Sistemele cu două grade de libertate sunt un caz special de sisteme cu mai multe grade de libertate. Dar aceste sisteme sunt cele mai simple, permițând obținerea în formă finală a formulelor de calcul pentru determinarea frecvențelor vibrațiilor, amplitudinilor și deflexiunilor dinamice.
yDeviațiile fasciculului datorate forțelor de inerție:
P2 =1 
(1)
Semnele (-) din expresiile (1) se datorează faptului că forțele și unitățile inerțiale. mișcările sunt în sens invers.
Considerăm că vibrațiile de masă apar conform legii armonice:
(2)
Să aflăm accelerația mișcării masei:
(3)
Înlocuind expresiile (2) și (3) în ecuația (1) obținem:
(5)
Considerăm amplitudinile oscilațiilor A 1 și A 2 necunoscute și transformăm ecuațiile:
(6)
Rezolvarea sistemului de ecuații omogene A 1 = A 2 =0 nu ne convine; pentru a obține o soluție diferită de zero, echivalăm determinanții sistemului (6) cu zero:
(7)
Să transformăm ecuația (8), având în vedere frecvența circulară a oscilațiilor naturale necunoscută:
Ecuația (9) se numește ecuația biharmonică a oscilațiilor libere ale sistemelor cu două grade de libertate.
Înlocuind variabila 2 =Z, obținem
de aici determinăm Z 1 și Z 2.
Ca urmare, se pot trage următoarele concluzii:
1. Vibrațiile libere ale sistemelor cu două grade de libertate apar cu două frecvențe 1 și 2. Frecvența inferioară 1 se numește ton fundamental sau fundamental, frecvența superioară 2 se numește a doua frecvență sau armonizare.
Vibrațiile libere ale sistemelor cu n grade de libertate sunt n-tonuri, constând din n vibrații libere.
2. Mișcările maselor m 1 și m 2 se exprimă prin următoarele formule:
adică dacă au loc oscilații cu o frecvență 1, atunci în orice moment de timp mișcările de masă au aceleași semne.
Dacă oscilațiile apar numai cu o frecvență 2, atunci mișcările de masă în orice moment au semne opuse.
Cu oscilații simultane ale maselor cu frecvențele 1 și 2, sistemul oscilează în principal la frecvența 1 și un ton cu frecvența 2 se încadrează în aceste oscilații.
Dacă un sistem cu două grade de libertate este supus unei forțe motrice cu frecvența , atunci este necesar ca:
0,7 1 .
Cursul 9
Oscilații ale sistemelor cu un număr infinit de grade de libertate.
Teoria vibrațiilor mecanice are aplicații numeroase și foarte diverse în aproape toate domeniile tehnologiei. Indiferent de scopul și soluția de proiectare a diferitelor sisteme mecanice, vibrațiile acestora sunt supuse acelorași legi fizice, al căror studiu este subiectul teoriei vibrațiilor sistemelor elastice. Teoria liniară a oscilațiilor a fost dezvoltată cel mai pe deplin. Teoria oscilațiilor sistemelor cu mai multe grade de libertate a fost dată înapoi în secolul al XVIII-lea de Lagrange în lucrarea sa clasică „Mecanica analitică”.
Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) - profesor de matematică la Torino de la vârsta de 19 ani. Din 1759 - membru, iar din 1766 - președinte al Academiei de Științe din Berlin; din 1787 a locuit la Paris. În 1776 a fost ales membru străin de onoare al Academiei de Științe din Sankt Petersburg.
La sfârșitul secolului al XIX-lea, Rayleigh a pus bazele teoriei liniare a oscilațiilor sistemelor cu un grad infinit de grade de libertate (adică, cu o distribuție continuă a masei pe întregul volum al sistemului deformabil). În secolul al XX-lea s-ar putea spune că teoria liniară a fost finalizată (metoda Bubnov-Galerkin, care face posibilă și determinarea frecvențelor de oscilație mai mari folosind aproximări succesive).
