Primitiv. Cuvânt frumos.) Pentru început, puțin rusește. Așa se pronunță cuvântul, nu "primordial" după cum poate părea. Antiderivată este conceptul de bază al întregului calcul integral. Orice integrale - nedefinite, definite (veți să vă familiarizați cu ele deja în acest semestru), precum și duble, triple, curbilinii, de suprafață (și acestea sunt personajele principale ale celui de-al doilea an) - sunt construite pe acest concept cheie. Are complet sens să stăpânești. Merge.)

Înainte de a ne familiariza cu conceptul de antiderivat, să reamintim în termeni cei mai generali cei mai comune derivat. Fără să pătrundem în teoria plictisitoare a limitelor, a creșterilor argumentului și a altor lucruri, putem spune că găsirea derivatei (sau diferenţiere) este doar o operație matematică pe funcţie. Si asta e. Este luată orice funcție (de exemplu, f(x) = x2) și după anumite reguli se transformă în optiune noua. Și acesta este unul optiune nouași a sunat derivat.

În cazul nostru, înainte de diferențiere a existat o funcție f(x) = x2, iar după diferențiere a devenit deja alta functie f'(x) = 2x.

Derivat– pentru că noua noastră funcție f'(x) = 2x s-a întâmplat din functie f(x) = x2. Ca urmare a operaţiei de diferenţiere. Și mai mult, este de la ea, și nu de la vreo altă funcție ( x 3, De exemplu).

Aproximativ vorbind, f(x) = x2- aceasta este mama, f'(x) = 2x– fiica ei iubită.) Acest lucru este de înțeles. Mergi mai departe.

Matematicienii sunt oameni neliniştiţi. Pentru fiecare acțiune ei încearcă să găsească o reacție. :) Există adunare - există și scădere. Există înmulțire și există împărțire. A ridica la putere înseamnă a extrage o rădăcină. Sinusul este arcsinusul. Există exact la fel diferenţiere Asta înseamnă că există... integrare.)

Și acum să punem o problemă atât de interesantă. Avem, de exemplu, o funcție atât de simplă f(x) = 1. Și trebuie să răspundem la această întrebare:

Derivata CARE functie ne da functiaf(X) = 1?

Cu alte cuvinte, văzându-i pe fiică, folosind analize ADN, să-ți dai seama cine este mama ei. :) Deci de la ce original funcția (să o numim F(x)) nostru derivat funcția f(x) = 1? Sau, sub formă matematică, Pentru ce funcția F(x) egalitatea este îndeplinită:

F'(x) = f(x) = 1?

Un exemplu elementar. Am încercat.) Alegem doar funcția F (x) astfel încât egalitatea să funcționeze. :) Ei bine, cum ai luat-o? Oh, sigur! F(x) = x. Pentru că:

F'(x) = x' = 1 = f(x).

Desigur, am găsit-o pe mama F(x) = x trebuie să-i spui ceva, da.) Întâlnește-mă!

Un antiderivat pentru o funcțief(X) este o astfel de funcțieF(X), a cărui derivată este egală cuf(X), adică pentru care egalitateaF’(X) = f(X).

Asta e tot. Gata cu trucurile științifice. În definiția strictă, se adaugă o frază suplimentară "intre x". Dar nu ne vom adânci în aceste subtilități deocamdată, deoarece sarcina noastră principală este să învățăm cum să găsim tocmai aceste primitive.

În cazul nostru, se dovedește doar că funcția F(x) = x este o primitiv pentru functie f(x) = 1.

De ce? deoarece F'(x) = f(x) = 1. Derivata lui x este unitatea. Fara obiectii.)

Termenul „primordial” într-un mod filistean înseamnă „strămoș”, „părinte”, „strămoș”. Ne amintim imediat de persoana cea mai dragă și apropiată.) Și căutarea antiderivatului în sine este restabilirea funcției originale. prin derivatul său cunoscut. Cu alte cuvinte, această acțiune inversul diferențierii. Si asta e! Acest proces fascinant în sine este numit și destul de științific - integrare. Dar despre integrale- mai tarziu. Răbdare, prieteni!

Tine minte:

Integrarea este o operație matematică asupra unei funcții (la fel ca și diferențierea).

Integrarea este operația inversă a diferențierii.

Antiderivatul este rezultatul integrării.

Acum să complicăm sarcina. Să găsim acum antiderivată pentru funcție f(x) = x. Adică să găsim o asemenea functie F(x) , la derivatul său ar fi egal cu x:

F'(x) = x

Cine este prieten cu derivate, poate că va veni în minte ceva de genul acesta:

(x 2)' = 2x.

Ei bine, respect și respect celor care își amintesc de tabelul derivatelor!) Așa este. Dar există o problemă. Funcția noastră originală f(x) = x, A (x2)' = 2 X. Două X. Și după diferențiere, ar trebui să obținem doar x. Nu e bine. Dar…

Suntem un popor științific. Am primit certificate.) Și știm de la școală că ambele părți ale oricărei egalități pot fi înmulțite și împărțite la același număr (cu excepția zero, desigur)! Asa de amenajat. Să profităm de această oportunitate.)

La urma urmei, vrem un x curat la dreapta, nu? Și doi interferează ... Deci luăm raportul pentru derivata (x 2) '= 2x și împărțim ambele părți ale acestuia pentru acestea doua:

Deci, clarifică câteva lucruri. Mergi mai departe. Știm că orice constantă poate fi scoate-l din semnul derivatului. Ca aceasta:

Toate formulele din matematică funcționează atât de la stânga la dreapta, cât și invers - de la dreapta la stânga. Aceasta înseamnă că, cu același succes, orice constantă poate fi se introduce sub semnul derivat:

În cazul nostru, le ascundem pe cele două în numitor (sau, care este același, coeficientul 1/2) sub semnul derivatei:

Si acum atent Să aruncăm o privire la înregistrarea noastră. Ce vedem? Vedem o egalitate care spune că derivata lui ceva(Acest ceva- între paranteze) este egal cu x.

Egalitatea rezultată înseamnă doar că antiderivată dorită pentru funcție f(x) = x serveste functiei F(x) = x2/2 . Cel care se află între paranteze sub cursă. Direct după semnificația antiderivatei.) Ei bine, să verificăm rezultatul. Să găsim derivata:

Amenda! Am primit funcția originală f(x) = x. Din ce au dansat, s-au întors. Aceasta înseamnă că antiderivatul nostru este găsit corect.)

