Una dintre ramurile matematicii cu care școlarii fac față celor mai mari dificultăți este trigonometria. Nu e de mirare: pentru a stăpâni liber această zonă de cunoaștere, aveți nevoie de gândire spațială, abilitatea de a găsi sinusuri, cosinus, tangente, cotangente folosind formule, simplifica expresii și puteți utiliza numărul pi în calcule. În plus, trebuie să fiți capabil să aplicați trigonometria atunci când demonstrați teoreme, iar acest lucru necesită fie o memorie matematică dezvoltată, fie capacitatea de a deduce lanțuri logice complexe.
Originile trigonometriei
Cunoașterea acestei științe ar trebui să înceapă cu definirea sinusului, cosinusului și tangentei unghiului, dar mai întâi trebuie să vă dați seama ce face trigonometria în general.
Din punct de vedere istoric, triunghiurile dreptunghiulare au fost obiectul principal de studiu în această secțiune a științei matematice. Prezența unui unghi de 90 de grade face posibilă efectuarea diferitelor operații care permit determinarea valorilor tuturor parametrilor figurii luate în considerare folosind două laturi și un unghi sau două unghiuri și o latură. În trecut, oamenii au observat acest model și au început să-l folosească în mod activ în construcția de clădiri, navigație, astronomie și chiar artă.
Primul stagiu
Inițial, oamenii au vorbit despre relația dintre unghiuri și laturi exclusiv pe exemplul triunghiurilor dreptunghiulare. Apoi au fost descoperite formule speciale care au făcut posibilă extinderea limitelor de utilizare în viața de zi cu zi a acestei secțiuni de matematică.
Studiul trigonometriei la școală începe astăzi cu triunghiuri dreptunghiulare, după care cunoștințele dobândite sunt folosite de elevii la fizică și rezolvarea ecuațiilor trigonometrice abstracte, lucru cu care începe în liceu.
Trigonometrie sferică
Mai târziu, când știința a ajuns la următorul nivel de dezvoltare, formulele cu sinus, cosinus, tangentă, cotangentă au început să fie folosite în geometria sferică, unde se aplică alte reguli, iar suma unghiurilor dintr-un triunghi este întotdeauna mai mare de 180 de grade. Această secțiune nu este studiată la școală, dar este necesar să știm despre existența ei, cel puțin pentru că suprafața pământului, precum și suprafața oricărei alte planete, este convexă, ceea ce înseamnă că orice marcaj de suprafață va fi „în formă de arc” în spatiu tridimensional.
Luați globul și ata. Atașați firul la oricare două puncte de pe glob, astfel încât să fie întins. Atenție - a căpătat forma unui arc. Cu astfel de forme se ocupă geometria sferică, care este folosită în geodezie, astronomie și alte domenii teoretice și aplicate.
Triunghi dreptunghic
După ce am învățat puțin despre modalitățile de utilizare a trigonometriei, să revenim la trigonometria de bază pentru a înțelege mai bine ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta, ce calcule pot fi efectuate cu ajutorul lor și ce formule să folosiți.
Primul pas este să înțelegeți conceptele legate de un triunghi dreptunghic. În primul rând, ipotenuza este latura opusă unghiului de 90 de grade. Ea este cea mai lungă. Ne amintim că, conform teoremei lui Pitagora, valoarea sa numerică este egală cu rădăcina sumei pătratelor celorlalte două laturi.
De exemplu, dacă două laturi au 3 și respectiv 4 centimetri, lungimea ipotenuzei va fi de 5 centimetri. Apropo, egiptenii antici știau despre asta acum aproximativ patru mii și jumătate de ani.
Cele două laturi rămase care formează un unghi drept se numesc picioare. În plus, trebuie să ne amintim că suma unghiurilor dintr-un triunghi într-un sistem de coordonate dreptunghiular este de 180 de grade.
Definiție
În cele din urmă, cu o înțelegere solidă a bazei geometrice, ne putem întoarce la definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi.
Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (adică, latura opusă unghiului dorit) și ipotenuză. Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
Amintiți-vă că nici sinus, nici cosinus nu pot fi mai mari decât unu! De ce? Deoarece ipotenuza este implicit cea mai lungă. Indiferent cât de lung este catetul, acesta va fi mai scurt decât ipotenuza, ceea ce înseamnă că raportul lor va fi întotdeauna mai mic de unu. Astfel, dacă obțineți un sinus sau cosinus cu o valoare mai mare decât 1 în răspunsul la problemă, căutați o eroare în calcule sau raționament. Acest răspuns este clar greșit.
