Obiectivele lecției:

Didactic:

• Nivelul 1 - învață cum să rezolvi cele mai simple inegalități logaritmice, folosind definiția unui logaritm, proprietățile logaritmilor;
• Nivelul 2 - rezolvați inegalitățile logaritmice, alegând propria metodă de rezolvare;
• Nivelul 3 - să fie capabil să aplice cunoștințele și abilitățile în situații non-standard.

În curs de dezvoltare: dezvolta memoria, atentia, gandirea logica, abilitatile de comparare, sa poata generaliza si sa traga concluzii

Educational: a cultiva acuratețea, responsabilitatea pentru sarcina îndeplinită, asistența reciprocă.

Metode de predare: verbal , vizual , practic , căutare parțială , autoguvernare , Control.

Forme de organizare a activității cognitive a elevilor: frontal , individual , lucra in perechi.

Echipament: un set de sarcini de testare, o notă de referință, foi goale pentru soluții.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric. Se anunță tema și scopurile lecției, schema lecției: fiecărui elev i se dă o fișă de evaluare, pe care elevul o completează în timpul lecției; pentru fiecare pereche de elevi - materiale tipărite cu sarcini, trebuie să finalizați sarcinile în perechi; foi albe pentru decizii; fișe de referință: definiția logaritmului; graficul unei funcții logaritmice, proprietățile acesteia; proprietățile logaritmilor; algoritm de rezolvare a inegalităților logaritmice.

Toate deciziile după autoevaluare sunt transmise profesorului.

Fișa de punctaj a elevului

2. Actualizarea cunoștințelor.

Instrucțiunile profesorului. Amintiți-vă definiția logaritmului, graficul funcției logaritmice și proprietățile acesteia. Pentru a face acest lucru, citiți textul de la pp. 88–90, 98–101 din manualul „Algebra și începutul analizei 10–11”, editat de Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin și alții.

Elevilor li se dau foi pe care sunt scrise: definiția logaritmului; prezintă un grafic al unei funcții logaritmice, proprietățile acesteia; proprietățile logaritmilor; algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice, un exemplu de rezolvare a unei inegalități logaritmice care se reduce la un pătrat.

3. Învățarea de material nou.

Soluția inegalităților logaritmice se bazează pe monotonitatea funcției logaritmice.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice:

A) Aflați domeniul de definire al inegalității (expresia sublogaritmică este mai mare decât zero).
B) Prezentați (dacă este posibil) părțile din stânga și din dreapta ale inegalității ca logaritmi în aceeași bază.
C) Determinați dacă funcția logaritmică este crescătoare sau descrescătoare: dacă t>1, atunci crește; daca 0 1, apoi în scădere.
D) Treceți la o inegalitate mai simplă (expresii sublogaritmice), având în vedere că semnul de inegalitate va rămâne dacă funcția este în creștere și se va modifica dacă este în scădere.

Elementul de învățare #1.

Scop: stabilirea soluției celor mai simple inegalități logaritmice

Forma de organizare a activității cognitive a elevilor: munca individuală.

Sarcini pentru muncă independentă timp de 10 minute. Pentru fiecare inegalitate, există mai multe răspunsuri, trebuie să îl alegeți pe cel potrivit și să verificați după cheie.

CHEIE: 13321, maxim puncte - 6 p.

Elementul de învățare #2.

Scop: fixarea soluției inegalităților logaritmice prin aplicarea proprietăților logaritmilor.

Instrucțiunile profesorului. Amintiți-vă proprietățile de bază ale logaritmilor. Pentru a face acest lucru, citiți textul manualului de la p.92, 103–104.

Sarcini pentru muncă independentă timp de 10 minute.

CHEIE: 2113, numărul maxim de puncte este de 8 b.

Elementul de învățare #3.

Scop: studierea soluției inegalităților logaritmice prin metoda reducerii la pătrat.

Instrucțiunile profesorului: metoda de reducere a inegalității la un pătrat constă în transformarea inegalității într-o astfel de formă încât o anumită funcție logaritmică să fie notată printr-o nouă variabilă, obținând în același timp o inegalitate pătrată în raport cu această variabilă.

