Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Această operație este mult mai frumoasă decât adunarea-scăderea! Pentru că e mai ușor. Vă reamintesc: pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul rezultatului) și numitorii (acesta va fi numitorul). adica:

De exemplu:

Totul este extrem de simplu. Și vă rog să nu căutați un numitor comun! Nu am nevoie aici...

Pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să răsturnați al doilea(acest lucru este important!) fracționați și înmulțiți-le, adică:

De exemplu:

Dacă înmulțirea sau împărțirea cu numere întregi și fracții este prinsă, este în regulă. Ca și în cazul adunării, facem o fracție dintr-un număr întreg cu o unitate la numitor - și mergeți! De exemplu:

În liceu, de multe ori ai de-a face cu fracții cu trei etaje (sau chiar cu patru etaje!). De exemplu:

Cum să aduceți această fracție într-o formă decentă? Da, foarte usor! Folosește împărțirea prin două puncte:

Dar nu uitați de ordinea de împărțire! Spre deosebire de multiplicare, acest lucru este foarte important aici! Desigur, nu vom confunda 4:2 sau 2:4. Dar într-o fracțiune de trei etaje este ușor să greșești. Vă rugăm să rețineți, de exemplu:

În primul caz (expresie din stânga):

În a doua (expresie din dreapta):

Simte diferenta? 4 și 1/9!

Care este ordinea împărțirii? Sau paranteze sau (ca aici) lungimea liniuțelor orizontale. Dezvoltați un ochi. Și dacă nu există paranteze sau liniuțe, cum ar fi:

apoi împărțiți-înmulțiți în ordine, de la stânga la dreapta!

Și un alt truc foarte simplu și important. În acțiuni cu diplome, îți va veni la îndemână! Să împărțim unitatea la orice fracție, de exemplu, la 13/15:

Lovitura s-a răsturnat! Și se întâmplă mereu. Când împărțim 1 la orice fracție, rezultatul este aceeași fracție, doar inversată.

Sunt toate acțiunile cu fracții. Lucrul este destul de simplu, dar dă erori mai mult decât suficiente. Luați notă de sfaturile practice și vor fi mai puține dintre ele (greșeli)!

Sfaturi practice:

1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția! Acestea nu sunt cuvinte comune, nu sunt urări de bine! Aceasta este o nevoie gravă! Faceți toate calculele la examen ca o sarcină cu drepturi depline, cu concentrare și claritate. Este mai bine să scrii două rânduri în plus într-o ciornă decât să dai peste cap atunci când calculezi.

2. În exemple cu diferite tipuri de fracții - mergeți la fracții obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până la oprire.

4. Reducem expresiile fracționale cu mai multe niveluri la cele obișnuite folosind împărțirea prin două puncte (urmăm ordinea împărțirii!).

5. Împărțim unitatea într-o fracție în mintea noastră, pur și simplu răsturnând fracția.

Iată sarcinile pe care trebuie să le îndepliniți. Răspunsurile sunt date după toate sarcinile. Folosiți materialele acestui subiect și sfaturi practice. Estimați câte exemple puteți rezolva corect. Prima dată! Fără calculator! Și trageți concluziile corecte...

Amintiți-vă răspunsul corect obtinut din a doua (mai ales a treia) timp - nu conteaza! Așa este viața aspră.

Asa de, rezolva in modul examen ! Apropo, aceasta este pregătirea pentru examen. Rezolvăm un exemplu, verificăm, rezolvăm următoarele. Am decis totul - am verificat din nou de la primul până la ultimul. Numai după uita-te la raspunsuri.

Calculati:

V-aţi decis?

Caut răspunsuri care se potrivesc cu ale tale. Le-am notat intenționat în mizerie, departe de ispită, ca să zic așa... Iată-le, răspunsurile, notate cu punct și virgulă.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Și acum tragem concluzii. Dacă totul a funcționat - fericit pentru tine! Calculele elementare cu fracții nu sunt problema ta! Poți să faci lucruri mai serioase. Dacă nu...

Deci ai una dintre cele două probleme. Sau ambele deodată.) Lipsa de cunoaștere și (sau) neatenție. Dar asta rezolvabil Probleme.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

) și numitorul după numitor (se obține numitorul produsului).

Formula de multiplicare a fracțiilor:

De exemplu:

Înainte de a continua cu înmulțirea numărătorilor și numitorilor, este necesar să se verifice posibilitatea reducerii fracțiilor. Dacă reușiți să reduceți fracția, atunci vă va fi mai ușor să continuați să faceți calcule.

Împărțirea unei fracții ordinare cu o fracție.

Împărțirea fracțiilor care implică un număr natural.

Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, transformăm un număr întreg într-o fracție cu o unitate la numitor. De exemplu:

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Reguli pentru înmulțirea fracțiilor (mixte):

• converti fracțiile mixte în improprii;
• înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor;
• reducem fracția;
• dacă obținem o fracție improprie, atunci convertim fracția improprie într-una mixtă.

Notă! Pentru a înmulți o fracție mixtă cu o altă fracție mixtă, trebuie mai întâi să le aduceți sub formă de fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.

A doua modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural.

Este mai convenabil să folosiți a doua metodă de înmulțire a unei fracții obișnuite cu un număr.

Notă! Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, este necesar să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul neschimbat.

Din exemplul de mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul unei fracții este împărțit fără rest la un număr natural.

Fracții pe mai multe niveluri.

În liceu, se găsesc adesea fracții cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:

Pentru a aduce o astfel de fracție la forma sa obișnuită, se utilizează împărțirea prin 2 puncte:

Notă! La împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Fii atent, aici este ușor să te încurci.

Notă, De exemplu:

Când împărțiți unul cu orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, doar inversată:

Sfaturi practice pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor:

1. Cel mai important lucru în lucrul cu expresii fracționate este acuratețea și atenția. Faceți toate calculele cu atenție și precizie, concentrat și clar. Este mai bine să notezi câteva rânduri în plus într-o ciornă decât să te încurci în calculele din cap.

2. În sarcinile cu diferite tipuri de fracții - mergeți la tipul de fracții obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până când nu se mai poate reduce.

4. Aducem expresii fracționale cu mai multe niveluri în expresii obișnuite, folosind împărțirea prin 2 puncte.

5. Împărțim unitatea într-o fracție în mintea noastră, pur și simplu răsturnând fracția.

Continuăm să studiem acțiunile cu fracții obișnuite. Acum în lumina reflectoarelor înmulțirea fracțiilor comune. În acest articol, vom da o regulă pentru înmulțirea fracțiilor obișnuite, luați în considerare aplicarea acestei reguli atunci când rezolvați exemple. Ne vom concentra și pe înmulțirea unei fracții obișnuite cu un număr natural. În concluzie, luați în considerare modul în care se realizează înmulțirea a trei sau mai multe fracții.

Navigare în pagină.

Înmulțirea unei fracții comune cu o fracție comună

Să începem cu formularea reguli de înmulțire a fracțiilor comune: înmulțirea unei fracții cu o fracție dă o fracție al cărei numărător este egal cu produsul numărătorilor fracțiilor înmulțite și al cărei numitor este egal cu produsul numitorilor.

Adică, formula corespunde înmulțirii fracțiilor ordinare a / b și c / d.

Să dăm un exemplu care ilustrează regula înmulțirii fracțiilor ordinare. Luați în considerare un pătrat cu latura de 1 unitate. , în timp ce aria sa este de 1 unitate 2 . Împărțiți acest pătrat în dreptunghiuri egale cu laturile de 1/4 unități. si 1/8 unitati. , în timp ce pătratul original va fi format din 4 8 = 32 dreptunghiuri, prin urmare, aria fiecărui dreptunghi este 1/32 din aria pătratului original, adică este egală cu 1/32 unități 2. Acum să pictăm peste o parte din pătratul original. Toate acțiunile noastre sunt reflectate în figura de mai jos.

Laturile dreptunghiului umplut sunt de 5/8 unități. si 3/4 unitati. , ceea ce înseamnă că aria sa este egală cu produsul fracțiilor 5/8 și 3/4, adică unitățile 2. Dar dreptunghiul umplut este format din 15 dreptunghiuri „mici”, deci aria lui este de 15/32 de unități 2 . Prin urmare, . Deoarece 5 3=15 și 8 4=32 , ultima egalitate poate fi rescrisă ca , care confirmă formula de înmulțire a fracțiilor ordinare de forma .

Rețineți că, cu ajutorul regulii înmulțirii vocale, puteți înmulți atât fracții regulate, cât și improprii, precum și fracții cu aceiași numitori și fracții cu numitori diferiți.

Considera exemple de înmulțire a fracțiilor comune.

Înmulțiți fracția comună 7/11 cu fracția comună 9/8.

Produsul numărătorilor fracțiilor înmulțite 7 și 9 este 63, iar produsul numitorilor lui 11 și 8 este 88. Astfel, înmulțind fracțiile comune 7/11 și 9/8 rezultă fracția 63/88.

Iată un rezumat al soluției: .

Nu trebuie să uităm de reducerea fracției rezultate, dacă în urma înmulțirii se obține o fracție reductibilă și de selectarea întregii părți dintr-o fracție improprie.

Înmulțiți fracțiile 4/15 și 55/6.

Să aplicăm regula înmulțirii fracțiilor ordinare: .

În mod evident, fracția rezultată este reductibilă (semnul divizibilității cu 10 ne permite să afirmăm că numărătorul și numitorul fracției 220/90 au un factor comun de 10). Să reducem fracția 220/90: GCD(220, 90)=10 și . Rămâne să selectați partea întreagă din fracția improprie rezultată: .

Rețineți că reducerea fracțiilor poate fi efectuată înainte de a calcula produsele numărătorilor și produsele numitorilor fracțiilor înmulțite, adică atunci când fracția are forma . Pentru acest număr, a, b, c și d sunt înlocuite cu descompunerea lor în factori primi, după care aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt anulați.

Pentru a clarifica, să revenim la exemplul anterior.

Calculați produsul fracțiilor de forma .

Prin formula de înmulțire a fracțiilor obișnuite, avem .

Deoarece 4=2 2 , 55=5 11 , 15=3 5 și 6=2 3 , atunci . Acum anulăm factorii primi comuni: .

Rămâne doar să calculați produsele din numărător și numitor, apoi selectați partea întreagă din fracția improprie: .

Trebuie remarcat faptul că înmulțirea fracțiilor este caracterizată de o proprietate comutativă, adică fracțiile înmulțite pot fi interschimbate: .

Înmulțirea unei fracții cu un număr natural

Să începem cu formularea reguli pentru înmulțirea unei fracții comune cu un număr natural: înmulțirea unei fracții cu un număr natural dă o fracție al cărei numărător este egal cu produsul numărătorului fracției înmulțite cu numărul natural, iar numitorul este egal cu numitorul fracției înmulțite.

Cu ajutorul literelor, regula de înmulțire a unei fracții a/b cu un număr natural n are forma .

Formula rezultă din formula de înmulțire a două fracții ordinare ale formei . Într-adevăr, reprezentând un număr natural ca o fracție cu numitorul 1, obținem .

Luați în considerare exemple de înmulțire a unei fracții cu un număr natural.

Înmulțiți fracția 2/27 cu 5.

Înmulțirea numărătorului 2 cu numărul 5 dă 10, prin urmare, în virtutea regulii de înmulțire a unei fracții cu un număr natural, produsul lui 2/27 cu 5 este egal cu fracția 10/27.

Întreaga soluție poate fi scrisă convenabil după cum urmează: .

Atunci când înmulțiți o fracție cu un număr natural, fracția rezultată trebuie adesea redusă și, dacă este și incorectă, atunci reprezentați-o ca un număr mixt.