În cele din urmă, tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Același rezultat va da împărțirea sinusului la cosinus. Uite: conform formulei, împărțim lungimea laturii la ipotenuză, după care împărțim cu lungimea celei de-a doua laturi și înmulțim cu ipotenuză. Astfel, obținem același raport ca în definiția tangentei.
Cotangenta, respectiv, este raportul dintre latura adiacentă colțului și latura opusă. Același rezultat îl obținem împărțind unitatea la tangentă.
Deci, am luat în considerare definițiile a ceea ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă și ne putem ocupa de formule.
Cele mai simple formule
În trigonometrie, nu se poate face fără formule - cum să găsești sinus, cosinus, tangentă, cotangentă fără ele? Și exact acest lucru este necesar atunci când rezolvați probleme.
Prima formulă pe care trebuie să o știți când începeți să studiați trigonometria spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este egală cu unu. Această formulă este o consecință directă a teoremei lui Pitagora, dar economisește timp dacă vrei să cunoști valoarea unghiului, nu a laturii.
Mulți elevi nu-și pot aminti a doua formulă, care este, de asemenea, foarte populară atunci când rezolvă probleme școlare: suma lui unu și pătratul tangentei unui unghi este egală cu unul împărțit la pătratul cosinusului unghiului. Aruncă o privire mai atentă: la urma urmei, aceasta este aceeași afirmație ca în prima formulă, doar ambele părți ale identității au fost împărțite la pătratul cosinusului. Se dovedește că o simplă operație matematică face formula trigonometrică complet de nerecunoscut. Amintiți-vă: știind ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, regulile de conversie și câteva formule de bază, puteți oricând să obțineți în mod independent formulele mai complexe necesare pe o foaie de hârtie.
Formule cu unghi dublu și adăugare de argumente
Încă două formule pe care trebuie să le învățați sunt legate de valorile sinusului și cosinusului pentru suma și diferența unghiurilor. Ele sunt prezentate în figura de mai jos. Vă rugăm să rețineți că, în primul caz, sinusul și cosinusul sunt înmulțite de ambele ori, iar în al doilea, produsul pe perechi dintre sinus și cosinus este adăugat.
Există și formule asociate cu argumente cu unghi dublu. Sunt complet derivate din cele anterioare - ca practică, încercați să le obțineți singur, luând unghiul alfa egal cu unghiul beta.
În cele din urmă, rețineți că formulele cu unghi dublu pot fi convertite pentru a reduce gradul de sinus, cosinus, tangentă alfa.
Teoreme
Cele două teoreme principale în trigonometrie de bază sunt teorema sinusului și teorema cosinusului. Cu ajutorul acestor teoreme, puteți înțelege cu ușurință cum să găsiți sinusul, cosinusul și tangenta și, prin urmare, aria figurii și dimensiunea fiecărei laturi etc.
Teorema sinusului afirmă că, în urma împărțirii lungimii fiecăreia dintre laturile triunghiului la valoarea unghiului opus, obținem același număr. Mai mult, acest număr va fi egal cu două raze ale cercului circumscris, adică cercul care conține toate punctele triunghiului dat.
Teorema cosinusului generalizează teorema lui Pitagora, proiectând-o pe orice triunghi. Se pare că din suma pătratelor celor două laturi, scădeți produsul lor înmulțit cu cosinusul dublu al unghiului adiacent acestora - valoarea rezultată va fi egală cu pătratul celei de-a treia laturi. Astfel, teorema lui Pitagora se dovedește a fi un caz special al teoremei cosinusului.
Greșeli din cauza neatenției
Chiar și știind ce sunt sinus, cosinus și tangentă, este ușor să faci o greșeală din cauza distragerii sau a unei erori în cele mai simple calcule. Pentru a evita astfel de greșeli, să facem cunoștință cu cele mai populare dintre ele.
