Conceptele de geometrie fractală și fractală, care au apărut la sfârșitul anilor '70, au devenit ferm stabilite în viața de zi cu zi a matematicienilor și programatorilor încă de la mijlocul anilor '80. Cuvântul fractal este derivat din latinescul fractus și în traducere înseamnă format din fragmente. A fost propus de Benoit Mandelbrot în 1975 pentru a se referi la structurile neregulate, dar auto-asemănătoare pe care le-a studiat. Nașterea geometriei fractale este de obicei asociată cu publicarea cărții lui Mandelbrot „The Fractal Geometry of Nature” în 1977. Lucrările sale au folosit rezultatele științifice ale altor oameni de știință care au lucrat în perioada 1875-1925 în același domeniu (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Dar numai în vremea noastră a fost posibil să se combine lucrările lor într-un singur sistem.
Rolul fractalilor în grafica computerizată astăzi este destul de mare. Aceștia vin în ajutor, de exemplu, atunci când se cere, cu ajutorul mai multor coeficienți, definirea unor linii și suprafețe de formă foarte complexă. Din punctul de vedere al graficii pe computer, geometria fractală este indispensabilă pentru generarea de nori artificiali, munți și suprafața mării. De fapt, s-a găsit o modalitate de a reprezenta cu ușurință obiecte complexe non-euclidiene, ale căror imagini sunt foarte asemănătoare cu cele naturale.
Una dintre principalele proprietăți ale fractalilor este auto-asemănarea. În cel mai simplu caz, o mică parte a fractalului conține informații despre întregul fractal. Definiția unui fractal dată de Mandelbrot este următoarea: „Un fractal este o structură formată din părți care sunt într-un fel similare cu întregul”.

Există un număr mare de obiecte matematice numite fractali (triunghiul Sierpinski, fulgul de zăpadă Koch, curba Peano, mulțimea Mandelbrot și atractorii Lorentz). Fractalii descriu cu mare acuratețe multe fenomene fizice și formațiuni ale lumii reale: munți, nori, curenți turbulenți (vortex), rădăcini, ramuri și frunze de copaci, vase de sânge, ceea ce este departe de a corespunde unor forme geometrice simple. Pentru prima dată, Benoit Mandelbrot a vorbit despre natura fractală a lumii noastre în lucrarea sa fundamentală „The Fractal Geometry of Nature”.
Termenul de fractal a fost introdus de Benoit Mandelbrot în 1977 în lucrarea sa fundamentală „Fractali, formă, haos și dimensiune”. Potrivit lui Mandelbrot, cuvântul fractal provine din cuvintele latine fractus - fractional și frangere - a rupe, care reflectă esența fractalului ca un set „rupt”, neregulat.

Clasificarea fractalilor.

Pentru a reprezenta întreaga varietate de fractali, este convenabil să se recurgă la clasificarea lor general acceptată. Există trei clase de fractali.

1. Fractali geometrici.

Fractalii din această clasă sunt cei mai evidenti. În cazul bidimensional, ele sunt obținute folosind o polilinie (sau suprafață în cazul tridimensional) numită generator. Într-o etapă a algoritmului, fiecare dintre segmentele care alcătuiesc linia întreruptă este înlocuită cu un generator de linie întreruptă la scara corespunzătoare. Ca urmare a repetării nesfârșite a acestei proceduri, se obține un fractal geometric.

Luați în considerare, de exemplu, unul dintre astfel de obiecte fractale - curba triadică Koch.

Construcția curbei Koch triadice.

Luați un segment de dreaptă de lungime 1. Să-i spunem sămânță. Să împărțim sămânța în trei părți egale de lungime 1/3, aruncăm partea din mijloc și înlocuim-o cu o linie întreruptă de două verigi de lungime 1/3.

Obținem o linie întreruptă, constând din 4 legături cu o lungime totală de 4/3, - așa-numita prima generatie.

Pentru a trece la următoarea generație a curbei Koch, este necesar să aruncați și să înlocuiți partea de mijloc a fiecărei legături. În consecință, lungimea celei de-a doua generații va fi de 16/9, a treia - 64/27. dacă continuați acest proces până la infinit, atunci rezultatul va fi o curbă Koch triadică.

Să luăm acum în considerare curba Koch triadică sfântă și să aflăm de ce fractalii au fost numiți „monstri”.

În primul rând, această curbă nu are lungime - după cum am văzut, cu numărul de generații, lungimea ei tinde spre infinit.

În al doilea rând, este imposibil să construiți o tangentă la această curbă - fiecare dintre punctele sale este un punct de inflexiune în care derivata nu există - această curbă nu este netedă.

Lungimea și netezimea sunt proprietățile fundamentale ale curbelor, care sunt studiate atât de geometria euclidiană, cât și de geometria lui Lobachevsky și Riemann. Metodele tradiționale de analiză geometrică s-au dovedit a fi inaplicabile curbei Koch triadice, astfel încât curba Koch s-a dovedit a fi un monstru - un „monstru” printre locuitorii neted ai geometriilor tradiționale.

Construcția „dragonului” Harter-Hateway.

Pentru a obține un alt obiect fractal, trebuie să schimbați regulile de construcție. Fie generatoarea două segmente egale conectate în unghi drept. În generația zero, înlocuim segmentul unitar cu acest element generator, astfel încât unghiul să fie deasupra. Putem spune că, cu o astfel de înlocuire, are loc o schimbare în mijlocul legăturii. La construirea generațiilor următoare, se respectă regula: prima verigă din stânga este înlocuită cu un element generator, astfel încât mijlocul verigii este deplasat la stânga direcției de mișcare, iar la înlocuirea verigilor următoare, direcţiile de deplasare ale punctelor medii ale segmentelor trebuie să alterneze. Figura prezintă primele câteva generații și a 11-a generație a curbei construite conform principiului descris mai sus. Curba cu n care tinde spre infinit se numește dragonul Harter-Hateway.
În grafica computerizată, utilizarea fractalilor geometrici este necesară atunci când se obține imagini cu copaci și tufișuri. Fractalii geometrici bidimensionali sunt folosiți pentru a crea texturi tridimensionale (modele pe suprafața unui obiect).

2. Fractali algebrici

Acesta este cel mai mare grup de fractali. Ele sunt obținute folosind procese neliniare în spații n-dimensionale. Procesele bidimensionale sunt cele mai studiate. Interpretând un proces iterativ neliniar ca un sistem dinamic discret, se poate folosi terminologia teoriei acestor sisteme: portret de fază, proces în stare staționară, atractor etc.
Se știe că sistemele dinamice neliniare au mai multe stări stabile. Starea în care se află sistemul dinamic după un anumit număr de iterații depinde de starea sa inițială. Prin urmare, fiecare stare stabilă (sau, după cum se spune, un atractor) are o anumită zonă de stări inițiale, din care sistemul va cădea în mod necesar în stările finale considerate. Astfel, spațiul de fază al sistemului este împărțit în zone de atracție a atractorilor. Dacă spațiul de fază este bidimensional, atunci prin colorarea regiunilor de atracție cu culori diferite se poate obține un portret de fază color al acestui sistem (proces iterativ). Schimbând algoritmul de selecție a culorii, puteți obține modele fractale complexe cu modele multicolore fanteziste. O surpriză pentru matematicieni a fost capacitatea de a genera structuri non-triviale foarte complexe folosind algoritmi primitivi.

Setul Mandelbrot.

Ca exemplu, luați în considerare mulțimea Mandelbrot. Algoritmul pentru construcția sa este destul de simplu și se bazează pe o expresie iterativă simplă: Z = Z[i] * Z[i] + C, Unde Ziși C sunt variabile complexe. Iterațiile sunt efectuate pentru fiecare punct de plecare dintr-o regiune dreptunghiulară sau pătrată - un subset al planului complex. Procesul iterativ continuă până când Z[i] nu va depăși cercul cu raza 2, al cărui centru se află în punctul (0,0), (aceasta înseamnă că atractorul sistemului dinamic este la infinit) sau după un număr suficient de mare de iterații (de exemplu , 200-500) Z[i] converge spre un anumit punct al cercului. În funcţie de numărul de iteraţii în timpul cărora Z[i] rămas în interiorul cercului, puteți seta culoarea punctului C(dacă Z[i] rămâne în interiorul cercului pentru un număr suficient de mare de iterații, procesul de iterație se oprește și acest punct raster este vopsit în negru).

3. Fractali stocastici

O altă clasă binecunoscută de fractali sunt fractalii stocastici, care se obțin dacă oricare dintre parametrii săi sunt modificați aleatoriu într-un proces iterativ. Rezultă astfel obiecte foarte asemănătoare cu cele naturale - copaci asimetrici, linii de coastă indentate etc. Fractalii stocastici bidimensionali sunt utilizați în modelarea terenului și a suprafeței mării.
Există și alte clasificări ale fractalilor, de exemplu, împărțirea fractalilor în deterministe (algebrice și geometrice) și nedeterministe (stochastice).

Despre utilizarea fractalilor

În primul rând, fractalii sunt un domeniu al artei matematice uimitoare, când cu ajutorul celor mai simple formule și algoritmi se obțin imagini de o frumusețe și complexitate extraordinară! În contururile imaginilor construite, sunt adesea ghicite frunze, copaci și flori.

Una dintre cele mai puternice aplicații ale fractalilor se află în grafica computerizată. În primul rând, este compresia fractală a imaginilor și, în al doilea rând, construcția de peisaje, copaci, plante și generarea de texturi fractale. Fizica și mecanica modernă abia încep să studieze comportamentul obiectelor fractale. Și, desigur, fractalii sunt aplicați direct în matematică în sine.
Avantajele algoritmilor de compresie a imaginilor fractale sunt dimensiunea foarte mică a fișierului împachetat și timpul scurt de recuperare a imaginii. Imaginile ambalate fractal pot fi scalate fără apariția pixelării. Dar procesul de compresie durează mult și uneori durează ore întregi. Algoritmul de împachetare fractal cu pierderi vă permite să setați nivelul de compresie, similar cu formatul jpeg. Algoritmul se bazează pe căutarea unor bucăți mari din imagine similare unor bucăți mici. Și numai piesa care este similară cu care este scrisă în fișierul de ieșire. La comprimare, se folosește de obicei o grilă pătrată (piesele sunt pătrate), ceea ce duce la o ușoară unghiulare la restaurarea imaginii, o grilă hexagonală este lipsită de un astfel de dezavantaj.
Iterated a dezvoltat un nou format de imagine, „Sting”, care combină compresia fractală și „wave” (cum ar fi jpeg) fără pierderi. Noul format vă permite să creați imagini cu posibilitatea de scalare ulterioară de înaltă calitate, iar volumul fișierelor grafice este de 15-20% din volumul imaginilor necomprimate.
Tendința fractalilor de a arăta ca munți, flori și copaci este exploatată de unii editori grafici, de exemplu, norii fractali din studioul 3D MAX, munții fractali din World Builder. Copacii fractali, munții și peisajele întregi sunt date prin formule simple, sunt ușor de programat și nu se destramă în triunghiuri și cuburi separate atunci când sunt abordate.
Nu puteți ignora utilizarea fractalilor în matematică în sine. În teoria mulțimilor, mulțimea Cantor demonstrează existența unor mulțimi perfecte nicăieri dense; în teoria măsurării, funcția auto-afină „Scara Cantor” este un bun exemplu de funcție de distribuție a măsurii singulare.
În mecanică și fizică, fractalii sunt folosiți datorită proprietății lor unice de a repeta contururile multor obiecte naturale. Fractalii vă permit să aproximați copacii, suprafețele de munte și fisurile cu o precizie mai mare decât aproximările cu segmente de linie sau poligoane (cu aceeași cantitate de date stocate). Modelele fractale, ca și obiectele naturale, au „rugozitate”, iar această proprietate este păstrată la o creștere arbitrar de mare a modelului. Prezența unei măsuri uniforme pe fractali face posibilă aplicarea integrării, a teoriei potențialului, pentru a le folosi în locul obiectelor standard în ecuațiile deja studiate.
Odată cu abordarea fractală, haosul încetează să mai fie dezordine albastră și capătă o structură fină. Știința fractală este încă foarte tânără și are un viitor mare în față. Frumusețea fractalilor este departe de a fi epuizată și încă ne va oferi multe capodopere - cele care încântă ochiul și cele care aduc adevărată plăcere minții.