Înmulțiți fracția 5/12 cu numărul 8.

Conform formulei de înmulțire a unei fracții cu un număr natural, avem . Evident, fracția rezultată este reductibilă (semnul divizibilității cu 2 indică divizorul comun 2 al numărătorului și numitorului). Să reducem fracția 40/12: deoarece LCM(40, 12)=4, atunci . Rămâne de selectat întreaga parte: .

Iata intreaga solutie: .

Rețineți că reducerea s-ar putea face prin înlocuirea numerelor din numărător și numitor cu expansiunile lor în factori primi. În acest caz, soluția ar arăta astfel:

În încheierea acestui paragraf, observăm că înmulțirea unei fracții cu un număr natural are o proprietate comutativă, adică produsul unei fracții cu un număr natural este egal cu produsul acestui număr natural cu o fracție: .

Înmulțiți trei sau mai multe fracții

Modul în care am definit fracțiile obișnuite și acțiunea de înmulțire cu acestea ne permite să afirmăm că toate proprietățile înmulțirii numerelor naturale se aplică înmulțirii fracțiilor.

Proprietățile comutative și asociative ale înmulțirii fac posibilă determinarea în mod unic înmulțirea a trei sau mai multe fracții și numere naturale. În acest caz, totul se întâmplă prin analogie cu înmulțirea a trei sau mai multe numere naturale. În special, fracțiile și numerele naturale din produs pot fi rearanjate pentru comoditatea calculului, iar în absența parantezelor care indică ordinea în care sunt efectuate acțiunile, putem aranja singuri parantezele în oricare dintre modurile permise.

Luați în considerare exemple de înmulțire a mai multor fracții și numere naturale.

Înmulțiți trei fracții comune 1/20, 12/5, 3/7 și 5/8.

Să scriem produsul pe care trebuie să-l calculăm . În virtutea regulii de înmulțire a fracțiilor, produsul scris este egal cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul numărătorilor tuturor fracțiilor, iar numitorul este produsul numitorilor: .

Înainte de a calcula produsele din numărător și numitor, este recomandabil să înlocuiți toți factorii prin expansiunile lor în factori primi și să reduceți (desigur, puteți reduce fracția după înmulțire, dar în multe cazuri acest lucru necesită mult efort de calcul): .

.

Înmulțiți cinci numere .

În acest produs, este convenabil să grupați fracția 7/8 cu numărul 8 și numărul 12 cu fracția 5/36, acest lucru va simplifica calculele, deoarece cu o astfel de grupare reducerea este evidentă. Noi avem
.

.

Înmulțirea fracțiilor

Vom lua în considerare înmulțirea fracțiilor obișnuite în mai multe moduri posibile.

Înmulțirea unei fracții cu o fracție

Acesta este cel mai simplu caz, în care trebuie să utilizați următoarele reguli de multiplicare a fracțiilor.

La înmulțiți o fracție cu o fracție, necesar:

• înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul lor în numărătorul noii fracții;
• înmulțiți numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul lor în numitorul noii fracții;

Înainte de a înmulți numărătorii și numitorii, verificați dacă fracțiile pot fi reduse. Reducerea fracțiilor în calcule vă va facilita foarte mult calculele.

Înmulțirea unei fracții cu un număr natural

Pentru a fracționa înmulțiți cu un număr natural trebuie să înmulțiți numărătorul fracției cu acest număr și să lăsați numitorul fracției neschimbat.

Dacă rezultatul înmulțirii este o fracție necorespunzătoare, nu uitați să o transformați într-un număr mixt, adică selectați întreaga parte.

Înmulțirea numerelor mixte

Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le transformați în fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.

O altă modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural

Uneori, în calcule, este mai convenabil să folosiți o metodă diferită de înmulțire a unei fracții obișnuite cu un număr.

Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul același.

După cum se poate vedea din exemplu, este mai convenabil să folosiți această versiune a regulii dacă numitorul fracției este divizibil fără rest cu un număr natural.

Înmulțirea numerelor mixte: reguli, exemple, soluții.

În acest articol vom analiza înmulțirea numerelor mixte. În primul rând, vom exprima regula pentru înmulțirea numerelor mixte și vom lua în considerare aplicarea acestei reguli atunci când rezolvăm exemple. În continuare, vom vorbi despre înmulțirea unui număr mixt și a unui număr natural. În cele din urmă, vom învăța cum să înmulțim un număr mixt și o fracție obișnuită.

Navigare în pagină.

Înmulțirea numerelor mixte.

Înmulțirea numerelor mixte poate fi redusă la înmulțirea fracțiilor obișnuite. Pentru a face acest lucru, este suficient să convertiți numerele mixte în fracții improprii.

Să scriem regula înmulțirii pentru numere mixte:

• În primul rând, numerele mixte care trebuie înmulțite trebuie înlocuite cu fracții improprii;
• În al doilea rând, trebuie să utilizați regula înmulțirii unei fracții cu o fracție.

Luați în considerare exemple de aplicare a acestei reguli atunci când înmulțiți un număr mixt cu un număr mixt.

Efectuați înmulțirea numerelor mixte și .

În primul rând, reprezentăm numerele mixte înmulțite ca fracții improprii: și . Acum putem înlocui înmulțirea numerelor mixte cu înmulțirea fracțiilor ordinare: . Aplicând regula înmulțirii fracțiilor, obținem . Fracția rezultată este ireductibilă (vezi fracțiile reductibile și ireductibile), dar este incorectă (vezi fracțiile regulate și improprie), prin urmare, pentru a obține răspunsul final, rămâne să extragem partea întreagă din fracția improprie: .

Să scriem întreaga soluție într-un singur rând: .

.

Pentru a consolida abilitățile de înmulțire a numerelor mixte, luați în considerare soluția unui alt exemplu.

Faceți înmulțirea.

Numerele amuzante și sunt egale cu fracțiile 13/5 și, respectiv, 10/9. Apoi . În această etapă, este timpul să ne amintim despre reducerea fracțiilor: vom înlocui toate numerele din fracție cu expansiunile lor în factori primi și vom efectua reducerea factorilor identici.

Înmulțirea unui număr mixt și a unui număr natural

După înlocuirea numărului mixt cu o fracție improprie, înmulțirea unui număr mixt și a unui număr natural se reduce la înmulțirea unei fracții obișnuite și a unui număr natural.

Înmulțiți numărul mixt și numărul natural 45 .

Un număr mixt este o fracție, atunci . Să înlocuim numerele din fracția rezultată cu expansiunile lor în factori primi, să facem o reducere, după care selectăm partea întreagă: .

.

Înmulțirea unui număr mixt și a unui număr natural se face uneori în mod convenabil folosind proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea. În acest caz, produsul dintre un număr mixt și un număr natural este egal cu suma produselor părții întregi cu numărul natural dat și părții fracționale cu numărul natural dat, adică .

Calculați produsul.

Înlocuim numărul mixt cu suma părților întregi și fracționale, după care aplicăm proprietatea distributivă a înmulțirii: .

Înmulțirea unui număr mixt și a unei fracții comune cel mai convenabil este să se reducă la înmulțirea fracțiilor obișnuite, reprezentând numărul mixt înmulțit ca o fracție improprie.

Înmulțiți numărul mixt cu fracția comună 4/15.

Înlocuind numărul mixt cu o fracție, obținem .

Înmulțirea numerelor fracționale

§ 140. Definiţii. 1) Înmulțirea unui număr fracționar cu un întreg este definită în același mod ca și înmulțirea numerelor întregi și anume: a înmulți un număr (multiplicator) cu un întreg (factor) înseamnă a face o sumă de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.

Deci, înmulțirea cu 5 înseamnă găsirea sumei:
2) A înmulți un număr (multiplicator) cu o fracție (multiplicator) înseamnă a găsi această fracție a multiplicandului.

Astfel, găsind o fracție dintr-un număr dat, pe care am considerat-o mai înainte, vom numi acum înmulțire cu o fracție.

3) A înmulți un număr (multiplicator) cu un număr mixt (factor) înseamnă a înmulți mai întâi multiplicantul cu numărul întreg al factorului, apoi cu fracția factorului și să adunăm rezultatele acestor două înmulțiri.

De exemplu:

Numărul obţinut după înmulţire este în toate aceste cazuri numit muncă, adică în același mod ca la înmulțirea numerelor întregi.

Din aceste definiții reiese clar că înmulțirea numerelor fracționale este o acțiune care este întotdeauna posibilă și întotdeauna lipsită de ambiguitate.

§ 141. Actualitatea acestor definiţii. Pentru a înțelege oportunitatea introducerii ultimelor două definiții ale înmulțirii în aritmetică, să luăm următoarea problemă:

Sarcină. Trenul, deplasându-se uniform, parcurge 40 km pe oră; cum să aflați câți kilometri va parcurge acest tren într-un anumit număr de ore?

Dacă am rămâne cu aceeași definiție a înmulțirii, care este indicată în aritmetica numerelor întregi (adunarea termenilor egali), atunci problema noastră ar avea trei soluții diferite și anume:

Dacă numărul de ore dat este un număr întreg (de exemplu, 5 ore), atunci pentru a rezolva problema, 40 km trebuie înmulțiți cu acest număr de ore.

Dacă un anumit număr de ore este exprimat ca o fracție (de exemplu, ore), atunci va trebui să găsiți valoarea acestei fracții de la 40 km.

În cele din urmă, dacă numărul dat de ore este amestecat (de exemplu, ore), atunci va fi necesar să se înmulțească 40 km cu un număr întreg conținut în numărul mixt și să se adauge la rezultat o astfel de fracție de la 40 km așa cum este în număr mixt.

Definițiile pe care le-am dat ne permit să oferim un răspuns general tuturor acestor cazuri posibile:

40 km trebuie înmulțiți cu numărul de ore dat, oricare ar fi acesta.

Astfel, dacă problema este prezentată în formă generală, după cum urmează:

Un tren care se deplasează uniform parcurge v km pe oră. Câți kilometri va parcurge trenul în t ore?

atunci, oricare ar fi numerele v și t, putem exprima un singur răspuns: numărul dorit se exprimă prin formula v · t.

Notă. Găsirea unei fracții dintr-un număr dat, după definiția noastră, înseamnă același lucru cu înmulțirea unui număr dat cu această fracție; prin urmare, de exemplu, a găsi 5% (adică cinci sutimi) dintr-un număr dat înseamnă același lucru cu înmulțirea numărului dat cu sau cu; a găsi 125% dintr-un număr dat este același cu înmulțirea acelui număr cu sau cu , etc.

§ 142. O notă despre când un număr crește și când scade din înmulțire.

De la înmulțirea cu o fracție proprie, numărul scade, iar de la înmulțirea cu o fracție improprie, numărul crește dacă această fracție improprie este mai mare decât unu și rămâne neschimbat dacă este egală cu unu.
Cometariu. La înmulțirea numerelor fracționale, precum și a numerelor întregi, produsul este considerat egal cu zero dacă oricare dintre factori este egal cu zero, deci,.

§ 143. Derivarea regulilor de multiplicare.

1) Înmulțirea unei fracții cu un întreg. Înmulțiți fracția cu 5. Aceasta înseamnă să creșteți de 5 ori. Pentru a crește o fracție cu 5, este suficient să-i creșteți numărătorul sau să-i micșorați numitorul de 5 ori (§ 127).

Asa de:
Regula 1. Pentru a înmulți o fracție cu un întreg, trebuie să înmulțiți numărătorul cu acest număr întreg și să lăsați numitorul același; în schimb, puteți împărți și numitorul fracției la întregul dat (dacă este posibil) și lăsați numărătorul același.