În primul rând, nu trebuie să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale până când nu se obține rezultatul final - puteți lăsa răspunsul ca o fracție obișnuită, cu excepția cazului în care condiția indică altfel. O astfel de transformare nu poate fi numită o greșeală, dar trebuie amintit că în fiecare etapă a problemei pot apărea noi rădăcini, care, după ideea autorului, ar trebui reduse. În acest caz, veți pierde timpul cu operații matematice inutile. Acest lucru este valabil mai ales pentru valori precum rădăcina lui trei sau doi, deoarece acestea apar în sarcini la fiecare pas. Același lucru este valabil și pentru rotunjirea numerelor „urâte”.
Mai mult, rețineți că teorema cosinusului se aplică oricărui triunghi, dar nu teorema lui Pitagora! Dacă uitați din greșeală să scădeți de două ori produsul laturilor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele, nu numai că veți obține un rezultat complet greșit, dar veți demonstra și o neînțelegere completă a subiectului. Acest lucru este mai rău decât o greșeală neglijentă.
În al treilea rând, nu confundați valorile pentru unghiuri de 30 și 60 de grade pentru sinusuri, cosinus, tangente, cotangente. Rețineți aceste valori, deoarece sinusul de 30 de grade este egal cu cosinusul lui 60 și invers. Este ușor să le amesteci, în urma căruia vei obține inevitabil un rezultat eronat.
Aplicație
Mulți studenți nu se grăbesc să înceapă să studieze trigonometria, deoarece nu înțeleg sensul aplicat al acesteia. Ce este sinusul, cosinusul, tangenta pentru un inginer sau astronom? Acestea sunt concepte datorită cărora puteți calcula distanța până la stelele îndepărtate, puteți prezice căderea unui meteorit, puteți trimite o sondă de cercetare pe o altă planetă. Fără ele, este imposibil să construiești o clădire, să proiectezi o mașină, să calculezi sarcina pe suprafață sau traiectoria unui obiect. Și acestea sunt doar exemplele cele mai evidente! La urma urmei, trigonometria într-o formă sau alta este folosită peste tot, de la muzică la medicină.
In cele din urma
Deci ești sinus, cosinus, tangentă. Le puteți folosi în calcule și rezolva cu succes problemele școlare.
Întreaga esență a trigonometriei se rezumă la faptul că parametrii necunoscuți trebuie să fie calculați din parametrii cunoscuți ai triunghiului. Există șase parametri în total: lungimile a trei laturi și mărimile a trei unghiuri. Întreaga diferență a sarcinilor constă în faptul că sunt date diferite date de intrare.
Cum să găsiți sinusul, cosinusul, tangenta pe baza lungimii cunoscute ale catetelor sau ipotenuzei, acum știți. Deoarece acești termeni nu înseamnă altceva decât un raport, iar un raport este o fracție, principalul scop al problemei trigonometrice este de a găsi rădăcinile unei ecuații obișnuite sau ale unui sistem de ecuații. Și aici vei fi ajutat de matematica școlară obișnuită.
Trigonometria este o ramură a matematicii care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Dezvoltarea trigonometriei a început în zilele Greciei antice. În timpul Evului Mediu, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și India au adus o contribuție importantă la dezvoltarea acestei științe.
Acest articol este dedicat conceptelor și definițiilor de bază ale trigonometriei. Se discută definițiile principalelor funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Semnificația lor în contextul geometriei este explicată și ilustrată.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Inițial, definițiile funcțiilor trigonometrice, al căror argument este un unghi, au fost exprimate prin raportul laturilor unui triunghi dreptunghic.
Definiții ale funcțiilor trigonometrice
Sinusul unui unghi (sin α) este raportul catetului opus acestui unghi față de ipotenuză.
Cosinusul unghiului (cos α) este raportul catetei adiacente la ipotenuză.
Tangenta unghiului (t g α) este raportul dintre catetul opus față de cel alăturat.
Cotangenta unghiului (c t g α) este raportul dintre catetul adiacent și cel opus.
Aceste definiții sunt date pentru un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic!
Să dăm o ilustrare.
În triunghiul ABC cu unghi drept C, sinusul unghiului A este egal cu raportul dintre catetul BC și ipotenuza AB.
Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei fac posibilă calcularea valorilor acestor funcții din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi.
Important de reținut!
Gama de valori sinus și cosinus: de la -1 la 1. Cu alte cuvinte, sinus și cosinus iau valori de la -1 la 1. Gama de valori tangente și cotangente este întreaga linie numerică, adică acestea funcțiile pot lua orice valoare.
