Învățământ secundar general

Linia UMK G.K. Muravina. Algebra și începuturile analizei matematice (10-11) (profundă)

Linia UMK Merzlyak. Algebra și începuturile analizei (10-11) (U)

Matematică

Pregătirea pentru examenul de matematică (nivel de profil): sarcini, soluții și explicații

Analizăm sarcini și rezolvăm exemple împreună cu profesorul

Lucrarea de examinare la nivel de profil durează 3 ore și 55 de minute (235 de minute).

Pragul minim- 27 de puncte.

Lucrarea de examen constă din două părți, care diferă ca conținut, complexitate și număr de sarcini.

Caracteristica definitorie a fiecărei părți a lucrării este forma sarcinilor:

• partea 1 conține 8 sarcini (sarcinile 1-8) cu un răspuns scurt sub forma unui număr întreg sau a unei fracții zecimale finale;
• partea 2 conține 4 sarcini (sarcinile 9-12) cu un răspuns scurt sub forma unui număr întreg sau a unei fracții zecimale finale și 7 sarcini (sarcinile 13-19) cu un răspuns detaliat (înregistrarea completă a deciziei cu motivația pentru acțiunile efectuate).

Panova Svetlana Anatolievna, profesor de matematică de cea mai înaltă categorie a școlii, experiență de muncă de 20 de ani:

„Pentru a primi un certificat școlar, un absolvent trebuie să susțină două examene obligatorii sub forma Examenului Unificat de Stat, dintre care unul este matematică. În conformitate cu Conceptul pentru dezvoltarea educației matematice în Federația Rusă, Examenul de stat unificat la matematică este împărțit în două niveluri: de bază și de specialitate. Astăzi vom lua în considerare opțiunile pentru nivelul de profil.

Sarcina numărul 1- verifică capacitatea participanților USE de a aplica competențele dobândite în cursul claselor 5-9 la matematică elementară în activități practice. Participantul trebuie să aibă abilități de calcul, să poată lucra cu numere raționale, să fie capabil să rotunjească fracții zecimale, să fie capabil să convertească o unitate de măsură la alta.

Exemplul 1 In apartamentul in care locuieste Petr a fost montat un contor (contor) de apa rece. La 1 mai, contorul arăta un consum de 172 de metri cubi. m de apă, iar la 1 iunie - 177 de metri cubi. m. Ce sumă ar trebui să plătească Petru pentru apă rece pentru luna mai, dacă prețul de 1 cu. m de apă rece este de 34 de ruble 17 copeici? Dați răspunsul în ruble.

Decizie:

1) Aflați cantitatea de apă cheltuită pe lună:

177 - 172 = 5 (m3)

2) Aflați câți bani vor fi plătiți pentru apa cheltuită:

34,17 5 = 170,85 (frecare)

Răspuns: 170,85.

Sarcina numărul 2- este una dintre cele mai simple sarcini ale examenului. Majoritatea absolvenților îi fac față cu succes, ceea ce indică deținerea definiției conceptului de funcție. Tipul de sarcină nr. 2 conform codificatorului cerințelor este o sarcină de utilizare a cunoștințelor și abilităților dobândite în activități practice și viața de zi cu zi. Sarcina nr. 2 constă în descrierea, folosind funcții, a diverselor relații reale între mărimi și interpretarea graficelor acestora. Sarcina numărul 2 testează capacitatea de a extrage informațiile prezentate în tabele, diagrame, grafice. Absolvenții trebuie să fie capabili să determine valoarea unei funcții prin valoarea argumentului cu diverse moduri de specificare a funcției și să descrie comportamentul și proprietățile funcției conform graficului acesteia. De asemenea, este necesar să puteți găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare din graficul funcției și să construiți grafice ale funcțiilor studiate. Greșelile făcute sunt de natură aleatorie în citirea condițiilor problemei, citirea diagramei.

#ADVERTISING_INSERT#

Exemplul 2 Figura arată modificarea valorii de schimb a unei acțiuni a unei companii miniere în prima jumătate a lunii aprilie 2017. Pe 7 aprilie, omul de afaceri a achiziționat 1.000 de acțiuni ale acestei companii. Pe 10 aprilie a vândut trei sferturi din acțiunile cumpărate, iar pe 13 aprilie a vândut toate cele rămase. Cât a pierdut omul de afaceri în urma acestor operațiuni?

Decizie:

2) 1000 3/4 = 750 (acțiuni) - reprezintă 3/4 din toate acțiunile cumpărate.

6) 247500 + 77500 = 325000 (ruble) - omul de afaceri a primit după vânzarea a 1000 de acțiuni.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (ruble) - omul de afaceri a pierdut în urma tuturor operațiunilor.

Răspuns: 15000.