Despre construirea de fractali

Metoda aproximărilor succesive

Privind această imagine, nu este greu de înțeles cum poate fi construit un fractal auto-similar (în acest caz, piramida Sierpinski). Trebuie să luăm o piramidă obișnuită (tetraedru), apoi să-i tăiem mijlocul (octaedru), în urma căreia obținem patru piramide mici. Cu fiecare dintre ele efectuăm aceeași operație și așa mai departe. Aceasta este o explicație oarecum naivă, dar ilustrativă.

Să luăm în considerare esența metodei mai strict. Să existe un sistem IFS, de ex. sistem de cartografiere a contractiei S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (de exemplu, pentru piramida noastră, mapările arată ca S i (x)=1/2*x+o i , unde o i sunt vârfurile tetraedrului, i=1,..,4). Apoi alegem o mulțime compactă A 1 în R n (în cazul nostru alegem un tetraedru). Și determinăm prin inducție șirul mulțimilor A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Se știe că mulțimile A k cu k crescător aproximează atractorul necesar al sistemului S.

Rețineți că fiecare dintre aceste iterații este un atractor sistem recurent de funcții iterate(termen englez DigraphIFS, RIFS Si deasemenea IFS direcționat prin grafic) și, prin urmare, sunt ușor de construit cu programul nostru.

Construire prin puncte sau metoda probabilistica

Aceasta este cea mai simplă metodă de implementat pe un computer. Pentru simplitate, luați în considerare cazul unui set plat auto-afin. Asa ca hai sa

) este un sistem de contracții afine. Mapări S

reprezentabil ca: S

Matrice fixă ​​de dimensiuni 2x2 și o

Coloană vectorială bidimensională.

• Să luăm un punct fix al primei mapări S 1 ca punct de plecare:
  x:=o1;
  Aici folosim faptul că toate punctele fixe de contracție S 1 ,..,S m aparțin fractalului. Un punct arbitrar poate fi ales ca punct de plecare, iar secvența de puncte generată de acesta se va micșora la un fractal, dar apoi câteva puncte suplimentare vor apărea pe ecran.
• Observați punctul curent x=(x 1 ,x 2) pe ecran:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Alegem aleatoriu un număr j de la 1 la m și recalculăm coordonatele punctului x:
  j:=Aleatoriu(m)+1;
  x:=S j (x);
• Trecem la pasul 2 sau, dacă am făcut un număr suficient de mare de iterații, atunci ne oprim.

Notă. Dacă coeficienții de compresie ai mapărilor S i sunt diferiți, atunci fractalul va fi umplut cu puncte inegal. Dacă mapările S i sunt asemănări, acest lucru poate fi evitat complicând ușor algoritmul. Pentru a face acest lucru, la pasul 3 al algoritmului, numărul j de la 1 la m trebuie ales cu probabilitățile p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , unde r i reprezintă coeficienții de contracție ai mapărilor S i , iar numărul s (numit dimensiunea asemănării) se găsește din ecuația r 1 s +...+r m s =1. Soluția acestei ecuații poate fi găsită, de exemplu, prin metoda lui Newton.

Despre fractali și algoritmii lor

Fractal provine de la adjectivul latin „fractus”, iar în traducere înseamnă format din fragmente, iar verbul latin corespunzător „frangere” înseamnă a rupe, adică a crea fragmente neregulate. Conceptele de geometrie fractală și fractală, care au apărut la sfârșitul anilor '70, au devenit ferm stabilite în viața de zi cu zi a matematicienilor și programatorilor încă de la mijlocul anilor '80. Termenul a fost propus de Benoit Mandelbrot în 1975 pentru a se referi la structurile neregulate, dar auto-asemănătoare pe care le-a studiat. Nașterea geometriei fractale este de obicei asociată cu publicarea în 1977 a cărții lui Mandelbrot „The Fractal Geometry of Nature” – „The Fractal Geometry of Nature”. Lucrările sale au folosit rezultatele științifice ale altor oameni de știință care au lucrat în perioada 1875-1925 în același domeniu (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Ajustări

Permiteți-mi să fac câteva ajustări la algoritmii propuși în cartea lui H.-O. Paytgen și P.H. Richter „The Beauty of Fractals” M. 1993, pur și simplu pentru a eradica greșelile de scriere și pentru a facilita înțelegerea proceselor, deoarece după ce le-am studiat, multe au rămas un mister pentru mine. Din păcate, acești algoritmi „de înțeles” și „simpli” duc un stil de viață zguduitor.

Construcția fractalilor se bazează pe o anumită funcție neliniară a unui proces complex cu feedback z \u003d z 2 + c, deoarece z și c sunt numere complexe, atunci z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, este necesar pentru a o descompune în x și y pentru a ajunge la mai real pentru planul omului comun:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Planul format din toate perechile (x, y) poate fi considerat ca cu valori fixe p și q, precum și pentru cele dinamice. În primul caz, sortarea tuturor punctelor (x, y) ale planului conform legii și colorarea acestora în funcție de numărul de repetări ale funcției necesare ieșirii din procesul iterativ sau necolorarea (negru) când este maxim admisibil. de repetiții este crescută, obținem maparea setului Julia. Dacă, dimpotrivă, determinăm perechea inițială de valori (x, y) și urmărim soarta coloristică a acesteia cu valorile care se schimbă dinamic ale parametrilor p și q, atunci obținem imagini numite mulțimi Mandelbrot.

Pe problema algoritmilor de colorare fractali.

De obicei corpul setului este reprezentat ca un câmp negru, deși este evident că culoarea neagră poate fi înlocuită cu oricare alta, dar și acesta este un rezultat neinteresant. A obține o imagine a unui set pictat în toate culorile este o sarcină care nu poate fi rezolvată folosind operații ciclice, deoarece numărul de iterații care formează corpul mulțimii este egal cu maximul posibil și întotdeauna același. Este posibil să colorați setul în culori diferite folosind rezultatul verificării condiției de ieșire din buclă (z_magnitude) ca număr de culoare, sau similar cu acesta, dar cu alte operații matematice.

Aplicarea „microscopului fractal”

pentru a demonstra fenomene de frontieră.

Atractorii sunt centrele care conduc lupta pentru dominație în avion. Între atractori există o chenar reprezentând un model învolburat. Prin creșterea scării de considerare în limitele mulțimii, se pot obține modele netriviale care reflectă starea de haos determinist - un fenomen comun în lumea naturală.

Obiectele studiate de geografi formează un sistem cu limite foarte complex organizate, în legătură cu care implementarea lor devine o sarcină practică dificilă. Complexele naturale au nuclee de tipicitate acționând ca atractori care își pierd puterea de influență asupra teritoriului pe măsură ce acesta se îndepărtează.

Folosind un microscop fractal pentru seturile Mandelbrot și Julia, se poate forma o idee despre procesele și fenomenele limită, care sunt la fel de complexe, indiferent de scara de considerare și, astfel, se poate pregăti percepția unui specialist pentru o întâlnire cu o dinamică și aparent haotică. în spațiu și timp obiect natural, pentru înțelegerea naturii geometriei fractale. Culorile multicolore și muzica fractală vor lăsa cu siguranță o amprentă profundă în mintea studenților.

Mii de publicații și resurse uriașe de internet sunt dedicate fractalilor, totuși, pentru mulți specialiști departe de informatică, acest termen pare cu totul nou. Fractalii, ca obiecte de interes pentru specialiști în diverse domenii ale cunoașterii, ar trebui să-și primească locul cuvenit în cursul informaticii.

Exemple

SIERPINSKI GRID

Acesta este unul dintre fractalii cu care Mandelbrot a experimentat atunci când a dezvoltat conceptele de dimensiuni și iterații fractale. Triunghiurile formate prin unirea punctelor mijlocii ale triunghiului mai mare sunt tăiate din triunghiul principal pentru a forma un triunghi, cu mai multe găuri. În acest caz, inițiatorul este un triunghi mare, iar șablonul este o operație de tăiere a triunghiurilor similare cu cel mai mare. De asemenea, puteți obține o versiune 3D a unui triunghi folosind un tetraedru obișnuit și decupând tetraedre mai mici. Dimensiunea unui astfel de fractal este ln3/ln2 = 1,584962501. A obtine covor Sierpinski, luați un pătrat, împărțiți-l în nouă pătrate și tăiați-l pe cel din mijloc. Vom face același lucru cu restul, pătrate mai mici. În final, se formează o grilă fractală plată, care nu are zonă, dar cu conexiuni infinite. În forma sa spațială, buretele Sierpinski este transformat într-un sistem de forme traversante, în care fiecare element traversant este înlocuit constant cu un fel propriu. Această structură este foarte asemănătoare cu o secțiune de țesut osos. Într-o zi, astfel de structuri care se repetă vor deveni un element al structurilor de construcție. Statica și dinamica lor, crede Mandelbrot, merită studiate îndeaproape.

CURBA KOCH

Curba Koch este unul dintre cei mai tipici fractali determiniști. A fost inventat în secolul al XIX-lea de un matematician german pe nume Helge von Koch, care, în timp ce studia lucrările lui Georg Kontor și Karl Weiersstraße, a dat peste descrieri ale unor curbe ciudate cu un comportament neobișnuit. Inițiator - linie directă. Generatorul este un triunghi echilateral, ale cărui laturi sunt egale cu o treime din lungimea segmentului mai mare. Aceste triunghiuri sunt adăugate la mijlocul fiecărui segment din nou și din nou. În cercetările sale, Mandelbrot a experimentat mult cu curbele Koch și a obținut figuri precum Insulele Koch, Crucile Koch, Fulgii de zăpadă Koch și chiar reprezentări tridimensionale ale curbei Koch, folosind un tetraedru și adăugând tetraedre mai mici la fiecare dintre fețele sale. Curba Koch are dimensiunea ln4/ln3 = 1,261859507.

