Sargsyan Roman

Lucrarea de cercetare „Probleme de tăiere” a fost finalizată de elevii clasei a VIII-a

Elevii sunt introduse și explorate tehnici de tăiere a figurilor în jocurile „Pentamino”, „Tangram-uri”, puzzle-uri și demonstrarea teoremelor.

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Previzualizare:

Lucrări de cercetare pe această temă

„Probleme de tăiere”

Interpretat de: Roman Sargsyan, Anastasia Shavrova,

elevi de clasa a VIII-a

MBOU „Școala secundară Severomuyskaya”

Șef: profesor de matematică Ogarkova I.I.

1. Introducere
2. Referință istorică
3. Jocul „Pentamino”
4. Jocul „Tangram”
5. Problema "tort"
6. Sarcina nr. 4 - „Tăiați dreptunghiul”
7. Sarcina nr. 5 - „Tăiați două pătrate”
8. Sarcina nr. 6 - „Tăiați două pătrate-2”
9. Problema #7 – Cruce
10. Sarcina nr. 8 – Crucea -2
11. Problema nr 9 - Pătrat 8*8
12. Problema nr. 10 Aria unui paralelogram
13. Problema nr. 11 Aria unui trapez
14. Problema nr. 12 Aria unui triunghi
15. Concluzie
16. Literatură.

Introducere

„Rezolvarea problemelor este o artă practică ca

înot, schi sau cânt la pian;

o poți învăța doar imitând binele

mostre și exersare constantă"

D. Poya

Pasiunea pentru matematică începe adesea cu a te gândi la o problemă care îți place în mod deosebit. O sursă bogată de astfel de probleme sunt diversele olimpiade - școală, oraș, învățământ la distanță, internațional. În pregătirea pentru olimpiade, am analizat multe sarcini diverse și am identificat un grup de probleme a căror abordare a rezolvării ni s-a părut interesantă și originală. Acestea sunt sarcini de tăiere. Am avut întrebări: care este particularitatea unor astfel de probleme, există metode și tehnici speciale pentru rezolvarea problemelor de tăiere.

Relevanță (Diapozitivul 2)

1. Matematicienii descoperă noi conexiuni între obiectele matematice. În urma acestei lucrări, se găsesc metode generale de rezolvare a diferitelor probleme. Și aceste probleme primesc metode standard de rezolvare, trecând de la categoria creative la categoria tehnice, adică necesitând folosirea unor metode deja cunoscute pentru rezolvarea lor.
2. Sarcinile de tăiere îi ajută pe școlari să formeze concepte geometrice cât mai devreme posibil folosind o varietate de materiale. La rezolvarea unor astfel de probleme, apare un sentiment de frumusețe, lege și ordine în natură.

Obiect de studiu: sarcini de tăiere

Subiect de studiu: o varietate de probleme de tăiere, metode și tehnici de rezolvare a acestora.

Metode de cercetare: modelare, comparare, generalizare, analogii, studiul resurselor literare și internetului, analiza și clasificarea informațiilor.

(Diapozitiv 3) Principalscopul studiuluieste de a extinde cunoștințele despre varietatea sarcinilor de tăiere.

Pentru a atinge acest obiectiv, ne propunem să rezolvăm următoarele sarcini: (Diapozitivul 4)

1. selectați literatura necesară
2. învață să decupezi forme geometrice în părți necesare pentru a compune una sau alta formă geometrică, folosind proprietățile și caracteristicile acestora;
3. învață să demonstrezi că ariile figurilor sunt egale, tăindu-le în anumite părți și dovedind că aceste figuri sunt compuse în mod egal;
4. efectuează cercetări geometrice și proiectare în rezolvarea problemelor de diferite tipuri.
5. selectați materialul pentru cercetare, alegeți informațiile principale, interesante și ușor de înțeles
6. analiza si sistematiza informatiile primite
7. găsiți diferite metode și tehnici de rezolvare a problemelor de tăiere
8. clasifica problemele studiate
9. găsiți modalități de remodelare: un triunghi într-un paralelogram echipartit; paralelogram într-un triunghi echilateral; trapez într-un triunghi echilateral.
10. Creați o prezentare electronică a lucrării dvs

Ipoteză: Poate că varietatea problemelor de tăiere, natura lor „distractivă” și lipsa regulilor generale și a metodelor de rezolvare a acestora provoacă dificultăți pentru școlari atunci când le iau în considerare. Să presupunem că, la o examinare mai atentă a sarcinilor de tăiere, ne vom convinge de relevanța, originalitatea și utilitatea lor.

Când rezolvăm problemele de tăiere, nu avem nevoie de cunoștințe despre elementele de bază ale planimetriei, dar vom avea nevoie de ingeniozitate, imaginație geometrică și informații geometrice destul de simple, cunoscute de toată lumea.

(Diapozitivul 5) Context istoric

Problemele de tăiere, ca tip de puzzle, au atras atenția încă din cele mai vechi timpuri. Primul tratat, care tratează probleme de tăiere, a fost scris de celebrul astronom și matematician arab din Khorasan, Abu al-Wefa (940 - 998 d.Hr.). La începutul secolului al XX-lea, datorită creșterii rapide a periodicelor, rezolvarea problemelor de tăiere a figurilor într-un număr dat de părți și apoi alcătuirea lor într-o nouă figură a atras atenția ca mijloc de distracție a unor părți largi ale societății. Acum geometrii au luat în serios aceste probleme, mai ales că se bazează pe problema străveche a figurilor de dimensiuni egale și compuse egal, care datează de la geometrii antici. Specialiști cunoscuți în această ramură a geometriei au fost faimoșii clasici ai geometriei distractive și creatorii de puzzle-uri Henry E. Dudeney și Harry Lindgren.

O enciclopedie pentru rezolvarea diferitelor probleme de tăiere este cartea „Cutting Geometry” de Harry Lindgren. În această carte puteți găsi înregistrări pentru tăierea poligoanelor în forme date

Când luați în considerare soluții la problemele de tăiere, înțelegeți că nu există un algoritm sau o metodă universală. Uneori, un geometru începător poate depăși semnificativ o persoană mai experimentată în soluția sa. Această simplitate și accesibilitate stă la baza popularității jocurilor bazate pe rezolvarea unor astfel de probleme, de exemplu- (Diapozitivul 6) pentomino„rudele” lui Tetris, tangram.

(Slide7) Jocul „Pentamino” Regulile jocului

Esența jocului este de a construi diferite siluete de obiecte pe un avion. Jocul implică adăugarea de piese diferite dintr-un set dat de pentominoe. Setul de pentomino conține 12 figuri, fiecare fiind alcătuită din cinci pătrate identice, iar pătratele sunt „adiacente” între ele doar după laturile lor.

Jocul „Tangram” (Diapozitivul 8)

În jocul „tangram”, un număr semnificativ de figuri poate fi format din șapte elemente de bază.Toate figurile asamblate trebuie să aibă o suprafață egală, deoarece asamblate din elemente identice. Rezultă că:

1. Fiecare figură asamblată trebuie să includă cu siguranță toate cele șapte elemente.
2. Atunci când compuneți o figură, elementele nu trebuie să se suprapună unele pe altele, adică. fi situat într-un singur plan.
3. Elementele figurilor trebuie să fie adiacente între ele.