Si daca f(x) = x2? Cu ce ​​este egalul său primitiv? Nici o problema! Tu și cu mine știm (din nou, din regulile de diferențiere) că:

3x2 = (x3)'

ȘI, acesta este,

Am înţeles? Acum noi, imperceptibil pentru noi înșine, am învățat să numărăm antiderivatele pentru oricare funcția de putere f(x)=x n. În minte.) Luăm indicatorul inițial n, măriți-l cu unul, iar drept compensație împărțim întreaga structură la n+1:

Formula rezultată, de altfel, este valabilă nu numai pentru indicatorul natural grade n, dar și pentru orice altul - negativ, fracțional. Acest lucru face ușor să găsiți antiderivate din simplu fractiiși rădăcini.

De exemplu:

Natural, n ≠ -1 , altfel numitorul formulei este zero, iar formula își pierde sensul.) Despre acest caz special n=-1 un pic mai tarziu.)

Ce este o integrală nedefinită? Tabelul integralelor.

Să spunem care este derivata pentru funcție F(x) = x? Ei bine, unu, unul - aud răspunsuri nemulțumite... Așa e. Unitate. Dar... Pentru funcție G(x) = x+1 derivat va fi de asemenea egal cu unu.:

De asemenea, derivata va fi egală cu unu pentru funcție x+1234 , și pentru funcție x-10 , și pentru orice altă funcție a formularului x+C , Unde Cu este orice constantă. Pentru că derivata oricărei constante este egală cu zero, iar din adunarea/scăderea lui zero, nimeni nu este rece sau fierbinte.)

Se dovedește ambiguitate. Se pare că pentru funcție f(x) = 1 servește ca prototip nu doar o funcție F(x) = x , dar și funcția F 1 (x) = x+1234 și funcția F 2 (x) = x-10 etc!

Da. Așa este.) Pentru toată lumea ( continuu pe interval) al funcției, nu există doar o singură antiderivată, ci infinit de multe - o familie intreaga! Nu o singură mamă sau tată, ci un întreg pedigree, da.)

Dar! Toate rudele noastre primitive au o proprietate importantă în comun. De aceea sunt rude.) Proprietatea este atât de importantă încât în ​​procesul de analiză a metodelor de integrare, ne vom aminti despre aceasta de mai multe ori. Și ne vom aminti mult timp.)

Iată, această proprietate:

Oricare două primitive F 1 (X) șiF 2 (X) din aceeași funcțief(X) diferă printr-o constantă:

F 1 (X) - F 2 (X) = C.

Cui îi pasă de dovadă - studiază literatura sau notele de curs.) Bine, așa să fie, o voi dovedi. Din fericire, aici dovada este elementară, într-un singur pas. Luăm egalitatea

F 1 (X) - F 2 (X) = C

și Să diferențiem ambele părți. Adică punem prostesc lovituri:

Asta e tot. După cum se spune, CTD. :)

Ce spune această proprietate? Și că două primitive diferite din aceeași funcție f(x) nu poate diferi prin o expresie cu x . Doar strict pe o constantă! Cu alte cuvinte, dacă avem un grafic de vreun fel unul dintre pionierii(fie F(x)), apoi graficele toti ceilalti dintre antiderivatele noastre sunt construite prin translația paralelă a graficului F(x) de-a lungul axei y.

Să vedem cum arată funcția exemplu f(x) = x. Toate primitivele sale, după cum știm deja, au forma generală F(x) = x 2/2+C . In poza arata ca un număr infinit de parabole obtinut din parabola "principala" y = x 2 /2 prin deplasarea in sus sau in jos de-a lungul axei OY in functie de valoarea constantei Cu.

Amintiți-vă că școala a trasat o funcție y=f(x)+a schimb de program y=f(x) prin unitățile „a” de-a lungul axei y?) Aici este același.)

Și, atenție: parabolele noastre nu trece nicăieri! Este natural. La urma urmei, două funcții diferite y 1 (x) și y 2 (x) vor corespunde în mod inevitabil două valori diferite ale constantei – De la 1și De la 2.

Prin urmare, ecuația y 1 (x) = y 2 (x) nu are niciodată soluții:

C 1 = C 2

x ∊ ∅ , la fel de C 1 ≠ C2

Și acum ne apropiem fără probleme de a doua piatră de temelie a calculului integral. După cum tocmai am stabilit, fiecare funcție f(x) are un set infinit de antiderivate F(x) + C care diferă între ele printr-o constantă. Acest set infinit are, de asemenea, propriul său nume special.) Ei bine, vă rugăm să iubiți și să favorizați!

Ce este o integrală nedefinită?

Mulțimea tuturor antiderivatelor pentru o funcție f(X) se numește integrală nedefinită din functief(X).

Aceasta este întreaga definiție.)

"Incert" - deoarece multimea tuturor antiderivatelor pentru aceeasi functie la nesfârşit. Prea multe opțiuni.)

"integral" - ne vom familiariza cu o decodare detaliată a acestui cuvânt brutal în următoarea secțiune mare despre integrale definite. Între timp, într-o formă grosieră, vom considera ca integral ceva general, unul, întreg. Și integrarea Uniune, generalizare, în acest caz, trecerea de la particular (derivat) la general (antiderivate). Ceva de genul.

Integrala nedefinită se notează după cum urmează:

Se citește la fel cum este scris: eff integral al lui x de x. Sau integrală din ef din x de x. Ei bine, ai înțeles ideea.)

Acum să ne ocupăm de notație.

∫ - icoană integrală. Semnificația este aceeași ca și strocul pentru derivat.)

d - pictogramadiferenţial. Nu ne este frică! De ce este nevoie acolo - puțin mai jos.

f(x) - integrand(prin „s”).

f(x)dx - integrand. Sau, aproximativ vorbind, „umplutura” integralei.

Conform sensului integralei nedefinite,

Aici F(x)- acelasi antiderivat pentru functie f(x) pe care noi cumva s-au regăsit. Cum anume au descoperit asta nu este ideea. De exemplu, am stabilit că F(x) = x2/2 pentru f(x)=x.

"CU" - constantă arbitrară. Sau, mai stiintific, constantă integrală. Sau constanta de integrare. Totul este unul.)

Acum să revenim la primele noastre exemple antiderivate. În ceea ce privește integrala nedefinită, acum putem scrie în siguranță:

Ce este o constantă integrală și de ce este necesară?

Întrebarea este foarte interesantă. Și foarte (FOARTE!) important. Constanta integrală din întregul set infinit de antiderivate evidențiază acea linie, care trece prin punctul dat.

