În acest subiect, vom analiza acele formule care pot fi obținute folosind a doua limită remarcabilă (se află subiectul dedicat direct celei de-a doua limită remarcabilă). Permiteți-mi să vă reamintesc două formulări ale celei de-a doua limite remarcabile care vor fi necesare în această secțiune: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ și $\lim_(x \la\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

De obicei dau formule fără dovezi, dar pentru această pagină cred că voi face o excepție. Cert este că dovada consecințelor celei de-a doua limite remarcabile conține câteva trucuri care sunt utile în rezolvarea directă a problemelor. Ei bine, și, în general, este de dorit să știm cum se dovedește cutare sau cutare formulă. Acest lucru vă permite să înțelegeți mai bine structura sa internă, precum și limitele de aplicabilitate. Dar din moment ce dovezile ar putea să nu fie de interes pentru toți cititorii, le voi ascunde sub note după fiecare corolar.

Consecința #1

\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(equation)

Dovada corolarului #1: show\hide

Deoarece pentru $x\to 0$ avem $\ln(1+x)\to 0$, atunci în limita considerată există o nedeterminare de forma $\frac(0)(0)$. Pentru a dezvălui această incertitudine, să reprezentăm expresia $\frac(\ln(1+x))(x)$ după cum urmează: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. Acum să adăugăm factorul $\frac(1)(x)$ la puterea lui $(1+x)$ și să aplicăm a doua limită remarcabilă:

$$ \lim_(x\la\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\la\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ la\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

Din nou avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. Ne vom baza pe formula pe care am dovedit-o deja. Deoarece $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, atunci $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\la\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

Consecința #2

\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(equation)

Dovada corolarului #2: show\hide

Deoarece pentru $x\to 0$ avem $e^x-1\to 0$, atunci în limita considerată există o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. Pentru a dezvălui această incertitudine, să schimbăm variabila, notând $t=e^x-1$. De la $x\la 0$, atunci $t\la 0$. În plus, din formula $t=e^x-1$ obținem: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\la\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\left | \begin(aligned) & t=e^x-1;\; t\la 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (aliniat) \right|= \lim_(t\la 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\la 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

Din nou avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. Ne vom baza pe formula pe care am dovedit-o deja. Deoarece $a^x=e^(x\ln a)$, atunci:

$$ \lim_(x\la\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

Consecința #3

\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(equation)

Dovada corolarului #3: show\hide

Din nou, avem de-a face cu o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. Deoarece $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, obținem:

$$ \lim_(x\la\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

Exemplul #1

Calculați limita $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.

Avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$. Pentru a dezvălui această incertitudine, vom folosi formula . Pentru a ne potrivi limita la această formulă, trebuie avut în vedere că expresiile din puterea numărului $e$ și din numitor trebuie să se potrivească. Cu alte cuvinte, sinusul din numitor nu are loc. Numitorul ar trebui să fie $9x$. De asemenea, la rezolvarea acestui exemplu, se va folosi prima limită remarcabilă.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ spre\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

Răspuns: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

Exemplul #2

Calculați limita $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.

Avem o incertitudine de forma $\frac(0)(0)$ (amintim că $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Pentru a dezvălui această incertitudine, vom folosi formula . Mai întâi, să luăm în considerare faptul că $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (vezi lista cu funcțiile trigonometrice). Acum $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, deci numitorul ar trebui să fie $-2\sin^2 \frac(x ) (2)$ (pentru a se potrivi exemplului nostru cu ). În soluția ulterioară, se va folosi prima limită remarcabilă.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\la\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\la\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\la\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

Răspuns: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

Acum, cu liniște sufletească, trecem la considerație limite minunate.
se pare ca .

În loc de variabila x, pot fi prezente diverse funcții, principalul lucru este că tind la 0.

Trebuie să calculăm limita

După cum puteți vedea, această limită este foarte asemănătoare cu prima remarcabilă, dar acest lucru nu este în întregime adevărat. În general, dacă observați păcat în limită, atunci ar trebui să vă gândiți imediat dacă este posibil să folosiți prima limită remarcabilă.

