Funcția par impară y 2x. Funcții pare și impare

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

să formeze conceptul de funcții pare și impare, să învețe capacitatea de a determina și de a utiliza aceste proprietăți în studiul funcțiilor, plot;
să dezvolte activitatea creativă a elevilor, gândirea logică, capacitatea de a compara, generaliza;
a cultiva hărnicia, cultura matematică; dezvolta abilitati de comunicare .

Echipament: instalare multimedia, tablă interactivă, fișe.

Forme de lucru: frontal şi grup cu elemente de căutare şi activităţi de cercetare.

Surse de informare:

1. Clasa de algebră 9 A.G. Mordkovich. Manual.
2. Algebră Clasa 9 A.G. Mordkovich. Caiet de sarcini.
3. Algebră clasa a 9-a. Sarcini de învățare și dezvoltare a elevilor. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

ÎN CURILE CURĂRILOR

1. Moment organizatoric

Stabilirea scopurilor și obiectivelor lecției.

2. Verificarea temelor

Nr. 10.17 (Cartea cu probleme clasa a IX-a A.G. Mordkovich).

A) la = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 pentru X ~ 0,4
4. f(X) >0 la X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funcția crește cu X € [– 2; + ∞)
6. Funcția este limitată de jos.
7. la angajare = - 3, la naib nu există
8. Funcția este continuă.

(Ați folosit algoritmul de explorare a caracteristicilor?) Slide.

2. Să verificăm tabelul care a fost întrebat pe diapozitiv.

Umple tabelul
	Domeniu	Zerourile funcției	Intervalele de constanță		Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
	Domeniu	Zerourile funcției			Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizare de cunoștințe

– Sunt date funcții.
– Specificați domeniul de definiție pentru fiecare funcție.
– Comparați valoarea fiecărei funcții pentru fiecare pereche de valori de argument: 1 și – 1; 2 și - 2.
– Pentru care dintre funcțiile date în domeniul definiției sunt egalitățile f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pune datele în tabel) Slide

		f(1) și f(– 1)	f(2) și f(– 2)	grafice	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		și nedefinită.

4. Material nou

- În timp ce facem această muncă, băieți, am dezvăluit încă o proprietate a funcției, necunoscută pentru dvs., dar nu mai puțin importantă decât celelalte - aceasta este uniformitatea și ciudatenia funcției. Scrieți subiectul lecției: „Funcții pare și impare”, sarcina noastră este să învățăm cum să determinăm funcțiile pare și impare, să aflăm semnificația acestei proprietăți în studiul funcțiilor și al trasării.
Deci, să găsim definițiile în manual și să citim (p. 110) . Slide

Def. unu Funcţie la = f (X) definită pe mulțimea X este numită chiar, dacă pentru orice valoare XЄ X în curs egalitatea f (–x) = f (x). Dă exemple.

Def. 2 Funcţie y = f(x), definit pe setul X este numit ciudat, dacă pentru orice valoare XЄ X egalitatea f(–х)= –f(х) este satisfăcută. Dă exemple.

Unde am întâlnit termenii „par” și „impar”?
Care dintre aceste funcții vor fi egale, crezi? De ce? Care sunt ciudate? De ce?
Pentru orice functie a formei la= x n, Unde n este un întreg, se poate argumenta că funcția este impară pentru n este impar și funcția este pară pentru n- chiar.
– Vizualizați funcțiile la= și la = 2X– 3 nu este nici par, nici impar, pentru că egalitățile nu sunt îndeplinite f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiul întrebării dacă o funcție este pară sau impară se numește studiul unei funcții pentru paritate. Slide

Definițiile 1 și 2 s-au ocupat de valorile funcției la x și - x, astfel încât se presupune că funcția este definită și la valoarea X, și la - X.

AOD 3. Dacă o mulțime de numere împreună cu fiecare dintre elementele sale x conține elementul opus x, atunci mulțimea X se numeste multime simetrica.

