In medie(în matematică și statistică) seturi de numere - suma tuturor numerelor împărțită la numărul lor. Este una dintre cele mai comune măsuri de tendință centrală.
A fost propusă (împreună cu media geometrică și media armonică) de către pitagoreici.
Cazuri speciale ale mediei aritmetice sunt media (a populației generale) și media eșantionului (a eșantioanelor).
Introducere
Indicați setul de date X = (X 1 , X 2 , …, X n), atunci media eșantionului este de obicei notă cu o bară orizontală peste variabila (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , pronunțată " X cu o liniuță").
Litera greacă μ este folosită pentru a desemna media aritmetică a întregii populații. Pentru o variabilă aleatoare pentru care este definită o valoare medie, μ este probabilitate medie sau așteptarea matematică a unei variabile aleatoare. Dacă setul X este o colecție de numere aleatoare cu o medie a probabilității μ, apoi pentru orice probă X i din această colecție μ = E( X i) este așteptarea acestui eșantion.
În practică, diferența dintre μ și x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) este că μ este o variabilă tipică, deoarece puteți vedea eșantionul mai degrabă decât întreaga populație. Prin urmare, dacă eșantionul este reprezentat aleatoriu (în termeni de teoria probabilității), atunci x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (dar nu μ) poate fi tratată ca o variabilă aleatoare având o distribuție de probabilitate pe eșantion ( distribuția de probabilitate a mediei).
Ambele cantități sunt calculate în același mod:
X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)
În cazul în care un X este o variabilă aleatorie, apoi așteptarea matematică X poate fi considerată ca medie aritmetică a valorilor în măsurători repetate ale mărimii X. Aceasta este o manifestare a legii numerelor mari. Prin urmare, media eșantionului este utilizată pentru a estima așteptările matematice necunoscute.
În algebra elementară, se demonstrează că media n+ 1 numere peste medie n numere dacă și numai dacă noul număr este mai mare decât vechea medie, mai puțin dacă și numai dacă noul număr este mai mic decât media și nu se modifică dacă și numai dacă noul număr este egal cu media. Cu atât mai mult n, cu atât este mai mică diferența dintre mediile noi și cele vechi.
Rețineți că există mai multe alte „mijloace” disponibile, inclusiv media legii puterii, media Kolmogorov, medie armonică, medie aritmetică-geometrică și diverse medii ponderate (de exemplu, medie ponderată aritmetică, medie ponderată geometrică, medie ponderată armonică) .
Exemple
- Pentru trei numere, trebuie să le adunați și să le împărțiți la 3:
- Pentru patru numere, trebuie să le adunați și să împărțiți la 4:
Sau mai ușor 5+5=10, 10:2. Pentru că am adăugat 2 numere, ceea ce înseamnă că câte numere adunăm, împărțim la atât.
Variabilă aleatoare continuă
Pentru o valoare distribuită continuu f (x) (\displaystyle f(x)) media aritmetică pe intervalul [ a ; b ] (\displaystyle ) este definit printr-o integrală definită:
F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
Câteva probleme de utilizare a mediei
Lipsa robusteței
Articolul principal: Robustețe în statisticăDeși media aritmetică este adesea folosită ca medie sau tendințe centrale, acest concept nu se aplică statisticilor robuste, ceea ce înseamnă că media aritmetică este puternic influențată de „abateri mari”. Este de remarcat faptul că pentru distribuțiile cu o asimetrie mare, media aritmetică poate să nu corespundă conceptului de „medie”, iar valorile mediei din statistici robuste (de exemplu, mediana) pot descrie mai bine tendința centrală.
Exemplul clasic este calculul venitului mediu. Media aritmetică poate fi interpretată greșit ca mediană, ceea ce poate duce la concluzia că există mai mulți oameni cu venituri mai mari decât sunt în realitate. Venitul „mediu” este interpretat în așa fel încât veniturile majorității oamenilor să fie apropiate de acest număr. Acest venit „mediu” (în sensul mediei aritmetice) este mai mare decât venitul majorității oamenilor, deoarece un venit mare cu o abatere mare de la medie face ca media aritmetică să fie puternic denaturată (dimpotrivă, venitul median „rezistă” o astfel de înclinare). Cu toate acestea, acest venit „mediu” nu spune nimic despre numărul de persoane aflate în apropierea venitului median (și nu spune nimic despre numărul de persoane din apropierea venitului modal). Cu toate acestea, dacă conceptele de „medie” și „majoritate” sunt luate cu ușurință, atunci se poate concluziona greșit că majoritatea oamenilor au venituri mai mari decât sunt în realitate. De exemplu, un raport privind venitul net „mediu” din Medina, Washington, calculat ca media aritmetică a tuturor veniturilor nete anuale ale rezidenților, va oferi un număr surprinzător de mare datorită lui Bill Gates. Luați în considerare eșantionul (1, 2, 2, 2, 3, 9). Media aritmetică este 3,17, dar cinci dintre cele șase valori sunt sub această medie.
Interes compus
Articolul principal: ROIDacă numerele multiplica, dar nu pliază, trebuie să utilizați media geometrică, nu media aritmetică. Cel mai adesea, acest incident se întâmplă atunci când se calculează rentabilitatea investiției în finanțe.
De exemplu, dacă stocurile au scăzut cu 10% în primul an și au crescut cu 30% în al doilea an, atunci este incorect să se calculeze creșterea „medie” în acești doi ani ca medie aritmetică (−10% + 30%) / 2 = 10%; media corectă în acest caz este dată de rata de creștere anuală compusă, din care creșterea anuală este de numai aproximativ 8,16653826392% ≈ 8,2%.
Motivul pentru aceasta este că procentele au un nou punct de plecare de fiecare dată: 30% este 30% dintr-un număr mai mic decât prețul de la începutul primului an: dacă stocul a început de la 30 USD și a scăzut cu 10%, valorează 27 USD la începutul celui de-al doilea an. Dacă stocul crește cu 30%, valorează 35,1 USD la sfârșitul celui de-al doilea an. Media aritmetică a acestei creșteri este de 10%, dar din moment ce stocul a crescut doar cu 5,1 USD în 2 ani, o creștere medie de 8,2% dă un rezultat final de 35,1 USD:
[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Dacă folosim media aritmetică a 10% în același mod, nu vom obține valoarea reală: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
Dobânda compusă la sfârșitul anului 2: 90% * 130% = 117% , adică o creștere totală de 17%, iar dobânda compusă medie anuală este de 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \aproximativ 108,2\%) , adică o creștere medie anuală de 8,2%.
Directii
Articolul principal: Statistici despre destinațieCând se calculează media aritmetică a unei variabile care se modifică ciclic (de exemplu, fază sau unghi), trebuie avută o atenție deosebită. De exemplu, media 1° și 359° ar fi 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Acest număr este incorect din două motive.
- În primul rând, măsurile unghiulare sunt definite doar pentru intervalul de la 0° la 360° (sau de la 0 la 2π când sunt măsurate în radiani). Astfel, aceeași pereche de numere ar putea fi scrisă ca (1° și -1°) sau ca (1° și 719°). Mediile fiecărei perechi vor fi diferite: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
- În al doilea rând, în acest caz, o valoare de 0° (echivalent cu 360°) ar fi cea mai bună medie din punct de vedere geometric, deoarece numerele se abat mai puțin de la 0° decât de la orice altă valoare (valoarea 0° are cea mai mică variație). Comparaţie:
- numărul 1° se abate de la 0° cu doar 1°;
- numărul 1° se abate de la media calculată de 180° cu 179°.
Valoarea medie pentru o variabilă ciclică, calculată conform formulei de mai sus, va fi deplasată artificial în raport cu media reală la mijlocul intervalului numeric. Din această cauză, media se calculează într-un mod diferit, și anume, ca valoare medie se alege numărul cu cea mai mică varianță (punctul central). De asemenea, în loc de scădere, se folosește distanța modulo (adică distanța circumferențială). De exemplu, distanța modulară între 1° și 359° este 2°, nu 358° (pe un cerc între 359° și 360°==0° - un grad, între 0° și 1° - tot 1°, în total - 2 °).
Tipuri de valori medii și metode de calcul a acestora
În etapa prelucrării statistice, pot fi stabilite o varietate de sarcini de cercetare, pentru a căror soluție este necesar să se aleagă media adecvată. În acest caz, este necesar să vă ghidați după următoarea regulă: valorile care reprezintă numărătorul și numitorul mediei trebuie să fie legate logic între ele.
- medii de putere;
- medii structurale.
Să introducem următoarea notație:
Valorile pentru care se calculează media;
Medie, unde linia de mai sus indică faptul că are loc media valorilor individuale;
Frecvență (repetabilitate a valorilor trăsăturilor individuale).
Din formula generală a mediei puterii sunt derivate diferite mijloace:
(5.1)
pentru k = 1 - medie aritmetică; k = -1 - medie armonică; k = 0 - medie geometrică; k = -2 - rădăcină pătrată medie.
Mediile sunt fie simple, fie ponderate. medii ponderate sunt numite cantități care țin cont de faptul că unele variante ale valorilor atributului pot avea numere diferite și, prin urmare, fiecare variantă trebuie înmulțită cu acest număr. Cu alte cuvinte, „greutățile” sunt numerele de unități de populație din diferite grupuri, i.e. fiecare opțiune este „ponderată” de frecvența sa. Se numește frecvența f ponderea statistica sau medie de cântărire.
Media aritmetică- cel mai comun tip de mediu. Este utilizat atunci când calculul este efectuat pe date statistice negrupate, de unde doriți să obțineți suma medie. Media aritmetică este o astfel de valoare medie a unei caracteristici, după primirea căreia volumul total al caracteristicii din populație rămâne neschimbat.
Formula mediei aritmetice ( simplu) are forma
unde n este dimensiunea populației.
