Studiind literatura suplimentară despre rezolvarea sistemelor de ecuații, am întâlnit un nou tip de sisteme - simetrice. Și mi-am propus un obiectiv:

Rezumați informații științifice pe tema „Sisteme de ecuații”.

Să înțeleagă și să învețe cum să rezolve modul de introducere a unor noi variabile;

3) Luați în considerare principalele teorii legate de sistemele de ecuații simetrice

4) Învață să rezolvi sisteme simetrice de ecuații.

Istoria rezolvării sistemelor de ecuații.

Eliminarea necunoscutelor din ecuațiile liniare a fost folosită de mult timp. În secolul 17-18. în. tehnicile de excludere au fost dezvoltate de Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange.

În notația modernă, sistemul a două ecuații liniare cu două necunoscute are forma: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 – а2с1 Soluțiile acestui sistem sunt exprimate prin formule.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

Datorită metodei coordonatelor create în secolul al XVII-lea. Fermat și Descartes, a devenit posibilă rezolvarea grafică a sistemelor de ecuații.

În textele antice babiloniene scrise în 3-2 milenii î.Hr. e. , conține multe probleme rezolvate prin compilarea sistemelor de ecuații, în care sunt introduse și ecuații de gradul doi.

Exemplul #1:

Am adunat ariile celor două pătrate ale mele: 25. Latura celui de-al doilea pătrat este egală cu latura primului și încă 5. Sistemul de ecuații corespunzător în notația corespunzătoare arată astfel: x2 + y2 = 25, y = x = 5

Diophantus, care nu avea nicio notație pentru multe necunoscute, s-a străduit să aleagă necunoscutul în așa fel încât să reducă soluția sistemului la soluția unei singure ecuații.

Exemplul #2:

„Găsiți două numere naturale, știind că suma lor este 20 și suma pătratelor lor este 208.”

Problema a fost rezolvată și prin compilarea unui sistem de ecuații, x + y = 20, dar rezolvată x2 + y2 = 208

Diophantus, alegând drept jumătate necunoscută diferența numerelor dorite, adică.

(x - y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- nu satisface condiția problemei, prin urmare, dacă z = 2x = 12 și y = 8

Concepte ale unui sistem de ecuații algebrice.

În multe probleme, poate fi necesară găsirea mai multor mărimi necunoscute, știind că alte mărimi formate cu ajutorul lor (funcții de necunoscute) sunt egale între ele sau cu unele mărimi date. Să luăm în considerare un exemplu simplu.

Un teren dreptunghiular cu o suprafață de 2400 m2 este împrejmuit cu gard de 200 m lungime. găsiți lungimea și lățimea segmentului. De fapt, „modelul algebric” al acestei probleme este un sistem de două ecuații și o inegalitate.

Posibilele limitări-inegalități ar trebui să fie întotdeauna reținute. Când rezolvați probleme pentru compilarea sistemelor de ecuații. Dar totuși, principalul lucru este să rezolvi ecuațiile în sine. Vă voi spune despre metodele care sunt folosite.

Să începem cu definiții.

Un sistem de ecuații este un set de mai multe (mai mult de una) ecuații conectate printr-o paranteză.

Paranteza înseamnă că toate ecuațiile sistemului trebuie executate simultan și arată că trebuie să găsiți o pereche de numere (x; y) care să transforme fiecare ecuație într-o egalitate adevărată.

Soluția sistemului este o astfel de pereche de numere x și y, care, atunci când sunt substituite în acest sistem, transformă fiecare dintre ecuațiile sale într-o egalitate numerică adevărată.

A rezolva un sistem de ecuații înseamnă a-i găsi toate soluțiile sau a stabili că nu există.

Metoda de substituire.

Metoda substituției este aceea că într-una dintre ecuații o variabilă este exprimată în termenii alteia. Expresia rezultată este substituită într-o altă ecuație, care apoi se transformă într-o ecuație cu o variabilă și apoi se rezolvă. Valorile rezultate ale acestei variabile sunt înlocuite în orice ecuație a sistemului original și se găsește a doua variabilă.

Algoritm.

1. Exprimați y în termeni de x dintr-o ecuație a sistemului.

2. Înlocuiți expresia rezultată în loc de y într-o altă ecuație a sistemului.

3. Rezolvați ecuația rezultată pentru x.

4. Înlocuiți pe rând fiecare dintre rădăcinile ecuației găsite la a treia etapă în loc de x în expresia y prin x obținută la prima etapă.

5) Notați răspunsul sub formă de perechi de valori (x; y).

Exemplul nr. 1 y \u003d x - 1,

Înlocuiți în a doua ecuație y \u003d x - 1, obținem 5x + 2 (x - 1) \u003d 16, din care x \u003d 2. înlocuim expresia rezultată în prima ecuație: y \u003d 2 - 1 \ u003d 1.

Răspuns: (2; 1).

Exemplul #2:

8y - x \u003d 4, 1) 2 (8y - 4) - 21y \u003d 2

2x - 21y \u003d 2 16y - 8 - 21y \u003d 2

5y \u003d 10 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2

2x - 21 de ani \u003d 2

2) x \u003d 8 * (-2) - 4 x \u003d 8y - 4, x \u003d -20

2 (8y - 4) - 21y \u003d 2 x \u003d 8y - 4, y \u003d -2 x \u003d -20, y \u003d -2

Răspuns: (-20; -2).

Exemplul #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 - 2x - 8 = 0 - ecuație pătratică y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8

Prin urmare (-2; -4); (4; 8) sunt soluții ale acestui sistem.

Metoda de adunare.

Metoda adunării constă în faptul că, dacă un sistem dat este format din ecuații care, la adunare, formează o ecuație cu o variabilă, atunci prin rezolvarea acestei ecuații vom obține valorile uneia dintre variabile. Se găsește valoarea celei de-a doua variabile, ca în metoda substituției.

Algoritm pentru rezolvarea sistemelor prin metoda adunării.

