1. Funcția fracțională liniară și graficul acesteia

O funcție de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame, se numește funcție rațională fracțională.

Probabil că ești deja familiarizat cu conceptul de numere raționale. În mod similar funcții raționale sunt funcții care pot fi reprezentate ca un coeficient de două polinoame.

Dacă o funcție rațională fracțională este un coeficient de două funcții liniare - polinoame de gradul I, i.e. funcția de vizualizare

y = (ax + b) / (cx + d), atunci se numește liniar fracționar.

Rețineți că în funcția y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (în caz contrar, funcția devine liniară y = ax/d + b/d) și că a/c ≠ b/d (în caz contrar, funcția este o constantă). Funcția liniar-fracțională este definită pentru toate numerele reale, cu excepția x = -d/c. Graficele funcțiilor liniar-fracționale nu diferă ca formă de graficul pe care îl cunoașteți y = 1/x. Se numește curba care este graficul funcției y = 1/x hiperbolă. Cu o creștere nelimitată a x în valoare absolută, funcția y = 1/x scade la nesfârșit în valoare absolută și ambele ramuri ale graficului se apropie de axa absciselor: cea dreaptă se apropie de sus, iar cea stângă se apropie de jos. Liniile abordate de ramurile unei hiperbole se numesc ei asimptote.

Exemplul 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Decizie.

Să selectăm partea întreagă: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: deplasare cu 3 segmente unitare la dreapta, întindere de-a lungul axei Oy de 7 ori și deplasare cu 2 segmente de unitate în sus.

Orice fracție y = (ax + b) / (cx + d) poate fi scrisă în același mod, evidențiind „întreaga parte”. În consecință, graficele tuturor funcțiilor liniare-fracționale sunt hiperbole deplasate de-a lungul axelor de coordonate în diferite moduri și întinse de-a lungul axei Oy.

Pentru a reprezenta un grafic al unei funcții liniar-fracționale arbitrare, nu este deloc necesar să se transforme fracția care definește această funcție. Deoarece știm că graficul este o hiperbolă, va fi suficient să găsim liniile de care se apropie ramurile sale - asimptotele hiperbolei x = -d/c și y = a/c.

Exemplul 2

Aflați asimptotele graficului funcției y = (3x + 5)/(2x + 2).

Decizie.

Funcția nu este definită, pentru x = -1. Prin urmare, linia x = -1 servește ca asimptotă verticală. Pentru a găsi asimptota orizontală, să aflăm ce se apropie de valorile funcției y(x) atunci când argumentul x crește în valoare absolută.

Pentru a face acest lucru, împărțim numărătorul și numitorul fracției la x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ca x → ∞ fracția tinde spre 3/2. Prin urmare, asimptota orizontală este linia dreaptă y = 3/2.

Exemplul 3

Trasează funcția y = (2x + 1)/(x + 1).

Decizie.

Selectăm „întreaga parte” a fracției:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: o deplasare de 1 unitate la stânga, un afișaj simetric față de Ox și o deplasare de 2 unităţi de intervale în sus de-a lungul axei Oy.

Domeniul definiției D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Interval de valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Puncte de intersecție cu axele: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funcția crește pe fiecare dintre intervalele domeniului de definiție.

Răspuns: figura 1.

2. Funcția fracțională-rațională

Se consideră o funcție rațională fracțională de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame de grad mai mare decât primul.

Exemple de astfel de funcții raționale:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) sau y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Dacă funcția y = P(x) / Q(x) este un coeficient de două polinoame de grad mai mare decât primul, atunci graficul său va fi, de regulă, mai complicat și uneori poate fi dificil să îl construiți exact. , cu toate detaliile. Cu toate acestea, este adesea suficient să aplicați tehnici similare cu cele cu care ne-am întâlnit deja mai sus.

Fie fracția proprie (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Evident, graficul unei funcții raționale fracționale poate fi obținut ca sumă de grafice ale fracțiilor elementare.

Trasarea funcțiilor raționale fracționale

Luați în considerare mai multe moduri de a reprezenta o funcție fracțională-rațională.

Exemplul 4

Trasează funcția y = 1/x 2 .