Sarcini

În jocul tangram, există 3 categorii principale de sarcini:

1. Găsirea uneia sau mai multor modalități de a construi o figură dată sau o dovadă elegantă a imposibilității de a construi o figură.
2. Găsirea unei modalități de a descrie siluetele animalelor, ale oamenilor și ale altor obiecte recunoscute cu cea mai mare expresivitate sau umor (sau ambele împreună).
3. Rezolvarea diverselor probleme de geometrie combinatorie apărute în legătură cu alcătuirea figurilor din 7 tans.

Sarcina 3 (Diapozitivul 9)

Tort , decorat cu trandafiri, a fost împărțit în bucăți cu trei tăieturi drepte astfel încât fiecare bucată să conțină exact câte un trandafir. Care este cel mai mare număr de trandafiri care ar putea fi pe tort?

Un comentariu. Rezolvarea problemei se bazează pe aplicarea axiomei:„O linie dreaptă împarte un plan în două semiplane.”Trebuie descrise toate cazurile posibile de aranjare a trei linii drepte. Din figură devine clar că cel mai mare număr de părți - 7 - se obține atunci când liniile se intersectează în perechi. Prin urmare, nu ar putea fi mai mult de 7 trandafiri pe tort.

Sarcina 4 (Diapozitivul 10)

Tăiați dreptunghiul, ax2a în astfel de părți încât din ele a fost posibil să se compună o dimensiune egală cu aceasta:

1) triunghi dreptunghic;

2) pătrat.

Soluția problemei este clară din figurile 2 și 3.

Sarcina 5 (Diapozitivul 11)

Tăiați două pătrate1x1 și 3x3 în astfel de părți încât să poată fi folosite pentru a face un pătrat de dimensiune egală.

Un comentariu. Această sarcină este de a remodela o figură formată din două pătrate într-un pătrat de dimensiuni egale. Aria noului pătrat este 3 2 +1 2 , ceea ce înseamnă că latura unui pătrat egală cu suma acestor pătrate este egală, adică este ipotenuza unui dreptunghi cu catetele 3 și 1. Construcția unui astfel de pătrat este clară din figura 4

Sarcina 6 (Diapozitivul 12)

Tăiați două pătrate aleatoriiîn astfel de părți încât să poată fi folosite pentru a forma un pătrat de dimensiuni egale.

Soluția problemei este clară din figura 5. Aria noului pătrat este a 2 + b 2 , ceea ce înseamnă că latura unui pătrat egală cu suma acestor pătrate este egală cu

adică este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele a și b.

Sarcina 7 (Diapozitivul 13)

Cruce format din cinci pătrate: un pătrat în centru, iar celelalte patru adiacente laturilor sale. Tăiați-o în bucăți, astfel încât să puteți face un pătrat de dimensiune egală din ele.

Soluția problemei este clară din figura 6.

Sarcina 8 (Diapozitivul 14)

Cruce format din cinci pătrate: un pătrat în centru, iar celelalte patru adiacente laturilor sale. Cum să acoperiți suprafața unui bast cu șase astfel de cruci, fiecare față fiind egală ca dimensiune cu crucea.

Un comentariu. Crucea este suprapusă pe margine (Fig. 7), nu este nevoie să tăiați și să lipiți din nou „urechile proeminente” - se deplasează la marginea adiacentă și ajung în locurile potrivite. Prin înfășurarea „urechilor proeminente” pe fețele adiacente, puteți acoperi astfel suprafața cubului cu șase cruci (Fig. 8).

Sarcina 9 (Diapozitivul 15)

Patrat 8x8 tăiat în patru părți, așa cum se arată în Figura 9. Din părțile rezultate se face un dreptunghi de 13x5. Aria unui dreptunghi este 65, iar aria unui pătrat este 64. Explicați unde este eroarea.

Remarcile de deschidere ale profesorului:

Un mic context istoric: Mulți oameni de știință au fost interesați de problemele de tăiere din cele mai vechi timpuri. Soluțiile la multe probleme simple de tăiere au fost găsite de grecii antici și chinezi, dar primul tratat sistematic pe această temă a fost scris de Abul-Vef. Geometrii au început să rezolve serios problemele de tăiere a figurilor în cel mai mic număr de piese și apoi de a construi o altă figură la începutul secolului al XX-lea. Unul dintre fondatorii acestei secțiuni a fost faimosul fondator de puzzle Henry E. Dudeney.

În zilele noastre, iubitorii de puzzle-uri sunt dornici să rezolve problemele de tăiere deoarece nu există o metodă universală de rezolvare a unor astfel de probleme, iar toți cei care se angajează să le rezolve își pot demonstra pe deplin ingeniozitatea, intuiția și capacitatea de gândire creativă. (În timpul lecției vom indica doar unul dintre exemplele posibile de tăiere. Se poate presupune că elevii pot ajunge la o altă combinație corectă - nu trebuie să vă temeți de aceasta).

Această lecție ar trebui să fie desfășurată sub forma unei lecții practice. Împărțiți participanții la cerc în grupuri de 2-3 persoane. Furnizați fiecărei grupe cifre pregătite în prealabil de către profesor. Elevii au o riglă (cu diviziuni), un creion și foarfece. Este permisă numai tăieturi drepte cu ajutorul foarfecelor. După ce tăiați o figură în bucăți, trebuie să faceți o altă figură din aceleași părți.

Sarcini de tăiere:

1). Încercați să tăiați figura prezentată în figură în 3 părți de formă egală:

Sugestie: Formele mici seamănă mult cu litera T.

2). Acum tăiați această figură în 4 părți de formă egală:

Sugestie: este ușor de ghicit că figurile mici vor consta din 3 celule, dar nu există multe figuri cu trei celule. Există doar două tipuri: colț și dreptunghi.

3). Împărțiți figura în două părți egale și utilizați părțile rezultate pentru a forma o tablă de șah.

Sugestie: Sugerați să începeți sarcina din a doua parte, ca și cum ați obține o tablă de șah. Amintiți-vă ce formă are o tablă de șah (pătrat). Numărați numărul disponibil de celule în lungime și lățime. (Amintiți-vă că ar trebui să fie 8 celule).

4). Încercați să tăiați brânza în opt bucăți egale cu trei mișcări ale cuțitului.

Sfat: încercați să tăiați brânza pe lungime.

Sarcini pentru soluție independentă:

1). Tăiați un pătrat de hârtie și faceți următoarele:

· tăiați în 4 bucăți care pot fi folosite pentru a face două pătrate egale mai mici.

· tăiați în cinci părți - patru triunghiuri isoscele și un pătrat - și pliați-le astfel încât să obțineți trei pătrate.

, Concurs „Prezentare pentru lecție”

Prezentare pentru lecție

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Experiența arată că atunci când se folosesc metode de predare practice, este posibil să se formeze la elevi o serie de tehnici mentale necesare identificării corecte a trăsăturilor esențiale și neesențiale atunci când se familiarizează cu figurile geometrice. Se dezvoltă intuiția matematică, gândirea logică și abstractă, se formează o cultură a vorbirii matematice, se dezvoltă abilitățile matematice și de proiectare, se dezvoltă activitatea cognitivă, se formează interesul cognitiv, se dezvoltă potențialul intelectual și creativ.Articolul oferă o serie de sarcini practice privind tăierea geometrică forme în bucăți pentru a compune aceste părți creează o nouă figură. Elevii lucrează la teme în grupuri. Apoi fiecare grup își apără proiectul.