Să folosim metoda intervalului.

Ai trecut de primul nivel de asimilare a materialului. Acum va trebui să alegeți independent o metodă de rezolvare a ecuațiilor logaritmice, folosind toate cunoștințele și capacitățile dumneavoastră.

Elementul de învățare numărul 4.

Scop: consolidarea soluției inegalităților logaritmice prin alegerea unei modalități raționale de a o rezolva singur.

Sarcini pentru muncă independentă timp de 10 minute

Elementul de învățare numărul 5.

Instrucțiunile profesorului. Bine făcut! Ai stăpânit soluția ecuațiilor de al doilea nivel de complexitate. Scopul muncii dvs. ulterioare este de a vă aplica cunoștințele și abilitățile în situații mai complexe și non-standard.

Sarcini pentru soluție independentă:

Instrucțiunile profesorului. Este grozav dacă ai făcut toată munca. Bine făcut!

Nota pentru întreaga lecție depinde de numărul de puncte obținute pentru toate elementele educaționale:

• dacă N ≥ 20, atunci obțineți un scor de „5”,
• pentru 16 ≤ N ≤ 19 – scor „4”,
• pentru 8 ≤ N ≤ 15 – scor „3”,
• la N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Vulpi estimate de predat profesorului.

5. Tema pentru acasă: dacă ați obținut mai mult de 15 b - lucrați la greșeli (soluțiile pot fi luate de la profesor), dacă ați obținut mai mult de 15 b - faceți o sarcină creativă pe tema „Inegalități logaritmice”.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Inegalități logaritmice

În lecțiile anterioare, ne-am familiarizat cu ecuațiile logaritmice și acum știm ce sunt acestea și cum să le rezolvăm. Și lecția de astăzi va fi dedicată studiului inegalităților logaritmice. Care sunt aceste inegalități și care este diferența dintre rezolvarea unei ecuații logaritmice și a inegalităților?

Inegalitățile logaritmice sunt inegalitățile care au o variabilă sub semnul logaritmului sau la baza acestuia.

Sau, se mai poate spune că o inegalitate logaritmică este o inegalitate în care valoarea sa necunoscută, ca în ecuația logaritmică, va fi sub semnul logaritmului.

Cele mai simple inegalități logaritmice arată astfel:

unde f(x) și g(x) sunt niște expresii care depind de x.

Să ne uităm la asta folosind următorul exemplu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Rezolvarea inegalităților logaritmice

Înainte de a rezolva inegalitățile logaritmice, este de remarcat faptul că atunci când sunt rezolvate, ele sunt similare cu inegalitățile exponențiale, și anume:

În primul rând, când trecem de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, trebuie să comparăm și baza logaritmului cu una;

În al doilea rând, atunci când rezolvăm o inegalitate logaritmică folosind o modificare a variabilelor, trebuie să rezolvăm inegalitățile în raport cu modificarea până când obținem cea mai simplă inegalitate.

Dar noi am considerat momentele similare ale rezolvării inegalităților logaritmice. Acum să ne uităm la o diferență destul de semnificativă. Tu și cu mine știm că funcția logaritmică are un domeniu limitat de definiție, așa că atunci când treceți de la logaritmi la expresii care sunt sub semnul logaritmului, trebuie să țineți cont de intervalul de valori acceptabile (ODV).

Adică, trebuie avut în vedere că atunci când rezolvăm o ecuație logaritmică, putem găsi mai întâi rădăcinile ecuației și apoi verificăm această soluție. Dar rezolvarea inegalității logaritmice nu va funcționa în acest fel, deoarece trecând de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, va fi necesar să se noteze ODZ a inegalității.

În plus, merită să ne amintim că teoria inegalităților constă din numere reale, care sunt numere pozitive și negative, precum și din numărul 0.

De exemplu, când numărul „a” este pozitiv, atunci trebuie utilizată următoarea notație: a > 0. În acest caz, atât suma, cât și produsul acestor numere vor fi, de asemenea, pozitive.

Principiul de bază al rezolvării unei inegalități este înlocuirea acesteia cu o inegalitate mai simplă, dar principalul lucru este ca aceasta să fie echivalentă cu cea dată. În plus, am obținut și o inegalitate și am înlocuit-o din nou cu una care are o formă mai simplă și așa mai departe.