De exemplu, salariul mediu al angajaților unei întreprinderi este calculat ca medie aritmetică:
Indicatorii determinanți aici sunt salariile fiecărui angajat și numărul de angajați ai întreprinderii. La calcularea mediei, valoarea totală a salariilor a rămas aceeași, dar a fost distribuită, parcă, în mod egal între toți lucrătorii. De exemplu, este necesar să se calculeze salariul mediu al angajaților unei companii mici în care sunt angajați 8 persoane:
La calcularea mediilor, valorile individuale ale atributului care este mediat pot fi repetate, astfel încât media este calculată folosind date grupate. În acest caz, vorbim despre utilizare medie aritmetică ponderată, care arată ca
(5.3)
Deci, trebuie să calculăm prețul mediu al acțiunilor unei societăți pe acțiuni la bursă. Se știe că tranzacțiile au fost efectuate în termen de 5 zile (5 tranzacții), numărul de acțiuni vândute la rata de vânzare a fost repartizat astfel:
1 - 800 ac. - 1010 ruble
2 - 650 ac. - 990 de ruble.
3 - 700 ak. - 1015 ruble.
4 - 550 ac. - 900 de ruble.
5 - 850 ak. - 1150 de ruble.
Raportul inițial pentru determinarea prețului mediu al acțiunilor este raportul dintre valoarea totală a tranzacțiilor (TCA) și numărul de acțiuni vândute (KPA):
OSS = 1010 800+990 650+1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;
CPA = 800+650+700+550+850=3550.
În acest caz, prețul mediu al acțiunilor a fost egal cu
Este necesar să se cunoască proprietățile mediei aritmetice, care este foarte importantă atât pentru utilizarea ei, cât și pentru calculul ei. Există trei proprietăți principale care au condus cel mai mult la utilizarea pe scară largă a mediei aritmetice în calculele statistice și economice.
Proprietatea unu (zero): suma abaterilor pozitive ale valorilor individuale ale unei trăsături de la valoarea sa medie este egală cu suma abaterilor negative. Aceasta este o proprietate foarte importantă, deoarece arată că orice abateri (atât cu +, cât și cu -) datorate unor cauze aleatoare vor fi anulate reciproc.
Dovada:
Proprietatea a doua (minim): suma abaterilor pătrate ale valorilor individuale ale trăsăturii de la media aritmetică este mai mică decât de la orice alt număr (a), adică este numărul minim.
Dovada.
Compuneți suma abaterilor pătrate de la variabila a:
(5.4)
Pentru a găsi extremul acestei funcții, este necesar să echivalăm derivata ei în raport cu a la zero:
De aici obținem:
(5.5)
Prin urmare, extremul sumei abaterilor pătrate este atins la . Acest extremum este minim, deoarece funcția nu poate avea un maxim.
Proprietatea trei: media aritmetică a unei constante este egală cu această constantă: la a = const.
Pe lângă aceste trei proprietăți cele mai importante ale mediei aritmetice, există și așa-numitele proprietăți de proiectare, care își pierd treptat semnificația din cauza utilizării computerelor electronice:
- dacă valoarea individuală a semnului fiecărei unități este înmulțită sau împărțită cu un număr constant, atunci media aritmetică va crește sau scade cu aceeași valoare;
- media aritmetică nu se va modifica dacă ponderea (frecvența) fiecărei valori caracteristice este împărțită la un număr constant;
- dacă valorile individuale ale atributului fiecărei unități sunt reduse sau crescute cu aceeași sumă, atunci media aritmetică va scădea sau crește cu aceeași sumă.
Armonică medie. Această medie se numește medie aritmetică reciprocă, deoarece această valoare este utilizată când k = -1.
Mijloace armonică simplă este utilizat atunci când ponderile valorilor caracteristice sunt aceleași. Formula sa poate fi derivată din formula de bază prin înlocuirea k = -1:
De exemplu, trebuie să calculăm viteza medie a două mașini care au parcurs aceeași cale, dar cu viteze diferite: prima la 100 km/h, a doua la 90 km/h. Folosind metoda mediei armonice, calculăm viteza medie:
În practica statistică se folosește mai des ponderea armonică, a cărei formulă are forma
Această formulă este utilizată în cazurile în care ponderile (sau volumele fenomenelor) pentru fiecare atribut nu sunt egale. În raportul original, numărătorul este cunoscut pentru a calcula media, dar numitorul este necunoscut.
De exemplu, atunci când calculăm prețul mediu, trebuie să folosim raportul dintre suma vândută și numărul de unități vândute. Nu cunoaștem numărul de unități vândute (vorbim despre diferite bunuri), dar cunoaștem sumele vânzărilor acestor diferite bunuri. Să presupunem că doriți să aflați prețul mediu al bunurilor vândute:
Primim
Medie geometrică. Cel mai adesea, media geometrică își găsește aplicația în determinarea ratei medii de creștere (rate medii de creștere), atunci când valorile individuale ale trăsăturii sunt prezentate ca valori relative. Se folosește și dacă este necesar să se găsească media dintre valorile minime și maxime ale unei caracteristici (de exemplu, între 100 și 1000000). Există formule pentru medie geometrică simplă și ponderată.
Pentru o medie geometrică simplă
Pentru media geometrică ponderată
RMS. Scopul principal al aplicării sale este măsurarea variației unei trăsături în populație (calculul abaterii standard).
Formula rădăcină medie pătrată simplă
Formula pătratică medie ponderată
(5.11)
Ca urmare, putem spune că rezolvarea cu succes a problemelor cercetării statistice depinde de alegerea corectă a tipului de valoare medie în fiecare caz concret. Alegerea mediei presupune următoarea succesiune:
a) stabilirea unui indicator generalizator al populaţiei;
b) determinarea unui raport matematic de valori pentru un indicator de generalizare dat;
c) înlocuirea valorilor individuale cu valori medii;
d) calculul mediei folosind ecuația corespunzătoare.
Valori medii și variație
valoarea medie- acesta este un indicator generalizator care caracterizează o populaţie omogenă calitativ după un anumit atribut cantitativ. De exemplu, vârsta medie a persoanelor condamnate pentru furt.
În statistica judiciară, mediile sunt folosite pentru a caracteriza:
Termenii medii de examinare a cazurilor din această categorie;
Revendicare de dimensiune medie;
Numărul mediu de inculpați pe dosar;
Valoarea medie a daunelor;
Volumul mediu de muncă al judecătorilor etc.
Valoarea medie este întotdeauna numită și are aceeași dimensiune ca atributul unei unități separate a populației. Fiecare valoare medie caracterizează populația studiată în funcție de orice atribut variabil, prin urmare, în spatele oricărei medii, există o serie de distribuție a unităților acestei populații în funcție de atributul studiat. Alegerea tipului de medie este determinată de conținutul indicatorului și de datele inițiale pentru calcularea mediei.
Toate tipurile de medii utilizate în studiile statistice se împart în două categorii:
1) medii de putere;
2) medii structurale.
Prima categorie de medii include: medie aritmetică, medie armonică, medie geometrică și rădăcină medie pătrată . A doua categorie este Modăși median. Mai mult, fiecare dintre tipurile de medii de putere enumerate poate avea două forme: simplu și ponderat . Forma simplă a mediei este folosită pentru a obține media trăsăturii studiate atunci când calculul se bazează pe statistici negrupate, sau când fiecare variantă apare o singură dată în populație. Mediile ponderate sunt valori care iau în considerare faptul că opțiunile pentru valorile unei caracteristici pot avea numere diferite și, prin urmare, fiecare opțiune trebuie înmulțită cu frecvența corespunzătoare. Cu alte cuvinte, fiecare opțiune este „cântăritată” de frecvența sa. Frecvența se numește pondere statistică.
medie aritmetică simplă- cel mai comun tip de mediu. Este egal cu suma valorilor caracteristice individuale împărțite la numărul total al acestor valori:
,
Unde x 1 ,x 2 , … ,x N sunt valorile individuale ale trăsăturii variabile (opțiuni), iar N este numărul de unități ale populației.
Media ponderată aritmetică utilizat atunci când datele sunt prezentate sub formă de serii de distribuție sau grupări. Se calculează ca suma produselor opțiunilor și frecvențele corespunzătoare acestora, împărțită la suma frecvențelor tuturor opțiunilor:
Unde x i- sens i– variantele ale caracteristicii; fi- frecvență i-a optiuni.
Astfel, fiecare valoare de variantă este ponderată de frecvența sa, motiv pentru care frecvențele sunt uneori numite ponderi statistice.
Cometariu. Când vine vorba de media aritmetică fără a specifica tipul acesteia, se înțelege media aritmetică simplă.
Tabelul 12
Decizie. Pentru calcul, folosim formula mediei ponderate aritmetice:
Astfel, în medie, sunt doi inculpați pe dosar penal.
Dacă calculul valorii medii se efectuează conform datelor grupate sub formă de serie de distribuție a intervalului, atunci mai întâi trebuie să determinați valorile mediane ale fiecărui interval x "i, apoi să calculați valoarea medie folosind formula medie aritmetică ponderată, în care x" i este înlocuit cu x i.
Exemplu. Datele privind vârsta infractorilor condamnați pentru furt sunt prezentate în tabel:
Tabelul 13
Determinați vârsta medie a infractorilor condamnați pentru furt.
Decizie. Pentru a determina vârsta medie a infractorilor pe baza seriei de variație a intervalului, trebuie mai întâi să găsiți valorile mediane ale intervalelor. Deoarece este dată o serie de intervale cu primul și ultimul interval deschis, valorile acestor intervale sunt luate egale cu valorile intervalelor închise adiacente. În cazul nostru, valoarea primului și ultimului interval este 10.
Acum găsim vârsta medie a infractorilor folosind formula mediei aritmetice ponderate:
Astfel, vârsta medie a infractorilor condamnați pentru furt este de aproximativ 27 de ani.