Cometariu. Produsul unei fracții și numitorul ei este egal cu numărătorul ei.

Asa de:
Regula 2. Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul fracției date ca numitor.
Regula 3. Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și să faceți din primul produs numărătorul și al doilea numitorul produsului.

Cometariu. Această regulă poate fi aplicată și înmulțirii unei fracții cu un întreg și a unui număr întreg cu o fracție, doar dacă considerăm întregul ca o fracție cu numitor de unu. Asa de:

Astfel, cele trei reguli enunțate acum sunt cuprinse într-una, care poate fi exprimată într-o formă generală după cum urmează:
4) Înmulțirea numerelor mixte.

Regula 4. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulilor de înmulțire a fracțiilor. De exemplu:
§ 144. Reducerea înmulţirii. La înmulțirea fracțiilor, dacă este posibil, trebuie făcută o reducere preliminară, așa cum se poate observa din următoarele exemple:

O astfel de reducere se poate face deoarece valoarea unei fracții nu se va modifica dacă numărătorul și numitorul sunt reduse de același număr de ori.

§ 145. Schimbarea produsului cu modificarea factorilor. Când factorii se modifică, produsul numerelor fracționale se va modifica exact în același mod ca produsul numerelor întregi (§ 53), și anume: dacă creșteți (sau micșorați) orice factor de mai multe ori, atunci produsul va crește (sau scade) cu aceeasi suma.

Deci, dacă în exemplu:
pentru a înmulți mai multe fracții este necesar să se înmulțească numărătorii lor între ele și numitorii între ele și să se facă din primul produs numărătorul și al doilea numitorul produsului.

Cometariu. Această regulă poate fi aplicată și la astfel de produse în care unii factori ai numărului sunt întregi sau amestecați, doar dacă considerăm întregul număr ca o fracție al cărei numitor este unul și transformăm numerele mixte în fracții improprii. De exemplu:
§ 147. Proprietăţile de bază ale înmulţirii. Acele proprietăți de înmulțire pe care le-am indicat pentru numere întregi (§ 56, 57, 59) aparțin și înmulțirii numerelor fracționale. Să specificăm aceste proprietăți.

1) Produsul nu se modifică de la schimbarea locurilor factorilor.

De exemplu:

Într-adevăr, conform regulii paragrafului anterior, primul produs este egal cu fracția, iar al doilea este egal cu fracția. Dar aceste fracții sunt aceleași, deoarece termenii lor diferă doar în ordinea factorilor întregi, iar produsul numerelor întregi nu se modifică atunci când se schimbă locurile factorilor.

2) Produsul nu se va schimba dacă orice grup de factori este înlocuit cu produsul lor.

De exemplu:

Rezultatele sunt aceleași.

Din această proprietate a înmulțirii, putem deduce următoarea concluzie:

pentru a înmulți un număr cu un produs, puteți înmulți acest număr cu primul factor, înmulțiți numărul rezultat cu al doilea și așa mai departe.

De exemplu:
3) Legea distributivă a înmulțirii (cu privire la adunare). Pentru a înmulți suma cu un anumit număr, puteți înmulți fiecare termen cu acest număr separat și adăugați rezultatele.

Această lege a fost explicată de noi (§ 59) ca fiind aplicată numerelor întregi. Rămâne adevărat fără nicio modificare pentru numerele fracționale.

Să arătăm, de fapt, că egalitatea

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea) rămâne adevărată chiar și atunci când literele înseamnă numere fracționale. Să luăm în considerare trei cazuri.

1) Să presupunem mai întâi că factorul m este un număr întreg, de exemplu m = 3 (a, b, c sunt orice numere). Conform definiției înmulțirii cu un întreg, se poate scrie (limitat pentru simplitate la trei termeni):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Pe baza legii asociative a adunării, putem omite toate parantezele din partea dreaptă; aplicând legea comutativă a adunării și apoi din nou pe cea combinațională, putem în mod evident să rescriem partea dreaptă după cum urmează:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Prin urmare, legea distributivă în acest caz este confirmată.

Împărțirea unei fracții cu un număr natural

Secțiuni: Matematică

T tipul clasei: ONZ (descoperirea de noi cunoștințe - conform tehnologiei metodei activității de predare).

1. Deduceți metode de împărțire a unei fracții la un număr natural;
2. Pentru a forma capacitatea de a efectua împărțirea unei fracții cu un număr natural;
3. Repetați și consolidați împărțirea fracțiilor;
4. Antrenează capacitatea de a reduce fracții, de a analiza și de a rezolva probleme.

Material demonstrativ echipament:

1. Sarcini pentru actualizarea cunoștințelor:

2. Sarcină de probă (individuală).

1. Efectuați împărțirea:

2. Efectuați împărțirea fără a efectua întregul lanț de calcule: .

• Când împărțiți o fracție la un număr natural, puteți înmulți numitorul cu acest număr și lăsați numărătorul același.

• Dacă numărătorul este divizibil cu un număr natural, atunci când împărțiți o fracție la acest număr, puteți împărți numărătorul la număr și lăsați numitorul același.

I. Motivarea (autodeterminarea) pentru activitățile de învățare.

1. Organizarea actualizării cerințelor pentru elev din partea activităților educaționale („trebuie”);
2. Organizați activitățile elevilor pentru a stabili un cadru tematic („Eu pot”);
3. Să creeze condiții pentru ca elevul să aibă o nevoie internă de includere în activități educaționale („Vreau”).

Organizarea procesului de învățământ în etapa I.

Buna! Mă bucur să vă văd pe toți la ora de matematică. Sper sa fie reciproc.

Băieți, ce cunoștințe noi ați dobândit în ultima lecție? (Împărțirea fracțiilor).

Dreapta. Ce vă ajută să împărțiți fracțiile? (Regulă, proprietăți).

Unde avem nevoie de aceste cunoștințe? (În exemple, ecuații, sarcini).

Foarte bine! Te-ai descurcat bine la ultima lecție. Ți-ar plăcea să descoperi singur noi cunoștințe astăzi? (Da).

Atunci dute! Și motto-ul lecției este afirmația „Matematica nu se învață urmărind cum o face vecinul tău!”.

II. Actualizarea cunoștințelor și fixarea unei dificultăți individuale într-o acțiune de încercare.

1. Să organizeze actualizarea metodelor de acțiune studiate, suficiente pentru a construi noi cunoștințe. Fixați aceste metode verbal (în vorbire) și simbolic (standard) și generalizați-le;
2. Organizează actualizarea operațiilor mentale și a proceselor cognitive suficiente pentru a construi noi cunoștințe;
3. Motivați pentru o acțiune de probă și implementarea și justificarea independentă a acesteia;
4. Prezentați o sarcină individuală pentru o acțiune de probă și analizați-o pentru a identifica un nou conținut educațional;
5. Organizați fixarea scopului educațional și a temei lecției;
6. Organizarea implementarii unei actiuni de proba si remedierea dificultatii;
7. Organizați o analiză a răspunsurilor primite și înregistrați dificultățile individuale în efectuarea unei acțiuni de încercare sau justificarea acesteia.

Organizarea procesului de învățământ la etapa II.

În față, folosind tablete (plăci individuale).

1. Comparați expresiile:

(Aceste expresii sunt egale)

Ce lucruri interesante ai observat? (Numărătorul și numitorul dividendului, numărătorul și numitorul divizorului în fiecare expresie au crescut de același număr de ori. Astfel, dividendele și divizorii din expresii sunt reprezentate prin fracții care sunt egale între ele).

Găsiți semnificația expresiei și scrieți-o pe tabletă. (2)

Cum se scrie acest număr ca fracție?

Cum ați efectuat acțiunea de împărțire? (Copiii pronunță regula, profesorul atârnă litere pe tablă)

2. Calculați și înregistrați numai rezultatele:

3. Adună rezultatele și notează răspunsul. (2)

Cum se numește numărul obținut în sarcina 3? (Natural)

Crezi că poți împărți o fracție la un număr natural? (Da, vom încerca)

Incearca asta.

4. Sarcină individuală (de probă).

Faceți împărțirea: (numai exemplul a)

Ce regulă ai folosit pentru a împărți? (Conform regulii împărțirii unei fracții la o fracție)

Și acum împărțiți fracția la un număr natural într-un mod mai simplu, fără a efectua întregul lanț de calcule: (exemplul b). Îți dau 3 secunde pentru asta.

Cine nu a reușit să finalizeze sarcina în 3 secunde?

Cine a făcut-o? (Nu există așa ceva)

De ce? (Nu știm calea)

Ce ai primit? (Dificultate)

Ce crezi că vom face în clasă? (Împărțirea fracțiilor la numere naturale)

Așa este, deschide-ți caietele și notează subiectul lecției „Împărțirea unei fracții la un număr natural”.

De ce sună nou acest subiect când știți deja să împărțiți fracții? (Am nevoie de un mod nou)

Dreapta. Astăzi vom stabili o tehnică care simplifică împărțirea unei fracții cu un număr natural.

III. Identificarea locației și a cauzei dificultății.

1. Organizați refacerea operațiilor efectuate și fixați (verbal și simbolic) locul - pasul, operația în care a apărut dificultatea;
2. Să organizeze corelarea acțiunilor elevilor cu metoda (algoritmul) folosită și fixarea în vorbirea externă a cauzei dificultății - acele cunoștințe, aptitudini sau abilități specifice care nu sunt suficiente pentru a rezolva problema inițială de acest tip.

Organizarea procesului de învățământ la etapa III.

Ce sarcină a trebuit să îndeplinești? (Împărțiți o fracție la un număr natural fără a face întregul lanț de calcule)

Ce ți-a cauzat dificultăți? (Nu s-a putut rezolva în scurt timp într-un mod rapid)

Care este scopul lecției noastre? (Găsiți o modalitate rapidă de a împărți o fracție la un număr natural)

Ce te va ajuta? (Regulă deja cunoscută pentru împărțirea fracțiilor)

IV. Construirea proiectului unei iesiri din dificultate.

1. Clarificarea scopului proiectului;
2. Alegerea metodei (clarificare);
3. Definirea mijloacelor (algoritm);
4. Construirea unui plan pentru atingerea scopului.

Organizarea procesului de învățământ în etapa IV.

Să revenim la cazul de testare. Ai spus că ai împărțit după regula împărțirii fracțiilor? (Da)

Pentru a face acest lucru, înlocuiți un număr natural cu o fracție? (Da)

Ce pași crezi că poți sări?

(Lanțul de soluții este deschis pe placă:

Analizați și trageți o concluzie. (Pasul 1)

Dacă nu există răspuns, vom rezuma prin întrebări:

Unde s-a dus divizorul natural? (la numitor)

Numătorul s-a schimbat? (Nu)

Deci, ce pas poate fi „omis”? (Pasul 1)

• Înmulțiți numitorul unei fracții cu un număr natural.
• Numătorul nu se schimbă.
• Obținem o nouă fracție.

V. Implementarea proiectului construit.

1. Organizarea interactiunii comunicative in vederea implementarii proiectului construit care vizeaza dobandirea cunostintelor lipsa;
2. Organizați fixarea metodei de acțiune construite în vorbire și semne (cu ajutorul unui standard);
3. Organizează rezolvarea problemei inițiale și înregistrează depășirea dificultății;
4. Organizați o clarificare a naturii generale a noilor cunoștințe.

Organizarea procesului de învățământ la etapa V.

Acum rulați rapid cazul de testare în noua modalitate.

Sunteți capabil să finalizați sarcina rapid acum? (Da)

Explică cum ai făcut-o? (Copiii vorbesc)

Aceasta înseamnă că am primit noi cunoștințe: regula împărțirii unei fracții la un număr natural.

