Un unghi format din două coarde trase din același punct se numește unghi înscris.
TEOREMA Un unghi înscris este măsurat cu jumătate din arcul pe care îl interceptează.
Consecințe:
toate unghiurile înscrise bazate pe același arc sunt egale;
Un unghi înscris pe baza unui diametru este un unghi drept.
TEOREMA Un unghi al cărui vârf se află în interiorul unui cerc este măsurat cu jumătate din suma a două arce cuprinse între laturile sale
TEOREMA Un unghi al cărui vârf se află în afara cercului și ale cărui laturi intersectează cercul este măsurat prin jumătatea diferenței celor două arce cuprinse între laturile sale.
TEOREMA Un unghi format dintr-o tangentă și o coardă se măsoară cu jumătate din arcul conținut în unghi.
Sarcini cu o soluție
1. Găsiți unghiul ABC. Dați răspunsul în grade.
Decizie.
Construiți un pătrat cu latura AC.
Apoi se poate observa că unghiul ABC se bazează pe cercuri, adică pe un arc de 90º. Un unghi înscris este jumătate din arcul pe care îl interceptează, deci 
2. Coarda AB împarte cercul în două părți, ale căror valori ale gradului sunt legate ca 6:12. În ce unghi este vizibilă această coardă din punctul C, care aparține arcului mai mic al cercului? Dați răspunsul în grade.
Decizie.
De la un punct C coardă AB văzut într-un unghi ACB. Fie ca cea mai mare parte a cercului să fie 12x, apoi cea mai mică este 6x. Întregul cerc este la 360º.
Obținem ecuația 12x + 6x \u003d 360º. De unde x \u003d 20º.
Injecţie DIA se sprijină pe un arc mare de cerc, care este egal cu 12 20º=240º.
Un unghi înscris este egal cu jumătate din arcul pe care se sprijină, ceea ce înseamnă că unghiul care se sprijină pe un arc mare ACB egală
Răspuns 120º
3. Coardă AB subtinde arcul de cerc la 84º. Găsiți un unghi ABCîntre această coardă și tangenta la cercul prin punctul B. Dați răspunsul în grade.
Decizie.
Injecţie ABC este unghiul dintre tangentă și coardă. Se măsoară cu jumătate din arcul închis în interiorul colțului. Arcul din interiorul unghiului este de 84º 
4. O tangentă este trasată la un cerc cu raza 36 dintr-un punct îndepărtat de centru cu o distanță egală cu 85. Aflați lungimea tangentei.
Fie OA=36, OS=85.Raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe tangente. Din triunghiul dreptunghic AOC, după teorema lui Pitagora, obținem
5. La un cerc dintr-un punct Cu tangenta trasa in afara acesteia AC si secante CD, cerc care se intersectează într-un punct LA. Suma lungimilor tangentei și secantei este de 30 cm, iar segmentul interior al secantei este cu 2 cm mai scurt decât tangentei. Aflați lungimile tangentei și secantei.
Lasa AC=x și CD=y. Apoi x+y=30 și DB=AC-2=X-2 , BC=AC-DB=y-DB=y-(x-2)=y-x+2. Conform teoremei, dacă o tangentă și o secantă sunt trase la ea dintr-un punct din afara cercului, atunci pătratul tangentei este egal cu produsul secantei cu partea sa exterioară, adică 
. Apoi 
Primim sistemul 
. X=80 nu este potrivit pentru că la>0 Prin urmare, obținem
Tangentă AC=12, secante CD=18.
Răspunsurile 12 și 18
6. Aflați aria S a sectorului umbrit. Dați răspunsul dvs. S/π.
Să construim un pătrat pe acest desen
Atunci devine evident că sectorul este un sfert de cerc.
Raza este jumătate din diagonala unui pătrat a cărui latură este 4.
