valoarea medie- acesta este un indicator generalizator care caracterizează o populaţie omogenă calitativ după un anumit atribut cantitativ. De exemplu, vârsta medie a persoanelor condamnate pentru furt.
În statistica judiciară, mediile sunt folosite pentru a caracteriza:
Termenii medii de luare în considerare a cazurilor din această categorie;
Revendicare de dimensiune medie;
Numărul mediu de inculpați pe dosar;
Valoarea medie a daunelor;
Volumul mediu de muncă al judecătorilor etc.
Valoarea medie este întotdeauna denumită și are aceeași dimensiune ca și atributul unei unități separate a populației. Fiecare valoare medie caracterizează populația studiată în funcție de orice atribut variabil, prin urmare, în spatele oricărei medii, există o serie de distribuție a unităților acestei populații în funcție de atributul studiat. Alegerea tipului de medie este determinată de conținutul indicatorului și de datele inițiale pentru calcularea mediei.
Toate tipurile de medii utilizate în studiile statistice se împart în două categorii:
1) medii de putere;
2) medii structurale.
Prima categorie de medii include: medie aritmetică, medie armonică, medie geometrică și rădăcină medie pătrată . A doua categorie este Modăși median. Mai mult, fiecare dintre tipurile de medii de putere enumerate poate avea două forme: simplu și ponderat . Forma simplă a mediei este utilizată pentru a obține media trăsăturii studiate atunci când calculul se bazează pe statistici negrupate, sau când fiecare variantă apare o singură dată în populație. Mediile ponderate sunt numite valori care iau în considerare faptul că opțiunile pentru valorile unei caracteristici pot avea numere diferite și, prin urmare, fiecare opțiune trebuie înmulțită cu frecvența corespunzătoare. Cu alte cuvinte, fiecare opțiune este „cântăritată” de frecvența sa. Frecvența se numește pondere statistică.
medie aritmetică simplă- cel mai comun tip de mediu. Este egal cu suma valorilor caracteristice individuale împărțite la numărul total al acestor valori:
Unde x 1 ,x 2 , … ,x N- valorile individuale ale atributului variabil (opțiuni) și N - numărul de unități de populație.
Media ponderată aritmetică utilizat atunci când datele sunt prezentate sub formă de serii de distribuție sau grupări. Se calculează ca suma produselor opțiunilor și frecvențele corespunzătoare acestora, împărțită la suma frecvențelor tuturor opțiunilor:
Unde x i- sens i-alea variante ale caracteristicii; fi- frecvență i optiunile.
Astfel, fiecare valoare de variantă este ponderată de frecvența sa, motiv pentru care frecvențele sunt uneori numite ponderi statistice.
Cometariu. Când vine vorba de media aritmetică fără a specifica tipul acesteia, se înțelege media aritmetică simplă.
Tabelul 12
Soluţie. Pentru calcul, folosim formula mediei ponderate aritmetice:
Astfel, în medie, sunt doi inculpați pe dosar penal.
Dacă calculul valorii medii se efectuează în funcție de date grupate sub forma unei serii de distribuție a intervalului, atunci mai întâi trebuie să determinați valorile mediane ale fiecărui interval x "i, apoi să calculați valoarea medie folosind valoarea ponderată formula medie aritmetică, în care x" i este substituit în loc de x i.
Exemplu. Datele privind vârsta infractorilor condamnați pentru furt sunt prezentate în tabel:
Tabelul 13
Determinați vârsta medie a infractorilor condamnați pentru furt.
Soluţie. Pentru a determina vârsta medie a infractorilor pe baza seriei de variație a intervalului, trebuie mai întâi să găsiți valorile mediane ale intervalelor. Deoarece este dată o serie de intervale cu primul și ultimul interval deschis, valorile acestor intervale sunt luate egale cu valorile intervalelor închise adiacente. În cazul nostru, valoarea primului și ultimului interval este 10.
Acum găsim vârsta medie a infractorilor folosind formula mediei aritmetice ponderate:
Astfel, vârsta medie a infractorilor condamnați pentru furt este de aproximativ 27 de ani.
Armonică medie simplă este reciproca mediei aritmetice a valorilor reciproce ale atributului:
unde 1/ x i sunt reciprocele opțiunilor, iar N este numărul de unități de populație.
Exemplu. Pentru a determina volumul mediu anual de muncă al judecătorilor unei instanțe de circumscripție la analiza cauzelor penale, a fost realizat un sondaj asupra volumului de muncă a 5 judecători ai acestei instanțe. Timpul mediu petrecut într-un caz penal pentru fiecare dintre judecătorii chestionați s-a dovedit a fi egal (în zile): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Aflați costurile medii pentru unul. cauza penală și volumul mediu anual de muncă al judecătorilor acestei instanțe districtuale atunci când se analizează cauzele penale.
Soluţie. Pentru a determina timpul mediu petrecut într-un caz penal, folosim formula simplă armonică:
Pentru a simplifica calculele din exemplu, să luăm numărul de zile dintr-un an egal cu 365, inclusiv weekendurile (acest lucru nu afectează metoda de calcul, iar atunci când se calculează un indicator similar în practică, este necesar să se înlocuiască numărul de lucru zile dintr-un anumit an în loc de 365 de zile). Atunci volumul mediu anual de muncă pentru judecătorii acestei instanțe de circumscripție atunci când se analizează cauzele penale va fi: 365 (zile): 5,56 ≈ 65,6 (cazuri).
Dacă am folosi formula medie aritmetică simplă pentru a determina timpul mediu petrecut într-un caz penal, am obține:
365 (zile): 5,64 ≈ 64,7 (cazuri), i.e. volumul mediu de muncă pentru judecători a fost mai mic.
Să verificăm validitatea acestei abordări. Pentru a face acest lucru, folosim datele privind timpul petrecut într-un dosar penal pentru fiecare judecător și calculăm numărul de dosare penale luate în considerare de fiecare dintre aceștia pe an.
Primim în consecință:
365(zile) : 6 ≈ 61 (caz), 365(zile) : 5,6 ≈ 65,2 (caz), 365(zile) : 6,3 ≈ 58 (caz),
365(zile) : 4,9 ≈ 74,5 (cazuri), 365(zile) : 5,4 ≈ 68 (cazuri).
Acum calculăm volumul mediu anual de muncă pentru judecătorii acestei instanțe districtuale atunci când luăm în considerare cauzele penale:
Acestea. sarcina medie anuală este aceeași ca la utilizarea mediei armonice.
Astfel, utilizarea mediei aritmetice în acest caz este ilegală.
În cazurile în care sunt cunoscute variantele unei caracteristici, valorile lor volumetrice (produsul variantelor prin frecvență), dar frecvențele în sine sunt necunoscute, se aplică formula medie ponderată armonică:
,
Unde x i sunt valorile opțiunilor de trăsătură, iar w i sunt valorile volumetrice ale opțiunilor ( w i = x i f i).
