Lecția video „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric” este un material vizual pentru a asigura claritatea în explicarea subiectului din lecție. În timpul demonstrației, este luat în considerare principiul formării valorii funcțiilor trigonometrice dintr-un număr, sunt descrise o serie de exemple care învață cum să se calculeze valorile funcțiilor trigonometrice dintr-un număr. Cu ajutorul acestui manual este mai ușor să-ți formezi abilități în rezolvarea problemelor relevante, pentru a realiza memorarea materialului. Utilizarea manualului crește eficacitatea lecției, contribuie la atingerea rapidă a obiectivelor de învățare.

Titlul subiectului este afișat la începutul lecției. Apoi sarcina este de a găsi cosinusul corespunzător unui argument numeric. Se observă că această problemă este rezolvată simplu și acest lucru poate fi demonstrat în mod clar. Ecranul afișează un cerc unitar centrat la origine. Totodată, s-a observat că punctul de intersecție al cercului cu semiaxa pozitivă a axei absciselor este situat în punctul A (1; 0). Este dat un exemplu de punct M, care reprezintă argumentul t=π/3. Acest punct este marcat pe cercul unitar, iar din el coboară o perpendiculară pe axa absciselor. Abscisa găsită a punctului este cosinusul cos t. În acest caz, abscisa punctului va fi x=1/2. Prin urmare cos t=1/2.

Rezumând faptele luate în considerare, se observă că are sens să vorbim despre funcția s=cos t. Se remarcă faptul că elevii au deja unele cunoștințe despre această funcție. Se calculează unele valori ale cosinusului cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. De asemenea, legate de această funcție sunt și funcțiile s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Se observă că au un nume comun pentru toate - funcțiile trigonometrice.

Sunt demonstrate relații importante care sunt folosite în rezolvarea problemelor cu funcții trigonometrice: identitatea de bază sin 2 t+ cos 2 t=1, expresia tangentei și cotangentei în termeni de sinus și cosinus tg t=sin t/cos t, unde t≠ π/2+πk pentru kϵZ, ctg t= cos t/sin t, unde t≠πk pentru kϵZ, precum și raportul tangentei la cotangente tg t ctg t=1 unde t≠πk/2 pentru kϵZ.

În continuare, se propune să se considere demonstrația relației 1+ tan 2 t=1/ cos 2 t, cu t≠π/2+πk pentru kϵZ. Pentru a demonstra identitatea, este necesar să se reprezinte tg 2 t ca un raport dintre sinus și cosinus, iar apoi să se aducă termenii din partea stângă la un numitor comun 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. Folosind identitatea trigonometrică de bază, obținem 1 la numărător, adică expresia finală 1/ cos 2 t. Q.E.D.

Identitatea 1+ ctg 2 t=1/ sin 2 t se dovedește în mod similar, cu t≠πk pentru kϵZ. La fel ca în demonstrația anterioară, cotangenta este înlocuită cu raportul corespunzător dintre cosinus și sinus, iar ambii termeni din partea stângă se reduc la un numitor comun 1+ ctg 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin2t. După aplicarea identității trigonometrice de bază la numărător, obținem 1/ sin 2 t. Aceasta este expresia dorită.

Se are în vedere soluția de exemple, în care se aplică cunoștințele dobândite. În prima sarcină, trebuie să găsiți valorile costului, tgt, ctgt, dacă se cunoaște sinusul numărului sint=4/5 și t aparține intervalului π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

În continuare, luăm în considerare soluția unei probleme similare în care tangenta tgt=-8/15 este cunoscută, iar argumentul este limitat la valorile 3π/2

Pentru a afla valoarea sinusului, folosim definiția tangentei tgt = sint / cost. Din el găsim sint= tgt cost=(-8/15)(15/17)=-8/17. Știind că cotangenta este funcția inversă a tangentei, găsim ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Lecția video „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric” este folosită pentru a crește eficiența unei lecții de matematică la școală. În cursul învățământului la distanță, acest material poate fi folosit ca ajutor vizual pentru formarea abilităților de rezolvare a problemelor, unde există funcții trigonometrice ale unui număr. Pentru a dobândi aceste abilități, studentului i se poate recomanda să ia în considerare în mod independent materialul vizual.

INTERPRETAREA TEXTULUI:

Tema lecției este „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric”.