Fractal Mandelbrot

Acesta NU este setul Mandelbrot pe care îl vedeți destul de des. Mulțimea Mandelbrot se bazează pe ecuații neliniare și este un fractal complex. Aceasta este, de asemenea, o variantă a curbei Koch, în ciuda faptului că acest obiect nu arată ca acesta. Inițiatorul și generatorul sunt, de asemenea, diferite de cele folosite pentru a crea fractali bazați pe principiul curbei Koch, dar ideea rămâne aceeași. În loc să atașați triunghiuri echilaterale unui segment de curbă, pătratele sunt atașate unui pătrat. Datorită faptului că acest fractal ocupă exact jumătate din spațiul alocat la fiecare iterație, are o dimensiune fractală simplă de 3/2 = 1,5.

PENTAGONUL LUI DARER

Un fractal arată ca o grămadă de pentagoane strânse împreună. De fapt, se formează folosind ca inițiator un pentagon și triunghiuri isoscele, raportul dintre latura cea mai mare și cea mai mică în care este exact egal cu așa-numitul raport de aur (1,618033989 sau 1/(2cos72)) ca generator. . Aceste triunghiuri sunt tăiate de la mijlocul fiecărui pentagon, rezultând o formă care arată ca 5 pentagoane mici lipite de unul mare. O variantă a acestui fractal poate fi obținută folosind un hexagon ca inițiator. Acest fractal se numește Steaua lui David și este destul de asemănător cu versiunea hexagonală a lui Koch’s Snowflake. Dimensiunea fractală a pentagonului Darer este ln6/ln(1+g), unde g este raportul dintre lungimea laturii mai mari a triunghiului și lungimea laturii mai mici. În acest caz, g este raportul de aur, deci dimensiunea fractală este de aproximativ 1,86171596. Dimensiunea fractală a Stelei lui David este ln6/ln3 sau 1,630929754.

Fractali complexe

De fapt, dacă măriți o zonă mică a oricărui fractal complex și apoi faceți același lucru pe o zonă mică a acelei zone, cele două măriri vor fi semnificativ diferite una de cealaltă. Cele două imagini vor fi foarte asemănătoare în detaliu, dar nu vor fi complet identice.

Fig 1. Aproximarea mulțimii Mandelbrot

Comparați, de exemplu, imaginile setului Mandelbrot prezentate aici, dintre care una a fost obținută prin creșterea unei zone a celeilalte. După cum puteți vedea, nu sunt absolut identice, deși pe ambele vedem un cerc negru, din care tentaculele în flăcări merg în direcții diferite. Aceste elemente se repetă la infinit în setul Mandelbrot în proporție descrescătoare.

Fractalii determiniști sunt liniari, în timp ce fractalii complexi nu sunt. Fiind neliniari, acești fractali sunt generați de ceea ce Mandelbrot a numit ecuații algebrice neliniare. Un bun exemplu este procesul Zn+1=ZnІ + C, care este ecuația folosită pentru a construi mulțimile Mandelbrot și Julia de gradul doi. Rezolvarea acestor ecuații matematice implică numere complexe și imaginare. Când ecuația este interpretată grafic în plan complex, rezultă o figură ciudată în care liniile drepte se transformă în curbe, apar efecte de auto-asemănare la diferite niveluri de scară, deși nu lipsite de deformații. În același timp, întreaga imagine în ansamblu este imprevizibilă și foarte haotică.

După cum puteți vedea uitându-vă la imagini, fractalii complexi sunt într-adevăr foarte complexi și imposibil de creat fără ajutorul unui computer. Pentru a obține rezultate pline de culoare, acest computer trebuie să aibă un coprocesor matematic puternic și un monitor de înaltă rezoluție. Spre deosebire de fractalii determiniști, fractalii complecși nu sunt calculati în 5-10 iterații. Aproape fiecare punct de pe ecranul computerului este ca un fractal separat. În timpul procesării matematice, fiecare punct este tratat ca un model separat. Fiecare punct corespunde unei anumite valori. Ecuația este încorporată pentru fiecare punct și se efectuează, de exemplu, 1000 de iterații. Pentru a obține o imagine relativ nedistorsionată într-o perioadă de timp acceptabilă pentru computerele de acasă, este posibil să se efectueze 250 de iterații pentru un punct.

Majoritatea fractalilor pe care îi vedem astăzi sunt frumos colorați. Poate că imaginile fractale au câștigat o valoare estetică atât de mare tocmai datorită schemelor lor de culori. După ce ecuația este calculată, computerul analizează rezultatele. Dacă rezultatele rămân stabile sau fluctuează în jurul unei anumite valori, punctul va deveni de obicei negru. Dacă valoarea la un pas sau altul tinde spre infinit, punctul este vopsit într-o culoare diferită, poate albastru sau roșu. În timpul acestui proces, computerul atribuie culori tuturor vitezelor de mișcare.

De obicei, punctele care se mișcă rapid sunt vopsite în roșu, în timp ce cele mai lente sunt galbene și așa mai departe. Punctele întunecate sunt probabil cele mai stabile.

Fractalii complecși diferă de fractalii determiniști prin faptul că sunt infinit de complexi, dar pot fi generați printr-o formulă foarte simplă. Fractalii determiniști nu au nevoie de formule sau ecuații. Luați doar niște hârtie de desen și puteți construi o sită Sierpinski de până la 3 sau 4 iterații fără nicio dificultate. Încearcă să o faci cu multă Julia! Este mai ușor să măsori lungimea coastei Angliei!

SET MANDERBROT

Fig 2. Mulțimea Mandelbrot

Seturile Mandelbrot și Julia sunt probabil cele mai comune dintre fractalii complexi. Ele pot fi găsite în multe reviste științifice, coperți de cărți, cărți poștale și economizor de ecran de computer. Setul Mandelbrot, care a fost construit de Benoit Mandelbrot, este probabil prima asociere pe care oamenii o au atunci când aud cuvântul fractal. Acest fractal, care seamănă cu o carte cu arbore strălucitor și zone cerc atașate la el, este generat de formula simplă Zn+1=Zna+C, unde Z și C sunt numere complexe și a este un număr pozitiv.

Setul Mandelbrot cel mai des întâlnit este mulțimea Mandelbrot de gradul 2, adică a=2. Faptul că mulțimea Mandelbrot nu este doar Zn+1=ZnІ+C, ci un fractal al cărui exponent în formulă poate fi orice număr pozitiv a indus în eroare mulți oameni. Pe această pagină vedeți un exemplu de set Mandelbrot pentru diferite valori ale exponentului a.
Figura 3. Aspectul bulelor la a=3,5

Procesul Z=Z*tg(Z+C) este de asemenea popular. Datorită includerii funcției tangente, se obține mulțimea Mandelbrot, înconjurată de o zonă asemănătoare unui măr. Când se utilizează funcția cosinus, se obțin efecte de bule de aer. Pe scurt, există un număr infinit de moduri de a modifica setul Mandelbrot pentru a produce diverse imagini frumoase.

MULTIPLA JULIA

În mod surprinzător, mulțimile Julia sunt formate după aceeași formulă ca și mulțimea Mandelbrot. Setul Julia a fost inventat de matematicianul francez Gaston Julia, după care a fost numit setul. Prima întrebare care apare după o cunoaștere vizuală cu mulțimile Mandelbrot și Julia este „dacă ambii fractali sunt generați de aceeași formulă, de ce sunt atât de diferiți?” Priviți mai întâi pozele cu setul Julia. Destul de ciudat, există diferite tipuri de seturi Julia. Când desenați un fractal folosind diferite puncte de plecare (pentru a începe procesul de iterație), sunt generate imagini diferite. Acest lucru se aplică numai setului Julia.

Fig 4. Setul Julia

Deși nu poate fi văzut în imagine, un fractal Mandelbrot este de fapt o grămadă de fractali Julia conectați împreună. Fiecare punct (sau coordonată) al mulțimii Mandelbrot corespunde unui fractal Julia. Mulțimile Julia pot fi generate folosind aceste puncte ca valori inițiale în ecuația Z=ZI+C. Dar asta nu înseamnă că dacă selectezi un punct pe fractalul Mandelbrot și îl mărești, poți obține un fractal Julia. Aceste două puncte sunt identice, dar numai în sens matematic. Dacă luăm acest punct și îl calculăm conform acestei formule, putem obține fractalul Julia corespunzător unui anumit punct al fractalului Mandelbrot.

fractal

Fractal (lat. fractus- zdrobit, spart, spart) - o figură geometrică care are proprietatea auto-asemănării, adică compusă din mai multe părți, fiecare dintre ele similară cu întreaga figură în ansamblu.În matematică, fractalii sunt înțeleși ca mulțimi de puncte din spațiul euclidian care au o dimensiune metrică fracțională (în sensul lui Minkowski sau Hausdorff) sau o dimensiune metrică, alta decât cea topologică. Fractasmul este o știință exactă independentă de studiu și compilare a fractalilor.

Cu alte cuvinte, fractalii sunt obiecte geometrice cu o dimensiune fracțională. De exemplu, dimensiunea unei linii este 1, o zonă este 2 și un volum este 3. Pentru un fractal, valoarea dimensiunii poate fi între 1 și 2 sau între 2 și 3. De exemplu, dimensiunea fractală a unui mototolit bila de hârtie este de aproximativ 2,5. În matematică, există o formulă complexă specială pentru calcularea dimensiunii fractalilor. Ramificațiile tuburilor traheale, frunzele de pe copaci, venele din braț, râul sunt fractali. În termeni simpli, un fractal este o figură geometrică, o anumită parte din care se repetă iar și iar, schimbându-se în dimensiune - acesta este principiul auto-asemănării. Fractalii sunt asemănători cu ei înșiși, sunt similari cu ei înșiși la toate nivelurile (adică, la orice scară). Există multe tipuri diferite de fractali. În principiu, se poate argumenta că tot ceea ce există în lumea reală este un fractal, fie că este un nor sau o moleculă de oxigen.

Cuvântul „haos” sugerează ceva imprevizibil, dar, de fapt, haosul este destul de ordonat și respectă anumite legi. Scopul studierii haosului și fractalilor este de a prezice tipare care, la prima vedere, pot părea imprevizibile și complet haotice.

Pionierul în acest domeniu al cunoașterii a fost matematicianul franco-american, profesorul Benoit B. Mandelbrot. La mijlocul anilor 1960, a dezvoltat geometria fractală, al cărei scop era să analizeze formele sparte, încrețite și neclare. Setul Mandelbrot (prezentat în figură) este prima asociere pe care o are o persoană când aude cuvântul „fractal”. Apropo, Mandelbrot a stabilit că dimensiunea fractală a liniei de coastă a Angliei este de 1,25.

