Teoremă asupra sumei unghiurilor interioare ale unui triunghi

Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.

Dovada:

• Triunghiul ABC este dat.
• Desenați o dreaptă DK prin vârful B paralel cu baza AC.
• \angle CBK= \angle C ca interior încrucișat cu paralele DK și AC și secante BC.
• \angle DBA = \angle A intern transversal situat la DK \parallel AC și secanta AB. Unghiul DBK este drept și egal cu
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Deoarece unghiul drept este 180 ^\circ , iar \angle CBK = \angle C și \angle DBA = \angle A , obținem 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Teoremă demonstrată

Consecințele teoremei asupra sumei unghiurilor unui triunghi:

1. Suma unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic este 90°.
2. Într-un triunghi dreptunghic isoscel, fiecare unghi ascuțit este 45°.
3. Într-un triunghi echilateral, fiecare unghi este 60°.
4. În orice triunghi, fie toate unghiurile sunt acute, fie două unghiuri sunt acute, iar al treilea este obtuz sau drept.
5. Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.

Teorema unghiului exterior al triunghiului

Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma celor două unghiuri rămase ale triunghiului care nu sunt adiacente acelui unghi exterior.

Dovada:

• Este dat triunghiul ABC, unde BCD este unghiul exterior.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Din egalități, unghiul \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Primim \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

>>Geometrie: suma unghiurilor unui triunghi. Lecții complete

TEMA LECȚIEI: Suma unghiurilor unui triunghi.

Obiectivele lecției:

• Consolidarea și testarea cunoștințelor elevilor pe tema: „Suma unghiurilor unui triunghi”;
• Dovada proprietăților unghiurilor unui triunghi;
• Utilizarea acestei proprietăți în rezolvarea celor mai simple probleme;
• Utilizarea materialului istoric pentru dezvoltarea activității cognitive a elevilor;
• Insuflarea abilității de precizie în construcția desenelor.

Obiectivele lecției:

• Verificați capacitatea elevilor de a rezolva probleme.

Planul lecției:

1. Triunghi;
2. Teoremă asupra sumei unghiurilor unui triunghi;
3. Exemplu de sarcină.

Triunghi.

Fișier:O.gif Triunghi- cel mai simplu poligon având 3 vârfuri (colțuri) și 3 laturi; o parte a unui plan mărginită de trei puncte și trei segmente de dreaptă care leagă aceste puncte în perechi.
Trei puncte din spațiu care nu se află pe o singură dreaptă corespund unui singur plan.
Orice poligon poate fi împărțit în triunghiuri - acest proces se numește triangulaţie.
Există o secțiune de matematică dedicată în întregime studiului modelelor de triunghiuri - Trigonometrie.

Teorema despre suma unghiurilor unui triunghi.

Fișier:T.gif Teorema sumei unghiurilor triunghiulare este o teoremă clasică în geometria euclidiană care afirmă că suma unghiurilor unui triunghi este de 180°.

dovada" :

Fie dat Δ ABC. Să tragem o dreaptă paralelă cu (AC) prin vârful B și să marchem punctul D pe acesta, astfel încât punctele A și D să se afle pe laturile opuse ale dreptei BC. Atunci unghiul (DBC) și unghiul (ACB) sunt egale ca cruci interne situate la liniile paralele BD și AC și secantei (BC). Atunci suma unghiurilor triunghiului de la vârfurile B și C este egală cu unghiul (ABD). Dar unghiul (ABD) și unghiul (BAC) la vârful A al triunghiului ABC sunt interioare unilaterale cu drepte paralele BD și AC și secante (AB), iar suma lor este 180°. Prin urmare, suma unghiurilor unui triunghi este 180°. Teorema a fost demonstrată.

Consecințe.

Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma celor două unghiuri ale triunghiului care nu sunt adiacente acestuia.

Dovada:

Fie dat Δ ABC. Punctul D se află pe dreapta AC, astfel încât A se află între C și D. Atunci BAD este extern unghiului triunghiului la vârful A și A + BAD = 180°. Dar A + B + C = 180°, și deci B + C = 180° – A. Prin urmare BAD = B + C. Corolarul este demonstrat.