Armonică medie simplă este reciproca mediei aritmetice a valorilor reciproce ale caracteristicii:
unde 1/ x i sunt valorile reciproce ale variantelor, iar N este numărul de unități de populație.
Exemplu. Pentru a determina volumul mediu anual de muncă al judecătorilor unei instanțe de circumscripție la analiza cauzelor penale, a fost realizat un sondaj asupra volumului de muncă a 5 judecători ai acestei instanțe. Timpul mediu petrecut într-un caz penal pentru fiecare dintre judecătorii chestionați s-a dovedit a fi egal (în zile): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Aflați costurile medii pentru unul. cauza penală și volumul mediu anual de muncă al judecătorilor acestei instanțe districtuale atunci când se analizează cauzele penale.
Decizie. Pentru a determina timpul mediu petrecut într-un caz penal, folosim formula simplă armonică:
Pentru a simplifica calculele din exemplu, să luăm numărul de zile dintr-un an egal cu 365, inclusiv weekend-urile (acest lucru nu afectează metoda de calcul, iar atunci când se calculează un indicator similar în practică, este necesar să se înlocuiască numărul de lucru zile dintr-un anumit an în loc de 365 de zile). Atunci volumul mediu anual de muncă pentru judecătorii acestei instanțe de circumscripție la analiza cauzelor penale va fi: 365 (zile): 5,56 ≈ 65,6 (cazuri).
Dacă am folosi formula medie aritmetică simplă pentru a determina timpul mediu petrecut într-un caz penal, am obține:
365 (zile): 5,64 ≈ 64,7 (cazuri), i.e. volumul mediu de muncă pentru judecători a fost mai mic.
Să verificăm validitatea acestei abordări. Pentru a face acest lucru, folosim datele privind timpul petrecut într-un dosar penal pentru fiecare judecător și calculăm numărul de dosare penale luate în considerare de fiecare dintre aceștia pe an.
Primim în consecință:
365(zile) : 6 ≈ 61 (caz), 365(zile) : 5,6 ≈ 65,2 (caz), 365(zile) : 6,3 ≈ 58 (caz),
365(zile) : 4,9 ≈ 74,5 (cazuri), 365(zile) : 5,4 ≈ 68 (cazuri).
Acum calculăm volumul mediu anual de muncă pentru judecătorii acestei instanțe districtuale atunci când luăm în considerare cauzele penale:
Acestea. sarcina medie anuală este aceeași ca la utilizarea mediei armonice.
Astfel, utilizarea mediei aritmetice în acest caz este ilegală.
În cazurile în care sunt cunoscute variantele unei caracteristici, valorile lor volumetrice (produsul variantelor prin frecvență), dar frecvențele în sine sunt necunoscute, se aplică formula medie ponderată armonică:
,
Unde x i sunt valorile variantelor de trăsătură, iar w i sunt valorile volumetrice ale variantelor ( w i = x i f i).
Exemplu. Datele despre prețul unei unități de același tip de bunuri produse de diferite instituții ale sistemului penitenciar și despre volumul implementării acesteia sunt date în tabelul 14.
Tabelul 14
Găsiți prețul mediu de vânzare al produsului.
Decizie. Atunci când calculăm prețul mediu, trebuie să folosim raportul dintre suma vândută și numărul de unități vândute. Nu știm numărul de unități vândute, dar știm cantitatea vânzărilor de mărfuri. Prin urmare, pentru a afla prețul mediu al bunurilor vândute, folosim formula medie ponderată armonică. Primim
Dacă utilizați aici formula mediei aritmetice, puteți obține un preț mediu care va fi nerealist:
Medie geometrică se calculează prin extragerea rădăcinii gradului N din produsul tuturor valorilor opțiunilor de caracteristică:
Unde x 1 ,x 2 , … ,x N sunt valorile individuale ale trăsăturii variabile (opțiuni) și
N este numărul de unități de populație.
Acest tip de medie este utilizat pentru a calcula ratele medii de creștere ale seriilor de timp.
rădăcină medie pătrată este utilizat pentru a calcula abaterea standard, care este un indicator al variației, și va fi discutată mai jos.
Pentru a determina structura populației, se folosesc medii speciale, care includ median și Modă , sau așa-numitele medii structurale. Dacă media aritmetică este calculată pe baza utilizării tuturor variantelor valorilor atributelor, atunci mediana și modul caracterizează valoarea variantei care ocupă o anumită poziție medie în seria clasată (ordonată). Ordonarea unităţilor populaţiei statistice se poate efectua în ordinea crescătoare sau descrescătoare a variantelor trăsăturii studiate.
Mediană (eu) este valoarea care corespunde variantei din mijlocul seriei clasate. Astfel, mediana este acea variantă a seriei clasate, pe ambele părți ale căreia în această serie ar trebui să existe un număr egal de unități de populație.
Pentru a găsi mediana, trebuie mai întâi să determinați numărul său de serie în seria clasată folosind formula:
unde N este volumul seriei (numărul de unități de populație).
Dacă seria este formată dintr-un număr impar de membri, atunci mediana este egală cu varianta cu numărul N Me . Dacă seria constă dintr-un număr par de membri, atunci mediana este definită ca media aritmetică a două opțiuni adiacente situate în mijloc.
Exemplu. Având în vedere o serie clasată 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Volumul seriei este N = 9, ceea ce înseamnă N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Prin urmare, Me = 6, adică . a cincea varianta. Dacă un rând este dat 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, i.e. serie cu un număr par de membri (N = 8), apoi N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Deci mediana este egală cu jumătate din suma opțiunii a patra și a cincea, adică. Eu = (9 + 11) / 2 = 10.
Într-o serie de variații discrete, mediana este determinată de frecvențele acumulate. Frecvențele variante, începând cu prima, se însumează până la depășirea numărului median. Valoarea ultimelor opțiuni însumate va fi mediana.
Exemplu. Găsiți numărul mediu de inculpați pe dosar penal folosind datele din tabelul 12.
Decizie.În acest caz, volumul seriei de variații este N = 154, prin urmare, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Însumând frecvențele primei și celei de-a doua opțiuni, obținem: 75 + 43 = 118, i.e. am depășit numărul median. Deci eu = 2.
În seria de variație a intervalului a distribuției, indicați mai întâi intervalul în care va fi localizată mediana. El este sunat median . Acesta este primul interval a cărui frecvență cumulată depășește jumătate din volumul seriei de variații de interval. Apoi valoarea numerică a mediei este determinată de formula:
Unde x Eu este limita inferioară a intervalului median; i este valoarea intervalului median; S Me-1 este frecvența cumulativă a intervalului care precede mediana; f Eu este frecvența intervalului median.
Exemplu. Găsiți vârsta medie a infractorilor condamnați pentru furt, pe baza statisticilor prezentate în Tabelul 13.
Decizie. Datele statistice sunt reprezentate de o serie de variații de interval, ceea ce înseamnă că mai întâi determinăm intervalul median. Volumul populației N = 162, prin urmare, intervalul median este intervalul 18-28, deoarece acesta este primul interval, a cărui frecvență acumulată (15 + 90 = 105) depășește jumătate din volumul (162: 2 = 81) al seriei de variații de interval. Acum valoarea numerică a mediei este determinată de formula de mai sus:
Astfel, jumătate dintre cei condamnați pentru furt au sub 25 de ani.
Moda (lună) numiți valoarea atributului, care se găsește cel mai adesea în unitățile populației. Moda este folosită pentru a identifica valoarea trăsăturii care are cea mai mare distribuție. Pentru o serie discretă, modul va fi varianta cu cea mai mare frecvență. De exemplu, pentru o serie discretă prezentată în tabelul 3 lu= 1, deoarece această valoare a opțiunilor corespunde frecvenței celei mai înalte - 75. Pentru a determina modul seriei de intervale, determinați mai întâi modal interval (interval având cea mai mare frecvență). Apoi, în acest interval, se găsește valoarea caracteristicii, care poate fi un mod.
Valoarea sa se gaseste prin formula:
Unde x Mo este limita inferioară a intervalului modal; i este valoarea intervalului modal; f Mo este frecvența intervalului modal; f Mo-1 este frecvența intervalului care precedă modalul; f Mo+1 este frecvența intervalului care urmează modalului.
Exemplu. Găsiți modul de vârstă al infractorilor condamnați pentru furt, date despre care sunt prezentate în tabelul 13.
Decizie. Cea mai mare frecvență corespunde intervalului 18-28, prin urmare, modul trebuie să fie în acest interval. Valoarea acestuia este determinată de formula de mai sus:
Astfel, cel mai mare număr de infractori condamnați pentru furt este de 24 de ani.
Valoarea medie dă o caracteristică generalizantă a totalităţii fenomenului studiat. Cu toate acestea, două populații cu aceleași valori medii pot diferi semnificativ una de cealaltă în ceea ce privește gradul de fluctuație (variație) a valorii trăsăturii studiate. De exemplu, într-o instanță au fost atribuite următoarele pedepse de închisoare: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 ani, iar în alta - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7 , 8, 8, 8 ani. În ambele cazuri, media aritmetică este de 6,7 ani. Cu toate acestea, aceste agregate diferă semnificativ unele de altele în ceea ce privește răspândirea valorilor individuale ale termenului de închisoare atribuit în raport cu valoarea medie.
Iar pentru prima instanță, unde această variație este destul de mare, durata medie a închisorii nu reflectă bine întreaga populație. Astfel, dacă valorile individuale ale atributului diferă puțin unele de altele, atunci media aritmetică va fi o caracteristică destul de indicativă a proprietăților acestei populații. În caz contrar, media aritmetică va fi o caracteristică nesigură a acestei populații și aplicarea ei în practică este ineficientă. Prin urmare, este necesar să se țină cont de variația valorilor trăsăturii studiate.