Fractalii sunt din ce în ce mai folosiți în știință. Ei descriu lumea reală chiar mai bine decât fizica sau matematica tradițională. Mișcarea browniană este, de exemplu, mișcarea aleatorie și haotică a particulelor de praf suspendate în apă. Acest tip de mișcare este poate cel mai practic aspect al geometriei fractale. Mișcarea browniană aleatorie are un răspuns în frecvență care poate fi folosit pentru a prezice fenomene care implică cantități mari de date și statistici. De exemplu, Mandelbrot a prezis modificări ale prețului lânii folosind mișcarea browniană.

Cuvântul „fractal” poate fi folosit nu numai ca termen matematic. Un fractal din presă și literatura de știință populară poate fi numit figuri care au oricare dintre următoarele proprietăți:

Are o structură non-trivială la toate scările. Aceasta este diferența față de figurile obișnuite (cum ar fi un cerc, o elipsă, graficul unei funcții netede): dacă luăm în considerare un mic fragment al unei figuri obișnuite la o scară foarte mare, acesta va arăta ca un fragment de linie dreaptă . Pentru un fractal, mărirea nu duce la o simplificare a structurii, la toate scările vom vedea o imagine la fel de complexă.

Este auto-similar sau aproximativ auto-similar.

Are o dimensiune metrică fracțională sau o dimensiune metrică superioară celei topologice.

Cea mai utilă utilizare a fractalilor în calcul este compresia datelor fractale. În același timp, imaginile sunt comprimate mult mai bine decât se face prin metode convenționale - până la 600:1. Un alt avantaj al compresiei fractale este că atunci când măriți, nu există niciun efect de pixelare care să înrăutățească drastic imaginea. În plus, o imagine comprimată fractal după mărire arată adesea chiar mai bine decât înainte. Informaticii știu, de asemenea, că fractalii de complexitate și frumusețe infinite pot fi generați cu formule simple. Industria filmului folosește pe scară largă tehnologia grafică fractală pentru a crea elemente de peisaj realiste (nori, roci și umbre).

Studiul turbulenței în fluxuri se adaptează foarte bine la fractali. Acest lucru permite o mai bună înțelegere a dinamicii fluxurilor complexe. Flăcările pot fi modelate și folosind fractali. Materialele poroase sunt bine reprezentate sub formă fractală datorită faptului că au o geometrie foarte complexă. Pentru a transmite date la distanțe, se folosesc antene în formă de fractal, ceea ce le reduce foarte mult dimensiunea și greutatea. Fractalii sunt folosiți pentru a descrie curbura suprafețelor. O suprafață neuniformă este caracterizată de o combinație de doi fractali diferiți.

Multe obiecte din natură au proprietăți fractale, cum ar fi coastele, norii, coroanele copacilor, fulgii de zăpadă, sistemul circulator și sistemul alveolar al oamenilor sau animalelor.

Fractalii, în special în avion, sunt populari pentru combinația lor de frumusețe și ușurință de construcție cu un computer.

Primele exemple de mulțimi auto-similare cu proprietăți neobișnuite au apărut în secolul al XIX-lea (de exemplu, funcția Bolzano, funcția Weierstrass, mulțimea Cantor). Termenul „fractal” a fost introdus de Benoit Mandelbrot în 1975 și a câștigat o mare popularitate odată cu lansarea cărții sale „The Fractal Geometry of Nature” în 1977.

Figura din stânga arată un fractal Darer Pentagon ca exemplu simplu, care arată ca o grămadă de pentagoane strânse împreună. De fapt, se formează folosind un pentagon ca inițiator și triunghiuri isoscele, raportul dintre latura cea mai mare și cea mai mică în care este exact egal cu așa-numitul raport de aur (1,618033989 sau 1/(2cos72°)) ca generator. Aceste triunghiuri sunt tăiate de la mijlocul fiecărui pentagon, rezultând o formă care arată ca 5 pentagoane mici lipite de unul mare.

Teoria haosului spune că sistemele neliniare complexe sunt ereditar imprevizibile, dar în același timp susține că modul de exprimare a unor astfel de sisteme imprevizibile se dovedește a fi adevărat nu în egalități exacte, ci în reprezentări ale comportamentului sistemului - în grafice ale atractorilor ciudați care arată ca niște fractali. Astfel, teoria haosului, considerată de mulți drept imprevizibilitate, se dovedește a fi știința predictibilității chiar și în cele mai instabile sisteme. Doctrina sistemelor dinamice arată că ecuațiile simple pot genera un astfel de comportament haotic în care sistemul nu revine niciodată la o stare stabilă și nicio regularitate nu apare în același timp. Adesea, astfel de sisteme se comportă destul de normal până la o anumită valoare a unui parametru cheie, apoi experimentează o tranziție în care există două posibilități de dezvoltare ulterioară, apoi patru și, în final, un set haotic de posibilități.

Schemele proceselor care au loc în obiectele tehnice au o structură fractală clar definită. Structura sistemului tehnic minim (ST) presupune fluxul în cadrul TS a două tipuri de procese - principale și suport, iar această împărțire este condiționată și relativă. Orice proces poate fi principal în raport cu procesele suport, iar oricare dintre procesele suport poate fi considerat principal în raport cu procesele suport „lor”. Cercurile din diagramă indică efectele fizice care asigură fluxul acelor procese, pentru care nu este necesar să se creeze special „propriul” TS. Aceste procese sunt rezultatul interacțiunii dintre substanțe, câmpuri, substanțe și câmpuri. Mai exact, efectul fizic este un vehicul, al cărui principiu nu îl putem influența și nu vrem sau nu avem ocazia să intervenim în structura lui.

Fluxul procesului principal prezentat în diagramă este asigurat de existența a trei procese suport care sunt principalele pentru TS care le generează. Din motive de corectitudine, observăm că pentru funcționarea chiar și a unui TS minim, trei procese nu sunt în mod clar suficiente, adică. schema este foarte, foarte exagerată.

Totul nu este la fel de simplu precum se arată în diagramă. Un proces util (necesar unei persoane) nu poate fi efectuat cu o eficiență de 100%. Energia disipată este cheltuită pentru crearea proceselor dăunătoare - încălzire, vibrații etc. Ca urmare, în paralel cu procesul benefic, apar și cele dăunătoare. Nu este întotdeauna posibil să înlocuiți un proces „rău” cu unul „bun”, așa că trebuie organizate noi procese pentru a compensa consecințele care sunt dăunătoare sistemului. Un exemplu tipic este nevoia de combatere a frecării, care obligă să organizăm scheme ingenioase de lubrifiere, să folosească materiale anti-frecare scumpe sau să petreacă timp lubrifiind componentele și piesele sau înlocuindu-le periodic.

În legătură cu existența influenței inevitabile a unui mediu schimbător, un proces util poate fi necesar să fie controlat. Managementul poate fi efectuat atât cu ajutorul dispozitivelor automate, cât și direct de către o persoană. Diagrama de proces este de fapt un set de comenzi speciale, de ex. algoritm. Esența (descrierea) fiecărei comenzi este o combinație a unui singur proces util, care însoțește procesele dăunătoare și un set de procese de control necesare. Într-un astfel de algoritm, setul de procese suport este o subrutină obișnuită - și aici găsim și un fractal. Metoda lui R. Koller, creată în urmă cu un sfert de secol, face posibilă crearea de sisteme cu un set destul de limitat de doar 12 perechi de funcții (procese).

Seturi auto-asemănătoare cu proprietăți neobișnuite în matematică

Începând de la sfârșitul secolului al XIX-lea, în matematică au apărut exemple de obiecte autosimilare cu proprietăți patologice din punct de vedere al analizei clasice. Acestea includ următoarele:

setul Cantor este un set perfect de nenumărat nicăieri dens. Prin modificarea procedurii, se poate obține, de asemenea, un set nicăieri dens de lungime pozitivă.

triunghiul Sierpinski („fața de masă”) și covorul Sierpinski sunt analogi ale lui Cantor așezat în avion.

Buretele lui Menger - un analog al lui Cantor situat în spațiul tridimensional;

exemple de Weierstrass și van der Waerden ale unei funcții continue diferențiabile nicăieri.

Curba Koch - o curbă continuă care nu se intersectează cu sine de lungime infinită care nu are tangentă în niciun punct;

curba Peano este o curbă continuă care trece prin toate punctele unui pătrat.

De asemenea, traiectoria unei particule browniene nu este diferențiabilă cu probabilitatea 1. Dimensiunea lui Hausdorff este de două

Procedura recursiva pentru obtinerea curbelor fractale

Construcția curbei Koch

Există o procedură recursivă simplă pentru obținerea curbelor fractale într-un plan. Definim o linie întreruptă arbitrară cu un număr finit de legături, numită generator. În continuare, înlocuim fiecare segment din el cu un generator (mai precis, o linie întreruptă similară unui generator). În linia întreruptă rezultată, înlocuim din nou fiecare segment cu un generator. Continuând până la infinit, în limită obținem o curbă fractală. Figura din dreapta arată primii patru pași ai acestei proceduri pentru curba Koch.

Exemple de astfel de curbe sunt:

curba dragonului,

curba Koch (fulg de zăpadă Koch),

Curba Levy,

curba Minkowski,

curba Hilbert,

Dragon rupt (curb) (Fractal Harter-Hateway),

curba Peano.

Folosind o procedură similară, se obține un arbore pitagoreic.

Fractalii ca puncte fixe de mapări de contracție

Proprietatea de auto-asemănare poate fi exprimată matematic riguros după cum urmează. Fie hărți de contracție ale avionului. Luați în considerare următoarea mapare pe mulțimea tuturor submulților compacte (închise și mărginite) ale planului:

Se poate arăta că maparea este o mapare de contracție pe mulțimea de mulțimi compacte cu metrica Hausdorff. Prin urmare, după teorema lui Banach, această mapare are un punct fix unic. Acest punct fix va fi fractalul nostru.

Procedura recursivă pentru obținerea curbelor fractale descrisă mai sus este un caz special al acestei construcții. În ea, toate mapările sunt mapări similare și reprezintă numărul de linkuri generatoare.

Pentru triunghiul Sierpinski și maparea , , sunt homoteții cu centre la vârfurile unui triunghi regulat și coeficient 1/2. Este ușor de observat că triunghiul Sierpinski se transformă în sine sub cartografiere.

În cazul în care mapările sunt transformări de similaritate cu coeficienți , dimensiunea fractalului (în unele condiții tehnice suplimentare) poate fi calculată ca soluție a ecuației . Deci, pentru triunghiul Sierpinski obținem .

Conform aceleiași teoreme Banach, pornind de la orice mulțime compactă și aplicând acesteia iterații ale mapării, obținem o succesiune de mulțimi compacte convergente (în sensul metricii Hausdorff) către fractalul nostru.