Foarte bine! Spune-o în perechi.

Apoi un elev vorbește cu clasa. Fixăm regula-algoritm verbal și sub forma unui standard pe tablă.

Acum introduceți denumirea literelor și scrieți formula pentru regula noastră.

Elevul scrie pe tablă, pronunțând regula: atunci când împărțiți o fracție la un număr natural, puteți înmulți numitorul cu acest număr și lăsați numărătorul același.

(Toată lumea scrie formula în caiete).

Și acum analizați din nou lanțul de rezolvare a sarcinii de încercare, acordând o atenție deosebită răspunsului. Ce au facut? (Numărătorul fracției 15 a fost împărțit (redus) la numărul 3)

Ce este acest numar? (natural, divizor)

Deci, cum altfel poți împărți o fracție la un număr natural? (Verificați: dacă numărătorul unei fracții este divizibil cu acest număr natural, atunci puteți împărți numărătorul la acest număr, scrieți rezultatul în numărătorul noii fracții și lăsați numitorul același)

Scrieți această metodă sub forma unei formule. (Elevul notează regula pe tablă. Toți notează formula în caiete.)

Să revenim la prima metodă. Poate fi folosit dacă a:n? (Da, acesta este modul general)

Și când este a doua metodă convenabilă de utilizat? (Când numărătorul unei fracții este divizibil cu un număr natural fără rest)

VI. Consolidare primară cu pronunția în vorbirea externă.

1. Să organizeze asimilarea de către copii a unei noi metode de acțiune la rezolvarea problemelor tipice cu pronunția lor în vorbire externă (frontal, în perechi sau în grup).

Organizarea procesului de învățământ în etapa a VI-a.

Calculați într-un mod nou:

• Nr. 363 (a; d) - efectuează la tablă, pronunțând regula.
• Nr. 363 (d; f) - în perechi cu verificarea probei.

VII. Lucru independent cu autotestare conform standardului.

1. Să organizeze îndeplinirea independentă de către elevi a sarcinilor pentru un nou mod de acţiune;
2. Organizați autotestarea pe baza comparației cu standardul;
3. Pe baza rezultatelor muncii independente, organizați o reflecție privind asimilarea unui nou mod de acțiune.

Organizarea procesului de învățământ la etapa VII.

Calculați într-un mod nou:

Elevii verifică standardul, notează corectitudinea performanței. Cauzele erorilor sunt analizate și erorile sunt corectate.

Profesorul îi întreabă pe acei elevi care au greșit, care este motivul?

În această etapă, este important ca fiecare elev să își verifice în mod independent munca.

Înainte de a rezolva sarcina 8) luați în considerare un exemplu din manual:

IX. Reflectarea activităților de învățare în clasă.

1. Organizați fixarea noului conținut învățat în lecție;
2. Organizează o analiză reflexivă a activităților educaționale în ceea ce privește îndeplinirea cerințelor cunoscute de elevi;
3. Organizați evaluarea de către elevi a propriilor activități din lecție;
4. Organizați fixarea dificultăților nerezolvate în lecție ca direcție pentru activitățile viitoare de învățare;
5. Organizați discuții și înregistrarea temelor.

Organizarea procesului de învățământ în etapa a IX-a.

Băieți, ce cunoștințe noi ați descoperit astăzi? (Am învățat să împărțim o fracție la un număr natural într-un mod simplu)

Formulați un mod general. (Ei spun)

În ce fel și în ce cazuri îl puteți folosi în continuare? (Ei spun)

Care este avantajul noii metode?

Ne-am atins scopul lecției? (Da)

Ce cunoștințe ați folosit pentru a atinge obiectivul? (Ei spun)

Ai reusit?

Care au fost dificultățile?

§ 87. Adunarea fracţiilor.

Adunarea fracțiilor are multe asemănări cu adunarea numerelor întregi. Adunarea fracțiilor este o acțiune constând în faptul că mai multe numere date (termeni) sunt combinate într-un singur număr (suma), care conține toate unitățile și fracțiile de unități de termeni.

Vom analiza pe rând trei cazuri:

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Adunarea numerelor mixte.

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.

Luați în considerare un exemplu: 1 / 5 + 2 / 5 .

Luați segmentul AB (Fig. 17), luați-l ca unitate și împărțiți-l în 5 părți egale, apoi partea AC a acestui segment va fi egală cu 1/5 din segmentul AB și partea aceluiași segment CD va fi egal cu 2/5 AB.

Din desen se vede că dacă luăm segmentul AD, atunci acesta va fi egal cu 3/5 AB; dar segmentul AD este tocmai suma segmentelor AC și CD. Deci, putem scrie:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Având în vedere acești termeni și suma rezultată, vedem că numărătorul sumei s-a obținut prin adunarea numărătorilor termenilor, iar numitorul a rămas neschimbat.

De aici obținem următoarea regulă: Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați același numitor.

Luați în considerare un exemplu:

2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

Să adunăm fracții: 3/4 + 3/8 Mai întâi trebuie reduse la cel mai mic numitor comun:

Legătura intermediară 6/8 + 3/8 nu ar fi putut fi scrisă; am scris-o aici pentru o mai mare claritate.

Astfel, pentru a adăuga fracții cu diferiți numitori, trebuie mai întâi să le aduceți la cel mai mic numitor comun, să adăugați numărătorii lor și să semnați numitorul comun.

Luați în considerare un exemplu (vom scrie factori suplimentari peste fracțiile corespunzătoare):

3. Adunarea numerelor mixte.

Să adunăm numerele: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Să aducem mai întâi părțile fracționale ale numerelor noastre la un numitor comun și să le rescriem din nou:

Acum adăugați părțile întregi și fracționale în succesiune:

§ 88. Scăderea fracțiilor.

Scăderea fracțiilor este definită în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Aceasta este o acțiune prin care, dată fiind suma a doi termeni și unul dintre ei, se găsește un alt termen. Să luăm în considerare trei cazuri pe rând:

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Scăderea numerelor mixte.

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.

Luați în considerare un exemplu:

13 / 15 - 4 / 15

Să luăm segmentul AB (Fig. 18), să-l luăm ca unitate și să-l împărțim în 15 părți egale; atunci partea AC a acestui segment va fi 1/15 din AB, iar partea AD a aceluiași segment va corespunde cu 13/15 din AB. Să lăsăm deoparte un alt segment ED, egal cu 4/15 AB.

Trebuie să scădem 4/15 din 13/15. În desen, aceasta înseamnă că segmentul ED trebuie scăzut din segmentul AD. Ca urmare, va rămâne segmentul AE, care este 9/15 din segmentul AB. Deci putem scrie:

Exemplul pe care l-am făcut arată că numărătorul diferenței a fost obținut prin scăderea numărătorilor, iar numitorul a rămas același.

Prin urmare, pentru a scădea fracții cu aceiași numitori, trebuie să scădeți numărătorul scăderii din numărătorul minuendului și să lăsați același numitor.

2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplu. 3/4 - 5/8

Mai întâi, să reducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun:

Linkul intermediar 6 / 8 - 5 / 8 este scris aici pentru claritate, dar poate fi omis în viitor.

Astfel, pentru a scădea o fracție dintr-o fracție, trebuie mai întâi să le aduceți la cel mai mic numitor comun, apoi să scădeți numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului și să semnați numitorul comun sub diferența lor.

Luați în considerare un exemplu:

3. Scăderea numerelor mixte.

Exemplu. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Să aducem părțile fracționale ale minuendului și ale subtraendului la cel mai mic numitor comun:

Am scăzut un întreg dintr-un întreg și o fracțiune dintr-o fracție. Dar există cazuri când partea fracționară a subtraendului este mai mare decât partea fracționară a minuendului. În astfel de cazuri, trebuie să luați o unitate din partea întreagă a reducerii, să o împărțiți în acele părți în care este exprimată partea fracțională și să adăugați la partea fracțională a redusului. Și apoi scăderea va fi efectuată în același mod ca în exemplul anterior:

§ 89. Înmulțirea fracțiilor.

Când studiem înmulțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
2. Găsirea unei fracții dintr-un număr dat.
3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.
5. Înmulțirea numerelor mixte.
6. Conceptul de interes.
7. Găsirea procentelor unui număr dat. Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.

Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg are același sens ca și înmulțirea unui număr întreg cu un număr întreg. Înmulțirea unei fracții (multiplicand) cu un întreg (multiplicator) înseamnă alcătuirea sumei de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.

Deci, dacă trebuie să înmulțiți 1/9 cu 7, atunci acest lucru se poate face astfel:

Am obținut cu ușurință rezultatul, deoarece acțiunea s-a redus la adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Prin urmare,

Luarea în considerare a acestei acțiuni arată că înmulțirea unei fracții cu un întreg este echivalentă cu creșterea acestei fracții de câte ori există unități în întreg. Și întrucât creșterea fracției se realizează fie prin creșterea numărătorului acesteia

sau prin scăderea numitorului acestuia , atunci putem fie să înmulțim numărătorul cu întregul, fie să împărțim numitorul cu acesta, dacă o astfel de împărțire este posibilă.

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, trebuie să înmulțiți numărătorul cu acest număr întreg și să lăsați același numitor sau, dacă este posibil, să împărțiți numitorul la acest număr, lăsând numărătorul neschimbat.

La înmulțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

2. Găsirea unei fracții dintr-un număr dat. Există multe probleme în care trebuie să găsiți sau să calculați o parte dintr-un anumit număr. Diferența dintre aceste sarcini și altele este că ele dau numărul unor obiecte sau unități de măsură și trebuie să găsiți o parte din acest număr, care este indicată și aici printr-o anumită fracție. Pentru a facilita înțelegerea, vom da mai întâi exemple de astfel de probleme, apoi vom introduce metoda de rezolvare a acestora.

Sarcina 1. Am avut 60 de ruble; 1/3 din acești bani i-am cheltuit pe achiziția de cărți. Cât au costat cărțile?

Sarcina 2. Trenul trebuie să parcurgă distanța dintre orașele A și B, egală cu 300 km. A parcurs deja 2/3 din acea distanta. Cati kilometri este asta?

Sarcina 3.În sat sunt 400 de case, 3/4 din cărămidă, restul din lemn. Câte case de cărămidă sunt?

Iată câteva dintre numeroasele probleme cu care trebuie să ne confruntăm pentru a găsi o fracțiune dintr-un număr dat. Ele sunt de obicei numite probleme pentru găsirea unei fracțiuni dintr-un număr dat.

Rezolvarea problemei 1. De la 60 de ruble. Am cheltuit 1/3 pe cărți; Deci, pentru a afla costul cărților, trebuie să împărțiți numărul 60 la 3:

Rezolvarea problemei 2. Semnificația problemei este că trebuie să găsiți 2 / 3 din 300 km. Calculați prima 1/3 din 300; acest lucru se realizează prin împărțirea a 300 km la 3:

300: 3 = 100 (adică 1/3 din 300).

Pentru a găsi două treimi din 300, trebuie să dublați coeficientul rezultat, adică să înmulțiți cu 2:

100 x 2 = 200 (adică 2/3 din 300).

Rezolvarea problemei 3. Aici trebuie să determinați numărul de case din cărămidă, care sunt 3/4 din 400. Să găsim mai întâi 1/4 din 400,

400: 4 = 100 (adică 1/4 din 400).

Pentru a calcula trei sferturi din 400, coeficientul rezultat trebuie triplat, adică înmulțit cu 3:

100 x 3 = 300 (adică 3/4 din 400).