Conform regulii noastre nr. 1, înlocuim zero cu x:

Primim incertitudine.

Acum să încercăm să organizăm în mod independent prima limită remarcabilă. Pentru a face acest lucru, vom efectua o combinație simplă:

Așa că aranjam numărătorul și numitorul pentru a face ca 7x să iasă în evidență. Limita remarcabilă familiară a apărut deja. Este recomandabil să o evidențiați atunci când decideți:

Înlocuim soluția primului exemplu remarcabil și obținem:

Simplificați fracția:

Raspuns: 7/3.

După cum puteți vedea, totul este foarte simplu.

Are forma , unde e = 2,718281828... este un număr irațional.

În loc de variabila x, pot fi prezente diverse funcții, principalul lucru este că acestea tind să .

Trebuie să calculăm limita

Aici vedem prezența unui grad sub semnul limită, ceea ce înseamnă că a doua limită remarcabilă poate fi aplicată.

Ca întotdeauna, vom folosi regula numărul 1 - înlocuiți în loc de x:

Se poate observa că pentru x baza gradului este , iar exponentul este 4x > , adică. obținem o incertitudine a formei:

Să folosim a doua limită minunată pentru a ne dezvălui incertitudinea, dar mai întâi trebuie să o organizăm. După cum puteți vedea, este necesar să obțineți prezența în indicator, pentru care ridicăm baza la puterea de 3x și, în același timp, la puterea de 1/3x, astfel încât expresia să nu se schimbe:

Nu uitați să subliniați limita noastră minunată:

Acestea sunt cu adevărat limite minunate!
Dacă aveți întrebări despre prima și a doua limite minunate nu ezitați să-i întrebați în comentarii.
Vom răspunde tuturor cât mai curând posibil.

De asemenea, puteți lucra cu un profesor pe această temă.
Suntem încântați să vă oferim serviciile de selectare a unui tutor calificat în orașul dumneavoastră. Partenerii noștri vor selecta prompt un profesor bun pentru tine, în condiții favorabile pentru tine.

Nu sunt suficiente informații? - Poti !

Puteți scrie calcule matematice în blocnotes. Este mult mai plăcut să scrii în caiete individuale cu logo (http://www.blocnot.ru).

Există mai multe limite minunate, dar cele mai cunoscute sunt prima și a doua limită minunată. Lucrul remarcabil la aceste limite este că sunt utilizate pe scară largă și pot fi folosite pentru a găsi alte limite întâlnite în numeroase probleme. Aceasta este ceea ce vom face în partea practică a acestei lecții. Pentru a rezolva probleme prin reducerea la prima sau a doua limită remarcabilă, nu este necesar să dezvăluiți incertitudinile conținute în ele, deoarece valorile acestor limite au fost deduse mult timp de marii matematicieni.

Prima limită remarcabilă numită limita raportului dintre sinusul unui arc infinit de mic și același arc, exprimat în măsura în radiani:

Să trecem la rezolvarea problemelor la prima limită remarcabilă. Notă: dacă o funcție trigonometrică se află sub semnul limită, acesta este aproape un semn sigur că această expresie poate fi redusă la prima limită remarcabilă.

Exemplul 1 Găsiți limita.

Soluţie. Înlocuire în schimb X zero duce la incertitudine:

.

Numitorul este un sinus, prin urmare, expresia poate fi redusă la prima limită remarcabilă. Să începem transformarea:

.

În numitor - sinusul a trei x, iar în numărător există doar un x, ceea ce înseamnă că trebuie să obțineți trei x la numărător. Pentru ce? A prezenta 3 X = Ași obțineți expresia.

Și ajungem la o variație a primei limite remarcabile:

pentru că nu contează ce literă (variabilă) este în această formulă în loc de x.

Înmulțim x cu trei și împărțim imediat:

.

În conformitate cu prima limită remarcabilă menționată, înlocuim expresia fracțională:

Acum putem rezolva în sfârșit această limită:

.

Exemplul 2 Găsiți limita.

Soluţie. Substituția directă duce din nou la incertitudinea „împărțire zero la zero”:

.