Apoi calculăm aria sectorului cu formula
Atunci valoarea dorită este egală cu
| Care este unghiul înscris în funcție de diametrul cercului? Dați răspunsul în grade. | Găsiți coarda pe care se sprijină unghiul de 90º, înscrisă într-un cerc cu raza 1. |
Ce este un unghi ascuțit înscris care interceptează o coardă egală cu raza cercului? Dați răspunsul în grade.  | Aflați coarda pe care se sprijină unghiul de 30º, înscrisă într-un cerc cu raza 3.  |
Ce este un unghi obtuz înscris subîntins de o coardă egală cu raza cercului? Dați răspunsul în grade.  | Raza cercului este 1. Aflați valoarea unghiului ascuțit înscris pe baza coardei egale cu . Dați răspunsul în grade. |
Raza cercului este 1. Aflați valoarea unui unghi obtuz înscris pe baza unei coarde egală cu . Dați răspunsul în grade.  | Aflați coarda pe care se sprijină unghiul de 120º, înscrisă într-un cerc de rază .  |
Unghiul central este cu 34º mai mare decât unghiul acut înscris pe baza aceluiași arc circular. Găsiți unghiul înscris. Dați răspunsul în grade.  |  |
Aflați unghiul ABC. Dați răspunsul în grade.  | Aflați valoarea gradului a arcului AC al cercului pe care se sprijină unghiul ABC. Dați răspunsul în grade.  |
| Aflați valoarea gradului arcului BC al cercului pe care se sprijină unghiul BAC. Dați răspunsul în grade. | Unghiul ACO este de 25º, unde O este centrul cercului. Partea sa CA atinge cercul. Aflați mărimea arcului mai mic AB al cercului conținut în acest unghi. Dați răspunsul în grade.  |
Aflați unghiul ACO dacă latura sa CA este tangentă la cerc, O este centrul cercului și arcul major AD al cercului conținut în acest unghi este de 110º. Dați răspunsul în grade.  | Aflați unghiul ACB dacă unghiurile înscrise ADB și DAE se bazează pe arce de cerc ale căror valori ale gradului sunt de 116º, respectiv 36º. Dați răspunsul în grade.  |
Unghiul ACB este de 50º. Valoarea gradului arcului AB al unui cerc care nu conține punctele D și E este egală cu 130º. Găsiți unghiul DAE. Dați răspunsul în grade.  | Coarda AB subtinde un arc de cerc la 86º. Găsiți unghiul ABC dintre această coardă și tangenta la cerc prin punctul B. Dați răspunsul în grade.  |
Unghiul dintre coarda AB și tangenta BC la cerc este de 28º. Aflați mărimea arcului mai mic scăzut de coarda AB. Dați răspunsul în grade.  | Tangentele AC și BC sunt trase prin capetele A, B ale unui arc de cerc de 72º. Găsiți unghiul ACB. Dați răspunsul în grade.  |
Tangentele CA și CB la cerc formează un unghi ACB egal cu 112º. Aflați valoarea arcului mai mic AB scăzut de punctele de contact. Dați răspunsul în grade.  | Aflați unghiul ACO dacă latura sa CA este tangentă la cerc, O este centrul cercului și arcul mai mic al cercului AB conținut în acest unghi este egal cu 62º. Dați răspunsul în grade.  |
Obiectivele lecției: formarea cunoștințelor pe tema, organizarea lucrărilor de asimilare a conceptelor, faptelor științifice.
Sarcini educaționale:
- introducerea conceptului de unghi înscris;
- învață să recunoști unghiurile înscrise în desene;
- anticipați o construcție suplimentară care conține un unghi înscris care să conducă la o soluție a problemei;
- luați în considerare teorema unghiului înscris și consecințele acesteia;
- arata aplicarea teoremei in rezolvarea problemelor;
- aflați despre iluziile optice
Sarcini educaționale: activarea activităţii cognitive independente a elevilor. formarea abilităților de lucru în echipă, dezvoltarea simțului responsabilității pentru cunoștințele proprii, cultura comunicării, familiarizarea cu cunoașterea iluziei optice și aplicarea acesteia în practică, educarea culturii estetice.
Sarcini de dezvoltare: pentru a continua dezvoltarea capacității de a analiza, compara, compara, evidenția principalul, stabilirea relațiilor cauză-efect; îmbunătățirea culturii grafice.
Tehnologie: studiu problematic folosind tehnologia informației.
Tip de lecție: o lecție de formare a noilor cunoștințe.
Forma lecției: lecție - enunț de problemă.
Echipamentul lecției: prezentare: prezentare, fișe de introspecție.
Etapele lecției
- Motivația pentru activități de învățare -1 minut.
- Prezentați problema și creați un plan pentru a o rezolva - 2 minute.
- Actualizarea cunoștințelor - 4 minute.
- Descoperirea unui nou concept - 10 minute.
- Lucrări de cercetare pentru a identifica proprietățile unui nou concept - 4 minute.
- Aplicarea noilor cunoștințe - 11 minute.
- Jocul „Crede – nu crede” pentru consolidarea noului material teoretic – 2 minute.
- Lucru individual cu testul - 5 minute.
- Aplicarea noilor cunoștințe în situații nefamiliare - 4 minute.
- Reflecție - 3 minute.