Variație- acestea sunt diferențe în valorile unei trăsături în diferite unități ale unei populații date în aceeași perioadă sau moment în timp. Termenul „variație” este de origine latină - variatio, care înseamnă diferență, schimbare, fluctuație. Ea apare ca urmare a faptului că valorile individuale ale atributului se formează sub influența combinată a diferiților factori (condiții), care sunt combinați în moduri diferite în fiecare caz individual. Pentru a măsura variația unei trăsături, se folosesc diverși indicatori absoluti și relativi.
Principalii indicatori ai variației includ următorii:
1) interval de variație;
2) abaterea liniară medie;
3) dispersie;
4) abaterea standard;
5) coeficientul de variație.
Să ne oprim pe scurt asupra fiecăruia dintre ele.
Variație de interval R este cel mai accesibil indicator absolut în ceea ce privește ușurința de calcul, care este definit ca diferența dintre cele mai mari și cele mai mici valori ale atributului pentru unitățile acestei populații:
Intervalul de variație (gama de fluctuații) este un indicator important al variabilității unei trăsături, dar face posibil să se vadă doar abateri extreme, ceea ce îi limitează domeniul de aplicare. Pentru o caracterizare mai precisă a variației unei trăsături pe baza fluctuației acesteia, se folosesc alți indicatori.
Abaterea liniară medie reprezintă media aritmetică a valorilor absolute a abaterilor valorilor individuale ale trăsăturii de la medie și este determinată de formulele:
1) pentru date negrupate
2) pentru serie de variații
Cu toate acestea, cea mai utilizată măsură a variației este dispersie . Caracterizează măsura răspândirii valorilor trăsăturii studiate în raport cu valoarea medie a acesteia. Varianta este definită ca media abaterilor la pătrat.
varianță simplă pentru date negrupate:
.
Varianta ponderata pentru seria de variații:
Cometariu.În practică, este mai bine să utilizați următoarele formule pentru a calcula varianța:
Pentru o variantă simplă
.
Pentru variația ponderată
Deviație standard este rădăcina pătrată a varianței:
Abaterea standard este o măsură a fiabilității mediei. Cu cât abaterea standard este mai mică, cu atât populația este mai omogenă și cu atât media aritmetică reflectă mai bine întreaga populație.
Măsurile de dispersie considerate mai sus (gamă de variație, varianță, abatere standard) sunt indicatori absoluti, prin care nu este întotdeauna posibil să se judece gradul de fluctuație al unei trăsături. În unele probleme, este necesar să se utilizeze indici de împrăștiere relativi, dintre care unul este coeficientul de variație.
Coeficientul de variație- exprimat ca procent din raportul dintre abaterea standard și media aritmetică:
Coeficientul de variație este utilizat nu numai pentru evaluarea comparativă a variației diferitelor trăsături sau a aceleiași trăsături în diferite populații, ci și pentru a caracteriza omogenitatea populației. Populația statistică este considerată omogenă cantitativ dacă coeficientul de variație nu depășește 33% (pentru distribuții apropiate de distribuția normală).
Exemplu. Există următoarele date privind termenele de închisoare a 50 de condamnați pronunțați pentru a executa pedeapsa aplicată de instanță într-o instituție de corecție a sistemului penitenciar: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2. , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.
1. Construiți o serie de distribuție pe termene de închisoare.
2. Găsiți media, varianța și abaterea standard.
3. Calculați coeficientul de variație și trageți o concluzie despre omogenitatea sau eterogenitatea populației studiate.
Decizie. Pentru a construi o serie de distribuție discretă, este necesar să se determine variantele și frecvențele. Opțiunea în această problemă este termenul de închisoare, iar frecvența este numărul de opțiuni individuale. După ce am calculat frecvențele, obținem următoarea serie de distribuție discretă:
Găsiți media și varianța. Deoarece datele statistice sunt reprezentate printr-o serie variațională discretă, vom folosi formulele mediei ponderate aritmetice și ale varianței pentru a le calcula. Primim:
= 
= 4,1;
= 
5,21.
Acum calculăm abaterea standard:
Găsim coeficientul de variație:
În consecință, populația statistică este eterogenă cantitativ.
medie aritmetică simplă
Valori medii
Valorile medii sunt utilizate pe scară largă în statistici.
valoarea medie- acesta este un indicator generalizator în care se regăsește expresia acțiunii condițiilor generale, modele de dezvoltare a fenomenului studiat.
Mediile statistice se calculează pe baza datelor de masă ale unei observații organizate statistic corect (continuu și eșantion). Cu toate acestea, media statistică va fi obiectivă și tipică dacă este calculată din date de masă pentru o populație omogenă calitativ (fenomene de masă). De exemplu, dacă calculăm salariul mediu în societățile pe acțiuni și întreprinderile de stat și extindem rezultatul la întreaga populație, atunci media este fictivă, deoarece este calculată pe o populație eterogenă și o astfel de medie pierde toate sens.
Cu ajutorul mediei, există, parcă, o netezire a diferențelor de amploare a caracteristicii care apar dintr-un motiv sau altul în unitățile individuale de observație.
De exemplu, producția medie a unui vânzător individual depinde de mulți factori: calificări, vechime în serviciu, vârstă, formă de serviciu, sănătate și așa mai departe. Producția medie reflectă caracteristicile generale ale întregii populații.
Valoarea medie este măsurată în aceleași unități ca și caracteristica în sine.
Fiecare valoare medie caracterizează populația studiată în funcție de orice atribut. Pentru a obține o imagine completă și cuprinzătoare a populației studiate în ceea ce privește o serie de caracteristici esențiale, este necesar să existe un sistem de valori medii care să poată descrie fenomenul din diferite unghiuri.
Există diferite tipuri de medii:
medie aritmetică;
armonică medie;
medie geometrică;
rădăcină medie pătrată;
cubic mediu.
Mediile tuturor tipurilor enumerate mai sus, la rândul lor, sunt împărțite în simple (neponderate) și ponderate.
Luați în considerare tipurile de medii care sunt utilizate în statistici.
Media aritmetică simplă (neponderată) este egală cu suma valorilor individuale ale caracteristicii, împărțită la numărul acestor valori.
Valorile separate ale unei caracteristici sunt numite variante și sunt notate cu х i ( 
); numărul de unități de populație se notează cu n, valoarea medie a caracteristicii - cu 
. Prin urmare, media aritmetică simplă este:
sau 
Exemplul 1 tabelul 1
Date privind producția de produse A de către lucrători pe schimb
În acest exemplu, atributul variabil este lansarea produselor pe schimb.
Valorile numerice ale atributului (16, 17 etc.) se numesc variante. Să determinăm producția medie de produse de către lucrătorii acestui grup:
PCS.
O medie aritmetică simplă este utilizată în cazurile în care există valori individuale ale unei caracteristici, de ex. datele nu sunt grupate. Dacă datele sunt prezentate sub formă de serii de distribuție sau grupări, atunci media se calculează diferit.
Media ponderată aritmetică
Media ponderată aritmetică este egală cu suma produselor fiecărei valori individuale a atributului (variantei) la frecvența corespunzătoare, împărțită la suma tuturor frecvențelor.
Numărul de valori identice ale caracteristicilor din seria de distribuție se numește frecvență sau greutate și este notat cu f i .
În conformitate cu aceasta, media ponderată aritmetică arată astfel:
sau 
Din formula se poate observa că media depinde nu numai de valorile atributului, ci și de frecvențele acestora, adică. asupra componenţei populaţiei, asupra structurii acesteia.
Exemplul 2 masa 2
Date despre salariul muncitorului
Conform datelor seriei de distribuție discretă, se poate observa că aceleași valori ale atributului (opțiunilor) se repetă de mai multe ori. Deci, varianta x 1 apare în agregat de 2 ori, iar varianta x 2 - 6 ori etc.
Calculați salariul mediu pe lucrător:
Fondul de salarii pentru fiecare grup de muncitori este egal cu produsul dintre opțiuni și frecvență ( 
), iar suma acestor produse dă fondul total de salarii al tuturor lucrătorilor ( 
).
Dacă calculul ar fi efectuat folosind formula medie aritmetică simplă, câștigul mediu ar fi de 3.000 de ruble. (). Comparând rezultatul obținut cu datele inițiale, este evident că salariul mediu ar trebui să fie semnificativ mai mare (mai mult de jumătate dintre lucrători primesc salarii de peste 3.000 de ruble). Prin urmare, calculul mediei aritmetice simple în astfel de cazuri va fi eronat.
Materialul statistic ca rezultat al prelucrării poate fi prezentat nu numai sub forma unor serii de distribuție discretă, ci și sub forma unor serii de variații de interval cu intervale închise sau deschise.
Luați în considerare calculul mediei aritmetice pentru astfel de serii.
Media este:
RăuRău- caracteristica numerică a unui set de numere sau funcţii; - un număr cuprins între cea mai mică și cea mai mare dintre valorile lor.
|
Informatii de baza
Punctul de plecare pentru formarea teoriei mediilor a fost studiul proporțiilor de către școala lui Pitagora. În același timp, nu s-a făcut o distincție strictă între conceptele de medie și proporție. Un impuls semnificativ dezvoltării teoriei proporțiilor din punct de vedere aritmetic l-au dat matematicienii greci - Nicomachus din Geras (sfârșitul secolului I - începutul secolului II d.Hr.) și Pappus al Alexandriei (secolul III d.Hr.). Prima etapă în dezvoltarea conceptului de medie este etapa în care media a început să fie considerată membrul central al unei proporții continue. Dar conceptul de medie ca valoare centrală a progresiei nu face posibilă derivarea conceptului de medie în raport cu o succesiune de n termeni, indiferent de ordinea în care se succed. În acest scop este necesar să se recurgă la o generalizare formală a mediilor. Următoarea etapă este trecerea de la proporții continue la progresii - aritmetice, geometrice și armonice.