1. Egalizarea modulelor de coeficienți pentru una dintre necunoscute.

2. Adunând sau scăzând ecuațiile rezultate, găsiți una necunoscută.

3. Înlocuind valoarea găsită într-una dintre ecuațiile sistemului original, găsiți a doua necunoscută.

Exemplul #1. Rezolvați sistemul de ecuații adăugând: x + y \u003d 20, x - y \u003d 10

Scăzând a doua ecuație din prima ecuație, obținem

Exprimăm din a doua expresie x \u003d 20 - y

Înlocuiți y \u003d 5 în această expresie: x \u003d 20 - 5 x \u003d 15.

Răspuns: (15; 5).

Exemplul #2:

Să reprezentăm ecuațiile sistemului propus ca diferență, obținem

7y = 21, de unde y = 3

Înlocuiți această valoare în valoarea exprimată din a doua ecuație a sistemului x = , obținem x = 4.

Răspuns: (4; 3).

Exemplul #3:

2x + 11y = 15,

10x - 11y = 9

Adăugând aceste ecuații, avem:

2x + 10x = 15 + 9

12x \u003d 24 x \u003d 2, înlocuind această valoare în a doua ecuație, obținem:

10 * 2 - 11y \u003d 9, de unde y \u003d 1.

Soluția acestui sistem este perechea: (2; 1).

Mod grafic de rezolvare a sistemelor de ecuații.

Algoritm.

1. Construiți grafice pentru fiecare dintre ecuațiile sistemului.

2. Aflarea coordonatelor punctului de intersecție al dreptelor construite.

Cazul dispunerii reciproce a liniilor pe plan.

1. Dacă dreptele se intersectează, adică au un punct comun, atunci sistemul de ecuații are o soluție.

2. Dacă dreptele sunt paralele, adică nu au puncte comune, atunci sistemul de ecuații nu are soluții.

3. Dacă dreptele coincid, adică au multe puncte, atunci sistemul de ecuații are un număr infinit de soluții.

Exemplul #1:

Rezolvați grafic sistemul de ecuații x - y \u003d -1,

Exprimăm din prima și a doua ecuație y: y \u003d 1 + x, y \u003d 4 - 2x x

Să construim grafice pentru fiecare dintre ecuațiile sistemului:

1) y \u003d 1 + x - graficul funcției este o linie dreaptă x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y \u003d 4 - 2x - graficul funcției este o linie dreaptă x 0 1 y 4 2

Răspuns: (1; 2).

Exemplul #2: y x ​​​​+ 2y = 6,

4y \u003d 8 - 2x x y \u003d, y \u003d y \u003d - graficul funcției este o linie dreaptă x 0 2 y 3 2 y \u003d - graficul funcției este o linie dreaptă x 0 2 y 2 1

Răspuns: Nu există soluții.

Exemplul nr. 3: y x ​​​​- 2y \u003d 2,

3x - 6y \u003d 6 x - 2y \u003d 2, x - 2y \u003d 2 x y \u003d - graficul funcției este o linie dreaptă x 0 2 y -1 0

Răspuns: Sistemul are un număr infinit de soluții.

Metoda de introducere a noilor variabile.

Metoda de introducere a noilor variabile constă în aceea că o nouă variabilă este introdusă într-o singură ecuație sau două variabile noi pentru ambele ecuații deodată, apoi ecuația sau ecuațiile sunt rezolvate în raport cu noile variabile, după care rămâne de rezolvat un sistem mai simplu. de ecuații, din care găsim soluția dorită.

Exemplul #1:

x + y = 5

Notați = z, apoi =.

Prima ecuație va lua forma z + = , este echivalentă cu 6z - 13 + 6 = 0. Rezolvată ecuația rezultată, avem z = ; z=. Atunci = sau = , cu alte cuvinte, prima ecuație împărțită în două ecuații, prin urmare, avem două sisteme:

x + y = 5 x + y = 5

Soluțiile acestor sisteme sunt soluțiile sistemului dat.

Soluția primului sistem este perechea: (2; 3), iar a doua este perechea (3; 2).

Prin urmare, soluțiile sistemului + = , x + y = 5

Perechile sunt (2; 3); (3; 2)

Exemplul #2:

Fie = X, a = Y.

X \u003d, 5 * - 2Y \u003d 1

5X - 2Y \u003d 1 2,5 (8 - 3Y) - 2Y \u003d 1

20 - 7,5U - 2U \u003d 1

X \u003d, -9,5Y \u003d -19

5 * - 2Y = 1 Y = 2

Să facem un înlocuitor.

2 x = 1, y = 0,5

Răspuns: (1; 0,5).

Sisteme simetrice de ecuații.

Un sistem cu n necunoscute se numește simetric dacă nu se modifică atunci când necunoscutele sunt rearanjate.

Un sistem simetric de două ecuații cu două necunoscute x și y se rezolvă prin înlocuirea u = x + y, v = xy. Rețineți că expresiile întâlnite în sistemele simetrice sunt exprimate în termeni de u și v. Să dăm câteva astfel de exemple care prezintă un interes incontestabil pentru rezolvarea multor sisteme simetrice: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v etc.

Sistemul simetric de trei ecuații pentru necunoscutele x y, z se rezolvă prin înlocuirea x + y + z = u, xy + yz + xz = w. Dacă se găsesc u, v, w, atunci se formează o ecuație cubică t2 – ut2 + vt – w = 0, ale cărei rădăcini t1, t2, t3 în diverse permutări sunt soluții ale sistemului original. Cele mai comune expresii în astfel de sisteme sunt exprimate în termeni de u, v, w după cum urmează: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Exemplul #1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

Fie x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Să facem un înlocuitor.

Răspuns: (1; 3); (3; 1).

Exemplul #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

Fie x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 - 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Să facem un înlocuitor.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Răspuns: (1; 3); (3; 1).

Exemplul #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

Fie x = y = u, xy = v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

Să facem un înlocuitor.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Răspuns: (1; 3); (3; 1).

Exemplul #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

Fie x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Să facem un înlocuitor.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y (5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Răspuns: (4; 1); (paisprezece).