Rezolvând inegalitățile cu o variabilă, trebuie să găsiți toate soluțiile acesteia. Dacă două inegalități au aceeași variabilă x, atunci astfel de inegalități sunt echivalente, cu condiția ca soluțiile lor să fie aceleași.

Când efectuați sarcini pentru rezolvarea inegalităților logaritmice, este necesar să ne amintim că atunci când a > 1, funcția logaritmică crește și când 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Modalități de rezolvare a inegalităților logaritmice

Acum să ne uităm la câteva dintre metodele care au loc la rezolvarea inegalităților logaritmice. Pentru o mai bună înțelegere și asimilare, vom încerca să le înțelegem folosind exemple concrete.

Știm că cea mai simplă inegalitate logaritmică are următoarea formă:

În această inegalitate, V - este unul dintre semnele de inegalitate precum:<,>, ≤ sau ≥.

Când baza acestui logaritm este mai mare decât unu (a>1), făcând tranziția de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmului, atunci în această versiune semnul inegalității este păstrat, iar inegalitatea va arăta astfel:

care este echivalent cu următorul sistem:

În cazul în care baza logaritmului este mai mare decât zero și mai mică decât unu (0

Acesta este echivalent cu acest sistem:

Să ne uităm la mai multe exemple de rezolvare a celor mai simple inegalități logaritmice prezentate în imaginea de mai jos:

Rezolvarea exemplelor

Exercițiu. Să încercăm să rezolvăm această inegalitate:

Decizia zonei de valori admisibile.

Acum să încercăm să-i înmulțim partea dreaptă cu:

Să vedem ce putem face:

Acum, să trecem la transformarea expresiilor sublogaritmice. Deoarece baza logaritmului este 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Și de aici rezultă că intervalul pe care l-am obținut aparține în întregime ODZ și este o soluție la o astfel de inegalitate.

Iată răspunsul pe care l-am primit:

Ce este necesar pentru a rezolva inegalitățile logaritmice?

Acum să încercăm să analizăm de ce avem nevoie pentru a rezolva cu succes inegalitățile logaritmice?

În primul rând, concentrați-vă toată atenția și încercați să nu greșiți atunci când efectuați transformările care sunt date în această inegalitate. De asemenea, trebuie amintit că atunci când se rezolvă astfel de inegalități, este necesar să se prevină extinderea și îngustarea inegalității ODZ, care poate duce la pierderea sau achiziționarea de soluții străine.

În al doilea rând, atunci când rezolvați inegalitățile logaritmice, trebuie să învățați să gândiți logic și să înțelegeți diferența dintre concepte precum un sistem de inegalități și un set de inegalități, astfel încât să puteți selecta cu ușurință soluții la o inegalitate, în timp ce vă ghidați de DHS.

În al treilea rând, pentru a rezolva cu succes astfel de inegalități, fiecare dintre voi trebuie să cunoască perfect toate proprietățile funcțiilor elementare și să înțeleagă clar sensul acestora. Astfel de funcții includ nu numai logaritmice, ci și raționale, de putere, trigonometrice etc., într-un cuvânt, toate cele pe care le-ați studiat în timpul algebrei școlare.

După cum puteți vedea, după ce ați studiat subiectul inegalităților logaritmice, nu este nimic dificil în rezolvarea acestor inegalități, cu condiția să fiți atent și perseverent în atingerea obiectivelor. Pentru ca să nu existe probleme în rezolvarea inegalităților, trebuie să te antrenezi cât mai mult posibil, rezolvând diverse sarcini și, în același timp, să memorezi principalele modalități de a rezolva astfel de inegalități și sistemele lor. Cu soluții nereușite la inegalitățile logaritmice, ar trebui să vă analizați cu atenție greșelile, astfel încât să nu vă mai întoarceți la ele în viitor.

Teme pentru acasă

Pentru o mai bună asimilare a temei și consolidarea materialului tratat, rezolvați următoarele inegalități:

Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Ele sunt rezolvate după o formulă specială, care din anumite motive este rareori predată la școală:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

În loc de un corocan „∨”, puteți pune orice semn de inegalitate: mai mult sau mai puțin. Principalul lucru este că în ambele inegalități semnele sunt aceleași.