Pentru a obține prima limită remarcabilă, este necesar ca x sub semnul sinus la numărător și doar x la numitor să fie cu același coeficient. Fie ca acest coeficient să fie egal cu 2. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă coeficientul curent la x ca mai jos, efectuând acțiuni cu fracții, obținem:

.

Exemplul 3 Găsiți limita.

Soluţie. Când înlocuim, obținem din nou incertitudinea „zero împărțit la zero”:

.

Probabil că deja înțelegeți că din expresia originală puteți obține prima limită minunată înmulțită cu prima limită minunată. Pentru a face acest lucru, descompunem pătratele lui x la numărător și sinusul la numitor în aceiași factori, iar pentru a obține aceiași coeficienți pentru x și sinus, împărțim x din numărător la 3 și înmulțim imediat cu 3. Obținem:

.

Exemplul 4 Găsiți limita.

Soluţie. Din nou obținem incertitudinea „zero împărțit la zero”:

.

Putem obține raportul dintre primele două limite remarcabile. Împărțim atât numărătorul cât și numitorul cu x. Apoi, pentru ca coeficienții la sinusuri și la x să coincidă, înmulțim x-ul superior cu 2 și împărțim imediat cu 2 și înmulțim x-ul inferior cu 3 și împărțim imediat cu 3. Obținem:

Exemplul 5 Găsiți limita.

Soluţie. Și din nou, incertitudinea „zero împărțit la zero”:

Ne amintim din trigonometrie că tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, iar cosinusul lui zero este egal cu unu. Facem transformări și obținem:

.

Exemplul 6 Găsiți limita.

Soluţie. Funcția trigonometrică sub semnul limită sugerează din nou ideea aplicării primei limite remarcabile. O reprezentăm ca raportul dintre sinus și cosinus.

Din articolul de mai sus, puteți afla care este limita și cu ce se mănâncă - acest lucru este FOARTE important. De ce? S-ar putea să nu înțelegi ce sunt determinanții și să-i rezolvi cu succes, s-ar putea să nu înțelegi deloc ce este o derivată și să-i găsești pe „cinci”. Dar dacă nu înțelegeți ce este o limită, atunci va fi dificil să rezolvați sarcini practice. De asemenea, nu va fi de prisos să vă familiarizați cu mostrele de proiectare a deciziilor și cu recomandările mele pentru proiectare. Toate informațiile sunt prezentate într-un mod simplu și accesibil.

Și în scopul acestei lecții, avem nevoie de următoarele materiale metodologice: Limite remarcabileși Formule trigonometrice. Ele pot fi găsite pe pagină. Cel mai bine este să tipăriți manualele - este mult mai convenabil, în plus, acestea trebuie adesea accesate offline.

Ce este remarcabil la limitele minunate? Remarcabilitatea acestor limite constă în faptul că au fost dovedite de cele mai mari minți ale matematicienilor celebri, iar descendenții recunoscători nu trebuie să sufere de limite teribile cu o grămadă de funcții trigonometrice, logaritmi și grade. Adică, atunci când găsim limitele, vom folosi rezultate gata făcute care au fost dovedite teoretic.

Există mai multe limite remarcabile, dar în practică, studenții cu fracțiune de normă în 95% din cazuri au două limite remarcabile: Prima limită minunată, A doua limită minunată. Trebuie menționat că acestea sunt nume consacrate istoric, iar când, de exemplu, se vorbește despre „prima limită remarcabilă”, înseamnă prin aceasta un lucru foarte specific, și nu o limită aleatorie luată din plafon.

Prima limită minunată

Luați în considerare următoarea limită: (în loc de litera nativă „el” voi folosi litera greacă „alfa”, aceasta este mai convenabilă în ceea ce privește prezentarea materialului).