Sarcina numărul 3- este o sarcină a nivelului de bază al primei părți, verifică capacitatea de a efectua acțiuni cu forme geometrice conform conținutului cursului „Planimetrie”. Sarcina 3 testează capacitatea de a calcula aria unei figuri pe hârtie în carouri, capacitatea de a calcula măsurile de grad ale unghiurilor, de a calcula perimetre etc.

Exemplul 3 Găsiți aria unui dreptunghi desenat pe hârtie în carouri cu o dimensiune a celulei de 1 cm pe 1 cm (vezi figura). Dați răspunsul în centimetri pătrați.

Decizie: Pentru a calcula aria acestei figuri, puteți utiliza formula de vârf:

Pentru a calcula aria acestui dreptunghi, folosim formula Peak:

S= B +	G
	2

unde V = 10, G = 6, prin urmare

S = 18 +	6
	2

Răspuns: 20.

Vezi și: Unified State Examination in Physics: rezolvarea problemelor de vibrații

Sarcina numărul 4- sarcina cursului „Teoria probabilității și statistică”. Este testată capacitatea de a calcula probabilitatea unui eveniment în cea mai simplă situație.

Exemplul 4 Există 5 puncte roșii și 1 albastru pe cerc. Determinați care poligoane sunt mai mari: cele cu toate vârfurile roșii sau cele cu unul dintre vârfurile albastre. În răspunsul dvs., indicați câte mai mulți dintre unul decât celălalt.

Decizie: 1) Folosim formula pentru numărul de combinații de la n elemente prin k:

toate ale căror vârfuri sunt roșii.

3) Un pentagon cu toate vârfurile roșii.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligoane cu toate vârfurile roșii.

ale căror vârfuri sunt roșii sau cu un vârf albastru.

ale căror vârfuri sunt roșii sau cu un vârf albastru.

8) Un hexagon ale cărui vârfuri sunt roșii cu un vârf albastru.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 de poligoane care au toate vârfurile roșii sau un vârf albastru.

10) 42 - 16 = 26 de poligoane care folosesc punctul albastru.

11) 26 - 16 = 10 poligoane - câte poligoane, în care unul dintre vârfuri este un punct albastru, sunt mai multe decât poligoane, în care toate vârfurile sunt doar roșii.

Răspuns: 10.

Sarcina numărul 5- nivelul de bază al primei părți testează capacitatea de a rezolva cele mai simple ecuații (iraționale, exponențiale, trigonometrice, logaritmice).

Exemplul 5 Rezolvați ecuația 2 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Decizie.Împărțiți ambele părți ale acestei ecuații la 5 3 + X≠ 0, obținem

2 3 + X	= 0,4 sau		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

de unde rezultă că 3 + X = 1, X = –2.

Răspuns: –2.

Sarcina numărul 6în planimetrie pentru găsirea mărimilor geometrice (lungimi, unghiuri, arii), modelarea situaţiilor reale în limbajul geometriei. Studiul modelelor construite folosind concepte și teoreme geometrice. Sursa dificultăților este, de regulă, ignoranța sau aplicarea incorectă a teoremelor necesare de planimetrie.

Aria unui triunghi ABC este egal cu 129. DE- linie mediană paralelă cu latura AB. Găsiți aria trapezului UN PAT.

Decizie. Triunghi CDE asemănător cu un triunghi TAXI la două colțuri, din moment ce colțul de la vârf C general, unghi CDE egal cu unghiul TAXI ca unghiurile corespunzătoare la DE || AB secantă AC. La fel de DE este linia de mijloc a triunghiului după condiție, apoi după proprietatea liniei de mijloc | DE = (1/2)AB. Deci coeficientul de similitudine este 0,5. Aricele figurilor similare sunt legate ca pătratul coeficientului de similitudine, deci

Prin urmare, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Sarcina numărul 7- verifică aplicarea derivatei la studiul funcţiei. Pentru o implementare cu succes, este necesară o posesie semnificativă, non-formală a conceptului de derivat.

Exemplul 7 La graficul funcției y = f(X) în punctul cu abscisa X 0 se trasează o tangentă, care este perpendiculară pe dreapta care trece prin punctele (4; 3) și (3; -1) ale acestui grafic. Găsi f′( X 0).

Decizie. 1) Să folosim ecuația unei drepte care trece prin două puncte date și să găsim ecuația unei drepte care trece prin punctele (4; 3) și (3; -1).

(y – y 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–y + 3 = –4X+ 16| · (-unu)

y – 3 = 4X – 16

y = 4X– 13, unde k 1 = 4.

2) Aflați panta tangentei k 2 care este perpendicular pe dreapta y = 4X– 13, unde k 1 = 4, după formula:

3) Panta tangentei este derivata functiei la punctul de contact. Mijloace, f′( X 0) = k 2 = –0,25.