Pe baza soluționării acestor probleme, putem deriva următoarea regulă:

Pentru a găsi valoarea unei fracții dintr-un număr dat, trebuie să împărțiți acest număr la numitorul fracției și să înmulțiți câtul rezultat cu numărătorul său.

3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.

Anterior (§ 26) s-a stabilit că înmulțirea numerelor întregi trebuie înțeleasă ca adunarea unor termeni identici (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). În acest paragraf (paragraful 1) s-a stabilit că înmulțirea unei fracții cu un întreg înseamnă găsirea sumei termenilor identici egală cu această fracție.

În ambele cazuri, înmulțirea a constat în găsirea sumei termenilor identici.

Acum trecem la înmulțirea unui număr întreg cu o fracție. Aici ne vom întâlni, de exemplu, cu o astfel de înmulțire: 9 2 / 3. Este destul de evident că definiția anterioară a înmulțirii nu se aplică în acest caz. Acest lucru este evident din faptul că nu putem înlocui o astfel de înmulțire prin adăugarea de numere egale.

Din această cauză, va trebui să dăm o nouă definiție a înmulțirii, adică, cu alte cuvinte, să răspundem la întrebarea ce ar trebui înțeles prin înmulțire cu o fracție, cum trebuie înțeleasă această acțiune.

Sensul înmulțirii unui număr întreg cu o fracție este clar din următoarea definiție: a înmulți un întreg (multiplicator) cu o fracție (multiplicator) înseamnă a găsi această fracție a multiplicatorului.

Și anume, înmulțirea a 9 cu 2/3 înseamnă a găsi 2/3 din nouă unități. În paragraful precedent au fost rezolvate astfel de probleme; deci este ușor să ne dăm seama că ajungem cu 6.

Dar acum apare o întrebare interesantă și importantă: de ce acțiuni atât de aparent diferite precum găsirea sumei numerelor egale și găsirea fracției dintr-un număr sunt numite același cuvânt „înmulțire” în aritmetică?

Acest lucru se întâmplă deoarece acțiunea anterioară (repetarea unui număr cu termeni de mai multe ori) și o acțiune nouă (găsirea unei fracțiuni dintr-un număr) dau un răspuns la întrebări omogene. Aceasta înseamnă că pornim aici de la considerațiile că întrebările sau sarcinile omogene sunt rezolvate printr-o singură acțiune.

Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare următoarea problemă: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 4 m dintr-o astfel de pânză?

Această problemă se rezolvă prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (4), adică 50 x 4 = 200 (ruble).

Să luăm aceeași problemă, dar în ea cantitatea de pânză va fi exprimată ca număr fracționar: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 3/4 m dintr-o astfel de cârpă?

Această problemă trebuie rezolvată și prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (3/4).

De asemenea, puteți schimba numerele din el de mai multe ori fără a schimba sensul problemei, de exemplu, luați 9/10 m sau 2 3/10 m etc.

Deoarece aceste probleme au același conținut și diferă doar în cifre, numim acțiunile folosite în rezolvarea lor același cuvânt - înmulțire.

Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție?

Să luăm numerele întâlnite în ultima problemă:

Conform definiției, trebuie să găsim 3 / 4 din 50. Mai întâi găsim 1 / 4 din 50 și apoi 3 / 4.

1/4 din 50 este 50/4;

3/4 din 50 este .

Prin urmare.

Luați în considerare un alt exemplu: 12 5 / 8 = ?

1/8 din 12 este 12/8,

5/8 din numărul 12 este .

Prin urmare,

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul fracției date ca numitor.

Scriem această regulă folosind litere:

Pentru a face această regulă perfect clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să se compare regula găsită cu regula pentru înmulțirea unui număr cu un coeficient, care a fost stabilită în § 38

Trebuie reținut că înainte de a efectua înmulțirea, ar trebui să faceți (dacă este posibil) tăieturi, De exemplu:

4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.Înmulțirea unei fracții cu o fracție are aceeași semnificație ca și înmulțirea unui număr întreg cu o fracție, adică atunci când înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să găsești fracția în multiplicatorul din prima fracție (multiplicatorul).

Și anume, înmulțirea a 3/4 cu 1/2 (jumătate) înseamnă a găsi jumătate din 3/4.

Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?

Să luăm un exemplu: de 3/4 ori 5/7. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți 5/7 din 3/4. Găsiți primul 1/7 din 3/4 și apoi 5/7

1/7 din 3/4 ar fi exprimat astfel:

5 / 7 numerele 3 / 4 vor fi exprimate astfel:

Prin urmare,

Un alt exemplu: de 5/8 ori 4/9.

1/9 din 5/8 este ,

4/9 numerele 5/8 sunt .

Prin urmare,

Din aceste exemple se poate deduce următoarea regulă:

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul și al doilea produs numitorul produsului.

Această regulă poate fi scrisă în general după cum urmează:

La înmulțire, este necesar să se facă (dacă este posibil) reduceri. Luați în considerare exemple:

5. Înmulțirea numerelor mixte. Deoarece numerele mixte pot fi înlocuite cu ușurință cu fracții improprii, această circumstanță este de obicei folosită la înmulțirea numerelor mixte. Aceasta înseamnă că în acele cazuri în care multiplicatorul, sau multiplicatorul sau ambii factori sunt exprimați ca numere mixte, atunci aceștia sunt înlocuiți cu fracții improprii. Înmulțiți, de exemplu, numere mixte: 2 1/2 și 3 1/5. Transformăm fiecare dintre ele într-o fracție improprie și apoi vom înmulți fracțiile rezultate după regula înmulțirii unei fracții cu o fracție:

Regulă. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a unei fracții cu o fracție.

Notă. Dacă unul dintre factori este un întreg, atunci înmulțirea poate fi efectuată pe baza legii distribuției după cum urmează:

6. Conceptul de interes. La rezolvarea problemelor și la efectuarea diferitelor calcule practice, folosim tot felul de fracții. Dar trebuie avut în vedere că multe cantități admit nu oricare, ci subdiviziuni naturale pentru ele. De exemplu, puteți lua o sutime (1/100) dintr-o rublă, va fi un ban, două sutimi sunt 2 copeici, trei sutimi sunt 3 copeici. Puteți lua 1/10 din rublă, va fi „10 copeici, sau un ban. Puteți lua un sfert de rublă, adică 25 de copeici, jumătate de rublă, adică 50 de copeici (cincizeci de copeici). Dar practic nu Nu luați, de exemplu, 2/7 ruble, deoarece rubla nu este împărțită în șapte.

Unitatea de măsură pentru greutate, adică kilogramul, permite, în primul rând, subdiviziuni zecimale, de exemplu, 1/10 kg sau 100 g. Și astfel de fracții de kilogram ca 1/6, 1/11, 1/ 13 sunt mai puțin frecvente.

În general, măsurile noastre (metrice) sunt zecimale și permit subdiviziuni zecimale.

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că este extrem de util și convenabil într-o mare varietate de cazuri să folosiți aceeași metodă (uniformă) de subdivizare a cantităților. Mulți ani de experiență au arătat că o astfel de împărțire bine justificată este diviziunea „sutimelor”. Să luăm în considerare câteva exemple legate de cele mai diverse domenii ale practicii umane.

1. Prețul cărților a scăzut cu 12/100 din prețul anterior.

Exemplu. Prețul anterior al cărții este de 10 ruble. Ea a scăzut cu 1 rublă. 20 cop.

2. Băncile de economii plătesc în cursul anului deponenților 2/100 din suma investită în economii.

Exemplu. 500 de ruble sunt puse în casierie, venitul din această sumă pentru anul este de 10 ruble.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5/100 din numărul total de elevi.

EXEMPLU La școală au studiat doar 1.200 de elevi, dintre care 60 au absolvit școala.

Sutimea unui număr se numește procent..

Cuvântul „procent” este împrumutat din limba latină, iar rădăcina lui „cent” înseamnă o sută. Împreună cu prepoziția (pro centum), acest cuvânt înseamnă „pentru o sută”. Sensul acestei expresii rezultă din faptul că inițial în Roma antică dobânda era banii pe care debitorul îi plătea împrumutătorului „pentru fiecare sută”. Cuvântul „cent” se aude în cuvinte atât de familiare: centner (o sută de kilograme), centimetru (se spune centimetru).

De exemplu, în loc să spunem că fabrica a produs 1/100 din toate produsele produse de ea în cursul lunii trecute, vom spune acest lucru: fabrica a produs un la sută din rebuturi în ultima lună. În loc să spunem: fabrica a produs cu 4/100 de produse mai multe decât planul stabilit, vom spune: uzina a depășit planul cu 4 la sută.

Exemplele de mai sus pot fi exprimate diferit:

1. Prețul cărților a scăzut cu 12 la sută față de prețul anterior.

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2 la sută pe an din suma investită în economii.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5 la sută din numărul tuturor elevilor din școală.

Pentru a scurta litera, se obișnuiește să scrieți semnul% în locul cuvântului „procent”.

Totuși, trebuie reținut că semnul % nu este de obicei scris în calcule, el poate fi scris în enunțul problemei și în rezultatul final. Când efectuați calcule, trebuie să scrieți o fracție cu numitorul 100 în loc de un număr întreg cu această pictogramă.

Trebuie să puteți înlocui un număr întreg cu pictograma specificată cu o fracție cu un numitor de 100:

Dimpotrivă, trebuie să vă obișnuiți să scrieți un număr întreg cu pictograma indicată în loc de o fracție cu numitorul 100:

7. Găsirea procentelor unui număr dat.

Sarcina 1.Școala a primit 200 de metri cubi. m lemn de foc, cu lemn de foc de mesteacan 30%. Cât lemn de mesteacăn era acolo?

Semnificația acestei probleme este că lemnul de foc de mesteacăn era doar o parte din lemnul de foc care a fost livrat școlii, iar această parte este exprimată ca o fracțiune de 30 / 100. Deci, ne confruntăm cu sarcina de a găsi o fracție dintr-un număr. Pentru a o rezolva, trebuie să înmulțim 200 cu 30 / 100 (sarcinile pentru găsirea fracției dintr-un număr se rezolvă prin înmulțirea unui număr cu o fracție.).

Deci 30% din 200 este egal cu 60.

Fracția 30 / 100 întâlnită în această problemă poate fi redusă cu 10. Ar fi posibil să se efectueze această reducere de la bun început; soluția problemei nu s-ar schimba.

Sarcina 2.În tabără erau 300 de copii de diferite vârste. Copiii de 11 ani au fost 21%, copiii de 12 ani au fost 61% și în final cei de 13 ani au fost 18%. Câți copii de fiecare vârstă erau în tabără?

În această problemă, trebuie să efectuați trei calcule, adică să găsiți succesiv numărul de copii de 11 ani, apoi de 12 ani și, în final, de 13 ani.

Deci, aici va fi necesar să găsiți o fracție dintr-un număr de trei ori. S-o facem:

1) Câți copii aveau 11 ani?

2) Câți copii aveau 12 ani?

3) Câți copii aveau 13 ani?

După rezolvarea problemei, este util să adăugați numerele găsite; suma lor ar trebui să fie 300:

63 + 183 + 54 = 300

De asemenea, ar trebui să acordați atenție faptului că suma procentelor date în starea problemei este 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Acest lucru sugerează că numărul total de copii din tabără a fost considerat 100%.

3 a da cha 3. Muncitorul primea 1.200 de ruble pe lună. Dintre aceștia, a cheltuit 65% pe mâncare, 6% pe un apartament și încălzire, 4% pe gaz, electricitate și radio, 10% pe nevoi culturale și 15% a economisit. Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoile indicate în sarcină?

