar două identice. Dar, într-o versiune simplificată, se obișnuiește să se vorbească despre o singura solutie.

3. Discriminantul este negativ. Un număr negativ nu ia rădăcina pătrată. Ei bine, bine. Asta înseamnă că nu există soluții.

Sincer să fiu, cu o simplă soluție a ecuațiilor pătratice, conceptul de discriminant nu este cu adevărat necesar. Înlocuim valorile coeficienților din formulă și luăm în considerare. Acolo totul se dovedește de la sine, și două rădăcini, și una, și nu una singură. Cu toate acestea, atunci când rezolvați sarcini mai complexe, fără cunoștințe sens și formulă discriminantă insuficient. Mai ales - în ecuații cu parametri. Astfel de ecuații sunt acrobații pentru GIA și examenul de stat unificat!)

Asa de, cum se rezolvă ecuații pătratice prin discriminantul de care ti-ai amintit. Sau învățat, ceea ce nu este rău.) Știi să identifici corect a, b și c. Știi cum atentînlocuiți-le în formula rădăcină și atent numărați rezultatul. Ai înțeles că cuvântul cheie aici este: atent?

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori. Chiar acelea care se datorează neatenției... Pentru care apoi este dureros și jignitor...

Prima recepție . Nu fi leneș înainte de a rezolva o ecuație pătratică pentru a o aduce la o formă standard. Ce inseamna asta?
Să presupunem că, după orice transformări, obțineți următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcinilor! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c. Construiți exemplul corect. Mai întâi, x pătrat, apoi fără pătrat, apoi un membru liber. Ca aceasta:

Și din nou, nu te grăbi! Minusul dinaintea x pătratului te poate supăra foarte mult. A uita este ușor... Scăpați de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Și acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și completați exemplul. Decide pe cont propriu. Ar trebui să ajungeți cu rădăcinile 2 și -1.

A doua recepție. Verifică-ți rădăcinile! Conform teoremei lui Vieta. Nu vă faceți griji, vă explic totul! Control ultimul lucru ecuația. Acestea. cea prin care am notat formula rădăcinilor. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1, verificați ușor rădăcinile. Este suficient să le înmulțim. Ar trebui să obțineți un termen gratuit, de ex. în cazul nostru -2. Atenție, nu 2, ci -2! membru liber cu semnul tău . Dacă nu a funcționat, înseamnă că s-au încurcat deja undeva. Căutați o eroare.

Dacă a funcționat, trebuie să îndoiți rădăcinile. Ultima si ultima verificare. Ar trebui să fie un raport b cu opus semn. În cazul nostru -1+2 = +1. Un coeficient b, care este înaintea lui x, este egal cu -1. Deci, totul este corect!
Este păcat că este atât de simplu doar pentru exemplele în care x pătrat este pur, cu un coeficient a = 1. Dar măcar verificați astfel de ecuații! Vor fi mai puține greșeli.

Recepția a treia . Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Înmulțiți ecuația cu numitorul comun așa cum este descris în lecția „Cum se rezolvă ecuații? Transformări de identitate”. Când lucrați cu fracții, erori, din anumite motive, urcați...

Apropo, am promis un exemplu rău, cu o grămadă de minusuri de simplificat. Cu plăcere! Iată-l.

Pentru a nu ne confunda în minusuri, înmulțim ecuația cu -1. Primim:

Asta e tot! A decide este distractiv!

Deci, să recapitulăm subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.

2. Dacă există un coeficient negativ în fața lui x în pătrat, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul pentru acesta este egal cu unu, soluția poate fi verificată cu ușurință folosind teorema lui Vieta. Fă-o!

Acum poți decide.)

Rezolvarea ecuațiilor:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Răspunsuri (în dezordine):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - orice număr

x 1 = -3
x 2 = 3

fara solutii

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Se potrivește totul? Amenda! Ecuațiile cuadratice nu sunt durerea ta de cap. Primele trei s-au dovedit, dar restul nu? Atunci problema nu este în ecuații pătratice. Problema este în transformări identice ale ecuațiilor. Aruncă o privire pe link, este util.