John William Strett (Lord Rayleigh) (1842 - 1919) - fizician englez, autor al unui număr de lucrări despre teoria oscilațiilor.
Ivan Grigorievich Bubnov (1872 - 1919) - unul dintre fondatorii mecanicii structurale a navelor. Profesor la Institutul Politehnic din Sankt Petersburg, din 1910 - la Academia Maritimă.
Boris Grigorievich Galerkin (1871-1945) - profesor la Institutul Politehnic din Leningrad.
Formula lui Rayleigh este cea mai populară în teoria vibrațiilor și stabilității sistemelor elastice. Ideea care stă la baza derivării formulei lui Rayleigh se rezumă la următoarele. Cu oscilații libere monoarmonice (un-ton) ale unui sistem elastic cu frecvența , mișcările punctelor sale au loc în timp conform legii armonice:
unde 1 (x,y,z), 2 (x,y,z), 3 (x,y,z) sunt funcții ale coordonatelor spațiale ale punctului care determină forma de oscilație în cauză (amplitudine).
Dacă aceste funcții sunt cunoscute, atunci frecvența vibrațiilor libere poate fi găsită din condiția ca suma energiei cinetice și potențiale a corpului să fie constantă. Această condiție conduce la o ecuație care conține o singură cantitate necunoscută.
Cu toate acestea, aceste funcții nu sunt cunoscute în avans. Ideea călăuzitoare a metodei Rayleigh este de a specifica aceste funcții, potrivindu-le alegerea cu condițiile la limită și cu forma așteptată a vibrațiilor.
Să luăm în considerare mai detaliat implementarea acestei idei pentru vibrațiile plane de încovoiere ale unei tije; forma vibrațiilor este descrisă de funcția =(x). Oscilațiile libere sunt descrise de dependență
energia potențială a unei tije îndoite
(2)
energie kinetică
(3)
Unde l- lungimea tijei, m=m(x) intensitatea masei distribuite a tijei;
Curbura axei curbe a tijei; - viteza vibratiilor transversale.
dat (1)
.
(4)
(5)
În timp, fiecare dintre aceste mărimi se modifică continuu, dar, conform legii conservării energiei, suma lor rămâne constantă, adică.
sau prin substituirea expresiilor (4), (5) aici
(7)
Aceasta duce la formula lui Rayleigh:
(8)
Dacă sarcinile concentrate cu mase M i sunt asociate cu o tijă cu masa distribuită m, atunci formula lui Rayleigh ia forma:
(9)
Întregul curs al derivației arată că, în cadrul ipotezelor acceptate (validitatea teoriei tehnice a îndoirii tijelor, absența rezistenței inelastice), această formulă este corectă dacă (x) este adevărata formă a vibrațiilor. . Cu toate acestea, funcția(x) este necunoscută în avans. Semnificația practică a formulei lui Rayleigh este că poate fi folosită pentru a găsi frecvența naturală, având în vedere forma vibrației(x). Totodată, în decizie se introduce un element de proximitate mai mult sau mai puțin serios. Din acest motiv, formula lui Rayleigh este uneori numită formulă aproximativă.
m=cosnt Să luăm ca formă de vibrație funcția:(x)=ax 2, care satisface condițiile cinematice la limită ale problemei.
Definim:
Conform formulei (8)
Acest rezultat diferă semnificativ de cel exact
Mai precisă este formula Grammel, care nu a devenit încă la fel de populară ca formula Rayleigh (poate datorită „tinereții” sale relative - a fost propusă în 1939).
Să ne oprim din nou asupra aceleiași probleme a vibrațiilor libere de îndoire ale unei tije.