Exemplul #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Să facem o schimbare de necunoscute, sistemul va lua forma u2 + v = 49, u + v = 23

Adunând aceste ecuații, obținem u2 + u - 72 = 0 cu rădăcinile u1 = 8, u2 = -9. În consecință, v1 = 15, v2 = 32. Rămâne de rezolvat mulțimea de sisteme x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

Sistemul x + y = 8 are soluții x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

Sistemul x + y = -9 nu are soluții reale.

Răspuns: (3; 5), (5; 3).

Exemplul numărul 6. Rezolvați sistemul de ecuații.

2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

Folosind polinoamele simetrice de bază u = y + x și v = xy, obținem următorul sistem de ecuații

2u2 - 7v = 16, u + v = -3

Înlocuind expresia v = -3 – u din a doua ecuație a sistemului în prima ecuație, obținem următoarea ecuație 2u2 + 7u + 5 = 0, ale cărei rădăcini sunt u1 = -1 și u2 = -2,5; și, în consecință, valorile v1 = -2 și v2 = -0,5 sunt obținute din v = -3 - u.

Acum rămâne de rezolvat următorul set de sisteme x + y \u003d -1 și x + y \u003d -2,5, xy \u003d -2 xy \u003d -0,5

Soluțiile acestui set de sisteme, și deci ale sistemului original (datorită echivalenței lor), sunt următoarele: (1; -2), (-2; 1), (;).

Exemplul #7:

3x2y - 2xy + 3x2 \u003d 78,

2x - 3xy + 2y + 8 = 0

Folosind polinoamele simetrice de bază, sistemul poate fi scris în următoarea formă

3uv - 2v = 78,

Exprimând u = din a doua ecuație și înlocuind-o în prima ecuație, obținem 9v2 - 28v - 156 = 0. Rădăcinile acestei ecuații v1 = 6 și v2 = - ne permit să găsim valorile corespunzătoare u1 = 5, u2 = - din expresia u =.

Acum rezolvăm următorul set de sisteme x + y \u003d 5 și x + y \u003d - , xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y și y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5 - y și y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -.

x = 5 – y și y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 și x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

Răspuns: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Concluzie.

În procesul de scriere a articolului, m-am familiarizat cu diferite tipuri de sisteme de ecuații algebrice. Informații științifice rezumate pe tema „Sisteme de ecuații”.

A înțeles și a învățat cum să rezolve prin introducerea de noi variabile;

Trecerea în revistă a principalelor teorii legate de sistemele simetrice de ecuații

A învățat cum să rezolve sisteme simetrice de ecuații.

Introducere Problema proiectului meu este că abilitatea de a rezolva diverse sisteme de ecuații este necesară pentru promovarea cu succes a examenului, iar în cursul liceului nu li se acordă suficient timp pentru a cunoaște mai profund această problemă. Scopul lucrării: pregătirea pentru susținerea cu succes a examenului. Sarcinile lucrării: Extindeți-vă cunoștințele în domeniul matematicii legate de conceptul de „simetrie”. Îmbunătățiți-vă cultura matematică, folosind conceptul de „simetrie” atunci când rezolvați sisteme de ecuații, numite simetrice, precum și alte probleme de matematică.

Conceptul de simetrie. Simetrie - (greaca veche συμμετρία), în sens larg - imuabilitate sub orice transformări. Deci, de exemplu, simetria sferică a unui corp înseamnă că aspectul corpului nu se va schimba dacă este rotit în spațiu la unghiuri arbitrare. Simetria bilaterală înseamnă că dreapta și stânga arată la fel în raport cu un anumit plan.

Rezolvarea problemelor folosind simetrie. Problema 1 Două persoane pun pe rând monede identice pe o masă rotundă, iar monedele nu trebuie să se acopere una pe cealaltă. Cel care nu poate face o mișcare pierde. Cine câștigă când este jucat corect? (Cu alte cuvinte, care jucător are o strategie câștigătoare?)

Metode de rezolvare a sistemelor simetrice. Sistemele simetrice pot fi rezolvate prin schimbarea variabilelor, care sunt principalele polinoame simetrice. Un sistem simetric de două ecuații cu două necunoscute x și y se rezolvă prin înlocuirea u = x + y, v = xy.

Exemplul nr. 2 3 x 2y - 2xy + 3xy 2 \u003d 78, 2x - 3xy + 2y + 8 \u003d 0 Folosind polinoamele simetrice de bază, sistemul poate fi scris în următoarea formă 3uv - 2v \u003d 78, 2u - 3v \u003d -8. Exprimând u = din a doua ecuație și înlocuind-o în prima ecuație, obținem 9v2– 28v – 156 = 0. Rădăcinile acestei ecuații v 1 = 6 și v 2 = - ne permit să găsim valorile corespunzătoare u1 = 5, u2= - din expresia u = .

Să rezolvăm acum următorul set de sisteme Să rezolvăm următorul set de sisteme x + y = 5 și x + y = - , xy = 6 xy = - . x \u003d 5 - y și y \u003d -x -, xy \u003d 6 xy \u003d -. x \u003d 5 - y și y \u003d -x -, y (5 - y) \u003d 6 x (-x -) \u003d -. x \u003d 5 - y și y \u003d -x -, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d - x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3 și x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= Răspuns: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

Teoreme utilizate în rezolvarea sistemelor simetrice. Teorema 1. (pe polinoame simetrice) Orice polinom simetric din două variabile poate fi reprezentat ca o funcție a două polinoame simetrice de bază Cu alte cuvinte, pentru orice polinom simetric f (x, y) există o funcție a două variabile φ (u, v) astfel încât

Teorema 2. (pe polinoame simetrice) Teorema 2. (pe polinoame simetrice) Orice polinom simetric în trei variabile poate fi reprezentat în funcție de trei polinoame simetrice de bază: Cu alte cuvinte, pentru orice polinom simetric f (x, y) există o astfel de funcţie a trei variabile θ (u, v, w) astfel încât

Sisteme simetrice mai complexe - sisteme care conțin modulul: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y-1 | = 2. Considerați acest sistem separat pentru x< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

b) pentru x ≤ y< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) sistemul ia forma - x + y + y 2 \u003d 3, - x + 1 + y - 1 \u003d 2 sau - x + y + y 2 \u003d 3, x - y \u003d - 2, de unde găsim x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1. A doua pereche de numere aparține zonei luate în considerare, adică este o soluție la acest sistem.