Fractali în dinamică complexă

Julia a stabilit

Un alt set de Julia

Fractalii apar în mod natural în studiul sistemelor dinamice neliniare. Cel mai studiat caz este atunci când sistemul dinamic este definit prin iterații ale unui polinom sau ale unei funcții holomorfe a unei variabile complexe pe plan. Primele studii în această zonă datează de la începutul secolului al XX-lea și sunt asociate cu numele de Fatou și Julia.

Lasa F(z) - polinom, z 0 este un număr complex. Luați în considerare următoarea secvență: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Suntem interesați de comportamentul acestei secvențe așa cum avem tendința de a face n catre infinit. Această secvență poate:

tinde spre infinit

străduiește-te pentru final

prezintă un comportament ciclic în limită, de exemplu: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

să se comporte haotic, adică să nu demonstreze niciunul dintre cele trei tipuri de comportament menționate.

Seturi de valori z 0, pentru care secvența prezintă un anumit tip de comportament, precum și seturi de puncte de bifurcație între diferite tipuri, au adesea proprietăți fractale.

Astfel, mulțimea Julia este mulțimea punctelor de bifurcație pentru polinom F(z)=z 2 +c(sau altă funcție similară), adică acele valori z 0 , pentru care comportamentul secvenței ( z n) se poate schimba dramatic cu modificări arbitrar mici z 0 .

O altă opțiune pentru obținerea mulțimilor fractale este introducerea unui parametru în polinom F(z) și luând în considerare setul acelor valori ale parametrilor pentru care secvența ( z n) demonstrează un anumit comportament pentru un fix z 0 . Astfel, mulțimea Mandelbrot este mulțimea tuturor pentru care ( z n) pentru F(z)=z 2 +cși z 0 nu merge la infinit.

Un alt exemplu binecunoscut de acest fel sunt bazinele lui Newton.

Este popular să se creeze imagini grafice frumoase pe baza dinamicii complexe prin colorarea punctelor plane în funcție de comportamentul sistemelor dinamice corespunzătoare. De exemplu, pentru a completa setul Mandelbrot, puteți colora punctele în funcție de viteza de efort ( z n) la infinit (definit, să zicem, ca cel mai mic număr n, unde | z n| depășește o valoare mare fixă A.

Biomorfii sunt fractali construiți pe baza unei dinamici complexe și asemănătoare cu organismele vii.

Fractali stocastici

Fractal randomizat bazat pe setul Julia

Obiectele naturale au adesea o formă fractală. Pentru modelarea lor se pot folosi fractali stocastici (aleatorii). Exemple de fractali stocastici:

traiectoria mișcării browniene în plan și în spațiu;

limita traiectoriei mișcării browniene pe plan. În 2001, Lawler, Schramm și Werner au demonstrat conjectura lui Mandelbrot că dimensiunea sa este 4/3.

Evoluțiile Schramm-Löwner sunt curbe fractale conform invariante care apar în modelele critice bidimensionale ale mecanicii statistice, de exemplu, în modelul Ising și percolație.

diverse tipuri de fractali randomizați, adică fractali obținuți folosind o procedură recursivă, în care se introduce un parametru aleator la fiecare pas. Plasma este un exemplu de utilizare a unui astfel de fractal în grafica computerizată.

În natură

Vedere frontală a traheei și bronhiilor

arbore bronșic

rețeaua de vase de sânge

Aplicație

Stiintele Naturii

În fizică, fractalii apar în mod natural la modelarea proceselor neliniare, cum ar fi fluxul de fluid turbulent, procesele complexe de difuzie-adsorbție, flăcări, nori etc. Fractalii sunt utilizați la modelarea materialelor poroase, de exemplu, în petrochimie. În biologie, ele sunt folosite pentru a modela populații și pentru a descrie sistemele de organe interne (sistemul vaselor de sânge).

Inginerie radio

antene fractale

Utilizarea geometriei fractale în proiectarea dispozitivelor de antenă a fost aplicată pentru prima dată de inginerul american Nathan Cohen, care locuia atunci în centrul orașului Boston, unde era interzisă instalarea de antene externe pe clădiri. Nathan a decupat o figură sub forma unei curbe Koch din folie de aluminiu și a lipit-o pe o coală de hârtie, apoi a atașat-o de receptor. Cohen și-a fondat propria companie și a lansat producția lor în serie.

Informatica

Compresia imaginii

Articolul principal: Algoritmul de compresie fractală

arbore fractal

Există algoritmi de compresie a imaginilor care folosesc fractali. Ele se bazează pe ideea că în locul imaginii în sine, puteți stoca o hartă de contracție pentru care această imagine (sau unele apropiate) este un punct fix. Una dintre variantele acestui algoritm a fost folosită [ sursa nespecificata 895 zile] de Microsoft atunci când și-a publicat enciclopedia, dar acești algoritmi nu au fost folosiți pe scară largă.

Grafică pe computer

Un alt arbore fractal

Fractalii sunt folosiți pe scară largă în grafica computerizată pentru a construi imagini ale obiectelor naturale, cum ar fi copacii, tufișurile, peisajele montane, suprafețele mării și așa mai departe. Există multe programe folosite pentru a genera imagini fractale, vezi Fractal Generator (program).

rețele descentralizate

Sistemul de atribuire a adresei IP al lui Netsukuku folosește principiul compresiei informațiilor fractale pentru a stoca în mod compact informații despre nodurile rețelei. Fiecare nod din rețeaua Netsukuku stochează doar 4 KB de informații despre starea nodurilor vecine, în timp ce orice nod nou se conectează la rețeaua generală fără a fi nevoie de o reglementare centrală a distribuției adreselor IP, ceea ce, de exemplu, este tipic pentru Internet. Astfel, principiul compresiei informațiilor fractale garantează o funcționare complet descentralizată și, prin urmare, cea mai stabilă a întregii rețele.

Proprietățile fractale nu sunt un capriciu și nu un fruct al fanteziei inactive a matematicienilor. Studiindu-le, învățăm să distingem și să prezicem trăsături importante ale obiectelor și fenomenelor din jurul nostru, care înainte, dacă nu ignorate complet, erau estimate doar aproximativ, calitativ, cu ochii. De exemplu, comparând dimensiunile fractale ale unor semnale complexe, encefalograme sau suflu cardiac, medicii pot diagnostica unele boli grave într-un stadiu incipient, când pacientul poate fi în continuare ajutat. De asemenea, analistul, comparând comportamentul anterior al prețurilor, la începutul formării modelului, poate prevedea dezvoltarea ulterioară a acestuia, evitând astfel erorile grosolane de prognoză.

Neregularitatea fractalilor

Prima proprietate a fractalilor este neregularitatea lor. Dacă un fractal este descris de o funcție, atunci proprietatea neregularității în termeni matematici va însemna că o astfel de funcție nu este diferențiabilă, adică nu este netedă în niciun punct. De fapt, aceasta are cea mai directă relație cu piața. Fluctuațiile de preț sunt uneori atât de volatile și schimbătoare încât derutează mulți comercianți. Sarcina noastră este să rezolvăm tot acest haos și să-l punem la ordine.

Știi că: luând de pe locul 1 până pe locul 10 în concursul de conturi demo „O realitate virtuală” de la Alpari, puteți câștiga de la 70 USD la 500 USD. Suma premiului este disponibilă pentru retragere fără restricții. Câștigătorii care au luat premii în perioada 11-30 vor primi de la 1000 la 10000 puncte bonus .

Auto-asemănarea fractalilor

A doua proprietate spune că un fractal este un obiect care are proprietatea auto-asemănării. Acesta este un model recursiv, din care fiecare parte repetă în dezvoltarea sa dezvoltarea întregului model în ansamblu și este reprodusă la diferite scări fără modificări vizibile. Cu toate acestea, încă apar modificări, care ne pot afecta foarte mult percepția asupra obiectului.

Auto-asemănarea înseamnă că obiectul nu are o scară caracteristică: dacă ar avea o astfel de scară, ai distinge imediat copia mărită a fragmentului de imaginea originală. Obiectele auto-asemănătoare au un număr infinit de scale pentru toate gusturile. Esența auto-asemănării poate fi explicată prin următorul exemplu. Imaginați-vă că aveți o imagine a unei linii geometrice „reale”, „lungime fără lățime”, așa cum a definit-o Euclid, și vă jucați cu un prieten, încercând să ghiciți dacă vă arată imaginea originală (originală) sau un imaginea oricărui fragment de linie dreaptă. Oricât de mult ai încerca, nu vei putea niciodată să distingi originalul de copia mărită a fragmentului, linia dreaptă este dispusă la fel în toate părțile sale, este asemănătoare cu ea însăși, dar această proprietate remarcabilă a acesteia este oarecum ascunsă de structura necomplicată a dreptei în sine, „dreapta” ei (Fig. 7).

Dacă, de asemenea, nu puteți distinge un instantaneu al unui obiect de un instantaneu mărit corespunzător al oricăruia dintre fragmentele sale, atunci aveți un obiect auto-similar. Toți fractalii care au cel puțin o anumită simetrie sunt auto-similari. Și asta înseamnă că unele fragmente din structura lor sunt strict repetate la anumite intervale spațiale. Evident, aceste obiecte pot fi de orice natură, iar aspectul și forma lor rămân neschimbate indiferent de scară. Un exemplu de fractal auto-similar:

În finanțe, acest concept nu este o abstractizare fără temei, ci o reformulare teoretică a unei afirmații practice de piață - și anume, că mișcările unei acțiuni sau monede sunt superficial similare, indiferent de intervalul de timp și preț. Observatorul nu poate spune după aspectul graficului dacă datele sunt pentru modificări săptămânale, zilnice sau orare.

Desigur, nu toți fractalii au o structură atât de regulată, care se repetă la nesfârșit, precum acele minunate exponate ale viitorului muzeu de artă fractală, care s-au născut din imaginația matematicienilor și artiștilor. Mulți fractali găsiți în natură (suprafețele de falie ale rocilor și metalelor, norii, cotațiile valutare, curgerile turbulente, spumă, geluri, contururile particulelor de funingine etc.) le lipsește asemănarea geometrică, dar reproduc cu încăpățânare proprietățile statistice ale întregului în fiecare fragment. Fractalii cu o formă neliniară de dezvoltare au fost denumiți de Mandelbrot drept multifractali. Un multifractal este un obiect cvasi-fractal cu o dimensiune fractală variabilă. Desigur, obiectele și procesele reale sunt mult mai bine descrise de multifractali.

O astfel de auto-asemănare statistică, sau auto-asemănarea în medie, distinge fractalii de o varietate de obiecte naturale.

Luați în considerare un exemplu de auto-asemănare pe piața valutară:

În aceste figuri, vedem că sunt similare, deși au o scară de timp diferită, în Fig. iar scara de 15 minute, în Fig. b barem săptămânal de prețuri. După cum puteți vedea, aceste citate nu au capacitatea de a se repeta perfect unul pe altul, totuși, le putem considera similare.