Răspuns: –0,25.

Sarcina numărul 8- verifică cunoștințele de stereometrie elementară în rândul participanților la examen, capacitatea de a aplica formule pentru găsirea suprafețelor și volumelor figurilor, unghiurilor diedrice, a compara volumele figurilor similare, a putea efectua acțiuni cu figuri geometrice, coordonate și vectori , etc.

Volumul unui cub circumscris unei sfere este de 216. Aflați raza sferei.

Decizie. 1) V cub = A 3 (unde A este lungimea muchiei cubului), deci

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Deoarece sfera este înscrisă într-un cub, înseamnă că lungimea diametrului sferei este egală cu lungimea muchiei cubului, prin urmare d = A, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Sarcina numărul 9- cere absolventului să transforme și să simplifice expresii algebrice. Sarcina nr. 9 de un nivel crescut de complexitate cu un răspuns scurt. Sarcinile din secțiunea „Calcule și transformări” din USE sunt împărțite în mai multe tipuri:

transformări ale expresiilor raționale numerice;

transformări ale expresiilor și fracțiilor algebrice;

transformări de expresii iraționale numerice/litere;

acțiuni cu grade;

transformarea expresiilor logaritmice;

1. conversia expresiilor trigonometrice numerice/litere.

Exemplul 9 Calculați tgα dacă se știe că cos2α = 0,6 și

3π	< α < π.
4

Decizie. 1) Să folosim formula argumentului dublu: cos2α = 2 cos 2 α - 1 și găsim

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Prin urmare, tan 2 α = ± 0,5.

3) După condiție

3π	< α < π,
4

deci α este unghiul celui de-al doilea sfert și tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Răspuns: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Sarcina numărul 10- verifică capacitatea elevilor de a utiliza cunoștințele și abilitățile timpurii dobândite în activități practice și viața de zi cu zi. Putem spune că acestea sunt probleme de fizică, și nu de matematică, dar toate formulele și cantitățile necesare sunt date în condiție. Sarcinile se reduc la rezolvarea unei ecuații liniare sau pătratice sau a unei inegalități liniare sau pătratice. Prin urmare, este necesar să puteți rezolva astfel de ecuații și inegalități și să determinați răspunsul. Răspunsul trebuie să fie sub forma unui număr întreg sau a unei fracții zecimale finale.

Două corpuri de masă m= 2 kg fiecare, deplasându-se cu aceeași viteză v= 10 m/s la un unghi de 2α unul față de celălalt. Energia (în jouli) eliberată în timpul ciocnirii lor absolut inelastice este determinată de expresie Q = mv 2 sin 2 α. La ce unghi cel mai mic 2α (în grade) trebuie să se miște corpurile astfel încât cel puțin 50 de jouli să fie eliberați ca urmare a ciocnirii?
Decizie. Pentru a rezolva problema, trebuie să rezolvăm inegalitatea Q ≥ 50, pe intervalul 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Deoarece α ∈ (0°; 90°), vom rezolva doar

Reprezentăm grafic soluția inegalității:

Deoarece prin ipoteza α ∈ (0°; 90°), înseamnă că 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Sarcina numărul 11- este tipic, dar se dovedește a fi dificil pentru elevi. Principala sursă de dificultăți este construcția unui model matematic (întocmirea unei ecuații). Sarcina numărul 11 ​​testează capacitatea de a rezolva probleme cu cuvinte.

Exemplul 11.În vacanța de primăvară, Vasya, elevul de clasa 11, a trebuit să rezolve 560 de probleme de antrenament pentru a se pregăti pentru examen. Pe 18 martie, în ultima zi de școală, Vasya a rezolvat 5 probleme. Apoi în fiecare zi a rezolvat tot atâtea probleme decât în ​​ziua precedentă. Stabiliți câte probleme a rezolvat Vasya pe 2 aprilie în ultima zi de vacanță.

Decizie: Denota A 1 = 5 - numărul de sarcini pe care Vasya le-a rezolvat pe 18 martie, d– numărul zilnic de sarcini rezolvate de Vasya, n= 16 - numărul de zile din 18 martie până în 2 aprilie inclusiv, S 16 = 560 - numărul total de sarcini, A 16 - numărul de sarcini pe care Vasya le-a rezolvat pe 2 aprilie. Știind că în fiecare zi Vasya a rezolvat același număr de sarcini mai mult decât în ​​ziua precedentă, atunci puteți folosi formulele pentru a găsi suma unei progresii aritmetice:

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Răspuns: 65.

Sarcina numărul 12- verifica capacitatea elevilor de a efectua actiuni cu functii, sa poata aplica derivata la studiul functiei.

Găsiți punctul maxim al unei funcții y= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Decizie: 1) Găsiți domeniul funcției: X + 9 > 0, X> –9, adică x ∈ (–9; ∞).