Nu prea merge? Sau nu merge deloc? Atunci vă va ajuta Secțiunea 555. Acolo, toate aceste exemple sunt sortate după oase. Se arată principal erori de solutie. Desigur, este descrisă și aplicarea transformărilor identice în rezolvarea diferitelor ecuații. Ajută mult!

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

De exemplu, pentru trinomul \(3x^2+2x-7\), discriminantul va fi \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Iar pentru trinomul \(x^2-5x+11\), acesta va fi egal cu \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Discriminantul este notat cu litera \(D\) și este adesea folosit la rezolvare. De asemenea, după valoarea discriminantului, puteți înțelege cum arată graficul (vezi mai jos).

Discriminantul și rădăcinile ecuației pătratice

Valoarea discriminantului arată valoarea ecuației pătratice:
- dacă \(D\) este pozitivă, ecuația va avea două rădăcini;
- dacă \(D\) este egal cu zero - doar o rădăcină;
- dacă \(D\) este negativ, nu există rădăcini.

Acest lucru nu trebuie predat, este ușor să ajungeți la o astfel de concluzie, știind pur și simplu că din discriminant (adică \(\sqrt(D)\) este inclus în formula de calcul a rădăcinilor ecuației pătratice : \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) și \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Să ne uităm mai mult la fiecare caz.

Dacă discriminantul este pozitiv

În acest caz, rădăcina acestuia este un număr pozitiv, ceea ce înseamnă că \(x_(1)\) și \(x_(2)\) vor fi diferite ca valoare, deoarece în prima formulă \(\sqrt(D) \) se adaugă, iar în al doilea - se scade. Și avem două rădăcini diferite.

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(x^2+2x-3=0\)
Decizie :

Răspuns : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Dacă discriminantul este zero

Și câte rădăcini vor fi dacă discriminantul este zero? Să raționăm.

Formulele rădăcinii arată astfel: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) și \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Și dacă discriminantul este zero, atunci rădăcina lui este și zero. Apoi se dovedește:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Adică, valorile rădăcinilor ecuației vor fi aceleași, deoarece adăugarea sau scăderea zero nu schimbă nimic.

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(x^2-4x+4=0\)
Decizie :

\(x^2-4x+4=0\)		Scriem coeficienții:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Calculați discriminantul folosind formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Găsirea rădăcinilor ecuației
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Avem două rădăcini identice, așa că nu are sens să le scriem separat - le scriem ca una singură.

Răspuns : \(x=2\)

Să luăm în considerare problema. Baza dreptunghiului este cu 10 cm mai lungă decât înălțimea, iar aria sa este de 24 cm². Aflați înălțimea dreptunghiului. Lasa X centimetri este înălțimea dreptunghiului, apoi baza lui este ( X+10) cm. Aria acestui dreptunghi este X(X+ 10) cm². Conform sarcinii X(X+ 10) = 24. Extindem parantezele și transferăm numărul 24 cu semnul opus în partea stângă a ecuației, obținem: X² + 10 X-24 = 0. La rezolvarea acestei probleme s-a obtinut o ecuatie, care se numeste ecuatie patratica.

O ecuație pătratică este o ecuație de formă

topor ²+ bx+c= 0

Unde a, b, c sunt date numere și A≠ 0 și X- necunoscut.

Cote a, b, c Ecuația pătratică este de obicei numită astfel: A- primul sau cel mai mare coeficient, b- al doilea coeficient, c- membru gratuit. De exemplu, în problema noastră, coeficientul senior este 1, al doilea coeficient este 10, termenul liber este -24. Rezolvarea multor probleme de matematică și fizică se reduce la rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice

Completează ecuațiile pătratice. Primul pas este să aduceți ecuația dată la forma standard topor²+ bx+ c= 0. Să revenim la problema noastră, în care ecuația poate fi scrisă ca X(X+ 10) = 24 să-l aducem la forma standard, deschidem parantezele X² + 10 X- 24 = 0, rezolvăm această ecuație folosind formula rădăcinilor unei ecuații pătratice generale.

Expresia de sub semnul rădăcinii din această formulă se numește discriminant D = b² - 4 ac

Dacă D>0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini diferite, care pot fi găsite prin formula rădăcinilor ecuației pătratice.