Deci scăpăm de logaritmi și reducem problema la o inegalitate rațională. Acesta din urmă este mult mai ușor de rezolvat, dar atunci când se aruncă logaritmi, pot apărea rădăcini suplimentare. Pentru a le tăia, este suficient să găsiți intervalul de valori admisibile. Dacă ați uitat ODZ al logaritmului, vă recomand insistent să îl repetați - vedeți „Ce este un logaritm”.

Tot ceea ce are legătură cu intervalul de valori acceptabile trebuie scris și rezolvat separat:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Aceste patru inegalități constituie un sistem și trebuie îndeplinite simultan. Când se găsește intervalul de valori acceptabile, rămâne să îl traversați cu soluția unei inegalități raționale - și răspunsul este gata.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Mai întâi, să scriem ODZ al logaritmului:

Primele două inegalități sunt efectuate automat, iar ultima va trebui scrisă. Deoarece pătratul unui număr este zero dacă și numai dacă numărul însuși este zero, avem:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Rezultă că ODZ a logaritmului este toate numerele cu excepția zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Acum rezolvăm inegalitatea principală:

Efectuăm trecerea de la inegalitatea logaritmică la cea rațională. În inegalitatea originală există un semn „mai puțin decât”, astfel încât inegalitatea rezultată ar trebui să fie și cu un semn „mai puțin decât”. Avem:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Zerourile acestei expresii: x = 3; x = -3; x = 0. Mai mult, x = 0 este rădăcina celei de-a doua multiplicități, ceea ce înseamnă că la trecerea prin aceasta, semnul funcției nu se schimbă. Avem:

Se obține x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Acest set este complet conținut în ODZ al logaritmului, ceea ce înseamnă că acesta este răspunsul.

Transformarea inegalităților logaritmice

Adesea inegalitatea originală diferă de cea de mai sus. Acest lucru este ușor de remediat conform regulilor standard pentru lucrul cu logaritmi - vezi „Proprietățile de bază ale logaritmilor”. Și anume:

1. Orice număr poate fi reprezentat ca un logaritm cu o bază dată;
2. Suma și diferența logaritmilor cu aceeași bază pot fi înlocuite cu un singur logaritm.

Separat, vreau să vă reamintesc intervalul de valori acceptabile. Deoarece pot exista mai mulți logaritmi în inegalitatea inițială, este necesar să se găsească DPV-ul fiecăruia dintre ei. Astfel, schema generală de rezolvare a inegalităților logaritmice este următoarea:

1. Aflați ODZ pentru fiecare logaritm inclus în inegalitate;
2. Reduceți inegalitatea la cea standard folosind formulele de adunare și scădere a logaritmilor;
3. Rezolvați inegalitatea rezultată conform schemei de mai sus.

O sarcină. Rezolvați inegalitatea:

Găsiți domeniul de definiție (ODZ) al primului logaritm:

Rezolvăm prin metoda intervalului. Aflarea zerourilor numărătorului:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Apoi - zerourile numitorului:

x − 1 = 0;
x = 1.

Marcam zerouri și semne pe săgeata de coordonate:

Se obține x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Al doilea logaritm al ODZ va fi același. Dacă nu mă credeți, puteți verifica. Acum transformăm al doilea logaritm astfel încât baza să fie două:

După cum puteți vedea, triplele de la bază și înainte de logaritm s-au micșorat. Obțineți doi logaritmi cu aceeași bază. Să le punem împreună:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Am obținut inegalitatea logaritmică standard. Scăpăm de logaritmi prin formulă. Deoarece există un semn mai mic decât în ​​inegalitatea originală, expresia rațională rezultată trebuie să fie, de asemenea, mai mică decât zero. Avem:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Avem două seturi:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Răspuns candidat: x ∈ (−1; 3).

Rămâne să traversăm aceste seturi - obținem răspunsul real:

Ne interesează intersecția mulțimilor, așa că alegem intervalele umbrite pe ambele săgeți. Se obține x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - toate punctele sunt perforate.