Decizie.

Folosim graficul funcției y \u003d x 2 pentru a reprezenta graficul y \u003d 1 / x 2 și folosim metoda de „împărțire” a graficelor.

Domeniul D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Interval de valori E(y) = (0; +∞).

Nu există puncte de intersecție cu axele. Funcția este egală. Crește pentru tot x din intervalul (-∞; 0), scade pentru x de la 0 la +∞.

Răspuns: figura 2.

Exemplul 5

Trasează funcția y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Decizie.

Domeniul D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Aici am folosit tehnica factorizării, reducerii și reducerii la o funcție liniară.

Răspuns: figura 3.

Exemplul 6

Trasează funcția y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Decizie.

Domeniul de definiție este D(y) = R. Deoarece funcția este pară, graficul este simetric față de axa y. Înainte de a trasa, transformăm din nou expresia prin evidențierea părții întregi:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Rețineți că selectarea părții întregi în formula unei funcții raționale fracționale este una dintre cele mai importante atunci când se trasează grafice.

Dacă x → ​​±∞, atunci y → 1, adică linia y = 1 este o asimptotă orizontală.

Răspuns: figura 4.

Exemplul 7

Luați în considerare funcția y = x/(x 2 + 1) și încercați să găsiți exact valoarea ei cea mai mare, adică. cel mai înalt punct din jumătatea dreaptă a graficului. Pentru a construi cu acuratețe acest grafic, cunoștințele de astăzi nu sunt suficiente. Este evident că curba noastră nu poate „urca” foarte sus, din moment ce numitorul începe rapid să „depășească” numărătorul. Să vedem dacă valoarea funcției poate fi egală cu 1. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Această ecuație nu are rădăcini reale. Deci presupunerea noastră este greșită. Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției, trebuie să aflați pentru care cea mai mare A ecuația A \u003d x / (x 2 + 1) va avea o soluție. Să înlocuim ecuația inițială cu una pătratică: Ax 2 - x + A \u003d 0. Această ecuație are o soluție când 1 - 4A 2 ≥ 0. De aici găsim cea mai mare valoare A \u003d 1/2.

Răspuns: Figura 5, max y(x) = ½.

Aveti vreo intrebare? Nu știți cum să construiți grafice de funcții?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Construiește o funcție

Vă aducem la cunoștință un serviciu de trasare online a graficelor de funcții, toate drepturile cărora le aparțin companiei Desmos. Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra diagramei, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Beneficiile graficelor online

• Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
• Construirea de grafice foarte complexe
• Trasarea graficelor definite implicit (de exemplu, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Posibilitatea de a salva diagrame și de a obține un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea pe Internet
• Controlul scării, culoarea liniei
• Abilitatea de a reprezenta grafice după puncte, utilizarea constantelor
• Construirea mai multor grafice de funcții în același timp
• Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ(\theta))

Cu noi este ușor să construiești grafice de complexitate variată online. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor, pentru afișarea graficelor pentru a le transfera ulterior într-un document Word ca ilustrații pentru rezolvarea problemelor, pentru analizarea caracteristicilor comportamentale ale graficelor de funcții. Cel mai bun browser pentru lucrul cu diagrame de pe această pagină a site-ului este Google Chrome. Când utilizați alte browsere, funcționarea corectă nu este garantată.

Odată ce înțelegeți cu adevărat ce este o funcție (poate fi nevoit să citiți lecția de mai multe ori), veți putea rezolva problemele cu funcțiile cu mai multă încredere.

În această lecție, vom analiza cum să rezolvăm principalele tipuri de probleme de funcție și grafice de funcție.

Cum se obține valoarea unei funcții

Să luăm în considerare sarcina. Funcția este dată de formula " y \u003d 2x - 1"

1. Calculați " y" Când" x \u003d 15"
2. Găsiți valoarea „x”, la care valoarea „y” este egală cu „−19”.

Pentru a calcula " y"Cu" x \u003d 15"Este suficient să înlocuiți valoarea numerică necesară în funcție în loc de "x".

Intrarea soluției arată astfel:

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

Pentru a găsi „x”După cunoscutul”y”, este necesar să se înlocuiască o valoare numerică în loc de „y” în formula funcției.