Conform regulii noastre de găsire a limitelor (vezi articolul Limite. Exemple de soluții) încercăm să înlocuim zero în funcție: la numărător obținem zero (sinusul lui zero este zero), la numitor, evident, tot zero. Astfel, ne confruntăm cu o nedeterminare a formei, care, din fericire, nu trebuie dezvăluită. Pe parcursul analizei matematice se demonstrează că:

Acest fapt matematic se numește Prima limită minunată. Nu voi da o dovadă analitică a limitei, dar vom lua în considerare semnificația ei geometrică în lecția despre funcții infinitezimale.

Adesea, în sarcinile practice, funcțiile pot fi aranjate diferit, acest lucru nu schimbă nimic:

– aceeași primă limită minunată.

Dar nu poți rearanja numitorul și numitorul singur! Dacă o limită este dată în forma , atunci aceasta trebuie rezolvată în aceeași formă, fără a rearanja nimic.

În practică, nu doar o variabilă poate acționa ca parametru, ci și o funcție elementară, o funcție complexă. Este important doar ca tinde spre zero.

Exemple:
, , ,

Aici , , , , și totul bâzâie - se aplică prima limită minunată.

Și iată următoarea intrare - erezie:

De ce? Deoarece polinomul nu tinde spre zero, tinde spre cinci.

Apropo, întrebarea este pentru umplere, dar care este limita ? Răspunsul poate fi găsit la sfârșitul lecției.

În practică, nu totul este atât de lin, aproape niciodată unui student nu i se va oferi să rezolve o limită gratuită și să obțină un credit ușor. Hmmm... Scriu aceste rânduri și mi-a venit în minte un gând foarte important - la urma urmei, se pare că este mai bine să ne amintim definițiile și formulele matematice „libere” pe de rost, acest lucru poate fi de un ajutor neprețuit în test, când problema va fi decisă între „doi” și „trei”, iar profesorul decide să pună elevului o întrebare simplă sau să ofere să rezolve cel mai simplu exemplu („poate că el (a) mai știe ce?!”).

Să trecem la exemple practice:

Exemplul 1

Găsiți limita

Dacă observăm un sinus în limită, atunci acest lucru ar trebui să ne conducă imediat să ne gândim la posibilitatea aplicării primei limite remarcabile.

În primul rând, încercăm să înlocuim 0 în expresia de sub semnul limită (facem acest lucru mental sau pe o schiță):

Deci, avem o nedeterminare a formei , its asigurați-vă că indicațiîn luarea unei decizii. Expresia sub semnul limită arată ca prima limită minunată, dar aceasta nu este chiar asta, este sub sinus, dar în numitor.

În astfel de cazuri, trebuie să organizăm singuri prima limită minunată, folosind un dispozitiv artificial. Linia de raționament poate fi următoarea: „sub sinusul pe care îl avem, ceea ce înseamnă că trebuie să intrăm și în numitor”.
Și acest lucru se face foarte simplu:

Adică, numitorul este înmulțit artificial în acest caz cu 7 și împărțit la același șapte. Acum, înregistrarea a căpătat o formă familiară.
Când sarcina este întocmită manual, este recomandabil să marcați prima limită minunată cu un creion simplu:

Ce s-a întâmplat? De fapt, expresia încercuită s-a transformat într-o unitate și a dispărut în produs:

Acum rămâne doar să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Cine a uitat de simplificarea fracțiilor cu mai multe etaje, vă rugăm să reîmprospătați materialul din cartea de referință Formule de matematică la școală fierbinte .

Gata. Răspuns final:

Dacă nu doriți să utilizați semne de creion, atunci soluția poate fi formatată astfel:

“

Folosim prima limită remarcabilă

“

Exemplul 2

Găsiți limita

Din nou vedem o fracție și un sinus în limită. Încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Într-adevăr, avem incertitudine și, prin urmare, trebuie să încercăm să organizăm prima limită remarcabilă. La lecție Limite. Exemple de soluții am luat în considerare regula conform căreia, atunci când avem incertitudine, trebuie să factorizăm numărătorul și numitorul în factori. Aici - același lucru, vom prezenta gradele ca produs (multiplicatori):

În mod similar cu exemplul anterior, conturăm cu un creion limitele minunate (aici sunt două) și indicăm că tind la una:

De fapt, răspunsul este gata:

În următoarele exemple, nu voi face artă în Paint, mă gândesc cum să elaborez corect o soluție într-un caiet - ați înțeles deja.