În istoria statisticii, pentru prima dată, utilizarea pe scară largă a mediilor este asociată cu numele omului de știință englez W. Petty. W. Petty a fost unul dintre primii care a încercat să dea valorii medii un sens statistic, legând-o de categoriile economice. Dar Petty nu a produs o descriere a conceptului de valoare medie, a alocării acesteia. A. Quetelet este considerat a fi fondatorul teoriei valorilor medii. El a fost unul dintre primii care au dezvoltat constant teoria mediilor, încercând să aducă o bază matematică pentru aceasta. A. Quetelet a evidențiat două tipuri de medii - medii reale și medii aritmetice. În mod corespunzător mediile reprezintă un lucru, un număr, existent cu adevărat. De fapt mediile sau mediile statistice ar trebui să fie derivate din fenomene de aceeași calitate, identice ca semnificație internă. Mediile aritmetice sunt numere care dau cea mai apropiată idee posibilă a multor numere, diferite, deși omogene.
Fiecare tip de medie poate fi fie o medie simplă, fie o medie ponderată. Corectitudinea alegerii formei medii rezultă din natura materială a obiectului de studiu. Formulele medii simple sunt utilizate dacă valorile individuale ale caracteristicii medii nu se repetă. Când în studiile practice valorile individuale ale trăsăturii studiate apar de mai multe ori în unitățile populației studiate, atunci frecvența de repetare a valorilor individuale ale trăsăturii este prezentă în formulele de calcul ale mediilor de putere. În acest caz, ele sunt numite formule medii ponderate.
Fundația Wikimedia. 2010.
Valoarea medie este un indicator generalizator care caracterizează nivelul tipic al fenomenului. Exprimă valoarea atributului, raportată la unitatea populației.
Valoarea medie este:
1) valoarea cea mai tipică a atributului pentru populație;
2) volumul semnului populaţiei, distribuit în mod egal între unităţile populaţiei.
Caracteristica pentru care se calculează valoarea medie se numește „medie” în statistici.
Media generalizează întotdeauna variația cantitativă a trăsăturii, adică. în valori medii se anulează diferențele individuale în unitățile populației datorate unor circumstanțe aleatorii. Spre deosebire de medie, valoarea absolută care caracterizează nivelul unei caracteristici a unei unități individuale a populației nu permite compararea valorilor caracteristicii pentru unitățile aparținând diferitelor populații. Deci, dacă trebuie să comparați nivelurile de remunerare a lucrătorilor la două întreprinderi, atunci nu puteți compara doi angajați ai unor întreprinderi diferite pe această bază. Este posibil ca salariile lucrătorilor selectați pentru comparație să nu fie tipice pentru aceste întreprinderi. Dacă comparăm mărimea fondurilor de salarii la întreprinderile luate în considerare, atunci numărul de angajați nu este luat în considerare și, prin urmare, este imposibil de stabilit unde nivelul salariilor este mai mare. În cele din urmă, doar mediile pot fi comparate, adică. Cât câștigă în medie un muncitor în fiecare companie? Astfel, este necesar să se calculeze valoarea medie ca caracteristică generalizantă a populației.
Este important de menționat că în procesul de mediere, valoarea agregată a nivelurilor de atribut sau valoarea finală a acesteia (în cazul calculării nivelurilor medii într-o serie temporală) trebuie să rămână neschimbată. Cu alte cuvinte, la calcularea valorii medii, volumul trăsăturii studiate nu trebuie distorsionat, iar expresiile făcute la calcularea mediei trebuie neapărat să aibă sens.
Calcularea mediei este o tehnică comună de generalizare; indicatorul mediu neagă generalul care este tipic (tipic) pentru toate unitățile populației studiate, în același timp ignoră diferențele dintre unitățile individuale. În fiecare fenomen și în dezvoltarea lui există o combinație de întâmplare și necesitate. La calcularea mediilor, datorită funcționării legii numerelor mari, aleatorietatea se anulează reciproc, se echilibrează, astfel încât să puteți face abstracție de la trăsăturile nesemnificative ale fenomenului, de la valorile cantitative ale atributului în fiecare caz specific. În capacitatea de a face abstracție de la aleatorietatea valorilor individuale, a fluctuațiilor, se află valoarea științifică a mediilor ca caracteristici generalizatoare ale agregatelor.
Pentru ca media să fie cu adevărat tipică, aceasta trebuie calculată ținând cont de anumite principii.
Să ne oprim asupra unor principii generale de aplicare a mediilor.
1. Media trebuie determinată pentru populațiile formate din unități omogene calitativ.
2. Media ar trebui calculată pentru o populație formată dintr-un număr suficient de mare de unități.
3. Ar trebui calculată media pentru populația ale cărei unități se află într-o stare normală, naturală.
4. Media trebuie calculată ținând cont de conținutul economic al indicatorului studiat.
5.2. Tipuri de medii și metode de calculare a acestora
Să luăm acum în considerare tipurile de medii, caracteristicile calculului lor și domeniile de aplicare. Valorile medii sunt împărțite în două clase mari: medii de putere, medii structurale.
Mediile legii puterii includ cele mai cunoscute și frecvent utilizate tipuri, cum ar fi media geometrică, media aritmetică și pătratul mediu.
Modul și mediana sunt considerate ca medii structurale.
Să ne oprim asupra mediilor de putere. Mediile de putere, în funcție de prezentarea datelor inițiale, pot fi simple și ponderate. medie simplă se calculează din date negrupate și are următoarea formă generală:
,
unde X i este varianta (valoarea) caracteristicii mediate;
n este numărul de opțiuni.
Medie ponderată se calculează prin date grupate și are o formă generală
,
unde X i este varianta (valoarea) caracteristicii medii sau valoarea medie a intervalului în care este măsurată varianta;
m este exponentul mediei;
f i - frecvența care arată de câte ori apare valoarea i-e a caracteristicii medii.
Dacă calculăm toate tipurile de medii pentru aceleași date inițiale, atunci valorile lor nu vor fi aceleași. Aici se aplică regula majorității mediilor: cu o creștere a exponentului m, crește și valoarea medie corespunzătoare:
În practica statistică, mai des decât alte tipuri de medii ponderate, se folosesc medii ponderate aritmetice și armonice.
Tipuri de mijloace de putere
|
Tip de putere |
Indicator |
Formula de calcul |
|
|
Simplu |
ponderat |
||
|
armonic |
|||
|
Geometric |
|
|
|
|
Aritmetic |
|||
|
pătratică |
|||
|
cub |
|||
Media armonică are o structură mai complexă decât media aritmetică. Media armonică este utilizată pentru calcule atunci când ponderile nu sunt unitățile populației - purtătorii trăsăturii, ci produsele acestor unități și valorile trăsăturii (adică m = Xf). Timpul mediu de oprire armonică ar trebui utilizat în cazurile de determinare, de exemplu, a costurilor medii ale forței de muncă, timpului, materialelor pe unitate de producție, pe parte pentru două (trei, patru, etc.) întreprinderi, lucrători angajați în fabricarea același tip de produs, aceeași piesă, produs.
Principala cerință pentru formula de calcul a valorii medii este ca toate etapele calculului să aibă o justificare reală semnificativă; valoarea medie rezultată ar trebui să înlocuiască valorile individuale ale atributului pentru fiecare obiect fără a întrerupe legătura dintre indicatorii individuali și sumar. Cu alte cuvinte, valoarea medie ar trebui calculată în așa fel încât, atunci când fiecare valoare individuală a indicatorului mediu este înlocuită cu valoarea sa medie, un indicator rezumativ final conectat într-un fel sau altul cu indicatorul mediu să rămână neschimbat. Acest rezultat se numește determinareaîntrucât natura relației sale cu valorile individuale determină formula specifică pentru calcularea valorii medii. Să arătăm această regulă pe exemplul mediei geometrice.
Formula medie geometrică
cel mai adesea folosit la calcularea valorii medii a valorilor relative individuale ale dinamicii.
Media geometrică este utilizată dacă este dată o succesiune de valori relative în lanț ale dinamicii, indicând, de exemplu, o creștere a producției față de nivelul anului precedent: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Evident, volumul producției din ultimul an este determinat de nivelul său inițial (q 0) și de creșterea ulterioară de-a lungul anilor:
q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .
Luând q n ca indicator definitoriu și înlocuind valorile individuale ale indicatorilor de dinamică cu cele medii, ajungem la relația
De aici
Un tip special de valori medii - medii structurale - este utilizat pentru a studia structura internă a seriei de distribuție a valorilor atributelor, precum și pentru a estima valoarea medie (tipul de putere), dacă, conform datelor statistice disponibile, calculul acestuia nu poate fi efectuat (de exemplu, dacă nu existau date în exemplul luat în considerare).și asupra volumului producției și asupra mărimii costurilor pe grupuri de întreprinderi).
Indicatorii sunt folosiți cel mai adesea ca medii structurale. Modă - valoarea caracteristică cel mai frecvent repetată - și mediana - valoarea unei caracteristici care împarte succesiunea ordonată a valorilor sale în două părți egale ca număr. Ca urmare, într-o jumătate din unitățile populației, valoarea atributului nu depășește nivelul median, iar în cealaltă jumătate nu este mai mică decât acesta.
Dacă caracteristica studiată are valori discrete, atunci nu există dificultăți deosebite în calcularea modului și a mediei. Dacă datele despre valorile atributului X sunt prezentate sub formă de intervale ordonate ale modificării acestuia (serie de intervale), calculul modului și al mediei devine oarecum mai complicat. Deoarece valoarea mediană împarte întreaga populație în două părți egale ca număr, ea ajunge într-unul dintre intervalele caracteristicii X. Utilizând interpolare, valoarea mediană se găsește în acest interval median:
,
unde X Me este limita inferioară a intervalului median;
h Eu este valoarea lui;
(Suma m) / 2 - jumătate din numărul total de observații sau jumătate din volumul indicatorului care este utilizat ca ponderare în formulele de calcul a valorii medii (în termeni absoluti sau relativi);
S Me-1 este suma observațiilor (sau volumul caracteristicii de ponderare) acumulate înainte de începerea intervalului median;
m Me este numărul de observații sau volumul caracteristicii de ponderare în intervalul median (și în termeni absoluti sau relativi).
