Introducere
Funcțiile cilindrice sunt soluții pentru o ecuație diferențială liniară de ordinul doi
unde este o variabilă complexă,
Un parametru care poate lua orice valoare reală sau complexă.
Termenul „funcții cilindrice” își datorează originea faptului că ecuația (1) apare atunci când se analizează problemele cu valori la limită ale teoriei potențiale pentru un domeniu cilindric.
Clase speciale de funcții cilindrice sunt cunoscute în literatură ca funcții Bessel și, uneori, acest nume este atribuit întregii clase de funcții cilindrice.
Teoria bine dezvoltată a funcțiilor luate în considerare, disponibilitatea tabelelor detaliate și o gamă largă de aplicații oferă motive suficiente pentru a clasifica funcțiile cilindrice drept una dintre cele mai importante funcții speciale.
Ecuația Bessel apare atunci când se găsesc soluții pentru ecuația Laplace și ecuația Helmholtz în coordonate cilindrice și sferice. Prin urmare, funcțiile Bessel sunt utilizate în rezolvarea multor probleme legate de propagarea undelor, potențialele statice etc., de exemplu:
1) unde electromagnetice într-un ghid de undă cilindric;
2) conductivitate termică în obiecte cilindrice;
3) moduri de vibrație ale unei membrane rotunde subțiri;
4) viteza particulelor într-un cilindru plin cu lichid și care se rotește în jurul axei sale.
Funcțiile Bessel sunt, de asemenea, utilizate în rezolvarea altor probleme, de exemplu, în procesarea semnalului.
Funcțiile Bessel cilindrice sunt cele mai comune dintre toate funcțiile speciale. Au numeroase aplicații în toate științele naturale și tehnice (în special astronomie, mecanică și fizică). Într-o serie de probleme din fizica matematică, există funcții cilindrice în care argumentul sau indicele (uneori ambele) iau valori complexe. Pentru a rezolva astfel de probleme numeric, este necesar să se dezvolte algoritmi care să permită calcularea funcțiilor Bessel cu o precizie ridicată.
Scopul lucrării de curs: studiul funcţiilor Bessel şi aplicarea proprietăţilor acestora în rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale.
1) Studiați ecuația Bessel și ecuația Bessel modificată.
2) Luați în considerare proprietățile de bază ale funcțiilor Bessel, reprezentări asimptotice.
3) Rezolvați ecuația diferențială folosind funcția Bessel.
Funcțiile Bessel cu semn întreg pozitiv
Pentru a lua în considerare multe probleme asociate cu utilizarea funcțiilor cilindrice, este suficient să ne limităm la studiul unei clase speciale a acestor funcții, care corespunde cazului în care parametrul din ecuația (1) este egal cu zero sau cu un număr întreg pozitiv.
Studiul acestei clase este mai elementar decât teoria referitoare la valorile arbitrare și poate servi ca o bună introducere în această teorie generală.
Să arătăm că una dintre soluțiile ecuației
0, 1, 2, …, (1.1)
este funcția Bessel a primului tip de ordin, care pentru orice valoare este definită ca suma seriei
Folosind testul lui d'Alembert, este ușor de verificat că seria luată în considerare converge pe întregul plan al variabilei complexe și, prin urmare, reprezintă o întreagă funcție a.
Dacă notăm partea stângă a ecuației (1.1) cu și introducem o notație prescurtată pentru coeficienții seriei (1.2), punând
apoi ca urmare a substituirii obtinem
din care rezultă că expresia dintre paranteze este egală cu zero. Astfel, funcția satisface ecuația (1.1), adică este o funcție cilindrică.
Cele mai simple funcții ale clasei luate în considerare sunt funcțiile Bessel de ordinul zero și unu:
Să arătăm că funcțiile Bessel de alte ordine pot fi exprimate în termenii acestor două funcții. Pentru a demonstra acest lucru, presupunem că a este un număr întreg pozitiv, înmulțiți seria (1.2) cu și diferențiați cu. O vom lua atunci
În mod similar, înmulțind seria cu găsim
După ce am diferențiat în egalități (1.4 - 1.1) și împărțit la un factor, ajungem la formulele:
care urmează direct:
Formulele rezultate sunt cunoscute ca relații de recurență pentru funcțiile Bessel.
Prima dintre relații face posibilă exprimarea unei funcții de ordine arbitrară prin funcții de ordine zero și unu, ceea ce reduce semnificativ munca de compilare a tabelelor de funcții Bessel.