Două figuri se numesc compuse egal dacă, prin tăierea uneia dintre ele într-un anumit mod într-un număr finit de părți, este posibil (prin aranjarea diferită a acestor părți) să se formeze o a doua figură din ele. Deci, metoda de partiționare se bazează pe faptul că oricare două poligoane compuse egal au dimensiuni egale. Este firesc să punem întrebarea opusă: sunt două poligoane care au aceeași zonă egale ca mărime? Răspunsul la această întrebare a fost dat (aproape simultan) de matematicianul maghiar Farkas Bolyai (1832) și ofițerul german și pasionat de matematică Gerwin (1833): două poligoane având suprafețe egale sunt egal proporționale.

Teorema Bolyai-Gerwin afirmă că orice poligon poate fi tăiat în bucăți, astfel încât piesele să poată fi formate într-un pătrat.

Exercitiul 1.

Tăiați dreptunghiul A X 2aîn bucăți pentru a putea fi făcute într-un pătrat.

Tăiem dreptunghiul ABCD în trei părți de-a lungul liniilor MD și MC (M este mijlocul lui AB)

Poza 1

Mutăm triunghiul AMD astfel încât vârful M să coincidă cu vârful C, catetul AM se deplasează către segmentul DC. Mutăm triunghiul MVS la stânga și în jos, astfel încât piciorul MV să se suprapună pe jumătate din segmentul DC. (Imaginea 1)

Sarcina 2.

Tăiați triunghiul echilateral în bucăți, astfel încât să poată fi pliate într-un pătrat.

Să notăm acest triunghi regulat ABC. Este necesar să tăiați triunghiul ABC în poligoane, astfel încât acestea să poată fi pliate într-un pătrat. Atunci aceste poligoane trebuie să aibă cel puțin un unghi drept.

Fie K punctul de mijloc al lui CB, T să fie punctul de mijloc al lui AB, alegeți punctele M și E de pe latura AC astfel încât ME=AT=TV=BK=SC= A, AM=EC= A/2.

Figura 2

Să desenăm segmentul MK și segmentele EP și TN perpendiculare pe acesta. Să tăiem triunghiul în bucăți de-a lungul liniilor construite. Rotim patrulaterul KRES în sensul acelor de ceasornic față de vârful K, astfel încât SC să se alinieze cu segmentul KV. Să rotim patrulaterul AMNT în sensul acelor de ceasornic față de vârful T, astfel încât AT să se alinieze cu TV. Să mutăm triunghiul MEP astfel încât rezultatul să fie un pătrat. (Figura 2)

Sarcina 3.

Tăiați pătratul în bucăți, astfel încât două pătrate să poată fi pliate din ele.

Să notăm pătratul original ABCD. Să marchem punctele medii ale laturilor pătratului - punctele M, N, K, H. Să desenăm segmentele MT, HE, KF și NP - părți ale segmentelor MC, HB, KA și respectiv ND.

Prin tăierea pătratului ABCD de-a lungul liniilor trasate, obținem pătratul PTEF și patru patrulatere MDHT, HCKE, KBNF și NAMP.

Figura 3

PTEF este un pătrat gata făcut. Din patrulaturile rămase vom forma al doilea pătrat. Vârfurile A, B, C și D sunt compatibile la un moment dat, segmentele AM ​​și BC, MD și KS, BN și CH, DH și AN sunt compatibile. Punctele P, T, E și F vor deveni vârfurile noului pătrat. (Figura 3)

Sarcina 4.

Din hârtie groasă sunt tăiate un triunghi echilateral și un pătrat. Tăiați aceste figuri în poligoane, astfel încât să poată fi pliate într-un pătrat, iar părțile trebuie să-l umple complet și să nu se intersecteze.

Tăiați triunghiul în bucăți și faceți un pătrat din ele, așa cum se arată în sarcina 2. Lungimea laturii triunghiului – 2a. Acum ar trebui să împărțiți pătratul în poligoane, astfel încât din aceste părți și pătratul care a ieșit din triunghi, să faceți un pătrat nou. Luați un pătrat cu latura 2 A, să-l notăm LRSD. Să desenăm segmente reciproc perpendiculare UG și VF astfel încât DU=SF=RG=LV. Să tăiem pătratul în patrulatere.

Figura 4

Să luăm un pătrat format din părți ale unui triunghi. Să așezăm patrulaterele - părți ale pătratului, așa cum se arată în Figura 4.

Sarcina 5.

Crucea este formată din cinci pătrate: un pătrat în centru, iar celelalte patru adiacente laturilor sale. Tăiați-o în bucăți, astfel încât să puteți face un pătrat din ele.

Să conectăm vârfurile pătratelor așa cum se arată în Figura 5. Tăiați triunghiurile „exterioare” și mutați-le în spațiile libere din interiorul pătratului ABC.

Figura 5

Sarcina 6.

Redesenați două pătrate arbitrare într-unul singur.

Figura 6 arată cum să tăiați și să mutați piesele pătrate.

O serie de cursuri opționale pe tema „Rezolvarea problemelor de tăiere”

Notă explicativă

De bază obiective pe care le punem la clasele opționale sunt următoarele:

Prezentați material despre tipurile de poligoane de tăiere;

Pentru a promova formarea abilităților la elevi pentru a efectua mental transformări precum:

• transfer paralel,

  întoarce,

  simetria centrală şi diverse compoziţii ale acestor transformări.

ȘI scopul principal al tuturor claselor: obține o schimbare pozitivă a abilităților de gândire spațială.

Sarcinile oferite la orele opționale sunt de natură creativă, soluția lor impune elevilor să: aptitudini:

capacitatea de a face transformări mentale care modifică locația imaginilor pe care le au elevii în mintea lor, structura, structura lor;

capacitatea de a schimba imaginea atât în ​​locație, cât și în structură simultan și de a efectua în mod repetat compoziții ale operațiilor individuale.

Planificare tematică:

1. Chestionar nr. 1 – 1 oră.

2. Probleme de tăiere. Tăiere tip R – 1 oră.

3. Tăiere tip P – 1 oră.

4. Tăiere tip Q – 1 oră.

5. Tăiere tip S – 1 oră.

6. Tăiere tip T – 1 oră.

7. Chestionar nr 2 – 1 oră.

La alcătuirea unei serii de ore opționale s-au folosit probleme din revistele „Kvant”, „Matematica la școală” și cartea lui G. Lindgren.

Instrucțiuni: La introducerea elevilor în probleme, vă recomandăm să luați în considerare aceste probleme tocmai în funcție de tipurile de tăiere propuse de G. Lindgren, ceea ce permite, pe de o parte, clasificarea acestor probleme, pe de altă parte, în sala de clasă rezolvarea problemelor care implică spațiale. transformări de diferite niveluri de complexitate (al doilea și al treilea tip care operează cu imagini, conform lui I.S. Yakimanskaya). Vă recomandăm să folosiți sarcinile de la cursurile opționale atunci când lucrați cu elevii din clasele a 7-a-9.