Dacă D=0, atunci ecuația pătratică are o rădăcină.

Daca D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Înlocuiți valorile din formula noastră A= 1, b= 10, c= -24.

obținem D>0, deci obținem două rădăcini.

Luați în considerare un exemplu în care D=0, în această condiție, ar trebui să se obțină o rădăcină.

25X² - 30 X+ 9 = 0

Luați în considerare un exemplu în care D<0, при этом условии решения не должно быть.

2X² + 3 X+ 4 = 0

Numărul de sub semnul rădăcinii (discriminant) este negativ, scriem răspunsul astfel: ecuația nu are rădăcini reale.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Ecuație cuadratică topor² + bx+ c= 0 se numește incomplet dacă cel puțin unul dintre coeficienți b sau c este egal cu zero. O ecuație pătratică incompletă este o ecuație de unul dintre următoarele tipuri:

topor² = 0,

topor² + c= 0, c≠ 0,

topor² + bx= 0, b≠ 0.

Luați în considerare câteva exemple, rezolvați ecuația

Împărțind ambele părți ale ecuației la 5, obținem ecuația X² = 0, răspunsul va avea o rădăcină X= 0.

Luați în considerare o ecuație de formă

3X² - 27 = 0

Împărțind ambele părți la 3, obținem ecuația X² - 9 = 0, sau poate fi scris X² = 9, răspunsul va avea două rădăcini X= 3 și X= -3.

Luați în considerare o ecuație de formă

2X² + 7 = 0

Împărțind ambele părți la 2, obținem ecuația X² = -7/2. Această ecuație nu are rădăcini reale deoarece X² ≥ 0 pentru orice număr real X.

Luați în considerare o ecuație de formă

3X² + 5 X= 0

Factorizând partea stângă a ecuației, obținem X(3X+ 5) = 0, răspunsul va avea două rădăcini X= 0, X=-5/3.

Cel mai important lucru atunci când rezolvați ecuații pătratice este să aduceți ecuația pătratică într-o formă standard, să memorați formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice generale și să nu vă confundați în semne.

În continuarea subiectului „Rezolvarea ecuațiilor”, materialul din acest articol vă va introduce în ecuațiile pătratice.

Să luăm în considerare totul în detaliu: esența și notarea unei ecuații pătratice, stabilim termenii însoțitori, analizăm schema de rezolvare a ecuațiilor incomplete și complete, ne familiarizăm cu formula rădăcinilor și a discriminantului, stabilim conexiuni între rădăcini și coeficienți și de desigur vom oferi o soluție vizuală de exemple practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuația pătratică, tipurile sale

Definiția 1

Ecuație cuadratică este ecuația scrisă ca a x 2 + b x + c = 0, Unde X– variabilă, a , b și c sunt niște numere, în timp ce A nu este zero.

Adesea, ecuațiile pătratice sunt numite și ecuații de gradul doi, deoarece de fapt o ecuație pătratică este o ecuație algebrică de gradul doi.

Să dăm un exemplu pentru a ilustra definiția dată: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 etc. sunt ecuații pătratice.

Definiția 2

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c = 0, în timp ce coeficientul A se numește primul, sau senior, sau coeficient la x 2, b - al doilea coeficient, sau coeficient la X, A c numit membru liber.

De exemplu, în ecuația pătratică 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 cel mai mare coeficient este 6, al doilea coeficient este − 2 , iar termenul liber este egal cu − 11 . Să fim atenți la faptul că atunci când coeficienții bși/sau c sunt negative, atunci se folosește forma scurtă 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, dar nu 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Să lămurim şi acest aspect: dacă coeficienţii Ași/sau b egal 1 sau − 1 , atunci ei nu pot participa în mod explicit la scrierea ecuației pătratice, ceea ce se explică prin particularitățile scrierii coeficienților numerici indicați. De exemplu, în ecuația pătratică y 2 − y + 7 = 0 coeficientul senior este 1 iar al doilea coeficient este − 1 .

Ecuații patratice reduse și nereduse

După valoarea primului coeficient, ecuațiile pătratice se împart în reduse și nereduse.