Orice număr real t poate fi asociat cu un număr definit în mod unic cos t. Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuați următorii pași:

1) pe planul de coordonate, poziționați cercul numeric astfel încât centrul cercului să coincidă cu originea coordonatelor, iar punctul de plecare A al cercului să lovească punctul (1; 0);

2) găsiți un punct pe cerc care corespunde numărului t;

3) găsiți abscisa acestui punct. Acesta este costul.

Prin urmare, vom vorbi despre funcția s \u003d cos t (es este egal cu cosinusul lui te), unde t este orice număr real. Avem deja o idee despre această funcție:

• a învățat cum să calculeze unele valori, de exemplu, cos 0=1, cos = 0, cos =, etc. (cosinusul lui zero este egal cu unu, cosinusul lui pi cu doi este egal cu zero, cosinusul lui pi cu trei este egal cu o secundă și așa mai departe).
• și din moment ce valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt interconectate, ne-am făcut o idee despre încă trei funcții: s= sint; s=tgt; s=ctgt. (es este egal cu sinusul lui te, es este egal cu tangenta lui te, es este egal cu cotangentei lui te)

Toate aceste funcții se numesc funcții trigonometrice ale argumentului numeric t.

Din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, urmează câteva relații:

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus pătrat te plus cosinus pătrat te este egal cu unu)

2)tgt = la t ≠ + πk, kϵZ

3) ctgt = la t ≠ πk, kϵZ (cotangenta lui te este egală cu raportul dintre cosinusul lui te și sinusul lui te când te nu este egal cu vârful lui ka, care aparține lui z).

4) tgt ∙ ctgt = 1 pentru t ≠ , kϵZ

Demonstrăm încă două formule importante:

Luați în considerare exemple.

EXEMPLUL 1. Găsiți costul, tgt, ctgt dacă sint = și< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Decizie. Din prima relație, găsim pătratul cosinus te egal cu unu minus pătratul sinus te: cos 2 t \u003d 1 - sin 2 t.

Deci, cos 2 t = 1 -() 2 = (cosinusul pătratului lui te este nouă douăzeci și cincimi), adică cost = (cosinusul lui te este egal cu trei cincimi) sau cost = - (cosinusul lui te este egal cu trei cincimi) lui te este egal cu minus trei cincimi). Prin condiție, argumentul t aparține celui de-al doilea trimestru, iar în el cost t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Deci cosinusul te este egal cu minus trei cincimi, cost = - .

Calculați tangenta te:

tgt = = ׃ (-)= - ;(tangenta lui te este egală cu raportul dintre sinusul lui te și cosinusul lui te, ceea ce înseamnă patru cincimi la minus trei cincimi și este egală cu minus patru treimi)

În consecință, calculăm (cotangenta numărului te, deoarece cotangenta lui te este egală cu raportul dintre cosinusul lui te și sinusul lui te,) ctgt = = - .

(cotangenta lui te este minus trei sferturi).

Răspuns: cost = - , tgt= - ; ctgt = - . (Răspunsul va fi completat pe măsură ce decideți)

EXEMPLU 2. Se știe că tgt = - și< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Decizie. Folosim acest raport, înlocuind valoarea din această formulă, obținem:

1 + (-) 2 \u003d (unul pe pătrat cosinus al lui te este egal cu suma unu și pătratul minus opt cincisprezecele). De aici găsim cos 2 t =

(cosinusul pătrat al lui te este două sute douăzeci și cinci două sute optzeci și nouă de zecimi). Deci cost = (cosinus te este egal cu cincisprezece șaptesprezece) sau

cost = . Prin condiție, argumentul t aparține trimestrului al patrulea, unde cost>0. Prin urmare, cost = .(cosenus te este cincisprezece șaptesprezece)

Aflați valoarea argumentului sinus te. Deoarece din raport (aratați raportul tgt = la t ≠ + πk, kϵZ) sinusul lui te este egal cu produsul tangentei lui te cu cosinusul lui te, înlocuind apoi valoarea argumentului te..tangentei lui te este egal cu minus opt cincisprezecele .. prin condiție, iar cosinusul lui te este egal cu rezolvat mai devreme, obținem

sint = tgt ∙ cost = (-) ∙ = - , (sinusul lui te este egal cu minus opt șaptesprezecele)

ctgt == - . (deoarece cotangentei lui te este reciproca tangentei, înseamnă că cotangentei lui te este minus cincisprezece al optsprezecelea)

Definiție. Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric sunt funcțiile trigonometrice cu același nume ale unui unghi egal cu radiani.