Consecințe.

Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât orice unghi al triunghiului care nu este adiacent acestuia.

O sarcină.

Unghiul exterior al unui triunghi este unghiul adiacent oricărui unghi al acestui triunghi. Demonstrați că un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri ale triunghiului care nu sunt adiacente acestuia.
(Fig.1)

Soluţie:

Fie în Δ ABC ∠DAC extern (Fig.1). Atunci ∠DAC=180°-∠BAC (după proprietatea unghiurilor adiacente), conform teoremei asupra sumei unghiurilor unui triunghi ∠B+∠C =180°-∠BAC. Din aceste egalități obținem ∠DAC=∠B+∠C

Fapt interesant:

Suma unghiurilor unui triunghi :

În geometria lui Lobaciovski, suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mică de 180. În geometria lui Euclid, este întotdeauna egală cu 180. În geometria riemanniană, suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mare decât 180.

Din istoria matematicii:

Euclid (sec. III î.Hr.) în lucrarea „Începuturi” dă următoarea definiție: „Paralele sunt drepte care se află în același plan și, fiind prelungite la infinit în ambele direcții, nu se întâlnesc una cu cealaltă de nicio parte”.
Posidonius (secolul I î.Hr.) „Două linii drepte situate în același plan, echidistante una de cealaltă”
Omul de știință grec antic Pappus (sec. III î.Hr.) a introdus simbolul liniilor paralele - semnul =. Ulterior, economistul englez Ricardo (1720-1823) a folosit acest simbol ca semn egal.
Abia în secolul al XVIII-lea au început să folosească simbolul liniilor paralele - semnul ||.
Legătura vie dintre generații nu se întrerupe nicio clipă, în fiecare zi învățăm experiența acumulată de strămoșii noștri. Grecii antici, pe baza observațiilor și a experienței practice, au tras concluzii, au exprimat ipoteze, iar apoi, la întâlnirile oamenilor de știință - simpozioane (literalmente „sărbătoare”) - au încercat să fundamenteze și să demonstreze aceste ipoteze. La acea vreme s-a format afirmația: „Adevărul se naște într-o dispută”.

Întrebări:

1. Ce este un triunghi?
2. Ce spune teorema sumei triunghiului?
3. Care este unghiul exterior al triunghiului?

Teorema. Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este egală cu două unghiuri drepte.

Luați niște triunghi ABC (Fig. 208). Să notăm unghiurile sale interioare cu 1, 2 și 3. Să demonstrăm că

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Să desenăm printr-un vârf al triunghiului, de exemplu B, dreapta MN paralelă cu AC.

La vârful B, avem trei unghiuri: ∠4, ∠2 și ∠5. Suma lor este un unghi drept, prin urmare, este egală cu 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Dar ∠4 \u003d ∠1 sunt unghiuri interioare încrucișate cu drepte paralele MN și AC și o secanta AB.

∠5 = ∠3 sunt unghiuri interioare încrucișate cu drepte paralele MN și AC și secante BC.

Prin urmare, ∠4 și ∠5 pot fi înlocuite cu egalii lor ∠1 și ∠3.

Prin urmare, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema a fost demonstrată.

2. Proprietatea unghiului extern al unui triunghi.

Teorema. Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.

Într-adevăr, în triunghiul ABC (Fig. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, dar și ∠BCD, unghiul extern al acestui triunghi, neadiacent cu ∠1 și ∠2, este de asemenea egal cu 180° - ∠3 .

În acest fel:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Prin urmare, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Proprietatea derivată a unghiului extern al unui triunghi rafinează conținutul teoremei demonstrate anterior asupra unghiului extern al unui triunghi, în care s-a afirmat doar că unghiul extern al unui triunghi este mai mare decât fiecare unghi intern al triunghiului care este nu este adiacent cu acesta; acum se stabilește că unghiul exterior este egal cu suma ambelor unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia.

3. Proprietatea unui triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°.

Teorema. catetul unui triunghi dreptunghic opus unui unghi de 30° este egal cu jumătate din ipotenuză.