Exemplu. Datele privind prețul unei unități de același tip de bunuri produse de diferite instituții ale sistemului penitenciar și despre volumul implementării acesteia sunt prezentate în tabelul 14.
Tabelul 14
Aflați prețul mediu de vânzare al produsului.
Soluţie. Atunci când calculăm prețul mediu, trebuie să folosim raportul dintre suma vândută și numărul de unități vândute. Nu știm numărul de unități vândute, dar știm cantitatea vânzărilor de mărfuri. Prin urmare, pentru a afla prețul mediu al bunurilor vândute, folosim formula medie ponderată armonică. Primim
Dacă utilizați aici formula mediei aritmetice, puteți obține un preț mediu care va fi nerealist:
Medie geometrică se calculează prin extragerea rădăcinii gradului N din produsul tuturor valorilor opțiunilor caracteristice:
,
Unde x 1 ,x 2 , … ,x N- valorile individuale ale trăsăturii variabile (opțiuni) și
N- numărul de unități de populație.
Acest tip de medie este utilizat pentru a calcula ratele medii de creștere ale seriilor de timp.
rădăcină medie pătrată este utilizat pentru a calcula abaterea standard, care este un indicator al variației, și va fi discutată mai jos.
Pentru a determina structura populației, se folosesc medii speciale, care includ median și Modă , sau așa-numitele medii structurale. Dacă media aritmetică este calculată pe baza utilizării tuturor variantelor valorilor atributelor, atunci mediana și modul caracterizează valoarea variantei care ocupă o anumită poziție medie în seria clasată (ordonată). Ordonarea unităţilor populaţiei statistice se poate efectua în ordinea crescătoare sau descrescătoare a variantelor trăsăturii studiate.
Mediană (eu) este valoarea care corespunde variantei din mijlocul seriei clasate. Astfel, mediana este acea variantă a seriei clasate, pe ambele părți ale căreia în această serie ar trebui să existe un număr egal de unități de populație.
Pentru a găsi mediana, mai întâi trebuie să determinați numărul său de serie în seria clasată folosind formula:
unde N este volumul seriei (numărul de unități de populație).
Dacă seria este formată dintr-un număr impar de membri, atunci mediana este egală cu varianta cu numărul N Me . Dacă seria constă dintr-un număr par de membri, atunci mediana este definită ca media aritmetică a două opțiuni adiacente situate în mijloc.
Exemplu. Având în vedere o serie clasată 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Volumul seriei este N = 9, ceea ce înseamnă N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Prin urmare, Me = 6, adică . a cincea varianta. Dacă un rând este dat 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, i.e. serie cu un număr par de membri (N = 8), apoi N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Deci mediana este egală cu jumătate din suma opțiunii a patra și a cincea, adică. Eu = (9 + 11) / 2 = 10.
Într-o serie de variații discrete, mediana este determinată de frecvențele acumulate. Frecvențele variante, începând cu prima, se însumează până la depășirea numărului median. Valoarea ultimelor opțiuni însumate va fi mediana.
Exemplu. Găsiți numărul mediu de inculpați pe dosar penal folosind datele din tabelul 12.
Soluţie.În acest caz, volumul seriei de variații este N = 154, prin urmare, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Însumând frecvențele primei și celei de a doua opțiuni, obținem: 75 + 43 = 118, i.e. am depășit numărul median. Deci eu = 2.
În seria de variație a intervalului a distribuției, indicați mai întâi intervalul în care va fi localizată mediana. El este numit median . Acesta este primul interval a cărui frecvență cumulată depășește jumătate din volumul seriei de variații de interval. Apoi valoarea numerică a mediei este determinată de formula:
Unde x Eu- limita inferioară a intervalului median; i - valoarea intervalului median; S Me-1- frecvenţa acumulată a intervalului care precede mediana; f Eu- frecvenţa intervalului median.
Exemplu. Găsiți vârsta medie a infractorilor condamnați pentru furt, pe baza statisticilor prezentate în Tabelul 13.
Soluţie. Datele statistice sunt reprezentate de o serie de variații de interval, ceea ce înseamnă că mai întâi determinăm intervalul median. Volumul populației N = 162, prin urmare, intervalul median este intervalul 18-28, deoarece acesta este primul interval, a cărui frecvență acumulată (15 + 90 = 105) depășește jumătate din volumul (162: 2 = 81) al seriei de variații de interval. Acum valoarea numerică a mediei este determinată de formula de mai sus:
Astfel, jumătate dintre cei condamnați pentru furt au sub 25 de ani.
Moda (lună) numiți valoarea atributului, care se găsește cel mai adesea în unități ale populației. Moda este folosită pentru a identifica valoarea trăsăturii care are cea mai mare distribuție. Pentru o serie discretă, modul va fi varianta cu cea mai mare frecvență. De exemplu, pentru o serie discretă prezentată în tabelul 3 lu= 1, deoarece această valoare a opțiunilor corespunde frecvenței celei mai înalte - 75. Pentru a determina modul seriei de intervale, determinați mai întâi modal interval (interval având cea mai mare frecvență). Apoi, în acest interval, se găsește valoarea caracteristicii, care poate fi un mod.
Valoarea sa se gaseste prin formula:
Unde x Mo- limita inferioară a intervalului modal; i - valoarea intervalului modal; f Mo- frecvența intervalului modal; f Mo-1- frecvenţa intervalului premergător modalului; f Mo+1- frecvenţa intervalului după modal.
Exemplu. Găsiți modul de vârstă al infractorilor condamnați pentru furt, date despre care sunt prezentate în tabelul 13.
Soluţie. Cea mai mare frecvență corespunde intervalului 18-28, prin urmare, modul trebuie să fie în acest interval. Valoarea acestuia este determinată de formula de mai sus:
Astfel, cel mai mare număr de infractori condamnați pentru furt este de 24 de ani.
Valoarea medie dă o caracteristică generalizantă a totalităţii fenomenului studiat. Cu toate acestea, două populații cu aceleași valori medii pot diferi semnificativ una de cealaltă în ceea ce privește gradul de fluctuație (variație) a valorii trăsăturii studiate. De exemplu, într-o instanță au fost atribuite următoarele pedepse de închisoare: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 ani, iar în alta - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7 , 8, 8, 8 ani. În ambele cazuri, media aritmetică este de 6,7 ani. Cu toate acestea, aceste agregate diferă semnificativ unele de altele în ceea ce privește răspândirea valorilor individuale ale termenului de închisoare atribuit în raport cu valoarea medie.
Iar pentru prima instanță, unde această variație este destul de mare, durata medie a închisorii nu reflectă bine întreaga populație. Astfel, dacă valorile individuale ale atributului diferă puțin unele de altele, atunci media aritmetică va fi o caracteristică destul de indicativă a proprietăților acestei populații. În caz contrar, media aritmetică va fi o caracteristică nesigură a acestei populații și aplicarea ei în practică este ineficientă. Prin urmare, este necesar să se țină cont de variația valorilor trăsăturii studiate.