Definiția 3

Ecuație pătratică redusă este o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 . Pentru alte valori ale coeficientului principal, ecuația pătratică este neredusă.

Iată câteva exemple: se reduc ecuațiile pătratice x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, în fiecare dintre ele coeficientul de conducere este 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- ecuație pătratică neredusă, unde primul coeficient este diferit de 1 .

Orice ecuație pătratică neredusă poate fi convertită într-o ecuație redusă prin împărțirea ambelor părți la primul coeficient (transformare echivalentă). Ecuația transformată va avea aceleași rădăcini ca și ecuația neredusă dată sau, de asemenea, nu va avea deloc rădăcini.

Luarea în considerare a unui exemplu specific ne va permite să demonstrăm clar trecerea de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplul 1

Având în vedere ecuația 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Este necesar să convertiți ecuația originală în forma redusă.

Decizie

Conform schemei de mai sus, împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul de conducere 6 . Atunci obținem: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, și acesta este același cu: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0și mai departe: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . De aici: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Astfel, se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

Răspuns: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ecuații pătratice complete și incomplete

Să ne întoarcem la definiția unei ecuații pătratice. În el am precizat că a ≠ 0. O condiție similară este necesară pentru ecuație a x 2 + b x + c = 0 era exact pătrat, din moment ce a = 0 se transformă în esență într-o ecuație liniară b x + c = 0.

În cazul în care coeficienţii bși c sunt egale cu zero (ceea ce este posibil, atât individual, cât și în comun), ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiția 4

Ecuație pătratică incompletă este o ecuație pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0, unde cel puţin unul dintre coeficienţi bși c(sau ambele) este zero.

Ecuație pătratică completă este o ecuație pătratică în care toți coeficienții numerici nu sunt egali cu zero.

Să discutăm de ce tipurilor de ecuații pătratice li se dau exact astfel de nume.

Pentru b = 0, ecuația pătratică ia forma a x 2 + 0 x + c = 0, care este la fel ca a x 2 + c = 0. La c = 0 ecuația pătratică se scrie ca a x 2 + b x + 0 = 0, care este echivalent a x 2 + b x = 0. La b = 0și c = 0 ecuația va lua forma a x 2 = 0. Ecuațiile pe care le-am obținut diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că părțile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber, sau ambele deodată. De fapt, acest fapt a dat numele acestui tip de ecuații - incomplete.

De exemplu, x 2 + 3 x + 4 = 0 și − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sunt ecuații patratice complete; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sunt ecuații patratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Definiția dată mai sus face posibilă distingerea următoarelor tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a x 2 = 0, coeficienții corespund unei astfel de ecuații b = 0şi c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 pentru b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 pentru c = 0 .

Se consideră succesiv soluția fiecărui tip de ecuație pătratică incompletă.

Rezolvarea ecuației a x 2 \u003d 0

După cum am menționat deja mai sus, o astfel de ecuație corespunde coeficienților bși c, egal cu zero. Ecuația a x 2 = 0 poate fi convertit într-o ecuație echivalentă x2 = 0, pe care îl obținem împărțind ambele părți ale ecuației inițiale la număr A, nu este egal cu zero. Faptul evident este că rădăcina ecuației x2 = 0 este zero pentru că 0 2 = 0 . Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică prin proprietățile gradului: pentru orice număr p, nu este egal cu zero, inegalitatea este adevărată p2 > 0, din care rezultă că atunci când p ≠ 0 egalitate p2 = 0 nu va fi niciodată atins.

Definiția 5

Astfel, pentru ecuația pătratică incompletă a x 2 = 0, există o rădăcină unică x=0.

Exemplul 2

De exemplu, să rezolvăm ecuația pătratică incompletă − 3 x 2 = 0. Este echivalent cu ecuația x2 = 0, singura sa rădăcină este x=0, atunci ecuația originală are o singură rădăcină - zero.

