În acest articol, metoda este considerată o modalitate de a rezolva sistemele de ecuații liniare (SLAE). Metoda este analitică, adică vă permite să scrieți un algoritm de soluție într-o formă generală și apoi să înlocuiți valorile din exemple specifice acolo. Spre deosebire de metoda matricei sau formulele lui Cramer, atunci când rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, puteți lucra și cu cele care au infinit de soluții. Sau nu o au deloc.

Ce înseamnă Gauss?

Mai întâi trebuie să scrieți sistemul nostru de ecuații în Arata astfel. Sistemul este luat:

Coeficienții sunt scrieți sub formă de tabel, iar în dreapta într-o coloană separată - membri liberi. Coloana cu membri liberi este separată pentru comoditate.Matricea care include această coloană se numește extinsă.

În plus, matricea principală cu coeficienți trebuie redusă la forma triunghiulară superioară. Acesta este punctul principal de rezolvare a sistemului prin metoda Gauss. Pur și simplu, după anumite manipulări, matricea ar trebui să arate astfel, astfel încât să existe doar zerouri în partea sa din stânga jos:

Apoi, dacă scrieți din nou noua matrice ca sistem de ecuații, veți observa că ultimul rând conține deja valoarea uneia dintre rădăcini, care este apoi înlocuită în ecuația de mai sus, se găsește o altă rădăcină și așa mai departe.

Aceasta este o descriere a soluției prin metoda Gauss în termenii cei mai generali. Și ce se întâmplă dacă dintr-o dată sistemul nu are o soluție? Sau există un număr infinit dintre ele? Pentru a răspunde la aceste întrebări și la multe altele, este necesar să luăm în considerare separat toate elementele utilizate în soluție prin metoda Gauss.

Matrici, proprietățile lor

Nu există niciun sens ascuns în matrice. Este doar o modalitate convenabilă de a înregistra date pentru operațiuni ulterioare. Nici școlarilor nu ar trebui să se teamă de ei.

Matricea este întotdeauna dreptunghiulară, deoarece este mai convenabilă. Chiar și în metoda Gauss, unde totul se rezumă la construirea unei matrice triunghiulare, în intrare apare un dreptunghi, doar cu zerouri în locul în care nu există numere. Zerourile pot fi omise, dar sunt implicite.

Matricea are o dimensiune. „Lățimea” sa este numărul de rânduri (m), „lungimea” este numărul de coloane (n). Apoi dimensiunea matricei A (litere mari majuscule latine sunt de obicei folosite pentru desemnarea lor) va fi notată ca A m×n . Dacă m=n, atunci această matrice este pătrată, iar m=n este ordinul său. În consecință, orice element al matricei A poate fi notat cu numărul rândului și coloanei sale: a xy ; x - numărul rândului, modificări, y - numărul coloanei, modificări.

B nu este punctul principal al soluției. În principiu, toate operațiunile pot fi efectuate direct cu ecuațiile în sine, dar notația se va dovedi a fi mult mai greoaie și va fi mult mai ușor să te încurci în ea.

Determinant

Matricea are și un determinant. Aceasta este o caracteristică foarte importantă. Aflarea semnificației sale acum nu merită, puteți pur și simplu să arătați cum este calculată și apoi să spuneți ce proprietăți ale matricei determină. Cel mai simplu mod de a găsi determinantul este prin diagonale. Diagonalele imaginare sunt desenate în matrice; se înmulțesc elementele situate pe fiecare dintre ele, apoi se adaugă produsele rezultate: diagonale cu pantă la dreapta - cu semn „plus”, cu pantă la stânga - cu semn „minus”.

Este extrem de important de menționat că determinantul poate fi calculat doar pentru o matrice pătrată. Pentru o matrice dreptunghiulară, puteți face următoarele: alegeți cel mai mic dintre numărul de rânduri și numărul de coloane (fie k), apoi marcați aleatoriu k coloane și k rânduri în matrice. Elementele situate la intersecția coloanelor și rândurilor selectate vor forma o nouă matrice pătrată. Dacă determinantul unei astfel de matrice este un număr altul decât zero, atunci se numește baza minoră a matricei dreptunghiulare inițiale.

Înainte de a continua cu rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda Gauss, nu strica să se calculeze determinantul. Dacă se dovedește a fi zero, atunci putem spune imediat că matricea are fie un număr infinit de soluții, fie nu există deloc. Într-un caz atât de trist, trebuie să mergeți mai departe și să aflați despre rangul matricei.

Clasificarea sistemului

Există așa ceva ca rangul unei matrice. Aceasta este ordinea maximă a determinantului său, care este diferită de zero (dacă ne amintim baza minoră, putem spune că rangul unei matrice este ordinea bazei minore).

După cum stau lucrurile cu rangul, SLAE poate fi împărțit în:

• Comun. La a sistemelor de îmbinare, rangul matricei principale (formată numai din coeficienți) coincide cu rangul celei extinse (cu o coloană de membri liberi). Astfel de sisteme au o soluție, dar nu neapărat una, prin urmare, sistemele comune sunt împărțite suplimentar în:
• - anumit- avand o solutie unica. În anumite sisteme, rangul matricei și numărul de necunoscute (sau numărul de coloane, care este același lucru) sunt egale;
• - nedeterminat - cu un număr infinit de soluții. Rangul matricelor pentru astfel de sisteme este mai mic decât numărul de necunoscute.
• Incompatibil. La astfel de sisteme, rangurile matricelor principale și extinse nu coincid. Sistemele incompatibile nu au soluție.

Metoda Gauss este bună prin faptul că permite obținerea fie o demonstrație clară a inconsecvenței sistemului (fără a calcula determinanții matricilor mari), fie o soluție generală pentru un sistem cu un număr infinit de soluții.