Variație- acestea sunt diferențe între valorile unei caracteristici în diferite unități ale unei populații date în aceeași perioadă sau moment în timp. Termenul „variație” este de origine latină - variatio, care înseamnă diferență, schimbare, fluctuație. Ea apare ca urmare a faptului că valorile individuale ale atributului se formează sub influența combinată a diferiților factori (condiții), care sunt combinați în moduri diferite în fiecare caz individual. Pentru a măsura variația unei trăsături, se folosesc diverși indicatori absoluti și relativi.
Principalii indicatori ai variației includ următorii:
1) interval de variație;
2) abaterea liniară medie;
3) dispersie;
4) abaterea standard;
5) coeficientul de variație.
Să ne oprim pe scurt asupra fiecăruia dintre ele.
Variație de interval R este cel mai accesibil indicator absolut în ceea ce privește ușurința de calcul, care este definit ca diferența dintre cele mai mari și cele mai mici valori ale atributului pentru unitățile acestei populații:
Gama de variație (gama de fluctuații) este un indicator important al variabilității unei trăsături, dar face posibilă observarea numai abaterilor extreme, ceea ce îi limitează domeniul de aplicare. Pentru o caracterizare mai precisă a variației unei trăsături pe baza fluctuației acesteia, se folosesc alți indicatori.
Abaterea liniară medie reprezintă media aritmetică a valorilor absolute a abaterilor valorilor individuale ale trăsăturii de la medie și este determinată de formulele:
1) pentru date negrupate
2) pentru serie de variații
Cu toate acestea, cea mai utilizată măsură a variației este dispersie . Caracterizează măsura răspândirii valorilor trăsăturii studiate în raport cu valoarea medie a acesteia. Varianta este definită ca media abaterilor la pătrat.
varianță simplă pentru date negrupate:
.
Varianta ponderata pentru seria de variații:
Cometariu.În practică, este mai bine să utilizați următoarele formule pentru a calcula varianța:
Pentru o variantă simplă
.
Pentru variația ponderată
Deviație standard este rădăcina pătrată a varianței:
Abaterea standard este o măsură a fiabilității mediei. Cu cât abaterea standard este mai mică, cu atât populația este mai omogenă și cu atât media aritmetică reflectă mai bine întreaga populație.
Măsurile de dispersie considerate mai sus (gamă de variație, varianță, abatere standard) sunt indicatori absoluti, prin care nu este întotdeauna posibil să se judece gradul de fluctuație al unei trăsături. În unele probleme, este necesar să se utilizeze indici de împrăștiere relativi, dintre care unul este coeficientul de variație.
Coeficientul de variație- exprimat ca procent din raportul dintre abaterea standard și media aritmetică:
Coeficientul de variație este utilizat nu numai pentru evaluarea comparativă a variației diferitelor trăsături sau a aceleiași trăsături în diferite populații, ci și pentru a caracteriza omogenitatea populației. Populația statistică este considerată omogenă cantitativ dacă coeficientul de variație nu depășește 33% (pentru distribuții apropiate de distribuția normală).
Exemplu. Există următoarele date privind termenele de închisoare a 50 de condamnați pronunțați pentru a executa pedeapsa aplicată de instanță într-o instituție corecțională a sistemului penitenciar: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2. , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.
1. Construiți o serie de distribuție pe termene de închisoare.
2. Găsiți media, varianța și abaterea standard.
3. Calculați coeficientul de variație și trageți o concluzie despre omogenitatea sau eterogenitatea populației studiate.
Soluţie. Pentru a construi o serie de distribuție discretă, este necesar să se determine variantele și frecvențele. Varianta în această problemă este termenul de închisoare, iar frecvența este numărul variantei individuale. După ce am calculat frecvențele, obținem următoarea serie de distribuție discretă:
Găsiți media și varianța. Deoarece datele statistice sunt reprezentate printr-o serie variațională discretă, vom folosi formulele mediei ponderate aritmetice și ale varianței pentru a le calcula. Primim:
= 
= 4,1;
= 
5,21.
Acum calculăm abaterea standard:
Găsim coeficientul de variație:
În consecință, populația statistică este eterogenă cantitativ.
Fiecare persoană din lumea modernă, atunci când intenționează să contracteze un împrumut sau să împrumute legume pentru iarnă, întâlnește periodic un astfel de concept ca „medie”. Să aflăm: ce este, ce tipuri și clase există și de ce este folosit în statistică și în alte discipline.
Valoarea medie - ce este?
Un nume similar (SV) este o caracteristică generalizată a unui set de fenomene omogene, determinate de orice atribut al unei variabile cantitative.
Cu toate acestea, oamenii departe de astfel de definiții abstruse înțeleg acest concept ca o cantitate medie de ceva. De exemplu, înainte de a lua un împrumut, un angajat al băncii va cere cu siguranță unui potențial client să furnizeze date despre venitul mediu pe an, adică suma totală de bani pe care o câștigă o persoană. Se calculează prin însumarea câștigurilor pentru întregul an și împărțirea la numărul de luni. Astfel, banca va putea stabili dacă clientul său va putea rambursa datoria la timp.
De ce este folosit?
De regulă, valorile medii sunt utilizate pe scară largă pentru a oferi o caracterizare finală a anumitor fenomene sociale care sunt de natură de masă. Pot fi folosite si pentru calcule mai mici, ca in cazul unui imprumut, in exemplul de mai sus.
Cu toate acestea, cel mai adesea mediile sunt încă folosite în scopuri globale. Un exemplu al uneia dintre ele este calculul cantității de energie electrică consumată de cetățeni pe parcursul unei luni calendaristice. Pe baza datelor obținute se stabilesc ulterior norme maxime pentru categoriile de populație care se bucură de beneficii de la stat.
De asemenea, cu ajutorul valorilor medii se dezvoltă perioada de garanție pentru service-ul anumitor aparate electrocasnice, mașini, clădiri etc.. Pe baza datelor colectate în acest fel s-au elaborat odată standarde moderne de muncă și odihnă. .
De fapt, orice fenomen al vieții moderne, care este de natură de masă, este într-un fel sau altul în mod necesar legat de conceptul luat în considerare.
Aplicații
Acest fenomen este utilizat pe scară largă în aproape toate științele exacte, în special în cele de natură experimentală.
Găsirea mediei este de mare importanță în medicină, inginerie, gătit, economie, politică și așa mai departe.
Pe baza datelor obținute din astfel de generalizări, ei dezvoltă pregătiri medicale, programe educaționale, stabilesc salarii minime de trai și salarii, construiesc programe educaționale, produc mobilier, haine și încălțăminte, articole de igienă și multe altele.
În matematică, acest termen este numit „valoarea medie” și este folosit pentru a implementa soluții la diverse exemple și probleme. Cele mai simple dintre acestea sunt adunarea și scăderea cu fracții obișnuite. La urma urmei, după cum știți, pentru a rezolva astfel de exemple, este necesar să aduceți ambele fracții la un numitor comun.