Fie (x) forma specificată a oscilațiilor libere ale tijei. Atunci intensitatea forțelor maxime de inerție este determinată de expresia m 2 , unde, ca și mai înainte, m=m(x) este intensitatea masei distribuite a tijei; 2 este pătratul frecvenței naturale. Aceste forțe ating valoarea specificată în momentul în care deviațiile sunt maxime, adică. sunt determinate de funcţia(x).
Să scriem expresia pentru cea mai mare energie potențială de încovoiere în termeni de momente de încovoiere cauzate de forțele de inerție maxime:
. (10)
Aici 
- momentele încovoietoare cauzate de sarcina m 2 . Să notăm momentul încovoietor cauzat de sarcina condiționată m, adică. de 2 ori mai mică decât forța de inerție.
,
(11)
iar expresia (10) poate fi scrisă ca:
. (12)
Cea mai mare energie cinetică, la fel ca mai sus
. (13)
Echivalând expresiile (12) și (13) ajungem la formula Grammel:
(14)
Pentru a calcula folosind această formulă, trebuie mai întâi să specificați o funcție adecvată (x). După aceasta se determină sarcina condiționată m=m(x)(x) și se scriu expresiile pentru încovoiere cauzată de sarcina condiționată m. Folosind formula (14), se determină frecvența naturală de oscilație a sistemului.
Exemplu: (luați în considerare cel precedent)
y 
m(x)·(x)=max 2
Conform (3.7), sistemul de ecuații pentru II =2 are forma:
Deoarece vorbim despre oscilații libere, partea dreaptă a sistemului (3.7) este luată egală cu zero.
Cautam o solutie in formular
După înlocuirea (4.23) în (4.22) obținem:
Acest sistem de ecuații este valabil pentru un arbitrar t, prin urmare, expresiile cuprinse între paranteze drepte sunt egale cu zero. Astfel obținem un sistem liniar de ecuații algebrice pentru A și ÎN.
O soluție evidentă trivială pentru acest sistem L= Oh, B = O conform (4.23) corespunde absenței oscilațiilor. Cu toate acestea, alături de această soluție, există și o soluție non-trivială L * O, V F 0 cu condiția ca determinantul sistemului A ( La 2) egal cu zero:
Acest determinant se numește frecvență, iar ecuația este relativă k - ecuația frecvenței. Funcție extinsă A(k 2) poate fi reprezentat ca
Orez. 4.5
Pentru YatsYad - ^2 > ® și cu n ^-4>0 graficul A (k 2) are forma unei parabole care intersectează axa absciselor (fig. 4.5).
Să arătăm că pentru oscilațiile în jurul unei poziții stabile de echilibru, inegalitățile de mai sus sunt satisfăcute. Să transformăm expresia energiei cinetice după cum urmează:
La q, = 0 avem T = 0,5a.
În continuare, demonstrăm că rădăcinile ecuației de frecvență (4.25) sunt două valori pozitive La 2 și la 2(în teoria oscilațiilor, un indice mai mic corespunde unei frecvențe mai mici, adică k ( În acest scop, introducem mai întâi conceptul de frecvență parțială. Acest termen este înțeles ca frecvența naturală a unui sistem cu un grad de libertate, obținută din sistemul original prin fixarea tuturor coordonatelor generalizate cu excepția uneia. Deci, de exemplu, dacă în prima dintre ecuaţiile sistemului noi (4.22) acceptăm q 2 = 0, atunci frecvența parțială va fi p ( =yjc u /a n. În mod similar, fixând p 2 ~^c n /a 21.
Pentru ca ecuația de frecvență (4.25) să aibă două rădăcini reale k xȘi k 2, este necesar și suficient ca, în primul rând, graficul funcției A (la 2) la k = 0 ar avea o ordonată pozitivă și, în al doilea rând, că intersectează axa x. Cazul frecventelor multiple k ( = k. ) , precum și trecerea frecvenței celei mai joase la zero, nu este luată în considerare aici. Prima dintre aceste condiții este îndeplinită, deoarece d (0) = c„c 22 - cu şi> 0 Este ușor de verificat validitatea celei de-a doua condiții prin înlocuirea (4.25) k = k = p 2; în acest caz, A(p, 2) Informații de acest fel în calculele inginerești facilitează prognozele și estimările.