Exemple:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt nesimetrice.

- Chiar și funcțiile au un domeniu de definiție - o mulțime simetrică? Cele ciudate?
- Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) este par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Dar este adevărat invers, dacă domeniul unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
- Deci prezența unei mulțimi simetrice a domeniului definiției este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum putem investiga funcția pentru paritate? Să încercăm să scriem un algoritm.

Slide

Algoritm pentru examinarea unei funcții pentru paritate

1. Stabiliți dacă domeniul funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, atunci treceți la pasul 2 al algoritmului.

2. Scrie o expresie pentru f(–X).

3. Comparați f(–X).și f(X):

dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
dacă f(–X) ≠ f(X) și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.

Exemple:

Investigați funcția pentru paritate a) la= x 5 +; b) la= ; în) la= .

Soluţie.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funcție h(x)= x 5 + impar.

b) y =,

la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), mulțime asimetrică, deci funcția nu este nici pară, nici impară.

în) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opțiunea 2

1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examinați funcția pentru paritate:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toți X, îndeplinind condiția X? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție uniformă.

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toate x care satisface x? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție impară.

Verificare reciprocă diapozitiv.

6. Tema pentru acasă: №11.11, 11.21,11.22;

Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.

*** (Atribuirea opțiunii USE).

1. Funcția impară y \u003d f (x) este definită pe întreaga linie reală. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.

7. Rezumând

. Pentru a face acest lucru, utilizați hârtie milimetrică sau un calculator grafic. Selectați orice număr de valori numerice pentru variabila independentă x (\displaystyle x)și conectați-le la funcția pentru a calcula valorile variabilei dependente y (\displaystyle y). Puneți coordonatele găsite ale punctelor pe planul de coordonate și apoi conectați aceste puncte pentru a construi un grafic al funcției.

Înlocuiți valori numerice pozitive în funcție x (\displaystyle x)și valorile numerice negative corespunzătoare. De exemplu, dată o funcție f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Înlocuiți următoarele valori în el x (\displaystyle x):

Verificați dacă graficul funcției este simetric față de axa y. Simetria se referă la imaginea în oglindă a graficului despre axa y. Dacă partea graficului din dreapta axei y (valorile pozitive ale variabilei independente) se potrivește cu partea graficului din stânga axei y (valorile negative ale variabilei independente), graficul este simetric față de axa y. Dacă funcția este simetrică față de axa y, funcția este pară.

Verificați dacă graficul funcției este simetric față de origine. Originea este punctul cu coordonatele (0,0). Simetria cu privire la origine înseamnă că o valoare pozitivă y (\displaystyle y)(cu valoare pozitivă x (\displaystyle x)) corespunde unei valori negative y (\displaystyle y)(cu valoare negativă x (\displaystyle x)), si invers. Funcțiile impare au simetrie față de origine.

Verificați dacă graficul funcției are vreo simetrie. Ultimul tip de funcție este o funcție al cărei grafic nu are simetrie, adică nu există o imagine în oglindă atât față de axa y, cât și față de origine. De exemplu, dată o funcție.

Înlocuiți mai multe valori pozitive și negative corespunzătoare în funcție x (\displaystyle x):
Conform rezultatelor obținute, nu există simetrie. Valori y (\displaystyle y) pentru valori opuse x (\displaystyle x) nu se potrivesc si nu sunt opuse. Astfel, funcția nu este nici pară, nici impară.
Vă rugăm să rețineți că funcția f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) se poate scrie asa: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Scrisă în această formă, funcția pare a fi pară, deoarece există un exponent par. Dar acest exemplu demonstrează că forma unei funcții nu poate fi determinată rapid dacă variabila independentă este cuprinsă în paranteze. În acest caz, trebuie să deschideți parantezele și să analizați exponenții rezultați.