De asemenea, în regina științelor exacte, este adesea folosit termenul „valoarea medie a unei variabile aleatoare”, care este apropiat ca înțeles. Pentru cei mai mulți, este mai familiar ca „așteptare”, mai des considerată în teoria probabilității. Este de remarcat faptul că un fenomen similar se aplică și la efectuarea calculelor statistice.
Valoarea medie în statistici
Cu toate acestea, cel mai adesea conceptul studiat este folosit în statistică. După cum se știe, această știință în sine este specializată în calculul și analiza caracteristicilor cantitative ale fenomenelor sociale de masă. Prin urmare, valoarea medie în statistică este utilizată ca metodă specializată pentru atingerea obiectivelor sale principale - colectarea și analiza informațiilor.
Esența acestei metode statistice este înlocuirea valorilor individuale unice ale trăsăturii luate în considerare cu o anumită valoare medie echilibrată.
Un exemplu este celebra glumă cu mâncare. Așa că, la o anumită fabrică, marți, la prânz, șefii lui mănâncă de obicei caserolă de carne, iar muncitorii obișnuiți mănâncă varză înăbușită. Pe baza acestor date, putem concluziona că, în medie, personalul fabricii ia masa marți cu sarmale.
Deși acest exemplu este ușor exagerat, el ilustrează principalul dezavantaj al metodei de căutare a valorii medii - nivelarea caracteristicilor individuale ale obiectelor sau personalităților.
Mediile sunt folosite nu numai pentru a analiza informațiile colectate, ci și pentru a planifica și prezice acțiuni ulterioare.
De asemenea, este utilizat pentru evaluarea rezultatelor obținute (de exemplu, implementarea planului de cultivare și recoltare a grâului pentru sezonul primăvară-vară).
Cum se calculează
Deși, în funcție de tipul de CV, există formule diferite pentru calcularea acestuia, în teoria generală a statisticii, de regulă, se folosește o singură metodă de calcul a valorii medii a unei caracteristici. Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să adunați valorile tuturor fenomenelor și apoi să împărțiți suma rezultată la numărul lor.
Atunci când faceți astfel de calcule, merită să ne amintim că valoarea medie are întotdeauna aceeași dimensiune (sau unități) ca o unitate separată a populației.
Condiții pentru calculul corect
Formula discutată mai sus este foarte simplă și universală, așa că este aproape imposibil să faci o greșeală în ea. Cu toate acestea, merită întotdeauna luate în considerare două aspecte, altfel datele obținute nu vor reflecta situația reală.
clase CB
După ce am găsit răspunsuri la întrebările principale: „Valoarea medie - ce este?”, „Unde se utilizează?” și „Cum pot să-l calculez?”, merită să știți ce clase și tipuri de CB există.
În primul rând, acest fenomen este împărțit în 2 clase. Acestea sunt medii structurale și de putere.
Tipuri de putere SW
Fiecare dintre clasele de mai sus, la rândul său, este împărțită în tipuri. Clasa de putere are patru dintre ele.
- Media aritmetică este cel mai frecvent tip de SV. Este un termen mediu, în determinarea căruia volumul total al atributului considerat din setul de date este distribuit în mod egal între toate unitățile acestui set.
Acest tip este împărțit în subspecii: SV aritmetică simplă și ponderată.
- Valoarea medie armonică este un indicator care este reciproca mediei aritmetice simple, calculată din valorile reciproce ale caracteristicii în cauză.
Este utilizat în cazurile în care sunt cunoscute valorile individuale ale caracteristicii și ale produsului, dar datele de frecvență nu sunt.
- Media geometrică este folosită cel mai adesea în analiza ratelor de creștere a fenomenelor economice. Face posibilă păstrarea neschimbată a produsului valorilor individuale ale unei cantități date, mai degrabă decât a sumei.
De asemenea, se întâmplă să fie simplu și echilibrat.
- Valoarea pătratică medie este utilizată în calculul indicatorilor individuali ai indicatorilor, cum ar fi coeficientul de variație, care caracterizează ritmul producției etc.
De asemenea, cu ajutorul acestuia, se calculează diametrele medii ale țevilor, roților, laturile medii ale unui pătrat și cifre similare.
Ca toate celelalte tipuri de SW medie, rădăcina pătrată medie este simplă și ponderată.
Tipuri de mărimi structurale
Pe lângă SW medii, tipurile structurale sunt adesea folosite în statistici. Ele sunt mai potrivite pentru calcularea caracteristicilor relative ale valorilor unei trăsături variabile și a structurii interne a seriei de distribuție.
Există două astfel de tipuri.
Pentru a găsi valoarea medie în Excel (fie că este o valoare numerică, textuală, procentuală sau altă valoare), există multe funcții. Și fiecare dintre ele are propriile sale caracteristici și avantaje. La urma urmei, anumite condiții pot fi stabilite în această sarcină.
De exemplu, valorile medii ale unei serii de numere în Excel sunt calculate folosind funcții statistice. De asemenea, puteți introduce manual propria formulă. Să luăm în considerare diferite opțiuni.
Cum se găsește media aritmetică a numerelor?
Pentru a găsi media aritmetică, adăugați toate numerele din mulțime și împărțiți suma la număr. De exemplu, notele unui student la informatică: 3, 4, 3, 5, 5. Ce este valabil pentru un sfert: 4. Am găsit media aritmetică folosind formula: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.
Cum se face rapid folosind funcțiile Excel? Luați de exemplu o serie de numere aleatorii dintr-un șir:
Sau: activați celula și introduceți pur și simplu manual formula: =AVERAGE(A1:A8).
Acum să vedem ce mai poate face funcția AVERAGE.
Aflați media aritmetică a primelor două și a ultimelor trei numere. Formula: =MEDIE(A1:B1;F1:H1). Rezultat:
Medie după condiție
Condiția pentru aflarea mediei aritmetice poate fi un criteriu numeric sau unul text. Vom folosi funcția: =AVERAGEIF().
Aflați media aritmetică a numerelor care sunt mai mari sau egale cu 10.
Funcție: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")
Rezultatul utilizării funcției AVERAGEIF cu condiția „>=10”: Al treilea argument - „Intervalul de mediere” - este omis. În primul rând, nu este necesar. În al doilea rând, intervalul analizat de program conține NUMAI valori numerice. În celulele specificate în primul argument, căutarea va fi efectuată conform condiției specificate în al doilea argument.
Atenţie! Criteriul de căutare poate fi specificat într-o celulă. Și în formula pentru a face o referire la ea.
Să găsim valoarea medie a numerelor după criteriul textului. De exemplu, vânzările medii ale produsului „tabele”.
Funcția va arăta astfel: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Interval - o coloană cu nume de produse. Criteriul de căutare este o legătură către o celulă cu cuvântul „tabele” (puteți introduce cuvântul „tabele” în loc de linkul A7). Interval de mediere - acele celule din care vor fi luate date pentru a calcula valoarea medie.
Ca rezultat al calculului funcției, obținem următoarea valoare:
Atenţie! Pentru un criteriu text (condiție), trebuie specificat intervalul de mediere.