Care este scopul. Din setul infinit original de antiderivate (adică integrală nedefinită) este necesar să se selecteze curba care va trece prin punctul dat. Cu cineva coordonate specifice. O astfel de sarcină este întotdeauna și peste tot întâlnită în timpul cunoașterii inițiale cu integralele. Atât la școală, cât și la universitate.

Problema tipica:

Din multimea tuturor antiderivatelor functiei f=x selectati-o pe cea care trece prin punctul (2;2).

Începem să gândim cu capul... Setul tuturor primitivilor - asta înseamnă că mai întâi trebuie să integrăm funcția noastră originală. Adică x(x). Am făcut acest lucru puțin mai sus și am primit următorul răspuns:

Și acum înțelegem exact ce avem. Am primit nu numai o funcție, dar o întreagă familie de funcţii. Care? Vida y=x2/2+C . În funcție de valoarea constantei C. Și acum trebuie să „prindem” această valoare a constantei.) Ei bine, să o prindem?)

Undița noastră - familie de curbe (parabole) y=x2/2+C.

constante - astia sunt pesti. Multe-multe. Dar fiecare are propriul cârlig și momeală.)

Și care este momeala? Corect! Ideea noastră este (-2;2).

Deci substituim coordonatele punctului nostru în forma generală de antiderivate! Primim:

y(2) = 2

De aici este ușor de găsit C=0.

Ce înseamnă siyo? Aceasta înseamnă că din întregul set infinit de parabole ale formeiy=x2/2+Cnumai parabola cu constanta C=0 ni se potriveste! Și anume:y=x2/2. Și numai ea. Doar această parabolă va trece prin punctul de care avem nevoie (-2; 2). Si intoate celelalte parabole din familia noastră trec acest punct nu va mai fi. Prin alte puncte ale planului - da, dar prin punctul (2; 2) - nu mai. Am înţeles?

Pentru claritate, iată două imagini pentru tine - întreaga familie de parabole (adică integrala nedefinită) și câteva parabolă de beton corespunde valoarea specifică a constantei si trecand prin punct specific:

Vedeți cât de important este să luați în considerare o constantă Cu la integrare! Deci nu neglijați această litera „C” și nu uitați să atribuiți răspunsului final.

Și acum să ne dăm seama de ce simbolul atârnă peste tot în interiorul integralelor dx . Elevii uită adesea de asta... Și asta, apropo, este și o greșeală! Și destul de dur. Ideea este că integrarea este inversul diferențierii. Și ce este mai exact rezultatul diferențierii? Derivat? Adevărat, dar nu chiar. Diferenţial!

În cazul nostru, pentru funcție f(x) diferenţial al antiderivatului său F(x), voi:

Cine nu înțelege acest lanț - repetă urgent definiția și sensul diferențialului și cât de exact este dezvăluit! Altfel, vei încetini fără milă în integrale....

Permiteți-mi să vă reamintesc, în cea mai grosolană formă filisteană, că diferența oricărei funcții f (x) este pur și simplu produsul f'(x)dx. Si asta e! Luați derivatul și înmulțiți-l la diferenţa argumentului(adică dx). Adică, orice diferență, de fapt, se reduce la calculul obișnuitului derivat.

Prin urmare, strict vorbind, integrala este „luată” nu din funcții f(x), așa cum se crede în mod obișnuit, și diferenţial f(x)dx! Dar, într-o versiune simplificată, se obișnuiește să se spună asta „integrala este luată din funcție”. Sau: „Integrează funcția f(X)". Asta e lafel.Și noi vom spune același lucru. Dar despre icoană dx Să nu uităm totuși! :)

Și acum vă voi spune cum să nu o uitați când înregistrați. Imaginați-vă mai întâi că calculați derivata obișnuită în raport cu variabila x. Cum o scrii de obicei?

Astfel: f’(x), y’(x), y’x. Sau mai solid, prin raportul diferenţialelor: dy/dx. Toate aceste înregistrări ne arată că derivata este luată tocmai de x. Și nu prin „y”, „te” sau altă variabilă.)

Același lucru este valabil și pentru integrale. Înregistrare ∫ f(x)dx noi de asemenea de parca arată că integrarea se realizează întocmai prin variabila x. Bineînțeles, totul este foarte simplificat și brut, dar este clar, sper. Și șansele a uita atribui omniprezentul dx scade brusc.)

Deci, ce este aceeași integrală nedefinită - am dat seama. Grozav.) Acum ar fi bine să înveți aceste integrale foarte nedefinite calculati. Sau, pur și simplu, „ia”. :) Și aici studenții așteaptă două vești - bune și nu atât de bune. Deocamdată, să începem cu cele bune.)

Vestea este bună. Pentru integrale, precum și pentru derivate, există un tabel. Și toate integralele pe care le vom întâlni pe parcurs, chiar și cele mai groaznice și fanteziste, noi după anumite reguli ne vom reduce cumva la acestea chiar tabulare.)

Deci iată-o masa integrala!

Iată un tabel atât de frumos de integrale din cele mai populare funcții. Recomand să acordați o atenție deosebită grupului de formule 1-2 (funcția constantă și putere). Acestea sunt cele mai comune formule în integrale!

Al treilea grup de formule (trigonometrie), după cum ați putea ghici, se obține prin simpla inversare a formulelor corespunzătoare pentru derivate.

De exemplu:

Cu al patrulea grup de formule (funcția exponențială) - totul este similar.

Și iată ultimele patru grupuri de formule (5-8) pentru noi nou. De unde au venit și pentru ce asemenea merite aceste funcții exotice au intrat brusc în tabelul integralelor de bază? De ce aceste grupuri de funcții ies atât de mult de restul funcțiilor?

Așa s-a întâmplat istoric în procesul de dezvoltare metode de integrare . Când ne antrenăm să luăm cele mai diverse integrale, veți înțelege că integralele funcțiilor enumerate în tabel sunt foarte, foarte comune. Atât de des încât matematicienii le-au clasificat ca tabulare.) Prin ele se exprimă foarte multe alte integrale, din construcții mai complexe.

De dragul interesului, puteți lua una dintre aceste formule groaznice și puteți diferenția. :) De exemplu, cea mai brutală formulă a 7-a.