Cele două valori ale frecvenței rezultate La, Și la 2 corespund unor soluții particulare de forma (4.23), deci soluția generală are următoarea formă:
Astfel, fiecare dintre coordonatele generalizate participă la un proces oscilator complex, care este adăugarea de mișcări armonice cu frecvențe, amplitudini și faze diferite (Fig. 4.6). Frecvențele k tȘi la 2în cazul general sunt incomensurabile, prin urmare q v c, nu sunt funcții periodice.
Orez. 4.6
Raportul amplitudinilor vibrațiilor libere la o frecvență naturală fixă se numește coeficient de formă. Pentru un sistem cu două grade de libertate, coeficienții de formă (3.= BJA." sunt determinate direct din ecuațiile (4.24):
Astfel, coeficienții formei p, = V 1 /A [și r.,= V.,/A., depind doar de parametrii sistemului și nu depind de condițiile inițiale. Coeficienții de formă sunt caracterizați pentru frecvența naturală luată în considerare La. distribuția amplitudinilor de-a lungul circuitului oscilator. Combinația acestor amplitudini formează așa-numitul formă de vibrație.
O valoare negativă a factorului de formă înseamnă că oscilațiile sunt defazate.
Când folosesc programe standard de calculator, acestea folosesc uneori coeficienți de formă normalizați. Acest termen înseamnă
În indicele coeficientului p' g i corespunde numărului de coordonate și indexului G- număr de frecvență. Este evident că 
sau este ușor de observat că p*
În sistemul de ecuații (4.28), restul de patru necunoscute A g A 2, oc, cx 2 sunt determinate folosind condițiile inițiale:
Prezența unei forțe de rezistență liniare, la fel ca într-un sistem cu un grad de libertate, duce la amortizarea oscilațiilor libere.
Orez. 4.7
Exemplu. Să determinăm frecvențele naturale, frecvențele parțiale și factorii de formă pentru sistemul oscilator prezentat în Fig. 4.7, A. Luând deplasările absolute ale masei.g ca coordonate generalizate, = q v x 2 = q. r Să notăm expresiile pentru energiile cinetice și potențiale:
Prin urmare,
După substituirea în ecuațiile de frecvență (4.25) obținem
Mai mult, conform (4.29)
În fig. 4.7, b sunt date modurile de vibratie. În prima formă de oscilație, masele se mișcă sincron într-o direcție, iar în a doua, în sens opus. În plus, în acest din urmă caz a apărut o secțiune transversală N, neparticipând la procesul oscilator cu frecvența proprie k r Acesta este așa-numitul unitate de vibrații.
Teoria oscilațiilor libere ale sistemelor cu mai multe grade de libertate este construită într-un mod similar cu modul în care au fost considerate oscilațiile unidimensionale în § 21.
Fie energia potențială a sistemului U, în funcție de coordonatele generalizate, să aibă un minim la . Introducerea compensațiilor mici
și extinzând U în termenii lor până la termeni de ordinul doi, obținem energia potențială sub forma unei forme patratice definite pozitive
unde numărăm din nou energia potențială din valoarea sa minimă. Deoarece coeficienții și sunt incluși în (23.2) înmulțiți cu aceeași valoare, este clar că aceștia pot fi întotdeauna considerați simetrici în indici.
În energia cinetică, care în cazul general are forma
(vezi (5.5)), îl punem în coeficienți și, notând constantele cu , îl obținem sub forma unei forme patratice definite pozitive
Astfel, funcția lagrangiană a unui sistem care efectuează mici oscilații libere:
Să compunem acum ecuațiile de mișcare. Pentru a determina derivatele incluse în ele, scriem diferența totală a funcției Lagrange
Deoarece valoarea sumei nu depinde, desigur, de desemnarea indicilor de însumare, schimbăm primul și al treilea termen din paranteze i cu k și k cu i; ținând cont de simetria coeficienților, obținem:
Din aceasta este clar că
Prin urmare, ecuațiile lui Lagrange
(23,5)
Ele reprezintă un sistem de ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți.