Cum se calculează prețul mediu ponderat în Excel?
Cum știm prețul mediu ponderat?
Formula: =SUMAPRODUS(C2:C12;B2:B12)/SUMA(C2:C12).
Folosind formula SUMPRODUCT, aflăm venitul total după vânzarea întregii cantități de mărfuri. Și funcția SUM - însumează cantitatea de mărfuri. Împărțind venitul total din vânzarea de bunuri la numărul total de unități de mărfuri, am găsit prețul mediu ponderat. Acest indicator ține cont de „greutatea” fiecărui preț. Ponderea sa în masa totală a valorilor.
Abaterea standard: formula în Excel
Distingeți abaterea standard pentru populația generală și pentru eșantion. În primul caz, aceasta este rădăcina varianței generale. În al doilea, din varianța eșantionului.
Pentru a calcula acest indicator statistic, este compilată o formulă de dispersie. Rădăcina este luată din ea. Dar în Excel există o funcție gata făcută pentru găsirea abaterii standard.
Abaterea standard este legată de amploarea datelor sursă. Acest lucru nu este suficient pentru o reprezentare figurativă a variației intervalului analizat. Pentru a obține nivelul relativ de împrăștiere în date, se calculează coeficientul de variație:
abatere standard / medie aritmetică
Formula în Excel arată astfel:
STDEV (interval de valori) / AVERAGE (interval de valori).
Coeficientul de variație se calculează procentual. Prin urmare, setăm formatul procentual în celulă.
Acest termen are alte semnificații, vezi sensul mediu.In medie(în matematică și statistică) seturi de numere - suma tuturor numerelor împărțită la numărul lor. Este una dintre cele mai comune măsurători ale tendinței centrale.
A fost propusă (împreună cu media geometrică și media armonică) de către pitagoreici.
Cazuri speciale ale mediei aritmetice sunt media (a populației generale) și media eșantionului (a eșantioanelor).
Introducere
Indicați setul de date X = (X 1 , X 2 , …, X n), atunci media eșantionului este de obicei notat cu o bară orizontală peste variabila (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , pronunțată " X cu o liniuță").
Litera greacă μ este folosită pentru a desemna media aritmetică a întregii populații. Pentru o variabilă aleatoare pentru care este definită o valoare medie, μ este probabilitate medie sau așteptarea matematică a unei variabile aleatoare. Dacă setul X este o colecție de numere aleatoare cu o medie a probabilității μ, apoi pentru orice probă X i din această colecție μ = E( X i) este așteptarea acestui eșantion.
În practică, diferența dintre μ și x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) este că μ este o variabilă tipică, deoarece puteți vedea eșantionul mai degrabă decât întreaga populație. Prin urmare, dacă eșantionul este reprezentat aleatoriu (în termeni de teoria probabilității), atunci x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (dar nu μ) poate fi tratată ca o variabilă aleatoare având o distribuție de probabilitate pe eșantion ( distribuția de probabilitate a mediei).
Ambele cantități sunt calculate în același mod:
X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)
În cazul în care un X este o variabilă aleatorie, apoi așteptarea matematică X poate fi considerată media aritmetică a valorilor în măsurători repetate ale mărimii X. Aceasta este o manifestare a legii numerelor mari. Prin urmare, media eșantionului este utilizată pentru a estima așteptările matematice necunoscute.
În algebra elementară, se demonstrează că media n+ 1 numere peste medie n numere dacă și numai dacă noul număr este mai mare decât vechea medie, mai puțin dacă și numai dacă noul număr este mai mic decât media și nu se modifică dacă și numai dacă noul număr este egal cu media. Cu atât mai mult n, cu atât este mai mică diferența dintre mediile noi și cele vechi.
Rețineți că există mai multe alte „mijloace” disponibile, inclusiv media puterii, medie Kolmogorov, medie armonică, medie aritmetică-geometrică și diverse medii ponderate (de exemplu, medie ponderată aritmetică, medie ponderată geometrică, medie ponderată armonică) .
Exemple
- Pentru trei numere, trebuie să le adunați și să le împărțiți la 3:
- Pentru patru numere, trebuie să le adunați și să împărțiți la 4:
Sau mai ușor 5+5=10, 10:2. Pentru că am adăugat 2 numere, ceea ce înseamnă că câte numere adunăm, împărțim la atât.
Variabilă aleatoare continuă
Pentru o valoare distribuită continuu f (x) (\displaystyle f(x)) media aritmetică pe intervalul [ a ; b ] (\displaystyle ) este definit printr-o integrală definită:
F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)
Câteva probleme de utilizare a mediei
Lipsa robusteței
Articolul principal: Robustețe în statisticăDeși media aritmetică este adesea folosită ca medie sau tendințe centrale, acest concept nu se aplică statisticilor robuste, ceea ce înseamnă că media aritmetică este puternic influențată de „abateri mari”. Este de remarcat faptul că, pentru distribuțiile cu o asimetrie mare, media aritmetică poate să nu corespundă conceptului de „medie”, iar valorile mediei din statistici robuste (de exemplu, mediana) pot descrie mai bine tendința centrală.
Exemplul clasic este calculul venitului mediu. Media aritmetică poate fi interpretată greșit ca mediană, ceea ce poate duce la concluzia că există mai mulți oameni cu venituri mai mari decât există în realitate. Venitul „mediu” este interpretat în așa fel încât veniturile majorității oamenilor să fie apropiate de acest număr. Acest venit „mediu” (în sensul mediei aritmetice) este mai mare decât venitul majorității oamenilor, deoarece un venit mare cu o abatere mare de la medie face ca media aritmetică să fie puternic denaturată (dimpotrivă, venitul median „rezistă” o astfel de înclinare). Cu toate acestea, acest venit „mediu” nu spune nimic despre numărul de persoane aflate în apropierea venitului mediu (și nu spune nimic despre numărul de persoane din apropierea venitului modal). Cu toate acestea, dacă conceptele de „medie” și „majoritate” sunt luate cu ușurință, atunci se poate concluziona greșit că majoritatea oamenilor au venituri mai mari decât sunt în realitate. De exemplu, un raport privind venitul net „mediu” din Medina, Washington, calculat ca media aritmetică a tuturor veniturilor nete anuale ale rezidenților, va oferi un număr surprinzător de mare datorită lui Bill Gates. Luați în considerare eșantionul (1, 2, 2, 2, 3, 9). Media aritmetică este 3,17, dar cinci dintre cele șase valori sunt sub această medie.
Interes compus
Articolul principal: ROIDacă numerele multiplica, dar nu pliază, trebuie să utilizați media geometrică, nu media aritmetică. Cel mai adesea, acest incident se întâmplă atunci când se calculează rentabilitatea investiției în finanțe.
De exemplu, dacă stocurile au scăzut cu 10% în primul an și au crescut cu 30% în al doilea an, atunci este incorect să calculăm creșterea „medie” în acești doi ani ca medie aritmetică (−10% + 30%) / 2 = 10%; media corectă în acest caz este dată de rata de creștere anuală compusă, din care creșterea anuală este de numai aproximativ 8,16653826392% ≈ 8,2%.