Chiar și cel mai simplu dintre fractali - fractalii auto-similari geometric - au proprietăți neobișnuite. De exemplu, fulgul de nea von Koch are un perimetru de lungime infinită, deși limitează o zonă finită (Fig. 9). În plus, este atât de înțepător încât este imposibil să desenezi o tangentă la ea în orice punct al conturului (un matematician ar spune că un fulg de zăpadă von Koch nu poate fi diferențiat nicăieri, adică nu este neted în niciun punct).

Mandelbrot a descoperit că rezultatele măsurării fracționale rămân constante pentru diferite grade de îmbunătățire a neregularității obiectului. Cu alte cuvinte, există regularitate (corectitudine, ordine) pentru orice neregulă. Când tratăm ceva ca fiind aleatoriu, indică faptul că nu înțelegem natura acestei întâmplări. În termeni de piață, aceasta înseamnă că formarea acelorași formațiuni tipice trebuie să aibă loc în intervale de timp diferite. O diagramă de un minut va descrie o formație fractală în același mod ca și una lunară. Această „auto-asemănare” întâlnită pe graficele piețelor de mărfuri și financiare arată toate semnele că acțiunile pieței sunt mai apropiate de paradigma comportamentală a „naturii” decât comportamentul analizei economice, fundamentale.

În aceste cifre, puteți găsi confirmarea celor de mai sus. În stânga este un grafic cu o scară de minute, în dreapta este unul săptămânal. Perechile valutare USD/Yen (Fig. 9 (a)) și Euro/Dolar (Fig. 9 (b)) sunt afișate aici cu scări de preț diferite. Chiar dacă perechea valutară JPY/USD are o volatilitate diferită în raport cu EUR/USD, putem observa aceeași structură de mișcare a prețurilor.

dimensiune fractală

A treia proprietate a fractalilor este că obiectele fractale au o altă dimensiune decât euclidiană (cu alte cuvinte, o dimensiune topologică). Dimensiunea fractală este o măsură a complexității curbei. Analizând alternanța secțiunilor cu dimensiuni fractale diferite și modul în care sistemul este afectat de factori externi și interni, se poate învăța să prezică comportamentul sistemului. Și cel mai important, pentru a diagnostica și a prezice condiții instabile.

În arsenalul matematicii moderne, Mandelbrot a găsit o măsură cantitativă convenabilă a imperfecțiunii obiectelor - sinuozitatea conturului, încrețirea suprafeței, fracturarea și porozitatea volumului. A fost propus de doi matematicieni - Felix Hausdorff (1868-1942) și Abram Samoylovich Besikovici (1891-1970). Acum poartă cu merite numele glorioase ale creatorilor săi (dimensiunea Hausdorff-Besikovici) - dimensiunea Hausdorff-Besikovici. Ce este dimensiunea și de ce avem nevoie de ea în raport cu analiza piețelor financiare? Înainte de aceasta, cunoșteam un singur tip de dimensiune - topologică (Fig. 11). Cuvântul dimensiune în sine indică câte dimensiuni are un obiect. Pentru un segment, o linie dreaptă, este egal cu 1, adică. avem o singură dimensiune și anume lungimea unui segment sau a unei linii drepte. Pentru un plan, dimensiunea va fi 2, deoarece avem o dimensiune bidimensională, lungime și lățime. Pentru spațiu sau obiecte solide, dimensiunea este 3: lungime, lățime și înălțime.

Să luăm exemplul jocurilor pe calculator. Dacă jocul este realizat în grafică 3D, atunci este spațial și voluminos, dacă în grafică 2D, grafica este afișată pe un plan (Fig. 10).

Cel mai neobișnuit (ar fi mai corect să spunem - neobișnuit) în dimensiunea Hausdorff-Besikovici a fost că putea lua nu numai numere întregi, ca dimensiune topologică, ci și valori fracționale. Egal cu unu pentru o linie dreaptă (infinită, semi-infinită sau pentru un segment finit), dimensiunea Hausdorff-Besicovitch crește pe măsură ce crește tortuozitatea, în timp ce dimensiunea topologică ignoră cu încăpățânare toate modificările care apar cu linia.

Dimensiunea caracterizează complicația unui set (de exemplu, o linie dreaptă). Dacă este o curbă cu dimensiunea topologică egală cu 1 (linie dreaptă), atunci curba poate fi complicată de un număr infinit de coturi și ramuri în așa măsură încât dimensiunea sa fractală se apropie de două, adică. va umple aproape întregul plan (Fig. 12)

Prin creșterea valorii sale, dimensiunea Hausdorff-Besikovici nu o modifică brusc, așa cum ar face dimensiunea topologică „în locul ei”, trecerea de la 1 imediat la 2. Dimensiunea Hausdorff-Besikovici - și acest lucru la prima vedere poate părea neobișnuit și surprinzător, ia valori fracționale: egal cu unu pentru o linie dreaptă, devine 1,15 pentru o linie ușor sinuoasă, 1,2 pentru o linie mai sinuoasă, 1,5 pentru o linie foarte sinuoasă și așa mai departe.

Pentru a sublinia capacitatea dimensiunii Hausdorff-Besikovici de a lua valori fracționale, non-întregi, Mandelbrot a creat propriul său neologism, numindu-l dimensiunea fractală. Deci, o dimensiune fractală (nu doar Hausdorff-Besikovici, ci orice alta) este o dimensiune care poate lua nu neapărat valori întregi, ci și fracționale.

Pentru fractalii geometrici liniari, dimensiunea caracterizează auto-asemănarea acestora. Luați în considerare fig. 17(A), linia este formată din N=4 segmente, fiecare dintre ele având o lungime de r = 1/3. Ca rezultat, obținem raportul:

D = logN/log(1/r)

Situația este destul de diferită când vorbim de multifractali (neliniari). Aici dimensiunea își pierde sensul ca definiție a asemănării unui obiect și este definită prin diverse generalizări, mult mai puțin naturale decât dimensiunea unică a obiectelor auto-asemănătoare.

Pe piaţa valutară, dimensiunea poate caracteriza volatilitatea cotaţiilor de preţ. Fiecare pereche valutară are propriul comportament în ceea ce privește prețurile. Pentru perechea Liră/Dolar (Fig. 13(a)) este mai calmă decât pentru Euro/Dolar (Fig. 13(b)). Cel mai interesant lucru este că aceste monede se deplasează cu aceeași structură la niveluri de preț, cu toate acestea, au dimensiuni diferite, ceea ce poate afecta tranzacționarea intraday și modificările modelelor care elud aspectul neexperimentat.

Pe fig. Figura 14 arată dimensiunea în raport cu modelul matematic, pentru ca tu să pătrunzi mai adânc în sensul acestui termen. Rețineți că toate cele trei cifre arată același ciclu. Pe fig. iar dimensiunea este 1,2, în Fig. b, dimensiunea este 1,5, iar în fig. în 1.9. Se poate observa că odată cu creșterea dimensiunii, percepția obiectului devine mai complicată, amplitudinea oscilațiilor crește.

Pe piețele financiare, dimensiunea este reflectată nu numai ca volatilitate a prețurilor, ci și ca un detaliu al ciclurilor (valuri). Datorită acesteia, vom putea distinge dacă o undă aparține unei anumite scale de timp. Pe fig. 15 arată perechea euro/dolar pe o scară zilnică de preț. Atenție, puteți vedea clar ciclul format și începutul unui nou ciclu mai mare. Trecând la scara orară și mărind unul dintre cicluri, putem vedea cicluri mai mici și o parte a unuia mare situat pe D1 (Fig. 16). Detalierea buclei, de ex. dimensiunea lor ne permite să determinăm din condiţiile iniţiale cum se poate dezvolta situaţia în viitor. Putem spune că: dimensiunea fractală reflectă proprietatea de invarianță la scară a mulțimii luate în considerare.

Conceptul de invarianță a fost introdus de Mandelbrot din cuvântul „sealant” – scalabil, i.e. când un obiect are proprietatea de invarianță, are scări de afișare diferite.

Pe fig. 16 cercul A evidențiază un mini-ciclu (undă detaliată), cercul B - un val al unui ciclu mai mare. Tocmai din cauza dimensiunii nu putem determina întotdeauna TOATE ciclurile pe aceeași scară de preț.

Vom vorbi despre problemele determinării și dezvoltării proprietăților ciclurilor neperiodice în secțiunea „Ciccuri pe piața valutară”, acum principalul lucru pentru noi a fost să înțelegem cum și unde se manifestă dimensiunea pe piețele financiare.

Astfel, putem spune că fractalii ca modele sunt folosiți atunci când obiectul real nu poate fi reprezentat sub forma unor modele clasice. Și asta înseamnă că avem de-a face cu relații neliniare și cu natura nedeterministă (aleatorie) a datelor. Neliniaritatea în sens ideologic înseamnă multivarianța căilor de dezvoltare, disponibilitatea unei alegeri dintre căi alternative și un anumit ritm de evoluție, precum și ireversibilitatea proceselor evolutive. Neliniaritatea în sens matematic înseamnă un anumit tip de ecuații matematice (ecuații diferențiale neliniare) care conțin mărimile dorite în puteri mai mari de unu sau coeficienți care depind de proprietățile mediului. Un exemplu simplu de sistem dinamic neliniar:

Johnny crește 2 inci pe an. Acest sistem explică modul în care înălțimea lui Johnny se modifică în timp. Fie x(n) înălțimea lui Johnny anul acesta. Fie ca creșterea lui în anul următor să fie scrisă ca x (n + 1). Apoi putem scrie sistemul dinamic sub forma unei ecuații:

x(n+1) = x(n) + 2.

Vedea? Nu este matematică simplă? Dacă introducem înălțimea lui Johnny astăzi x (n) = 38 inchi, atunci în partea dreaptă a ecuației obținem înălțimea lui Johnny anul viitor, x (n+1) = 40 inci:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Deplasarea de la dreapta la stânga într-o ecuație se numește iterație (repetiție). Putem repeta din nou ecuația introducând noua înălțime a lui Johnny de 40 inci pe partea corectă a ecuației (adică x(n) = 40) și obținem x(n+1) = 42. Dacă repetăm ​​(repetăm) ecuația De 3 ori, obținem înălțimea lui Johnny în 3 ani și anume 44 inci, începând cu o înălțime de 38 inci.

Acesta este un sistem dinamic determinist. Dacă vrem să o facem nedeterministă (stochastică), am putea face un model ca acesta: Johnny crește cu 2 inci pe an, mai mult sau mai puțin, și scrieți ecuația ca:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

unde e este o eroare mică (mică în raport cu 2), reprezintă o distribuție de probabilitate.