Lecția nr. 1

Subiect: Probleme de tăiere. Tăiere de tip R (tăiere rațională).

Ţintă: Pentru a familiariza elevii cu conceptul de problemă de tăiere, explicați esența tăierii de tip R, analizând soluția problemelor pentru acest tip de tăiere, în procesul de rezolvare a problemelor, promovați formarea deprinderilor de a efectua mental operațiuni (tăiere, adăugarea, re-tăierea, întoarcerea, transferul paralel), promovând astfel dezvoltarea gândirii spațiale.

Echipament: hârtie, paste colorate, foarfece, afiș.

Metodă: explicativ – ilustrativ.

Profesor: afiș pe tablă:

Schemă: probleme de tăiere

Probleme de tăiere

1) Tăiați figura în mai multe figuri

3) Reformați una sau mai multe forme într-o altă formă

2) Îndoiți o figură din figurile date

Dintre toate problemele de tăiere, majoritatea sunt probleme de tăiere rațională. Acest lucru se datorează faptului că astfel de tăieturi sunt ușor de realizat, iar puzzle-urile bazate pe ele nu sunt prea simple și nici prea complexe.

Probleme în R - tăiere

1) Tăiați figura în mai multe figuri (în mare parte egale).

3) Reformează una sau mai multe forme într-o formă dată

2) Adăugați o cifră din cifrele date (în mare parte egale).

3.1. Folosind tăierea în trepte

3.2. Fără a utiliza tăierea în trepte

Să ne familiarizăm cu soluția problemelor pentru fiecare tip de tăiere R.

Etapa II: Etapa de rezolvare a problemelor

Metode: căutare parțială

Sarcina nr. 1(AII) : Tăiați un pătrat cu o latură de patru pătrate în două părți egale. Găsiți cât mai multe modalități de tăiere.

Notă: Puteți tăia doar de-a lungul părților laterale ale celulelor.

Soluţie:

Elevii caută astfel de tăieturi în caiete, apoi profesorul rezumă toate metodele de tăiere găsite de elevi.

Problema nr. 2(AII) : Tăiați aceste forme în două părți egale.

Notă: Puteți tăia nu numai de-a lungul părților laterale ale celulelor, ci și în diagonală.

Elevii caută astfel de tăieturi în caiete cu ajutorul profesorului.

Piața are multe proprietăți minunate. Unghiurile drepte, laturile egale, simetria îi conferă simplitate și perfecțiunea formei. Există multe puzzle-uri pe pătrate pliabile din părți de aceeași formă și diferite.

LA exemplu sarcina nr. 3(BII) : Vi se oferă patru părți identice. Faceți un pătrat din ele mental, folosind toate cele patru părți de fiecare dată. Faceți toate testele pe hârtie. Prezentați rezultatele soluției dvs. sub forma unui desen desenat manual.

Soluţie:

O tablă de șah tăiată în bucăți, care trebuie pliată corect, este unul dintre puzzle-urile populare și cunoscute. Complexitatea ansamblului depinde de câte părți este împărțită placa.

Iti propun urmatoarea sarcina:

Problema nr. 4(BII) : Asamblați o tablă de șah din piesele prezentate în imagine.

Soluţie:

Problema #5(VII) : Tăiați „Barca” în două părți, astfel încât să le puteți plia într-un pătrat.

Soluţie:

1) tăiați în două părți ca în imagine

întoarceți una dintre părți (adică rotiți)

Problema nr. 6(VII): Oricare dintre cele trei figuri poate fi tăiată în două părți, din care este ușor să pliați un pătrat. Găsiți astfel de tăieturi.

A) b)

V)

Soluţie:

transferul paralel al părții 1 față de partea 2

rotația părții 1 față de partea 2

) b) V)

Problema nr. 7(VII): Un dreptunghi cu laturile de 4 și 9 unități este tăiat în două părți egale, care, atunci când sunt pliate corect, ar putea fi obținute ca un pătrat.

tăierea se face sub formă de trepte, a căror înălțime și lățime sunt aceleași;

figura este împărțită în părți și o parte este mutată în sus cu una (sau mai multe) trepte, așezând-o pe o altă parte.

Soluţie:

transferul paralel al părții 1

Problema nr. 9(VII): După ce a tăiat figura prezentată în figură în două părți, pliați-le într-un pătrat, astfel încât pătratele colorate să fie simetrice față de toate axele de simetrie ale pătratului.

Soluţie:

transferul paralel al părții 1

Problema nr. 9(ВIII): Cum ar trebui tăiate două pătrate 3 x 3 și 4 x 4, astfel încât părțile rezultate să poată fi pliate într-un pătrat? Vino cu mai multe moduri. Încercați să vă descurcați cu cât mai puține părți posibil.

Soluţie:

transfer paralel de piese

Cale:

Cale:

translație și rotație paralelă

cale:

4 moduri:

transferul paralel și rotația pieselor

Elevii, cu ajutorul profesorului, caută tăieturi.

Problema nr. 10(AIII): Figura prezentată în figură trebuie împărțită în 6 părți egale, făcând tăieturi numai de-a lungul liniilor grilei. În câte moduri poți face asta?

Soluţie: Două soluții posibile.

Problema nr. 11(BII): Construiește o tablă de șah din piesele date.

Soluţie:

Problema nr. 12(BIII): Transformați dreptunghiul de 3 x 5 într-un dreptunghi de 5 x 3 fără a roti părțile corespunzătoare.

Notă: Utilizați tăierea în trepte.

Soluţie:(transfer paralel)

Problema nr. 13(BIII): Tăiați forma în 2 bucăți cu o tăietură pentru a forma un pătrat de 8 x 8.

Soluţie:

rotația părții 2 față de partea 1

Instrucțiuni: Problemele de tăiere de tip R sunt unele dintre cele mai ușoare și mai interesante. Multe probleme pentru acest tip de tăiere implică mai multe metode de rezolvare, iar rezolvarea independentă a acestor probleme de către studenți poate ajuta la identificarea tuturor metodelor de rezolvare. Sarcinile 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 implică elevii care lucrează cu imaginea figurilor, prin transformări mentale („tăiere”, adăugare, rotație, transfer paralel). Problemele 4, 5, 9, 11 presupun elevii să lucreze cu modele (din hârtie), prin tăierea directă a figurii cu foarfecele și efectuarea de transformări matematice (rotație, translație paralelă) pentru a găsi soluții la probleme. Sarcinile 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 - pentru al doilea tip de operare cu imagini, sarcinile 9, 10, 12 - pentru al treilea tip de operare cu imagini.

Lecția nr. 2

Subiect: Tipul de tăiere P (deplasare paralelogramă P).

Ţintă: Explicați esența tăierii tip P, în procesul de analiză a soluționării problemelor pentru acest tip de tăiere, promovând în același timp formarea deprinderilor de a efectua mental operațiuni (tăiere, adăugare, retăiere, transfer paralel), promovând astfel dezvoltarea gândirii spațiale.