Exemplul 3

Găsiți limita

Inlocuim zero in expresia sub semnul limita:

S-a obținut o incertitudine care trebuie dezvăluită. Dacă există o tangentă în limită, atunci aceasta este aproape întotdeauna convertită în sinus și cosinus în conformitate cu binecunoscuta formulă trigonometrică (apropo, ei fac cam același lucru cu cotangenta, vezi materialul metodologic Formule trigonometrice fierbinți Pe pagina Formule matematice, tabele și materiale de referință).

În acest caz:

Cosinusul lui zero este egal cu unu și este ușor să scapi de el (nu uitați să marcați că tinde spre unu):

Astfel, dacă în limită cosinusul este un MULTIPLICATOR, atunci, în linii mari, trebuie transformat într-o unitate, care dispare în produs.

Aici totul a ieșit mai simplu, fără înmulțiri și împărțiri. Prima limită remarcabilă se transformă, de asemenea, în unitate și dispare în produs:

Ca urmare, se obține infinitul, se întâmplă.

Exemplul 4

Găsiți limita

Încercăm să înlocuim zero în numărător și numitor:

Incertitudinea obținută (cosinusul lui zero, după cum ne amintim, este egal cu unu)

Folosim formula trigonometrică. Ia-ti notite! Din anumite motive, limitele care utilizează această formulă sunt foarte frecvente.

Scoatem multiplicatorii constanți dincolo de pictograma limită:

Să organizăm prima limită remarcabilă:

Aici avem o singură limită minunată, care se transformă într-una și dispare în produs:

Să scăpăm de cele trei etaje:

Limita este de fapt rezolvată, indicăm că sinusul rămas tinde spre zero:

Exemplul 5

Găsiți limita

Acest exemplu este mai complicat, încercați să vă dați seama singur:

Unele limite pot fi reduse la prima limită remarcabilă prin schimbarea variabilei, puteți citi despre asta puțin mai târziu în articol Metode de rezolvare a limitelor.

A doua limită minunată

În teoria analizei matematice se demonstrează că:

Acest fapt se numește a doua limită remarcabilă.

Referinţă: este un număr irațional.

Nu doar o variabilă poate acționa ca un parametru, ci și o funcție complexă. Este important doar să se străduiască spre infinit.

Exemplul 6

Găsiți limita

Când expresia de sub semnul limită este în putere - acesta este primul semn că trebuie să încercați să aplicați a doua limită minunată.

Dar mai întâi, ca întotdeauna, încercăm să substituim un număr infinit de mare în expresie, în funcție de ce principiu se face acest lucru, a fost analizat în lecție Limite. Exemple de soluții.

Este ușor să vezi că atunci când baza gradului și exponentul - , adică există o incertitudine a formei:

Această incertitudine tocmai este dezvăluită cu ajutorul celei de-a doua limite remarcabile. Dar, așa cum se întâmplă adesea, a doua limită minunată nu stă pe un platou de argint și trebuie organizată artificial. Puteți raționa după cum urmează: în acest exemplu, parametrul înseamnă că trebuie să ne organizăm și în indicator. Pentru a face acest lucru, ridicăm baza la o putere și, pentru ca expresia să nu se schimbe, o ridicăm la o putere:

Când sarcina este întocmită de mână, notăm cu un creion:

Aproape totul este gata, gradul teribil s-a transformat într-o scrisoare frumoasă:

În același timp, pictograma limită în sine este mutată în indicator:

Exemplul 7

Găsiți limita

Atenţie! Acest tip de limită este foarte comun, vă rugăm să studiați acest exemplu cu mare atenție.

Încercăm să înlocuim un număr infinit de mare în expresia sub semnul limită:

Rezultatul este o incertitudine. Dar a doua limită remarcabilă se aplică incertitudinii formei. Ce să fac? Trebuie să convertiți baza gradului. Argumentăm astfel: la numitor avem , ceea ce înseamnă că trebuie să organizăm și la numărător.