Totul e bine. Matematicienii nu au înșelat. :)

Este de dorit să se cunoască pe de rost tabelul integralelor, precum și tabelul derivatelor. În orice caz, primele patru grupuri de formule. Nu este atât de dificil pe cât pare la prima vedere. Memorează ultimele patru grupuri (cu fracții și rădăcini) Pa nu merita. Oricum, la început vei fi confuz unde să scrii logaritmul, unde este tangenta arcului, unde este sinusul arcului, unde este 1/a, unde este 1/2a ... Există o singură cale de ieșire - să rezolvi mai multe exemple. Apoi, masa va fi treptat amintită de la sine, iar îndoielile vor înceta să ciugulească.)

Persoanele deosebit de curiozitoare, privind îndeaproape tabelul, pot întreba: unde sunt integralele altor funcții „școlare” elementare - tangentă, logaritm, „arcade” în tabel? Să spunem de ce există o integrală a sinusului în tabel, dar nu există, să zicem, o integrală a tangentei tg x? Sau nu există nicio integrală din logaritm ln x? Din arcsinus arcsin x? De ce sunt mai rele? Dar este plin de câteva funcții „stânga” - cu rădăcini, fracții, pătrate...

Răspuns. Nimic mai rău.) Doar integralele de mai sus (din tangentă, logaritm, arcsinus etc.) nu sunt tabulare . Și se găsesc în practică mult mai rar decât cele prezentate în tabel. Așa că știi pe de rost, cu care sunt egali, nu este deloc necesar. Doar cât să știi ce fac ei calculat.)

Ce, cineva încă insuportabil? Asa sa fie, mai ales pentru tine!

Ei bine, cum ai de gând să studiezi? :) Nu o vei face? Și nu.) Dar nu vă faceți griji, cu siguranță vom găsi toate astfel de integrale. în lecțiile relevante. :)

Ei bine, acum ne întoarcem la proprietățile integralei nedefinite. Da, nu este nimic de făcut! Este introdus un nou concept, iar unele dintre proprietățile sale sunt imediat luate în considerare.

Proprietățile integralei nedefinite.

Acum vești nu prea bune.

Spre deosebire de diferențiere, reguli generale standard de integrare, corect pentru toate ocaziile, nu există în matematică. E fantastic!

De exemplu, toți știți foarte bine (sper!) că orice muncă orice două funcții f(x) g(x) se diferențiază astfel:

(f(x) g(x))’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x).

Orice coeficientul se diferentiaza astfel:

Și orice funcție complexă, oricât de răsucită ar fi, este diferențiată astfel:

Și indiferent ce funcții sunt ascunse sub literele f și g, regulile generale vor funcționa în continuare și derivata, într-un fel sau altul, va fi găsită.

Dar cu integrale, un astfel de număr nu va mai funcționa: pentru un produs, un coeficient (fracție), precum și o funcție complexă a formulelor generale de integrare nu exista! Nu există reguli standard! Mai degrabă, sunt. Am jignit degeaba matematica.) Dar, în primul rând, sunt mult mai puține decât regulile generale de diferențiere. Și în al doilea rând, majoritatea metodelor de integrare despre care vom vorbi în lecțiile următoare sunt foarte, foarte specifice. Și sunt valabile doar pentru o anumită clasă de funcții, foarte limitată. Să spunem doar pentru funcții raționale fracționale. Sau alții.

Iar unele integrale, deși există în natură, în general nu sunt exprimate în niciun fel prin funcții „școlare” elementare! Da, da, și există o mulțime de astfel de integrale! :)

De aceea integrarea este o sarcină mult mai laborioasă și mai laborioasă decât diferențierea. Dar asta are propria sa poftă. Această activitate este creativă și foarte incitantă.) Și, dacă stăpânești bine tabelul integralelor și stăpânești cel puțin două tehnici de bază, despre care vom discuta mai târziu (și), atunci îți va plăcea foarte mult integrarea. :)

Și acum să facem cunoștință, de fapt, cu proprietățile integralei nedefinite. Nu sunt nimic. Aici sunt ei.

Primele două proprietăți sunt complet analoge cu aceleași proprietăți pentru derivate și sunt numite proprietățile de liniaritate ale integralei nedefinite . Totul este simplu și logic aici: integrala sumei / diferenței este egală cu suma / diferența integralelor, iar factorul constant poate fi scos din semnul integral.

Dar următoarele trei proprietăți sunt fundamental noi pentru noi. Să le analizăm mai detaliat. Sună în rusă după cum urmează.

A treia proprietate

Derivata integralei este egala cu integrandul

Totul este simplu, ca într-un basm. Dacă integrați funcția și apoi găsiți derivata rezultatului înapoi, atunci ... obțineți integrandul original. :) Această proprietate poate fi întotdeauna (și ar trebui) utilizată pentru a verifica rezultatul final al integrării. Am calculat integrala - diferențiază răspunsul! Avem integrantul - OK. Nu l-au primit, ceea ce înseamnă că s-au încurcat undeva. Căutați eroarea.)

Bineînțeles, în răspuns, se pot obține funcții atât de brutale și greoaie încât este reticent să le diferențieze înapoi, da. Dar este mai bine, dacă este posibil, să încerci să te verifici singur. Cel puțin în acele exemple în care este ușor.)

A patra proprietate

Diferenţiala integralei este egală cu integrandul .

Nu e nimic special aici. Esența este aceeași, doar dx apare la sfârșit. Conform proprietății anterioare și regulilor de extindere a diferenţialului.

A cincea proprietate

Integrala diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii şi a unei constante arbitrare .

De asemenea, o proprietate foarte simplă. De asemenea, îl vom folosi în mod regulat în procesul de rezolvare a integralelor. In mod deosebit - in si.

Iată câteva caracteristici utile. Nu mă voi plictisi cu dovezile lor stricte aici. Le sugerez celor care doresc să facă acest lucru singuri. Direct după semnificația derivatei și diferențialei. Voi demonstra doar ultima, a cincea proprietate, pentru că este mai puțin evidentă.

Deci avem o afirmație:

Scoatem „umplutura” integralei noastre și o deschidem, conform definiției diferenţialului:

Pentru orice eventualitate, vă reamintesc că, conform notației noastre de derivat și antiderivat, F’(X) = f(X) .

Acum inserăm rezultatul înapoi în integrală:

Primit exact definirea integralei nedefinite (să mă ierte limba rusă)! :)

Asta e tot.)

Bine. În acest sens, consider că a avut loc cunoștințele noastre inițiale cu lumea misterioasă a integralelor. Astăzi îmi propun să rotunjesc. Suntem deja suficient de înarmați pentru a merge la recunoaștere. Dacă nu cu o mitralieră, atunci cel puțin cu un pistol cu ​​apă cu proprietăți de bază și o masă. :) În lecția următoare, așteptăm deja cele mai simple exemple inofensive de integrale pentru aplicarea directă a tabelului și a proprietăților scrise.