Transformări elementare

Înainte de a trece direct la soluția sistemului, este posibil să o faceți mai puțin greoaie și mai convenabilă pentru calcule. Acest lucru se realizează prin transformări elementare - astfel încât implementarea lor să nu schimbe în niciun fel răspunsul final. Trebuie remarcat faptul că unele dintre transformările elementare de mai sus sunt valabile numai pentru matrice, a căror sursă a fost tocmai SLAE. Iată o listă a acestor transformări:

1. Permutarea șirurilor. Este evident că dacă schimbăm ordinea ecuațiilor din înregistrarea sistemului, atunci acest lucru nu va afecta soluția în niciun fel. În consecință, este posibilă și interschimbarea rândurilor în matricea acestui sistem, fără a uita, bineînțeles, de coloana de membri liberi.
2. Înmulțirea tuturor elementelor unui șir cu un anumit factor. Foarte util! Cu el, puteți reduce numerele mari din matrice sau puteți elimina zerouri. Setul de soluții, ca de obicei, nu se va schimba și va deveni mai convenabil să efectuați operațiuni ulterioare. Principalul lucru este că coeficientul nu este egal cu zero.
3. Ștergeți rândurile cu coeficienți proporționali. Aceasta rezultă parțial din paragraful anterior. Dacă două sau mai multe rânduri din matrice au coeficienți proporționali, atunci la înmulțirea / împărțirea unuia dintre rânduri cu coeficientul de proporționalitate se obțin două (sau, din nou, mai multe) rânduri absolut identice și le puteți elimina pe cele suplimentare, lăsând doar unu.
4. Eliminarea liniei nule. Dacă în cursul transformărilor se obține un șir undeva în care toate elementele, inclusiv membrul liber, sunt zero, atunci un astfel de șir poate fi numit zero și aruncat din matrice.
5. Adăugând elementelor unui rând elementele altuia (în coloanele corespunzătoare), înmulțite cu un anumit coeficient. Cea mai obscură și mai importantă transformare dintre toate. Merită să insistăm asupra ei mai detaliat.

Adăugarea unui șir înmulțit cu un factor

Pentru ușurință de înțelegere, merită să dezasamblați acest proces pas cu pas. Din matrice sunt luate două rânduri:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Să presupunem că trebuie să adăugați primul la al doilea, înmulțit cu coeficientul „-2”.

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Apoi, în matrice, al doilea rând este înlocuit cu unul nou, iar primul rămâne neschimbat.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

De remarcat faptul că factorul de înmulțire poate fi ales în așa fel încât, ca urmare a adunării a două șiruri, unul dintre elementele noului șir să fie egal cu zero. Prin urmare, este posibil să se obțină o ecuație în sistem, unde va exista una mai puțin necunoscută. Și dacă obțineți două astfel de ecuații, atunci operația poate fi făcută din nou și obțineți o ecuație care va conține deja două necunoscute mai puțin. Și dacă de fiecare dată când trecem la zero, un coeficient pentru toate rândurile care sunt mai mici decât cel inițial, atunci putem, ca niște pași, să coborâm în partea de jos a matricei și să obținem o ecuație cu o necunoscută. Aceasta se numește rezolvarea sistemului folosind metoda Gaussiană.

În general

Să existe un sistem. Are m ecuații și n rădăcini necunoscute. Îl poți nota astfel:

Matricea principală este compilată din coeficienții sistemului. O coloană de membri liberi este adăugată la matricea extinsă și separată de o bară pentru comoditate.

• primul rând al matricei este înmulțit cu coeficientul k = (-a 21 / a 11);
• se adaugă primul rând modificat și al doilea rând al matricei;
• în locul celui de-al doilea rând, rezultatul adunării din paragraful anterior este introdus în matrice;
• acum primul coeficient din noul al doilea rând este a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Acum se efectuează aceeași serie de transformări, fiind implicate doar primul și al treilea rând. În consecință, în fiecare pas al algoritmului, elementul a 21 este înlocuit cu un 31 . Apoi totul se repetă pentru un 41 , ... un m1 . Rezultatul este o matrice în care primul element din rânduri este egal cu zero. Acum trebuie să uităm de linia numărul unu și să executăm același algoritm începând de la a doua linie:

• coeficient k \u003d (-a 32 / a 22);
• a doua linie modificată se adaugă la linia „actuală”;
• rezultatul adunării este înlocuit în rândurile a treia, a patra și așa mai departe, în timp ce prima și a doua rămân neschimbate;
• în rândurile matricei, primele două elemente sunt deja egale cu zero.

Algoritmul trebuie repetat până când apare coeficientul k = (-a m,m-1 /a mm). Aceasta înseamnă că algoritmul a fost rulat ultima dată numai pentru ecuația inferioară. Acum matricea arată ca un triunghi sau are o formă în trepte. Linia de jos conține egalitatea a mn × x n = b m . Se cunosc coeficientul si termenul liber, iar prin ele se exprima radacina: x n = b m /a mn. Rădăcina rezultată este înlocuită în rândul de sus pentru a găsi x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Și așa mai departe, prin analogie: în fiecare linie următoare există o nouă rădăcină și, după ce ați ajuns în „vârful” sistemului, puteți găsi multe soluții. Va fi singurul.

Când nu există soluții

Dacă într-unul dintre rândurile matricei toate elementele, cu excepția termenului liber, sunt egale cu zero, atunci ecuația corespunzătoare acestui rând arată ca 0 = b. Nu are solutie. Și deoarece o astfel de ecuație este inclusă în sistem, atunci setul de soluții al întregului sistem este gol, adică este degenerat.

Când există un număr infinit de soluții

Se poate dovedi că în matricea triunghiulară redusă nu există rânduri cu un element - coeficientul ecuației și unul - un membru liber. Există doar șiruri care, atunci când sunt rescrise, ar arăta ca o ecuație cu două sau mai multe variabile. Aceasta înseamnă că sistemul are un număr infinit de soluții. În acest caz, răspunsul poate fi dat sub forma unei soluții generale. Cum să o facă?

Toate variabilele din matrice sunt împărțite în de bază și libere. De bază - acestea sunt cele care stau „pe marginea” rândurilor din matricea în trepte. Restul sunt gratuite. În soluția generală, variabilele de bază sunt scrise în termenii celor libere.