Să clarificăm această definiție cu exemple concrete.

Exemplul 1. Calculați valoarea lui . Aici ne referim la un număr abstract irațional. Prin definitie. Asa de, .

Exemplul 2. Calculați valoarea lui . Aici prin 1,5 înțelegem un număr abstract. După cum este definit (a se vedea anexa II).

Exemplul 3. Calculați valoarea În mod similar cu cea precedentă, obținem (vezi Anexa II).

Deci, pe viitor, sub argumentul funcțiilor trigonometrice, vom înțelege unghiul (arc) sau doar un număr, în funcție de problema pe care o rezolvăm. Și în unele cazuri, argumentul poate fi o valoare care are o altă dimensiune, precum timpul, etc. Numind argumentul unghi (arc), putem înțelege prin acesta numărul cu care se măsoară în radiani.

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele lecției:

1. Dezvoltarea deprinderilor și abilităților de a aplica formule trigonometrice pentru a simplifica expresii trigonometrice.
2. Implementarea principiului abordării activității în predarea elevilor, dezvoltarea abilităților de comunicare și toleranță a elevilor, capacitatea de a asculta și de a-i auzi pe ceilalți și de a-și exprima opinia.
3. Creșterea interesului elevilor pentru matematică.

Tip de lecție: Instruire.

Tip de lecție: lecție de dezvoltare a abilităților.

Forma de studiu: grup.

Tip de grup: grup stând împreună. Elevi de diferite niveluri de învățare, conștientizare la această materie, studenți compatibili, ceea ce le permite să se completeze și să se îmbogățească reciproc.

Echipament: bord; o bucată de cretă; tabel „Trigonometru”; foi de traseu; cartonașe cu litere (A, B, C.) pentru finalizarea testului; plăcuțe cu numele echipajului; fișe de evaluare; tabele cu numele etapelor traseului; magneți, complex multimedia.

În timpul orelor

Elevii stau în grupuri: 4 grupuri de 5-6 persoane. Fiecare grup este un echipaj de vehicule cu nume corespunzătoare denumirilor funcțiilor trigonometrice, condus de un timonier. Fiecărui echipaj i se dă o fișă de traseu și se stabilește scopul: să treacă cu succes traseul dat, fără erori. Lecția este însoțită de o prezentare.

I. Moment organizatoric.

Profesorul raportează tema lecției, scopul lecției, cursul lecției, planul de lucru al grupelor, rolul cârmaciilor.

Discurs introductiv al profesorului:

– Baieti! Notați numărul și tema lecției: „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric”.

Astăzi, în lecție, vom învăța:

1. Calculați valorile funcțiilor trigonometrice;
2. Simplificați expresiile trigonometrice.

Pentru aceasta trebuie să știți:

1. Definiții ale funcțiilor trigonometrice
2. Relații trigonometrice (formule).

Se știe de mult că un cap este bun, dar doi este mai bine, motiv pentru care lucrezi în grup astăzi. De asemenea, se știe că drumul va fi stăpânit de cel plimbat. Dar trăim într-o epocă a vitezei și timpul este prețios, ceea ce înseamnă că putem spune așa: „Riderul va stăpâni drumul”, așa că astăzi vom avea o lecție sub forma jocului Mathematical Rally. Fiecare grup este echipajul mașinii, condus de timonier.

Scopul jocului:

• parcurge cu succes traseul pentru fiecare echipaj;
• dezvăluie campionii de raliu.

Numele echipajelor corespunde mărcii mașinii pe care faceți alergarea.

Sunt prezentate echipajele și comandanții lor:

• Echipaj - "sinus"
• Echipaj - "cosinus"
• Echipaj - „tangentă”
• Echipaj - „cotangent”

Motto-ul cursei: „Grăbește-te încet!”

Trebuie să alergi pe „terenul matematic” cu multe obstacole.

Fiecărui echipaj au fost eliberate foi de traseu. Echipajele care cunosc definiții și formule trigonometrice vor putea depăși obstacolele.

În timpul alergării, fiecare cârmaș conduce echipajul, ajutând și evaluând contribuția fiecărui membru al echipajului la depășirea traseului sub formă de „plusuri” și „minusuri” în foaia de punctaj. Pentru fiecare răspuns corect, grupul primește un „+”, un „- incorect”.