Te văd!

Ţintă:

• Formarea conceptului de primitiv.
• Pregătirea pentru perceperea integralei.
• Formarea deprinderilor de calcul.
• Educația simțului frumosului (abilitatea de a vedea frumusețea în neobișnuit).

Analiza matematică - un set de secțiuni de matematică dedicate studiului funcțiilor și generalizărilor acestora prin metode de calcul diferențial și integral.

Până acum, am studiat o secțiune de analiză matematică numită calcul diferențial, a cărei esență este studierea unei funcții în „mic”.

Acestea. studiul funcţiei în cartiere suficient de mici a fiecărui punct de definiţie. Una dintre operațiile de diferențiere este găsirea derivatei (diferențialei) și aplicarea acesteia în studiul funcțiilor.

La fel de importantă este și problema inversă. Dacă comportamentul unei funcții este cunoscut în vecinătatea fiecărui punct al definiției sale, atunci cum să restabiliți funcția în ansamblu, adică pe întreaga gamă a definiției sale. Această problemă este subiectul de studiu al așa-numitului calcul integral.

Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii. Sau restabilirea funcției f(x) din derivata dată f`(x). Cuvântul latin „integro” înseamnă restaurare.

Exemplul #1.

Fie (x)`=3x 2 .
Găsiți f(x).

Decizie:

Pe baza regulii de diferențiere, este ușor de ghicit că f (x) \u003d x 3, deoarece (x 3)` \u003d 3x 2
Cu toate acestea, este ușor de observat că f(x) este găsit în mod ambiguu.
Ca f(x) putem lua
f (x) \u003d x 3 +1
f (x) \u003d x 3 +2
f (x) \u003d x 3 -3 etc.

Deoarece derivata fiecăruia dintre ele este 3x2. (Derivata constantei este 0). Toate aceste funcții diferă unele de altele printr-un termen constant. Prin urmare, soluția generală a problemei poate fi scrisă ca f(x)= x 3 +C, unde C este orice număr real constant.

Oricare dintre funcțiile găsite f(x) este numită PRIMAR pentru funcția F`(x) = 3x 2

Definiție. Funcția F(x) se numește antiderivată pentru funcția f(x) pe un interval dat J, dacă pentru tot x din acest interval F`(x) = f(x). Deci, funcția F (x) \u003d x 3 este antiderivată pentru f (x) \u003d 3x 2 pe (- ∞ ; ∞).
Deoarece, pentru toate x ~ R, egalitatea este adevărată: F`(x)=(x 3)`=3x 2

După cum am observat deja, această funcție are un set infinit de antiderivate (vezi exemplul nr. 1).

Exemplul #2. Funcția F(x)=x este antiderivată pentru toate f(x)= 1/x pe intervalul (0; +), deoarece pentru toți x din acest interval, egalitatea este valabilă.
F`(x)=(x 1/2)`=1/2x -1/2=1/2x

Exemplul #3 Funcția F(x)=tg3x este antiderivată pentru f(x)=3/cos3x pe intervalul (-p/ 2; P/ 2),
deoarece F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Exemplul #4 Funcția F(x)=3sin4x+1/x-2 este antiderivată pentru f(x)=12cos4x-1/x 2 pe intervalul (0;∞)
deoarece F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Cursul 2

Subiect: primordial. Proprietatea principală a funcției antiderivate.

Când studiem antiderivatul, ne vom baza pe următoarea afirmație. Semnul constanței funcției: Dacă pe intervalul J derivata Ψ(х) a funcției este egală cu 0, atunci pe acest interval funcția Ψ(х) este constantă.

Această afirmație poate fi demonstrată geometric.

Se știe că Ψ`(x)=tgα, γde α-unghi de înclinare a tangentei la graficul funcției Ψ(x) în punctul cu abscisa x 0 . Dacă Ψ`(υ)=0 în orice punct al intervalului J, atunci tgα=0 δ pentru orice tangentă la graficul funcției Ψ(x). Aceasta înseamnă că tangenta la graficul funcției în orice punct este paralelă cu axa x. Prin urmare, pe intervalul indicat, graficul funcției Ψ(x) coincide cu segmentul de dreaptă y=C.

Deci, funcția f(x)=c este constantă pe intervalul J dacă f`(x)=0 pe acest interval.

Într-adevăr, pentru x 1 și x 2 arbitrare din intervalul J, conform teoremei asupra valorii medii a funcției, putem scrie:
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), deoarece f`(c)=0, atunci f(x 2)= f(x 1)

Teoremă: (proprietatea de bază a unei funcții antiderivative)

Dacă F(x) este una dintre antiderivatele pentru funcția f(x) pe intervalul J, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor acestei funcții are forma: F(x)+C, unde C este orice număr real.

Dovada:

Fie F`(x) = f(x), apoi (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f(x), pentru x − J.
Să presupunem că există Φ(x) - o altă antiderivată pentru f (x) pe intervalul J, adică. Φ`(x) = f(x),
atunci (Φ(х) - F(х))` = f (х) – f (х) = 0, pentru x Є J.
Aceasta înseamnă că Φ(x) - F(x) este constantă pe intervalul J.
Prin urmare, Φ(x) - F(x) = C.
De unde Φ(x)= F(x)+C.
Aceasta înseamnă că dacă F(x) este antiderivată pentru funcția f(x) pe intervalul J, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor acestei funcții are forma: F(x)+C, unde C este orice număr real.
Prin urmare, oricare două antiderivate ale unei anumite funcții diferă una de cealaltă printr-un termen constant.

Exemplu: Aflați mulțimea de antiderivate ale funcției f (x) = cos x. Desenați graficele primelor trei.

Decizie: Sin x - una dintre antiderivatele pentru funcția f (x) = cos x
F(x) = Sin x + C este mulțimea tuturor antiderivatelor.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) \u003d Sin x + 1

Ilustrație geometrică: Graficul oricărei antiderivate F(x)+C poate fi obținut din graficul antiderivatei F(x) folosind translația paralelă r (0;c).