Adică acum, dimpotrivă, să căutăm " x"Înlocuim în funcție" y \u003d 2x - 1 "În loc de" y ", numărul" -19".

−19 = 2x − 1

Am obținut o ecuație liniară cu un „x” necunoscut, care se rezolvă conform regulilor de rezolvare a ecuațiilor liniare.

Tine minte!

Nu uitați de regula transferului în ecuații.

Când se transferă din partea stângă a ecuației la dreapta (și invers), litera sau numărul își schimbă semnul în opus.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
-2x = -1 + 19
−2x = 18

Ca și în cazul rezolvării unei ecuații liniare, pentru a găsi necunoscutul, acum trebuie să înmulțim atât pe partea stângă cât și pe partea dreaptă la „−1” pentru a schimba semnul.

-2x = 18 | (−1)
2x = −18

Acum să împărțim ambele părți din stânga și din dreapta cu „2” pentru a găsi „x”.

2x = 18 | (:2)
x=9

Cum se verifică dacă egalitatea este adevărată pentru o funcție

Să luăm în considerare sarcina. Funcția este dată de formula „f(x) = 2 − 5x”.

Este adevărată egalitatea „f(−2) = −18”?

Pentru a verifica dacă egalitatea este adevărată, trebuie să înlocuiți valoarea numerică „x = −2” în funcția „ f (x) \u003d 2 - 5x”Și comparați cu ceea ce se întâmplă în calcule.

Important!

Când înlocuiți „x” cu un număr negativ, asigurați-vă că îl includeți între paranteze.

Nu dreapta

Corect

Cu ajutorul calculelor, am obținut „f(−2) = 12”.

Aceasta înseamnă că „f(−2) = −18” pentru funcția „f(x) = 2 − 5x” nu este o egalitate validă.

Cum se verifică dacă un punct aparține unui grafic al unei funcții

Luați în considerare funcția " y \u003d x 2 −5x + 6"

Este necesar să se afle dacă punctul cu coordonatele (1; 2) aparține graficului acestei funcții.

Pentru această sarcină, nu este nevoie să reprezentați o funcție dată.

Tine minte!

Pentru a determina dacă un punct aparține unei funcții, este suficient să înlocuiți coordonatele acestuia în funcție (coordonată de-a lungul axei „Ox” în loc de „x” și coordonatele de-a lungul axei „Oy” în loc de „y”).

Dacă acest lucru funcționează adevărata egalitate, deci punctul aparține funcției.

Să revenim la sarcina noastră. Înlocuiți în funcția „y \u003d x 2 - 5x + 6” coordonatele punctului (1; 2).

În loc de „x”Înlocuim” 1”. În loc de „y”Înlocuitor” 2».

2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (corect)

Am obținut egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că punctul cu coordonatele (1; 2) aparține funcției date.

Acum să verificăm punctul cu coordonatele (0; 1) . Ea îi aparține?
funcțiile „y \u003d x 2 - 5x + 6”?

În loc de „x”, să înlocuim „0”. În loc de „y”Înlocuiește” 1”.

1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (greșit)

În acest caz, nu am obținut egalitatea corectă. Aceasta înseamnă că punctul cu coordonatele (0; 1) nu aparține funcției " y \u003d x 2 - 5x + 6 "

Cum să obțineți coordonatele punctului funcției

Din orice grafic al funcției, puteți lua coordonatele unui punct. Apoi trebuie să vă asigurați că atunci când înlocuiți coordonatele în formula funcției, se obține egalitatea corectă.

Se consideră funcția „y(x) = −2x + 1”. Am construit deja programul său în lecția anterioară.

Să găsim pe graficul funcției " y (x) \u003d -2x + 1", care este egal cu" y"Pentru x \u003d 2.

Pentru a face acest lucru, din valoarea " 2"Pe axa" Ox", Desenați o perpendiculară pe graficul funcției. Din punctul de intersecție al perpendicularei și graficul funcției, desenați o altă perpendiculară pe axa „Oy”.

Valoarea rezultată " −3"Pe axa" Oy"Și va fi valoarea dorită" y».