Când se calculează valoarea modală a unei caracteristici în funcție de datele seriei de intervale, este necesar să se acorde atenție faptului că intervalele sunt aceleași, deoarece indicatorul frecvenței valorilor caracteristicii X depinde de acest lucru. o serie de intervale cu intervale egale, valoarea modului este determinată ca
,
unde X Mo este valoarea inferioară a intervalului modal;
m Mo este numărul de observații sau volumul caracteristicii de ponderare în intervalul modal (în termeni absoluti sau relativi);
m Mo-1 - la fel pentru intervalul premergător modalului;
m Mo+1 - la fel pentru intervalul care urmează modalului;
h este valoarea intervalului de modificare a trăsăturii în grupuri.
SARCINA 1
Următoarele date sunt disponibile pentru grupul de întreprinderi industriale pentru anul de raportare
|
№ întreprinderilor |
Volumul producției, milioane de ruble |
Număr mediu de angajați, pers. |
Profit, mii de ruble |
|
|
197,7 |
10,0 |
13,5 |
||
|
22,8 |
1500 |
136,2 |
||
|
465,5 |
18,4 |
1412 |
97,6 |
|
|
296,2 |
12,6 |
1200 |
44,4 |
|
|
584,1 |
22,0 |
1485 |
146,0 |
|
|
480,0 |
119,0 |
1420 |
110,4 |
|
|
57805 |
21,6 |
1390 |
138,7 |
|
|
204,7 |
30,6 |
|||
|
466,8 |
19,4 |
1375 |
111,8 |
|
|
292,2 |
113,6 |
1200 |
49,6 |
|
|
423,1 |
17,6 |
1365 |
105,8 |
|
|
192,6 |
30,7 |
|||
|
360,5 |
14,0 |
1290 |
64,8 |
|
|
280,3 |
10,2 |
33,3 |
Este necesar să se efectueze o grupare de întreprinderi pentru schimbul de produse, luând următoarele intervale:
de la 400 la 600 de milioane de ruble
Pentru fiecare grup și pentru toate împreună, determinați numărul de întreprinderi, volumul producției, numărul mediu de angajați, producția medie per angajat. Rezultatele grupării trebuie prezentate sub forma unui tabel statistic. Formulați o concluzie.
DECIZIE
Să facem o grupare de întreprinderi pentru schimbul de produse, calculul numărului de întreprinderi, volumul producției, numărul mediu de angajați conform formulei unei medii simple. Rezultatele grupării și calculelor sunt rezumate într-un tabel.
Grupări după volumul de producție
№
întreprinderilor
Volumul producției, milioane de ruble
Costul mediu anual al mijloacelor fixe, milioane de ruble
somn mediu
număr suculent de angajați, pers.
Profit, mii de ruble
Producția medie per muncitor
1 grup
până la 200 de milioane de ruble
1,8,12
197,7
204,7
192,6
10,0
9,4
8,8
900
817
13,5
30,6
30,7
28,2
2567
74,8
0,23
Nivel mijlociu
198,3
24,9
2 grupa
de la 200 la 400 de milioane de ruble
4,10,13,14
196,2
292,2
360,5
280,3
12,6
113,6
14,0
10,2
1200
1200
1290
44,4
49,6
64,8
33,3
1129,2
150,4
4590
192,1
0,25
Nivel mijlociu
282,3
37,6
1530
64,0
3 grupa
de la 400 la
600 de milioane
2,3,5,6,7,9,11
592
465,5
584,1
480,0
578,5
466,8
423,1
22,8
18,4
22,0
119,0
21,6
19,4
17,6
1500
1412
1485
1420
1390
1375
1365
136,2
97,6
146,0
110,4
138,7
111,8
105,8
3590
240,8
9974
846,5
0,36
Nivel mijlociu
512,9
34,4
1421
120,9
Total în total
5314,2
419,4
17131
1113,4
0,31
Media agregată
379,6
59,9
1223,6
79,5
Concluzie. Astfel, în totalul luat în considerare, cel mai mare număr de întreprinderi din punct de vedere al producției a intrat în grupa a treia - șapte sau jumătate dintre întreprinderi. În această grupă se află și valoarea valorii medii anuale a mijloacelor fixe, precum și valoarea mare a numărului mediu de angajați - 9974 persoane, întreprinderile din primul grup sunt cele mai puțin profitabile.
SARCINA 2
Avem următoarele date despre întreprinderile companiei
Numărul întreprinderii aparținând companiei
eu sfert
trimestrul II
Ieșire, mii de ruble
Lucrat prin zile-muncă
Producția medie per muncitor pe zi, frecare.
59390,13
până la 200 de milioane de ruble
de la 200 la 400 de milioane de ruble
Cel mai mult în eq. În practică, trebuie să folosim media aritmetică, care poate fi calculată ca medie aritmetică simplă și ponderată.
Media aritmetică (CA)-n cel mai comun tip de mediu. Este utilizat în cazurile în care volumul unui atribut variabil pentru întreaga populație este suma valorilor atributelor unităților sale individuale. Fenomenele sociale sunt caracterizate prin aditivitatea (sumarea) volumelor atributului variabil, aceasta determină domeniul de aplicare al SA și explică prevalența acestuia ca indicator generalizant, de exemplu: fondul general de salarii este suma salariului tuturor angajaţilor.
Pentru a calcula SA, trebuie să împărțiți suma tuturor valorilor caracteristicilor la numărul lor. SA este folosit sub 2 forme.
Luați în considerare mai întâi media aritmetică simplă.
1-CA simplu (forma inițială, definitorie) este egală cu suma simplă a valorilor individuale ale caracteristicii medii, împărțită la numărul total al acestor valori (utilizat atunci când există valori de index negrupate ale caracteristicii):
Calculele efectuate pot fi rezumate în următoarea formulă:
(1)
Unde 
- valoarea medie a atributului variabil, adică media aritmetică simplă;
înseamnă însumare, adică adăugarea de caracteristici individuale;
X- valorile individuale ale unui atribut variabil, care se numesc variante;
n - numărul de unităţi de populaţie
Exemplul 1, se cere să se afle producția medie a unui muncitor (lăcătuș), dacă se știe câte piese a produs fiecare dintre cei 15 muncitori, adică. dat un număr de ind. valori trasaturi, buc.: 21; 20; 20; nouăsprezece; 21; nouăsprezece; optsprezece; 22; nouăsprezece; 20; 21; 20; optsprezece; nouăsprezece; 20.
SA simplă se calculează prin formula (1), buc.:
Exemplul2. Să calculăm SA pe baza datelor condiționate pentru 20 de magazine care fac parte dintr-o societate comercială (Tabelul 1). tabelul 1
Repartizarea magazinelor firmei comerciale „Vesna” pe suprafata comerciala, mp. M
|
numărul magazinului |
numărul magazinului | ||
Pentru a calcula suprafața medie a magazinului ( 
) este necesar să se adună suprafețele tuturor magazinelor și să se împartă rezultatul la numărul de magazine:
Astfel, suprafața medie a magazinului pentru acest grup de întreprinderi comerciale este de 71 mp.
Prin urmare, pentru a determina SA este simplu, este necesar să se împartă suma tuturor valorilor unui anumit atribut la numărul de unități care au acest atribut.
2
Unde f 1
,
f 2
,
… ,f n
–
greutatea (frecvența de repetare a acelorași caracteristici); este suma produselor mărimii caracteristicilor și frecvențele acestora; este numărul total de unități de populație.
(2)
Unde X- Opțiuni;
f- frecvența (greutatea).
SA ponderat este coeficientul de împărțire a sumei produselor variantelor și a frecvențelor corespunzătoare acestora la suma tuturor frecvențelor. Frecvențe ( f) care apar în formula SA se numesc de obicei cântare, în urma căruia SA calculată ținând cont de ponderi se numește SA ponderată.
Vom ilustra tehnica de calcul a SA ponderat folosind exemplul 1 considerat mai sus. Pentru a face acest lucru, grupăm datele inițiale și le plasăm în Tabel.
Media datelor grupate se determină astfel: mai întâi, opțiunile sunt înmulțite cu frecvențele, apoi produsele sunt adăugate și suma rezultată este împărțită la suma frecvențelor.
Conform formulei (2), SA ponderat este, buc.: 
P
Distributia magazinelor Vesna pe spatii comerciale, mp. m
Astfel, rezultatul este același. Cu toate acestea, aceasta va fi deja media ponderată aritmetică.
În exemplul anterior, am calculat media aritmetică, cu condiția ca frecvențele absolute (numărul de magazine) să fie cunoscute. Cu toate acestea, în unele cazuri nu există frecvențe absolute, dar frecvențele relative sunt cunoscute sau, așa cum sunt numite în mod obișnuit, frecvenţe care arată proporţia sau proporţia frecvenţelor în întreaga populaţie.
La calcularea utilizării ponderate SA frecvente vă permite să simplificați calculele atunci când frecvența este exprimată în numere mari, cu mai multe cifre. Calculul se face în același mod, însă, deoarece valoarea medie este crescută de 100 de ori, rezultatul trebuie împărțit la 100.
Apoi formula pentru media ponderată aritmetică va arăta astfel:
Unde d- frecvență, adică ponderea fiecărei frecvențe în suma totală a tuturor frecvențelor.