Dacă x ≥ 1, atunci: Dacă x ≥ 1, atunci: a) x > y și y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y și y ≥ 1 sistemul ia forma x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, sau x - y + y 2 = 3, x + y = 4, din care găsim x = 1, y = 3. Această pereche de numere nu aparține zonei luate în considerare;

c) pentru x ≤ y (atunci y ≥ 1), sistemul ia forma c) pentru x ≤ y (atunci y ≥ 1), sistemul ia forma - x + y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, sau - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, de unde găsim x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Aceste perechi de numere nu aparțin zonei luate în considerare. Astfel, x 1 \u003d - 1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1. Răspuns: (- 1; 1); (unsprezece).

Concluzie Matematica dezvoltă gândirea umană, învață prin logică să găsească diferite soluții. Deci, după ce am învățat cum să rezolv sisteme simetrice, mi-am dat seama că acestea pot fi folosite nu numai pentru a completa exemple specifice, ci și pentru a rezolva diferite tipuri de probleme. Cred că proiectul poate beneficia nu numai de mine. Pentru cei care vor să se familiarizeze și cu acest subiect, munca mea va fi un bun ajutor.

Referințe: Bashmakov M. I., „Algebra și începuturile analizei”, ediția a II-a, Moscova, „Prosveshchenie”, 1992, 350 pagini. Rudchenko P. A., Yaremchuk F. P., „Algebră și funcții elementare”, director; ediția a treia, revizuită și mărită; Kiev, Naukova, Dumka, 1987, 648 pag. Sharygin I. F., „Matematică pentru elevi de liceu”, Moscova, editura Drofa, 1995, 490 pagini. Resurse de internet: http://www.college. en/

Lucrarea poate fi folosită pentru lecții și rapoarte pe tema „Matematică”

Prezentările de matematică gata făcute sunt folosite ca ajutoare vizuale care permit unui profesor sau părinte să demonstreze subiectul studiat din manual folosind diapozitive și tabele, să arate exemple pentru rezolvarea problemelor și ecuațiilor și să testeze cunoștințele. În această secțiune a site-ului, puteți găsi și descărca o mulțime de prezentări gata făcute la matematică pentru elevii din clasele 1,2,3,4,5,6, precum și prezentări la matematică superioară pentru studenți.

Introducere

Simetria... este ideea prin care omul a încercat timp de secole să înțeleagă și să creeze ordine, frumusețe și perfecțiune.

Conceptul de simetrie străbate întreaga istorie a omenirii. Se găsește deja la originile cunoașterii umane. A apărut în legătură cu studiul unui organism viu, și anume omul, și a fost folosit de sculptori încă din secolul al V-lea î.Hr. e.
Cuvântul „simetrie” este grecesc. Înseamnă „proporționalitate”, „proporționalitate”, aceeași în aranjarea pieselor. Este utilizat pe scară largă de toate domeniile științei moderne, fără excepție.
Mulți oameni grozavi s-au gândit la acest model. De exemplu, L.N. Tolstoi a spus: „Stăt în fața unei table negre și desenând diferite figuri pe ea cu cretă, am fost brusc lovit de gândul: de ce este clară simetria pentru ochi? Ce este simetria? Acesta este un sentiment înnăscut. Pe ce este bazat?
Într-adevăr, simetria este plăcută ochiului. Cine nu a admirat simetria creațiilor naturii: frunze, flori, păsări, animale; sau creații umane: clădiri, tehnologie, - tot ceea ce ne înconjoară din copilărie, care tinde spre frumusețe și armonie.
Simetrie (altă greacă συμμετρία - „proporționalitate”), în sens larg - invarianță sub orice transformări. Deci, de exemplu, simetria sferică a unui corp înseamnă că aspectul corpului nu se va schimba dacă acesta este rotit în spațiu prin unghiuri arbitrare (menținând un punct pe loc). Simetria bilaterală înseamnă că partea dreaptă și stângă arată la fel în raport cu un anumit plan.
Ne întâlnim cu simetria peste tot - în natură, tehnologie, artă, știință. Remarcăm, de exemplu, simetria inerentă unui fluture și unei frunze de arțar, simetria unei mașini și a unui avion, simetria în construcția ritmică a unei poezii și a unei fraze muzicale, simetria ornamentelor și a chenarelor, simetria structura atomică a moleculelor și a cristalelor. Conceptul de simetrie străbate întreaga istorie veche de secole a creativității umane. Se găsește deja la originile cunoașterii umane; este utilizat pe scară largă de toate domeniile științei moderne, fără excepție. Principiile simetriei joacă un rol important în fizică și matematică, chimie și biologie, inginerie și arhitectură, pictură și sculptură, poezie și muzică. Legile naturii care guvernează tabloul fenomenelor, inepuizabile în diversitatea sa, se supun, la rândul lor, principiilor simetriei.

Obiective:

Luați în considerare tipurile și tipurile de simetrii;

Analizați cum și unde este utilizată simetria;

Luați în considerare modul în care este utilizată simetria într-un curs de algebră școlară

Simetrie.
Cuvântul „simetrie” are o dublă semnificație. Într-un sens, simetric înseamnă ceva foarte proporțional, echilibrat; simetria arată acel mod de a coordona multe părți, cu ajutorul căruia acestea sunt combinate într-un întreg. Al doilea sens al acestui cuvânt este echilibru. Chiar și Aristotel a vorbit despre simetrie ca despre o stare care se caracterizează printr-un raport de extreme. Din această afirmație rezultă că Aristotel, probabil, a fost cel mai aproape de descoperirea uneia dintre cele mai fundamentale legi ale Naturii - legile dualității sale.
Este necesar să evidențiem aspectele fără de care simetria este imposibilă:
1) un obiect este un purtător de simetrie; lucrurile, procesele, figurile geometrice, expresiile matematice, organismele vii etc. pot acționa ca obiecte simetrice.