Găsiți limite minunate este dificil nu numai pentru mulți studenți din primul, al doilea an de studiu care studiază teoria limitelor, ci și pentru unii profesori.

Formula primei limite remarcabile

Consecințele primei limite remarcabile scrie formulele
1. 2. 3. 4. Dar prin ele însele, formulele generale ale limitelor remarcabile nu ajută pe nimeni la un examen sau test. Concluzia este că sarcinile reale sunt construite astfel încât formulele scrise mai sus trebuie încă să se ajungă la. Și cei mai mulți dintre studenții care sar peste cursuri, studiază acest curs prin corespondență sau au profesori care ei înșiși nu înțeleg întotdeauna despre ce explică, nu pot calcula cele mai elementare exemple la limite remarcabile. Din formulele primei limite remarcabile, vedem că acestea pot fi folosite pentru a investiga incertitudini precum zero împărțit la zero pentru expresii cu funcții trigonometrice. Să luăm mai întâi în considerare o serie de exemple privind prima limită remarcabilă, apoi vom studia a doua limită remarcabilă.

Exemplul 1. Aflați limita funcției sin(7*x)/(5*x)
Soluție: După cum puteți vedea, funcția sub limită este aproape de prima limită remarcabilă, dar limita funcției în sine nu este cu siguranță egală cu unul. În astfel de atribuiri la limite, ar trebui să evidențiem la numitor o variabilă cu același coeficient care este conținută în variabila sub sinus. În acest caz, împărțiți și înmulțiți cu 7

Pentru unii, o astfel de detaliere le va părea de prisos, dar pentru majoritatea studenților cărora le este greu să dea limite, le va ajuta să înțeleagă mai bine regulile și să învețe materialul teoretic.
De asemenea, dacă există o formă inversă a funcției - aceasta este și prima limită minunată. Și totul pentru că limita minunată este egală cu unu

Aceeași regulă se aplică și pentru consecințele unei limite remarcabile. Prin urmare, dacă ești întrebat „Care este prima limită minunată?” Trebuie să răspundeți fără ezitare că este o unitate.

Exemplul 2. Aflați limita funcției sin(6x)/tan(11x)
Soluție: Pentru a înțelege rezultatul final, scriem funcția sub forma

Pentru a aplica regulile limitei remarcabile înmulțiți și împărțiți cu factori

În continuare, scriem limita produsului funcțiilor în termeni de produs al limitelor

Fără formule complicate, am găsit limita câtorva funcții trigonometrice. Pentru a învăța formule simple, încercați să veniți cu și să găsiți limita pe 2 și 4, formula corolarului 1 al limitei minunate. Vom lua în considerare sarcini mai complexe.

Exemplul 3. Calculați limita (1-cos(x))/x^2
Rezolvare: Când verificăm prin substituție, obținem incertitudinea 0/0 . Mulți nu știu cum să reducă un astfel de exemplu la 1 limită minunată. Aici ar trebui să utilizați formula trigonometrică

În acest caz, limita va fi transformată într-o formă clară

Am reușit să reducem funcția la pătratul unei limite remarcabile.

Exemplul 4. Găsiți limita
Soluție: Când înlocuim, obținem caracteristica familiară 0/0 . Cu toate acestea, variabila se apropie de Pi, nu de zero. Prin urmare, pentru a aplica prima limită remarcabilă, vom efectua o astfel de modificare a variabilei x, astfel încât noua variabilă să ajungă la zero. Pentru a face acest lucru, notăm numitorul ca noua variabilă Pi-x=y

Astfel, folosind formula trigonometrică, care este dată în sarcina anterioară, exemplul este redus la 1 limită remarcabilă.

Exemplul 5 Calculați limita
Soluție: La început nu este clar cum să simplificăm limitele. Dar dacă există un exemplu, atunci trebuie să existe un răspuns. Faptul că variabila merge la unitate dă, la înlocuire, o singularitate de forma zero înmulțită cu infinit, deci tangenta trebuie înlocuită cu formula

După aceea, obținem incertitudinea dorită 0/0. În continuare, efectuăm o schimbare a variabilelor în limită și folosim periodicitatea cotangentei

Ultimele înlocuiri ne permit să folosim Corolarul 1 al limitei remarcabile.