Echipament:

Etapa I: Etapa de orientare

Metodă: prezentare problematica.

Profesor pune o problemă (rezolvați problema nr. 1) și arată soluția acesteia.

Sarcina nr. 1(BIII): Transformați un paralelogram cu laturile de 3 și 5 cm într-un nou paralelogram cu aceleași unghiuri ca și paralelogramul original, una dintre laturile căruia este de 4 cm.

Soluţie: 1)

4)

ABC D – paralelogram

AB = 3, A D=5

faceți o tăietură AO VO = D K = 4;

mutați partea 1 în sus (translație paralelă) la dreapta de-a lungul liniei de tăiere până când punctul O cade pe continuarea laturii DC;

faceți o tăietură KA' astfel încât KA' || DC ;

și Δ AA'K introducem în locașul situat sub punctul O (transferul paralel al Δ AA'K de-a lungul liniei drepte AO).

KVO D este paralelogramul dorit (КD = 4)

KDO=  A.D.C.  RĂU =  1 +  4,

1 =  2 și  4 =  3 – culcat transversal pe drepte paralele.

Prin urmare,  RĂU =  2 + 3 =  BOC =  BKD,  RĂU =  BKD etc.

U

Probleme la schimbarea P

Modificați una sau mai multe forme într-o altă formă

cititor:

Esența tăierii tip P:

facem o secțiune din această figură care îndeplinește cerințele sarcinii;

efectuăm un transfer paralel al părții tăiate de-a lungul liniei de tăiere până când partea superioară a părții tăiate coincide cu continuarea celeilalte părți a figurii originale (paralelogram);

faceți o a doua tăietură paralelă cu latura paralelogramului, obținem o altă parte;

Efectuăm un transfer paralel al piesei nou tăiate de-a lungul liniei primei tăieturi până când vârfurile coincid (punem piesa în adâncitură).

Etapa II: Etapa de rezolvare a problemelor

Metode: explicativ – ilustrativ

Problema nr. 2(BII): Transformați pătratul de 5 x 5 într-un dreptunghi cu o lățime de 3.

Soluţie:

1) 2) – 3) 4)

secțiunea AO / VO = D T = 3

transfer paralel ΔABO de-a lungul dreptei AO ​​până la punctul O  (DC)

tăiat TA’ / TA’ || CD

Δ AA ’T prin transfer paralel de-a lungul liniei drepte AO.

TBOD este dreptunghiul dorit (TB = 3).

Problema nr. 3(ВIII): Îndoiți trei pătrate identice într-un pătrat mare.

Notă: Îndoiți trei pătrate într-un dreptunghi, apoi aplicați deplasarea P.

Soluţie:

S pr = 1,5 * 4,5 = 6,75

kv = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Problema nr. 4(BIII): Tăiați dreptunghiul de 5 x 1 într-un pătrat

Notă: faceți o incizie AB (A W =
), aplicați deplasarea P dreptunghiului XYWA.

Soluţie:

1)

2) – 3) 4) 5)

Problema nr. 5(ВIII): Transformați Н rusesc într-un pătrat.

Notă: faceți o tăietură așa cum se arată în imagine, pliați părțile rezultate într-un dreptunghi.

Soluţie:

Problema nr. 6(BIII): Transformați triunghiul într-un trapez.

Notă: faceți tăierea așa cum se arată în imagine.

Soluţie:

rotiți partea 1;

secțiunea AB;

ΔАВС transfer paralel de-a lungul AB până la punctul B  (FM)

tăiat SAU / SAU || FM;

ΔAOR prin transport paralel de-a lungul AB. Punctul P coincide cu punctul B;

OFBC este trapezul dorit.

Problema nr. 7(ВIII): Faceți un pătrat din trei cruci grecești egale.

Soluţie:

Problema nr. 8(BIII): Convertiți litera T într-un pătrat.

Notă: În primul rând, tăiați un dreptunghi din litera t.

Soluţie: S t = 6 (unitatea 2), Skv = (
) 2

întoarce

alcătuirea cratimelor paralele

MV = KS =

Problema nr. 9(ВIII): Redesenați steagul prezentat în imagine într-un pătrat.

Notă: convertiți mai întâi steagul într-un dreptunghi

Soluţie:

întoarce

S fl = 6,75 AB = C D =
Skv = (
) 2

transfer paralel

Instrucțiuni: La introducerea elevilor în problemele de tăiere de tip P, le recomandăm să prezinte esența acestui tip de tăiere atunci când rezolvă o problemă specifică. Vă sfătuim să rezolvați mai întâi problemele pe modele (din hârtie), prin tăierea directă a figurilor cu foarfecele și efectuarea transferului paralel, iar apoi în procesul de rezolvare a problemelor, de la modele de figuri, treceți la lucrul cu imagini. a formelor geometrice, prin efectuarea de transformări mentale (tăiere, transfer paralel).

Lecția nr. 3

Subiect: Tipul de tăiere Q (Q este o deplasare a unui patrulater).

Ţintă: Să subliniem esența tăierii tip Q, în procesul de rezolvare a problemelor pentru acest tip de tăiere, promovând în același timp formarea deprinderilor de a efectua mintal operațiuni (tăiere, adăugare, simetrie centrală, rotație, transfer paralel), promovând astfel dezvoltarea gândirii spațiale.

Echipament: hârtie, paste colorate, foarfece.

Etapa I: Etapa de orientare

Metodă: prezentare problematica.

Profesorul pune o problemă elevilor (rezolvați problema nr. 1) și arată soluția.

Sarcina nr. 1(BIII): Convertiți acest patrulater într-un patrulater nou.

Soluţie:

facem tăierea HP astfel încât VN = MN, PF = DF;

fă o tăietură EU / ME || Soare;

faceți o tăietură RT / RT || ANUNȚ ;

Δ3 și Δ1 sunt rotite în sensul acelor de ceasornic în raport cu partea 2;

Partea 1 prin transfer paralel de-a lungul unei drepte HF până la punctul T  AR;

AMCP este patrulaterul necesar (cu laturile CP și AM (poate fi specificat în condiție)).

Problema nr. 2(BIII): Transformați patrulaterul într-un patrulater nou (patrulaterul lung).

Soluţie:

(rotiți partea 1 față de punctul O până când OU coincide cu AO);

(rotiți partea (1 – 2) față de punctul T până când VT coincide cu WT);

XAZW este patrulaterul necesar.

În problemele care utilizează tăieturi Q, se fac tăieturi și piesele tăiate suferă o transformare de rotație.

Sarcini pentru Tăiere Q

transforma o formă dată (patrangular) într-o altă formă (patrangular)

În multe probleme, elementele de deplasare Q sunt folosite pentru a transforma un triunghi într-un fel de patrulater sau invers (un triunghi ca „cadrilater” cu una dintre laturile sale având lungime zero).

Etapa II: Etapa de rezolvare a problemelor

Problema nr. 3(VII): Un triunghi mic este tăiat din triunghi, așa cum se arată în figură. Rearanjați triunghiul mic pentru a forma un paralelogram.

Rotiți partea 1 în raport cu punctul P până când KR coincide cu MR.

AOO'M este paralelogramul dorit.