2) unele trăsături - mărimi, proprietăți, relații, procese, fenomene - ale obiectului, care rămân neschimbate în timpul transformărilor de simetrie; se numesc invarianţi sau invarianţi.

3) modificări (ale obiectului) care lasă obiectul identic cu el însuși în ceea ce privește caracteristicile invariante; astfel de modificări se numesc transformări de simetrie;

4) proprietatea unui obiect de a se transforma, în funcție de caracteristicile selectate, în sine după modificările corespunzătoare.

Astfel, simetria exprimă păstrarea a ceva cu unele modificări sau păstrarea a ceva în ciuda unei schimbări. Simetria presupune imuabilitatea nu numai a obiectului în sine, ci și a oricărei proprietăți ale acestuia în raport cu transformările efectuate asupra obiectului. Imuabilitatea anumitor obiecte poate fi observată în raport cu diverse operații - la rotații, translații, înlocuiri reciproce de părți, reflexii etc. În acest sens, există diferite tipuri de simetrie.

Asimetrie

Asimetria este absența sau încălcarea simetriei.
În arhitectură, simetria și asimetria sunt două metode opuse de organizare regulată a formei spațiale. Compozițiile asimetrice în dezvoltarea arhitecturii au apărut ca întruchiparea combinațiilor complexe de procese de viață și condiții de mediu.

Disimetrie

Numim simetrie ruptă, parțial detonată disimetrie .
Disimetria este un fenomen larg răspândit în fauna sălbatică. Este, de asemenea, caracteristic oamenilor. O persoană este disimetrică, în ciuda faptului că contururile corpului său au un plan de simetrie. Disimetria afectează
mai bună posesie a uneia dintre mâini, în dispunerea asimetrică a inimii și a multor alte organe, în structura acestor organe.
Disimetriile corpului uman sunt similare și abateri de la simetria exactă în arhitectură. De obicei sunt cauzate de necesitate practică, de faptul că varietatea funcțiilor nu se încadrează în limitele legilor rigide de simetrie. Uneori, astfel de abateri dau naștere la un efect emoțional acut.

^ Tipuri de simetrii găsite în matematică și științele naturii:

Simetrie bilaterală- simetria reflexiei în oglindă, în care obiectul are un plan de simetrie, față de care cele două jumătăți ale sale sunt simetrice în oglindă. La animale, simetria bilaterală se manifestă prin asemănarea sau identitatea aproape completă a jumătăților stângă și dreaptă ale corpului. În acest caz, există întotdeauna abateri aleatorii de la simetrie (de exemplu, diferențe în liniile papilare, ramificarea vaselor. Există adesea diferențe mici, dar regulate în structura externă și diferențe mai semnificative între jumătatea dreaptă și stângă a corpului în localizarea organelor interne.De exemplu, inima la mamifere este de obicei situată asimetric, decalată spre stânga.

La animale, apariția simetriei bilaterale în evoluție este asociată cu târarea de-a lungul substratului (de-a lungul fundului rezervorului), în legătură cu care apar jumătățile dorsale și ventrale, precum și jumătatea dreaptă și stângă a corpului. În general, în rândul animalelor, simetria bilaterală este mai pronunțată în formele activ mobile decât la plantele sesile.Simetria bilaterală nu este de obicei întregul organism, ci părțile sale separate - frunze sau flori. Din punct de vedere botanic, florile simetrice bilateral sunt numite zigomorfe.

^ simetrie de ordinul al n-lea- simetrie față de rotațiile printr-un unghi de 360 ​​°/n în jurul oricărei axe. Descris de grupul Zn.

Simetria axială(simetria radială, simetria razelor) - o formă de simetrie în care un corp (sau o figură) coincide cu el însuși atunci când un obiect se rotește în jurul unui anumit punct sau a unei linii. Adesea, acest punct coincide cu centrul de simetrie al obiectului, adică punctul în care
intersectează un număr infinit de axe de simetrie bilaterală. Simetria radială este deținută de obiecte geometrice precum un cerc, o minge, un cilindru sau un con. Descris de grupul SO(2).

^ Simetrie sferică- simetria fata de rotatiile in spatiul tridimensional prin unghiuri arbitrare. Descris de grupul SO(3). Simetria sferică locală a spațiului sau a mediului este numită și izotropie.

^ Simetria rotațională- un termen care înseamnă simetria unui obiect în raport cu toate sau unele rotații proprii ale spațiului euclidian m-dimensional.

^ Simetria la animale și la oameni.

Simetria este un semn vital care reflectă caracteristicile structurii, stilului de viață și comportamentului animalului. Simetria formei este necesară pentru ca peștele să înoate; pasăre să zboare. Deci simetria în natură există pentru un motiv: este, de asemenea, utilă, sau, cu alte cuvinte, oportună. În biologie, centrul de simetrie are: flori, meduze, stele de mare etc Prezența formelor de simetrie poate fi deja urmărită în cel mai simplu - unicelular (ciliați, amibe).Corpul uman este construit pe principiul simetriei bilaterale. Creierul este împărțit în două jumătăți. În deplină concordanță cu simetria generală a corpului uman, fiecare emisferă este o imagine în oglindă aproape exactă a celeilalte. Controlul mișcărilor de bază ale corpului uman și al funcțiilor sale senzoriale este distribuit uniform între cele două emisfere ale creierului. Emisfera stângă controlează partea dreaptă a creierului, în timp ce emisfera dreaptă controlează partea stângă. Studiile au arătat că o față simetrică este mai atractivă. Cercetătorii mai susțin că o față cu proporții ideale este un semn că corpul proprietarului său este bine pregătit să lupte împotriva infecțiilor. Răceala, astmul și gripa sunt foarte probabil să se retragă în fața persoanelor a căror parte stângă este exact ca cea dreaptă. Și în haine, o persoană, de regulă, încearcă, de asemenea, să mențină impresia de simetrie: mâneca dreaptă corespunde stângi, piciorul drept corespunde stângi. Nasturii de pe geacă și de pe cămașă stau exact în mijloc, iar dacă se retrag de ea, atunci la distanțe simetrice. Și, în același timp, uneori o persoană încearcă să sublinieze, să întărească diferența dintre stânga și dreapta. În Evul Mediu, bărbații la un moment dat etalau pantaloni cu picioare de diferite culori (de exemplu, unul roșu și celălalt negru sau alb). Dar
o astfel de modă este întotdeauna de scurtă durată. Doar abaterile modeste de la simetrie raman mult timp.