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să găsiți de 5 ori o fracțiune din numărul 1200. Să o facem.

1) Câți bani se cheltuiesc pe mâncare? Sarcina spune că această cheltuială reprezintă 65% din toate câștigurile, adică 65/100 din numărul 1.200. Să facem calculul:

2) Câți bani s-au plătit pentru un apartament cu încălzire? Argumentând ca și precedentul, ajungem la următorul calcul:

3) Câți bani ați plătit pentru gaz, electricitate și radio?

4) Câți bani se cheltuiesc pentru nevoi culturale?

5) Câți bani a economisit muncitorul?

Pentru verificare, este util să adăugați numerele găsite în aceste 5 întrebări. Suma ar trebui să fie de 1.200 de ruble. Toate câștigurile sunt luate ca 100%, ceea ce este ușor de verificat prin adunarea procentelor date în starea problemei.

Am rezolvat trei probleme. În ciuda faptului că aceste sarcini erau despre lucruri diferite (livrarea lemnului de foc pentru școală, numărul de copii de diferite vârste, cheltuielile muncitorului), acestea au fost rezolvate în același mod. Acest lucru s-a întâmplat deoarece în toate sarcinile a fost necesar să se găsească câteva procente din numerele date.

§ 90. Împărțirea fracțiilor.

Când studiem împărțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.
2. Împărțirea unei fracții cu un număr întreg
3. Împărțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Împărțirea unei fracții cu o fracție.
5. Împărțirea numerelor mixte.
6. Aflarea unui număr având în vedere fracția sa.
7. Găsirea unui număr după procentajul său.

Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.

După cum sa indicat în secțiunea privind numerele întregi, împărțirea este acțiunea constând în faptul că, dat fiind produsul a doi factori (dividend) și unul dintre acești factori (divizor), se găsește un alt factor.

Împărțirea unui număr întreg cu un număr întreg am considerat-o în departamentul numerelor întregi. Am întâlnit acolo două cazuri de împărțire: împărțirea fără rest, sau „în întregime” (150: 10 = 15), și împărțirea cu rest (100: 9 = 11 și 1 în rest). Putem spune, așadar, că în domeniul numerelor întregi, împărțirea exactă nu este întotdeauna posibilă, deoarece dividendul nu este întotdeauna produsul dintre divizor și întreg. După introducerea înmulțirii cu o fracție, putem considera ca posibil orice caz de împărțire a numerelor întregi (se exclude doar împărțirea cu zero).

De exemplu, împărțirea lui 7 la 12 înseamnă a găsi un număr al cărui produs înmulțit cu 12 ar fi 7. Acest număr este fracția 7/12 deoarece 7/12 12 = 7. Un alt exemplu: 14: 25 = 14/25 deoarece 14/25 25 = 14.

Astfel, pentru a împărți un număr întreg la un număr întreg, trebuie să faceți o fracție, al cărei numărător este egal cu dividendul, iar numitorul este divizorul.

2. Împărțirea unei fracții cu un număr întreg.

Împărțiți fracția 6 / 7 la 3. După definiția împărțirii dată mai sus, avem aici produsul (6 / 7) și unul dintre factorii (3); este necesar să se găsească un astfel de al doilea factor care, atunci când este înmulțit cu 3, ar da produsul dat 6 / 7. Evident, ar trebui să fie de trei ori mai mic decât acest produs. Aceasta înseamnă că sarcina stabilită în fața noastră a fost să reducem fracția 6/7 de 3 ori.

Știm deja că reducerea unei fracții se poate face fie prin scăderea numărătorului, fie prin creșterea numitorului. Prin urmare, puteți scrie:

În acest caz, numărătorul 6 este divizibil cu 3, deci numărătorul trebuie redus de 3 ori.

Să luăm un alt exemplu: 5 / 8 împărțit la 2. Aici numărătorul 5 nu este divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că numitorul va trebui înmulțit cu acest număr:

Pe baza acestui fapt, putem enunța regula: Pentru a împărți o fracție la un întreg, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la acel număr întreg(daca este posibil), lăsând același numitor, sau înmulțiți numitorul fracției cu acest număr, rămânând același numărător.

3. Împărțirea unui număr întreg cu o fracție.

Să fie necesar să se împartă 5 la 1 / 2, adică să se găsească un număr care, după înmulțirea cu 1 / 2, va da produsul 5. Evident, acest număr trebuie să fie mai mare decât 5, deoarece 1 / 2 este o fracție proprie, iar la înmulțirea unui număr cu o fracție proprie, produsul trebuie să fie mai mic decât multiplicandul. Pentru a fi mai clar, să scriem acțiunile noastre după cum urmează: 5: 1 / 2 = X , deci x 1 / 2 \u003d 5.

Trebuie să găsim un astfel de număr X , care, înmulțit cu 1/2, ar da 5. Deoarece înmulțirea unui anumit număr cu 1/2 înseamnă găsirea a 1/2 din acest număr, atunci, prin urmare, 1/2 din numărul necunoscut X este 5 și numărul întreg X de două ori mai mult, adică 5 2 \u003d 10.

Deci 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Sa verificam:

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să fie necesar să se împartă 6 la 2/3. Să încercăm mai întâi să găsim rezultatul dorit folosind desenul (Fig. 19).

Fig.19

Desenați un segment AB, egal cu 6 din unele unități, și împărțiți fiecare unitate în 3 părți egale. În fiecare unitate, trei treimi (3 / 3) din întregul segment AB este de 6 ori mai mare, adică. e. 18/3. Conectam cu ajutorul unor paranteze mici 18 segmente obtinute din 2; Vor fi doar 9 segmente. Aceasta înseamnă că fracția 2/3 este conținută în b unități de 9 ori, sau, cu alte cuvinte, fracția 2/3 este de 9 ori mai mică decât 6 unități întregi. Prin urmare,

Cum să obțineți acest rezultat fără un desen folosind doar calcule? Vom argumenta după cum urmează: este necesar să împărțim 6 la 2 / 3, adică se cere să răspundem la întrebarea, de câte ori 2 / 3 este conținut în 6. Să aflăm mai întâi: de câte ori este 1 / 3 cuprinse în 6? Într-o unitate întreagă - 3 treimi și în 6 unități - de 6 ori mai mult, adică 18 treimi; pentru a găsi acest număr, trebuie să înmulțim 6 cu 3. Prin urmare, 1/3 este conținut în b unități de 18 ori, iar 2/3 este conținut în b unități nu de 18 ori, ci jumătate din câte ori, adică 18: 2 = 9 Prin urmare, la împărțirea 6 la 2/3 am făcut următoarele:

De aici obținem regula împărțirii unui număr întreg la o fracție. Pentru a împărți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți acest număr întreg cu numitorul fracției date și, făcând din acest produs numărător, să-l împărțiți la numărătorul fracției date.

Scriem regula folosind litere:

Pentru a face această regulă perfect clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula împărțirii unui număr la un coeficient, care a fost stabilită în § 38. Rețineți că aceeași formulă a fost obținută acolo.

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

4. Împărțirea unei fracții cu o fracție.

Să fie necesar să se împartă 3/4 la 3/8. Ce va desemna numărul care va fi obținut în urma împărțirii? Va răspunde la întrebarea de câte ori este conținută fracția 3/8 în fracția 3/4. Pentru a înțelege această problemă, să facem un desen (Fig. 20).

Luați segmentul AB, luați-l ca unitate, împărțiți-l în 4 părți egale și marcați 3 astfel de părți. Segmentul AC va fi egal cu 3/4 din segmentul AB. Să împărțim acum fiecare dintre cele patru segmente inițiale în jumătate, apoi segmentul AB va fi împărțit în 8 părți egale și fiecare astfel de părți va fi egală cu 1/8 din segmentul AB. Conectăm 3 astfel de segmente cu arce, apoi fiecare dintre segmentele AD și DC va fi egal cu 3/8 din segmentul AB. Desenul arată că segmentul egal cu 3/8 este cuprins în segmentul egal cu 3/4 exact de 2 ori; Deci rezultatul împărțirii poate fi scris astfel:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să fie necesar să se împartă 15/16 la 3/32:

Putem raționa astfel: trebuie să găsim un număr care, după ce a fost înmulțit cu 3/32, va da un produs egal cu 15/16. Să scriem calculele astfel:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 număr necunoscut X alcătuiesc 15/16

1/32 număr necunoscut X este ,

32 / 32 de numere X machiaj .

Prin urmare,

Astfel, pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și să faceți din primul produs numărătorul și al doilea numitorul.

Să scriem regula folosind litere:

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

5. Împărțirea numerelor mixte.

La împărțirea numerelor mixte, acestea trebuie mai întâi convertite în fracții improprii, iar apoi fracțiile rezultate trebuie împărțite conform regulilor de împărțire a numerelor fracționale. Luați în considerare un exemplu:

Convertiți numere mixte în fracții improprii:

Acum să ne împărțim:

Astfel, pentru a împărți numerele mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți conform regulii de împărțire a fracțiilor.

6. Aflarea unui număr având în vedere fracția sa.

Printre diversele sarcini pe fracții, există uneori acelea în care este dată valoarea unei fracții dintr-un număr necunoscut și este necesar să se găsească acest număr. Acest tip de problemă va fi invers cu problema găsirii unei fracții dintr-un număr dat; acolo a fost dat un număr și a fost necesar să se găsească o fracție din acest număr, aici se dă o fracțiune dintr-un număr și este necesar să se găsească acest număr în sine. Această idee va deveni și mai clară dacă ne întoarcem la rezolvarea acestui tip de problemă.

Sarcina 1.În prima zi, geamurile au vitrat 50 de ferestre, adică 1/3 din toate ferestrele casei construite. Câte ferestre sunt în casa asta?

Decizie. Problema spune că 50 de ferestre cu geam alcătuiesc 1/3 din toate ferestrele casei, ceea ce înseamnă că sunt de 3 ori mai multe ferestre în total, adică.

Casa avea 150 de ferestre.

Sarcina 2. Magazinul a vândut 1.500 kg de făină, ceea ce reprezintă 3/8 din stocul total de făină al magazinului. Care a fost rezerva inițială de făină a magazinului?

Decizie. Din starea problemei se vede că cele 1.500 kg de făină vândute constituie 3/8 din stocul total; aceasta înseamnă că 1/8 din acest stoc va fi de 3 ori mai puțin, adică, pentru a-l calcula, trebuie să reduceți 1500 de 3 ori:

1.500: 3 = 500 (adică 1/8 din stoc).

Evident, întregul stoc va fi de 8 ori mai mare. Prin urmare,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

Aprovizionarea inițială de făină în magazin a fost de 4.000 kg.

Din luarea în considerare a acestei probleme se poate deduce următoarea regulă.

Pentru a găsi un număr cu o valoare dată a fracției sale, este suficient să împărțiți această valoare la numărătorul fracției și să înmulțiți rezultatul cu numitorul fracției.

Am rezolvat două probleme la găsirea unui număr dat fiind fracția sa. Astfel de probleme, așa cum se vede mai ales din ultima, se rezolvă prin două acțiuni: împărțirea (când se găsește o parte) și înmulțirea (când se găsește întregul număr).

Totuși, după ce am studiat împărțirea fracțiilor, problemele de mai sus pot fi rezolvate într-o singură acțiune și anume: împărțirea cu o fracție.

De exemplu, ultima sarcină poate fi rezolvată într-o singură acțiune ca aceasta:

În viitor, vom rezolva problema găsirii unui număr prin fracția sa într-o singură acțiune - împărțire.

7. Găsirea unui număr după procentajul său.

În aceste sarcini, va trebui să găsiți un număr, cunoscând câteva procente din acest număr.