Fie unghiul B egal cu 30° într-un triunghi dreptunghic ACB (Fig. 210). Apoi, celălalt unghi ascuțit al său va fi de 60°.

Să demonstrăm că catetul AC este egal cu jumătate din ipotenuza AB. Continuăm catetul AC dincolo de vârful unghiului drept C și lăsăm deoparte segmentul CM, egal cu segmentul AC. Conectăm punctul M cu punctul B. Triunghiul rezultat BCM este egal cu triunghiul DIA. Vedem că fiecare unghi al triunghiului AVM este egal cu 60°, prin urmare, acest triunghi este echilateral.

Catemul AC este egal cu jumătate din AM și, deoarece AM este egal cu AB, catetul AC va fi egal cu jumătate din ipotenuza AB.

. (Diapozitivul 1)

Tip de lecție: lecția de învățare a materialelor noi.

Obiectivele lecției:

• Educational:
  • luați în considerare teorema sumei unghiurilor triunghiulare,
  • arata aplicarea teoremei in rezolvarea problemelor.
• Educational:
  • promovarea unei atitudini pozitive a elevilor față de cunoaștere,
  • insufla încredere elevilor prin intermediul unei lecții.
• Educational:
  • dezvoltarea gândirii analitice,
  • dezvoltarea „abilităților de a învăța”: de a folosi cunoștințele, abilitățile și abilitățile în procesul educațional,
  • dezvoltarea gândirii logice, capacitatea de a-și articula clar gândurile.

Echipament: tablă interactivă, prezentare, carduri.

ÎN CURILE CURĂRILOR

I. Moment organizatoric

- Astăzi în lecție ne vom aminti definițiile triunghiurilor dreptunghic, isoscel, echilateral. Să repetăm ​​proprietățile unghiurilor triunghiurilor. Folosind proprietățile unghiurilor interne unilaterale și interne încrucișate, vom demonstra teorema cu privire la suma unghiurilor unui triunghi și vom învăța cum să o aplicăm în rezolvarea problemelor.

II. Oral(Diapozitivul 2)

1) Găsiți triunghiuri dreptunghiulare, isoscele și echilaterale în figuri.
2) Definiți aceste triunghiuri.
3) Formulați proprietățile unghiurilor unui triunghi echilateral și isoscel.

4) În figura KE II NH. (diapozitivul 3)

– Specificați secante pentru aceste linii
– Găsiți unghiuri interne unilaterale, unghiuri interioare încrucișate, denumiți proprietățile lor

III. Explicația noului material

Teorema. Suma unghiurilor unui triunghi este 180 o

Conform formulării teoremei, băieții construiesc un desen, notează condiția, concluzia. Răspunzând la întrebări, demonstrați independent teorema.

Dat: Dovedi:

Dovada:

1. Desenați o dreaptă BD II AC prin vârful B al triunghiului.
2. Specificați secante pentru drepte paralele.
3. Ce se poate spune despre unghiurile CBD și ACB? (fa un record)
4. Ce știm despre unghiurile CAB și ABD? (fa un record)
5. Înlocuiți unghiul CBD cu unghiul ACB
6. Faceți o concluzie.

IV. Termină oferta.(Diapozitivul 4)

1. Suma unghiurilor unui triunghi este ...
2. Într-un triunghi, unul dintre unghiuri este egal, celălalt, al treilea unghi al triunghiului este egal cu...
3. Suma unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic este ...
4. Unghiurile unui triunghi dreptunghic isoscel sunt egale cu...
5. Unghiurile unui triunghi echilateral sunt egale...
6. Dacă unghiul dintre laturile unui triunghi isoscel este 1000, atunci unghiurile de la bază sunt ...

V. Un pic de istorie.(Diapozitive 5-7)

Demonstrarea teoremei privind suma unghiurilor unui triunghi „Suma interiorului unghiurile unui triunghi sunt egale cu două unghiuri drepte” atribuite lui Pitagora (580-500 î.Hr.)
Învățatul grec antic Proclus (410-485 d.Hr.),