Motivul pentru aceasta este că procentele au un nou punct de plecare de fiecare dată: 30% este 30% dintr-un număr mai mic decât prețul de la începutul primului an: dacă stocul a început de la 30 USD și a scăzut cu 10%, valorează 27 USD la începutul celui de-al doilea an. Dacă stocul crește cu 30%, valorează 35,1 USD la sfârșitul celui de-al doilea an. Media aritmetică a acestei creșteri este de 10%, dar din moment ce stocul a crescut doar cu 5,1 USD în 2 ani, o creștere medie de 8,2% dă un rezultat final de 35,1 USD:
[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Dacă folosim media aritmetică a 10% în același mod, nu vom obține valoarea reală: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
Dobânda compusă la sfârșitul anului 2: 90% * 130% = 117% , adică o creștere totală de 17%, iar dobânda compusă medie anuală este de 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \aproximativ 108,2\%) , adică o creștere medie anuală de 8,2%.
Directii
Articolul principal: Statistici despre destinațieCând se calculează media aritmetică a unei variabile care se modifică ciclic (de exemplu, faza sau unghiul), trebuie avută o atenție deosebită. De exemplu, media 1° și 359° ar fi 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Acest număr este incorect din două motive.
- În primul rând, măsurile unghiulare sunt definite doar pentru intervalul de la 0° la 360° (sau de la 0 la 2π când sunt măsurate în radiani). Astfel, aceeași pereche de numere ar putea fi scrisă ca (1° și -1°) sau ca (1° și 719°). Mediile fiecărei perechi vor fi diferite: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
- În al doilea rând, în acest caz, o valoare de 0° (echivalent cu 360°) ar fi cea mai bună medie geometrică, deoarece numerele se abat de la 0° decât de la orice altă valoare (valoarea 0° are cea mai mică variație). Comparaţie:
- numărul 1° se abate de la 0° cu doar 1°;
- numărul 1° se abate de la media calculată de 180° cu 179°.
Valoarea medie pentru o variabilă ciclică, calculată conform formulei de mai sus, va fi deplasată artificial în raport cu media reală la mijlocul intervalului numeric. Din această cauză, media se calculează într-un mod diferit, și anume, ca valoare medie se alege numărul cu cea mai mică varianță (punctul central). De asemenea, în loc de scădere, se folosește distanța modulo (adică distanța circumferențială). De exemplu, distanța modulară între 1° și 359° este 2°, nu 358° (pe un cerc între 359° și 360°==0° - un grad, între 0° și 1° - tot 1°, în total - 2 °).
4.3. Valori medii. Esența și semnificația mediilor
Valoarea medieîn statistică, se numește un indicator de generalizare, care caracterizează nivelul tipic al unui fenomen în condiții specifice de loc și timp, reflectând amploarea unui atribut variabil pe unitatea unei populații omogene calitativ. În practica economică se utilizează o gamă largă de indicatori, calculați ca medii.
De exemplu, un indicator generalizator al veniturilor lucrătorilor dintr-o societate pe acțiuni (SA) este venitul mediu al unui lucrător, determinat de raportul dintre fondul de salarii și plățile sociale pentru perioada analizată (an, trimestru, lună). ) la numărul de lucrători din SA.
Calcularea mediei este o tehnică comună de generalizare; indicatorul mediu reflectă generalul care este tipic (tipic) pentru toate unitățile populației studiate, în timp ce, în același timp, ignoră diferențele dintre unitățile individuale. În fiecare fenomen și în dezvoltarea lui există o combinație şansăși nevoie. La calcularea mediilor, datorită funcționării legii numerelor mari, aleatorietatea se anulează reciproc, se echilibrează, prin urmare este posibil să se abstragă de la trăsăturile nesemnificative ale fenomenului, de la valorile cantitative ale atributului în fiecare specific. caz. În capacitatea de a face abstracție de la aleatorietatea valorilor individuale, fluctuațiile se află valoarea științifică a mediilor ca rezumând caracteristicile agregate.
Acolo unde este nevoie de generalizare, calculul unor astfel de caracteristici duce la înlocuirea multor valori individuale diferite ale atributului mediu un indicator care caracterizează totalitatea fenomenelor, ceea ce face posibilă identificarea tiparelor inerente fenomenelor sociale de masă, imperceptibile în fenomene singulare.
Media reflectă nivelul caracteristic, tipic, real al fenomenelor studiate, caracterizează aceste niveluri și modificările lor în timp și spațiu.
Media este o caracteristică sumară a regularităților procesului în condițiile în care se desfășoară.
4.4. Tipuri de medii și metode de calculare a acestora
Alegerea tipului de medie este determinată de conținutul economic al unui anumit indicator și de datele inițiale. În fiecare caz, se aplică una dintre valorile medii: aritmetică, garmonic, geometric, pătratic, cubic etc. Mediile enumerate aparțin clasei putere mediu.
Pe lângă mediile putere-lege, în practica statistică, se folosesc medii structurale, care sunt considerate a fi modul și mediana.
Să ne oprim mai în detaliu asupra mijloacelor de putere.
Media aritmetică
Cel mai comun tip de medie este in medie aritmetic. Este utilizat în cazurile în care volumul unui atribut variabil pentru întreaga populație este suma valorilor atributelor unităților sale individuale. Fenomenele sociale sunt caracterizate de aditivitatea (însumarea) volumelor unui atribut variabil, aceasta determină sfera mediei aritmetice și explică prevalența acesteia ca indicator generalizator, de exemplu: fondul total de salarii este suma salariilor tuturor lucrătorilor. , recolta brută este suma producției din întreaga suprafață de semănat.
Pentru a calcula media aritmetică, trebuie să împărțiți suma tuturor valorilor caracteristicilor la numărul lor.
Media aritmetică se aplică sub formă medie simplă și medie ponderată. Media simplă servește ca formă inițială, definitorie.
medie aritmetică simplă este egală cu suma simplă a valorilor individuale ale caracteristicii medii, împărțită la numărul total al acestor valori (este utilizat în cazurile în care există valori individuale negrupate ale caracteristicii):
Unde 
- valorile individuale ale variabilei (opțiuni); m
- numărul de unități de populație.
Alte limite de însumare în formule nu vor fi indicate. De exemplu, este necesar să se afle producția medie a unui muncitor (lăcătuș), dacă se știe câte piese a produs fiecare din 15 muncitori, adică. dat un număr de valori individuale ale trăsăturii, buc.:
21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
Media aritmetică simplă se calculează prin formula (4.1), 1 buc.:
Se numește media opțiunilor care se repetă de un număr diferit de ori sau despre care se spune că au ponderi diferite ponderat. Ponderile sunt numărul de unități din diferite grupuri de populație (grupul combină aceleași opțiuni).
Media ponderată aritmetică- valori medii grupate, - se calculează prin formula:
, (4.2)
Unde 
- greutăți (frecvența de repetare a acelorași caracteristici);
-
suma produselor mărimii caracteristicilor după frecvențele lor;
-
numărul total de unități de populație.