Trebuie să depășiți următoarele etape ale drumului:

Eu pun în scenă. SDA (reguli ale drumului).
etapa a II-a. Inspecţie.
etapa a III-a. Curse de cros.
etapa a IV-a. Oprirea bruscă este un accident.
etapa V. Oprire.
etapa a VI-a. Finalul.
etapa a VII-a. Rezultate.

Și așa pe drum!

Eu pun în scenă. SDA (reguli ale drumului).

1) În fiecare echipaj, cârmacii distribuie bilete fiecărui membru al echipajului cu întrebări teoretice:

1. Spuneți în sferturi definiția sinusului numărului t și a semnelor acestuia.
2. Spuneți în sferturi definiția cosinusului numărului t și a semnelor acestuia.
3. Numiți cele mai mici și cele mai mari valori ale sin t și cos t.
4. Spuneți în sferturi definiția tangentei numărului t și a semnelor acestuia.
5. Spuneți definiția cotangentei numărului t și a semnelor sale în sferturi.
6. Spuneți-ne cum să găsim valoarea funcției sin t dintr-un număr t cunoscut.

2) Strângeți formulele „fărâmițate”. Există o masă pe o tablă secretă (vezi mai jos). Echipajele trebuie să ajusteze formulele. Fiecare echipă scrie răspunsul pe tablă sub forma unui rând de litere corespunzătoare (în perechi).

Răspuns: ab, vg, de, arici, zi, yk.

etapa a II-a. Inspecţie.

Lucrare orală: test.

Pe tabla secretă scrie: sarcină: simplificați expresia.

Răspunsurile sunt scrise lângă el. Echipajele determină răspunsurile corecte în 1 min. și ridicați setul corespunzător de litere.

Raspuns: S.V.A.

etapa a III-a. Curse de cros.

3 minute la echipaje pentru o întâlnire pentru rezolvarea sarcinii, iar apoi reprezentanții echipajelor scriu soluția pe tablă. Când reprezentanții echipajului termină de notat soluția primei sarcini, toți elevii (împreună cu profesorul) verifică corectitudinea și raționalitatea soluțiilor și le notează într-un caiet. Timonierii evaluează contribuția fiecărui membru al echipajului cu semnele „+” și „-” în fișele de evaluare.

Sarcini din manual:

• Echipaj - "sinus": Nr 118 g;
• Echipaj - „cosinus”: Nr 122 a;
• Echipaj - „tangent”: Nr 123 g;
• Echipaj - „cotangent”: nr. 125

etapa a IV-a. Oprirea bruscă este un accident.

– Mașina ta s-a stricat. Masina ta trebuie reparata.

Declarațiile sunt date pentru fiecare echipaj, dar conțin erori. Găsiți aceste greșeli și explicați de ce au fost făcute. Declarațiile folosesc funcții trigonometrice care corespund mărcilor mașinilor dvs.

etapa V. Oprire.

Ești obosit și trebuie să te odihnești. În timp ce echipajul se odihnește, cârmacii rezumă rezultatele preliminare: ei au în vedere „plusurile” și „minusurile” membrilor echipajului și ale echipajului în ansamblu.

Pentru studenti:

3 sau mai multe „+” - scor „5”;
2 „+” - scor „4”;
1 "+" - scor "3".

Pentru echipaje:„+” și „-” se anulează reciproc. Numai caracterele rămase sunt numărate.

Ghiciți șarada.

Din numere iei prima mea silabă,
Al doilea - de la cuvântul „mândru”.
Și conduci al treilea cai,
Al patrulea va fi behăitul unei oi.
A cincea mea silabă este aceeași cu prima
Ultima literă din alfabet este a șasea,
Și dacă ghiciți bine,
Apoi la matematică vei primi o secțiune ca aceasta.
(Trigonometrie)

Cuvântul „trigonometrie” (din cuvintele grecești „trigonon” – un triunghi și „metreo” – măsoară) înseamnă „măsurarea triunghiurilor”. Apariția trigonometriei este asociată cu dezvoltarea geografiei și astronomiei - știința mișcării corpurilor cerești, structura și dezvoltarea universului.

Ca urmare a observațiilor astronomice efectuate, a devenit necesară determinarea poziției luminilor, calcularea distanțelor și unghiurilor. Deoarece unele distanțe, de exemplu, de la Pământ la alte planete, nu au putut fi măsurate direct, oamenii de știință au început să dezvolte metode pentru a găsi relații între laturile și colțurile unui triunghi, în care două vârfuri sunt situate pe pământ, iar al treilea. este o planetă sau o stea. Astfel de relații pot fi derivate prin studierea diferitelor triunghiuri și proprietățile lor. De aceea, calculele astronomice au condus la soluția (adică, găsirea elementelor) a triunghiului. Aceasta este ceea ce face trigonometria.