Să ne asigurăm că am luat corect coordonatele punctului pentru x = 2
în funcția „y(x) = −2x + 1”.

Pentru a face acest lucru, înlocuim x \u003d 2 în formula funcției "y (x) \u003d -2x + 1". Dacă desenăm corect perpendiculara, ar trebui să ajungem și cu y = −3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

Când calculăm, avem și y = −3.

Aceasta înseamnă că am primit corect coordonatele din graficul funcției.

Important!

Asigurați-vă că verificați toate coordonatele punctului din graficul funcției prin înlocuirea valorilor „x” în funcție.

Când înlocuiți valoarea numerică „x” în funcție, rezultatul ar trebui să fie aceeași valoare „y”, pe care ați obținut-o pe diagramă.

Când obțineți coordonatele punctelor din graficul funcției, este foarte probabil să faceți o greșeală, deoarece trasarea unei perpendiculare pe axe se realizează „cu ochi”.

Numai înlocuirea valorilor într-o formulă de funcție oferă rezultate precise.

Cunoştinţe funcții elementare de bază, proprietățile și graficele lor nu mai puțin important decât cunoașterea tablei înmulțirii. Sunt ca o fundație, totul se bazează pe ele, totul este construit din ele și totul se reduce la ei.

În acest articol, enumerăm toate funcțiile elementare principale, le dăm graficele și le dăm fără derivații și demonstrații. proprietăţile funcţiilor elementare de bază conform schemei:

• comportamentul funcției la limitele domeniului de definiție, asimptote verticale (dacă este necesar, vezi articolul clasificarea punctelor de întrerupere a unei funcții);
• par si impar;
• intervale de convexitate (convexitate în sus) și concavitate (convexitate în jos), puncte de inflexiune (dacă este necesar, vezi funcția articolului convexitate, direcție de convexitate, puncte de inflexiune, convexitate și condiții de inflexiune);
• asimptote oblice și orizontale;
• puncte singulare de funcții;
• proprietăți speciale ale unor funcții (de exemplu, cea mai mică perioadă pozitivă pentru funcțiile trigonometrice).

Dacă sunteți interesat de sau, atunci puteți merge la aceste secțiuni ale teoriei.

Funcții elementare de bază sunt: ​​funcția constantă (constantă), rădăcina gradului al n-lea, funcția de putere, funcția exponențială, funcția logaritmică, funcțiile trigonometrice și trigonometrice inverse.

Navigare în pagină.

Funcție permanentă.

O funcție constantă este dată pe mulțimea tuturor numerelor reale prin formula , unde C este un număr real. Funcția constantă atribuie fiecărei valori reale a variabilei independente x aceeași valoare a variabilei dependente y - valoarea С. O funcție constantă se mai numește și constantă.

Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa x și care trece printr-un punct cu coordonatele (0,C) . De exemplu, să arătăm grafice ale funcțiilor constante y=5 , y=-2 și , care în figura de mai jos corespund liniilor negre, roșii și, respectiv, albastre.

Proprietățile unei funcții constante.

• Domeniul definiției: întregul set de numere reale.
• Funcția constantă este pară.
• Interval de valori: set format dintr-un singur număr C .
• O funcție constantă este necrescătoare și nedescrescătoare (de aceea este constantă).
• Nu are sens să vorbim despre convexitatea și concavitatea constantei.
• Nu există asimptotă.
• Funcția trece prin punctul (0,C) al planului de coordonate.

Rădăcina gradului al n-lea.

Luați în considerare funcția elementară de bază, care este dată de formula , unde n este un număr natural mai mare decât unu.

Rădăcina gradului al n-lea, n este un număr par.

Să începem cu a n-a funcție rădăcină pentru valorile pare ale exponentului rădăcină n .

De exemplu, oferim o imagine cu imagini cu grafice ale funcțiilor și , acestea corespund liniilor negre, roșii și albastre.

Graficele funcțiilor rădăcinii unui grad par au o formă similară pentru alte valori ale indicatorului.

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea pentru n chiar.

Rădăcina gradului al n-lea, n este un număr impar.

Funcția rădăcină de gradul al n-lea cu un exponent impar al rădăcinii n este definită pe întregul set de numere reale. De exemplu, prezentăm grafice ale funcțiilor și , curbele negre, roșii și albastre le corespund.

Pentru alte valori impare ale exponentului rădăcină, graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea pentru n impar.

Funcția de putere.

Funcția de putere este dată de o formulă de forma .

Luați în considerare tipul de grafice ale unei funcții de putere și proprietățile unei funcții de putere în funcție de valoarea exponentului.

Să începem cu o funcție de putere cu un exponent întreg a . În acest caz, forma graficelor funcțiilor de putere și proprietățile funcțiilor depind de exponentul par sau impar, precum și de semnul acestuia. Prin urmare, luăm în considerare mai întâi funcțiile de putere pentru valorile pozitive impare ale exponentului a , apoi pentru cele par pozitive, apoi pentru exponenții negativi impari și, în sfârșit, pentru negativul par a .

Proprietățile funcțiilor de putere cu exponenți fracționali și iraționali (precum și tipul de grafice ale unor astfel de funcții de putere) depind de valoarea exponentului a. Le vom lua în considerare, în primul rând, când a este de la zero la unu, în al doilea rând, când a este mai mare decât unu, în al treilea rând, când a este de la minus unu la zero și, în al patrulea rând, când a este mai mic decât minus unu.

În încheierea acestei subsecțiuni, de dragul caracterului complet, descriem o funcție de putere cu exponent zero.

Funcția de putere cu exponent pozitiv impar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv impar, adică cu a=1,3,5,... .

Figura de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=1 avem funcție liniară y=x.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent pozitiv impar.

Funcție de putere cu exponent pozitiv chiar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv par, adică pentru a=2,4,6,… .

Ca exemplu, să luăm grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie. Pentru a=2 avem o funcție pătratică al cărei grafic este parabolă pătratică.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent pozitiv par.

Funcția de putere cu un exponent negativ impar.

Priviți graficele funcției exponențiale pentru valori negative impare ale exponentului, adică pentru un \u003d -1, -3, -5, ....

Figura prezintă grafice ale funcțiilor exponențiale ca exemple - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=-1 avem proporționalitate inversă, al cărui grafic este hiperbolă.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ impar.

Funcția de putere cu un exponent negativ egal.

Să trecem la funcția de putere la a=-2,-4,-6,….

Figura prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent negativ par.

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional a cărui valoare este mai mare decât zero și mai mică de unu.

Notă! Dacă a este o fracție pozitivă cu un numitor impar, atunci unii autori consideră intervalul ca fiind domeniul funcției de putere. În același timp, se prevede că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera la o astfel de vedere, adică vom considera că domeniile funcțiilor de putere cu exponenți pozitivi fracționari sunt mulțimea . Încurajăm studenții să obțină perspectiva profesorului dumneavoastră asupra acestui punct subtil pentru a evita dezacordul.

Se consideră o funcție de putere cu exponent rațional sau irațional a și .

Prezentăm grafice ale funcțiilor de putere pentru a=11/12 (linia neagră), a=5/7 (linia roșie), (linia albastră), a=2/5 (linia verde).

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional non-întreg mai mare decât unu.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional neîntreger a și .

Să prezentăm graficele funcțiilor de putere date de formule (linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi).

>

Pentru alte valori ale exponentului a , graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile funcției de putere pentru .

O funcție de putere cu un exponent real care este mai mare decât minus unu și mai mic decât zero.

Notă! Dacă a este o fracție negativă cu un numitor impar, atunci unii autori iau în considerare intervalul . În același timp, se prevede că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera doar la o astfel de vedere, adică vom considera că domeniile funcțiilor de putere cu exponenți negativi fracționari fracționali sunt, respectiv, mulțimea. Încurajăm studenții să obțină perspectiva profesorului dumneavoastră asupra acestui punct subtil pentru a evita dezacordul.

Trecem la funcția de putere , unde .

Pentru a avea o idee bună despre tipul de grafice ale funcțiilor de putere pentru , dăm exemple de grafice ale funcțiilor (curbe negru, roșu, albastru și, respectiv, verde).

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent a , .

O funcție de putere cu un exponent real neîntreger care este mai mic de minus unu.

Să dăm exemple de grafice ale funcțiilor de putere pentru , acestea sunt reprezentate în linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ non-întreg mai mic decât minus unu.

Când a=0 și avem o funcție - aceasta este o linie dreaptă din care punctul (0; 1) este exclus (expresia 0 0 a fost de acord să nu acorde nicio importanță).

Functie exponentiala.

Una dintre funcțiile elementare de bază este funcția exponențială.

Graficul funcției exponențiale, unde și ia o formă diferită în funcție de valoarea bazei a. Să ne dăm seama.

În primul rând, luați în considerare cazul în care baza funcției exponențiale ia o valoare de la zero la unu, adică .

De exemplu, prezentăm graficele funcției exponențiale pentru a = 1/2 - linia albastră, a = 5/6 - linia roșie. Graficele funcției exponențiale au un aspect similar pentru alte valori ale bazei din interval.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mică de unu.

Ne întoarcem la cazul când baza funcției exponențiale este mai mare decât unu, adică .

Ca o ilustrare, prezentăm grafice ale funcțiilor exponențiale - linia albastră și - linia roșie. Pentru alte valori ale bazei, mai mari decât unu, graficele funcției exponențiale vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mare decât unu.

Funcția logaritmică.

Următoarea funcție elementară de bază este funcția logaritmică, unde , . Funcția logaritmică este definită numai pentru valorile pozitive ale argumentului, adică pentru .

Graficul funcției logaritmice ia o formă diferită în funcție de valoarea bazei a.

Să începem cu cazul când .

De exemplu, prezentăm graficele funcției logaritmice pentru a = 1/2 - linia albastră, a = 5/6 - linia roșie. Pentru alte valori ale bazei, care nu depășesc unu, graficele funcției logaritmice vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții logaritmice cu o bază mai mică de unu.

Să trecem la cazul când baza funcției logaritmice este mai mare decât unu ().

Să arătăm grafice ale funcțiilor logaritmice - linie albastră, - linie roșie. Pentru alte valori ale bazei, mai mari decât unu, graficele funcției logaritmice vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții logaritmice cu o bază mai mare decât unu.

Funcții trigonometrice, proprietățile lor și grafice.

Toate funcțiile trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă și cotangentă) sunt funcții elementare de bază. Acum vom lua în considerare graficele lor și vom enumera proprietățile lor.

Funcțiile trigonometrice au conceptul periodicitate(recurența valorilor funcției pentru diferite valori ale argumentului care diferă unele de altele prin valoarea perioadei , unde T este perioada), prin urmare, un element a fost adăugat la lista de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice „cea mai mică perioadă pozitivă”. De asemenea, pentru fiecare funcție trigonometrică, vom indica valorile argumentului la care dispare funcția corespunzătoare.

Acum să ne ocupăm de toate funcțiile trigonometrice în ordine.

Funcția sinus y = sin(x) .

Să desenăm un grafic al funcției sinus, se numește „sinusoid”.

Proprietățile funcției sinus y = sinx .

Funcția cosinus y = cos(x) .

Graficul funcției cosinus (se numește „cosinus”) arată astfel:

Proprietățile funcției cosinus y = cosx .

Funcția tangentă y = tg(x) .

Graficul funcției tangente (se numește „tangentoid”) arată astfel:

Proprietățile funcției tangentă y = tgx .

Funcția cotangentă y = ctg(x) .

Să desenăm un grafic al funcției cotangente (se numește „cotangentoid”):

Proprietățile funcției cotangente y = ctgx .

Funcții trigonometrice inverse, proprietățile lor și grafice.

Funcțiile trigonometrice inverse (arcsin, arccosinus, arctangent și arccotangent) sunt funcțiile elementare de bază. Adesea, din cauza prefixului „arc”, funcțiile trigonometrice inverse sunt numite funcții arc. Acum vom lua în considerare graficele lor și vom enumera proprietățile lor.

Funcția arcsin y = arcsin(x) .

Să diagramăm funcția arcsinus:

Proprietățile funcției arccotangent y = arcctg(x) .