Exemplu: Pentru funcția f (x) \u003d 2x, găsiți antiderivată, al cărei grafic trece prin t.M (1; 4)

Decizie: F(х)=х 2 +С este mulțimea tuturor antiderivatelor, F(1)=4 - în funcție de starea problemei.
Prin urmare, 4 \u003d 1 2 +C
C = 3
F (x) \u003d x 2 +3

Una dintre operațiile de diferențiere este găsirea derivatei (diferențialei) și aplicarea acesteia în studiul funcțiilor.

La fel de importantă este și problema inversă. Dacă comportamentul unei funcții este cunoscut în vecinătatea fiecărui punct al definiției sale, atunci cum să restabiliți funcția în ansamblu, adică pe întreaga gamă a definiției sale. Această problemă este subiectul de studiu al așa-numitului calcul integral.

Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii. Sau restabilirea funcției f(x) din derivata dată f`(x). Cuvântul latin „integro” înseamnă restaurare.

Exemplul #1.

Fie (f(x))' = 3x 2 . Găsiți f(x).

Decizie:

Pe baza regulii de diferențiere, este ușor de ghicit că f (x) \u003d x 3, deoarece

(x 3) ' = 3x 2 Cu toate acestea, este ușor de observat că f (x) se găsește ambiguu. Ca f (x) puteți lua f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3 etc.

pentru că derivata fiecăreia dintre ele este 3x2. (Derivata constantei este 0). Toate aceste funcții diferă unele de altele printr-un termen constant. Prin urmare, soluția generală a problemei poate fi scrisă ca f(x)= x 3 +C, unde C este orice număr real constant.

Oricare dintre funcțiile găsite f(x) este numită primitiv pentru funcția F`(x) = 3x 2

Definiție.

Funcția F(x) se numește antiderivată pentru funcția f(x) pe un interval dat J, dacă pentru tot x din acest interval F`(x) = f(x). Deci, funcția F (x) \u003d x 3 este antiderivată pentru f (x) \u003d 3x 2 pe (- ∞ ; ∞). Deoarece, pentru toate x ~ R, egalitatea este adevărată: F`(x)=(x 3)`=3x 2

După cum am observat deja, această funcție are un set infinit de antiderivate.

Exemplul #2.

Funcția este antiderivată pentru toate pe intervalul (0; +∞), deoarece pentru toate h din acest interval, egalitatea este valabilă.

Sarcina integrării este de a găsi toate antiderivatele sale pentru o funcție dată. Următoarea afirmație joacă un rol important în rezolvarea acestei probleme:

Un semn al constanței unei funcții. Dacă F "(x) \u003d 0 pe un interval I, atunci funcția F este o constantă pe acest interval.

Dovada.

Să fixăm ceva x 0 din intervalul I. Atunci, pentru orice număr x dintr-un astfel de interval, în virtutea formulei Lagrange, se poate specifica un astfel de număr c între x și x 0 care

F (x) - F (x 0) \u003d F "(c) (x-x 0).

Prin condiție, F’ (c) = 0, deoarece c ∈1, prin urmare,

F(x) - F(x 0) = 0.

Deci, pentru toți x din intervalul I

adică funcția F rămâne constantă.

Toate funcțiile antiderivate f pot fi scrise folosind o singură formulă, care se numește forma generala de antiderivate pentru functie f. Următoarea teoremă este adevărată ( proprietatea de bază a primitivilor):

Teorema. Orice antiderivată pentru funcția f pe intervalul I poate fi scrisă ca

F(x) + C, (1) unde F(x) este una dintre antiderivatele pentru funcția f(x) pe intervalul I și C este o constantă arbitrară.

Să explicăm această afirmație, în care două proprietăți ale antiderivatei sunt formulate pe scurt:

1. orice număr punem în expresia (1) în loc de C, obținem antiderivată pentru f pe intervalul I;
2. oricare ar fi antiderivată Ф pentru f pe intervalul I, se poate alege un astfel de număr C încât pentru tot x din intervalul I egalitatea să fie satisfăcută

Dovada.

1. Prin condiție, funcția F este antiderivată pentru f pe intervalul I. Prin urmare, F "(x) \u003d f (x) pentru orice x∈1, prin urmare (F (x) + C)" \u003d F "( x) + C" \u003d f(x)+0=f(x), adică F(x) + C este antiderivată pentru funcția f.
2. Fie Ф (х) una dintre antiderivatele pentru funcția f pe același interval I, adică Ф "(x) = f (х) pentru toate x∈I.

Apoi (Ф (x) - F (x)) "= Ф" (x) - F '(x) = f (x) - f (x) \u003d 0.

De aici rezultă. datorită semnului constanței funcției, diferența Ф (х) - F (х) este o funcție care ia o valoare constantă C pe intervalul I.

Astfel, pentru toți x din intervalul I, egalitatea Ф(х) - F(x)=С este adevărată, ceea ce urma să fie demonstrat. Proprietatea principală a antiderivatei i se poate da o semnificație geometrică: graficele oricăror două antiderivate pentru funcția f sunt obținute una de la cealaltă prin translație paralelă de-a lungul axei y

Întrebări pentru rezumate

Funcția F(x) este o antiderivată pentru funcția f(x). Aflați F(1) dacă f(x)=9x2 - 6x + 1 și F(-1) = 2.

Găsiți toate antiderivatele pentru o funcție

Pentru funcția (x) = cos2 * sin2x, găsiți antiderivata F(x) dacă F(0) = 0.

Pentru o funcție, găsiți antiderivată al cărei grafic trece prin punct

Am văzut că derivata are numeroase aplicații: derivata este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); derivata este panta tangentei la graficul functiei; folosind derivata, puteți investiga funcția pentru monotonitate și extreme; Derivata ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.

Dar în viața reală, trebuie să rezolvi și probleme inverse: de exemplu, alături de problema găsirii vitezei dintr-o lege cunoscută a mișcării, există și problema restabilirii legii mișcării dintr-o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.

Exemplul 1 Un punct material se deplasează de-a lungul unei linii drepte, viteza mișcării sale la momentul t este dată de formula u = tg. Găsiți legea mișcării.