Problema nr. 4(BII, BIII): Care dintre aceste triunghiuri pot fi transformate în dreptunghiuri făcând una (două) tăieturi și rearanjand părțile rezultate?

1) 2) 3) 4)

5)

Soluţie:

1)

5)

1), 5) o tăietură (tăiere – linia de mijloc a triunghiului)

2)

3)

4)

2), 3), 4) două tăieturi (prima tăietură – linia mediană, a doua tăietură – înălțimea de la vârful triunghiului).

Problema nr. 5(VII): Reconstruiți trapezul într-un triunghi.

Soluţie:

secțiunea KS (AK = KB)

rotirea ΔKVS în jurul punctului K astfel încât segmentele KV și KA să fie aliniate.

Δ FCD triunghiul dorit.

Problema nr. 6(ВIII): Cum să rupi un trapez în forme din care să faci un dreptunghi?

Soluţie:

1) Secțiunea SAU (AO = OB, OR┴AD)

2) tăiați TF (CT = TD, TF ┴AD)

rotația părții 1 față de punctul O astfel încât AO și BO să fie aliniate.

Rotiți partea 2 în raport cu punctul T, astfel încât DT și CT să fie aliniate.

PLMF – dreptunghi.

Etapa III: stabilirea temelor.

Problema nr. 7(ВIII) : converti orice triunghi într-un triunghi dreptunghic.

Cometariu:

1) convertiți mai întâi un triunghi arbitrar într-un dreptunghi.

2) dreptunghi în triunghi dreptunghic.

Soluţie:

întoarce

Problema nr. 8(VII): Convertiți un paralelogram arbitrar într-un triunghi făcând o singură tăietură.

Soluţie:

întoarce

Rotiți partea 2 în jurul punctului O cu 180º (centrul de simetrie)

Instrucțiuni: Rezumatul esenței tăierii Q vă recomandăm

efectuează în procesul de rezolvare a unor probleme specifice. Principalele transformări matematice utilizate în rezolvarea problemelor pentru acest tip de tăiere sunt: ​​rotația (în special, simetria centrală, translația paralelă). Sarcinile 1, 2, 7 – pentru acțiuni practice cu modele de forme geometrice; sarcinile 3, 4, 5, 6, 8 presupun lucrul cu imagini de forme geometrice. Sarcinile 3, 4, 5, 8 – pentru al doilea tip de operare cu imagini, sarcinile 1, 2, 4, 6, 7 – pentru al treilea tip de operare cu imagini.

Lecția nr. 4.

Subiect: Tăiere tip S.

Ţintă: Explicați esența tăierii tip S, în procesul de rezolvare a problemelor pentru acest tip de tăiere, promovând în același timp formarea deprinderilor de a efectua mental operațiuni (tăiere, adăugare, suprapunere, strunjire, transfer paralel, simetrie centrală), promovând astfel dezvoltarea gândirii spațiale.

Echipament: hârtie, paste colorate, foarfece, cod pozitiv.

eu etapă: Etapă orientată.

Metodă: explicative și ilustrative.

Sarcina nr. 1(VII): cum să tăiați un paralelogram ale cărui laturi sunt de 3,5 cm și 5 cm într-un paralelogram cu laturile de 3,5 cm și 5,5 cm, făcând o singură „tăiere”?

Soluţie:

1) trageți un segment (tăiat) CO = 5,5 cm, împărțiți paralelogramul în două părți.

2) aplicăm triunghiul COM pe partea opusă a paralelogramului AK. (adică transferul paralel al ∆ COM către segmentul SA în direcția SA).

3) CAOO` este paralelogramul dorit (CO = 5,5 cm, CA = 3,5 cm).

Sarcina nr. 1(ВIII): arată cum poți tăia un pătrat în 3 părți, astfel încât să le poți folosi pentru a face un dreptunghi cu o latură de două ori mai mare decât cealaltă.

Soluţie:

Construiți pătratul ABCD

să desenăm diagonala AC

Să desenăm jumătate din segmentul diagonal BD OD (OD ┴AC), OD = ½ AC. Construiți un dreptunghi din cele 3 părți rezultate (lungime AC, lățime AD

Pentru aceasta:

efectuați un transfer paralel al părților 1 și 2. partea 1 (∆1) pe direcția D A, ∆2 pe direcția AB către segmentul AB.

AOO`C este dreptunghiul dorit (cu laturile AC, OA = ½ AC).

Profesor: Am analizat soluția a 2 probleme; tipul de tăiere utilizat în rezolvarea acestor probleme se numește figurativ tăiere în S.

S -tăiere este practic transformarea unui paralelogram într-un alt paralelogram.

Esența acestei tăieturiîn cele ce urmează:

facem o tăietură egală în lungime cu latura paralelogramului necesar;

efectuăm un transfer paralel al părții tăiate până când părțile opuse egale ale paralelogramului coincid (adică aplicăm partea tăiată pe partea opusă a paralelogramului)

În funcție de cerințele sarcinii, numărul de tăieturi va depinde.

Să luăm în considerare următoarele sarcini:

Sarcina nr. 3(BII): împărțiți paralelogramul în două părți din care puteți adăuga un dreptunghi.

Să desenăm un paralelogram arbitrar.

Soluţie:

din punctul B, coborâți înălțimea lui VN (VN┴AD)

Să efectuăm un transfer paralel al ∆ AVN pe segmentul BC în direcția BC.

Desenați un desen al dreptunghiului rezultat.

VNRS – dreptunghi.

Sarcina nr. 4(BIII): Laturile paralelogramului sunt de 3 și 4 cm. Transformați-l într-un paralelogram cu laturile de 3,5 cm făcând două tăieturi.

Soluţie:

1)

2)

Paralelogramul dorit.

În general, tăierea în S se bazează pe metoda suprapunerii benzilor, care permit rezolvarea problemei transformării oricăror poligoane.

În problemele de mai sus, datorită ușurinței lor, am renunțat la metoda de aplicare a dungilor, deși toate aceste soluții pot fi obținute prin această metodă. Dar în sarcinile mai complexe nu puteți face fără dungi.

Scurt metoda dungilor se rezumă la asta:

1) Tăiați (dacă este necesar) fiecare poligon (poligonul care se transformă și poligonul în care trebuie transformat poligonul original) în părți din care se pot plia două benzi.

2) Așezați benzile una peste alta la un unghi potrivit, cu marginile uneia dintre ele poziționate întotdeauna egal în raport cu elementele celeilalte benzi.

3) În acest caz, toate liniile situate în partea comună a celor 2 benzi vor arăta locurile tăierilor necesare.

Scrisoare S, folosit în termenul „S-cut”, provine din engleza Strip - strip.

Etapa II: Etapa de rezolvare a problemelor

Folosind problema 3 ca exemplu, să verificăm că metoda de aplicare a dungilor oferă soluția dorită.

Problema nr. 3(VII): Împărțiți paralelogramul în două părți din care puteți adăuga un dreptunghi.

Soluţie:

1)

2)

3)

1) obținem o bandă dintr-un paralelogram

2) dungi de dreptunghiuri

3) suprapuneți banda 2 pe banda 1, așa cum se arată în Figura 3

4) obținem sarcina cerută.