(3)În exemplul nostru 2, determinăm mai întâi ponderea magazinelor pe grupuri în numărul total de magazine ale companiei „Primăvara”. Deci, pentru primul grup, greutatea specifică corespunde la 10% 
. Obținem următoarele date Tabelul 3
Semnele unităților de agregate statistice sunt diferite în sensul lor, de exemplu, salariile lucrătorilor dintr-o profesie a unei întreprinderi nu sunt aceleași pentru aceeași perioadă de timp, prețurile de piață pentru aceleași produse sunt diferite, randamentul culturilor în ferme a regiunii etc. Prin urmare, pentru a determina valoarea unei caracteristici caracteristice întregii populații de unități studiate, se calculează valori medii.
valoarea medie –
este o caracteristică generalizantă a setului de valori individuale ale unei trăsături cantitative.
Populația studiată printr-un atribut cantitativ este formată din valori individuale; sunt influențate atât de cauze generale, cât și de condiții individuale. În valoarea medie, abaterile caracteristice valorilor individuale sunt anulate. Media, fiind o funcție a unui set de valori individuale, reprezintă întregul set cu o singură valoare și reflectă lucrul comun care este inerent tuturor unităților sale.
Se numește media calculată pentru populațiile formate din unități omogene calitativ medie tipică. De exemplu, puteți calcula salariul mediu lunar al unui angajat dintr-unul sau alt grup profesional (miner, medic, bibliotecar). Desigur, nivelurile salariilor lunare ale minerilor, datorită diferenței de calificare, vechimea în muncă, orele lucrate pe lună și mulți alți factori, diferă între ele și de nivelul salariilor medii. Cu toate acestea, nivelul mediu reflectă principalii factori care afectează nivelul salariilor și compensează reciproc diferențele care apar din cauza caracteristicilor individuale ale angajatului. Salariul mediu reflectă nivelul tipic al salariilor pentru acest tip de muncitor. Obținerea unei medii tipice ar trebui să fie precedată de o analiză a modului în care această populație este omogenă calitativ. Dacă populația este formată din părți separate, aceasta ar trebui împărțită în grupuri tipice (temperatura medie în spital).
Se numesc valori medii utilizate ca caracteristici pentru populațiile eterogene mediile sistemului. De exemplu, valoarea medie a produsului intern brut (PIB) pe cap de locuitor, consumul mediu al diferitelor grupe de bunuri pe persoană și alte valori similare, reprezentând caracteristicile generale ale statului ca sistem economic unic.
Media ar trebui calculată pentru populațiile formate dintr-un număr suficient de mare de unități. Respectarea acestei condiții este necesară pentru ca legea numerelor mari să intre în vigoare, drept urmare abaterile aleatorii ale valorilor individuale de la tendința generală se anulează reciproc.
Tipuri de medii și metode de calculare a acestora
Alegerea tipului de medie este determinată de conținutul economic al unui anumit indicator și de datele inițiale. Cu toate acestea, orice valoare medie ar trebui calculată astfel încât, atunci când înlocuiește fiecare variantă a caracteristicii medii, finala, generalizantă sau, așa cum se numește în mod obișnuit, indicator definitoriu, care este raportat la medie. De exemplu, atunci când se înlocuiesc vitezele reale pe secțiuni separate ale traseului, viteza medie a acestora nu ar trebui să modifice distanța totală parcursă de vehicul în același timp; atunci când se înlocuiesc salariile efective ale angajaților individuali ai întreprinderii cu salariul mediu, fondul de salarii nu ar trebui să se modifice. În consecință, în fiecare caz concret, în funcție de natura datelor disponibile, există o singură valoare medie adevărată a indicatorului care este adecvată proprietăților și esenței fenomenului socio-economic studiat.
Cele mai frecvent utilizate sunt media aritmetică, media armonică, media geometrică, pătratul mediu și cubic mediu.
Mediile enumerate aparțin clasei putere medie și sunt combinate prin formula generală:
,
unde este valoarea medie a trăsăturii studiate;
m este exponentul mediei;
– valoarea curentă (varianta) a caracteristicii mediate;
n este numărul de caracteristici.
În funcție de valoarea exponentului m, se disting următoarele tipuri de medii de putere:
la m = -1 – armonică medie ;
la m = 0 – medie geometrică ;
la m = 1 – medie aritmetică;
la m = 2 – pătrat mediu ;
la m = 3 - cubic mediu.
Când se utilizează aceleași date inițiale, cu cât exponentul m este mai mare în formula de mai sus, cu atât valoarea mediei este mai mare:
.
Această proprietate a legii puterii înseamnă a crește cu o creștere a exponentului funcției definitorii regula majorării mijloacelor.
Fiecare dintre mediile marcate poate lua două forme: simpluși ponderat.
Forma simplă a mijlocului se aplică atunci când media este calculată pe date primare (negrupate). formă ponderată– la calcularea mediei pentru datele secundare (grupate).
Media aritmetică
Media aritmetică este utilizată atunci când volumul populației este suma tuturor valorilor individuale ale atributului variabil. De remarcat că, dacă nu este indicat tipul de medie, se presupune media aritmetică. Formula sa logica este: 
medie aritmetică simplă calculat prin date negrupate
dupa formula: 
sau ,
unde sunt valorile individuale ale caracteristicii;
j este numărul de serie al unității de observație, care se caracterizează prin valoarea ;
N este numărul de unități de observare (dimensiunea setată).
Exemplu.În cadrul prelegerii „Rezumatul și gruparea datelor statistice”, au fost luate în considerare rezultatele observării experienței de muncă a unei echipe de 10 persoane. Calculați experiența medie de muncă a lucrătorilor brigăzii. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.
După formula mediei aritmetice simple, se mai calculează medii cronologice, dacă intervalele de timp pentru care sunt prezentate valorile caracteristice sunt egale.
Exemplu. Volumul produselor vândute pentru primul trimestru a fost de 47 den. unități, pentru al doilea 54, pentru al treilea 65 și pentru al patrulea 58 den. unitati Cifra de afaceri trimestrială medie este (47+54+65+58)/4 = 56 den. unitati
Dacă indicatorii de moment sunt dați în seria cronologică, atunci când se calculează media, aceștia sunt înlocuiți cu jumătăți de sume de valori la începutul și la sfârșitul perioadei.
Dacă există mai mult de două momente și intervalele dintre ele sunt egale, atunci media se calculează folosind formula pentru media cronologică.
,
unde n este numărul de puncte de timp
Când datele sunt grupate după valorile atributelor
(adică se construiește o serie de distribuție variațională discretă) cu medie aritmetică ponderată este calculat folosind fie frecvențe, fie frecvențe de observare a unor valori specifice ale caracteristicii, al căror număr (k) este semnificativ mai mic decât numărul de observații (N).
,
,
unde k este numărul de grupuri ale seriei de variații,
i este numărul grupului seriei de variații.
Deoarece , și , obținem formulele utilizate pentru calculele practice:
și
Exemplu. Să calculăm vechimea medie în muncă a echipelor de lucru pentru seriile grupate.
a) folosind frecvențe:
b) folosind frecvențe:
Când datele sunt grupate pe intervale
, adică sunt prezentate sub forma unor serii de distribuție de intervale; la calcularea mediei aritmetice, mijlocul intervalului este luat ca valoare a caracteristicii, pe baza ipotezei unei distribuții uniforme a unităților populației în acest interval. Calculul se face după formulele:
și
unde este mijlocul intervalului: ,
unde și sunt limitele inferioare și superioare ale intervalelor (cu condiția ca limita superioară a acestui interval să coincidă cu limita inferioară a intervalului următor).
Exemplu. Să calculăm media aritmetică a seriei de variații de interval construită din rezultatele unui studiu al salariilor anuale a 30 de muncitori (vezi prelegerea „Rezumatul și gruparea datelor statistice”).
Tabelul 1 - Seria de variație a intervalului de distribuție.
Intervale, UAH |
Frecvență, pers. |
frecvență, |
Mijlocul intervalului |
||
600-700 |
3 |
0,10 |
(600+700):2=650 |
1950 |
65 |
UAH sau 
UAH
Este posibil ca mediile aritmetice calculate pe baza datelor inițiale și a seriei de variații de intervale să nu coincidă din cauza distribuției inegale a valorilor atributelor în intervale. În acest caz, pentru un calcul mai precis al mediei ponderate aritmetice, ar trebui să se folosească nu mijlocul intervalelor, ci mediile simple aritmetice calculate pentru fiecare grup ( medii de grup). Se numește media calculată din mediile de grup folosind o formulă de calcul ponderată media generală.
Media aritmetică are o serie de proprietăți.
1. Suma abaterilor variantei de la medie este zero:
.
2. Dacă toate valorile opțiunii cresc sau scad cu valoarea A, atunci valoarea medie crește sau scade cu aceeași valoare A: 
3. Dacă fiecare opțiune este mărită sau scăzută de B ori, atunci și valoarea medie va crește sau scade de același număr de ori:
sau 
4. Suma produselor variantei după frecvențe este egală cu produsul valorii medii cu suma frecvențelor: 
5. Dacă toate frecvențele sunt împărțite sau înmulțite cu orice număr, atunci media aritmetică nu se va modifica: 
6) dacă în toate intervalele frecvențele sunt egale între ele, atunci media ponderată aritmetică este egală cu media aritmetică simplă: 
,
unde k este numărul de grupuri din seria de variații.
Utilizarea proprietăților mediei vă permite să simplificați calculul acesteia.
Să presupunem că toate opțiunile (x) sunt mai întâi reduse cu același număr A și apoi reduse cu un factor de B. Cea mai mare simplificare se realizează atunci când valoarea mijlocului intervalului cu cea mai mare frecvență este aleasă ca A, iar valoarea intervalului ca B (pentru rânduri cu intervale egale). Mărimea A se numește origine, deci această metodă de calculare a mediei se numește cale b referință ohm de la zero condiționat sau modul momentelor.