2) Aflați derivata funcției:

4) Punctul găsit aparține intervalului (–9; ∞). Definim semnele derivatei funcției și redăm comportamentul funcției în figură:

Punctul maxim dorit X = –8.

Descărcați gratuit programul de lucru în matematică pe linia UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Descărcați manuale gratuite de algebră

Sarcina numărul 13- un nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat, care testează capacitatea de a rezolva ecuații, cea mai rezolvată cu succes dintre sarcinile cu un răspuns detaliat de un nivel crescut de complexitate.

a) Rezolvați ecuația 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2cos X) + 2 = 0

b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului.

Decizie: a) Fie log 3 (2cos X) = t, apoi 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		cos X =	4,5	⇔ pentru că |cos X| ≤ 1,
	log3(2cos X) =	1			2cos X = √3			cos X =	√3
		2							2

apoi cos X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Aflați rădăcinile situate pe segmentul .

Din figură se poate observa că segmentul dat are rădăcini

11π	și	13π	.
6		6

Răspuns: A)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Sarcina numărul 14- nivelul avansat se referă la sarcinile din partea a doua cu un răspuns detaliat. Sarcina testează capacitatea de a efectua acțiuni cu forme geometrice. Sarcina conține două elemente. În primul paragraf, sarcina trebuie dovedită, iar în al doilea paragraf trebuie calculată.

Diametrul circumferinței bazei cilindrului este de 20, generatria cilindrului este de 28. Planul își intersectează bazele de-a lungul coardelor de lungime 12 și 16. Distanța dintre coarde este de 2√197.

a) Demonstrați că centrele bazelor cilindrului se află pe aceeași parte a acestui plan.

b) Aflați unghiul dintre acest plan și planul bazei cilindrului.

Decizie: a) O coardă de lungime 12 se află la o distanță = 8 de centrul cercului de bază, iar o coardă de lungime 16, în mod similar, se află la o distanță de 6. Prin urmare, distanța dintre proiecțiile lor pe un plan paralel cu bazele cilindrilor este fie 8 + 6 = 14, fie 8 − 6 = 2.

Atunci distanța dintre acorduri este fie

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Conform condiției, a fost realizat cel de-al doilea caz, în care proiecțiile coardelor se află pe o parte a axei cilindrului. Aceasta înseamnă că axa nu intersectează acest plan în interiorul cilindrului, adică bazele se află pe o parte a acestuia. Ceea ce trebuia dovedit.

b) Să notăm centrele bazelor ca O 1 și O 2. Să desenăm din centrul bazei cu o coardă de lungime 12 bisectoarea perpendiculară pe această coardă (are lungimea de 8, după cum s-a menționat deja) și din centrul celeilalte baze la o altă coardă. Ele se află în același plan β perpendicular pe aceste coarde. Să numim punctul de mijloc al coardei mai mici B, mai mare decât A, și proiecția lui A pe baza a doua H (H ∈ β). Atunci AB,AH ∈ β și, prin urmare, AB,AH sunt perpendiculare pe coardă, adică linia de intersecție a bazei cu planul dat.

Deci unghiul necesar este

∠ABH = arctan	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Sarcina numărul 15- un nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat, verifică capacitatea de a rezolva inegalitățile, cea mai bine rezolvată dintre sarcini cu un răspuns detaliat de un nivel crescut de complexitate.

Exemplul 15 Rezolvați inegalitatea | X 2 – 3X| jurnalul 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Decizie: Domeniul de definire al acestei inegalități este intervalul (–1; +∞). Luați în considerare trei cazuri separat:

1) Lasă X 2 – 3X= 0, adică X= 0 sau X= 3. În acest caz, această inegalitate devine adevărată, prin urmare, aceste valori sunt incluse în soluție.

2) Lasă acum X 2 – 3X> 0, adică X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). În acest caz, această inegalitate poate fi rescrisă sub forma ( X 2 – 3X) jurnalul 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 și împărțiți cu o expresie pozitivă X 2 – 3X. Obținem jurnalul 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 -1 sau X≤ -0,5. Ținând cont de domeniul definiției, avem X ∈ (–1; –0,5].

3) În cele din urmă, luați în considerare X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). În acest caz, inegalitatea inițială va fi rescrisă sub forma (3 X – X 2) jurnalul 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. După împărțirea la o expresie pozitivă 3 X – X 2, obținem log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Tinand cont de zona, avem X ∈ (0; 1].

Combinând soluțiile obținute, obținem X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Răspuns: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Sarcina numărul 16- nivelul avansat se referă la sarcinile din partea a doua cu un răspuns detaliat. Sarcina testează capacitatea de a efectua acțiuni cu forme geometrice, coordonate și vectori. Sarcina conține două elemente. În primul paragraf, sarcina trebuie dovedită, iar în al doilea paragraf trebuie calculată.