Începuturile trigonometriei au fost descoperite în Babilonul antic. Oamenii de știință babilonieni au reușit să prezică eclipsele de soare și de lună. Unele informații de natură trigonometrică se găsesc în monumentele antice ale altor popoare din antichitate.

etapa a VI-a. Finalul.

Pentru a trece cu succes linia de sosire, rămâne să strângi și să faci o „smucitură”. Este foarte important în trigonometrie să poți determina rapid valorile sin t, cost, tgt, ctg t, unde 0 ≤ t ≤ . Închide manualele.

Echipajele numesc alternativ valorile funcțiilor sin t, cost, tgt, ctg t dacă:

etapa a VII-a. Rezultate.

Rezultatele jocului.

Cârmacii predau fișe de evaluare. Echipajul devenit campion al „Rallyului Matematic” este hotărât și se caracterizează munca celorlalte grupe. Următoarele sunt numele celor care au primit note „5” și „4”.

Rezultatele lecției.

- Baieti! Ce ai învățat astăzi în clasă? (simplificați expresiile trigonometrice; găsiți valorile funcțiilor trigonometrice). Ce trebuie să știi pentru asta?

• definițiile și proprietățile sin t, cos t, tg t, ctg t;
• relații care raportează valorile diferitelor funcții trigonometrice;
• semnele funcțiilor trigonometrice de-a lungul sferturilor de cerc numeric.
• valorile funcțiilor trigonometrice ale primului sfert al cercului numeric.

- Cred că înțelegi că formulele trebuie să fie bine cunoscute pentru a le aplica corect. De asemenea, ați realizat că trigonometria este o parte foarte importantă a matematicii, deoarece este folosită în alte științe: astronomie, geografie, fizică etc.

Teme pentru acasă:

• pentru elevii care au primit „5” și „4”: §6, nr.128a, 130a, 134a.
• pentru alți studenți: §6, #119g, #120g, #121g.

Funcții trigonometrice ale unui argument numeric. Proprietăți și grafice ale funcțiilor trigonometrice.

Definiția 1: Funcția numerică dată de formula y=sin x se numește sinus.

Această curbă se numește sinusoid.

Proprietățile funcției y=sin x

2. Domeniu de funcții: E(y)=[-1; unu]

3. Funcția de paritate:

y=sin x – impar,.

4. Periodicitate: sin(x+2πn)=sin x, unde n este un număr întreg.

Această funcție ia aceleași valori după un anumit interval. Această proprietate a unei funcții este numită periodicitate. Intervalul este perioada funcției.

Pentru funcția y=sin x, perioada este 2π.

Funcția y=sin x este periodică, cu perioada T=2πn, n este un număr întreg.

Cea mai mică perioadă pozitivă T=2π.

Matematic, aceasta poate fi scrisă ca: sin(x+2πn)=sin x, unde n este un număr întreg.

Definiția 2: Funcția numerică dată de formula y=cosx se numește cosinus.

Proprietățile funcției y=cos x

1. Domeniul de aplicare: D(y)=R

2. Domeniul de aplicare al funcției: E(y)=[-1;1]

3. Funcția de paritate:

y=cos x este par.

4. Periodicitate: cos(x+2πn)=cos x, unde n este un număr întreg.

Funcția y=cos x este periodică, cu perioada Т=2π.

Definiția 3: Funcția numerică dată de formula y=tg x se numește tangentă.

Proprietățile funcției y=tg x

1. Domeniul funcției: D(y) - toate numerele reale cu excepția π/2+πk, k este un număr întreg. Pentru că în aceste puncte tangenta nu este definită.

2. Domeniul de aplicare al funcției: E(y)=R.

3. Funcția de paritate:

y=tg x este impar.

4. Periodicitate: tg(x+πk)=tg x, unde k este un număr întreg.

Funcția y=tg x este periodică cu perioada π.

Definiția 4: Funcția numerică dată de formula y=ctg x se numește cotangentă.

Proprietățile funcției y=ctg x

1. Domeniul funcției: D(y) - toate numerele reale, cu excepția πk, k este un număr întreg. Pentru că în aceste puncte cotangenta nu este definită.