Pentru comoditate, matricea este mai întâi rescrisă înapoi într-un sistem de ecuații. Apoi, în ultima dintre ele, unde a rămas doar o variabilă de bază, aceasta rămâne pe o parte, iar totul este transferat pe cealaltă. Acest lucru se face pentru fiecare ecuație cu o variabilă de bază. Apoi, în restul ecuațiilor, acolo unde este posibil, în locul variabilei de bază, se înlocuiește expresia obținută pentru aceasta. Dacă rezultatul este din nou o expresie care conține o singură variabilă de bază, aceasta este exprimată din nou de acolo și așa mai departe, până când fiecare variabilă de bază este scrisă ca o expresie cu variabile libere. Aceasta este soluția generală a SLAE.

De asemenea, puteți găsi soluția de bază a sistemului - dați variabilelor libere orice valoare și apoi, pentru acest caz particular, calculați valorile variabilelor de bază. Există o infinitate de soluții speciale.

Rezolvare cu exemple concrete

Iată sistemul de ecuații.

Pentru comoditate, este mai bine să-i creați imediat matricea

Se știe că la rezolvarea prin metoda Gauss, ecuația corespunzătoare primului rând va rămâne neschimbată la sfârșitul transformărilor. Prin urmare, va fi mai profitabil dacă elementul din stânga sus al matricei este cel mai mic - atunci primele elemente ale rândurilor rămase după operații se vor transforma la zero. Aceasta înseamnă că în matricea compilată va fi avantajos să punem al doilea în locul primului rând.

a doua linie: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

a treia linie: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Acum, pentru a nu ne confunda, este necesar să notăm matricea cu rezultatele intermediare ale transformărilor.

Este evident că o astfel de matrice poate fi făcută mai convenabilă pentru percepție cu ajutorul unor operații. De exemplu, puteți elimina toate „minusurile” din a doua linie înmulțind fiecare element cu „-1”.

De asemenea, merită remarcat faptul că în al treilea rând toate elementele sunt multipli de trei. Apoi puteți reduce șirul cu acest număr, înmulțind fiecare element cu „-1/3” (minus - în același timp pentru a elimina valorile negative).

Arata mult mai frumos. Acum trebuie să lăsăm în pace prima linie și să lucrăm cu a doua și a treia. Sarcina este de a adăuga al doilea rând la al treilea rând, înmulțit cu un astfel de factor încât elementul a 32 să devină egal cu zero.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 fracții și abia apoi, când se primesc răspunsurile, decideți dacă să rotunjiți și să traduceți într-o altă formă de notație)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matricea este scrisă din nou cu valori noi.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

După cum puteți vedea, matricea rezultată are deja o formă în trepte. Prin urmare, nu sunt necesare transformări suplimentare ale sistemului prin metoda Gauss. Ceea ce se poate face aici este să eliminați coeficientul general „-1/7” de pe a treia linie.

Acum totul este frumos. Punctul este mic - scrieți din nou matricea sub forma unui sistem de ecuații și calculați rădăcinile

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmul prin care vor fi găsite acum rădăcinile se numește mișcare inversă în metoda Gauss. Ecuația (3) conține valoarea lui z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Și prima ecuație vă permite să găsiți x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Avem dreptul să numim un astfel de sistem comun, și chiar definitiv, adică având o soluție unică. Răspunsul este scris în următoarea formă:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Un exemplu de sistem nedefinit

S-a analizat varianta de rezolvare a unui anumit sistem prin metoda Gauss, acum este necesar să luăm în considerare cazul dacă sistemul este nedefinit, adică se pot găsi infinite soluții pentru el.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Forma însăși a sistemului este deja alarmantă, deoarece numărul de necunoscute este n = 5, iar rangul matricei sistemului este deja exact mai mic decât acest număr, deoarece numărul de rânduri este m = 4, adică ordinul cel mai mare al determinantului pătrat este 4. Aceasta înseamnă că există un număr infinit de soluții și este necesar să se caute forma generală a acestuia. Metoda Gauss pentru ecuații liniare face posibilă acest lucru.

Mai întâi, ca de obicei, este compilată matricea augmentată.

A doua linie: coeficient k = (-a 21 / a 11) = -3. În a treia linie, primul element este înaintea transformărilor, deci nu trebuie să atingeți nimic, trebuie să îl lăsați așa cum este. A patra linie: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Înmulțind pe rând elementele primului rând cu fiecare dintre coeficienții lor și adăugându-le la rândurile dorite, obținem o matrice de următoarea formă:

După cum puteți vedea, al doilea, al treilea și al patrulea rând sunt compuse din elemente proporționale între ele. Al doilea și al patrulea sunt în general aceleași, așa că unul dintre ele poate fi eliminat imediat, iar restul înmulțit cu coeficientul „-1” și obțineți linia numărul 3. Și din nou, lăsați una dintre cele două linii identice.

S-a dovedit o astfel de matrice. Sistemul nu a fost încă notat, aici este necesar să se determine variabilele de bază - stând la coeficienții a 11 \u003d 1 și a 22 \u003d 1 și liber - tot restul.

A doua ecuație are o singură variabilă de bază - x 2 . Prin urmare, poate fi exprimat de acolo, scriind prin variabilele x 3 , x 4 , x 5 , care sunt libere.

Inlocuim expresia rezultata in prima ecuatie.

S-a dovedit o ecuație în care singura variabilă de bază este x 1. Să facem la fel cu ea ca și cu x 2 .

Toate variabilele de bază, dintre care sunt două, sunt exprimate în termeni de trei libere, acum puteți scrie răspunsul într-o formă generală.

De asemenea, puteți specifica una dintre soluțiile particulare ale sistemului. Pentru astfel de cazuri, de regulă, zerourile sunt alese ca valori pentru variabilele libere. Atunci răspunsul va fi:

16, 23, 0, 0, 0.

Un exemplu de sistem incompatibil

Rezolvarea sistemelor inconsistente de ecuații prin metoda Gauss este cea mai rapidă. Se termină de îndată ce la una dintre etape se obține o ecuație care nu are soluție. Adică, etapa cu calculul rădăcinilor, care este destul de lungă și tristă, dispare. Se are în vedere următorul sistem:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ca de obicei, matricea este compilată:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Și se reduce la o formă în trepte:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

După prima transformare, a treia linie conține o ecuație de formă

neavand solutie. Prin urmare, sistemul este inconsecvent, iar răspunsul este setul gol.