Într-un triunghi isoscel ABC cu un unghi de 120° la vârful A, este trasată o bisectoare BD. Dreptunghiul DEFH este înscris în triunghiul ABC, astfel încât latura FH se află pe segmentul BC și vârful E pe segmentul AB. a) Demonstrați că FH = 2DH. b) Aflați aria dreptunghiului DEFH dacă AB = 4.

Decizie: A)

1) ΔBEF - dreptunghiular, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, apoi EF = BE datorită proprietății catetei opus unghiului de 30°.

2) Fie EF = DH = X, atunci BE = 2 X, BF = X√3 prin teorema lui Pitagora.

3) Deoarece ΔABC este isoscel, atunci ∠B = ∠C = 30˚.

BD este bisectoarea lui ∠B, deci ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Se consideră ΔDBH - dreptunghiular, deoarece DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Răspuns: 24 – 12√3.

Sarcina numărul 17- o sarcină cu un răspuns detaliat, această sarcină testează aplicarea cunoștințelor și abilităților în activități practice și viața de zi cu zi, capacitatea de a construi și explora modele matematice. Această sarcină este o sarcină text cu conținut economic.

Exemplul 17. Depozitul în valoare de 20 de milioane de ruble este planificat să fie deschis timp de patru ani. La sfârșitul fiecărui an, banca mărește depozitul cu 10% față de mărimea acestuia la începutul anului. În plus, la începutul celui de-al treilea și al patrulea an, deponentul completează anual depozitul până la X milioane de ruble, unde X - întreg număr. Găsiți cea mai mare valoare X, la care banca va adăuga mai puțin de 17 milioane de ruble la depozit în patru ani.

Decizie: La sfârșitul primului an, contribuția va fi de 20 + 20 · 0,1 = 22 de milioane de ruble, iar la sfârșitul celui de-al doilea - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milioane de ruble. La începutul celui de-al treilea an, contribuția (în milioane de ruble) va fi (24,2 + X), iar la sfârșit - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). La începutul celui de-al patrulea an, contribuția va fi (26,62 + 2,1 X), iar la sfârșit - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). După condiție, trebuie să găsiți cel mai mare număr întreg x pentru care inegalitatea

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

Cea mai mare soluție întreagă a acestei inegalități este numărul 24.

Răspuns: 24.

Sarcina numărul 18- o sarcină de un nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat. Această sarcină este destinată selecției competitive către universități cu cerințe crescute pentru pregătirea matematică a candidaților. O sarcină de un nivel ridicat de complexitate nu este o sarcină pentru aplicarea unei metode de soluție, ci pentru o combinație de metode diferite. Pentru îndeplinirea cu succes a sarcinii 18, pe lângă cunoștințe matematice solide, este necesar și un nivel înalt de cultură matematică.

La ce A sistem de inegalități

	X 2 + y 2 ≤ 2Ay – A 2 + 1
	y + A ≤ |X| – A

are exact doua solutii?

Decizie: Acest sistem poate fi rescris ca

	X 2 + (y– A) 2 ≤ 1
	y ≤ |X| – A

Dacă desenăm pe plan mulțimea soluțiilor primei inegalități, obținem interiorul unui cerc (cu graniță) de raza 1 centrat în punctul (0, A). Mulțimea soluțiilor celei de-a doua inegalități este partea de plan care se află sub graficul funcției y = | X| – A, iar acesta din urmă este graficul funcției
y = | X| , deplasat în jos de A. Soluția acestui sistem este intersecția mulțimilor de soluții ale fiecăreia dintre inegalități.

În consecință, acest sistem va avea două soluții numai în cazul prezentat în Fig. unu.

Punctele de contact dintre cerc și linii vor fi cele două soluții ale sistemului. Fiecare dintre liniile drepte este înclinată față de axe la un unghi de 45°. Deci triunghiul PQR- isoscel dreptunghiular. Punct Q are coordonatele (0, A), și punctul R– coordonate (0, – A). În plus, tăieturi relatii cu publiculși PQ sunt egale cu raza cercului egală cu 1. Prin urmare,

QR= 2A = √2, A =	√2	.
	2

Răspuns: A =	√2	.
	2

Sarcina numărul 19- o sarcină de un nivel crescut de complexitate cu un răspuns detaliat. Această sarcină este destinată selecției competitive către universități cu cerințe crescute pentru pregătirea matematică a candidaților. O sarcină de un nivel ridicat de complexitate nu este o sarcină pentru aplicarea unei metode de soluție, ci pentru o combinație de metode diferite. Pentru îndeplinirea cu succes a sarcinii 19 este necesar să se poată căuta o soluție, alegând diverse abordări dintre cele cunoscute, modificând metodele studiate.