Conform regulilor generale pentru rezolvarea unor astfel de ecuații, căutăm funcțiile necunoscute în formă
unde sunt unele constante, încă nedefinite. Înlocuind (23.6) în sistemul (23.5), obținem prin reducere la un sistem de ecuații algebrice liniare omogene care trebuie să fie satisfăcute de constantele:
Pentru ca acest sistem să aibă soluții diferite de zero, determinantul său trebuie să dispară
Ecuația (23.8) - așa-numita ecuație caracteristică este o ecuație de grad s față de Are, în cazul general, s rădăcini reale pozitive diferite (în cazuri speciale, unele dintre aceste rădăcini pot coincide). Mărimile determinate în acest fel se numesc frecvențe naturale ale sistemului.
Realitatea și pozitivitatea rădăcinilor ecuației (23.8) sunt deja evidente din considerente fizice. Într-adevăr, prezența unei părți imaginare în y ar însemna prezența în dependența de timp a coordonatelor (23.6) (și odată cu ele vitezele) a unui factor exponențial descrescător sau exponențial crescător. Dar prezența unui astfel de factor în acest caz este inacceptabilă, deoarece ar duce la o modificare a energiei totale a sistemului în timp, contrar legii conservării acestuia.
Același lucru poate fi verificat pur matematic. Înmulțind ecuația (23.7) cu și apoi însumând cu obținem:
Formele pătratice din numărătorul și numitorul acestei expresii sunt reale datorită realității și simetriei coeficienților și, într-adevăr,
Ele sunt, de asemenea, semnificativ pozitive și, prin urmare, pozitive
După ce s-au găsit frecvențele, înlocuind fiecare dintre ele în ecuațiile (23.7), se pot găsi valorile corespunzătoare ale coeficienților Dacă toate rădăcinile ecuației caracteristice sunt diferite, atunci, după cum se știe, coeficienții A sunt proporționale cu minorii determinantului (23.8), în care înlocuirea Notăm acești minori cu valoarea corespunzătoare prin Do. O soluție particulară a sistemului de ecuații diferențiale (23.5) are deci forma
unde este o constantă arbitrară (complexă).
Soluția generală este dată de suma tuturor soluțiilor particulare. Trecând la partea reală, o scriem sub formă
unde am introdus notația
(23,10)
Astfel, modificarea fiecăreia dintre coordonatele sistemului în timp reprezintă suprapunerea a s oscilații periodice simple cu amplitudini și faze arbitrare, dar având frecvențe bine definite.
Întrebarea apare în mod firesc: este posibil să alegeți coordonatele generalizate în așa fel încât fiecare dintre ele să efectueze o singură oscilație simplă? Însăși forma integralei generale (23.9) indică calea pentru rezolvarea acestei probleme.
De fapt, considerând s relații (23.9) ca un sistem de ecuații cu s mărimi necunoscute, putem, după ce am rezolvat acest sistem, să exprimăm mărimile prin coordonate. Prin urmare, mărimile pot fi considerate noi coordonate generalizate. Aceste coordonate sunt numite normale (sau principale), iar oscilațiile periodice simple pe care le efectuează sunt numite oscilații normale ale sistemului.
Coordonatele normale satisfac, după cum reiese din definiția lor, ecuațiile
(23,11)
Aceasta înseamnă că, în coordonate normale, ecuațiile de mișcare se descompun în ecuații independente una de cealaltă. Accelerația fiecărei coordonate normale depinde numai de valoarea aceleiași coordonate, iar pentru a determina pe deplin dependența acesteia de timp, este necesar să se cunoască valorile inițiale numai ale ei și viteza corespunzătoare. Cu alte cuvinte, oscilațiile normale ale sistemului sunt complet independente.