Vom ilustra tehnica de calcul a mediei ponderate aritmetice folosind exemplul discutat mai sus. Pentru a face acest lucru, grupăm datele inițiale și le plasăm în tabel. 4.1.
Tabelul 4.1
Repartizarea muncitorilor pentru dezvoltarea pieselor
Conform formulei (4.2), media ponderată aritmetică este egală, bucăți:
În unele cazuri, ponderile pot fi reprezentate nu prin valori absolute, ci prin valori relative (în procente sau fracții de unitate). Apoi formula pentru media ponderată aritmetică va arăta astfel:
Unde 
- în special, adică ponderea fiecărei frecvențe în suma totală a tuturor
Dacă frecvențele sunt numărate în fracții (coeficienți), atunci 
= 1, iar formula pentru media ponderată aritmetic este:
Calculul mediei ponderate aritmetice din mediile grupului 
se efectuează după formula:
,
Unde f-numar de unitati din fiecare grupa.
Rezultatele calculării mediei aritmetice a mediilor de grup sunt prezentate în tabel. 4.2.
Tabelul 4.2
Distribuția lucrătorilor după vechimea medie în muncă
În acest exemplu, opțiunile nu sunt date individuale privind vechimea în muncă a lucrătorilor individuali, ci medii pentru fiecare atelier. cântare f sunt numărul de muncitori din magazine. Prin urmare, experiența medie de muncă a lucrătorilor din întreaga întreprindere va fi de ani:
.
Calculul mediei aritmetice în seria de distribuție
Dacă valorile atributului mediat sunt date ca intervale („de la - la”), adică serie de distribuție a intervalelor, atunci când se calculează valoarea medie aritmetică, punctele mijlocii ale acestor intervale sunt luate ca valori ale caracteristicilor în grupuri, în urma cărora se formează o serie discretă. Luați în considerare următorul exemplu (Tabelul 4.3).
Să trecem de la o serie de intervale la una discretă prin înlocuirea valorilor intervalului cu valorile lor medii / (medie simplă
Tabelul 4.3
Distribuția lucrătorilor AO după nivelul salariilor lunare
|
Grupuri de muncitori pentru |
Numărul de muncitori |
Mijlocul intervalului |
|
|
salarii, frecare. |
pers., f |
freca., X |
|
|
900 și peste |
|||
valorile intervalelor deschise (primul și ultimul) sunt echivalate condiționat cu intervalele adiacente acestora (al doilea și penultimul).
Cu un astfel de calcul al mediei, este permisă o anumită inexactitate, deoarece se face o ipoteză despre distribuția uniformă a unităților atributului în cadrul grupului. Totuși, eroarea va fi cu cât mai mică, cu atât intervalul este mai îngust și cu atât mai multe unități în interval.
După ce se găsesc punctele medii ale intervalelor, calculele se fac în același mod ca într-o serie discretă - opțiunile sunt înmulțite cu frecvențele (greutățile) iar suma produselor este împărțită la suma frecvențelor (greutăților) , mii de ruble:
.
Deci, nivelul mediu de remunerare a lucrătorilor din SA este de 729 de ruble. pe luna.
Calculul mediei aritmetice este adesea asociat cu o cheltuială mare de timp și muncă. Cu toate acestea, în unele cazuri, procedura de calculare a mediei poate fi simplificată și facilitată prin utilizarea proprietăților acesteia. Să prezentăm (fără dovezi) câteva proprietăți de bază ale mediei aritmetice.
Proprietatea 1. Dacă toate valorile caracteristice individuale (de ex. toate opțiunile) scad sau crește în iori, apoi valoarea medie a unei noi caracteristici va scădea sau crește corespunzător în io singura data.
Proprietatea 2. Dacă toate variantele caracteristicii medii sunt redusecoaseți sau creșteți cu numărul A, apoi media aritmeticăscad sau crește semnificativ cu același număr A.
Proprietatea 3. Dacă ponderile tuturor opțiunilor medii sunt reduse sau creste la la ori, media aritmetică nu se va schimba.
Ca ponderi medii, în loc de indicatori absoluti, puteți utiliza ponderi specifice în totalul total (acțiuni sau procente). Acest lucru simplifică calculul mediei.
Pentru a simplifica calculele mediei, ei urmează calea reducerii valorilor opțiunilor și frecvențelor. Cea mai mare simplificare se realizează atunci când DAR valoarea uneia dintre opțiunile centrale cu cea mai mare frecvență este selectată ca / - valoarea intervalului (pentru rândurile cu aceleași intervale). Valoarea lui L se numește origine, deci această metodă de calculare a mediei se numește „metoda de numărare de la zero condiționat” sau „metoda momentelor”.
Să presupunem că toate opțiunile X mai întâi redus cu același număr A și apoi redus în i o singura data. Obținem o nouă serie de distribuție variațională de noi variante 
.
Apoi noi optiuni va fi exprimat:
,
și noua lor medie aritmetică 
, -momentul primului ordin- formulă:
.
Este egală cu media opțiunilor originale, mai întâi redusă cu DAR, si apoi in i o singura data.
Pentru a obține media reală, aveți nevoie de un moment de primă ordine m 1 , înmulțit cu i si adauga DAR:
.
Această metodă de calcul a mediei aritmetice dintr-o serie variațională se numește „metoda momentelor”. Această metodă se aplică pe rânduri cu intervale egale.
Calculul mediei aritmetice prin metoda momentelor este ilustrat de datele din tabel. 4.4.
Tabelul 4.4
Distribuția întreprinderilor mici din regiune după valoarea activelor fixe de producție (OPF) în anul 2000
|
Grupuri de întreprinderi după costul OPF, mii de ruble |
Numărul de întreprinderi f |
intervale medii, X |
|
|
|
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 |
||||
Găsirea momentului primei comenzi
.
Apoi, presupunând A = 19 și știind că i= 2, calculează X, mii de ruble.:
Tipuri de valori medii și metode de calcul a acestora
În etapa prelucrării statistice, pot fi stabilite o varietate de sarcini de cercetare, pentru a căror soluție este necesară alegerea mediei adecvate. În acest caz, este necesar să vă ghidați după următoarea regulă: valorile care reprezintă numărătorul și numitorul mediei trebuie să fie legate logic între ele.
- medii de putere;
- medii structurale.
Să introducem următoarea notație:
Valorile pentru care se calculează media;
Medie, unde linia de mai sus indică faptul că are loc media valorilor individuale;
Frecvență (repetabilitate a valorilor trăsăturilor individuale).
Din formula generală a mediei puterii sunt derivate diferite mijloace:
(5.1)
pentru k = 1 - medie aritmetică; k = -1 - medie armonică; k = 0 - medie geometrică; k = -2 - pătrat mediu.