Problema nr. 5(BIII): Într-un triunghi isoscel, punctele medii ale laturilor laterale și proiecțiile lor pe bază sunt marcate. Două linii drepte sunt trasate prin punctele marcate. Arătați că piesele rezultate pot fi folosite pentru a forma un romb.

Soluţie:

partea 2, 3 – rotație în jurul unui punct

partea 4 - transfer paralel

În această problemă, a fost deja indicată tăierea triunghiurilor; putem verifica că aceasta este o tăietură în S.

Problema nr. 6(BIII): Transformați trei cruci grecești într-un pătrat (folosind dungi).

Soluţie:

1)

Punem o fâșie de pătrate pe o fâșie de cruci, astfel încât punctul A și punctul C să aparțină marginilor benzii de cruci.

∆АВН = ∆СD B, prin urmare, pătratul este format din ∆АВС și ∆АВМ.

Etapa III: Stabilirea temelor

Problema nr. 7(BIII): Convertiți acest dreptunghi într-un alt dreptunghi, ale cărui laturi sunt diferite de laturile dreptunghiului original.

Notă: Uitați-vă la soluția problemei 4.

Soluţie:

secțiunea AO (AO – lățimea dreptunghiului necesar);

tăiați DP / DP  AO (DP – lungimea dreptunghiului necesar);

transferul paralel al ∆AVO în direcția aeronavei către segmentul aeronavei;

transferul paralel al ∆АPD pe segmentul AO în direcția AO;

Dreptunghi necesar PFED.

Problema nr. 8(BIII): Un triunghi regulat este împărțit în părți printr-un segment; faceți un pătrat din aceste părți.

Notă: Puteți verifica prin suprapunerea benzilor că aceasta este o tăietură în S.

rotirea piesei 2 în jurul punctului O;

rotirea piesei 3 în jurul punctului C;

transferul paralel al părții 4

Sarcina suplimentară nr. 9(BII): Tăiați paralelogramul de-a lungul unei linii drepte care trece prin centrul său, astfel încât cele două bucăți rezultate să poată fi pliate într-un romb.

Soluţie:

O  QT

Tăiere QT;

partea 1 prin transfer paralel la segmentul BC în direcția BC (CD și AB sunt combinate).

Instrucțiuni: S – tăiere – unul dintre cele mai dificile tipuri de tăiere. Vă recomandăm ca esența acestei tăieturi să fie conturată în sarcini specifice. În orele de rezolvare a problemelor de tăiere în S, vă recomandăm să folosiți probleme în care sunt date cifre de tăiere și este necesar să adăugați cifra necesară din părțile rezultate, acest lucru se explică prin dificultatea elevilor în implementarea independentă a metodei de aplicare a benzilor, care este esența S – tăierea. În același timp, la sarcinile care sunt mai accesibile elevilor (de exemplu, la sarcinile 3, 5, 8), profesorul poate arăta cum metoda de aplicare a benzilor permite obținerea tăierilor date în condițiile sarcinii. Sarcinile 4, 5, 6, 8, 9 – pentru acțiuni practice cu modele de forme geometrice, sarcinile 1, 2, 3, 7 – pentru lucrul cu imagini de forme geometrice. Sarcinile 1, 3, 9 – pentru al doilea tip de operare cu imagini, sarcinile 2, 4, 5, 6, 7, 8 – pentru al treilea tip de operare cu imagini.

Lecția nr. 5

Subiect: Tăiere tip T.

Ţintă: Explicați esența tăierii tip S, în procesul de analiză a soluționării problemelor pentru acest tip de tăiere, promovând totodată formarea deprinderilor de a efectua mental operațiuni (tăiere, adăugare, strunjire, transfer paralel), promovând astfel dezvoltarea gândire spațială.

Echipament: hârtie, paste colorate, foarfece, paste colorate, cod pozitiv.

Etapa I: Etapa de orientare

Metodă: explicative și ilustrative

Profesor: Utilizarea decupării în T pentru a rezolva probleme implică realizarea unui mozaic și suprapunerea lor ulterioară. Fâșiile folosite la tăierea în S pot fi obținute din mozaicuri. Prin urmare, metoda placării generalizează metoda benzii.

Să luăm în considerare esența tăierii în T folosind exemplul rezolvării problemelor.

Sarcina nr. 1(BIII): Transformați crucea greacă într-un pătrat.

1) primul pas este convertirea poligonului original într-un element mozaic (și acest lucru este necesar);

2) din aceste elemente facem mozaicul nr.1 (realizăm un mozaic din cruci grecești);

5) toate liniile situate în partea comună a celor două mozaicuri vor arăta locurile tăierilor necesare.

Etapa II: Etapa de rezolvare a problemelor

Metodă: parțial - căutare

Problema nr. 2(BIII): Crucea greacă este tăiată în trei părți, pliați aceste părți într-un dreptunghi.

Notă: putem verifica dacă această tăietură este o tăietură de tip T.

Soluţie:

rotirea piesei 1 în jurul punctului O;

rotiți partea 2 în jurul punctului A.

Problema nr. 3(BIII): Tăiați patrulaterul convex de-a lungul a două linii drepte care leagă punctele medii ale laturilor opuse. Arătați că din cele patru bucăți rezultate este întotdeauna posibil să adăugați un paralelogram.

partea 2 rotație în jurul punctului O (sau centru de simetrie) cu 180;

partea 3 rotație în jurul punctului C (sau centru de simetrie) cu 180;

partea 1 – transfer paralel.

Să arătăm mozaicul din care a fost obținută această tăietură.

Problema nr. 4(BIII): Trei triunghiuri identice au fost tăiate de-a lungul unor mediane diferite. Îndoiți cele șase bucăți rezultate într-un singur triunghi.

Soluţie:

1) din aceste triunghiuri facem triunghiuri ca în Figura 1 (simetrie centrală);

2) facem un alt triunghi din trei triunghiuri noi (laturile egale coincid).

Să arătăm cum au fost realizate aceste secțiuni folosind mozaicuri.

Problema nr. 5(BIII): Crucea greacă a fost tăiată în bucăți și din aceste piese a fost făcut un triunghi isoscel dreptunghiular.

Soluţie:

partea 1 simetria centrală;

partea 3 simetrie centrală;

părțile 3 și 4 – întoarcere.

Problema nr. 6(BIII): Tăiați această figură într-un pătrat.

Soluţie:

partea 1 rotație în jurul punctului O;

partea 3 viraj 90 în jurul punctului A.

Problema nr. 7(BIII): Tăiați crucea greacă într-un paralelogram (se dau tăieturi).

Soluţie:

partea 2 – transfer paralel față de partea 1;

partea 3 transfer paralel de-a lungul liniei de tăiere.

Etapa III: Stabilirea temelor.

Problema nr. 8(BIII): Două patrulatere convexe de hârtie identice cu tăieturi: primul de-a lungul uneia dintre diagonale și al doilea de-a lungul celeilalte diagonale. Demonstrați că părțile rezultate pot fi folosite pentru a forma un paralelogram.

Soluţie: alcătuirea turelor.

Problema nr. 9(BIII): Faceți un pătrat din două cruci grecești identice.