Definițiile date mai sus se referă la unghiuri ascuțite. În trigonometrie este introdus conceptul de unghi de rotație, a cărui valoare, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitată de cadre de la grade 0 la 90. Unghiul de rotație în grade sau radiani este exprimat prin orice număr real din - ∞ la + ∞.
În acest context, se poate defini sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de mărime arbitrară. Imaginează-ți un cerc unitar centrat la originea sistemului de coordonate carteziene.
Punctul de pornire A cu coordonatele (1 , 0) se rotește în jurul centrului cercului unitar cu un anumit unghi α și merge la punctul A 1 . Definiția este dată prin coordonatele punctului A 1 (x, y).
Sinus (sin) al unghiului de rotație
Sinusul unghiului de rotație α este ordonata punctului A 1 (x, y). sinα = y
Cosinus (cos) al unghiului de rotație
Cosinusul unghiului de rotație α este abscisa punctului A 1 (x, y). cos α = x
Tangenta (tg) unghiului de rotație
Tangenta unghiului de rotație α este raportul dintre ordonata punctului A 1 (x, y) și abscisa acestuia. t g α = y x
Cotangente (ctg) unghiului de rotație
Cotangenta unghiului de rotație α este raportul dintre abscisa punctului A 1 (x, y) și ordonata sa. c t g α = x y
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație. Acest lucru este logic, deoarece abscisa și ordonata punctului după rotație pot fi determinate în orice unghi. Situația este diferită cu tangenta și cotangenta. Tangenta nu este definită atunci când punctul de după rotație merge la punctul cu abscisă zero (0 , 1) și (0 , - 1). În astfel de cazuri, expresia pentru tangenta t g α = y x pur și simplu nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. Situația este similară cu cotangenta. Diferența este că cotangenta nu este definită în cazurile în care ordonata punctului dispare.
Important de reținut!
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α.
Tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
Cotangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Când rezolvați exemple practice, nu spuneți „sinusul unghiului de rotație α”. Cuvintele „unghi de rotație” sunt pur și simplu omise, ceea ce înseamnă că din context este deja clar ce este în joc.
Numerele
Dar definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr și nu unghiului de rotație?
Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui număr
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t se numește un număr, care este, respectiv, egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta în t radian.
De exemplu, sinusul lui 10 π este egal cu sinusul unghiului de rotație de 10 π rad.
Există o altă abordare a definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Să o luăm în considerare mai detaliat.
Orice număr real t un punct de pe cercul unitar este pus în corespondență cu centrul de la originea sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt definite în funcție de coordonatele acestui punct.
Punctul de pornire al cercului este punctul A cu coordonatele (1, 0).
număr pozitiv t
Număr negativ t corespunde punctului în care se va deplasa punctul de plecare dacă se deplasează în sens invers acelor de ceasornic în jurul cercului și trece pe calea t .
Acum că s-a stabilit legătura dintre număr și punctul de pe cerc, trecem la definirea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.
Sinusul (păcatul) al numărului t
Sinusul unui număr t- ordonata punctului cercului unitar corespunzatoare numarului t. sin t = y
Cosinus (cos) al lui t
Cosinusul unui număr t- abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. cos t = x
Tangenta (tg) a lui t
Tangenta unui număr t- raportul ordonatei la abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. t g t = y x = sin t cos t
Aceste din urmă definiții sunt în concordanță cu și nu contrazic definiția dată la începutul acestei secțiuni. Punct pe un cerc corespunzător unui număr t, coincide cu punctul la care trece punctul de plecare după întoarcerea prin unghi t radian.
Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric
Fiecare valoare a unghiului α corespunde unei anumite valori a sinusului și cosinusului acestui unghi. La fel ca toate unghiurile α, altele decât α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corespunde unei anumite valori a tangentei. Cotangenta, așa cum sa menționat mai sus, este definită pentru toate α, cu excepția α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Putem spune că sin α , cos α , t g α , c t g α sunt funcții ale unghiului alfa, sau funcții ale argumentului unghiular.
În mod similar, se poate vorbi de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ca funcții ale unui argument numeric. Fiecare număr real t corespunde unei valori specifice a sinusului sau cosinusului unui număr t. Toate numerele, altele decât π 2 + π · k , k ∈ Z, corespund valorii tangentei. Cotangenta este definită în mod similar pentru toate numerele, cu excepția π · k , k ∈ Z.