Simetria în artă

Simetria în artă în general și în artele vizuale în special își are originea în realitate, plină de forme dispuse simetric.
Organizarea simetrică a unei compoziții este caracterizată de echilibrul părților sale în ceea ce privește masa, tonul, culoarea și chiar forma. În astfel de cazuri, o parte este aproape o imagine în oglindă a celeilalte. În compozițiile simetrice, cel mai adesea există un centru pronunțat. De regulă, coincide cu centrul geometric al planului imaginii. Dacă punctul de fugă este deplasat de centru, una dintre părți este mai încărcată din punct de vedere al masei, sau imaginea este construită în diagonală, toate acestea informează dinamismul compoziției și încalcă într-o oarecare măsură echilibrul ideal.
Regula simetriei a fost folosită de sculptorii Greciei antice. Un exemplu este compoziția frontonului vestic al templului lui Zeus și Olimpia. Se bazează pe lupta lapiților (greci) cu centaurii în prezența zeului Apollo. Mișcarea crește treptat de la margini spre centru. Atinge limita expresivității în imaginea a doi tineri care s-au legănat spre centauri. Mișcarea în creștere, parcă, se întrerupe imediat în apropierea figurii lui Apollo, stând calm și maiestuos în centrul frontonului.
Ideea lucrărilor pierdute ale pictorilor celebri din secolul al V-lea î.Hr. e. poate fi compilat din pictura antică în vază și frescele pompeiene, inspirate, după cum cred cercetătorii, din lucrările maeștrilor greci din epoca clasică...
Compoziții simetrice au fost observate și la maeștrii greci din secolele IV-III î.Hr. e. Acest lucru poate fi judecat după copiile frescelor. În frescele pompeiene, figurile principale sunt în centrul unei compoziții piramidale, care se distinge prin simetrie.
Artiștii au recurs adesea la regulile de simetrie atunci când înfățișează întâlniri solemne aglomerate, parade, întâlniri în săli mari etc.
O mare atenție a fost acordată regulii simetriei de către artiștii Renașterii timpurii, așa cum o demonstrează pictura monumentală (de exemplu, frescele lui Giotto). În timpul Înaltei Renașteri, compoziția italiană a ajuns la maturitate. De exemplu, în pictura „Sfânta Ana cu Maria și Pruncul Hristos”, Leonardo da Vinci aranjează trei figuri într-un triunghi îndreptat în sus. În colțul din dreapta jos, dă o figurină a unui miel ținut de un mic Hristos. Totul este aranjat în așa fel încât acest triunghi să fie ghicit doar sub grupul volum-spațial de figuri.
Cina cea de Taină de Leonardo da Vinci poate fi numită și o compoziție simetrică. Această frescă arată un moment dramatic când
Hristos le-a spus ucenicilor săi: „Unul dintre voi mă va trăda”. Reacția psihologică a apostolilor la aceste cuvinte profetice leagă personajele de centrul compozițional în care se află figura lui Hristos. Impresia de integritate din această compoziție centripetă este sporită și mai mult de faptul că artistul a arătat camera trapezei în perspectivă cu punctul de fuga al liniilor paralele în mijlocul ferestrei, față de care este desenat clar capul lui Hristos. Astfel, privirea privitorului este îndreptată involuntar spre figura centrală a imaginii.
Dintre lucrările care demonstrează posibilitățile de simetrie, se mai poate numi și Logodna Mariei a lui Rafael, unde tehnicile compoziționale caracteristice Renașterii și-au găsit cea mai completă expresie.
Pe baza regulii de simetrie este construită și tabloul lui V. M. Vasnetsov „Bogatyrs”. Centrul compoziției este figura lui Ilya Muromets. Stânga și dreapta, ca într-o imagine în oglindă, sunt plasate Alyosha Popovich și Dobrynya Nikitich. Figurile sunt situate de-a lungul planului imaginii așezate calm pe cai. Construcția simetrică a compoziției transmite o stare de repaus relativ. Cifrele din stânga și din dreapta nu sunt aceleași în ceea ce privește masa, ceea ce se datorează intenției ideologice a autorului. Dar ambele sunt mai puțin puternice în comparație cu figura lui Muromets și, per ansamblu, dau echilibru complet compoziției.
Stabilitatea compoziției face ca privitorul să se simtă încrezător în invincibilitatea eroilor, apărătorii pământului rusesc. Mai mult, în „Bogatyrs” o stare de odihnă tensionată este transmisă în pragul trecerii în acțiune. Și asta înseamnă că simetria poartă și germenul mișcării dinamice în timp și spațiu.

Simetria în algebră.

Cele mai simple expresii simetrice pentru rădăcinile unei ecuații pătratice se găsesc în teorema lui Vieta. Acest lucru le permite să fie utilizate în rezolvarea unor probleme legate de ecuații patratice. Să luăm în considerare câteva exemple.

Exemplul 1:

Ecuație cuadratică are rădăcini și . Fără a rezolva această ecuație, exprimăm în termeni de și sumele , . Expresia este simetrică în raport cu și . Le exprimăm în termeni de + și , apoi aplicăm teorema Vieta.