Soluția este rezumată după cum urmează:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Rezolvarea ecuației a x 2 + c \u003d 0

Următoarea pe linie este soluția ecuațiilor pătratice incomplete, unde b \u003d 0, c ≠ 0, adică ecuații de forma a x 2 + c = 0. Să transformăm această ecuație transferând termenul dintr-o parte a ecuației în cealaltă, schimbând semnul în opus și împărțind ambele părți ale ecuației la un număr care nu este egal cu zero:

• îndura cîn partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 = − c;
• împărțiți ambele părți ale ecuației cu A, obținem ca rezultat x = - c a .

Transformările noastre sunt echivalente, respectiv, ecuația rezultată este echivalentă și cu cea originală, iar acest fapt face posibilă tragerea unei concluzii despre rădăcinile ecuației. Din care sunt valorile Ași c depinde de valoarea expresiei - c a: poate avea semnul minus (de exemplu, dacă a = 1și c = 2, atunci - c a = - 2 1 = - 2) sau un semn plus (de exemplu, dacă a = -2și c=6, atunci - c a = - 6 - 2 = 3); nu este egal cu zero deoarece c ≠ 0. Să ne oprim mai în detaliu asupra situațiilor când - c a< 0 и - c a > 0 .

În cazul în care - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p egalitatea p 2 = - c a nu poate fi adevărată.

Totul este diferit atunci când - c a > 0: amintiți-vă rădăcina pătrată și va deveni evident că rădăcina ecuației x 2 \u003d - c a va fi numărul - c a, deoarece - c a 2 \u003d - c a. Este ușor de înțeles că numărul - - c a - este și rădăcina ecuației x 2 = - c a: într-adevăr, - - c a 2 = - c a .

Ecuația nu va avea alte rădăcini. Putem demonstra acest lucru folosind metoda opusă. Mai întâi, să setăm notația rădăcinilor găsite mai sus ca x 1și − x 1. Să presupunem că ecuația x 2 = - c a are și rădăcină x2, care este diferit de rădăcini x 1și − x 1. Știm că prin substituirea în ecuație în loc de X rădăcinile sale, transformăm ecuația într-o egalitate numerică corectă.

Pentru x 1și − x 1 scrie: x 1 2 = - c a , iar pentru x2- x 2 2 \u003d - c a. Pe baza proprietăților egalităților numerice, scădem o egalitate adevărată dintr-un alt termen cu termen, ceea ce ne va da: x 1 2 − x 2 2 = 0. Utilizați proprietățile operațiilor cu numere pentru a rescrie ultima egalitate ca (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Se știe că produsul a două numere este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre numere este zero. Din cele spuse rezultă că x1 − x2 = 0și/sau x1 + x2 = 0, care este la fel x2 = x1și/sau x 2 = − x 1. A apărut o contradicție evidentă, deoarece la început s-a convenit că rădăcina ecuației x2 difera de x 1și − x 1. Deci, am demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini decât x = - c a și x = - - c a .

Rezum toate argumentele de mai sus.

Definiția 6

Ecuație pătratică incompletă a x 2 + c = 0 este echivalentă cu ecuația x 2 = - c a , care:

• nu va avea rădăcini la - c a< 0 ;
• va avea două rădăcini x = - c a și x = - - c a când - c a > 0 .

Să dăm exemple de rezolvare a ecuațiilor a x 2 + c = 0.

Exemplul 3

Având în vedere o ecuație pătratică 9 x 2 + 7 = 0 . Este necesar să-i găsim soluția.

Decizie

Transferăm termenul liber în partea dreaptă a ecuației, apoi ecuația va lua forma 9 x 2 \u003d - 7.
Împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la 9 , ajungem la x 2 = - 7 9 . În partea dreaptă vedem un număr cu semnul minus, ceea ce înseamnă: ecuația dată nu are rădăcini. Apoi ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 + 7 = 0 nu va avea rădăcini.

Răspuns: ecuația 9 x 2 + 7 = 0 nu are rădăcini.

Exemplul 4

Este necesar să se rezolve ecuația − x2 + 36 = 0.

Decizie

Să mutăm 36 în partea dreaptă: − x 2 = − 36.
Să împărțim ambele părți în − 1 , primim x2 = 36. În partea dreaptă este un număr pozitiv, din care putem concluziona că x = 36 sau x = - 36 .
Extragem rădăcina și scriem rezultatul final: o ecuație pătratică incompletă − x2 + 36 = 0 are două rădăcini x=6 sau x = -6.