Din cele de mai sus, este evident că funcția Lagrange, exprimată în coordonate normale, se descompune într-o sumă de expresii, fiecare dintre acestea corespunde unei oscilații unidimensionale cu una dintre frecvențe, adică are forma
(23,12)
unde sunt constante pozitive. Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că prin transformarea (23.9) ambele forme pătratice - energia cinetică (23.3) și energia potențială (23.2) sunt reduse simultan la o formă diagonală.
De obicei, coordonatele normale sunt alese astfel încât coeficienții vitezelor pătrate în funcția Lagrange să fie egali cu 1/2. Pentru a face acest lucru, este suficient să definiți coordonatele normale (acum le notăm) prin egalități
Toate cele de mai sus se schimbă puțin în cazul în care printre rădăcinile ecuației caracteristice există rădăcini multiple. Forma generală (23.9), (23.10) a integralei ecuațiilor de mișcare rămâne aceeași (cu același număr de termeni) cu singura diferență că coeficienții corespunzători mai multor frecvențe nu mai sunt minori ai determinantului, care , după cum se știe, se transformă în acest caz la zero.
Fiecare frecvență multiplă (sau, după cum se spune, degenerată) corespunde la atâtea coordonate normale diferite cât gradul de multiplicitate, dar alegerea acestor coordonate normale nu este clară. Deoarece coordonatele normale (cu aceeași ) intră în energiile cinetice și potențiale sub formă de sume transformabile identic, ele pot fi supuse oricărei transformări liniare care lasă invariantă suma pătratelor.
Este foarte simplu să găsiți coordonatele normale pentru vibrațiile tridimensionale ale unui punct material situat într-un câmp extern constant. Amplasând originea sistemului de coordonate carteziene în punctul de energie potențială minimă, o obținem pe aceasta din urmă sub forma unei forme pătratice a variabilelor x, y, z și energia cinetică.
(m este masa particulelor) nu depinde de alegerea direcției axelor de coordonate. Prin urmare, prin rotirea corespunzătoare a axelor, este necesar doar aducerea energiei potențiale într-o formă diagonală. Apoi
iar vibrațiile de-a lungul axelor x, y, z sunt principalele cu frecvențe
În cazul special al unui câmp simetric central, aceste trei frecvențe coincid (vezi problema 3).
Utilizarea coordonatelor normale face posibilă reducerea problemei oscilațiilor forțate ale unui sistem cu mai multe grade de libertate la problemele oscilațiilor forțate unidimensionale. Funcția Lagrange a sistemului, ținând cont de forțele externe variabile care acționează asupra acestuia, are forma
(23,15)
unde este funcția lagrangiană a oscilațiilor libere.
Prin introducerea coordonatelor normale în loc de coordonate, obținem:
unde este introdusă denumirea
În consecință, ecuațiile mișcării
(23.17)
Sarcini
1. Determinați oscilațiile unui sistem cu două grade de libertate dacă funcția lui Lagrange
În cazul particular al unui sistem cu două grade de libertate, formele pătratice T, P, Ф vor fi, respectiv, egale.
iar ecuaţiile diferenţiale ale vibraţiilor mici vor lua forma
Să luăm în considerare oscilațiile libere ale unui sistem conservator. În acest caz
iar ecuațiile diferențiale iau forma:
Condițiile inițiale pentru a avea forma:
Datorită definiției pozitive a formei patratice a energiei cinetice, coeficienții de inerție generalizati satisfac relațiile
şi relaţii similare pentru coeficienţii cvasielastici
sunt condiţii suficiente pentru stabilitatea poziţiei de echilibru a sistemului.
Coeficienții și care leagă coordonatele generalizate și în ecuațiile (4.5) se numesc coeficienți de cuplare inerțială și, respectiv, elastică. Dacă sistemul oscilator are un coeficient , se numește sistem cu o legătură elastică, iar dacă este un sistem cu o legătură inerțială.
Un sistem parțial corespunzător coordonatei generalizate se numește sistem oscilator condiționat cu un grad de libertate, obținut din sistemul original dacă se impune o interdicție asupra modificării tuturor coordonatelor generalizate, cu excepția . Frecvențele parțiale sunt frecvențele naturale ale sistemelor parțiale:
Deoarece ecuațiile (4.5) conțin numai coordonate generalizate și derivatele lor secundare în raport cu timpul, căutăm soluția lor sub forma
unde sunt încă cantități necunoscute.
Înlocuind (4.8) în (4.5) și echivalând coeficienții sinusurilor, obținem un sistem algebric omogen în raport cu și:
Pentru ca sistemul algebric omogen (4.9) să aibă o soluție diferită de zero, acesta trebuie să fie degenerat, i.e. determinantul său trebuie să fie egal cu zero:
În consecință, soluția (4.7) va avea sens numai pentru acele valori care îndeplinesc condiția (4.9). Extinderea (4.10), obținem
O ecuație prezentată sub forma (4.10), (4.11) sau (4.12) se numește frecvență După cum se poate observa din (4.12), ecuația de frecvență este o ecuație biquadratică. Se numesc valorile găsite de la (4.10)–(4.12). frecvențele naturale ale oscilațiilor sistemului.
Studiul rădăcinilor ecuației de frecvență ne permite să tragem următoarele concluzii:
1) dacă poziția de echilibru este stabilă, atunci ambele rădăcini ale ecuației de frecvență sunt pozitive;
2) prima frecvență naturală a sistemului este întotdeauna mai mică decât frecvența parțială mai mică, iar a doua este mai mare decât frecvența parțială mai mare.
Pentru sistemele oscilatoare cu cuplaj elastic ( = 0), egalitatea
Să scriem două soluții parțiale independente corespunzătoare frecvențelor și , sub forma
unde a doua cifră din index corespunde numărului sau numărului de frecvență tonuri de vibrație.
Constantele nu sunt independente, deoarece sistemul (4.9) este degenerat. Coeficienții sunt legați între ei prin relații
Unde . (4,15)
Unde . (4,16)
Ținând cont de (4.15) și (4.16), soluțiile particulare (4.14) vor avea forma
Se numesc oscilații ale căror ecuații au forma (4.17). principalele fluctuatii. Ele reprezintă vibrații armonice cu frecvențe și respectiv. Coeficienții se numesc coeficienții de distribuție a amplitudinii. Ele caracterizează raportul amplitudinilor în vibrațiile principale sau formă principalele fluctuatii.
Coeficienții de distribuție a amplitudinilor și, în consecință, formele vibrațiilor principale, precum și frecvențele naturale, sunt determinate de parametrii sistemului oscilator însuși și nu depind de condițiile inițiale. Prin urmare, se numesc modurile de vibrație, precum și frecvențele, propriile moduri de vibrație când oscilează după tonul corespunzător.
Soluția generală a sistemului de ecuații (4.5) poate fi reprezentată ca suma soluțiilor parțiale găsite (4.17)
Soluția generală conține patru constante nedeterminate, care trebuie determinate din condițiile inițiale (4.6).
În condiții inițiale arbitrare, ambele constante și sunt diferite de zero. Aceasta înseamnă că modificarea în timp a fiecărei coordonate generalizate va fi suma oscilațiilor armonice cu frecvențele și . Și astfel de oscilații nu sunt doar nearmonice, dar în cazul general nu sunt periodice.