Sarcina 1. La începutul acestui an, am primit 60 de ruble de la banca de economii. venit din suma pe care am pus-o în economii în urmă cu un an. Cati bani am pus in banca de economii? (Casierele oferă deponenților 2% din venit pe an.)

Sensul problemei este că o anumită sumă de bani a fost pusă de mine într-o bancă de economii și a stat acolo timp de un an. După un an, am primit 60 de ruble de la ea. venit, care este 2/100 din banii pe care i-am pus. Câți bani am depus?

Prin urmare, cunoscând partea acestor bani, exprimată în două moduri (în ruble și în fracții), trebuie să găsim întreaga sumă, încă necunoscută. Aceasta este o problemă obișnuită de a găsi un număr având în vedere fracția sa. Următoarele sarcini sunt rezolvate pe divizie:

Deci, 3.000 de ruble au fost puse în banca de economii.

Sarcina 2.În două săptămâni, pescarii au îndeplinit planul lunar cu 64%, având pregătite 512 tone de pește. Care era planul lor?

Din starea problemei, se știe că pescarii au finalizat o parte din plan. Această parte este egală cu 512 tone, ceea ce reprezintă 64% din plan. Câte tone de pește trebuie recoltate conform planului, nu știm. Rezolvarea problemei va consta în găsirea acestui număr.

Astfel de sarcini sunt rezolvate prin împărțirea:

Deci, conform planului, trebuie să pregătiți 800 de tone de pește.

Sarcina 3. Trenul a mers de la Riga la Moscova. Când a depășit cel de-al 276-lea kilometru, unul dintre pasageri l-a întrebat pe conductorul care trecea cât de mult din călătorie au parcurs deja. La aceasta dirijorul a răspuns: „Am acoperit deja 30% din întreaga călătorie”. Care este distanța de la Riga la Moscova?

Din starea problemei se poate observa că 30% din călătoria de la Riga la Moscova este de 276 km. Trebuie să găsim întreaga distanță dintre aceste orașe, adică, pentru această parte, găsim întregul:

§ 91. Numerele reciproce. Înlocuirea împărțirii cu înmulțirea.

Luați fracția 2/3 și rearanjați numărătorul în locul numitorului, obținem 3/2. Avem o fracțiune, reciproca acesteia.

Pentru a obține o fracție reciprocă a uneia date, trebuie să puneți numărătorul acesteia în locul numitorului și numitorul în locul numărătorului. În acest fel, putem obține o fracție care este reciproca oricărei fracții. De exemplu:

3/4, invers 4/3; 5/6, invers 6/5

Două fracții care au proprietatea că numărătorul primei este numitorul celei de-a doua și numitorul primei este numărătorul celei de-a doua sunt numite reciproc invers.

Acum să ne gândim la ce fracție va fi reciproca lui 1/2. Evident, va fi 2 / 1, sau doar 2. Căutând reciproca acesteia, avem un număr întreg. Și acest caz nu este izolat; dimpotrivă, pentru toate fracțiile cu numărător de 1 (un), reciprocele vor fi numere întregi, de exemplu:

1 / 3, invers 3; 1/5, invers 5

Deoarece la găsirea reciprocelor ne-am întâlnit și cu numere întregi, în viitor nu vom vorbi despre reciproce, ci despre reciproce.

Să ne dăm seama cum să scriem reciproca unui număr întreg. Pentru fracții, acest lucru se rezolvă simplu: trebuie să puneți numitorul în locul numărătorului. În același mod, puteți obține reciproca unui număr întreg, deoarece orice număr întreg poate avea un numitor de 1. Deci, reciproca lui 7 va fi 1 / 7, deoarece 7 \u003d 7 / 1; pentru numărul 10 inversul este 1 / 10 deoarece 10 = 10 / 1

Această idee poate fi exprimată în alt mod: reciproca unui număr dat se obține prin împărțirea unuia la numărul dat. Această afirmație este valabilă nu numai pentru numere întregi, ci și pentru fracții. Într-adevăr, dacă doriți să scrieți un număr care este reciproca fracției 5 / 9, atunci putem lua 1 și îl împărțim la 5 / 9, adică.

Acum să subliniem unul proprietate numere reciproc reciproce, care ne vor fi utile: produsul numerelor reciproc reciproce este egal cu unu.Într-adevăr:

Folosind această proprietate, putem găsi reciproce în felul următor. Să găsim reciproca lui 8.

Să o notăm cu litera X , apoi 8 X = 1, prin urmare X = 1 / 8 . Să găsim un alt număr, inversul lui 7/12, notăm-l printr-o literă X , apoi 7/12 X = 1, prin urmare X = 1:7 / 12 sau X = 12 / 7 .

Am introdus aici conceptul de numere reciproce pentru a completa puțin informațiile despre împărțirea fracțiilor.

Când împărțim numărul 6 la 3/5, facem următoarele:

Acordați o atenție deosebită expresiei și comparați-o cu cea dată: .

Dacă luăm expresia separat, fără legătură cu cea anterioară, atunci este imposibil să rezolvăm problema de unde provine: de la împărțirea a 6 la 3/5 sau de la înmulțirea a 6 cu 5/3. În ambele cazuri, rezultatul este același. Deci putem spune că împărțirea unui număr la altul poate fi înlocuită prin înmulțirea dividendului cu reciproca divizorului.

Exemplele pe care le oferim mai jos confirmă pe deplin această concluzie.

Înmulțirea zecimală are loc în trei etape.

Decimalele sunt scrise într-o coloană și înmulțite ca numere obișnuite.

Numărăm numărul de zecimale pentru prima zecimală și a doua. Adăugăm numărul lor.

În rezultatul obținut, numărăm de la dreapta la stânga câte cifre au rezultat în paragraful de mai sus și punem virgulă.

Cum să înmulțim zecimale

Scriem fracții zecimale într-o coloană și le înmulțim ca numere naturale, ignorând virgulele. Adică, considerăm 3,11 ca 311 și 0,01 ca 1.

Primit 311 . Acum numărăm numărul de semne (cifre) după virgulă zecimală pentru ambele fracții. Prima zecimală are două cifre, iar a doua are două. Numărul total de cifre după virgule:

Numărăm de la dreapta la stânga 4 caractere (numere) din numărul rezultat. Există mai puține cifre în rezultat decât trebuie să le separați prin virgulă. În acest caz, ai nevoie stânga atribuiți numărul de zerouri lipsă.

Ne lipsește o cifră, așa că atribuim un zero la stânga.

Când înmulțiți orice fracție zecimală pe 10; 100; 1000 etc. virgula zecimală se deplasează spre dreapta atâtea cifre câte zerouri sunt după unu.

• 70,1 10 = 701
• 0,023 100 = 2,3
• 5,6 1000 = 5600

Pentru a înmulți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001 etc., este necesar să mutați virgula la stânga în această fracție cu atâtea cifre câte zerouri sunt în fața unității.

Numărăm zero numere întregi!

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 0,1 = 0,005
• 1,256 0,01 = 0,012 56

Înmulțirea fracțiilor

Vom lua în considerare înmulțirea fracțiilor obișnuite în mai multe moduri posibile.

Înmulțirea unei fracții cu o fracție

Acesta este cel mai simplu caz, în care trebuie să utilizați următoarele reguli de multiplicare a fracțiilor.

La înmulțiți o fracție cu o fracție, necesar:

• înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul lor în numărătorul noii fracții;
• înmulțiți numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții și scrieți produsul lor în numitorul noii fracții;

Înainte de a înmulți numărătorii și numitorii, verificați dacă fracțiile pot fi reduse. Reducerea fracțiilor în calcule vă va facilita foarte mult calculele.

Înmulțirea unei fracții cu un număr natural

Pentru a fracționa înmulțiți cu un număr natural trebuie să înmulțiți numărătorul fracției cu acest număr și să lăsați numitorul fracției neschimbat.

Dacă rezultatul înmulțirii este o fracție necorespunzătoare, nu uitați să o transformați într-un număr mixt, adică selectați întreaga parte.

Înmulțirea numerelor mixte

Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le transformați în fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.

O altă modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural

Uneori, în calcule, este mai convenabil să folosiți o metodă diferită de înmulțire a unei fracții obișnuite cu un număr.

Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul același.

După cum se poate vedea din exemplu, este mai convenabil să folosiți această versiune a regulii dacă numitorul fracției este divizibil fără rest cu un număr natural.

Cum se înmulțește o fracție cu o regulă întreg

eu. Pentru a înmulți o fracție zecimală cu un număr natural, trebuie să o înmulțiți cu acest număr, ignorând virgula, iar în produsul rezultat, separați în dreapta câte cifre au existat după punctul zecimal din fracția dată.

Exemple. Efectuați înmulțirea: 1) 1,25 7; 2) 0,345 8; 3) 2.391 14.

Decizie.

II. Pentru a înmulți o fracție zecimală cu alta, trebuie să efectuați înmulțirea, ignorând virgulele, iar în rezultatul rezultat, să separați cu virgulă în dreapta câte cifre au fost după virgule în ambii factori împreună.

Exemple. Efectuați înmulțirea: 1) 18,2 0,09; 2) 3,2 0,065; 3) 0,54 12,3.

Decizie.

III. Pentru a înmulți o zecimală cu 10, 100, 1000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu 1, 2, 3, etc. cifre.

Exemple. Efectuați înmulțirea: 1) 3,25 10; 2) 0,637 100; 3) 4,307 1000; 4) 2,04 1000; 5) 0,00031 10000.

Decizie.

IV. Pentru a înmulți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001 etc., trebuie să mutați virgula la stânga cu 1, 2, 3, etc. cifre.

Exemple. Efectuați înmulțirea: 1) 28,3 0,1; 2) 324,7 0,01; 3) 6,85 0,01; 4) 6179,5 0,001; 5) 92,1 0,0001.

www.mathematics-repetition.com

Înmulțirea fracțiilor zecimale, reguli, exemple, soluții.

Ne întoarcem la studiul următoarei acțiuni cu fracții zecimale, acum vom lua în considerare în mod cuprinzător înmulțirea zecimalelor. Mai întâi, să discutăm despre principiile generale ale înmulțirii fracțiilor zecimale. După aceea, să trecem la înmulțirea unei fracții zecimale cu o fracție zecimală, arătați cum se realizează înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană, luați în considerare soluțiile exemplelor. În continuare, vom analiza înmulțirea fracțiilor zecimale cu numere naturale, în special cu 10, 100 etc. În concluzie, să vorbim despre înmulțirea fracțiilor zecimale cu fracții obișnuite și numere mixte.

Să spunem imediat că în acest articol vom vorbi doar despre înmulțirea fracțiilor zecimale pozitive (vezi numere pozitive și negative). Cazurile rămase sunt analizate în articolele înmulțirea numerelor raționale și înmulțirea numerelor reale.

Navigare în pagină.

Principii generale pentru înmulțirea zecimalelor

Să discutăm despre principiile generale care trebuie urmate atunci când se efectuează înmulțirea cu fracții zecimale.

Deoarece zecimalele finale și fracțiile periodice infinite sunt forma zecimală a fracțiilor comune, înmulțirea acestor zecimale înseamnă în esență înmulțirea fracțiilor comune. Cu alte cuvinte, înmulțirea zecimalelor finale, înmulțirea fracțiilor zecimale finale și periodice, precum și înmulțirea zecimalelor periodice se rezumă la înmulțirea fracțiilor obișnuite după conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite.

Luați în considerare exemple de aplicare a principiului vocal al înmulțirii fracțiilor zecimale.

Efectuați înmulțirea zecimalelor 1,5 și 0,75.