Răspuns: x=6 sau x = -6.

Rezolvarea ecuației a x 2 +b x=0

Să analizăm al treilea tip de ecuații pătratice incomplete, când c = 0. Pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică incompletă a x 2 + b x = 0, folosim metoda factorizării. Să factorizăm polinomul, care se află în partea stângă a ecuației, luând factorul comun din paranteze X. Acest pas va face posibilă transformarea ecuației pătratice incomplete inițiale în echivalentul ei x (a x + b) = 0. Și această ecuație, la rândul său, este echivalentă cu setul de ecuații x=0și a x + b = 0. Ecuația a x + b = 0 liniară și rădăcina sa: x = − b a.

Definiția 7

Astfel, ecuația pătratică incompletă a x 2 + b x = 0 va avea două rădăcini x=0și x = − b a.

Să consolidăm materialul cu un exemplu.

Exemplul 5

Este necesar să găsim soluția ecuației 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Decizie

Hai să scoatem Xîn afara parantezei și obținem ecuația x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Această ecuație este echivalentă cu ecuațiile x=0și 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Acum ar trebui să rezolvați ecuația liniară rezultată: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Pe scurt, scriem soluția ecuației după cum urmează:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau x = 3 3 7

Răspuns: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminant, formula rădăcinilor unei ecuații pătratice

Pentru a găsi o soluție la ecuațiile pătratice, există o formulă rădăcină:

Definiția 8

x = - b ± D 2 a, unde D = b 2 − 4 a c este așa-numitul discriminant al unei ecuații pătratice.

Scrierea x \u003d - b ± D 2 a înseamnă în esență că x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Va fi util să înțelegeți cum a fost obținută formula indicată și cum să o aplicați.

Derivarea formulei rădăcinilor unei ecuații pătratice

Să presupunem că ne confruntăm cu sarcina de a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0. Să efectuăm o serie de transformări echivalente:

• împărțiți ambele părți ale ecuației la număr A, diferit de zero, obținem ecuația pătratică redusă: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• selectați pătratul complet din partea stângă a ecuației rezultate:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  După aceasta, ecuația va lua forma: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• acum este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă, schimbând semnul în opus, după care obținem: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• în cele din urmă, transformăm expresia scrisă în partea dreaptă a ultimei egalități:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Astfel, am ajuns la ecuația x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , care este echivalentă cu ecuația inițială a x 2 + b x + c = 0.

Am discutat soluția unor astfel de ecuații în paragrafele anterioare (soluția ecuațiilor pătratice incomplete). Experiența acumulată deja face posibilă tragerea unei concluzii cu privire la rădăcinile ecuației x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• pentru b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pentru b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, ecuația are forma x + b 2 · a 2 = 0, atunci x + b 2 · a = 0.

De aici, singura rădăcină x = - b 2 · a este evidentă;

• pentru b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, cea corectă este: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 sau x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , care este la fel ca x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 sau x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , adică. ecuația are două rădăcini.

Se poate concluziona că prezența sau absența rădăcinilor ecuației x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (și, prin urmare, ecuația inițială) depinde de semnul expresiei b 2 - 4 a c 4 · un 2 scris pe partea dreaptă. Și semnul acestei expresii este dat de semnul numărătorului (numitorul 4 la 2 va fi întotdeauna pozitiv), adică semnul expresiei b 2 − 4 a c. Această expresie b 2 − 4 a c se dă un nume - discriminantul unei ecuații pătratice și litera D este definită ca desemnare a acesteia. Aici puteți nota esența discriminantului - după valoarea și semnul său, ei concluzionează dacă ecuația pătratică va avea rădăcini reale și, dacă da, câte rădăcini - una sau două.