Să luăm în considerare cazul oscilațiilor libere ale sistemului, când frecvențele naturale ale oscilațiilor sistemului diferă puțin unele de altele:
Să notăm diferența dintre argumentele sinusurilor în soluția generală (4.18) a ecuațiilor de oscilații libere
Când valoarea este , și odată cu creșterea timpului, această dependență crește foarte lent datorită micii sale. Apoi
Ținând cont de ultima egalitate, soluția generală a ecuațiilor de vibrații libere (4.18) se poate scrie astfel:
În aceste ecuații
Deoarece expresiile (4.21) depind de și , iar unghiul se modifică lent în timp, oscilațiile considerate (4.20) vor fi oscilații cu o amplitudine care variază periodic. Perioada de modificare a amplitudinii în acest caz este mult mai lungă decât perioada de oscilație (Fig. 4.1). Dacă coeficienții de distribuție a amplitudinii au semne diferite, atunci minimul corespunde maximului și invers. Pe măsură ce prima vibrație principală se intensifică, intensitatea celei de-a doua vibrații principale scade și invers, adică energia de mișcare a sistemului pare periodic concentrată într-una sau alta verigă a acestui sistem vibrant. Acest fenomen se numește bătaie.
O altă abordare pentru rezolvarea problemei oscilațiilor libere ale sistemului este posibilă - găsirea unor noi coordonate generalizate și numite normal sau principal, pentru care, în orice condiții inițiale, mișcarea va fi de o singură frecvență și armonică.
Relația dintre coordonatele generalizate și , alese arbitrar, și coordonatele principale și poate fi exprimată astfel:
unde și sunt coeficienți de distribuție a amplitudinii (coeficienți de formă). Se poate arăta că trecerea de la coordonatele inițiale la cele principale duce formele pătratice de energie cinetică și potențială la forma canonică:
Înlocuind expresiile (4.23) obținute pentru și în ecuațiile Lagrange de al doilea fel, obținem ecuațiile pentru mici oscilații ale sistemului în coordonate principale: . Expresiile pentru energia cinetică și potențială vor avea forma canonică: și
Să luăm în considerare micile oscilații ale unui sistem cu două grade de libertate, care este supus forțelor unui câmp potențial și forțelor care se modifică periodic în timp. Mișcările rezultate ale sistemului se numesc oscilații forțate.
Fie ca forțele generalizate perturbatoare să varieze după o lege armonică cu timpul, având perioade și faza inițială egale. Atunci ecuațiile de mișcare ale sistemului luat în considerare vor fi de forma:
Ecuațiile de mișcare din cazul în cauză sunt un sistem de ecuații diferențiale liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți și o parte dreaptă.
Accesați coordonatele principale
Pentru comoditatea studierii ecuațiilor de mișcare, să trecem la coordonatele principale ale sistemului.Relația dintre coordonate este determinată de formulele paragrafului anterior al formei:
Notam prin corespunzator fortele generalizate corespunzatoare coordonatelor normale.Intrucat fortele generalizate reprezinta coeficienti pentru variatiile corespunzatoare ale coordonatelor generalizate in expresia muncii elementare a fortelor care actioneaza asupra sistemului, atunci
Prin urmare:
Astfel, ecuațiile de mișcare în coordonatele principale iau forma:
Ecuațiile oscilațiilor forțate ale unui sistem cu două grade de libertate în coordonate normale sunt independente unele de altele și pot fi integrate separat.
Frecvențele critice ale forței perturbatoare
Ecuația pentru sau determină natura oscilativă a modificării coordonatelor normale, studiată în detaliu atunci când se consideră oscilația forțată a unui punct de-a lungul unei drepte, deoarece ecuațiile diferențiale ale mișcării sunt aceleași în ambele cazuri. În special, dacă frecvența forței perturbatoare este egală cu frecvența uneia dintre oscilațiile naturale ale sistemului, sau atunci soluția va include timpul t ca factor. În consecință, una dintre coordonatele generalizate normale pentru un t suficient de mare va fi arbitrar mare, sau avem fenomenul de rezonanță.