A doua relație permite să se reprezinte derivate ale funcțiilor Bessel prin funcțiile Bessel. Pentru ca această relație să fie înlocuită cu formula
urmand direct din definitia acestor functii.
Funcțiile Bessel de primul fel sunt pur și simplu legate de coeficienții expansiunii seriei Laurent a funcției):
Coeficienții acestei expansiuni pot fi calculați prin înmulțirea serii de putere:
şi asociaţii de membri care conţin aceleaşi grade. Făcând acest lucru, obținem:
de unde rezultă că extinderea avută în vedere poate fi scrisă sub forma
Funcția se numește funcție generatoare pentru funcțiile Bessel cu semn întreg; relaţia găsită (1.12) joacă un rol important în teoria acestor funcţii.
Pentru a obține integrala generală a ecuației (1.1), care dă o expresie pentru o funcție cilindrică arbitrară cu semn întreg, este necesar să se construiască o a doua soluție a ecuației, liniar independentă de c. Ca o astfel de soluție, poate fi luată funcția Bessel de al doilea fel, pe baza definiției căreia este ușor să se obțină o expresie analitică a acesteia sub forma unei serii.
(- constanta lui Euler) și, în acest caz, prima dintre sume ar trebui să fie egală cu zero.
Funcția este regulată în planul cu o tăietură. O caracteristică esențială a soluției luate în considerare este că merge la infinit când. Expresia generală a funcției cilindrice pentru reprezintă o combinație liniară a soluțiilor construite
unde și sunt constante arbitrare,
Pentru a trece la rezolvarea problemei oscilațiilor unei membrane circulare, trebuie mai întâi să ne familiarizăm cu funcțiile Bessel. Funcțiile Bessel sunt soluții la o ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți variabili
Această ecuație se numește ecuația lui Bessel. Atât ecuația în sine, cât și soluțiile sale se găsesc nu numai în problema oscilațiilor unei membrane circulare, ci și într-un număr foarte mare de alte probleme.
Parametrul k inclus în ecuația (10.1) poate lua, în general, orice valoare pozitivă. Soluțiile ecuației pentru un k dat se numesc funcții Bessel de ordinul k (uneori numite funcții cilindrice). Vom lua în considerare în detaliu doar cazurile cele mai simple, când și din moment ce în prezentarea ulterioară vom întâlni doar funcții Bessel de ordinul zero și primul.
Pentru un studiu general al funcțiilor Bessel, trimitem cititorul la manuale speciale (vezi, de exemplu, numit Ecuația Bessel . Se numește numărul \(v\). ordinea ecuației Bessel .
Această ecuație diferențială a fost numită după matematicianul și astronomul german Friedrich Wilhelm Bessel , care a studiat-o în detaliu și a arătat (în \(1824\)) că soluțiile ecuației sunt exprimate printr-o clasă specială de funcții numită funcții cilindrice sau Funcțiile Bessel .
Reprezentarea specifică a soluției generale depinde de numărul \(v.\) În continuare, vom lua în considerare separat două cazuri:
Ordinul \(v\) este un număr întreg;
Ordinea lui \(v\) este un număr întreg.
Cazul 1. Ordinul \(v\) este un neîntreg
Presupunând că numărul \(v\) este neîntreg și pozitiv, soluția generală a ecuației Bessel poate fi scrisă sub forma \ unde \((C_1),\) \((C_2)\) sunt constante arbitrare, și \((J_v)\ stânga(x \dreapta),\) \((J_( - v))\left(x \dreapta)\) − Funcțiile Bessel de primul fel .
Funcția Bessel de primul fel poate fi reprezentată ca o serie, ai cărei termeni sunt exprimați prin așa-numitul funcția gamma : \[(J_v)\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\left(( - 1) \right))^p)))( (\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p + v + 1) \right)))((\left((\frac(x)(2)) \right)) ^(2p + v))) .\] Funcția Gamma este o extensie funcţie factorială de la mulţimea numerelor întregi la mulţimea numerelor reale. În special, are următoarele proprietăți: \[ (\Gamma \left((p + 1) \right) = p!,)\;\; (\Gamma \left((p + v + 1) \right) = \left((v + 1) \right)\left((v + 2) \right) \cdots \left((v + p) \ dreapta)\Gamma \left((v + 1) \right).) \] Funcțiile Bessel de primul fel de ordin negativ (cu indicele \(-v\)) sunt scrise în mod similar. Aici presupunem că \(v > 0.\) \[(J_( - v))\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\ left (( - 1) \right))^p)))((\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p - v + 1) \right)))((\ stânga) ((\frac(x)(2)) \right))^(2p - v))) .\] Funcțiile Bessel sunt calculate în majoritatea pachetelor matematice. De exemplu, forma funcțiilor Bessel din primul fel de ordin de la \(v = 0\) la \(v = 4\) este prezentată în Figura \(1.\) Aceste funcții pot fi calculate și în MS Excel.
Cazul 2. Ordinul \(v\) este întreg
Dacă ordinea \(v\) a ecuației diferențiale Bessel este întreagă, atunci funcțiile Bessel de primul fel \((J_v)\left(x \right)\) și \((J_( - v))\left (x \right)\ ) devin dependente unul de celălalt. În acest caz, soluția generală a ecuației va fi descrisă printr-o altă formulă: \ unde \((Y_v)\left(x \right)\) − Funcția Bessel de al doilea fel . Uneori această familie de funcții este numită și Funcții Neumann sau Funcții Weber .
Funcția Bessel de al doilea fel \((Y_v)\left(x \right)\) poate fi exprimat prin funcții Bessel de primul fel \((J_v)\left(x \right)\) și \((J_( - v))\left (x \ dreapta):\) \[(Y_v)\left(x \right) = \frac(((J_v)\left(x \right)\cos \pi v - (J_( - v))\left (x \ right)))((\sin \pi v)).\] Graficele funcțiilor \((Y_v)\left(x \right)\) pentru primele câteva ordine \(v\) sunt prezentate mai sus în Figura \(2.\ )
Notă: De fapt, soluția generală a ecuației diferențiale Bessel poate fi exprimată în termeni de funcții Bessel de primul și al doilea fel și pentru cazul ordinului non-întreg \(v.\)
Unele ecuații diferențiale reductibile la ecuația Bessel
1. O altă ecuație binecunoscută a acestei clase este ecuația Bessel modificată , care se obține din ecuația obișnuită a lui Bessel prin înlocuirea \(x\) cu \(-ix.\) Această ecuație are forma: \[(x^2)y"" + xy" - \left(((x) ^2) + (v^2)) \right)y = 0.\] Soluția acestei ecuații este exprimată prin așa-numita funcții Bessel modificate de primul și al doilea fel : \[ (y\left(x \right) = (C_1)(J_v)\left(( - ix) \right) + (C_2)(Y_v)\left(( - ix) \right) ) = (( C_1)(I_v)\left(x \right) + (C_2)(K_v)\left(x \right),) \] unde \((I_v)\left(x \right)\) și \(K_v )\left(x \right)\) denotă funcții Bessel modificate de primul și, respectiv, al doilea fel.2.
Ecuație diferențială aerisită
, cunoscut în astronomie și fizică, se scrie sub forma: \ Se poate reduce și la ecuația Bessel. Soluția ecuației Airy este exprimată prin funcții Bessel de ordin fracționar \(\pm \large\frac(1)(3)\normalsize:\) \[ (y\left(x \right) ) = ((C_1) \sqrt x (J_ (\large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\frac(3)(2)\normalsize) )) \dreapta) + (C_2)\sqrt x (J_( - \large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\) frac(3)( 2)\normalsize)))\dreapta).)\]
3.
O ecuație diferențială de forma \[(x^2)y"" + xy" + \left(((a^2)(x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] diferă din ecuația Bessel doar un factor \((a^2)\) înainte de \((x^2)\) și are o soluție generală sub următoarea formă: \
4.
O ecuație diferențială similară \[(x^2)y"" + axy" + \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] se reduce, de asemenea, la ecuația Bessel \[ (x ^2)z"" + xz" + \left(((x^2) - (n^2)) \right)z = 0\] folosind substituția \ Aici parametrul \((n^2)\ ) denotă \[(n^2) = (v^2) + \frac(1)(4)(\left((a - 1) \right)^2).\] Ca rezultat, soluția generală la această ecuație diferențială este determinată de formula \.\]
Funcțiile speciale Bessel sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea problemelor de fizică matematică, de exemplu, în studiul
propagarea undelor;
conductivitate termică;
vibratii ale membranei