Să revenim la ecuația x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Să o rescriem folosind notația discriminantă: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Să recapitulăm concluziile:

Definiția 9

• la D< 0 ecuația nu are rădăcini reale;
• la D=0 ecuaţia are o singură rădăcină x = - b 2 · a ;
• la D > 0 ecuația are două rădăcini: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 sau x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Pe baza proprietăților radicalilor, aceste rădăcini pot fi scrise ca: x \u003d - b 2 a + D 2 a sau - b 2 a - D 2 a. Și când deschidem modulele și reducem fracțiile la un numitor comun, obținem: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Deci, rezultatul raționamentului nostru a fost derivarea formulei pentru rădăcinile ecuației pătratice:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminant D calculate prin formula D = b 2 − 4 a c.

Aceste formule fac posibilă, atunci când discriminantul este mai mare decât zero, să se determine ambele rădăcini reale. Când discriminantul este zero, aplicarea ambelor formule va da aceeași rădăcină ca singura soluție a ecuației pătratice. În cazul în care discriminantul este negativ, încercând să folosim formula rădăcinii pătratice, ne vom confrunta cu nevoia de a extrage rădăcina pătrată a unui număr negativ, ceea ce ne va duce dincolo de numerele reale. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu va avea rădăcini reale, dar este posibilă o pereche de rădăcini conjugate complexe, determinate de aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

Este posibil să se rezolve o ecuație pătratică folosind imediat formula rădăcinii, dar practic acest lucru se face atunci când este necesar să se găsească rădăcini complexe.

În cea mai mare parte a cazurilor, căutarea este de obicei menită nu pentru rădăcini complexe, ci pentru rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. Atunci este optim, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, mai întâi să determinați discriminantul și să vă asigurați că acesta nu este negativ (în caz contrar vom concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), apoi să trecem la calcularea valoarea rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus face posibilă formularea unui algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.

Definiția 10

Pentru a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, necesar:

• conform formulei D = b 2 − 4 a c găsiți valoarea discriminantului;
• la D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pentru D = 0 găsiți singura rădăcină a ecuației prin formula x = - b 2 · a ;
• pentru D > 0, determinați două rădăcini reale ale ecuației pătratice prin formula x = - b ± D 2 · a.

Rețineți că atunci când discriminantul este zero, puteți utiliza formula x = - b ± D 2 · a , aceasta va da același rezultat ca și formula x = - b 2 · a .

Luați în considerare exemple.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Prezentăm soluția de exemple pentru diferite valori ale discriminantului.

Exemplul 6

Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației x 2 + 2 x - 6 = 0.

Decizie

Scriem coeficienții numerici ai ecuației pătratice: a \u003d 1, b \u003d 2 și c = − 6. În continuare, acționăm conform algoritmului, adică. Să începem să calculăm discriminantul, pentru care înlocuim coeficienții a , b și cîn formula discriminantă: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Deci, avem D > 0, ceea ce înseamnă că ecuația inițială va avea două rădăcini reale.
Pentru a le găsi, folosim formula rădăcină x \u003d - b ± D 2 · a și, înlocuind valorile corespunzătoare, obținem: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Simplificam expresia rezultata prin scoaterea factorului din semnul radacinii, urmata de reducerea fractiei:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 sau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 sau x = - 1 - 7

Răspuns: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Exemplul 7

Este necesar să se rezolve o ecuație pătratică − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Decizie

Să definim discriminantul: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Cu această valoare a discriminantului, ecuația inițială va avea o singură rădăcină, determinată de formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Răspuns: x = 3, 5.

Exemplul 8

Este necesar să se rezolve ecuația 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Decizie

Coeficienții numerici ai acestei ecuații vor fi: a = 5 , b = 6 și c = 2 . Folosim aceste valori pentru a găsi discriminantul: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Discriminantul calculat este negativ, deci ecuația pătratică originală nu are rădăcini reale.

În cazul în care sarcina este de a indica rădăcini complexe, aplicăm formula rădăcinii efectuând operații cu numere complexe:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 sau x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i sau x = - 3 5 - 1 5 i .

Răspuns: nu există rădăcini reale; rădăcinile complexe sunt: ​​- 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

În programa școlară, ca standard, nu există nicio cerință de a căuta rădăcini complexe, prin urmare, dacă discriminantul este definit ca negativ în timpul rezolvării, se înregistrează imediat răspunsul că nu există rădăcini reale.