Ascundeți afișarea

Modalități de a seta o funcție

Fie funcția dată de formula: y=2x^(2)-3 . Atribuind orice valoare variabilei independente x, puteți utiliza această formulă pentru a calcula valorile corespunzătoare ale variabilei dependente y. De exemplu, dacă x=-0,5 , atunci folosind formula, obținem că valoarea corespunzătoare a lui y este y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Având în vedere orice valoare luată de argumentul x în formula y=2x^(2)-3 , poate fi calculată o singură valoare a funcției care îi corespunde. Funcția poate fi reprezentată sub formă de tabel:

X	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Folosind acest tabel, vă puteți da seama că pentru valoarea argumentului -1, valoarea funcției -3 va corespunde; iar valoarea x=2 va corespunde cu y=0 și așa mai departe. De asemenea, este important de știut că fiecare valoare de argument din tabel corespunde unei singure valori de funcție.

Mai multe funcții pot fi setate folosind grafice. Cu ajutorul graficului se stabilește ce valoare a funcției se corelează cu o anumită valoare a lui x. Cel mai adesea, aceasta va fi o valoare aproximativă a funcției.

Funcția pară și impară

Funcția este chiar funcția, când f(-x)=f(x) pentru orice x din domeniu. O astfel de funcție va fi simetrică față de axa Oy.

Funcția este funcţie ciudată când f(-x)=-f(x) pentru orice x din domeniu. O astfel de funcție va fi simetrică față de originea O (0;0) .

Funcția este nici măcar, nici ciudatși a sunat functia generala cand nu are simetrie fata de axa sau origine.

Examinăm următoarea funcție pentru paritate:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) cu un domeniu de definiție simetric despre origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Prin urmare, funcția f(x)=3x^(3)-7x^(7) este impară.

Funcția periodică

Funcția y=f(x) , în domeniul căreia f(x+T)=f(x-T)=f(x) este adevărat pentru orice x, se numește functie periodica cu perioada T \neq 0 .

Repetarea graficului funcției pe orice segment al axei absciselor, care are lungimea T .

Intervale în care funcția este pozitivă, adică f (x) > 0 - segmente ale axei absciselor, care corespund punctelor graficului funcției care se află deasupra axei absciselor.

f(x) > 0 pe (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Lacune în care funcția este negativă, adică f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Limitarea funcției

mărginit de jos se obișnuiește să se numească o funcție y=f(x), x \in X când există un număr A pentru care inegalitatea f(x) \geq A este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită mai jos: y=\sqrt(1+x^(2)) deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pentru orice x .

mărginit de sus o funcție y=f(x), x \in X este numită dacă există un număr B pentru care inegalitatea f(x) \neq B este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită mai jos: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pentru orice x \in [-1;1] .

Limitat se obișnuiește să se numească o funcție y=f(x), x \in X când există un număr K > 0 pentru care inegalitatea \left | f(x) \dreapta | \neq K pentru orice x \in X .

Exemplu de funcție mărginită: y=\sin x este mărginit pe întreaga dreaptă numerică deoarece \left | \sin x \right | \neq 1.

Funcția de creștere și scădere

Se obișnuiește să se vorbească despre o funcție care crește pe intervalul luat în considerare ca functie de crestere când o valoare mai mare a lui x va corespunde unei valori mai mari a funcției y=f(x) . De aici rezultă că luând din intervalul considerat două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) și x_(1) > x_(2) , va fi y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Se numește o funcție care scade pe intervalul luat în considerare functia descrescatoare când o valoare mai mare a lui x va corespunde unei valori mai mici a funcției y(x) . De aici rezultă că luând din intervalul considerat două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) și x_(1) > x_(2) , va fi y(x_(1))< y(x_{2}) .