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra și începuturile analizei: Proc. pentru 10-11 celule. institutii de invatamant.
• Vygodsky M.Ya. Manual de matematică elementară.
• Novoselov S.I. Algebră și funcții elementare.
• Tumanov S.I. Algebră elementară. Un ghid pentru auto-educare.

Să vedem cum să explorezi o funcție folosind un grafic. Se pare că uitându-ne la grafic, poți afla tot ce ne interesează, și anume:

• domeniul de aplicare al funcției
• intervalul de funcții
• zerouri ale funcției
• perioade de crestere si scadere
• puncte înalte și scăzute
• cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe interval.

Să clarificăm terminologia:

Abscisă este coordonata orizontală a punctului.
Ordonată- coordonata verticala.
abscisă- axa orizontală, numită cel mai adesea axă.
axa Y- axa verticală, sau axa.

Argument este o variabilă independentă de care depind valorile funcției. Cel mai adesea indicat.
Cu alte cuvinte, noi înșine alegem , înlocuim în formula funcției și obținem .

Domeniu funcții - setul acelor (și numai acelea) valori ale argumentului pentru care există funcția.
Notat: sau .

În figura noastră, domeniul funcției este un segment. Pe acest segment este trasat graficul funcției. Doar aici există această funcție.

Gama de funcții este setul de valori pe care variabila ia. În figura noastră, acesta este un segment - de la cea mai mică la cea mai mare valoare.

Zerourile funcției- punctele în care valoarea funcției este egală cu zero, adică . În figura noastră, acestea sunt punctele și .

Valorile funcției sunt pozitive Unde . În figura noastră, acestea sunt intervalele și .
Valorile funcției sunt negative Unde . Avem acest interval (sau interval) de la până.

Cele mai importante concepte - funcţia crescătoare şi descrescătoare pe vreun platou. Ca set, puteți lua un segment, un interval, o uniune de intervale sau întreaga linie numerică.

Funcţie crește

Cu alte cuvinte, cu cât mai mult, cu atât mai mult, adică graficul merge la dreapta și în sus.

Funcţie in scadere pe mulţime dacă pentru oricare şi aparţinând mulţimii inegalitatea implică inegalitatea .

Pentru o funcție descrescătoare, o valoare mai mare corespunde unei valori mai mici. Graficul merge la dreapta și în jos.

În figura noastră, funcția crește pe interval și scade pe intervale și .

Să definim ce este punctele maxime și minime ale funcției.

Punct maxim- acesta este un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta este mai mare decât în ​​toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Cu alte cuvinte, punctul maxim este un astfel de punct, valoarea funcției la care Mai mult decât în ​​cele vecine. Acesta este un „deal” local pe diagramă.

În figura noastră - punctul maxim.

Punct scăzut- un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta să fie mai mică decât în ​​toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Adică, punctul minim este astfel încât valoarea funcției din el este mai mică decât în ​​cele învecinate. Pe grafic, aceasta este o „găură” locală.

În figura noastră - punctul minim.

Punctul este granița. Nu este un punct interior al domeniului definiției și, prin urmare, nu se potrivește definiției unui punct maxim. La urma urmei, nu are vecini în stânga. În același mod, nu poate exista niciun punct minim pe graficul nostru.

Punctele maxime și minime sunt numite colectiv punctele extreme ale funcției. În cazul nostru, acesta este și .

Dar dacă trebuie să găsiți, de exemplu, funcția minimă pe tăietură? În acest caz, răspunsul este: deoarece funcția minimă este valoarea sa la punctul minim.

În mod similar, maximul funcției noastre este . Se ajunge la punctul .

Putem spune că extremele funcției sunt egale cu și .

Uneori, în sarcini pe care trebuie să le găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe un segment dat. Ele nu coincid neapărat cu extreme.

În cazul nostru cea mai mică valoare a funcției pe interval este egal și coincide cu minimul funcției. Dar valoarea sa cea mai mare pe acest segment este egală cu . Se ajunge la capătul stâng al segmentului.

În orice caz, cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un segment sunt atinse fie la punctele extreme, fie la capetele segmentului.