În timpul orelor
1. Motivația pentru activități de învățare
Buna baieti. Aşezaţi-vă. Sper că cunoștințele pe care le obțineți la lecție vă vor fi de folos în viață.
2. Prezentați problema și creați un plan pentru a o rezolva
Dat un pat de flori de formă rotundă, pe una dintre coardele cărora sunt plantați trandafiri. În ce locuri diferite din patul de flori ar trebui să fie plantate trei tufe de trandafiri astfel încât din aceste puncte să fie vizibile toți trandafirii din același unghi? (Diapozitivul 2). Prezentare
Ce soluții aveți pentru această problemă?
Apare o situatie problematica. Elevilor le lipsesc cunoștințele.
Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să utilizați proprietățile unghiului înscris. Atunci să facem împreună un plan de lecție. Care sunt obiectivele lecției și cum le vom atinge? În timpul discuției, pe ecran apare planul lecției. (C culca 3)
3. Actualizarea cunoștințelor
Profesor: Definiți un unghi. Ce se numește unghiul central? (C culca 4)
Sarcini (Diapozitivul 5
4. Descoperirea unui nou concept
Acum vezi șase desene. În ce grupuri le-ați împărți și de ce? (Diapozitivul 6)
Ascuțit, drept, contondent.
Colțurile 1, 3, 5 și 2, 4, 6 după locația vârfului colțului? Cum se numesc unghiurile 1, 3, 5?
Și unghiurile 2, 4, 6 se numesc înscrise. Despre asta vom vorbi astăzi.
Cum sunt similare unghiurile ABC și KRO și prin ce diferă? (Diapozitivul 7)
După ce au răspuns la această întrebare, elevii încearcă să definească unghiul înscris, după care profesorul afișează formularea, subliniind punctele importante: (C culca 8)
- vârful se află pe cerc,
- laturile intersectează cercul.
Găsiți imagini care arată unghiuri înscrise.
Exercițiu. Exprimă valoarea unghiului înscris, știind cum se exprimă valoarea unghiului central prin arcul pe care se sprijină. Lucrând cu slide 10
Ce clădire suplimentară trebuie făcută pentru a finaliza sarcina specificată? Dacă elevii nu ghicesc imediat, clarificați: ce unghi central ar trebui asociat cu acest unghi înscris?
În plus, elevii văd că unghiul central rezultat este unghiul extern al unui triunghi isoscel și ajung la concluzia că unul dintre unghiuri (în special, înscris), egal cu jumătatea sumei lor, este egal cu jumătate din cel central, adică. jumătate din arcul pe care se sprijină.
O formulare exactă a teoremei este dată și proiectată pe un ecran. (C culca 11).
Elevii transferă desenul în caiet ( slide 12), apoi notează starea în caiet. Unul dintre elevi comentează notele. Următorul elev notează și comentează demonstrația teoremei. Consistența și completitudinea designului sunt verificate folosind slide 12). Astfel, demonstrația teoremei este formalizată pentru cazul când latura unghiului înscris trece prin centrul cercului.
Cazul în care centrul cercului se află în interiorul colțului este considerat utilizat verbal diapozitivul 13.
Următorul caz, când centrul cercului se află în afara colțului, profesorul se oferă să-l justifice singur în timpul pregătirii acasă. (C culca 14). În clasă, conform desenului diapozitivul 15 aflați că un unghi dat înscris poate fi considerat ca diferența a două unghiuri, fiecare dintre ele având o latură care este orice latură a unghiului dat, iar cealaltă latură este comună și trece prin centrul cercului.
5. Lucrări de cercetare pentru a identifica proprietățile unui nou concept
Lucrând cu diapozitivul 15.
Exercițiu. Cum să construiți rapid mai multe unghiuri egale cu un unghi dat folosind o busolă și o linie dreaptă? Ei observă că căile lor nu sunt raționale. Apare o situație problematică: cunoștințele vechi nu oferă o soluție rațională a problemei.
Gândiți-vă cum, folosind material nou, puteți rezolva această problemă. Este posibil să desenați un cerc care trece prin vârful unghiului fără a specifica centrul și să construiți diferite unghiuri înscrise pe baza aceluiași arc. Situatia problema este rezolvata. După aceea, se formulează Corolarul 1: „Unghiurile înscrise bazate pe același arc sunt egale”.