Rădăcinile funcției se obișnuiește să se numească punctele în care funcția F=y(x) intersectează axa absciselor (se obțin ca urmare a rezolvării ecuației y(x)=0 ).

a) Dacă o funcție pară crește pentru x > 0, atunci ea scade pentru x< 0

b) Când o funcție pară scade pentru x > 0, atunci crește pentru x< 0

c) Când o funcție impară crește pentru x > 0, atunci crește și pentru x< 0

d) Când o funcție impară scade pentru x > 0, atunci va scădea și pentru x< 0

Extreme ale funcției

Punct minim al funcției y=f(x) se obișnuiește să se numească un astfel de punct x=x_(0) , în care vecinătatea lui va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0) ), iar pentru acestea atunci inegalitatea f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - desemnarea funcției în punctul min.

Funcția punct maxim y=f(x) se obișnuiește să se numească un astfel de punct x=x_(0) , în care vecinătatea lui va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0) ), și apoi inegalitatea f(x) va fi multumit pentru ei< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Stare necesara

Conform teoremei lui Fermat: f"(x)=0, atunci când funcția f(x) , care este diferențiabilă în punctul x_(0) , va apărea un extremum în acest punct.

Stare suficientă

Când semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, atunci x_(0) va fi punctul minim;
x_(0) - va fi un punct maxim doar atunci când derivata își schimbă semnul din minus în plus la trecerea prin punctul staționar x_(0) .

Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe interval

Etape de calcul:

Se caută derivata f"(x) ;
Se găsesc punctele staţionare şi critice ale funcţiei şi se aleg cele aparţinând intervalului;
Valorile funcției f(x) se găsesc la punctele și capetele staționare și critice ale segmentului. Cel mai mic dintre rezultate va fi cea mai mică valoare a funcției, și altele - cel mai mare.

Dependența variabilei y de variabila x, în care fiecare valoare a lui x corespunde unei singure valori a lui y se numește funcție. Notația este y=f(x). Fiecare funcție are o serie de proprietăți de bază, cum ar fi monotonitatea, paritatea, periodicitatea și altele.

Luați în considerare proprietatea de paritate mai detaliat.

O funcție y=f(x) este apelată chiar dacă îndeplinește următoarele două condiții:

2. Valoarea funcției la punctul x aparținând domeniului funcției trebuie să fie egală cu valoarea funcției la punctul -x. Adică, pentru orice punct x, din domeniul funcției, următoarea egalitate f (x) \u003d f (-x) trebuie să fie adevărată.

Graficul unei funcții pare

Dacă construiți un grafic al unei funcții pare, aceasta va fi simetrică față de axa y.

De exemplu, funcția y=x^2 este pară. Hai să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.

Luați un x=3 arbitrar. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prin urmare, f(x) = f(-x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este egală. Mai jos este un grafic al funcției y=x^2.

Figura arată că graficul este simetric față de axa y.

Graficul unei funcții impare

O funcție y=f(x) se numește impară dacă îndeplinește următoarele două condiții:

1. Domeniul funcției date trebuie să fie simetric față de punctul O. Adică dacă un punct a aparține domeniului funcției, atunci și punctul corespunzător -a trebuie să aparțină domeniului funcției date.

2. Pentru orice punct x, din domeniul funcției, trebuie îndeplinită următoarea egalitate f (x) \u003d -f (x).

Graficul unei funcții impare este simetric față de punctul O - originea. De exemplu, funcția y=x^3 este impară. Hai să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.

Luați un x=2 arbitrar. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prin urmare f(x) = -f(x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al funcției y=x^3.

Figura arată clar că funcția impară y=x^3 este simetrică față de origine.

- (Math.) O funcție y \u003d f (x) este numită chiar dacă nu se schimbă atunci când variabila independentă își schimbă doar semnul, adică dacă f (x) \u003d f (x). Dacă f (x) = f (x), atunci funcția f (x) se numește impară. De exemplu, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x este un exemplu de funcție impară. f(x) = x2 este un exemplu de funcție pare. f(x) = x3 ... Wikipedia

O funcție care satisface egalitatea f (x) = f (x). Vedeți funcțiile pare și impare... Marea Enciclopedie Sovietică