Funcții de bază ale trigonometriei
Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt funcțiile trigonometrice de bază.
De obicei, este clar din context cu ce argument al funcției trigonometrice (argument unghiular sau argument numeric) avem de-a face.
Să revenim la datele de la începutul definițiilor și la unghiul alfa, care se află în intervalul de la 0 la 90 de grade. Definițiile trigonometrice ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt în deplin acord cu definițiile geometrice date folosind rapoartele laturilor unui triunghi dreptunghic. Să o arătăm.
Luați un cerc unitar centrat pe un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Să rotim punctul de pornire A (1, 0) cu un unghi de până la 90 de grade și să tragem din punctul rezultat A 1 (x, y) perpendicular pe axa x. În triunghiul dreptunghic rezultat, unghiul A 1 O H este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei O H este egală cu abscisa punctului A 1 (x, y) . Lungimea catetului opus colțului este egală cu ordonata punctului A 1 (x, y), iar lungimea ipotenuzei este egală cu unu, deoarece este raza cercului unitar.
În conformitate cu definiția din geometrie, sinusul unghiului α este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Aceasta înseamnă că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic prin raportul de aspect este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α, cu alfa situată în intervalul de la 0 la 90 de grade.
În mod similar, corespondența definițiilor poate fi arătată pentru cosinus, tangentă și cotangentă.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
1. Funcții trigonometrice sunt funcţii elementare al căror argument este colţ. Funcțiile trigonometrice descriu relațiile dintre laturile și unghiurile ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic. Domeniile de aplicare a funcțiilor trigonometrice sunt extrem de diverse. Deci, de exemplu, orice proces periodic poate fi reprezentat ca o sumă de funcții trigonometrice (seria Fourier). Aceste funcții apar adesea la rezolvarea ecuațiilor diferențiale și funcționale.
2. Funcțiile trigonometrice includ următoarele 6 funcții: sinusului, cosinus, tangentă,cotangentă, secantăși cosecant. Pentru fiecare dintre aceste funcții, există o funcție trigonometrică inversă.
3. Este convenabil să se introducă definiția geometrică a funcțiilor trigonometrice folosind cerc unitar. Figura de mai jos prezintă un cerc cu raza r=1. Punctul M(x,y) este marcat pe cerc. Unghiul dintre vectorul rază OM și direcția pozitivă a axei Ox este α.
4. sinusului unghiul α este raportul dintre ordonata y a punctului M(x,y) și raza r:
sinα=y/r.
Deoarece r=1, atunci sinusul este egal cu ordonata punctului M(x,y).
5. cosinus unghiul α este raportul dintre abscisa x punctului M(x,y) și raza r:
cosα=x/r
6. tangentă unghiul α este raportul dintre ordonata y a punctului M(x,y) și abscisa sa x:
tanα=y/x,x≠0
7. Cotangentă unghiul α este raportul dintre abscisa x a punctului M(x,y) și ordonata y:
cotα=x/y,y≠0
8. Secantă unghiul α este raportul dintre raza r și abscisa x a punctului M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0
9. Cosecant unghiul α este raportul dintre raza r și ordonata y a punctului M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. În cercul unitar al proiecției x, y punctele M(x, y) și raza r formează un triunghi dreptunghic, în care x, y sunt catetele, iar r este ipotenuza. Prin urmare, definițiile de mai sus ale funcțiilor trigonometrice aplicate unui triunghi dreptunghic sunt formulate după cum urmează:
sinusului unghiul α este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.
cosinus unghiul α este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
tangentă unghiul α se numește catet opus celui alăturat.
Cotangentă unghiul α se numește cateta adiacentă opusului.
Secantă unghiul α este raportul dintre ipotenuză și catetul adiacent.
Cosecant unghiul α este raportul dintre ipotenuză și catetul opus.
11. graficul funcției sinus
y=sinx, domeniu: x∈R, domeniu: −1≤sinx≤1
12. Graficul funcției cosinus
y=cosx, domeniu: x∈R, interval: −1≤cosx≤1
13. graficul funcției tangente 14. Graficul funcției cotangente 15. Graficul funcției secante
y=tanx, domeniu: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domeniu: −∞ 
y=cotx, domeniu: x∈R,x≠kπ, domeniu: −∞ 
y=secx, domeniu: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domeniu: secx∈(−∞,−1]∪∪)