Acasă > Soluție

Ecuații raționale și inegalități

I. Ecuaţii raţionale.

Ecuatii lineare.

Sisteme de ecuații liniare.

Ecuații de întoarcere.

Formula lui Vieta pentru polinoame de grade superioare.

Sisteme de ecuații de gradul doi.

Metoda de introducere a unor noi necunoscute in rezolvarea ecuatiilor si sistemelor de ecuatii.

Ecuații omogene.

Rezolvarea sistemelor simetrice de ecuații.

Ecuații și sisteme de ecuații cu parametri.

Metoda grafica de rezolvare a sistemelor de ecuatii neliniare.

Ecuații care conțin semnul modulului.

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor raționale

II. Inegalități raționale.

Proprietățile inegalităților echivalente.

Inegalități algebrice.

metoda intervalului.

Inegalități fracționale-raționale.

Inegalități care conțin necunoscutul sub semnul valorii absolute.

Inegalități cu parametrii.

Sisteme de inegalități raționale.

Rezolvarea grafică a inegalităților.

III. Test de verificare.

Ecuații raționale

funcția de vizualizare

P(x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + ... + a n - 1 x + a n,

unde n este un număr natural, a 0 , a 1 ,…, a n sunt numere reale, se numește o funcție rațională întreagă.

O ecuație de forma P(x) = 0, unde P(x) este o funcție rațională întreagă, se numește ecuație rațională întreagă.

Tip ecuație

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + ... + P m (x) / Q m (x) = 0,

unde P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) sunt funcții raționale întregi, se numește ecuație rațională .

Rezolvarea ecuației raționale P (x) / Q (x) = 0, unde P (x) și Q (x) sunt polinoame (Q (x)  0), se reduce la rezolvarea ecuației P (x) = 0 și verificarea dacă rădăcinile îndeplinesc condiția Q (x)  0.

Ecuatii lineare.

O ecuație de forma ax+b=0, unde a și b sunt niște constante, se numește ecuație liniară.

Dacă a0, atunci ecuația liniară are o singură rădăcină: x = -b /a.

Dacă a=0; b0, atunci ecuația liniară nu are soluții.

Dacă a=0; b=0, atunci, rescriind ecuația inițială sub forma ax = -b, este ușor de observat că orice x este o soluție a unei ecuații liniare.

Ecuația dreptei are forma: y = ax + b.

Dacă linia trece printr-un punct cu coordonatele X 0 și Y 0, atunci aceste coordonate satisfac ecuația dreptei, adică Y 0 = aX 0 + b.

Exemplul 1.1. rezolva ecuatia

2x - 3 + 4(x - 1) = 5.

Decizie. Să extindem parantezele unul câte unul, să dăm termeni similari și să găsim x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Exemplul 1.2. rezolva ecuatia

2x - 3 + 2(x - 1) = 4(x - 1) - 7.

Decizie. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = - 6.

Răspuns: .

Exemplul 1.3. Rezolvați ecuația.

2x + 3 - 6(x - 1) = 4(x - 1) + 5.

Decizie. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 - 9,

Răspuns: Orice număr.

Sisteme de ecuații liniare.

Tip ecuație

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

unde a 1 , b 1 , … ,a n , b sunt niște constante, se numește ecuație liniară cu n necunoscute x 1 , x 2 , …, x n .

Un sistem de ecuații se numește liniar dacă toate ecuațiile din sistem sunt liniare. Dacă sistemul constă din n necunoscute, atunci sunt posibile următoarele trei cazuri:

sistemul nu are soluții;

sistemul are exact o soluție;

Sistemul are infinit de soluții.

Exemplul 2.4. rezolva sistemul de ecuatii

Decizie. Este posibil să se rezolve un sistem de ecuații liniare prin metoda substituției, care constă în exprimarea unei necunoscute în termenii altor necunoscute ale oricărei ecuații a sistemului și apoi înlocuirea valorii acestei necunoscute în restul ecuațiilor.

Din prima ecuație exprimăm: x = (8 - 3y) / 2. Substituim această expresie în a doua ecuație și obținem un sistem de ecuații

X \u003d (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y \u003d 7. Din a doua ecuație obținem y \u003d 2. Ținând cont de acest lucru, din prima ecuație x \u003d 1. Răspuns: (1; 2) Exemplul 2.5. Rezolvați un sistem de ecuații

Decizie. Sistemul nu are soluții, deoarece două ecuații ale sistemului nu pot fi satisfăcute simultan (din prima ecuație x + y = 3, iar din a doua x + y = 3,5).

Răspuns: Nu există soluții.

Exemplul 2.6. rezolva sistemul de ecuatii

Decizie. Sistemul are infinit de soluții, deoarece a doua ecuație se obține din prima prin înmulțirea cu 2 (adică, de fapt, există o singură ecuație cu două necunoscute).

Răspuns: infinit de multe soluții.

Exemplul 2.7. rezolva sistemul de ecuatii

x + y - z = 2,

2x – y + 4z = 1,

Decizie. La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare este convenabil să se folosească metoda Gauss, care constă în transformarea sistemului într-o formă triunghiulară.

Înmulțim prima ecuație a sistemului cu - 2 și, adunând rezultatul obținut cu a doua ecuație, obținem - 3y + 6z \u003d - 3. Această ecuație poate fi rescrisă ca y - 2z \u003d 1. Adăugând prima ecuație cu al treilea, obținem 7y \u003d 7 sau y = 1.

Astfel, sistemul a căpătat o formă triunghiulară

x + y - z = 2,

Înlocuind y = 1 în a doua ecuație, găsim z = 0. Înlocuind y =1 și z = 0 în prima ecuație, găsim x = 1. Răspuns: (1; 1; 0) Exemplul 2.8. pentru ce valori ale parametrului a sistemul de ecuații

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

are infinit de solutii? Decizie. Din prima ecuație exprimăm x:

x = - (a / 2)y + a / 2 +1.

Înlocuind această expresie în a doua ecuație, obținem

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Analizând ultima ecuație, observăm că pentru a = 3 are forma 0y = 0, adică. este satisfăcut pentru orice valoare a lui y. Raspuns: 3.

Ecuații cuadratice și ecuații care se reduc la ele.

O ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a, b și c sunt niște numere (a0);

x este o variabilă, numită ecuație pătratică.

Formula pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.

În primul rând, împărțim ambele părți ale ecuației ax 2 + bx + c = 0 la a - acest lucru nu îi va schimba rădăcinile. Pentru a rezolva ecuația rezultată

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

selectați un pătrat complet în partea stângă

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2) )).

Pentru concizie, notăm expresia (b 2 - 4ac) cu D. Atunci identitatea rezultată ia forma

Sunt posibile trei cazuri:

dacă numărul D este pozitiv (D > 0), atunci în acest caz se poate lua rădăcina pătrată a lui D și se scrie D ca D = (D) 2 . Apoi

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 , prin urmare identitatea ia forma

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / 2a) 2 .

Conform formulei pentru diferența de pătrate, derivăm de aici:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x - ((-b + D) / 2a)) (x - ((- b - D) / 2a)).

Teorema: Dacă identitatea păstrează

ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2),

atunci ecuația pătratică ax 2 + bx + c \u003d 0 pentru X 1  X 2 are două rădăcini X 1 și X 2, iar pentru X 1 \u003d X 2 - doar o rădăcină X 1.

În virtutea acestei teoreme, din identitatea derivată mai sus rezultă că ecuația

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

și astfel ecuația ax 2 + bx + c = 0 are două rădăcini:

X 1 \u003d (-b +  D) / 2a; X 2 \u003d (-b -  D) / 2a.

Astfel x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1)(x - x2).

De obicei, aceste rădăcini sunt scrise într-o singură formulă:

unde b 2 - 4ac \u003d D.

dacă numărul D este egal cu zero (D = 0), atunci identitatea

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

ia forma x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .

Rezultă că pentru D = 0, ecuația ax 2 + bx + c = 0 are o rădăcină a multiplicității 2: X 1 = - b / 2a

3) Dacă numărul D este negativ (D< 0), то – D >0 și, prin urmare, expresia

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

este suma a doi termeni, dintre care unul este nenegativ și celălalt pozitiv. O astfel de sumă nu poate fi egală cu zero, deci ecuația

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

nu are rădăcini reale. Nici ecuația ax 2 + bx + c = 0.

Astfel, pentru a rezolva ecuația pătratică, ar trebui să se calculeze discriminantul

D \u003d b 2 - 4ac.

Dacă D = 0, atunci ecuația pătratică are o soluție unică:

Dacă D > 0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini:

X 1 \u003d (-b + D) / (2a); X 2 \u003d (-b - D) / (2a).

Daca D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Dacă unul dintre coeficienții b sau c este egal cu zero, atunci ecuația pătratică poate fi rezolvată fără a calcula discriminantul:

b = 0; c  0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2= -b/a.

Rădăcinile unei ecuații pătratice generale ax 2 + bx + c = 0 se găsesc prin formula

O ecuație pătratică în care coeficientul la x 2 este egal cu 1 se numește redusă. De obicei, ecuația pătratică dată se notează după cum urmează:

x 2 + px + q = 0.

teorema lui Vieta.

Am derivat identitatea

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d (x - x1) (x - x2),

unde X 1 și X 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice ax 2 + bx + c =0. Să extindem parantezele din partea dreaptă a acestei identități.

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 .

Rezultă că X 1 + X 2 = - b / a și X 1 X 2 = c / a. Am demonstrat următoarea teoremă, stabilită pentru prima dată de matematicianul francez F. Viet (1540 - 1603):

Teorema 1 (Vieta). Suma rădăcinilor ecuației pătratice este egală cu coeficientul de la X, luat cu semnul opus și împărțit la coeficientul de la X 2; produsul rădăcinilor acestei ecuații este egal cu termenul liber împărțit la coeficientul de la X 2 .

Teorema 2 (invers). Dacă egalităţile

X 1 + X 2 \u003d - b / a și X 1 X 2 \u003d c / a,

atunci numerele X 1 și X 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice ax 2 + bx + c = 0.

Cometariu. Formulele X 1 + X 2 \u003d - b / a și X 1 X 2 \u003d c / a rămân adevărate chiar și în cazul în care ecuația ax 2 + bx + c \u003d 0 are o rădăcină X 1 de multiplicitate 2, dacă punem în formulele indicate X 2 = X 1 . Prin urmare, este general acceptat că pentru D = 0, ecuația ax 2 + bx + c = 0 are două rădăcini care coincid una cu cealaltă.

La rezolvarea problemelor legate de teorema Vieta este utilă folosirea relațiilor

(1 / X 1) + (1 / X 2) \u003d (X 1 + X 2) / X 1 X 2;

X 1 2 + X 2 2 \u003d (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 \u003d (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 \u003d ((X 1 + X 2) 2 - 2X 1 X 2) / X 1 X 2;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =

\u003d (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 - 3X 1 X 2).

Exemplul 3.9. Rezolvați ecuația 2x 2 + 5x - 1 = 0.

Decizie. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

Răspuns: X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

Exemplul 3.10. Rezolvați ecuația x 3 - 5x 2 + 6x = 0

Decizie. Să factorizăm partea stângă a ecuației x(x 2 - 5x + 6) = 0,

prin urmare, x \u003d 0 sau x 2 - 5x + 6 \u003d 0.

Rezolvând ecuația pătratică, obținem X 1 \u003d 2, X 2 \u003d 3.

Răspuns: 0; 2; 3.

Exemplul 3.11.

x 3 - 3x + 2 = 0. Rezolvare. Să rescriem ecuația, scriind -3x \u003d - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 \u003d 0, iar acum grupăm x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) \u003d 0, ( x - 1) (x( x + 1) - 2) = 0,x - 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1. Răspuns: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = - 2. Exemplul 3.12. Rezolvați ecuația 7