Formula rădăcină pentru chiar al doilea coeficienți

Formula rădăcină x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) face posibilă obținerea unei alte formule, mai compacte, permițându-vă să găsiți soluții la ecuații pătratice cu un coeficient par la x (sau cu un coeficient de forma 2 a n, de exemplu, 2 3 sau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Să arătăm cum este derivată această formulă.

Să presupunem că ne confruntăm cu sarcina de a găsi o soluție la ecuația pătratică a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Acționăm conform algoritmului: determinăm discriminantul D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , iar apoi folosim formula rădăcinii:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Să se noteze expresia n 2 − a c cu D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice considerate cu al doilea coeficient 2 n va lua forma:

x \u003d - n ± D 1 a, unde D 1 \u003d n 2 - a c.

Este ușor de observat că D = 4 · D 1 , sau D 1 = D 4 . Cu alte cuvinte, D 1 este un sfert din discriminant. Evident, semnul lui D 1 este același cu semnul lui D, ceea ce înseamnă că semnul lui D 1 poate servi și ca indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Definiția 11

Astfel, pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient de 2 n, este necesar:

• găsiți D 1 = n 2 − a c ;
• la D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• pentru D 1 = 0, determinați singura rădăcină a ecuației cu formula x = - n a ;
• pentru D 1 > 0, determinați două rădăcini reale folosind formula x = - n ± D 1 a.

Exemplul 9

Este necesar să se rezolve ecuația pătratică 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Decizie

Al doilea coeficient al ecuației date poate fi reprezentat ca 2 · (− 3) . Apoi rescriem ecuația pătratică dată ca 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , unde a = 5 , n = − 3 și c = − 32 .

Să calculăm a patra parte a discriminantului: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Valoarea rezultată este pozitivă, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale. Le definim prin formula corespunzătoare a rădăcinilor:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 sau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 sau x = - 2

Ar fi posibil să se efectueze calcule folosind formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz soluția ar fi mai greoaie.

Răspuns: x = 3 1 5 sau x = - 2 .

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori este posibil să se optimizeze forma ecuației originale, ceea ce va simplifica procesul de calcul al rădăcinilor.

De exemplu, ecuația pătratică 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 este în mod clar mai convenabilă pentru rezolvare decât 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Mai des, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, mai sus am arătat o reprezentare simplificată a ecuației 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, obținută prin împărțirea ambelor părți la 100.

O astfel de transformare este posibilă atunci când coeficienții ecuației pătratice nu sunt numere prime relativ. Apoi, de obicei, ambele părți ale ecuației sunt împărțite la cel mai mare divizor comun al valorilor absolute ale coeficienților săi.

Ca exemplu, folosim ecuația pătratică 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Să definim mcd-ul valorilor absolute ale coeficienților săi: mcd (12 , 42 , 48) = mcd(mcd (12 , 42) , 48) = mcd (6 , 48) = 6 . Să împărțim ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6 și să obținem ecuația pătratică echivalentă 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației pătratice, coeficienții fracționali sunt de obicei eliminați. În acest caz, înmulțiți cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților săi. De exemplu, dacă fiecare parte a ecuației pătratice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 este înmulțită cu LCM (6, 3, 1) \u003d 6, atunci va fi scrisă într-o formă mai simplă x 2 + 4 x - 18 = 0 .

În cele din urmă, observăm că aproape întotdeauna scăpați de minus la primul coeficient al ecuației pătratice, schimbând semnele fiecărui termen al ecuației, ceea ce se realizează prin înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți cu - 1. De exemplu, din ecuația pătratică - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, puteți merge la versiunea sa simplificată 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relația dintre rădăcini și coeficienți

Formula deja cunoscută pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice x = - b ± D 2 · a exprimă rădăcinile ecuației în termeni de coeficienți numerici. Pe baza acestei formule, avem posibilitatea de a stabili alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai faimoase și aplicabile sunt formulele teoremei Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a și x 2 \u003d c a.

În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0, este posibil să se determine imediat că suma rădăcinilor sale este 7 3 , iar produsul rădăcinilor este 22 3 .

De asemenea, puteți găsi o serie de alte relații între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. De exemplu, suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice poate fi exprimată în termeni de coeficienți:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter