Acolo unde s-au luat în considerare sarcinile pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic, am promis să prezint o tehnică de memorare a definițiilor sinusului și cosinusului. Folosind-o, vă veți aminti întotdeauna rapid ce catete aparține ipotenuzei (adiacent sau opus). Am decis să nu o amân la infinit, materialul necesar este mai jos, vă rog să îl citiți 😉
Cert este că am observat în mod repetat cum elevii din clasele 10-11 au dificultăți în a-și aminti aceste definiții. Ei își amintesc foarte bine că piciorul se referă la ipotenuză, dar care- uita si confuz. Prețul unei greșeli, după cum știți la examen, este un punctaj pierdut.
Informațiile pe care le voi prezenta direct la matematică nu au nicio legătură. Este asociat cu gândirea figurativă și cu metodele de conectare verbal-logică. Așa e, eu însumi mi-am amintit odată pentru totdeaunadate de definiție. Dacă tot le uitați, atunci cu ajutorul tehnicilor prezentate este întotdeauna ușor de reținut.
Permiteți-mi să vă reamintesc definițiile sinusului și cosinusului într-un triunghi dreptunghic:
Cosinus Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:
Sinusul Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:
Deci, ce asocieri evocă cuvântul cosinus în tine?
Probabil fiecare le are pe ale luiAmintiți-vă linkul:
Astfel, vei avea imediat o expresie în memoria ta -
«… raportul catetei ADJACENT la ipotenuză».
Problema cu definiția cosinusului este rezolvată.
Dacă trebuie să vă amintiți definiția sinusului într-un triunghi dreptunghic, apoi amintindu-vă definiția cosinusului, puteți stabili cu ușurință că sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză. La urma urmei, există doar două picioare, dacă piciorul adiacent este „ocupat” de cosinus, atunci rămâne doar partea opusă pentru sinus.
Dar tangenta si cotangenta? Aceeași confuzie. Elevii știu că acesta este raportul dintre picioare, dar problema este să ne amintim care dintre ele se referă la care - fie opus cu adiacent, fie invers.
Definitii:
Tangentă un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel alăturat:
Cotangentă Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și opusul:
Cum să-ți amintești? Există două moduri. Unul folosește și o conexiune verbal-logică, celălalt - una matematică.
METODĂ MATEMATICĂ
Există o astfel de definiție - tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unui unghi și cosinusul său:
* Ținând minte formula, puteți determina întotdeauna că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel adiacent.
De asemenea.Cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cosinusul unui unghi și sinusul său:
Asa de! Amintindu-ți aceste formule, poți oricând să stabilești că:
- tangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus fata de cel adiacent
- cotangenta unui unghi ascutit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetei adiacente la cel opus.
METODĂ VERBAL-LOGICĂ
Despre tangenta. Amintiți-vă linkul:
Adică, dacă trebuie să vă amintiți definiția tangentei, folosind această conexiune logică, vă puteți aminti cu ușurință ce este
„... raportul dintre piciorul opus și cel adiacent”
Dacă vine vorba de cotangente, atunci amintindu-ți definiția tangentei, poți exprima cu ușurință definiția cotangentei -
„... raportul dintre piciorul adiacent și opusul”
Există o tehnică interesantă de memorare a tangentei și cotangentei pe site " Tandem matematic " , uite.
METODĂ UNIVERSALĂ
Puteți pur și simplu să măcinați.Dar, așa cum arată practica, datorită conexiunilor verbale-logice, o persoană își amintește informațiile mult timp, și nu numai matematice.
Sper că materialul ți-a fost de folos.
Cu stimă, Alexander Krutitskikh
P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.
Instruire
Metoda 1. Folosind teorema lui Pitagora. Teorema spune: pătratul ipotenuzei este egală cu suma pătrate de picioare. Rezultă că oricare dintre laturile unui triunghi dreptunghic poate fi calculată cunoscând celelalte două laturi ale sale (Fig. 2)
Metoda 2. Rezultă din faptul că mediana trasată de la la ipotenuză formează între ele 3 triunghiuri asemănătoare (Fig. 3). În această figură, triunghiurile ABC, BCD și ACD sunt similare.
Exemplul 6: Utilizarea cercurilor unitare pentru a găsi coordonatele
Mai întâi găsim unghiul de referință corespunzător unghiului dat. Apoi luăm valorile sinus și cosinus ale unghiului de referință și le dăm semnele corespunzătoare valorilor y și x ale cadranului. În continuare, vom găsi cosinusul și sinusul unghiului dat.
Unghiul sită, triunghiul unghiular și rădăcina cubului
Poligoane care pot fi construite cu o busolă și un dreptar includ.Notă: unghiul sităi nu poate fi trasat cu o busolă și o linie dreaptă. Înmulțirea lungimii laturii unui cub cu rădăcina cubă a lui 2 dă lungimea laturii unui cub cu volumul dublu. Folosind teoria inovatoare a matematicianului francez Évariste Galois, se poate demonstra că pentru toate cele trei probleme clasice, construcția cu un cerc și o riglă este imposibilă.
Ipotenuza este latura dintr-un triunghi dreptunghic care este opus unghiului de 90 de grade. Pentru a-i calcula lungimea este suficient să cunoaștem lungimea unuia dintre catete și valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite ale triunghiului.
Rețineți: unghiul cu trei componente și construcția rădăcinii cubice nu sunt posibile cu o busolă și o linie dreaptă. 
Pe de altă parte, soluția ecuației gradului al treilea conform formulei Cardano poate fi reprezentată prin împărțirea unghiului și a rădăcinii cubice. În viitor, construim un unghi cu un cerc și o riglă. Totuși, după triunghiul acestui unghi și determinarea rădăcinii cubice, finalizarea construcției pătratului de sită se poate face cu ajutorul busolei și a dreptei.
Construcția unei tablă de zăbrele conform acestui calcul
Formularea algebrică a problemei construcției conduce la o ecuație a cărei analiză structurală va oferi informații suplimentare despre construcția structurii ternare. Aici, se folosește raportul unu-la-unu al unui unghi față de cosinusul său: dacă mărimea unghiului este cunoscută, lungimea cosinusului unghiului poate fi construită în mod unic pe cercul unitar și invers.
Instruire
Cu un catet cunoscut și un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic, atunci dimensiunea ipotenuzei poate fi egală cu raportul catetei și cosinusul / sinusul acestui unghi, dacă acest unghi este opus / adiacent acestuia:
h = C1(sau C2)/sinα;
h = С1(sau С2)/cosα.
Exemplu: Având în vedere un triunghi dreptunghic ABC cu ipotenuza AB și unghiul drept C. Fie unghiul B de 60 de grade și unghiul A de 30 de grade. Lungimea catetei BC este de 8 cm. Aflați lungimea ipotenuzei AB. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza oricare dintre metodele sugerate mai sus:
Această sarcină unu-la-unu vă permite să treceți de la definiția unghiului la definiția cosinusului unghiului. În cele ce urmează, 3 φ indică unghiul de împărțit. Astfel, φ este unghiul, a cărui valoare trebuie determinată pentru 3 φ dat. Începând cu compuși cunoscuți din trigonometrie.
Urmează la un unghi dat 3 φ. O considerație algebrică a solubilității unei ecuații tridimensionale duce direct la întrebarea posibilității de a construi soluții și, în consecință, la întrebarea posibilității sau imposibilității unui unghi triplu constructiv al unui unghi dat.
AB=BC/cos60=8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
Ipotenuza este latura unui triunghi dreptunghic care este opus unghiului drept. Este cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic. Îl puteți calcula folosind teorema lui Pitagora sau folosind formulele funcțiilor trigonometrice.
Valoarea unghiului de ieșire are o mare influență asupra posibilității de legare a celui de-al treilea unghi, deoarece acesta, ca termen absolut, determină în mod decisiv tipul de soluții în ecuația tridimensională. Dacă o ecuație de triangulație are cel puțin o soluție reală care poate fi obținută prin operații raționale sau un model de rădăcină pătrată pentru un unghi inițial dat, soluția respectivă este constructivă.
Breidenbach a formulat ca criteriu că unghiul de trei secunde poate fi interpretat doar într-o soluție rațională a unei ecuații în trei părți. Dacă o astfel de soluție nu este disponibilă, problema construcției din trei părți este ireconciliabilă cu busola și rigla. Analiza cluster este o tehnică generală de asamblare a unor grupuri mici dintr-un set mare de date. Similar cu analiza discriminantă, analiza cluster este, de asemenea, utilizată pentru a clasifica observațiile în grupuri. Pe de altă parte, analiza discriminatorie necesită cunoașterea apartenenței la grup în cazurile utilizate pentru derivarea regulii de clasificare.
Instruire
Catele se numesc laturile unui triunghi dreptunghic adiacent unui unghi drept. În figură, picioarele sunt desemnate ca AB și BC. Să fie date lungimile ambelor picioare. Să le notăm ca |AB| și |BC|. Pentru a afla lungimea ipotenuzei |AC|, folosim teorema lui Pitagora. Conform acestei teoreme, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei, adică. în notația desenului nostru |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Din formula obținem că lungimea ipotenuzei AC se găsește ca |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .
Analiza cluster este o metodă mai primitivă, deoarece nu face ipoteze cu privire la numărul de grupuri sau apartenența la grup. Analiza grupurilor de clasificare oferă o modalitate de a descoperi relații potențiale și de a crea o structură sistematică într-un număr mare de variabile și observații. Analiza ierarhică a clusterelor este principala metodă statistică pentru găsirea clusterelor relativ omogene de cazuri pe baza caracteristicilor măsurate. Începe cu fiecare caz ca un grup separat.
Clusterele sunt apoi îmbinate secvenţial, numărul de clustere scăzând cu fiecare pas până când rămâne un singur cluster. Metoda de grupare folosește diferențele dintre obiecte pentru a forma clustere. Analiza cluster ierarhică este cea mai bună pentru eșantioane mici.
Luați în considerare un exemplu. Fie lungimile picioarelor |AB| = 13, |BC| = 21. Prin teorema lui Pitagora, obținem că |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. de la numărul 610: |AC| = √610. Folosind tabelul de pătrate de numere întregi, aflăm că numărul 610 nu este un pătrat perfect al niciunui număr întreg. Pentru a obține valoarea finală a lungimii ipotenuzei, să încercăm să scoatem un pătrat întreg de sub semnul rădăcinii. Pentru a face acest lucru, descompunem numărul 610 în factori. 610 \u003d 2 * 5 * 61. Conform tabelului numerelor prime, vedem că 61 este un număr prim. Prin urmare, reducerea suplimentară a numărului √610 este imposibilă. Obținem răspunsul final |AC| = √610.
Dacă pătratul ipotenuzei ar fi, de exemplu, 675, atunci √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Dacă o astfel de turnare este posibilă, efectuați o verificare inversă - pătrați rezultatul și comparați cu valoarea inițială.
Analiza clusterelor ierarhice este doar o modalitate de a observa formarea grupurilor de variabile omogene. Nu există o modalitate specifică de a seta numărul de clustere pentru analiza dvs. Poate fi necesar să vă uitați la dendrogramă, precum și la caracteristicile clusterelor și apoi să ajustați numărul în pași pentru a obține o soluție bună pentru cluster.
Când variabilele sunt măsurate pe scări diferite, aveți trei moduri de a standardiza variabilele. Ca rezultat, toate variabilele cu proporții aproximativ egale contribuie la măsurarea distanței, chiar dacă este posibil să pierdeți informații despre varianța variabilelor.
Anunțați-ne unul dintre picioare și unghiul adiacent acestuia. Pentru certitudine, să fie piciorul |AB| și unghiul α. Apoi putem folosi formula pentru funcția trigonometrică cosinus - cosinusul unghiului este egal cu raportul catetei adiacente la ipotenuză. Acestea. în notația noastră cos α = |AB| / |AC|. De aici obținem lungimea ipotenuzei |AC| = |AB| / cosα.
Dacă cunoaștem piciorul |BC| si unghiul α, atunci folosim formula de calcul a sinusului unghiului - sinusul unghiului este egal cu raportul catetului opus fata de ipotenuza: sin α = |BC| / |AC|. Obținem că lungimea ipotenuzei se găsește ca |AC| = |BC| / cosα.
Distanța euclidiană: distanța euclidiană este cea mai comună metodă de măsurare. Distanța euclidiană pătrată: distanța euclidiană pătrată concentrează atenția asupra obiectelor care sunt mai îndepărtate. Distanța blocurilor orașului: Atât blocurile orașului, cât și distanța euclidiană sunt cazuri speciale ale metricii Minkowski. În timp ce distanța euclidiană corespunde lungimii celei mai scurte căi dintre două puncte, distanța de bloc este suma distanțelor de-a lungul fiecărei dimensiuni. Distanța de corelație a lui Pearson Diferența dintre 1 și coeficientul cosinus a două observații Coeficientul cosinus este cosinusul unghiului dintre cei doi vectori. Distanța Jaccard Diferența dintre 1 și coeficientul Jacquard pentru două observații Pentru datele binare, coeficientul Jaccard este egal cu raportul dintre cantitatea de suprapunere și suma celor două observații. Nearest Neighbor Această metodă presupune că distanța dintre două clustere corespunde distanței dintre caracteristicile din vecinătatea lor cea mai apropiată. Cel mai bun vecin În această metodă, distanța dintre două grupuri corespunde distanței maxime dintre două obiecte din grupuri diferite. Media grupului: Cu această metodă, distanța dintre două grupuri corespunde distanței medii dintre toate perechile de obiecte din grupuri diferite. Această metodă este în general recomandată deoarece conține o cantitate mai mare de informații. Mediană Această metodă este identică cu metoda centroidului, cu excepția faptului că este neponderată. Apoi, pentru fiecare caz, se calculează distanța pătratică euclidiană față de cluster. Clusterul care trebuie comasat este cel care mărește cel puțin suma. Adică, această metodă minimizează creșterea sumei totale a distanțelor pătrate în cadrul clusterelor. Această metodă tinde să creeze grupuri mai mici.
- Aceasta este o distanță geometrică în spațiul multidimensional.
- Este potrivit doar pentru variabile continue.
- Distanța cosinus Cosinusul unghiului dintre doi vectori valorici.
- Această metodă este recomandată atunci când desenați grupuri desenate.
- Dacă ciorchinii desenați formează „globuri” unice, metoda este potrivită.
- Un centroid de cluster este un punct de mijloc într-un spațiu multidimensional.
- Nu trebuie utilizat dacă dimensiunile clusterelor sunt foarte diferite.
- Valorile medii Ward pentru toate variabilele sunt calculate pentru fiecare grup.
- Aceste distante sunt insumate pentru toate cazurile.
Pentru claritate, luați în considerare un exemplu. Fie lungimea piciorului |AB| = 15. Iar unghiul α = 60°. Obținem |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Luați în considerare cum puteți verifica rezultatul folosind teorema lui Pitagora. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm lungimea celui de-al doilea segment |BC|. Folosind formula tangentei unghiului tg α = |BC| / |AC|, obținem |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Apoi, aplicăm teorema lui Pitagora, obținem 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Verificarea este făcută.
Funcția sinus este definită din conceptul de sinus, având în vedere că unghiul trebuie întotdeauna exprimat în radiani. Putem observa mai multe caracteristici ale functiei sinusoidale.
- Domeniul tău conține toate cele reale.
- În acest caz, se spune că funcția este periodică, cu perioada 2π.
Putem observa câteva caracteristici ale funcției cosinus. Astfel, aceasta este o perioadă periodică de 2π. . Restricția nu înlătură generalitatea formulei, deoarece putem oricând reduce unghiurile celui de-al doilea, al treilea și al patrulea cadran la primul. Un exercitiu. - Calculați sinusul de 15º fără a utiliza un calculator.
După calcularea ipotenuzei, verificați dacă valoarea rezultată satisface teorema lui Pitagora.
Surse:
- Tabelul numerelor prime de la 1 la 10000
Picioarele numiți cele două laturi scurte ale unui triunghi dreptunghic care alcătuiesc vârful acestuia, a cărui valoare este de 90 °. A treia latură a unui astfel de triunghi se numește ipotenuză. Toate aceste laturi și unghiuri ale triunghiului sunt interconectate prin anumite relații care vă permit să calculați lungimea piciorului dacă sunt cunoscuți câțiva alți parametri.
Cosinusul sumei a două unghiuri
Cosinusul diferenței a două unghiuri
Pentru a obține formula, putem proceda în același mod ca în secțiunea anterioară, dar vom vedea o altă demonstrație foarte simplă bazată pe teorema lui Pitagora. Simplificând și schimbând semnul, avem Suma tangentă și diferența a două unghiuri.Un exercitiu. În articolul de astăzi, ne vom uita la un subset foarte specific: funcțiile trigonometrice. Pentru a ne bucura de tot ceea ce are de oferit matematica, trebuie să o importăm. Vom vedea alte stiluri de import în articolul următor, fiecare cu propriile avantaje și dezavantaje. Dar, cu această instrucțiune simplă, aveți deja acces la întregul spațiu de nume al modulului matematic, plin cu zeci de funcții, inclusiv cele cu care ne vom ocupa astăzi.
Instruire
Utilizați teorema lui Pitagora pentru a calcula lungimea catetei (A) dacă cunoașteți lungimea celorlalte două laturi (B și C) ale unui triunghi dreptunghic. Această teoremă afirmă că suma lungimilor catetelor la pătrat este egală cu pătratul ipotenuzei. De aici rezultă că lungimea fiecărui catete este egală cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele lungimii ipotenuzei și al doilea catete: A=√(C²-B²).
Practic, va trebui să calculăm sinusul, cosinusul și tangenta unghiului, precum și funcțiile sale inverse. În plus, am dori să putem lucra atât în radiani, cât și în grade, astfel încât să putem folosi și funcțiile de conversie adecvate.
Trebuie să rețineți că aceste funcții se așteaptă ca argumentul să fie furnizat în radiani, nu în grade. În acest scop, veți fi interesat să știți că aveți următoarea constantă. Deci putem folosi această expresie în loc de o valoare numerică.
Nu există nicio funcție directă pentru cosecantă, secanta și cotangente, deoarece aceasta nu este necesară deoarece acestea sunt pur și simplu inversul sinusului, cosinusului și, respectiv, tangentei. Ca și înainte, unghiul returnat este de asemenea în radiani. O altă funcție utilă a matematicii ne permite să cunoaștem valoarea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic având în vedere catetele sale, ceea ce ne permite să calculăm rădăcina pătrată a sumei pătratelor acestora.
Utilizați definiția funcției trigonometrice directe „sinus” pentru un unghi ascuțit, dacă cunoașteți valoarea unghiului (α) opus catetei calculate și lungimea ipotenuzei (C). Această definiție afirmă că sinusul acestui unghi cunoscut este egal cu raportul dintre lungimea catetei dorite și lungimea ipotenuzei. Aceasta înseamnă că lungimea catetei dorite este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și sinusul unghiului cunoscut: A=C∗sin(α). Pentru aceleași valori cunoscute, puteți folosi definiția funcției cosecante și calculați lungimea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la cosecanta unghiului cunoscut A=C/cosec(α).
Utilizați definiția funcției trigonometrice cosinus direct dacă, pe lângă lungimea ipotenuzei (C), este cunoscută și valoarea unghiului ascuțit (β) adiacent catetei dorite. Cosinusul acestui unghi este definit ca raportul dintre lungimile catetei dorite și ale ipotenuzei, iar din aceasta putem concluziona că lungimea catetei este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și cosinusul ipotenuzei cunoscute. unghi: A=C∗cos(β). Puteți folosi definiția funcției secante și calcula valoarea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la secantei unghiului cunoscut A=C/sec(β).
Deduceți formula necesară dintr-o definiție similară pentru derivata funcției trigonometrice tangente, dacă, în plus față de valoarea unghiului ascuțit (α) situat opus catetului dorit (A), lungimea celui de-al doilea catet (B) este cunoscut. Tangenta unghiului opus catetei dorite este raportul dintre lungimea acestui picior și lungimea celui de-al doilea picior. Aceasta înseamnă că valoarea dorită va fi egală cu produsul dintre lungimea catetei cunoscute și tangentei unghiului cunoscut: A=B∗tg(α). Din aceleași cantități cunoscute, poate fi derivată o altă formulă folosind definiția funcției cotangente. În acest caz, pentru a calcula lungimea piciorului, va fi necesar să se găsească raportul dintre lungimea piciorului cunoscut și cotangentei unghiului cunoscut: A=B/ctg(α).
Videoclipuri asemănătoare
Cuvântul „katet” a venit în rusă din greacă. În traducere exactă, înseamnă un plumb, adică perpendicular pe suprafața pământului. În matematică, catetele sunt numite laturi care formează un unghi drept al unui triunghi dreptunghic. Latura opusă acestui unghi se numește ipotenuză. Termenul „picior” este folosit și în arhitectură și tehnologia de sudare.
Desenați un triunghi dreptunghic ACB. Etichetează-i catetele a și b și etichetează-i ipotenuza c. Toate laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic sunt legate prin anumite relații. Raportul catetului opus unuia dintre unghiurile ascuțite față de ipotenuză se numește sinusul acestui unghi. În acest triunghi sinCAB=a/c. Cosinusul este raportul la ipotenuza catetei adiacente, adică cosCAB=b/c. Relațiile inverse se numesc secante și cosecante.
Secanta acestui unghi se obține prin împărțirea ipotenuzei la catetul adiacent, adică secCAB=c/b. Rezultă reciproca cosinusului, adică poate fi exprimată prin formula secCAB=1/cosSAB.
Cosecanta este egală cu câtul împărțirii ipotenuzei la catetul opus și este reciproca sinusului. Poate fi calculat folosind formula cosecCAB=1/sinCAB
Ambele picioare sunt conectate prin tangentă și cotangentă. LA acest caz tangenta va fi raportul dintre latura a și latura b, adică piciorul opus celui alăturat. Acest raport poate fi exprimat prin formula tgCAB=a/b. În consecință, raportul invers va fi cotangenta: ctgCAB=b/a.
Raportul dintre dimensiunile ipotenuzei și ambele picioare a fost determinat de matematicianul grec antic Pitagora. Teorema care poartă numele lui este încă folosită de oameni. Se spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, adică c2 \u003d a2 + b2. În consecință, fiecare catete va fi egal cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele ipotenuzei și celălalt catete. Această formulă poate fi scrisă ca b=√(c2-a2).
Lungimea piciorului poate fi exprimată și prin relațiile pe care le cunoașteți. Conform teoremelor sinusurilor și cosinusurilor, catetul este egal cu produsul ipotenuzei și una dintre aceste funcții. Poate fi exprimat și în termeni de tangentă sau cotangentă. Piciorul a poate fi găsit, de exemplu, prin formula a \u003d b * tan CAB. Exact în același mod, în funcție de tangenta sau cotangenta dată, se determină al doilea picior.
În arhitectură se folosește și termenul „picior”. Se aplică unui capitel ionic și denotă un fir de plumb prin mijlocul spatelui său. Adică, în acest caz, acest termen denotă o perpendiculară pe o dreaptă dată.
În tehnologia de sudare, există conceptul de „sudură în filet de picior”. Ca și în alte cazuri, aceasta este distanța cea mai scurtă. Aici vorbim despre decalajul dintre una dintre piesele care trebuie sudate la marginea cusăturii situată pe suprafața celeilalte părți.
Videoclipuri asemănătoare
Surse:
- ce este catetul și ipotenuza
Videoclipuri asemănătoare
Notă
Când se calculează laturile unui triunghi dreptunghic, cunoașterea caracteristicilor acestuia poate juca:
1) Dacă catetul unui unghi drept este opus unui unghi de 30 de grade, atunci este egal cu jumătate din ipotenuză;
2) Ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât oricare dintre catete;
3) Dacă un cerc este circumscris unui triunghi dreptunghic, atunci centrul său trebuie să se afle în mijlocul ipotenuzei.
Acolo unde s-au luat în considerare sarcinile pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic, am promis să prezint o tehnică de memorare a definițiilor sinusului și cosinusului. Folosind-o, îți vei aminti întotdeauna rapid ce catete aparține ipotenuzei (adiacent sau opus). Am decis să nu o amân la infinit, materialul necesar este mai jos, vă rog să îl citiți 😉
Cert este că am observat în mod repetat cum elevii din clasele 10-11 au dificultăți în a-și aminti aceste definiții. Își amintesc foarte bine că piciorul se referă la ipotenuză, dar pe care o uită și confuz. Prețul unei greșeli, după cum știți la examen, este un punctaj pierdut.
Informațiile pe care le voi prezenta direct la matematică nu au nicio legătură. Este asociat cu gândirea figurativă și cu metodele de conectare verbal-logică. Așa e, eu însumi mi-am amintit odată pentru totdeauna date de definiție. Dacă tot le uitați, atunci cu ajutorul tehnicilor prezentate este întotdeauna ușor de reținut.
Permiteți-mi să vă reamintesc definițiile sinusului și cosinusului într-un triunghi dreptunghic:
Cosinus Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:
Sinusul Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:
Deci, ce asocieri evocă cuvântul cosinus în tine?
Probabil fiecare le are pe ale lui Amintiți-vă linkul:
Astfel, vei avea imediat o expresie în memoria ta -
«… raportul catetei ADJACENT la ipotenuză».
Problema cu definiția cosinusului este rezolvată.
Dacă trebuie să vă amintiți definiția sinusului într-un triunghi dreptunghic, apoi amintindu-vă definiția cosinusului, puteți stabili cu ușurință că sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză. La urma urmei, există doar două picioare, dacă piciorul adiacent este „ocupat” de cosinus, atunci rămâne doar partea opusă pentru sinus.
Dar tangenta si cotangenta? Aceeași confuzie. Elevii știu că acesta este raportul dintre picioare, dar problema este să ne amintim care dintre ele se referă la care - fie opus cu adiacent, fie invers.
Definitii:
Tangentă un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel alăturat:
Cotangentă Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și opusul:
Cum să-ți amintești? Există două moduri. Unul folosește și o conexiune verbal-logică, celălalt - una matematică.
METODĂ MATEMATICĂ
Există o astfel de definiție - tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unui unghi și cosinusul său:
* Ținând minte formula, puteți determina întotdeauna că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel adiacent.
De asemenea. Cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cosinusul unui unghi și sinusul său:
Asa de! Amintindu-ți aceste formule, poți oricând să stabilești că:
Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel adiacent
Cotangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și catetul opus.
METODĂ VERBAL-LOGICĂ
Despre tangenta. Amintiți-vă linkul:
Adică, dacă trebuie să vă amintiți definiția tangentei, folosind această conexiune logică, vă puteți aminti cu ușurință ce este
„... raportul dintre piciorul opus și cel adiacent”
Dacă vine vorba de cotangente, atunci amintindu-ți definiția tangentei, poți exprima cu ușurință definiția cotangentei -
„... raportul dintre piciorul adiacent și opusul”
Există o tehnică interesantă de memorare a tangentei și cotangentei pe site " Tandem matematic " , uite.
METODĂ UNIVERSALĂ
Puteți pur și simplu să măcinați. Dar, așa cum arată practica, datorită conexiunilor verbale-logice, o persoană își amintește informațiile mult timp, și nu numai matematice.
Sper că materialul ți-a fost de folos.
Cu stimă, Alexander Krutitskikh
P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.
Nivel mijlociu
Triunghi dreptunghic. Ghid ilustrat complet (2019)
TRIUNGHI DREPTUNGHIC. PRIMUL NIVEL.
În probleme, un unghi drept nu este deloc necesar - cel din stânga jos, așa că trebuie să învățați cum să recunoașteți un triunghi dreptunghic sub această formă,
si in asa ceva
si in asa ceva 
Ce este bun la un triunghi dreptunghic? Ei bine... în primul rând, există nume deosebite frumoase pentru petrecerile lui.
Atentie la desen!
Amintiți-vă și nu confundați: catete - două, iar ipotenuza - doar una(singura, unică și cea mai lungă)!
Ei bine, am discutat despre nume, acum cel mai important lucru: Teorema lui Pitagora.
Teorema lui Pitagora.
Această teoremă este cheia pentru rezolvarea multor probleme care implică un triunghi dreptunghic. A fost dovedit de Pitagora în vremuri cu totul imemoriale, iar de atunci a adus multe beneficii celor care îl cunosc. Și cel mai bun lucru la ea este că este simplă.
Asa de, Teorema lui Pitagora:
Îți amintești gluma: „Pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile!”?
Să desenăm acești pantaloni foarte pitagoreici și să ne uităm la ei. 
Chiar arată ca niște pantaloni scurți? Ei bine, în ce părți și unde sunt egale? De ce și de unde a venit gluma? Și această glumă este legată tocmai de teorema lui Pitagora, mai exact de modul în care Pitagora însuși și-a formulat teorema. Și a formulat astfel:
"Sumă suprafata de patrate, construit pe picioare, este egal cu suprafata patrata construit pe ipotenuză.
Nu sună puțin diferit, nu-i așa? Și așa, atunci când Pitagora a desenat enunțul teoremei sale, s-a dovedit o astfel de imagine.
În această imagine, suma suprafețelor pătratelor mici este egală cu aria pătratului mare. Și pentru ca copiii să-și amintească mai bine că suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul ipotenuzei, cineva plin de duh a inventat această glumă despre pantalonii pitagoreici.
De ce formulăm acum teorema lui Pitagora?
A suferit Pitagora și a vorbit despre pătrate?
Vezi tu, în vremurile străvechi nu exista... algebră! Nu erau semne și așa mai departe. Nu existau inscripții. Vă puteți imagina cât de groaznic a fost pentru bieții studenți antici să memoreze totul cu cuvinte?! Și ne putem bucura că avem o formulare simplă a teoremei lui Pitagora. Să o repetăm pentru a ne aminti mai bine:
Acum ar trebui să fie ușor:
| Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. |
Ei bine, a fost discutată cea mai importantă teoremă despre un triunghi dreptunghic. Dacă sunteți interesat de modul în care se dovedește, citiți următoarele niveluri de teorie și acum să trecem mai departe... în pădurea întunecată... a trigonometriei! La cuvintele teribile sinus, cosinus, tangent și cotangent.
Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic.
De fapt, totul nu este deloc atât de înfricoșător. Desigur, definiția „reala” a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei ar trebui să fie analizată în articol. Dar chiar nu vrei, nu? Ne putem bucura: pentru a rezolva probleme despre un triunghi dreptunghic, puteți completa pur și simplu următoarele lucruri simple:
De ce este totul despre colț? Unde este coltul? Pentru a înțelege acest lucru, trebuie să știți cum sunt scrise afirmațiile 1 - 4 în cuvinte. Priviți, înțelegeți și amintiți-vă!
1.
De fapt, sună așa:
Dar unghiul? Există un picior care este opus colțului, adică piciorul opus (pentru colț)? Bineînțeles că au! Acesta este un catet!
Dar ce zici de unghi? Privește cu atenție. Care picior este adiacent colțului? Desigur, pisica. Deci, pentru unghi, piciorul este adiacent și
Și acum, atenție! Uite ce avem:
Vezi ce grozav este:
Acum să trecem la tangentă și cotangentă.
Cum să o exprim în cuvinte acum? Ce este piciorul în raport cu colțul? Vizavi, desigur - „se află” vizavi de colț. Și catetul? Adiacent colțului. Deci ce am primit?
Vedeți cum sunt inversate numărătorul și numitorul?
Și acum din nou colțurile și am făcut schimbul:
rezumat
Să scriem pe scurt ce am învățat.
 |
Teorema lui Pitagora: |
Teorema principală a triunghiului dreptunghic este teorema lui Pitagora.
teorema lui Pitagora
Apropo, vă amintiți bine ce sunt catetele și ipotenuza? Dacă nu, atunci uită-te la imagine - reîmprospătează-ți cunoștințele
Este posibil să fi folosit deja teorema lui Pitagora de multe ori, dar te-ai întrebat vreodată de ce o astfel de teoremă este adevărată. Cum ai dovedi asta? Să facem ca grecii antici. Să desenăm un pătrat cu o latură.
Vezi cât de viclean i-am împărțit laturile în segmente de lungimi și!
Acum să conectăm punctele marcate
Aici, însă, am notat altceva, dar tu însuți te uiți la poză și te gândești de ce.
Care este aria pătratului mai mare? Corect, . Dar zona mai mică? Cu siguranță, . Suprafața totală a celor patru colțuri rămâne. Imaginează-ți că am luat doi dintre ei și ne-am sprijinit unul de celălalt cu ipotenuze. Ce s-a întâmplat? Două dreptunghiuri. Deci, aria „butașilor” este egală.
Să punem totul împreună acum.
Să transformăm:
Așa că l-am vizitat pe Pitagora - i-am demonstrat teorema într-un mod antic.
Triunghi dreptunghic și trigonometrie
Pentru un triunghi dreptunghic sunt valabile următoarele relații:
Sinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză
Cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul catetei adiacente și ipotenuză.
Tangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent.
Cotangenta unui unghi ascuțit este egală cu raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.
Și încă o dată, toate acestea sub formă de farfurie:
Este foarte confortabil!
Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare
I. Pe două picioare
II. Prin catete și ipotenuză
III. Prin ipotenuză și unghi ascuțit
IV. De-a lungul piciorului și unghi ascuțit
A) 
b) 
Atenţie! Aici este foarte important ca picioarele să fie „corespondente”. De exemplu, dacă merge așa:
ATUNCI TRIANGULILE NU SUNT EGALE, în ciuda faptului că au un unghi ascuțit identic.
Trebuie sa în ambele triunghiuri piciorul era adiacent, sau în ambele - opuse.
Ați observat cum diferă semnele de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare de semnele obișnuite de egalitate ale triunghiurilor? Priviți subiectul „și acordați atenție faptului că pentru egalitatea triunghiurilor „obișnuite”, aveți nevoie de egalitatea celor trei elemente ale acestora: două laturi și un unghi între ele, două unghiuri și o latură între ele sau trei laturi. Dar pentru egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare sunt suficiente doar două elemente corespunzătoare. E grozav, nu?
Aproximativ aceeași situație cu semne de asemănare a triunghiurilor dreptunghiulare.
Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare
I. Colţ acut
II. Pe două picioare
III. Prin catenă și ipotenuză
Mediana într-un triunghi dreptunghic
De ce este așa?
Luați în considerare un dreptunghi întreg în loc de un triunghi dreptunghic.
Să desenăm o diagonală și să luăm în considerare un punct - punctul de intersecție al diagonalelor. Ce știi despre diagonalele unui dreptunghi?
Și ce rezultă din asta?
Deci s-a întâmplat că
- - mediana:
Amintiți-vă acest fapt! Ajută mult!
Ceea ce este și mai surprinzător este că și invers este adevărat.
La ce se poate câștiga din faptul că mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din ipotenuză? Să ne uităm la poză
Privește cu atenție. Avem: , adică distanțele de la punct la toate cele trei vârfuri ale triunghiului s-au dovedit a fi egale. Dar într-un triunghi există un singur punct, distanțele de la care aproximativ toate cele trei vârfuri ale triunghiului sunt egale, iar acesta este CENTRUL CIRCULUI descris. Deci ce s-a întâmplat?
Deci, să începem cu acest „în afară de...”.
Să ne uităm la eu.
Dar în triunghiuri similare toate unghiurile sunt egale!
Același lucru se poate spune despre și
Acum să o desenăm împreună:
Ce folos se poate trage din această asemănare „trilă”.
Ei bine, de exemplu - două formule pentru înălțimea unui triunghi dreptunghic.
Scriem relațiile părților corespunzătoare:
Pentru a găsi înălțimea, rezolvăm proporția și obținem prima formulă „Înălțimea într-un triunghi dreptunghic”:
Deci, să aplicăm asemănarea: .
Ce se va întâmpla acum?
Din nou rezolvăm proporția și obținem a doua formulă:
Ambele formule trebuie amintite foarte bine și cea care este mai convenabilă de aplicat. Să le scriem din nou.
Teorema lui Pitagora:
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:.
Semne de egalitate a triunghiurilor dreptunghiulare:
- pe doua picioare:
- de-a lungul catetei și ipotenuzei: or
- de-a lungul piciorului și unghiului ascuțit adiacent: sau
- de-a lungul piciorului și unghiului acut opus: or
- prin ipotenuză şi unghi ascuţit: or.
Semne de asemănare ale triunghiurilor dreptunghiulare:
- un colţ ascuţit: sau
- din proporționalitatea celor două picioare:
- din proporționalitatea catetei și ipotenuzei: or.
Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă într-un triunghi dreptunghic
- Sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:
- Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul catetei adiacente la ipotenuză:
- Tangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și cel alăturat:
- Cotangenta unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și opusul:.
Înălțimea unui triunghi dreptunghic: sau.
Într-un triunghi dreptunghic, mediana trasă din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză: .
Aria unui triunghi dreptunghic:
- prin catetere:
Începem studiul nostru de trigonometrie cu un triunghi dreptunghic. Să definim care sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.
Amintește-ți asta unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate din colțul desfășurat.
Colt ascutit- sub 90 de grade.
Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „blunt” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)
Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat. Rețineți că latura opusă colțului este notă cu aceeași literă, doar mică. Deci, se notează latura opusă unghiului A.
Un unghi este notat cu litera greacă corespunzătoare.
Ipotenuză Un triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.
Picioarele- laturi opuse colțurilor ascuțite.
Piciorul opus colțului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe o parte a colțului, se numește adiacent.
Sinusul Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:
Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:
Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul opus și cel adiacent:
O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unui unghi și cosinusul său:
Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul adiacent și opusul (sau, echivalent, raportul dintre cosinus și sinus):
Acordați atenție rapoartelor de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, care sunt date mai jos. Ne vor fi de folos în rezolvarea problemelor.
Să demonstrăm unele dintre ele.
Bine, am dat definiții și formule scrise. Dar de ce avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?
Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este.
Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .
Se dovedește că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând două laturi dintr-un triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Deci, pentru unghiuri - raportul lor, pentru laturi - propriul lor. Dar ce să faci dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc un unghi (cu excepția unuia drept) și o latură, dar trebuie să găsești alte laturi?
Asta s-au confruntat oamenii în trecut, făcând hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.
Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc funcțiile trigonometrice ale unghiului- dați raportul dintre petreceriși colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.
De asemenea, vom desena un tabel de valori sinus, cosinus, tangente și cotangente pentru unghiurile „bune” de la până.
Observați cele două liniuțe roșii din tabel. Pentru valorile corespunzătoare ale unghiurilor, tangenta și cotangenta nu există.
Să analizăm câteva probleme de trigonometrie din sarcinile Băncii de FIPI.
1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsi .
Problema este rezolvată în patru secunde.
În măsura în care , .
2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsi .
Să aflăm după teorema lui Pitagora.
Problema rezolvata.
Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și . Memorează pe de rost rapoartele de bază pentru ei!
Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.
Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.
Am luat în considerare problemele pentru rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare - adică pentru găsirea laturilor sau unghiurilor necunoscute. Dar asta nu este tot! În variantele examenului la matematică sunt multe sarcini în care apare sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului exterior al triunghiului. Mai multe despre asta în articolul următor.
Sinusul unghiul ascuțit α al unui triunghi dreptunghic este raportul opus cateter la ipotenuză.
Se notează astfel: sin α.
Cosinus Unghiul ascuțit α al unui triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
Se notează astfel: cos α.
Tangentă unghiul ascuțit α este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.
Se notează astfel: tg α.
Cotangentă unghiul ascuțit α este raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.
Se desemnează astfel: ctg α.
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi depind doar de mărimea unghiului.
Reguli:
Identități trigonometrice de bază într-un triunghi dreptunghic:
(α - unghi ascutit opus piciorului b și adiacent piciorului A . Latură cu - ipotenuza. β - al doilea unghi acut).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
A | 1 | |
b | 1 | |
A | 1 1 | |
sinα |
Pe măsură ce unghiul ascuțit creștesinα şicreșterea tg α șicos α scade.
Pentru orice unghi ascuțit α:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Exemplu explicativ:
Lăsați un triunghi dreptunghic ABC
AB = 6,
BC = 3,
unghi A = 30º.
Aflați sinusul unghiului A și cosinusul unghiului B.
Decizie .
1) În primul rând, găsim valoarea unghiului B. Totul este simplu aici: deoarece într-un triunghi dreptunghic suma unghiurilor ascuțite este de 90º, atunci unghiul B \u003d 60º:
B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.
2) Calculați sin A. Știm că sinusul este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză. Pentru unghiul A, piciorul opus este latura BC. Asa de:
BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) Acum calculăm cos B. Știm că cosinusul este egal cu raportul catetei adiacente la ipotenuză. Pentru unghiul B, piciorul adiacent este de aceeași latură BC. Aceasta înseamnă că trebuie din nou să împărțim BC în AB - adică să facem aceleași acțiuni ca atunci când calculăm sinusul unghiului A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Rezultatul este:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
De aici rezultă că într-un triunghi dreptunghic sinusul unui unghi ascuțit este egal cu cosinusul altui unghi ascuțit - și invers. Acesta este exact ceea ce înseamnă cele două formule ale noastre:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α
Să verificăm din nou:
1) Fie α = 60º. Înlocuind valoarea lui α în formula sinusului, obținem:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Fie α = 30º. Înlocuind valoarea lui α în formula cosinus, obținem:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Pentru mai multe despre trigonometrie, vezi secțiunea Algebră)