Să ne întoarcem la ecuația deterministă inițială. Ecuația inițială, x(n+1) = x(n) + 2, este liniară. Liniar înseamnă că adăugați variabile sau constante sau înmulțiți variabile cu constante. De exemplu, ecuația

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

este liniar. Dar dacă înmulțiți variabilele sau le ridicați la o putere mai mare de unu, ecuația (sistemul) va deveni neliniară. De exemplu, ecuația

x(n+1) = x(n) 2

este neliniară deoarece x(n) este pătrat. Ecuația

este neliniară deoarece două variabile, x și y, sunt înmulțite.

Când aplicăm modele clasice (de exemplu, tendință, regresie etc.), spunem că viitorul unui obiect este determinat în mod unic, i.e. depinde în întregime de condițiile inițiale și este susceptibilă de o prognoză clară. Puteți efectua independent unul dintre aceste modele în Excel. Un exemplu de model clasic poate fi reprezentat ca o tendință în continuă scădere sau creștere. Și putem prezice comportamentul acestuia, cunoscând trecutul obiectului (datele inițiale pentru modelare). Și fractalii sunt utilizați în cazul în care obiectul are mai multe opțiuni de dezvoltare, iar starea sistemului este determinată de poziția în care se află în prezent. Adică încercăm să simulăm o dezvoltare haotică. Acest sistem este piața valutară interbancară.

Să considerăm acum cum se poate obține dintr-o linie dreaptă ceea ce numim un fractal, cu proprietățile sale inerente.

Pe fig. 17(A) arată curba Koch. Luați un segment de dreaptă, lungimea lui = 1, adică încă o dimensiune topologică. Acum îl vom împărți în trei părți (fiecare 1/3 din lungime) și vom elimina treimea din mijloc. Dar vom înlocui treimea mijlocie cu două segmente (fiecare 1/3 din lungime), care pot fi reprezentate ca două laturi ale unui triunghi echilateral. Aceasta este etapa a doua (b) a designului prezentat în fig. 17(A). În acest moment avem 4 părți mai mici, fiecare 1/3 din lungime, deci întreaga lungime este 4(1/3) = 4/3. Repetăm ​​apoi acest proces pentru fiecare dintre cei 4 lobi mai mici ai liniei. Aceasta este etapa a treia (c). Acest lucru ne va oferi 16 segmente de linie și mai mici, fiecare 1/9 din lungime. Deci întreaga lungime este acum 16/9 sau (4/3) 2 . Ca rezultat, am obținut o dimensiune fracțională. Dar nu numai acest lucru distinge structura rezultată de o linie dreaptă. A devenit auto-similar și este imposibil să desenați o tangentă în oricare dintre punctele sale (Fig. 17 (B)).

Conţinut

Ce au în comun un copac, un mal de mare, un nor sau vasele de sânge din mâna noastră? La prima vedere, poate părea că toate aceste obiecte nu au nimic în comun. Cu toate acestea, de fapt, există o proprietate a structurii care este inerentă tuturor obiectelor enumerate: acestea sunt auto-asemănătoare. Din ramură, precum și din trunchiul unui copac, procesele mai mici pleacă de la ele - chiar și mai mici etc., adică o ramură este similară cu întregul copac. Sistemul circulator este aranjat într-un mod similar: arteriolele pleacă din artere și din ele - cele mai mici capilare prin care oxigenul pătrunde în organe și țesuturi. Să ne uităm la imaginile din satelit ale coastei mării: vom vedea golfuri și peninsule; haideti sa ne uitam la el, dar din vedere de ochi: vom vedea golfuri si pelerine; acum imaginați-vă că stăm pe plajă și ne uităm la picioare: întotdeauna vor fi pietricele care ies mai mult în apă decât restul. Adică, linia de coastă rămâne similară cu ea însăși când este mărită. Matematicianul american Benoit Mandelbrot a numit această proprietate a obiectelor fractalitate, iar astfel de obiecte în sine - fractali (din latinescul fractus - rupt).

Acest concept nu are o definiție strictă. Prin urmare, cuvântul „fractal” nu este un termen matematic. De obicei, un fractal este o figură geometrică care satisface una sau mai multe dintre următoarele proprietăți: Are o structură complexă la orice mărire (spre deosebire, de exemplu, de o linie dreaptă, a cărei parte este cea mai simplă figură geometrică - un segment). Este (aproximativ) auto-similar. Are o dimensiune Hausdorff (fractală) fracțională, care este mai mare decât cea topologică. Poate fi construit cu proceduri recursive.

Geometrie și algebră

Studiul fractalilor la începutul secolelor al XIX-lea și al XX-lea a fost mai mult episodic decât sistematic, deoarece matematicienii anteriori au studiat în principal obiectele „bune” care puteau fi investigate folosind metode și teorii generale. În 1872, matematicianul german Karl Weierstrass construiește un exemplu de funcție continuă care nu este diferențiabilă nicăieri. Cu toate acestea, construcția sa a fost în întregime abstractă și greu de înțeles. Prin urmare, în 1904, suedezul Helge von Koch a venit cu o curbă continuă care nu are tangentă nicăieri și este destul de simplu să o desenezi. S-a dovedit că are proprietățile unui fractal. O variație a acestei curbe se numește fulg de zăpadă Koch.

Ideile de auto-asemănare a figurilor au fost preluate de francezul Paul Pierre Levy, viitorul mentor al lui Benoit Mandelbrot. În 1938, a fost publicat articolul său „Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole”, în care este descris un alt fractal - curba C Lévy. Toți acești fractali enumerați mai sus pot fi atribuiți condiționat unei singure clase de fractali constructivi (geometrici).

O altă clasă este fractalii dinamici (algebrici), care includ mulțimea Mandelbrot. Primele cercetări în această direcție au început la începutul secolului al XX-lea și sunt asociate cu numele matematicienilor francezi Gaston Julia și Pierre Fatou. În 1918, au fost publicate aproape două sute de pagini din memoriile Iuliei, dedicate iterațiilor de funcții raționale complexe, în care sunt descrise mulțimile Julia - o întreagă familie de fractali strâns înrudite cu mulțimea Mandelbrot. Această lucrare a fost distinsă cu premiul Academiei Franceze, dar nu conținea o singură ilustrație, așa că a fost imposibil de apreciat frumusețea obiectelor descoperite. În ciuda faptului că această lucrare a făcut-o celebră pe Julia printre matematicienii vremii, a fost rapid uitată. Din nou, atenția s-a îndreptat către ea doar o jumătate de secol mai târziu, odată cu apariția computerelor: ei au făcut vizibile bogăția și frumusețea lumii fractalilor.

Dimensiuni fractale

După cum știți, dimensiunea (numărul de măsurători) unei figuri geometrice este numărul de coordonate necesare pentru a determina poziția unui punct situat pe această figură.
De exemplu, poziția unui punct pe o curbă este determinată de o coordonată, pe o suprafață (nu neapărat un plan) de două coordonate, în spațiul tridimensional de trei coordonate.
Dintr-un punct de vedere matematic mai general, dimensiunea poate fi definită astfel: o creștere a dimensiunilor liniare, să zicem, de două ori, pentru obiectele unidimensionale (din punct de vedere topologic) (segmentul) duce la o creștere a dimensiunii (lungimii). ) cu un factor de doi, pentru bidimensional (pătrat ) aceeași creștere a dimensiunilor liniare duce la o creștere a dimensiunii (aria) de 4 ori, pentru tridimensional (cub) - de 8 ori. Adică, dimensiunea „reală” (așa-numita Hausdorff) poate fi calculată ca raport dintre logaritmul creșterii „dimensiunii” unui obiect și logaritmul creșterii dimensiunii sale liniare. Adică pentru un segment D=log (2)/log (2)=1, pentru un plan D=log (4)/log (2)=2, pentru un volum D=log (8)/log (2 )=3.
Să calculăm acum dimensiunea curbei Koch, pentru construcția căreia segmentul unitar este împărțit în trei părți egale, iar intervalul din mijloc este înlocuit cu un triunghi echilateral fără acest segment. Cu o creștere a dimensiunilor liniare ale segmentului minim de trei ori, lungimea curbei Koch crește în log (4) / log (3) ~ 1,26. Adică dimensiunea curbei Koch este fracțională!

Știință și artă

În 1982, a fost publicată cartea lui Mandelbrot „Geometria fractală a naturii”, în care autorul a colectat și sistematizat aproape toate informațiile despre fractali disponibile la acea vreme și le-a prezentat într-o manieră ușoară și accesibilă. Mandelbrot a pus accentul principal în prezentarea sa nu pe formule grele și construcții matematice, ci pe intuiția geometrică a cititorilor. Datorită ilustrațiilor generate de computer și poveștilor istorice, cu care autorul a diluat cu pricepere componenta științifică a monografiei, cartea a devenit un bestseller, iar fractalii au devenit cunoscuți publicului larg. Succesul lor în rândul non-matematicienilor se datorează în mare măsură faptului că cu ajutorul unor construcții și formule foarte simple pe care chiar și un elev de liceu le poate înțelege, se obțin imagini de o complexitate și frumusețe uimitoare. Când computerele personale au devenit suficient de puternice, a apărut chiar și o întreagă tendință în artă - pictura fractală și aproape orice proprietar de computer ar putea să o facă. Acum pe Internet puteți găsi cu ușurință multe site-uri dedicate acestui subiect.

Schema de obtinere a curbei Koch

Razboi si pace

După cum sa menționat mai sus, unul dintre obiectele naturale care au proprietăți fractale este linia de coastă. O poveste interesantă este legată de ea, sau mai degrabă, de o încercare de a măsura lungimea ei, care a stat la baza articolului științific al lui Mandelbrot și este, de asemenea, descrisă în cartea sa „Geometria fractală a naturii”. Vorbim despre un experiment pus la cale de Lewis Richardson, un matematician, fizician și meteorolog foarte talentat și excentric. Una dintre direcțiile cercetării sale a fost încercarea de a găsi o descriere matematică a cauzelor și probabilității unui conflict armat între două țări. Printre parametrii pe care i-a luat în calcul a fost și lungimea graniței comune dintre cele două țări în război. Când a strâns date pentru experimente numerice, a descoperit că, în diferite surse, datele privind granița comună a Spaniei și Portugaliei diferă foarte mult. Aceasta l-a condus la următoarea descoperire: lungimea granițelor țării depinde de rigla cu care le măsurăm. Cu cât scara este mai mică, cu atât chenarul va fi mai lung. Acest lucru se datorează faptului că la o mărire mai mare devine posibil să se ia în considerare tot mai multe coturi ale coastei, care anterior au fost ignorate din cauza rugozității măsurătorilor. Și dacă, cu fiecare zoom, se deschid îndoituri de linii nesocotite anterior, atunci se dovedește că lungimea granițelor este infinită! Adevărat, de fapt acest lucru nu se întâmplă - acuratețea măsurătorilor noastre are o limită finită. Acest paradox se numește efectul Richardson.

Fractali constructivi (geometrici).