Lasa sn sumă P membrii unei progresii aritmetice ( a p). Se știe că S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Dați formula P al-lea membru al acestei progresii.

b) Aflați cea mai mică sumă modulo S n.

c) Găsiți cel mai mic P, la care S n va fi pătratul unui număr întreg.

Decizie: a) Evident, un n = S n – S n- unu . Folosind această formulă, obținem:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

mijloace, un n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) pentru că S n = 2n 2 – 25n, apoi luați în considerare funcția S(X) = | 2X 2 – 25x|. Graficul ei poate fi văzut în figură.

Este evident că cea mai mică valoare este atinsă în punctele întregi situate cel mai aproape de zerourile funcției. Evident, acestea sunt puncte. X= 1, X= 12 și X= 13. Din moment ce, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, atunci cea mai mică valoare este 12.

c) Din paragraful precedent rezultă că sn pozitiv din moment ce n= 13. Din moment ce S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), atunci cazul evident când această expresie este un pătrat perfect este realizat când n = 2n- 25, adică cu P= 25.

Rămâne de verificat valorile de la 13 la 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Se pare că pentru valori mai mici P pătratul complet nu este realizat.

Răspuns: A) un n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Din mai 2017, grupul de editare comun DROFA-VENTANA face parte din Russian Textbook Corporation. Corporația a inclus și editura Astrel și platforma educațională digitală LECTA. Alexander Brychkin, absolvent al Academiei Financiare din cadrul Guvernului Federației Ruse, candidat în științe economice, șef de proiecte inovatoare ale editurii DROFA în domeniul educației digitale (forme electronice de manuale, Școala electronică rusă, educația digitală LECTA platformă) a fost numit director general. Înainte de a se alătura editurii DROFA, a ocupat funcția de Vicepreședinte pentru Dezvoltare Strategică și Investiții al holdingului de editură EKSMO-AST. Astăzi, Russian Textbook Publishing Corporation are cel mai mare portofoliu de manuale incluse în Lista Federală - 485 de titluri (aproximativ 40%, excluzând manualele pentru școlile corecționale). Editurile corporației dețin seturile de manuale de fizică, desen, biologie, chimie, tehnologie, geografie, astronomie, cele mai solicitate de școlile rusești - domenii de cunoaștere necesare dezvoltării potențialului de producție al țării. Portofoliul corporației include manuale și materiale didactice pentru școlile primare care au fost distinse cu Premiul Președintelui în Educație. Acestea sunt manuale și manuale pe domenii care sunt necesare pentru dezvoltarea potențialului științific, tehnic și industrial al Rusiei.

Clasa a 11a

Condiții de sarcină

1. Prețul unui fierbător electric a fost majorat cu 14% și sa ridicat la 1.596 de ruble. Cât valora ibricul înainte de creșterea prețului?
2. Graficul arată dependența cuplului motorului de numărul de rotații pe minut. Numărul de rotații pe minut este reprezentat pe axa absciselor, iar cuplul în N∙m este reprezentat pe axa ordonatelor. Viteza vehiculului (în km/h) este aproximată prin formulă unde n este numărul de rotații ale motorului pe minut. Care este viteza minimă cu care trebuie să se deplaseze mașina pentru ca cuplul să fie de 120 N∙m? Dați răspunsul în kilometri pe oră.
   
3. Un triunghi ABC este reprezentat pe hârtie în carouri cu dimensiunea celulei x. Aflați lungimea înălțimii sale coborâte pe latura BC.
4. Conferința științifică are loc în 5 zile. În total sunt planificate 75 de rapoarte - primele trei zile, câte 17 rapoarte, restul sunt distribuite în mod egal între a patra și a cincea zi. La conferință este planificat un raport al profesorului M. Ordinea rapoartelor este stabilită prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?
5. Găsiți rădăcina ecuației
6. Patrulaterul ABCD este înscris într-un cerc. Unghiul ABC este egal cu 105 o , unghiul CAD este egal cu 35 o . Găsiți unghiul ABD. Dați răspunsul în grade.
7. Figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții definite pe intervalul . Aflați numărul maxim de puncte ale funcției care aparțin segmentului .
   