Avantajele și dezavantajele metodei

Dacă alegeți ce metodă să rezolvați SLAE pe hârtie cu un stilou, atunci metoda care a fost luată în considerare în acest articol arată cea mai atractivă. În transformările elementare, este mult mai dificil să fii confuz decât se întâmplă dacă trebuie să cauți manual determinantul sau o matrice inversă complicată. Cu toate acestea, dacă utilizați programe pentru a lucra cu date de acest tip, de exemplu, foi de calcul, atunci se dovedește că astfel de programe conțin deja algoritmi pentru calcularea parametrilor principali ai matricelor - determinant, minori, invers și așa mai departe. Și dacă sunteți sigur că mașina va calcula singură aceste valori și nu va greși, este mai convenabil să utilizați metoda matricei sau formulele lui Cramer, deoarece aplicarea lor începe și se termină cu calcularea determinanților și a matricelor inverse.

Aplicație

Deoarece soluția gaussiană este un algoritm, iar matricea este, de fapt, o matrice bidimensională, poate fi folosită în programare. Dar, din moment ce articolul se poziționează ca un ghid „pentru manechin”, trebuie spus că cel mai ușor loc de a pune metoda este foile de calcul, de exemplu, Excel. Din nou, orice SLAE introdus într-un tabel sub forma unei matrice va fi considerat de Excel ca o matrice bidimensională. Iar pentru operațiunile cu ele, există multe comenzi drăguțe: adunare (puteți adăuga doar matrici de aceeași dimensiune!), Înmulțirea cu un număr, înmulțirea matricelor (tot cu anumite restricții), găsirea matricelor inverse și transpuse și, cel mai important , calculând determinantul. Dacă această sarcină consumatoare de timp este înlocuită cu o singură comandă, este mult mai rapid să se determine rangul unei matrice și, prin urmare, să se stabilească compatibilitatea sau inconsecvența acesteia.

Încă de la începutul secolelor XVI-XVIII, matematicienii au început să studieze intens funcțiile, datorită cărora s-au schimbat atât de multe în viața noastră. Tehnologia informatică fără aceste cunoștințe pur și simplu nu ar exista. Pentru a rezolva probleme complexe, ecuații și funcții liniare, au fost create diverse concepte, teoreme și tehnici de rezolvare. Una dintre astfel de metode și tehnici universale și raționale de rezolvare a ecuațiilor liniare și a sistemelor lor a fost metoda Gauss. Matrici, rangul lor, determinant - totul poate fi calculat fără a utiliza operații complexe.

Ce este SLAU

În matematică, există conceptul de SLAE - un sistem de ecuații algebrice liniare. Ce reprezintă ea? Acesta este un set de m ecuații cu n necunoscute necesare, de obicei notate ca x, y, z sau x 1 , x 2 ... x n sau alte simboluri. A rezolva acest sistem prin metoda Gauss înseamnă a găsi toate necunoscutele necunoscute. Dacă un sistem are același număr de necunoscute și ecuații, atunci se numește sistem de ordin al n-lea.

Cele mai populare metode de rezolvare a SLAE

În instituțiile de învățământ din învățământul secundar sunt studiate diverse metode de rezolvare a unor astfel de sisteme. Cel mai adesea, acestea sunt ecuații simple formate din două necunoscute, așa că orice metodă existentă pentru a găsi răspunsul la acestea nu va dura mult timp. Poate fi ca o metodă de substituție, când o altă ecuație este derivată dintr-o ecuație și substituită în cea originală. Sau termen cu termen scădere și adunare. Dar metoda Gauss este considerată cea mai ușoară și universală. Face posibilă rezolvarea ecuațiilor cu orice număr de necunoscute. De ce această tehnică este considerată rațională? Totul este simplu. Metoda matricei este bună pentru că nu necesită de mai multe ori să rescrieți caractere inutile sub formă de necunoscute, este suficient să faceți operații aritmetice pe coeficienți - și veți obține un rezultat fiabil.

Unde sunt utilizate SLAE-urile în practică?

Soluția SLAE sunt punctele de intersecție a dreptelor de pe graficele funcțiilor. În era noastră de computere de înaltă tehnologie, oamenii care sunt implicați îndeaproape în dezvoltarea de jocuri și alte programe trebuie să știe cum să rezolve astfel de sisteme, ce reprezintă acestea și cum să verifice corectitudinea rezultatului rezultat. Cel mai adesea, programatorii dezvoltă calculatoare speciale de algebră liniară, care include un sistem de ecuații liniare. Metoda Gauss vă permite să calculați toate soluțiile existente. Sunt utilizate și alte formule și tehnici simplificate.

Criteriul de compatibilitate SLAE

Un astfel de sistem poate fi rezolvat doar dacă este compatibil. Pentru claritate, prezentăm SLAE sub forma Ax=b. Are o soluție dacă rang(A) este egal cu rang(A,b). În acest caz, (A,b) este o matrice de formă extinsă care poate fi obținută din matricea A prin rescrierea ei cu termeni liberi. Se pare că rezolvarea ecuațiilor liniare folosind metoda Gauss este destul de ușoară.

Poate că o notație nu este complet clară, așa că este necesar să luăm în considerare totul cu un exemplu. Să presupunem că există un sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Este format din doar două ecuații în care există 2 necunoscute. Sistemul va avea o soluție numai dacă rangul matricei sale este egal cu rangul matricei augmentate. Ce este un rang? Acesta este numărul de linii independente ale sistemului. În cazul nostru, rangul matricei este 2. Matricea A va consta din coeficienții aflați în apropierea necunoscutelor, iar coeficienții din spatele semnului „=” se vor potrivi, de asemenea, în matricea extinsă.

De ce SLAE poate fi reprezentat sub formă de matrice

Pe baza criteriului de compatibilitate conform teoremei dovedite Kronecker-Capelli, sistemul de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice. Folosind metoda cascadei gaussiene, puteți rezolva matricea și puteți obține singurul răspuns de încredere pentru întregul sistem. Dacă rangul unei matrice obișnuite este egal cu rangul matricei sale extinse, dar mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de răspunsuri.

Transformări de matrice

Înainte de a trece la rezolvarea matricelor, este necesar să știm ce acțiuni pot fi efectuate asupra elementelor acestora. Există mai multe transformări elementare:

• Prin rescrierea sistemului într-o formă de matrice și efectuând soluția acestuia, este posibil să se înmulțească toate elementele seriei cu același coeficient.
• Pentru a converti o matrice în formă canonică, două rânduri paralele pot fi schimbate. Forma canonică implică faptul că toate elementele matricei care sunt situate de-a lungul diagonalei principale devin una, iar cele rămase devin zerouri.
• Elementele corespunzătoare ale rândurilor paralele ale matricei pot fi adăugate una la alta.

metoda Jordan-Gauss

Esența rezolvării sistemelor de ecuații liniare omogene și neomogene prin metoda Gauss este eliminarea treptat a necunoscutelor. Să presupunem că avem un sistem de două ecuații în care există două necunoscute. Pentru a le găsi, trebuie să verificați compatibilitatea sistemului. Ecuația lui Gauss este rezolvată foarte simplu. Este necesar să scrieți coeficienții aflați lângă fiecare necunoscută într-o formă de matrice. Pentru a rezolva sistemul, trebuie să scrieți matricea augmentată. Dacă una dintre ecuații conține un număr mai mic de necunoscute, atunci trebuie pus „0” în locul elementului lipsă. Toate metodele de transformare cunoscute sunt aplicate matricei: înmulțirea, împărțirea cu un număr, adăugarea elementelor corespunzătoare ale rândurilor între ele și altele. Se pare că în fiecare rând este necesar să lăsați o variabilă cu valoarea „1”, restul ar trebui redus la zero. Pentru o înțelegere mai precisă, este necesar să luăm în considerare metoda Gauss cu exemple.

Un exemplu simplu de rezolvare a unui sistem 2x2

Pentru început, să luăm un sistem simplu de ecuații algebrice, în care vor exista 2 necunoscute.

Să-l rescriem într-o matrice augmentată.

Pentru a rezolva acest sistem de ecuații liniare sunt necesare doar două operații. Trebuie să aducem matricea la forma canonică, astfel încât să existe unități de-a lungul diagonalei principale. Deci, transpunând din forma matricei înapoi în sistem, obținem ecuațiile: 1x+0y=b1 și 0x+1y=b2, unde b1 și b2 sunt răspunsurile obținute în procesul de rezolvare.

1. Primul pas în rezolvarea matricei augmentate va fi următorul: primul rând trebuie înmulțit cu -7 și, respectiv, elementele corespunzătoare adăugate celui de-al doilea rând, pentru a scăpa de o necunoscută din a doua ecuație.
2. Deoarece rezolvarea ecuațiilor prin metoda Gauss presupune aducerea matricei la forma canonică, atunci este necesar să se facă aceleași operații cu prima ecuație și să se elimine a doua variabilă. Pentru a face acest lucru, scădem a doua linie din prima și obținem răspunsul necesar - soluția SLAE. Sau, așa cum se arată în figură, înmulțim al doilea rând cu un factor de -1 și adăugăm elementele celui de-al doilea rând la primul rând. Asta e lafel.

După cum puteți vedea, sistemul nostru este rezolvat prin metoda Jordan-Gauss. O rescriem în forma cerută: x=-5, y=7.

Un exemplu de rezolvare a SLAE 3x3

Să presupunem că avem un sistem mai complex de ecuații liniare. Metoda Gauss face posibilă calcularea răspunsului chiar și pentru sistemul cel mai aparent confuz. Prin urmare, pentru a aprofunda metodologia de calcul, putem trece la un exemplu mai complex cu trei necunoscute.

Ca și în exemplul anterior, rescriem sistemul sub forma unei matrice extinse și începem să-l aducem la forma canonică.

Pentru a rezolva acest sistem, va trebui să efectuați mult mai multe acțiuni decât în ​​exemplul anterior.

1. Mai întâi trebuie să faceți în prima coloană un singur element și restul zerouri. Pentru a face acest lucru, înmulțiți prima ecuație cu -1 și adăugați a doua ecuație la ea. Este important să ne amintim că rescriem prima linie în forma sa originală, iar a doua - deja într-o formă modificată.
2. În continuare, eliminăm aceeași primă necunoscută din a treia ecuație. Pentru a face acest lucru, înmulțim elementele primului rând cu -2 și le adăugăm la al treilea rând. Acum, prima și a doua linie sunt rescrise în forma lor originală, iar a treia - deja cu modificări. După cum puteți vedea din rezultat, am primit primul la începutul diagonalei principale a matricei, iar restul sunt zerouri. Încă câteva acțiuni și sistemul de ecuații prin metoda Gauss va fi rezolvat în mod fiabil.
3. Acum trebuie să faceți operații pe alte elemente ale rândurilor. Al treilea și al patrulea pas pot fi combinați într-unul singur. Trebuie să împărțim a doua și a treia linie la -1 pentru a scăpa de cele negative de pe diagonală. Am adus deja a treia linie la forma necesară.
4. În continuare, canonizăm a doua linie. Pentru a face acest lucru, înmulțim elementele celui de-al treilea rând cu -3 și le adăugăm la a doua linie a matricei. Din rezultat se vede că a doua linie se reduce și la forma de care avem nevoie. Rămâne să mai faci câteva operații și să scoți coeficienții necunoscutelor din primul rând.
5. Pentru a face 0 din al doilea element al rândului, trebuie să înmulțiți al treilea rând cu -3 și să îl adăugați la primul rând.
6. Următorul pas decisiv este adăugarea elementelor necesare din al doilea rând la primul rând. Deci obținem forma canonică a matricei și, în consecință, răspunsul.

După cum puteți vedea, soluția ecuațiilor prin metoda Gauss este destul de simplă.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații 4x4

Unele sisteme de ecuații mai complexe pot fi rezolvate prin metoda Gaussiană folosind programe de calculator. Este necesar să introduceți coeficienți pentru necunoscute în celulele goale existente, iar programul va calcula rezultatul necesar pas cu pas, descriind fiecare acțiune în detaliu.

Instrucțiunile pas cu pas pentru rezolvarea unui astfel de exemplu sunt descrise mai jos.

În primul pas, coeficienții liberi și numerele pentru necunoscute sunt introduse în celulele goale. Astfel, obținem aceeași matrice augmentată pe care o scriem manual.

Și toate operațiile aritmetice necesare sunt efectuate pentru a aduce matricea extinsă la forma canonică. Trebuie înțeles că răspunsul la un sistem de ecuații nu este întotdeauna numere întregi. Uneori, soluția poate fi din numere fracționale.

Verificarea corectitudinii solutiei

Metoda Jordan-Gauss prevede verificarea corectitudinii rezultatului. Pentru a afla dacă coeficienții sunt calculați corect, trebuie doar să înlocuiți rezultatul în sistemul original de ecuații. Partea stângă a ecuației trebuie să se potrivească cu partea dreaptă, care se află în spatele semnului egal. Dacă răspunsurile nu se potrivesc, atunci trebuie să recalculați sistemul sau să încercați să aplicați o altă metodă de rezolvare a SLAE cunoscută de dvs., cum ar fi înlocuirea sau scăderea și adunarea termen cu termen. La urma urmei, matematica este o știință care are un număr mare de metode diferite de rezolvare. Dar rețineți: rezultatul ar trebui să fie întotdeauna același, indiferent de metoda de soluție pe care ați folosit-o.

Metoda Gauss: cele mai frecvente erori în rezolvarea SLAE

În timpul rezolvării sistemelor liniare de ecuații, apar cel mai adesea erori, cum ar fi transferul incorect al coeficienților într-o formă de matrice. Există sisteme în care unele necunoscute lipsesc într-una dintre ecuații, apoi, transferând datele în matricea extinsă, acestea se pot pierde. Ca urmare, la rezolvarea acestui sistem, rezultatul poate să nu corespundă cu cel real.

O altă greșeală principală poate fi scrierea incorectă a rezultatului final. Trebuie să se înțeleagă clar că primul coeficient va corespunde primei necunoscute din sistem, al doilea - celui de-al doilea și așa mai departe.

Metoda Gauss descrie în detaliu soluția ecuațiilor liniare. Datorită lui, este ușor să efectuați operațiunile necesare și să găsiți rezultatul potrivit. În plus, acesta este un instrument universal pentru a găsi un răspuns de încredere la ecuații de orice complexitate. Poate de aceea este atât de des folosit în rezolvarea SLAE.

Să fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare, care trebuie rezolvat (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor хi care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate).

Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:

1) Nu au soluții (fi incompatibil).
2) Au infinit de soluții.
3) Aveți o soluție unică.

După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei sunt nepotrivite în cazurile în care sistemul are infinite de soluții sau este inconsecvent. metoda Gauss – cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea de soluții la orice sistem de ecuații liniare, care în fiecare caz conduce-ne la raspuns! Algoritmul metodei în toate cele trei cazuri funcționează în același mod. Dacă metodele Cramer și matrice necesită cunoașterea determinanților, atunci aplicarea metodei Gauss necesită cunoașterea doar a operațiilor aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și elevilor de școală primară.

Transformări matrice extinse ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi) sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:

1) cu troky matrici poate sa rearanja locuri.

2) dacă există (sau sunt) rânduri proporționale (ca caz special - identice) în matrice, atunci urmează șterge din matrice, toate aceste rânduri cu excepția unuia.

3) dacă în matrice a apărut un rând zero în timpul transformărilor, atunci urmează și el șterge.

4) rândul matricei poate înmulțire (împărțire) la orice alt număr decât zero.

5) la rândul matricei, puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero.

În metoda Gauss, transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații.

Metoda Gauss constă din două etape:

1. „Mișcare directă” - folosind transformări elementare, aduceți matricea extinsă a sistemului de ecuații algebrice liniare într-o formă în trepte „triunghiulară”: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (deplasarea de sus în jos) ). De exemplu, la acest tip:

Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași:

1) Să considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul la x 1 este egal cu K. A doua, a treia etc. transformăm ecuațiile astfel: împărțim fiecare ecuație (coeficienți pentru necunoscute, inclusiv termeni liberi) la coeficientul pentru necunoscut x 1, care se află în fiecare ecuație, și înmulțim cu K. După aceea, scădem prima din a doua ecuație ( coeficienţi pentru necunoscute şi termeni liberi). Obținem la x 1 din a doua ecuație coeficientul 0. Din a treia ecuație transformată scădem prima ecuație, deci până când toate ecuațiile, cu excepția primei, cu necunoscut x 1 nu vor avea coeficient 0.

2) Treceți la următoarea ecuație. Fie aceasta a doua ecuație și coeficientul de la x 2 este egal cu M. Cu toate ecuațiile „subordonate”, procedăm așa cum este descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 în toate ecuațiile vor fi zerouri.

3) Trecem la următoarea ecuație și așa mai departe până rămâne un ultim termen liber necunoscut și transformat.

1. „Mișcarea inversă” a metodei Gauss este de a obține o soluție la un sistem de ecuații algebrice liniare (mișcarea „de jos în sus”). Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n \u003d B. În exemplul de mai sus, x 3 \u003d 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 - 4 \u003d 1, adică x 2 \u003d 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.

Exemplu.

Rezolvăm sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss, așa cum ne sfătuiesc unii autori:

Scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem la o formă de pas:

Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Acolo ar trebui să avem o unitate. Problema este că nu sunt deloc nimeni în prima coloană, așa că nimic nu poate fi rezolvat prin rearanjarea rândurilor. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Hai să o facem așa:
1 pas . La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu -1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu -1 și am efectuat adăugarea primei și a doua rânduri, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus „minus unu”, care ni se potrivește perfect. Cine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu -1 (schimbați-i semnul).