Decizie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = u"(t). Deci, pentru a rezolva problema, trebuie să alegem funcţie s = s(t), a cărui derivată este egală cu tg. Este ușor de ghicit asta

Observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Am obținut că De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție a formei constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcării, deoarece

Pentru a face sarcina mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele punctului în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu, la t=0. Dacă, să spunem, s (0) \u003d s 0, atunci din egalitate obținem s (0) \u003d 0 + C, adică S 0 \u003d C. Acum legea mișcării este definită în mod unic:
În matematică, operațiilor reciproc inverse li se dau nume diferite, se inventează notații speciale: de exemplu, pătrarea (x 2) și extragerea rădăcinii pătrate sinus (sinx) și arcsinus(arcsin x), etc. Procesul de găsire a derivatei față de o funcție dată se numește diferențiere, iar operația inversă, i.e. procesul de găsire a unei funcții printr-o derivată dată – prin integrare.
Termenul „derivat” în sine poate fi justificat „într-un mod lumesc”: funcția y - f (x) „produce în lume” o nouă funcție y „= f” (x) Funcția y \u003d f (x) acționează ca un „părinte”, dar matematicienii, desigur, nu-l numesc „părinte” sau „producător”, ei spun că este, în raport cu funcția y „=f” (x), imaginea primară , sau, pe scurt, antiderivatul.

Definiția 1. Funcția y \u003d F (x) se numește antiderivată pentru funcția y \u003d f (x) pe un interval dat X, dacă pentru tot x din X egalitatea F "(x) \u003d f (x) este adevărată .

În practică, intervalul X nu este de obicei specificat, ci subînțeles (ca domeniul natural al funcției).

Aici sunt cateva exemple:

1) Funcția y \u003d x 2 este o antiderivată pentru funcția y \u003d 2x, deoarece pentru toate x egalitatea (x 2) "\u003d 2x este adevărată.
2) funcția y - x 3 este antiderivată pentru funcția y-3x 2, deoarece pentru toate x egalitatea (x 3)" \u003d 3x 2 este adevărată.
3) Funcția y-sinx este o antiderivată pentru funcția y=cosx, deoarece pentru tot x este valabilă egalitatea (sinx) "=cosx.
4) Funcția este antiderivată pentru funcția pe interval deoarece pentru toate x > 0 egalitatea este adevărată
În general, cunoscând formulele pentru găsirea derivatelor, nu este dificil să alcătuiești un tabel cu formule pentru găsirea antiderivatelor.

Sperăm că înțelegeți cum este compilat acest tabel: derivata funcției care este scrisă în a doua coloană este egală cu funcția care este scrisă în linia corespunzătoare din prima coloană (verificați-o, nu fi leneș, este foarte util). De exemplu, pentru funcția y \u003d x 5, antiderivată, așa cum ați stabilit, este funcția (vezi al patrulea rând al tabelului).

Note: 1. Mai jos demonstrăm teorema că, dacă y = F(x) este o antiderivată pentru o funcție y = f(x), atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F (x ) + C. Prin urmare, ar fi mai corect să adăugați termenul C peste tot în a doua coloană a tabelului, unde C este un număr real arbitrar.
2. Din motive de concizie, uneori, în loc de expresia „funcția y = F(x) este antiderivată pentru funcția y = f(x)”, ei spun că F(x) este antiderivată pentru f(x) ".

2. Reguli pentru găsirea antiderivatelor

La căutarea antiderivatelor, precum și la căutarea derivatelor, se folosesc nu numai formule (sunt enumerate în tabelul de la p. 196), ci și câteva reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calculul derivatelor.

Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor. Această regulă generează o regulă corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 1 Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.

Vă atragem atenția asupra unei oarecare „leșuri” a acestei formulări. De fapt, ar fi necesar să se formuleze o teoremă: dacă funcțiile y = f(x) și y=g(x) au antiderivate pe intervalul X, y-F(x) și respectiv y-G(x), atunci suma dintre funcțiile y = f(x) + g(x) are o antiderivată pe intervalul X, iar această antiderivată este funcția y = F(x) + G(x). Dar, de obicei, atunci când se formulează reguli (și nu teoreme), rămân doar cuvinte cheie - acest lucru este mai convenabil pentru aplicarea regulii în practică.

Exemplul 2 Aflați antiderivată pentru funcția y = 2x + cos x.

Decizie. Antiderivată pentru 2x este x "; antiderivată pentru cosx este sin x. Prin urmare, antiderivată pentru funcția y \u003d 2x + cos x va fi funcția y \u003d x 2 + sin x (și, în general, orice funcție a forma Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează o regulă corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 2 Factorul constant poate fi scos din semnul antiderivat.

Exemplul 3

Decizie. a) Antiderivata pentru sin x este -cos x; prin urmare, pentru funcția y \u003d 5 sin x, antiderivată va fi funcția y \u003d -5 cos x.

b) Antiderivata pentru cos x este sin x; prin urmare, pentru funcția antiderivată va exista o funcție
c) Antiderivată pentru x 3 este antiderivată pentru x este antiderivată pentru funcția y \u003d 1 este funcția y \u003d x. Folosind prima și a doua reguli pentru găsirea antiderivatelor, obținem că antiderivată pentru funcția y \u003d 12x 3 + 8x-1 este funcția
Cometariu. După cum știți, derivata unui produs nu este egală cu produsul derivatelor (regula de diferențiere a unui produs este mai complicată), iar derivata unui cot nu este egală cu câtul derivatelor. Prin urmare, nu există reguli pentru găsirea antiderivatei produsului sau a antiderivatei coeficientului a două funcții. Ai grija!
Obținem încă o regulă pentru găsirea antiderivatelor. Știm că derivata funcției y \u003d f (kx + m) se calculează prin formula

Această regulă generează o regulă corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 3 Dacă y \u003d F (x) este antiderivată pentru funcția y \u003d f (x), atunci antiderivată pentru funcția y \u003d f (kx + m) este funcția

Într-adevăr,

Aceasta înseamnă că este o antiderivată pentru funcția y \u003d f (kx + m).
Sensul celei de-a treia reguli este următorul. Dacă știți că antiderivată pentru funcția y \u003d f (x) este funcția y \u003d F (x) și trebuie să găsiți antiderivata funcției y \u003d f (kx + m), atunci procedați ca urmează: luați aceeași funcție F, dar în loc de argumentul x, înlocuiți expresia xx+m; în plus, nu uitați să scrieți „factorul de corecție” înainte de semnul funcției
Exemplul 4 Găsiți antiderivate pentru funcții date:

Decizie, a) Antiderivata pentru sin x este -cos x; aceasta înseamnă că pentru funcția y \u003d sin2x, antiderivată va fi funcția
b) Antiderivata pentru cos x este sin x; prin urmare, pentru funcția antiderivată va exista o funcție

c) Antiderivată pentru x 7 este, prin urmare, pentru funcția y \u003d (4-5x) 7, antiderivată va fi funcția

3. Integrală nedeterminată

Am observat deja mai sus că problema găsirii unei antiderivate pentru o funcție dată y = f(x) are mai multe soluții. Să discutăm această problemă mai detaliat.

Dovada. 1. Fie y \u003d F (x) antiderivată pentru funcția y \u003d f (x) pe intervalul X. Aceasta înseamnă că pentru tot x din X egalitatea x "(x) \u003d f (x) este adevărat. Găsiți derivata oricărei funcții de forma y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).

Deci, (F(x)+C) = f(x). Aceasta înseamnă că y \u003d F (x) + C este o antiderivată pentru funcția y \u003d f (x).
Astfel, am demonstrat că, dacă funcția y \u003d f (x) are o antiderivată y \u003d F (x), atunci funcția (f \u003d f (x) are infinite de antiderivate, de exemplu, orice funcție a forma y \u003d F (x) +C este antiderivată.
2. Să demonstrăm acum că întregul set de antiderivate este epuizat de tipul de funcții indicat.

Fie y=F 1 (x) și y=F(x) două antiderivate pentru funcția Y = f(x) pe intervalul X. Aceasta înseamnă că pentru tot x din intervalul X sunt valabile următoarele relații: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).

Luați în considerare funcția y \u003d F 1 (x) -.F (x) și găsiți derivata ei: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Se știe că dacă derivata unei funcții pe un interval X este identic egală cu zero, atunci funcția este constantă pe intervalul X (vezi Teorema 3 în § 35). Prin urmare, F 1 (x) -F (x) \u003d C, adică. Fx) \u003d F (x) + C.

Teorema a fost demonstrată.

Exemplul 5 Se stabilește legea schimbării vitezei din timpul v = -5sin2t. Aflați legea mișcării s = s(t) dacă se știe că la momentul t=0 coordonata punctului era egală cu numărul 1,5 (adică s(t) = 1,5).

Decizie. Deoarece viteza este derivata coordonatei în funcție de timp, trebuie mai întâi să găsim antiderivata vitezei, adică. antiderivată pentru funcția v = -5sin2t. Unul dintre astfel de antiderivate este funcția , iar mulțimea tuturor antiderivatelor are forma:

Pentru a găsi o valoare specifică a constantei C, folosim condițiile inițiale, conform cărora, s(0) = 1,5. Înlocuind în formula (1) valorile t=0, S = 1,5, obținem:

Înlocuind valoarea găsită C în formula (1), obținem legea mișcării care ne interesează:

Definiția 2. Dacă o funcție y = f(x) are o antiderivată y = F(x) pe intervalul X, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor, adică. setul de funcții de forma y \u003d F (x) + C, se numește integrala nedefinită a funcției y \u003d f (x) și se notează:

(se citesc: „integrala nedefinită ef a lui x de x”).
În secțiunea următoare, vom afla care este sensul ascuns al acestei notații.
Pe baza tabelului de antiderivate disponibil în acest paragraf, vom compila un tabel de integrale nedefinite de bază:

Pe baza celor trei reguli de mai sus pentru găsirea antiderivatelor, putem formula regulile de integrare corespunzătoare.

Regula 1 Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor acestor funcții:

Regula 2 Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

Regula 3În cazul în care un

Exemplul 6 Găsiți integrale nedefinite:

Decizie, a) Folosind prima și a doua reguli de integrare, obținem:

Acum folosim formula de integrare a 3-a și a 4-a:

Ca rezultat, obținem:

b) Folosind a treia regulă de integrare și formula 8, obținem:

c) Pentru determinarea directă a integralei date, nu avem nici formula corespunzătoare, nici regula corespunzătoare. În astfel de cazuri, transformări identice preliminare ale expresiei conținute sub semnul integral ajută uneori.

Să folosim formula trigonometrică pentru scăderea gradului:

Apoi, succesiv, găsim:

A.G. Algebră Mordkovich, clasa a 10-a

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online , Matematică la școală

Definiţia antiderivative.

O funcție antiderivată f(x) pe intervalul (a; b) este o astfel de funcție F(x) încât egalitatea este valabilă pentru orice x dintr-un interval dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata constantei C este egală cu zero, atunci egalitatea . Astfel, funcția f(x) are un set de antiderivate F(x)+C , pentru o constantă arbitrară C , iar aceste antiderivate diferă între ele printr-o valoare constantă arbitrară.

Definiția integralei nedefinite.

Întregul set de antiderivate ale funcției f(x) se numește integrală nedefinită a acestei funcții și se notează .

Expresia se numește integrandși f(x) integrand. Integrandul este diferența funcției f(x) .

Se numește acțiunea de a găsi o funcție necunoscută prin diferența dată incert integrarea, deoarece rezultatul integrării nu este o funcție F(x) , ci mulțimea antiderivatelor sale F(x)+C .

Pe baza proprietăților derivatului se poate formula și dovedi proprietățile integralei nedefinite(proprietățile antiderivatei).

Egalitățile intermediare ale primei și celei de-a doua proprietăți ale integralei nedefinite sunt date pentru clarificare.

Pentru a demonstra a treia și a patra proprietăți, este suficient să găsim derivatele părților din dreapta ale egalităților:

Aceste derivate sunt egale cu integranții, ceea ce este dovada în virtutea primei proprietăți. Este folosit și în ultimele tranziții.

Astfel, problema integrării este problema inversă a diferențierii și există o legătură foarte strânsă între aceste probleme:

• prima proprietate permite verificarea integrării. Pentru a verifica corectitudinea integrării efectuate este suficient să se calculeze derivata rezultatului obținut. Dacă funcția obținută ca urmare a diferențierii se dovedește a fi egală cu integrantul, atunci aceasta va însemna că integrarea a fost efectuată corect;
• a doua proprietate a integralei nedefinite ne permite să găsim antiderivată din diferenţialul cunoscut al unei funcţii. Calculul direct al integralelor nedefinite se bazează pe această proprietate.

Luați în considerare un exemplu.

Exemplu.

Găsiți antiderivată a funcției a cărei valoare este egală cu unu la x = 1.

Decizie.

Din calculul diferenţial ştim că (se uită doar la tabelul derivatelor funcțiilor elementare de bază). Prin urmare, . Prin a doua proprietate . Adică avem un set de antiderivate. Pentru x = 1 obținem valoarea . Prin condiție, această valoare trebuie să fie egală cu unu, prin urmare, С = 1. Antiderivatul dorit va lua forma .

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită și verificați rezultatul prin diferențiere.

Decizie.

După formula sinusului unui unghi dublu din trigonometrie , De aceea