8. Bila este înscrisă într-un cilindru. Suprafața sferei este de 111. Aflați suprafața totală a cilindrului.
9. Găsiți valoarea unei expresii
10. Pentru a obține o imagine mărită a unui bec pe ecran, în laborator se folosește o lentilă convergentă cu distanța focală principală cm. Distanța de la lentilă la bec poate varia de la 30 la 50 cm, iar distanța de la lentilă la ecran - de la 150 la 180 cm ecranul va fi clar dacă raportul este îndeplinit. Indicați cea mai mică distanță de la lentilă la care poate fi plasat un bec, astfel încât imaginea acestuia de pe ecran să fie clară. Exprimați răspunsul în centimetri.
11. Distanța dintre cheile A și B este de 120 km. O plută a pornit de la A la B de-a lungul râului, iar o oră mai târziu a pornit după ea un iaht care, ajuns în punctul B, s-a întors imediat înapoi și s-a întors la A. Până în acest moment, pluta parcurgea 24 km. Găsiți viteza iahtului în apă plată dacă viteza râului este de 2 km/h. Dati raspunsul in km/h.
12. Găsiți punctul maxim al funcției.
13. a) Rezolvați ecuația ; b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului.
14. Punctele M și N sunt marcate pe muchiile AB și BC ale piramidei triunghiulare ABCD, respectiv, cu AM:MB = CN:NB = 3:1. Punctele P și Q sunt punctele medii ale muchiilor DA și, respectiv, DC.
    a) Demonstrați că punctele P,Q,M și N se află în același plan;
    b) Aflați în ce raport acest plan împarte volumul piramidei.
15. Rezolvați inegalitatea
16. Punctul E este punctul de mijloc al laturii laterale CD a trapezului ABCD. Pe partea sa, AB a luat un punct K astfel încât dreptele SC și AE să fie paralele. Segmentele SK și BE se intersectează în punctul O.
    a) Demonstrați că CO=CO.
    b) Aflați raportul bazelor trapezului BC: AD, dacă aria triunghiului BCK este 9/64 din aria întregului trapez ABCD.
17. În iulie, este planificat să luați un împrumut de la o bancă pentru o anumită sumă. Condițiile pentru returnarea acestuia sunt următoarele:
    - in fiecare ianuarie datoria creste cu r% fata de sfarsitul anului precedent;
    - Din februarie până în iunie a fiecărui an, o parte din datorie trebuie rambursată.
    Găsiți r dacă se știe că dacă plătiți 777.600 de ruble fiecare, atunci împrumutul va fi rambursat în 4 ani, iar dacă plătiți 1.317.600 de ruble în fiecare an, atunci împrumutul va fi rambursat integral în 2 ani?
18. Găsiți toate valorile parametrului pentru fiecare dintre care ecuația are exact o rădăcină pe interval.
19. Fiecare dintre cei 32 de elevi fie a scris una dintre cele două teste, fie a scris ambele teste. Pentru fiecare lucrare a fost posibil să se obțină un număr întreg de puncte de la 0 la 20 inclusiv. Pentru fiecare dintre cele două lucrări de testare separat, scorul mediu a fost 14. Apoi, fiecare elev a numit cel mai mare dintre scorurile sale (dacă studentul a scris o lucrare, atunci a denumit punctajul pentru aceasta). Media aritmetică a scorurilor denumite a fost egală cu S.
    a) Dați un exemplu când S<14
    b) Valoarea lui S ar putea fi egală cu 17?
    c) Care este cea mai mică valoare pe care S ar putea-o lua dacă ambele teste ar fi scrise de 12 elevi?

Susținerea examenului unificat de stat nu este doar o necesitate la sfârșitul învățământului secundar general, ci și o parte a examenelor de admitere la universități. Școlarii care decid să intre în specialități cu părtinire matematică sau tehnică trec nu doar nivelul de bază al matematicii, ci și cel de profil. Luați în considerare caracteristicile, sincronizarea și verificarea acestuia și câteva puncte legate de rezultate.

Procedura de desfășurare a examenului este stabilită de Legea federală nr. 273 „Cu privire la educația în Federația Rusă”.

Când vor fi cunoscute rezultatele examenului?

Orarul oficial a determinat predarea UTILIZARE în matematică 2018 directie de profil vineri, 1 iunie. La fel de zi de rezervare data este evidențiată în bucla principală 25 iunie, iar 2 iulie rămâne o zi liberă pentru livrarea tuturor articolelor.

Separare examen de matematică la nivelurile petrecute anul trecut. Ele diferă din mai multe motive:

• Sistem de notare. Nivelul de bază de cunoștințe al subiectului este evaluat pe o scară de cinci puncte (se stabilesc minim 3 puncte). Evaluarea la disciplina de profil se evaluează pe o scară de 100 de puncte;
• Următoarea diferență este în admiterea examenelor de nivel de bază și de profil pentru admiterea în instituțiile de învățământ nivel profesional superior și mediu. Deci, nivelul de bază este suficient pentru colegii, școli, universități de arte liberale. Prezența matematicii la examenele de admitere la specialitățile tehnice impune ca solicitantul să promoveze nivelul de profil;
• Diferă structuri de examen. Baza este formată din 20 de probleme cu răspunsuri scurte. Examenul de profil este mult mai dificil și constă din 2 părți.

Sistemul USE permite absolvenților școlii să preia partea de bază și de profil a materiei fără restricții. Acest lucru crește semnificativ șansele de a intra în universități.

Prelucrarea rezultatelor examenului are un anumit interval de timp și ordine:

• Scanarea și prelucrarea formularelor în regiuni - până la 4 zile;
• Prelucrarea rezultatelor la nivel federal - până la 7 zile;
• Trimiterea rezultatelor către regiuni - 1 zi;
• Confirmarea rezultatelor de către comisia de examen de stat - cel mult 1 zi;
• Anunțul rezultatelor - 1 zi.

Astfel, perioada de verificare și publicare a rezultatelor nu este mai mare de 2 săptămâni. Rezultatele USE 2018 la matematică la nivel de profil vor fi cunoscute cel târziu pe 17 iunie.

Cum să-ți cunoști rezultatul?

Aflați rezultatele ultimului examen se poate face în mai multe moduri:

• Portalul oficial al Examenului Unificat de Stat www.ege.edu.ru;
• La standurile de informare din școli sau alte instituții unde s-a susținut examenul;
• În departamentele sau comitetele regionale de educație;
• Un număr de regiuni creează site-uri web specializate sau linii telefonice telefonice.

Verifică-ți scorul disponibil dacă este disponibil:

• Numele complet al subiectului;
• Numărul pașaportului sau al altui document utilizat în timpul examenului de identitate;
• Un cod de identificare atribuit fiecărui participant la examen.

Informațiile despre rezultatele examenului sunt gratuite și sunt oferite gratuit participanților USE și părinților acestora.

Examen USE preliminar la matematică

O serie de școlari au promovat deja USE la matematică în așa-numita perioada timpurie. Participarea la acesta este permisă dacă studentul nu poate participa la etapa principală. Motivele pot fi:

• Tratament planificat;
• Odihnă în unități de îmbunătățire a sănătății;
• Participarea la competiții, olimpiade și alte evenimente educaționale sau creative.

În 2017, a avut loc livrarea timpurie a matematicii 31 martie și 14 aprilie(zi de rezervă). Nivelul de bază au trecut 4,8 mii de şcolari, iar circa 17 mii de specialitate.

Conform planului, rezultatele USE timpurii în matematică 2017 ar fi trebuit să fie disponibile pe 11 aprilie, dar au fost făcute publice mult mai devreme - pe 7.

Unde să vă vedeți munca

Vă puteți vizualiza lucrările după promovarea examenului în format electronic. Scanarea ei este disponibilă în contul personal de pe portalul USE. Accesul la acesta se acordă atunci când:

• Prezența codului de identificare al participantului la examenul unificat de stat;
• Numele complet și numărul pașaportului.

Dacă, după anunțarea rezultatelor, participantul nu este de acord cu punctele acordate, atunci a făcut-o 2 zile pentru a depune contestație către Comisia de examinare. Cererea este redactată în 2 exemplare și depusă spre examinare comisiei. Până pe 5 iunie, soluțiile la probleme vor fi revizuite din nou și se va lua decizia de a modifica evaluarea sau de a o confirma.

Cum se notează examenul? Sistemul USE pentru evaluarea rezultatelor folosește scorurile primare și de test, precum și o scală specială pentru traducerea lor unul în celălalt. Soluțiile KIM-urilor (materiale de control și măsurare) sunt evaluate în puncte primare și apoi transferate conform tabelului în cele de testare. Rezultatul final al examenului este numărul de puncte de test obținute.

Elaborarea unei scale de conversie a scorurilor primare în scoruri la test se realizează în fiecare an și ține cont de nivelul general de pregătire al școlarilor.

Pentru succes promovarea profilului de matematică în 2018 trebuie să tastați minimul:

• 6 puncte primare;
• 27 de puncte de testare.

Data reluării examenului la matematică în 2018

Există un număr termene suplimentare pentru promovarea examenului. Sunt disponibile dacă, dintr-un motiv întemeiat, studentul nu a putut promova materia în ziua principală. Pentru matematica de profil, aceasta este:

• 25 iunie– zi de rezervă în cadrul etapei principale;
• 2 iulie- o zi de rezervă a părții principale a examenului, când poți promova orice materie.

Oportunitatea de a relua matematica de profil în septembrie are o serie de condiții:

• Dacă un elev a promovat matematica de bază, atunci nu va avea voie să relueze nivelul de profil în acest an. Oportunitatea de a relua examenul va apărea abia anul viitor;
• În cazul în care ambele examene la matematică (de bază și de profil) sunt picate, studentul poate decide pe care va relua.

Reluare la matematică numit în septembrie 7 septembrie. 15 septembrie este trecută ca zi de rezervă.