Lucrarea care a condus la formularea Corolarul 2 se desfășoară în mod similar. (C culcat 16)
Cum să desenezi rapid un unghi drept folosind o busolă și o linie dreaptă? Se clarifică faptul că „rapid” ar trebui înțeles ca „numărul minim de pași”. Ajungem la iraționalitatea acestei construcții. Dacă elevii nu au ghicit cum să finalizeze construcția, profesorul pune întrebarea: pe ce arc ar trebui să se sprijine unghiul înscris drept? După aceea, studenții schițează procesul de construcție pas cu pas:
- Desenați un cerc de rază arbitrară.
- Diametrul desenului.
- Selectați orice punct din cerc, cu excepția capetelor diametrului.
- Desenați raze din punctul selectat prin capetele diametrului.
După aceea, profesorul spune că în această construcție a fost folosit Corolarul 2 din teorema unghiului înscris. Încearcă să-l formulezi.
Formularea revizuită este proiectată pe ecran. ( Slide-urile 17-19)
6. Aplicarea noilor cunoștințe
Rezolvarea problemelor pentru consolidarea materialului nou. Lucrând cu diapozitivele 20-26.
7. Un joc de repetiție pentru consolidarea materialului teoretic (C culcat 27)
Jocul „Crede – nu crede”
- Crezi că dacă valoarea unghiului central este de 90˚, atunci unghiul înscris pe baza acestui arc este de 45˚?
- Crezi că segmentele tangentelor la cerc sunt egale și formează unghiuri egale cu linia care trece prin centrul cercului?Crezi că unghiul care trece prin centrul cercului se numește unghiul său central?
- Crezi că un unghi înscris este măsurat cu jumătate din arcul pe care îl întinde?
- Crezi că mărimea unghiului central este de două ori mărimea arcului pe care se sprijină?
- Crezi că un unghi înscris bazat pe un semicerc este de 180˚?
- Crezi că un unghi ale cărui laturi intersectează un cerc numit unghi înscris?
- Crezi că unghiurile înscrise bazate pe același arc sunt egale?
- Crezi că, odată cu studiul suplimentar al materialului, nu numai unghiurile, ci și triunghiurile și patrulaturile vor fi asociate cu un cerc?
8. Lucru individual cu testul. (C zace 28-30)
Foile de răspuns sunt predate profesorului. Profesorul comentează apoi soluțiile.
Opțiunea 1.
1. Unghiul DAB este cu 38° mai mic decât unghiul AOB. Aflați suma unghiurilor AOB și DAB
a) 96°; b) 114°; c) 104°; d) 76°;
2. MP - diametrul, O - centrul cercului. OM=OK=MK. Găsiți unghiul RKO.
a) 60°; b) 40°; c) 30°; d) 45°;
3. Unghiul ABC este înscris, unghiul AOC este central. Aflați unghiul ABC dacă unghiul AOC=126°
a) 112°; b) 123°; c) 117°; d) 113°;
Opțiunea 2.
1. Unghiul MSC este cu 34 ° mai mic decât unghiul IOC. Aflați suma unghiurilor MSC și IOC.
a) 112°; b) 102°; c) 96°; d) 68°;
2. AC este diametrul cercului, O este centrul acestuia. AB=OB=OA. Aflați unghiul OBC.
a) 50°; b) 60°; c) 30°; d) 45°;
3. O - centrul cercului, unghiul L = 136 °. Găsiți unghiul B.
a) 292°; b) 224°; c) 112°; d) 146°;
Răspunsurile la sarcini sunt verificate după completarea testului.
| Sarcini | 1 | 2 | 3 |
| 1 opțiune | B | LA | LA |
| Opțiunea 2 | B | LA | LA |
9. Aplicarea noilor cunoștințe în situații nefamiliare
a) Lucrul cu diapozitivele 31-33.
Profesor: „Acasă ai rezolvat problema calculării unghiurilor unei stele cu cinci colțuri înscrise într-un cerc. Cum ai rezolvat-o?"
Cum se rezolvă această problemă folosind teorema unghiului înscris.
Metoda II: Când vârfurile unei stele pentagonale împart cercul în arce egale, problema se rezolvă foarte simplu: 360°: 5:2 *5=180°.
b) Analiza sofismului matematic asupra aplicării teoremei asupra valorii unghiului înscris.
O coardă care nu trece prin centru este egală cu diametrul. (C aşezat 34-36) Găsiți o eroare de raționament.
Decizie. Să fie desenat diametrul AB într-un cerc. Prin punctul B desenăm o coardă BC care nu trece prin centru, apoi prin mijlocul acestei coarde D și punctul A desenăm o nouă coardă AE. În cele din urmă, punctele E și C sunt conectate printr-un segment de dreaptă. Luați în considerare ▲ABD și ▲EDC. În aceste triunghiuri: BD = DC (prin construcție), Ð A = Ð C (așa cum este înscris, bazat pe același arc). În plus, Ð BDA = Ð EDC (ca verticală). Dacă latura și două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu latura și, respectiv, două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente. Mijloace,
▲ BDA = ▲ EDC, iar în triunghiuri egale unghiuri egale opuse se află laturi egale.
Prin urmare, AB=EC.
Găsiți o eroare de raționament.
c) Test pentru iluzie optică conform desenelor cu un răspuns alternativ. ( Slide-urile 37-39)
Arătați ce deformare iluzorie provoacă unghiurile centrale ascuțite și unghiurile înscrise.
Testul 1. Aici deformarea iluzorie este cauzată de unghiuri centrale ascuțite. Deși unghiurile AOB, BOC, COD sunt egale, dar datorită numeroaselor unghiuri ascuțite la care sunt rupte cele două unghiuri, ele se prefac a fi mai mari decât unghiul mediu.
Testul 2-3. Cercurile sunt dominante aici. Unghiurile înscrise într-un cerc formează un pătrat în primul caz, iar un triunghi regulat în al doilea. Aceste cifre, datorită numeroaselor cercuri, se prezintă ca figuri apropiate de un pătrat și un triunghi. Laturile par a fi concave spre interior.
Deci, putem aplica iluzia în practică, în viața de zi cu zi. De exemplu, cu ajutorul lui, puteți ascunde defectele în forma feței, a siluetei.
10. Reflecție
Să ne întoarcem la planul de lecție și să vedem dacă am răspuns la toate întrebările?
Nu am răspuns la nicio întrebare. Deci, cum ar trebui să fie plantați trei trandafiri? (Diapozitivul 40-41)
După ce stăpânim teorema privind valoarea unui unghi înscris într-un cerc, concluzionăm, deoarece din toate punctele cercului, cu excepția capetelor coardei, această coardă este vizibilă în același unghi, putem planta tufe de trandafiri în orice punct al cercului patului de flori, cu excepția punctelor M și N. Acesta este unul a aplicaţiilor practice ale teoremei asupra valorii unghiului înscris într-un cerc.
La sfârșitul lecției, elevilor li se poate oferi un chestionar de completat, care le permite să efectueze o autoanaliză, să dea o evaluare calitativă și cantitativă a lecției, în timp ce, în plus, poate fi formulată o sarcină care să-și justifice Răspuns:
1. La lecția am lucrat ...;
2. Cu munca mea în lecție, eu ...;
3. Lecția mi s-a părut ...;
4. Pentru lecția I ...;
5. Materialul pentru lecție pentru mine a fost...;
6. Temele mi se par...
Teme pentru acasă. (C pus 42)
- P. 71, învață definiția unghiului înscris;
- invata teorema unghiului inscris (prin notarea a 3 cazuri) si doua corolare din aceasta;
- № 654 № 656 № 657.
Bibliografie:
- Geometrie: Proc. Pentru 7-9 celule. imagini generale. instituții / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev și alții - ed. a XII-a, - M .: Educație, 2002
- Ziv B.G., Meyler V.M., Materiale didactice de geometrie pentru clasa a VIII-a. – Ed. a VI-a. - M .: Educație, 2002
- Smirnova I.M., Smirnov V.A. Exerciții orale de geometrie pentru clasele 7-11. Cartea pentru profesor. M.; Iluminarea, 2003
- Rabinovici E.M. Sarcini și exerciții pe desene gata făcute. Geometrie clasele 7–9. „Ileksa”, „Gimnaziul”, Moscova-Harkov, 2003
COR-uri și site-uri de internet:
- Atelier. Prezentări multimedia pentru lecții de matematică. http://www.intergu.ru/infoteka/
- Starea pe Internet a profesorilor în Infothek-Matematics. http://www.intergu.ru/infoteka/
- CER de la portalul Creative Teachers Network.
Unghiuri înscrise Teorema unghiului înscris 1 caz Raza BO coincide cu latura unghiului ABC Teorema unghiului înscris 1 caz Raza BO coincide cu latura unghiului ABC AOB este isoscel, deoarece OB \u003d OA \u003d R, ceea ce înseamnă B \u003d A. 2. COA este un unghi extern, prin urmare, COA \u003d OVA + OAB COA \u003d 2 OVA, ceea ce înseamnă OVA \u003d ½ SOA CBA \u003d ½ AC.
°
Joc de repetiție „Crede sau nu” Crezi că dacă valoarea unghiului central este de 90˚, atunci unghiul înscris pe baza acestui arc este de 45˚? Crezi că segmentele tangentelor la cerc sunt egale și formează unghiuri egale cu linia care trece prin centrul cercului? Crezi că unghiul care trece prin centrul unui cerc se numește unghiul său central? Crezi că un unghi înscris este măsurat cu jumătate din arcul pe care îl întinde? Crezi că mărimea unghiului central este de două ori mărimea arcului pe care se sprijină? Crezi că un unghi înscris bazat pe un semicerc este de 180˚? Crezi că un unghi ale cărui laturi intersectează un cerc se numește unghi înscris? Crezi că unghiurile înscrise bazate pe același arc sunt egale? Crezi că, odată cu studiul suplimentar al materialului, nu numai unghiurile, ci și triunghiurile și patrulaturile vor fi asociate cu un cerc? Nu, segmentele tangentelor la cerc (desenate dintr-un punct) sunt egale și formează unghiuri egale cu linia care trece prin (acest punct și) centrul cercului. DA, dacă valoarea unghiului central este de 90˚, atunci unghiul înscris pe baza acestui arc este de 45˚. Nu, unghiul care trece (iese) prin centrul cercului se numește unghiul său central. Da, un unghi înscris este măsurat cu jumătate din arcul pe care îl întinde. Nu, valoarea unghiului central este de două ori mai mare (egala) decât valoarea arcului pe care se sprijină. Nu, unghiul înscris pe baza semicercului este de 180˚ (dreapta). Nu, un unghi ale cărui laturi intersectează cercul (și vârful se află pe cerc) se numește unghi înscris. Da, unghiurile înscrise care subtind același arc sunt egale. Da, cu un studiu suplimentar al materialului, nu numai unghiurile vor fi asociate cu un cerc, ci și triunghiuri și patrulatere.
Unghiuri înscrise Lucrați la test cu controlul programat al soluției. Varianta unghiului DAB este cu 38° mai mică decât unghiul AOB. Aflați suma unghiurilor AOB și DAB a) 96 °; b) 114 °; c) 104 °; d) 76°; 2. MP - diametrul, O - centrul cercului. OM=OK=MK. Găsiți unghiul RKO. a) 60°; b) 40°; c) 30°; d) 45°; 3. Unghiul ABC este înscris, unghiul AOC este central. Aflați unghiul ABC dacă unghiul AOC \u003d 126 ° a) 112 °; b) 123°; c) 117°; d) 113°; Varianta Unghiul MSC este cu 34° mai mic decât unghiul IOC. Aflați suma unghiurilor MSC și IOC. a) 112°; b) 102°; c) 96°; d) 68°; 2. AC este diametrul cercului, O este centrul acestuia. AB=OB=OA. Aflați unghiul OBC. a) 50°; b) 60°; c) 30°; d) 45°; 3. O - centrul cercului, unghiul L = 136 °. Aflați unghiul B. a) 292 °; b) 224°; c) 112°; d) 146°;
O coardă care nu trece prin centru este egală cu diametrul. Să fie desenat diametrul AB într-un cerc. Prin punctul B desenăm o coardă BC care nu trece prin centru, apoi prin mijlocul acestui acord D și punctul A desenăm o nouă coardă AE. În cele din urmă, punctele E și C sunt conectate printr-un segment de dreaptă. Luați în considerare ABD și EDC. În aceste triunghiuri: BD = DC (prin construcție), A = C (așa cum este înscris, pe baza aceluiași arc). În plus, BDA = EDC (ca verticală). Dacă latura și două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu latura și, respectiv, două unghiuri ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente. Aceasta înseamnă că BDA \u003d EDC și laturile egale se află în triunghiuri egale opuse unghiurilor egale. Prin urmare, AB=EC.
Să aflăm eroarea Conform teoremei de egalitate a triunghiului: Dacă latura și două unghiuri adiacente acesteia ale unui triunghi sunt egale cu latura și, respectiv, două unghiuri adiacente ei ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale. Și în cazul nostru, unghiul A nu este adiacent laturii BD.
Unghiuri înscrise Test de iluzie optică bazat pe desene cu un răspuns alternativ. Destul de des observăm o iluzie optică și chiar o folosim în practica noastră, dar știm foarte puține despre esența ei. Iluzia viziunii este folosită de arhitecți când construiesc clădiri, designerii de modă când creează modele și artiștii când creează peisaje. Știm că un corp de culoare deschisă pare mai mare decât un corp de culoare închisă de aceeași dimensiune. Există motive care provoacă iluzii optice. Unghiuri înscrise Testul 2 Testul 3 Testul 2 Testul 3 Înscris într-un cerc: 1. pătrat 2. figură apropiată unui pătrat Testul 2, 3: Aici predomină cercurile. Unghiurile înscrise într-un cerc formează un pătrat în primul caz, iar un triunghi regulat în al doilea. Aceste cifre, datorită numeroaselor cercuri, se prezintă ca figuri apropiate de un pătrat și un triunghi. Laturile par a fi concave spre interior. Deci, putem aplica iluzia în practică, în viața de zi cu zi. De exemplu, cu ajutorul lui, puteți ascunde defectele în forma feței, a siluetei. Înscris într-un cerc: 1. triunghi 2. figură apropiată unui triunghi
Unghiuri înscrise din toate punctele cercului, cu excepția capetelor coardei, această coardă este vizibilă în același unghi, putem planta tufe de trandafiri în orice punct al cercului patului de flori, cu excepția punctelor M și N. Acesta este unul a aplicaţiilor practice ale teoremei asupra valorii unghiului înscris într-un cerc.
Unghiuri înscrise Temă pentru acasă. p. 71, învață definiția unghiului înscris; invata teorema unghiului inscris (prin notarea a 3 cazuri) si doua corolare din aceasta;
Calculul unghiului II
- Unghiul A al patrulaterului ABCD înscris într-un cerc este 126 o . Găsiți unghiul C al acestui patrulater. Dați răspunsul în grade.
- Laturile patrulaterului ABCD AB, BC, CD și AD subtind arcurile cercului circumscris, ale căror valori ale gradului sunt, respectiv, 63 o , 62 o , 90 o și 145 o . Găsiți unghiul B al acestui patrulater. Dați răspunsul în grade.
- Punctele A, B, C și D, situate pe un cerc, împart acest cerc în patru arce AB, BC, CD și AD, ale căror valori sunt legate, respectiv, ca 1: 4: 12: 19. Găsiți unghiul A a patrulaterului ABCD. Dați răspunsul în grade.
- Punctele A, B, C și D, situate pe un cerc, împart acest cerc în patru arce AB, BC, CD și AD, ale căror valori sunt legate, respectiv, ca 1: 5: 10: 20. Găsiți unghiul A a patrulaterului ABCD. Dați răspunsul în grade.
- Patrulaterul ABCD este înscris într-un cerc. Unghiul ABC este de 58o, unghiul CAD este de 43o. Găsiți unghiul ABD. Dați răspunsul în grade.
- Cele două unghiuri ale unui patrulater înscris într-un cerc sunt 25 o și 51 o . Găsiți cel mai mare dintre colțurile rămase. Dați răspunsul în grade.
- Unghiurile A, B și C ale patrulaterului ABCD sunt legate ca 1: 13: 17. Aflați unghiul D dacă un cerc poate fi circumscris în jurul acestui patrulater. Dați răspunsul în grade.
- Unghiul central este cu 45 o mai mare decât unghiul acut înscris pe baza aceluiași arc de cerc. Găsiți unghiul înscris. Dați răspunsul în grade.
- Unghiul central este cu 47 o mai mare decât unghiul acut înscris pe baza aceluiași arc de cerc. Găsiți unghiul înscris. Dați răspunsul în grade.
- Găsiți unghiul înscris pe baza arcului care formează cercul. Dați răspunsul în grade.
- Găsiți unghiul înscris pe baza arcului care este 20% din cerc. Dați răspunsul în grade.
- Găsiți un unghi înscris pe baza unui arc care este 10% din cerc. Dați răspunsul în grade.
- Arcul de cerc AC, care nu conține punctul B, este de 180 o . Iar arcul cercului BC, care nu conține punctul A, este de 45 o . Aflați unghiul înscris ACB. Dați răspunsul în grade.
- Punctele A, B și C, situate pe cerc, îl împart în trei arce, ale căror valori sunt legate ca 1: 4: 13. Găsiți cel mai mare unghi al triunghiului ABC. Dați răspunsul în grade.
- AC și BD sunt diametrele cercului cu centrul O. Unghiul DIA este de 35 o . Găsiți unghiul AOD. Dați răspunsul în grade.
- AC și BD sunt diametrele cercului cu centrul O. Unghiul DIA este de 39 o . Găsiți unghiul AOD. Dați răspunsul în grade.
- Coarda AB scade arcul de cerc la 6 o. Găsiți unghiul ascuțit ABC dintre această coardă și tangenta la cerc prin punctul B. Dați răspunsul în grade.
- Coarda AB scade arcul de cerc la 114 o. Găsiți unghiul ascuțit ABC dintre această coardă și tangenta la cerc prin punctul B. Dați răspunsul în grade.
- Un cerc este înscris în unghiul C cu o valoare de 107 o, care atinge laturile unghiului în punctele A și B. Aflați unghiul AOB, unde punctul O este centrul cercului. Dați răspunsul în grade.
- Tangentele din punctul A și B la cercul cu centrul O se intersectează la un unghi de 2 o . Aflați unghiul ABO. Dați răspunsul în grade.
- Aflați unghiul CDB dacă unghiurile înscrise ADB și ADC se bazează pe arce de cerc, ale căror valori sunt 67 o și respectiv 25 o. Dați răspunsul în grade.
- Unghiul dintre latura unui -gon regulat înscris într-un cerc și raza acestui cerc desenat într-unul dintre vârfurile laturii este de 75 o . Găsi .
- Unghiul dintre latura unui -gon regulat înscris într-un cerc și raza acestui cerc desenat într-unul dintre vârfurile laturii este de 54 o . Găsi .
- Unghiul dintre latura unui -gon regulat înscris într-un cerc și raza acestui cerc desenat într-unul dintre vârfurile laturii este de 30 o . Găsi .
Colț central este unghiul al cărui vârf se află în centrul cercului.
Unghiul înscris Un unghi al cărui vârf se află pe cerc și ale cărui laturi îl intersectează.
Figura prezintă unghiurile centrale și înscrise, precum și cele mai importante proprietăți ale acestora.
Asa de, valoarea unghiului central este egală cu valoarea unghiulară a arcului pe care se sprijină. Aceasta înseamnă că un unghi central de 90 de grade se va baza pe un arc egal cu 90 °, adică un cerc. Unghiul central, egal cu 60°, se bazează pe un arc de 60 de grade, adică pe a șasea parte a cercului.
Valoarea unghiului înscris este de două ori mai mică decât cea centrală bazată pe același arc.
De asemenea, pentru a rezolva probleme, avem nevoie de conceptul de „cord”.
Unghiurile centrale egale sunt susținute de coarde egale.
1. Care este unghiul înscris pe baza diametrului cercului? Dați răspunsul în grade.
Un unghi înscris pe baza unui diametru este un unghi drept.
2. Unghiul central este cu 36° mai mare decât unghiul acut înscris pe baza aceluiași arc de cerc. Găsiți unghiul înscris. Dați răspunsul în grade.
Fie unghiul central x, iar unghiul înscris bazat pe același arc să fie y.
Știm că x = 2y.
Prin urmare, 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Raza cercului este 1. Aflați valoarea unui unghi obtuz înscris pe baza unei coarde egală cu . Dați răspunsul în grade.
Fie coarda AB . Un unghi obtuz înscris pe baza acestei coarde va fi notat cu α.
În triunghiul AOB, laturile AO și OB sunt egale cu 1, latura AB este egală cu . Am mai văzut astfel de triunghiuri. Evident, triunghiul AOB este dreptunghic și isoscel, adică unghiul AOB este de 90 °.
Apoi arcul ASV este egal cu 90°, iar arcul AKB este egal cu 360° - 90° = 270°.
Unghiul înscris α se sprijină pe arcul AKB și este egal cu jumătate din valoarea unghiulară a acestui arc, adică 135°.
Raspuns: 135.
4. Coarda AB împarte cercul în două părți, ale căror valori sunt legate ca 5:7. În ce unghi este vizibilă această coardă din punctul C, care aparține arcului mai mic al cercului? Dați răspunsul în grade.
Principalul lucru în această sarcină este desenarea și înțelegerea corectă a stării. Cum înțelegeți întrebarea: „În ce unghi este coarda vizibilă din punctul C?”
Imaginează-ți că stai în punctul C și trebuie să vezi tot ce se întâmplă pe acordul AB. Deci, de parcă acordul AB ar fi un ecran într-un cinema :-)
Evident, trebuie să găsiți unghiul ACB.
Suma celor două arce în care coarda AB împarte cercul este de 360°, adică.
5x + 7x = 360°
Prin urmare, x = 30° și apoi unghiul înscris ACB se sprijină pe un arc egal cu 210°.
Valoarea unghiului înscris este egală cu jumătate din valoarea unghiulară a arcului pe care se sprijină, ceea ce înseamnă că unghiul ACB este egal cu 105°.