2 pas . Prima linie înmulțită cu 5 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 3 a fost adăugată la a treia linie.

3 pas . Prima linie a fost înmulțită cu -1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel, la a doua „treaptă, am avut unitatea dorită.

4 pas . La a treia linie, adăugați a doua linie, înmulțită cu 2.

5 pas . A treia linie este împărțită la 3.

Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar o greșeală de scriere) este un rezultat „proast”. Adică, dacă avem ceva de genul (0 0 11 | 23) mai jos și, în consecință, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atunci cu un grad mare de probabilitate putem spune că a fost făcută o greșeală în timpul elementului transformări.

Efectuăm o mișcare inversă, în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, iar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează „de jos în sus”. În acest exemplu, cadoul a rezultat:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, prin urmare x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Răspuns:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Să rezolvăm același sistem folosind algoritmul propus. Primim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Împărțim a doua ecuație cu 5 și a treia cu 3. Obținem:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Scădeți prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Împărțiți a treia ecuație la 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Scădeți a doua ecuație din a treia ecuație, obținem matricea augmentată „în trepte”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Astfel, deoarece o eroare acumulată în procesul de calcule, obținem x 3 \u003d 0,96, sau aproximativ 1.

x 2 \u003d 3 și x 1 \u003d -1.

Rezolvând astfel, nu te vei încurca niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, vei obține rezultatul.

Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ține cont de caracteristicile specifice ale coeficienților pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să se ocupe de coeficienți neîntregi.

Iti doresc noroc! Ne vedem la ore! Tutor Dmitri Aistrakhanov.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Se spune că două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă mulțimea tuturor soluțiilor lor este aceeași.

Transformările elementare ale sistemului de ecuații sunt:

1. Ștergerea din sistemul de ecuații triviale, i.e. cele pentru care toți coeficienții sunt egali cu zero;
2. Înmulțirea oricărei ecuații cu un număr diferit de zero;
3. Adunarea oricărei ecuații i-a a oricărei ecuații j-a, înmulțită cu orice număr.

Variabila x i se numește liberă dacă această variabilă nu este permisă, iar întregul sistem de ecuații este permis.

Teorema. Transformările elementare transformă sistemul de ecuații într-unul echivalent.

Semnificația metodei Gauss este de a transforma sistemul original de ecuații și de a obține un sistem echivalent permis sau echivalent inconsistent.

Deci, metoda Gauss constă din următorii pași:

1. Luați în considerare prima ecuație. Alegem primul coeficient diferit de zero și împărțim întreaga ecuație la el. Obtinem o ecuatie in care intra o variabila x i cu un coeficient de 1;
2. Să scădem această ecuație din toate celelalte, înmulțind-o cu numere astfel încât coeficienții pentru variabila x i din ecuațiile rămase să fie setate la zero. Obținem un sistem care se rezolvă în raport cu variabila x i și este echivalent cu cel inițial;
3. Dacă apar ecuații triviale (rar, dar se întâmplă; de exemplu, 0 = 0), le ștergem din sistem. Ca rezultat, ecuațiile devin cu una mai puțin;
4. Repetăm ​​pașii anteriori de cel mult n ori, unde n este numărul de ecuații din sistem. De fiecare dată când selectăm o nouă variabilă pentru „procesare”. Dacă apar ecuații conflictuale (de exemplu, 0 = 8), sistemul este inconsecvent.

Ca urmare, după câțiva pași obținem fie un sistem permis (eventual cu variabile libere), fie unul inconsistent. Sistemele permise se împart în două cazuri:

1. Numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații. Deci sistemul este definit;
2. Numărul de variabile este mai mare decât numărul de ecuații. Colectăm toate variabilele libere din dreapta - obținem formule pentru variabilele permise. Aceste formule sunt scrise în răspuns.

Asta e tot! Sistemul de ecuații liniare este rezolvat! Acesta este un algoritm destul de simplu și, pentru a-l stăpâni, nu trebuie să contactați un tutore de matematică. Luați în considerare un exemplu:

Sarcină. Rezolvați sistemul de ecuații:

Descrierea etapelor:

1. Scădem prima ecuație din a doua și a treia - obținem variabila admisă x 1;
2. Înmulțim a doua ecuație cu (−1), și împărțim a treia ecuație la (−3) - obținem două ecuații în care variabila x 2 intră cu coeficientul 1;
3. Adăugăm a doua ecuație la prima și scadem din a treia. Să obținem variabila permisă x 2 ;
4. În final, scădem a treia ecuație din prima - obținem variabila admisă x 3 ;
5. Am primit un sistem autorizat, notăm răspunsul.

Soluția generală a unui sistem comun de ecuații liniare este un sistem nou, echivalent cu cel original, în care toate variabilele permise sunt exprimate în termeni de cele libere.

Când ar putea fi necesară o soluție generală? Dacă trebuie să faceți mai puțini pași decât k (k este câte ecuații în total). Totuși, motivele pentru care procesul se termină la un pas l< k , может быть две:

1. După pasul l -lea, obținem un sistem care nu conține o ecuație cu numărul (l + 1). De fapt, acest lucru este bine, pentru că. sistemul rezolvat este primit oricum – chiar și cu câțiva pași mai devreme.
2. După pasul l -a, se obține o ecuație în care toți coeficienții variabilelor sunt egali cu zero, iar coeficientul liber este diferit de zero. Aceasta este o ecuație inconsistentă și, prin urmare, sistemul este inconsecvent.

Este important de înțeles că apariția unei ecuații inconsistente prin metoda Gauss este un motiv suficient pentru inconsecvență. În același timp, observăm că, ca urmare a pasului l-lea, ecuațiile triviale nu pot rămâne - toate sunt șterse direct în proces.

Descrierea etapelor:

1. Scădeți prima ecuație cu 4 din a doua. Și adăugați, de asemenea, prima ecuație la a treia - obținem variabila permisă x 1;
2. Scădem a treia ecuație, înmulțită cu 2, din a doua - obținem ecuația contradictorie 0 = −5.

Deci, sistemul este inconsecvent, deoarece a fost găsită o ecuație inconsistentă.

Sarcină. Investigați compatibilitatea și găsiți soluția generală a sistemului:

Descrierea etapelor:

1. Scădem prima ecuație din a doua (după înmulțirea cu doi) și a treia - obținem variabila admisă x 1;
2. Scădeți a doua ecuație din a treia. Deoarece toți coeficienții din aceste ecuații sunt aceiași, a treia ecuație devine trivială. În același timp, înmulțim a doua ecuație cu (−1);
3. Scădem a doua ecuație din prima ecuație - obținem variabila permisă x 2. Întregul sistem de ecuații este acum și el rezolvat;
4. Deoarece variabilele x 3 și x 4 sunt libere, le mutăm spre dreapta pentru a exprima variabilele permise. Acesta este răspunsul.

Deci, sistemul este comun și nedefinit, deoarece există două variabile permise (x 1 și x 2) și două libere (x 3 și x 4).

Una dintre cele mai simple moduri de a rezolva un sistem de ecuații liniare este o metodă bazată pe calcularea determinanților ( regula lui Cramer). Avantajul său este că vă permite să înregistrați imediat soluția, este mai ales convenabil în cazurile în care coeficienții sistemului nu sunt numere, ci un fel de parametri. Dezavantajul său este greoaiele calculelor în cazul unui număr mare de ecuații, în plus, regula lui Cramer nu este direct aplicabilă sistemelor în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute. În astfel de cazuri, este de obicei folosit metoda Gauss.

Se numesc sisteme de ecuații liniare care au același set de soluții echivalent. Este evident că setul de soluții ale unui sistem liniar nu se va schimba dacă vreo ecuație este schimbată sau dacă una dintre ecuații este înmulțită cu un număr diferit de zero, sau dacă o ecuație este adăugată la alta.

metoda Gauss (metoda de eliminare succesiva a necunoscutelor) constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul se reduce la un sistem treptat echivalent. În primul rând, cu ajutorul primei ecuații, X 1 din toate ecuațiile ulterioare ale sistemului. Apoi, folosind a 2-a ecuație, eliminăm X 2 din a 3-a și toate ecuațiile ulterioare. Acest proces, numit metoda Gauss directă, continuă până când rămâne doar o necunoscută în partea stângă a ultimei ecuații x n. După aceea, se face Revers gaussian– rezolvând ultima ecuație, găsim x n; după aceea, folosind această valoare, din penultima ecuație pe care o calculăm x n-1 etc. Ultimul găsim X 1 din prima ecuație.

Este convenabil să se efectueze transformări gaussiene realizând transformări nu cu ecuațiile în sine, ci cu matricele coeficienților lor. Luați în considerare matricea:

numit sistem de matrice extinsă, deoarece pe lângă matricea principală a sistemului, include o coloană de membri liberi. Metoda Gauss se bazează pe aducerea matricei principale a sistemului într-o formă triunghiulară (sau formă trapezoidală în cazul sistemelor nepătrate) folosind transformări elementare de rând (!) ale matricei extinse a sistemului.

Exemplul 5.1. Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss:

Decizie. Să scriem matricea augmentată a sistemului și, folosind primul rând, după aceea vom seta restul elementelor la zero:

primim zerouri în rândurile 2, 3 și 4 ale primei coloane:

Acum avem nevoie ca toate elementele din a doua coloană de sub al doilea rând să fie egale cu zero. Pentru a face acest lucru, puteți înmulți a doua linie cu -4/7 și adăugați la a treia linie. Totuși, pentru a nu ne ocupa de fracții, vom crea o unitate în al 2-lea rând al celei de-a doua coloane și numai

Acum, pentru a obține o matrice triunghiulară, trebuie să eliminați elementul din al patrulea rând al coloanei a treia, pentru aceasta puteți înmulți al treilea rând cu 8/54 și îl puteți adăuga la al patrulea. Totuși, pentru a nu avea de-a face cu fracțiile, vom schimba rândurile al 3-lea și al 4-lea și al 3-a și al 4-lea coloane și numai după aceea vom reseta elementul specificat. Rețineți că atunci când coloanele sunt rearanjate, variabilele corespunzătoare sunt schimbate și acest lucru trebuie reținut; alte transformări elementare cu coloane (adunare și înmulțire cu un număr) nu pot fi efectuate!

Ultima matrice simplificată corespunde unui sistem de ecuații echivalent cu cel inițial:

De aici, folosind cursul invers al metodei Gauss, găsim din a patra ecuație X 3 = -1; din a treia X 4 = -2, din a doua X 2 = 2 și din prima ecuație X 1 = 1. În formă de matrice, răspunsul se scrie ca

Am luat în considerare cazul când sistemul este definit, adică. când există o singură soluție. Să vedem ce se întâmplă dacă sistemul este inconsecvent sau nedeterminat.

Exemplul 5.2. Explorați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Decizie. Scriem și transformăm matricea augmentată a sistemului

Scriem un sistem simplificat de ecuații:

Aici, în ultima ecuație, s-a dovedit că 0=4, adică. contradicţie. Prin urmare, sistemul nu are soluție, adică. ea este incompatibil. à

Exemplul 5.3. Explorați și rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană:

Decizie. Scriem și transformăm matricea extinsă a sistemului:

Ca urmare a transformărilor s-au obținut doar zerouri în ultima linie. Aceasta înseamnă că numărul de ecuații a scăzut cu una:

Astfel, după simplificări, rămân două ecuații, și patru necunoscute, adică. două „în plus” necunoscute. Lasă „de prisos”, sau, după cum se spune, variabile libere, voi X 3 și X 4 . Apoi

Presupunând X 3 = 2Ași X 4 = b, primim X 2 = 1–Ași X 1 = 2b–A; sau sub formă de matrice

O soluție scrisă în acest fel se numește general, din moment ce, prin darea parametrilor Ași b valori diferite, este posibil să descriem toate soluțiile posibile ale sistemului. A