Soluţie:

Instrucțiuni: T - tăiere - cel mai complex tip de tăiere, formând tăieturi de tip S. Vă recomandăm să explicați esența tăierii în T în procesul de rezolvare a problemelor. Datorită complexității implementării metodei mozaic pentru elevi, care este esența tăierii în T, în sala de clasă recomandăm folosirea sarcinilor în care se specifică tăierea și se cere obținerea figurii dorite din părțile rezultate ale figurii folosind transformări matematice (rotație, translație paralelă). În același timp, pe sarcinile care sunt mai accesibile elevilor, profesorul poate arăta cum se obțin date de tăiere folosind metoda mozaicului. Sarcinile propuse în lecția nr.5 sunt pentru al treilea tip de operare cu imagini și implică elevii care lucrează cu modele de figuri geometrice prin efectuarea de rotație și translație paralelă.

În fața ta se află o foaie de hârtie cu imaginea: a) unui triunghi, b) a unei stele cu cinci colțuri, c) a unui poligon în formă de lebădă înotătoare. În fiecare caz Vino cu, cum să pliați o bucată de hârtie astfel încât forma corespunzătoare să poată fi apoi tăiată într-o tăietură dreaptă continuă cu foarfecele.

Cheie

În toate cazurile, soluția constă aproape în întregime din pași de două tipuri: trebuie să adăugați fie de-a lungul bisectoarei unora dintre unghiurile asociate figurii (pentru a „reduce” numărul de segmente care nu rămân pe aceeași linie) , sau de-a lungul perpendicularei pe unul dintre segmente (pentru a „potri” lungimea acestuia la lungimea dorită).

Soluţie

Figurile de mai jos arată cum să pliați formele din enunțul problemei pentru a le tăia apoi fiecare cu o tăietură.

Cu un triunghi, totul este mai mult sau mai puțin clar: adăugăm de-a lungul unei bisectoare, apoi de-a lungul celeilalte (Fig. 1).

Vedeta este, de asemenea, destul de ușor de tratat. Mai întâi trebuie să o îndoiți în jumătate de-a lungul axei de simetrie (o acțiune complet naturală - deoarece puteți „înjumătăți” figura dintr-o singură lovitură). Apoi - combinați cele două raze ale stelei între ele, adăugând de-a lungul bisectoarei unghiului său „extern”. După aceasta, din contur vor rămâne doar trei segmente, care sunt ușor de combinat (Fig. 2).

Lebada este cel mai greu lucru. Acest lucru este de înțeles: o figură fără simetrii, cu un număr mare de laturi; prin urmare, va fi necesar un număr mare de pliuri. Diagrama pentru pliere este prezentată în Fig. 3. Liniile punctate simple reprezintă pliuri în jos, liniile punctate reprezintă pliuri în sus. Mai întâi trebuie să marcați aceste pliuri separat, astfel încât foaia să ia forma acoperișului unei case și abia apoi să pliați foaia într-o formă plată.

O serie de fotografii arată întregul proces de pliere:

Citiți de unde provine un astfel de sistem ingenios de pliuri în postfață.

Postfaţă

Toate opțiunile propuse în condiție sunt doar cazuri speciale ale întrebării generale, care sună astfel:

Având în vedere un poligon pe o coală plată de hârtie, este posibil să pliați această foaie astfel încât poligonul să poată fi tăiat cu o tăietură dreaptă?

Se pare că, indiferent de forma poligonului, răspunsul la această întrebare este întotdeauna pozitiv: da, poți. (Desigur, acum discutăm această problemă din punct de vedere al matematicii și nu atingem latura „fizică” a problemei: este imposibil să îndoiți o foaie de hârtie de prea multe ori. Se crede că este imposibil de îndoit chiar și hârtia foarte subțire de mai mult de 7-8 ori. Aproape așa este: cu puțin efort, puteți face 12 îndoiri, dar este puțin probabil să puteți face mai multe.)

Mai mult, dacă sunt desenate mai multe poligoane, atunci foaia poate fi în continuare pliată, astfel încât toate să poată fi tăiate cu o singură tăietură (și nu se va decupa nimic în plus). Ideea este că următoarele sunt adevărate teorema:

Să fie desenat un grafic arbitrar pe o bucată de hârtie. Apoi, această foaie poate fi pliată, astfel încât acest grafic să poată fi tăiat cu o singură tăietură și nu va fi tăiat nimic inutil.

Această teoremă are o demonstrație algoritmică. Adică, dovada sa oferă o rețetă explicită pentru cum se construiește sistemul necesar de pliuri.

Pe scurt, esența este aceasta. Mai întâi trebuie să construim un schelet drept. Acesta este un set de linii - traiectoriile vârfurilor poligonului original - de-a lungul cărora se deplasează în timpul compresiei sale speciale. Compresia funcționează astfel: mutăm laturile poligonului „înăuntru” cu o viteză constantă, astfel încât fiecare parte să se miște fără a-și schimba direcția. După cum puteți vedea cu ușurință, la început vârfurile se vor târâ de-a lungul bisectoarelor colțurilor poligonului. Adică, această construcție ciudată la prima vedere generalizează pur și simplu ideea propusă în indiciu: că ar trebui să încercați să adăugați de-a lungul bisectoarelor colțurilor unui poligon. Rețineți că în timpul procesului de compresie, poligonul se poate „destrăma” în bucăți, așa cum sa întâmplat în Fig. 5.

După obținerea scheletului, din fiecare vârf al acestuia este necesar să se deseneze raze perpendiculare pe acele laturi ale figurii originale pe care pot fi desenate. Dacă raza întâlnește o linie din schelet, atunci după ce o traversează ar trebui să continue nu drept, ci de-a lungul imaginii în oglindă în raport cu această linie. Sistemul de pliere constă din linii desenate.

Mai multe informații despre aceasta și despre modul de determinare a direcției de pliere („sus” sau „jos”) pot fi găsite în articolul E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Folding and Cutting Paper. Un scurt istoric și o altă abordare a rezolvării problemei se găsesc pe pagina lui Eric Demain, unul dintre autorii demonstrației teoremei. Puteți citi și o poveste ceva mai populară despre această teoremă (din păcate, tot în engleză). Și, în sfârșit, vă sfătuiesc să urmăriți desenul animat „Etudii matematice”, în care puteți vedea clar cum să pliați un triunghi și o stea și apoi să le decupați cu o singură tăietură.

În cele din urmă, observ că întrebări similare cu cele discutate mai sus au fost ridicate de ceva timp. De exemplu, într-o carte japoneză din 1721, ca una dintre probleme, cititorii au fost rugați să decupeze o figură din trei romburi unite folosind o singură tăietură (Fig. 6). Mai târziu, celebrul iluzionist Harry Houdini a explicat în cartea sa metoda de a decupa o stea. Apropo, conform legendei, tocmai pentru că o astfel de stea poate fi tăiată rapid din hârtie sau țesătură, acum vedem stele cu cinci colțuri pe steagul SUA: croitoreasă Betsy Ross, care, conform legendei, a cusut primul steag, a reușit să-l convingă pe George Washington că sunt mai bine folosite pentru steag decât cele cu șase colțuri pe care Washington a vrut să le folosească inițial.