Mediile sunt fie simple, fie ponderate. medii ponderate sunt numite cantități care țin cont de faptul că unele variante ale valorilor atributului pot avea numere diferite și, prin urmare, fiecare variantă trebuie înmulțită cu acest număr. Cu alte cuvinte, „greutățile” sunt numerele de unități de populație din diferite grupuri, i.e. fiecare opțiune este „ponderată” de frecvența sa. Se numește frecvența f ponderea statistica sau medie de cântărire.
Media aritmetică- cel mai comun tip de mediu. Este utilizat atunci când calculul este efectuat pe date statistice negrupate, de unde doriți să obțineți suma medie. Media aritmetică este o astfel de valoare medie a unei caracteristici, după primirea căreia volumul total al caracteristicii din populație rămâne neschimbat.
Formula mediei aritmetice ( simplu) are forma
unde n este dimensiunea populației.
De exemplu, salariul mediu al angajaților unei întreprinderi este calculat ca medie aritmetică:
Indicatorii determinanți aici sunt salariile fiecărui angajat și numărul de angajați ai întreprinderii. La calcularea mediei, valoarea totală a salariilor a rămas aceeași, dar a fost distribuită, parcă, în mod egal între toți lucrătorii. De exemplu, este necesar să se calculeze salariul mediu al angajaților unei companii mici în care sunt angajați 8 persoane:
La calcularea mediilor, valorile individuale ale atributului care este mediat pot fi repetate, astfel încât media este calculată folosind date grupate. În acest caz, vorbim despre utilizare medie aritmetică ponderată, care arată ca
(5.3)
Deci, trebuie să calculăm prețul mediu al acțiunilor unei societăți pe acțiuni la bursă. Se știe că tranzacțiile au fost efectuate în termen de 5 zile (5 tranzacții), numărul de acțiuni vândute la rata de vânzare a fost repartizat astfel:
1 - 800 ac. - 1010 ruble
2 - 650 ac. - 990 de ruble.
3 - 700 ak. - 1015 ruble.
4 - 550 ac. - 900 de ruble.
5 - 850 ak. - 1150 de ruble.
Raportul inițial pentru determinarea prețului mediu al acțiunilor este raportul dintre suma totală a tranzacțiilor (OSS) și numărul de acțiuni vândute (KPA).
Cel mai mult în ec. În practică, trebuie să folosim media aritmetică, care poate fi calculată ca medie aritmetică simplă și ponderată.
Media aritmetică (CA)-n cel mai comun tip de mediu. Este utilizat în cazurile în care volumul unui atribut variabil pentru întreaga populație este suma valorilor atributelor unităților sale individuale. Fenomenele sociale sunt caracterizate prin aditivitatea (sumarea) volumelor atributului variabil, aceasta determină domeniul de aplicare al SA și explică prevalența acestuia ca indicator generalizant, de exemplu: fondul general de salarii este suma salariului tuturor angajaţilor.
Pentru a calcula SA, trebuie să împărțiți suma tuturor valorilor caracteristicilor la numărul lor. SA este folosit sub 2 forme.
Luați în considerare mai întâi media aritmetică simplă.
1-CA simplu (forma inițială, definitorie) este egală cu suma simplă a valorilor individuale ale caracteristicii medii, împărțită la numărul total al acestor valori (utilizat atunci când există valori de index negrupate ale caracteristicii):
Calculele efectuate pot fi rezumate în următoarea formulă:
(1)
Unde 
- valoarea medie a atributului variabil, adică media aritmetică simplă;
înseamnă sumare, adică adăugarea de caracteristici individuale;
X- valorile individuale ale unui atribut variabil, care se numesc variante;
n - numărul de unități de populație
Exemplul 1, se cere să se afle producția medie a unui muncitor (lăcătuș), dacă se știe câte piese a produs fiecare dintre cei 15 muncitori, adică. dat un număr de ind. valori trasaturi, buc.: 21; douăzeci; douăzeci; 19; 21; 19; optsprezece; 22; 19; douăzeci; 21; douăzeci; optsprezece; 19; douăzeci.
SA simplă se calculează prin formula (1), buc.:
Exemplul 2. Să calculăm SA pe baza datelor condiționate pentru 20 de magazine care fac parte dintr-o societate comercială (Tabelul 1). tabelul 1
Repartizarea magazinelor firmei comerciale „Vesna” pe suprafata comerciala, mp. M
|
numărul magazinului |
numărul magazinului | ||
Pentru a calcula suprafața medie a magazinului ( 
) este necesar să se adună suprafețele tuturor magazinelor și să se împartă rezultatul la numărul de magazine:
Astfel, suprafața medie a magazinului pentru acest grup de întreprinderi comerciale este de 71 mp.
Prin urmare, pentru a determina SA este simplu, este necesar să se împartă suma tuturor valorilor unui anumit atribut la numărul de unități care au acest atribut.
2
Unde f 1
,
f 2
,
… ,f n
–
greutatea (frecvența de repetare a acelorași caracteristici); este suma produselor mărimii caracteristicilor și frecvențele acestora; este numărul total de unități de populație.
(2)
Unde X- Opțiuni;
f- frecventa (greutatea).
SA ponderat este coeficientul de împărțire a sumei produselor variantelor și a frecvențelor corespunzătoare acestora la suma tuturor frecvențelor. Frecvențe ( f) care apar în formula SA se numesc de obicei cântare, în urma căruia SA calculată ținând cont de ponderi se numește SA ponderată.
Vom ilustra tehnica de calcul a SA ponderat folosind exemplul 1 considerat mai sus. Pentru a face acest lucru, grupăm datele inițiale și le plasăm în Tabel.
Media datelor grupate se determină astfel: mai întâi se înmulțesc variantele cu frecvențele, apoi se adună produsele și se împarte suma rezultată la suma frecvențelor.
Conform formulei (2), SA ponderat este, buc.: 
P
Distributia magazinelor Vesna pe spatii comerciale, mp. m
Astfel, rezultatul este același. Cu toate acestea, aceasta va fi deja media ponderată aritmetică.
În exemplul anterior, am calculat media aritmetică, cu condiția ca frecvențele absolute (numărul de magazine) să fie cunoscute. Cu toate acestea, în unele cazuri nu există frecvențe absolute, dar frecvențele relative sunt cunoscute sau, așa cum sunt numite în mod obișnuit, frecvenţe care arată proporţia sau proporţia frecvenţelor în întreaga populaţie.
La calcularea utilizării ponderate SA frecvente vă permite să simplificați calculele atunci când frecvența este exprimată în numere mari, cu mai multe cifre. Calculul se face în același mod, însă, deoarece valoarea medie este crescută de 100 de ori, rezultatul trebuie împărțit la 100.
Apoi formula pentru media ponderată aritmetică va arăta astfel:
Unde d- frecvență, adică ponderea fiecărei frecvențe în suma totală a tuturor frecvențelor.
(3)În exemplul nostru 2, determinăm mai întâi ponderea magazinelor pe grupuri în numărul total de magazine ale companiei „Primăvara”. Deci, pentru primul grup, greutatea specifică corespunde la 10% 
. Obținem următoarele date Tabelul 3