Algoritmul pentru construirea unui fractal constructiv în cazul general este următorul. În primul rând, avem nevoie de două forme geometrice potrivite, să le numim bază și fragment. În prima etapă, este descrisă baza viitorului fractal. Apoi unele dintre părțile sale sunt înlocuite cu un fragment luat la o scară adecvată - aceasta este prima iterație a construcției. Apoi, în figura rezultată, unele părți se schimbă din nou în figuri similare cu un fragment și așa mai departe. Dacă continuați acest proces la nesfârșit, atunci în limită obțineți un fractal.

Luați în considerare acest proces folosind exemplul curbei Koch (vezi bara laterală de pe pagina anterioară). Orice curbă poate fi luată ca bază a curbei Koch (pentru fulgul de zăpadă Koch, acesta este un triunghi). Dar ne limităm la cel mai simplu caz - un segment. Fragmentul este o linie întreruptă afișată în partea de sus a figurii. După prima iterație a algoritmului, în acest caz, segmentul inițial va coincide cu fragmentul, apoi fiecare dintre segmentele sale constitutive va fi el însuși înlocuit cu o linie întreruptă similară cu fragmentul și așa mai departe.Figura arată primele patru etapele acestui proces.

Limbajul matematicii: fractali dinamici (algebrici).

Fractalii de acest tip apar în studiul sistemelor dinamice neliniare (de unde și numele). Comportamentul unui astfel de sistem poate fi descris printr-o funcție complexă neliniară (polinom) f(z). Să luăm un punct inițial z0 pe planul complex (vezi bara laterală). Acum luați în considerare o astfel de succesiune infinită de numere pe plan complex, fiecare dintre ele obținută din precedenta: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). În funcție de punctul inițial z0, o astfel de succesiune se poate comporta diferit: tind spre infinit ca n -> ∞; converge către un punct final; ia ciclic un număr de valori fixe; sunt posibile variante mai complexe.

Numere complexe

Un număr complex este un număr format din două părți - real și imaginar, adică suma formală x + iy (x și y aici sunt numere reale). eu sunt așa-numitul. unitate imaginară, adică un număr care satisface ecuația eu^ 2 = -1. Peste numere complexe sunt definite operațiile matematice de bază - adunarea, înmulțirea, împărțirea, scăderea (nu este definită doar operația de comparare). Pentru a afișa numere complexe, este adesea folosită o reprezentare geometrică - în plan (se numește complex), partea reală este trasată de-a lungul axei absciselor, iar partea imaginară de-a lungul axei ordonatelor, în timp ce numărul complex va corespunde unui punct cu coordonatele carteziene x și y.

Astfel, orice punct z al planului complex are propriul său caracter de comportament în timpul iterațiilor funcției f (z), iar întregul plan este împărțit în părți. Mai mult, punctele situate la limitele acestor părți au următoarea proprietate: pentru o deplasare arbitrar mică, natura comportamentului lor se schimbă dramatic (astfel de puncte se numesc puncte de bifurcație). Deci, se dovedește că seturile de puncte care au un anumit tip de comportament, precum și seturile de puncte de bifurcație, au adesea proprietăți fractale. Acestea sunt seturile Julia pentru funcția f(z).

familia dragonului

Variind baza și fragmentul, puteți obține o varietate uimitoare de fractali constructivi.
Mai mult, operațiuni similare pot fi efectuate în spațiul tridimensional. Exemple de fractali volumetrici sunt „buretele lui Menger”, „piramida lui Sierpinski” și altele.
Familia dragonilor se referă și la fractali constructivi. Ei sunt uneori denumiți prin numele descoperitorilor ca „dragonii din Heiwei-Harter” (seamănă cu dragonii chinezi în forma lor). Există mai multe moduri de a construi această curbă. Cel mai simplu și cel mai evident dintre ele este acesta: trebuie să luați o fâșie de hârtie suficient de lungă (cu cât hârtia este mai subțire, cu atât mai bine) și să o îndoiți în jumătate. Apoi îndoiți-l din nou în jumătate în aceeași direcție ca prima dată. După mai multe repetări (de obicei, după cinci sau șase ori, banda devine prea groasă pentru a fi îndoită cu grijă în continuare), trebuie să îndreptați banda înapoi și să încercați să formați unghiuri de 90˚ la pliuri. Apoi curba dragonului se va arăta în profil. Desigur, aceasta va fi doar o aproximare, ca toate încercările noastre de a descrie obiecte fractale. Computerul vă permite să descrieți mai mulți pași în acest proces, iar rezultatul este o figură foarte frumoasă.

Setul Mandelbrot este construit oarecum diferit. Se consideră funcția fc (z) = z 2 +c, unde c este un număr complex. Să construim o succesiune a acestei funcții cu z0=0, în funcție de parametrul c, poate diverge la infinit sau rămâne mărginită. Mai mult, toate valorile lui c pentru care această secvență este mărginită formează mulțimea Mandelbrot. A fost studiat în detaliu de Mandelbrot însuși și de alți matematicieni, care au descoperit multe proprietăți interesante ale acestui set.

Se poate observa că definițiile seturilor Julia și Mandelbrot sunt similare între ele. De fapt, aceste două seturi sunt strâns legate. Și anume, mulțimea Mandelbrot este toate valorile parametrului complex c pentru care se conectează mulțimea Julia fc (z) (o mulțime se numește conectată dacă nu poate fi împărțită în două părți care nu se intersectează, cu unele condiții suplimentare).

fractali și viață

În zilele noastre, teoria fractalilor este utilizată pe scară largă în diverse domenii ale activității umane. Pe lângă un obiect pur științific pentru cercetare și pictura fractală deja menționată, fractalii sunt folosiți în teoria informației pentru a comprima datele grafice (aici, proprietatea de auto-similaritate a fractalilor este folosită în principal - la urma urmei, pentru a aminti un mic fragment a unui desen și transformări cu care puteți obține restul pieselor, este nevoie de mult mai puțină memorie decât pentru a stoca întreg fișierul). Adăugând perturbări aleatorii la formulele care definesc fractalul, se pot obține fractali stocastici care transmit foarte plauzibil unele obiecte reale - elemente de relief, suprafața corpurilor de apă, unele plante, care este folosit cu succes în fizică, geografie și grafică pe computer pentru a realiza asemănare mai mare a obiectelor simulate cu cele reale. În electronica radio, în ultimul deceniu, au început să producă antene care au formă fractală. Ocupând puțin spațiu, oferă o recepție a semnalului de înaltă calitate. Economiștii folosesc fractali pentru a descrie curbele de fluctuație a monedei (această proprietate a fost descoperită de Mandelbrot cu peste 30 de ani în urmă). Astfel se încheie această scurtă excursie în lumea fractalilor, uimitoare prin frumusețea și diversitatea ei.

Fractalii sunt cunoscuți de aproape un secol, sunt bine studiati și au numeroase aplicații în viață. Acest fenomen se bazează pe o idee foarte simplă: un număr infinit de figuri în frumusețe și varietate pot fi obținute din structuri relativ simple folosind doar două operații - copiere și scalare.

Acest concept nu are o definiție strictă. Prin urmare, cuvântul „fractal” nu este un termen matematic. Acesta este de obicei numele unei figuri geometrice care satisface una sau mai multe dintre următoarele proprietăți:

• are o structură complexă la orice mărire;
• este (aproximativ) auto-similar;
• are o dimensiune Hausdorff (fractală) fracțională, care este mai mare decât cea topologică;
• poate fi construit prin proceduri recursive.

La începutul secolelor al XIX-lea și al XX-lea, studiul fractalilor era mai mult episodic decât sistematic, deoarece matematicienii anteriori studiau în principal obiectele „bune” care puteau fi studiate folosind metode și teorii generale. În 1872, matematicianul german Karl Weierstrass a construit un exemplu de funcție continuă care nu este diferențiată nicăieri. Cu toate acestea, construcția sa a fost în întregime abstractă și greu de înțeles. Prin urmare, în 1904, suedezul Helge von Koch a venit cu o curbă continuă care nu are tangentă nicăieri și este destul de simplu să o desenezi. S-a dovedit că are proprietățile unui fractal. O variație a acestei curbe se numește fulg de zăpadă Koch.

Ideile de auto-asemănare a figurilor au fost preluate de francezul Paul Pierre Levy, viitorul mentor al lui Benoit Mandelbrot. În 1938, a fost publicat articolul său „Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole”, în care este descris un alt fractal - curba C Lévy. Toți fractalii de mai sus pot fi atribuiți condiționat unei singure clase de fractali constructivi (geometrici).

O altă clasă este fractalii dinamici (algebrici), care includ mulțimea Mandelbrot. Primele studii în această direcție datează de la începutul secolului al XX-lea și sunt asociate cu numele matematicienilor francezi Gaston Julia și Pierre Fatou. În 1918, au fost publicate aproape două sute de pagini din lucrarea Iuliei, dedicate iterațiilor de funcții raționale complexe, în care sunt descrise mulțimi Julia - o întreagă familie de fractali strâns legate de mulțimea Mandelbrot. Această lucrare a fost distinsă cu premiul Academiei Franceze, dar nu conținea o singură ilustrație, așa că a fost imposibil de apreciat frumusețea obiectelor descoperite. În ciuda faptului că această lucrare a făcut-o celebră pe Julia printre matematicienii vremii, a fost rapid uitată.

Abia o jumătate de secol mai târziu, odată cu apariția computerelor, atenția s-a îndreptat către munca lui Julia și Fatou: ei au făcut vizibilă bogăția și frumusețea lumii fractalilor. La urma urmei, Fatou nu s-ar putea uita niciodată la imaginile pe care le cunoaștem acum drept imagini ale setului Mandelbrot, deoarece numărul necesar de calcule nu poate fi făcut manual. Prima persoană care a folosit un computer pentru asta a fost Benoit Mandelbrot.

În 1982, a fost publicată cartea lui Mandelbrot „Geometria fractală a naturii”, în care autorul a colectat și sistematizat aproape toate informațiile despre fractali disponibile la acea vreme și le-a prezentat într-o manieră ușoară și accesibilă. Mandelbrot a pus accentul principal în prezentarea sa nu pe formule grele și construcții matematice, ci pe intuiția geometrică a cititorilor. Datorită ilustrațiilor generate de computer și poveștilor istorice, cu care autorul a diluat cu pricepere componenta științifică a monografiei, cartea a devenit un bestseller, iar fractalii au devenit cunoscuți publicului larg. Succesul lor în rândul non-matematicienilor se datorează în mare măsură faptului că cu ajutorul unor construcții și formule foarte simple pe care chiar și un elev de liceu le poate înțelege, se obțin imagini de o complexitate și frumusețe uimitoare. Când computerele personale au devenit suficient de puternice, a apărut chiar și o întreagă tendință în artă - pictura fractală și aproape orice proprietar de computer ar putea să o facă. Acum pe Internet puteți găsi cu ușurință multe site-uri dedicate acestui subiect.