După o astfel de transformare, obținem o nouă serie de distribuție variațională, ale cărei variante sunt egale cu . Media lor aritmetică, numită momentul de prim ordin, este exprimată prin formula și conform celei de-a doua și a treia proprietăți, media aritmetică este egală cu media versiunii originale, redusă mai întâi cu A și apoi cu B ori, adică .
A primi medie reală(mijlocul rândului original) trebuie să înmulțiți momentul primului ordin cu B și să adăugați A: 
Calculul mediei aritmetice prin metoda momentelor este ilustrat de datele din tabel. 2.
Tabelul 2 - Distribuția angajaților magazinului întreprinderii în funcție de vechimea în muncă
Experienta in munca, ani |
Cantitatea de muncitori |
Punct de mijloc al intervalului |
|||
0 – 5 |
12 |
2,5 |
15 |
3 |
36 |
Găsirea momentului primei comenzi 
. Apoi, știind că A = 17,5 și B = 5, calculăm experiența medie de muncă a lucrătorilor din magazin:
ani
Armonică medie
După cum se arată mai sus, media aritmetică este utilizată pentru a calcula valoarea medie a unei caracteristici în cazurile în care variantele sale x și frecvențele lor f sunt cunoscute.
Dacă informația statistică nu conține frecvențele f pentru opțiunile individuale x ale populației, ci sunt prezentate ca produsul lor, se aplică formula armonică medie ponderată. Pentru a calcula media, notează , de unde . Înlocuind aceste expresii în formula medie aritmetică ponderată, obținem formula medie armonică ponderată: 
,
unde este volumul (greutatea) valorilor atributului indicatorului în intervalul cu numărul i (i=1,2, …, k).
Astfel, media armonică este utilizată în cazurile în care nu opțiunile în sine sunt supuse însumării, ci reciprocele lor: 
.
În cazurile în care ponderea fiecărei opțiuni este egală cu unu, i.e. valorile individuale ale caracteristicii inverse apar o dată, se aplică medie armonică simplă:
,
unde sunt variante individuale ale trăsăturii inverse care apar o dată;
N este numărul de opțiuni.
Dacă există medii armonice pentru două părți ale populației cu un număr de și, atunci media totală pentru întreaga populație se calculează prin formula: 
și a sunat media armonică ponderată a mijloacelor de grup.
Exemplu. Trei tranzacții au fost făcute în prima oră de tranzacționare la bursa valutară. Datele privind valoarea vânzărilor de grivne și cursul de schimb al grivnei față de dolarul american sunt prezentate în tabel. 3 (coloanele 2 și 3). Determinați cursul mediu de schimb al hrivnei față de dolarul american pentru prima oră de tranzacționare.
Tabelul 3 - Date despre cursul tranzacționării la schimbul valutar
Cursul mediu de schimb al dolarului este determinat de raportul dintre cantitatea de grivne vândute în cursul tuturor tranzacțiilor și suma de dolari dobândită ca urmare a acelorași tranzacții. Suma totală a vânzării de grivne este cunoscută din coloana 2 a tabelului, iar suma de dolari achiziționați în fiecare tranzacție este determinată prin împărțirea sumei vânzării de grivne la cursul său de schimb (coloana 4). Un total de 22 de milioane de dolari a fost achiziționat în timpul a trei tranzacții. Aceasta înseamnă că cursul de schimb mediu al hrivnei pentru un dolar a fost 
.
Valoarea rezultată este reală, deoarece înlocuirea sa a cursurilor de schimb reale ale hrivnei în tranzacții nu va modifica valoarea totală a vânzărilor hrivnei, care acționează ca indicator definitoriu: mln. UAH
Dacă media aritmetică a fost folosită pentru calcul, i.e. 
grivne, apoi la cursul de schimb pentru achiziționarea de 22 de milioane de dolari. Ar trebui cheltuiți 110,66 milioane UAH, ceea ce nu este adevărat.
Medie geometrică
Media geometrică este utilizată pentru a analiza dinamica fenomenelor și vă permite să determinați rata medie de creștere. La calcularea mediei geometrice, valorile individuale ale trăsăturii sunt indicatori relativi ai dinamicii, construite sub formă de valori în lanț, ca raport al fiecărui nivel față de cel anterior.
Media geometrică simplă se calculează prin formula: 
,
unde este semnul produsului,
N este numărul de valori medii.
Exemplu. Numărul infracțiunilor înregistrate pe 4 ani a crescut de 1,57 ori, inclusiv pentru a 1-a - de 1,08 ori, pentru a 2-a - de 1,1 ori, pentru a 3-a - de 1,18 și pentru a 4-a - de 1,12 ori. Atunci ritmul mediu anual de creștere a numărului de infracțiuni este: , i.e. Numărul infracțiunilor înregistrate a crescut în medie cu 12% anual.
1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
Pentru a calcula pătratul mediu ponderat, determinăm și introducem în tabel și. Atunci valoarea medie a abaterilor lungimii produselor de la o anumită normă este egală cu: 
Media aritmetică în acest caz ar fi nepotrivită, deoarece ca urmare, am obține o abatere zero.
Utilizarea rădăcinii pătrate medii va fi discutată mai târziu în exponenții variației.
În procesul de studiere a matematicii, elevii se familiarizează cu conceptul de medie aritmetică. Pe viitor, în statistică și în alte științe, studenții se confruntă cu calculul altora.Ce pot fi ei și în ce se deosebesc unul de celălalt?
sens și diferență
Indicatorii nu întotdeauna exacti oferă o înțelegere a situației. Pentru a evalua cutare sau cutare situație, uneori este necesar să se analizeze un număr mare de cifre. Și apoi mediile vin în ajutor. Ele vă permit să evaluați situația în general.
Încă din timpul școlii, mulți adulți își amintesc existența mediei aritmetice. Este foarte ușor de calculat - suma unei secvențe de n termeni este divizibilă cu n. Adică, dacă trebuie să calculați media aritmetică în succesiunea valorilor 27, 22, 34 și 37, atunci trebuie să rezolvați expresia (27 + 22 + 34 + 37) / 4, deoarece 4 valori sunt utilizate în calcule. În acest caz, valoarea dorită va fi egală cu 30.
Adesea, în cadrul cursului școlar, este studiată și media geometrică. Calculul acestei valori se bazează pe extragerea rădăcinii gradului al n-lea din produsul n termeni. Dacă luăm aceleași numere: 27, 22, 34 și 37, atunci rezultatul calculelor va fi 29,4.
Media armonică într-o școală de învățământ general nu este de obicei subiect de studiu. Cu toate acestea, este folosit destul de des. Această valoare este reciproca mediei aritmetice și se calculează ca un coeficient de n - numărul de valori și suma 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n . Dacă luăm din nou același lucru pentru calcul, atunci armonica va fi 29,6.
Medie ponderată: caracteristici
Cu toate acestea, este posibil ca toate valorile de mai sus să nu fie utilizate peste tot. De exemplu, în statistică, la calcularea unora, „greutatea” fiecărui număr folosit în calcule joacă un rol important. Rezultatele sunt mai revelatoare și mai corecte pentru că țin cont de mai multe informații. Acest grup de valori este denumit în mod colectiv „media ponderată”. Nu sunt promovate la școală, așa că merită să ne oprim mai detaliat asupra lor.
În primul rând, merită să explicăm ce se înțelege prin „greutatea” unei anumite valori. Cel mai simplu mod de a explica acest lucru este cu un exemplu specific. Temperatura corporală a fiecărui pacient este măsurată de două ori pe zi în spital. Din cei 100 de pacienți din diferite secții ale spitalului, 44 vor avea o temperatură normală - 36,6 grade. Alte 30 vor avea o valoare crescută - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, iar restul de două - 40. Și dacă luăm media aritmetică, atunci această valoare în general pentru spital va fi peste 38 de grade. ! Dar aproape jumătate dintre pacienți au absolut Și aici ar fi mai corect să se folosească media ponderată, iar „greutatea” fiecărei valori va fi numărul de persoane. În acest caz, rezultatul calculului va fi de 37,25 grade. Diferența este evidentă.
În cazul calculelor medii ponderate, „greutatea” poate fi luată ca fiind numărul de expedieri, numărul de persoane care lucrează într-o anumită zi, în general, orice poate fi măsurat și poate afecta rezultatul final.
Soiuri
Media ponderată corespunde cu media aritmetică discutată la începutul articolului. Cu toate acestea, prima valoare, așa cum sa menționat deja, ia în considerare și ponderea fiecărui număr utilizat în calcule. În plus, există și valori geometrice și armonice ponderate.
Există o altă varietate interesantă folosită în serii de numere. Aceasta este o medie mobilă ponderată. Pe baza ei se calculează tendințele. Pe lângă valorile în sine și greutatea lor, acolo se utilizează și periodicitatea. Și atunci când se calculează valoarea medie la un moment dat, se iau în considerare și valorile pentru perioadele de timp anterioare.
Calcularea tuturor acestor valori nu este atât de dificilă, dar, în practică, se folosește de obicei doar media ponderată obișnuită.
Metode de calcul
În era informatizării, nu este nevoie să calculați manual media ponderată. Cu toate acestea, ar fi util să cunoașteți formula de calcul pentru a putea verifica și, dacă este cazul, corecta rezultatele obținute.
Cel mai ușor va fi să luați în considerare calculul pe un exemplu specific.
Este necesar să aflați care este salariul mediu la această întreprindere, ținând cont de numărul de lucrători care primesc un anumit salariu.
Deci, calculul mediei ponderate se efectuează folosind următoarea formulă:
x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)
De exemplu, calculul ar fi:
x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48
Evident, nu există nicio dificultate deosebită în calcularea manuală a mediei ponderate. Formula de calcul a acestei valori într-una dintre cele mai populare aplicații cu formule - Excel - arată ca funcția SUMPRODUCT (seria de numere; serie de greutăți) / SUM (seria de greutăți).