A doua limită remarcabilă este egală cu exponentul

Acesta este un clasic căruia în problemele reale nu este întotdeauna ușor să ajungi la limite.
Pentru calcule veți avea nevoie limitele sunt consecințele celei de-a doua limite remarcabile:
1. 2. 3. 4.
Datorită celei de-a doua limite remarcabile și consecințele sale, se pot explora incertitudini precum zero împărțit la zero, unu la puterea infinitului și infinitul împărțit la infinit și chiar în același grad.

Să începem cu câteva exemple simple.

Exemplul 6 Găsiți limita unei funcții
Soluție: Aplicați direct 2 limită minunată nu va funcționa. Mai întâi trebuie să rotiți indicatorul astfel încât să aibă forma inversă termenului dintre paranteze

Aceasta este tehnica reducerii la limita remarcabilă 2 și, de fapt, derivarea formulei 2 a consecinței limitei.

Exemplul 7 Găsiți limita unei funcții
Rezolvare: Avem sarcini pentru formula 3 a corolarului 2 al limitei remarcabile. Substituția zero dă o singularitate de forma 0/0. Pentru a crește limita sub regulă, întoarcem numitorul astfel încât variabila să aibă același coeficient ca în logaritm

De asemenea, este ușor de înțeles și de efectuat la examen. Dificultățile elevilor în calcularea limitelor încep cu următoarele sarcini.

Exemplul 8 Calculați limita funcției[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Rezolvare: Avem o singularitate de tip 1 la puterea infinitului. Dacă nu mă credeți, puteți înlocui infinitul în loc de „x” peste tot și puteți vedea singur. Pentru a ridica sub regulă, împărțim numărătorul la numitorul dintre paranteze, pentru aceasta efectuăm mai întâi manipulările

Înlocuiți expresia în limită și transformați-o în limita minunată 2

Limita este exponentul puterii lui 10. Constantele care sunt termeni cu o variabilă atât între paranteze, cât și gradul nu contribuie cu nicio „vreme” - acest lucru trebuie reținut. Și dacă profesorii vă întreabă - "De ce nu dați indicatorul?" (Pentru acest exemplu din x-3 ), apoi spuneți că „Când o variabilă tinde spre infinit, adăugați-i 100 sau scădeți 1000, iar limita va rămâne aceeași!”.
Există o a doua modalitate de a calcula limitele de acest tip. Vom vorbi despre asta în sarcina următoare.

Exemplul 9 Găsiți limita
Soluție: Acum scoatem variabila din numărător și numitor și transformăm o caracteristică în alta. Pentru a obține valoarea finală, folosim formula Corolarul 2 al limitei remarcabile

Exemplul 10 Găsiți limita unei funcții
Soluție: Nu toată lumea poate găsi limita dată. Pentru a ridica limita la 2, imaginați-vă că sin (3x) este o variabilă și trebuie să transformați exponentul

Apoi, scriem indicatorul ca grad într-un grad


Argumentele intermediare sunt descrise între paranteze. Ca urmare a utilizării primei și a doua limite minunate, am obținut exponentul cub.

Exemplul 11. Calculați limita funcției sin(2*x)/log(3*x+1)
Rezolvare: Avem o incertitudine de forma 0/0. În plus, vedem că funcția ar trebui convertită la utilizarea ambelor limite minunate. Să efectuăm transformările matematice anterioare

În plus, fără dificultate, limita ia valoarea

Așa te vei simți în largul tău la teste, teste, module dacă înveți să pictezi rapid funcții și să le reduci la prima sau a doua limită minunată. Dacă vă este greu să memorați metodele de mai sus de găsire a limitelor, atunci puteți oricând comanda de la noi o lucrare de control asupra limitelor.
Pentru a face acest lucru, completați formularul, specificați datele și atașați un fișier cu exemple. Am ajutat mulți studenți - și noi vă putem ajuta!