Să înlocuim fracțiile zecimale înmulțite cu fracțiile ordinare corespunzătoare. Deoarece 1,5=15/10 și 0,75=75/100, atunci. Puteți reduce fracția și apoi selectați întreaga parte din fracția improprie și este mai convenabil să scrieți fracția ordinară rezultată 1 125/1 000 ca fracție zecimală 1,125.

Trebuie menționat că este convenabil să înmulțiți fracțiile zecimale finale într-o coloană, despre această metodă de înmulțire a fracțiilor zecimale vom vorbi în paragraful următor.

Luați în considerare un exemplu de înmulțire a fracțiilor zecimale periodice.

Calculați produsul zecimalelor periodice 0,(3) și 2,(36) .

Să convertim fracțiile zecimale periodice în fracții obișnuite:

Apoi. Puteți converti fracția obișnuită rezultată într-o fracție zecimală:

Dacă există infinite fracții neperiodice printre fracțiile zecimale înmulțite, atunci toate fracțiile înmulțite, inclusiv cele finite și periodice, ar trebui rotunjite la o anumită cifră (vezi rotunjirea numerelor), iar apoi se efectuează înmulțirea fracțiilor zecimale finale obținute după rotunjire.

Înmulțiți zecimale 5,382... și 0,2.

În primul rând, rotunjim o fracție zecimală neperiodică infinită, rotunjirea se poate face la sutimi, avem 5,382 ... ≈5,38. Fracția zecimală finală 0,2 nu trebuie să fie rotunjită la sutimi. Astfel, 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Rămâne de calculat produsul fracțiilor zecimale finale: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1.076/1.000 \u003d 1.076.

Înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană

Înmulțirea fracțiilor zecimale finite poate fi efectuată printr-o coloană, similar înmulțirii cu o coloană de numere naturale.

Să formulăm regula înmulțirii pentru fracțiile zecimale. Pentru a înmulți fracțiile zecimale cu o coloană, aveți nevoie de:

• ignorând virgulele, efectuați înmulțirea după toate regulile de înmulțire cu o coloană de numere naturale;
• în numărul rezultat, separați în dreapta cu un punct zecimal atâtea cifre câte zecimale există în ambii factori împreună, iar dacă nu sunt suficiente cifre în produs, atunci numărul necesar de zerouri trebuie adăugat în stânga.

Luați în considerare exemple de înmulțire a fracțiilor zecimale cu o coloană.

Înmulțiți zecimale 63,37 și 0,12.

Să efectuăm înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană. În primul rând, înmulțim numerele, ignorând virgulele:

Rămâne să puneți o virgulă în produsul rezultat. Ea trebuie să separe 4 cifre în dreapta, deoarece există patru zecimale în factori (două în fracția 3,37 și două în fracția 0,12). Există suficiente numere acolo, așa că nu trebuie să adăugați zerouri în stânga. Să terminăm recordul:

Ca rezultat, avem 3,37 0,12 = 7,6044.

Calculați produsul zecimalelor 3,2601 și 0,0254 .

După ce am efectuat înmulțirea cu o coloană fără a ține cont de virgule, obținem următoarea imagine:

Acum, în produs, trebuie să separați 8 cifre din dreapta cu o virgulă, deoarece numărul total de zecimale ale fracțiilor înmulțite este de opt. Dar există doar 7 cifre în produs, prin urmare, trebuie să atribuiți cât mai multe zerouri în stânga, astfel încât 8 cifre să poată fi separate prin virgulă. În cazul nostru, trebuie să atribuim două zerouri:

Aceasta completează înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană.

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1, 0,01 etc.

Destul de des trebuie să înmulțiți zecimale cu 0,1, 0,01 și așa mai departe. Prin urmare, este recomandabil să se formuleze o regulă pentru înmulțirea unei fracții zecimale cu aceste numere, care decurge din principiile înmulțirii fracțiilor zecimale discutate mai sus.

Asa de, înmulțirea unei zecimale date cu 0,1, 0,01, 0,001 și așa mai departe dă o fracție, care se obține din cea originală, dacă în introducerea ei virgula este mutată la stânga cu 1, 2, 3 și, respectiv, cifre și așa mai departe, iar dacă nu sunt suficiente cifre pentru a muta virgula, atunci trebuie să adăugați numărul necesar de zerouri la stânga.

De exemplu, pentru a înmulți fracția zecimală 54,34 cu 0,1, trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu 1 cifră în fracția 54,34 și obțineți fracția 5,434, adică 54,34 0,1 \u003d 5,434. Să luăm un alt exemplu. Înmulțiți fracția zecimală 9,3 cu 0,0001. Pentru a face acest lucru, trebuie să mutăm virgula 4 cifre la stânga în fracția zecimală înmulțită 9,3, dar înregistrarea fracției 9,3 nu conține un astfel de număr de caractere. Prin urmare, trebuie să atribuim cât mai multe zerouri în înregistrarea fracției 9,3 din stânga, astfel încât să putem transfera cu ușurință virgula la 4 cifre, avem 9,3 0,0001 \u003d 0,00093.

Rețineți că regula anunțată pentru înmulțirea unei fracții zecimale cu 0,1, 0,01, ... este valabilă și pentru fracțiile zecimale infinite. De exemplu, 0,(18) 0,01=0,00(18) sau 93,938... 0,1=9,3938... .

Înmulțirea unei zecimale cu un număr natural

În miezul ei înmulțirea zecimalelor cu numere naturale nu diferă de înmulțirea unei zecimale cu o zecimală.

Cel mai convenabil este să înmulțiți o fracție zecimală finită cu un număr natural cu o coloană, în timp ce ar trebui să urmați regulile de înmulțire cu o coloană de fracții zecimale discutate în unul dintre paragrafele anterioare.

Calculați produsul 15 2.27 .

Să efectuăm înmulțirea unui număr natural cu o fracție zecimală într-o coloană:

Când înmulțiți o fracție zecimală periodică cu un număr natural, fracția periodică trebuie înlocuită cu o fracție obișnuită.

Înmulțiți fracția zecimală 0,(42) cu numărul natural 22.

Mai întâi, să convertim zecimala periodică într-o fracție comună:

Acum să facem înmulțirea: . Acest rezultat zecimal este 9,(3) .

Și atunci când înmulțiți o fracție zecimală neperiodică infinită cu un număr natural, trebuie mai întâi să o rotunjiți.

Faceți înmulțirea 4 2.145….

Rotunjind la sutimi fracția zecimală infinită originală, vom ajunge la înmulțirea unui număr natural și a unei fracții zecimale finale. Avem 4 2.145…≈4 2.15=8.60.

Înmulțirea unei zecimale cu 10, 100,...

Destul de des trebuie să înmulțiți fracțiile zecimale cu 10, 100, ... Prin urmare, este recomandabil să ne oprim asupra acestor cazuri în detaliu.

Hai să ne dăm voce regula pentru înmulțirea unei zecimale cu 10, 100, 1.000 etc. Când înmulțiți o fracție zecimală cu 10, 100, ... în introducerea acesteia, trebuie să mutați virgula la dreapta cu 1, 2, 3, ... cifre, respectiv, și să eliminați zerourile suplimentare din stânga; dacă nu există suficiente cifre în înregistrarea fracției înmulțite pentru a transfera virgula, atunci trebuie să adăugați numărul necesar de zerouri la dreapta.

Înmulțiți zecimala 0,0783 cu 100.

Să transferăm fracția 0,0783 două cifre la dreapta în înregistrare și obținem 007,83. Lăsând două zerouri în stânga, obținem fracția zecimală 7,38. Astfel, 0,0783 100=7,83.

Înmulțiți fracția zecimală 0,02 cu 10.000.

Pentru a înmulți 0,02 cu 10.000, trebuie să mutăm virgula cu 4 cifre la dreapta. Evident, în înregistrarea fracției 0,02 nu sunt suficiente cifre pentru a transfera virgula la 4 cifre, așa că vom adăuga câteva zerouri la dreapta pentru ca virgula să poată fi transferată. În exemplul nostru, este suficient să adăugați trei zerouri, avem 0,02000. După mutarea virgulei, obținem intrarea 00200.0 . Lăsând zerourile din stânga, avem numărul 200,0, care este egal cu numărul natural 200, este rezultatul înmulțirii fracției zecimale 0,02 cu 10.000.

Regula enunțată este valabilă și pentru înmulțirea fracțiilor zecimale infinite cu 10, 100, ... Când înmulțiți fracții zecimale periodice, trebuie să fiți atenți la perioada fracției care este rezultatul înmulțirii.

Înmulțiți zecimala periodică 5,32(672) cu 1000 .

Înainte de înmulțire, scriem fracția zecimală periodică ca 5,32672672672 ..., acest lucru ne va permite să evităm greșelile. Acum să mutăm virgula la dreapta cu 3 cifre, avem 5 326,726726 ... . Astfel, după înmulțire, se obține o fracție zecimală periodică 5 326, (726) .

5,32(672) 1000=5326,(726).

Când înmulțiți fracții neperiodice infinite cu 10, 100, ..., trebuie mai întâi să rotunjiți fracția infinită la o anumită cifră și apoi să efectuați înmulțirea.

Înmulțirea unei zecimale cu o fracție comună sau un număr mixt

Pentru a înmulți o fracție zecimală finită sau o fracție zecimală periodică infinită cu o fracție obișnuită sau un număr mixt, trebuie să reprezentați fracția zecimală ca o fracție obișnuită și apoi să efectuați înmulțirea.

Înmulțiți fracția zecimală 0,4 cu numărul mixt.

Deoarece 0,4=4/10=2/5 și apoi. Numărul rezultat poate fi scris ca o fracție zecimală periodică 1.5(3) .

Când înmulțiți o fracție zecimală neperiodică infinită cu o fracție comună sau un număr mixt, fracția comună sau numărul mixt trebuie înlocuit cu o fracție zecimală, apoi rotunjiți fracțiile înmulțite și finalizați calculul.

Din moment ce 2/3 \u003d 0,6666 ..., atunci. După rotunjirea fracțiilor înmulțite la miimi, ajungem la produsul a două fracții zecimale finale 3,568 și 0,667. Să facem înmulțirea într-o coloană:

Rezultatul obținut ar trebui rotunjit la miimi, deoarece fracțiile înmulțite au fost luate cu o precizie de miimi, avem 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

Înmulțirea fracțiilor ordinare: reguli, exemple, soluții.

Continuăm să studiem acțiunile cu fracții obișnuite. Acum în lumina reflectoarelor înmulțirea fracțiilor comune. În acest articol, vom da o regulă pentru înmulțirea fracțiilor obișnuite, luați în considerare aplicarea acestei reguli atunci când rezolvați exemple. Ne vom concentra și pe înmulțirea unei fracții obișnuite cu un număr natural. În concluzie, luați în considerare modul în care se realizează înmulțirea a trei sau mai multe fracții.

Navigare în pagină.

Înmulțirea unei fracții comune cu o fracție comună

Să începem cu formularea reguli de înmulțire a fracțiilor comune: înmulțirea unei fracții cu o fracție dă o fracție al cărei numărător este egal cu produsul numărătorilor fracțiilor înmulțite și al cărei numitor este egal cu produsul numitorilor.

Adică, formula corespunde înmulțirii fracțiilor ordinare a / b și c / d.

Să dăm un exemplu care ilustrează regula înmulțirii fracțiilor ordinare. Luați în considerare un pătrat cu latura de 1 unitate. , în timp ce aria sa este de 1 unitate 2 . Împărțiți acest pătrat în dreptunghiuri egale cu laturile de 1/4 unități. si 1/8 unitati. , în timp ce pătratul original va fi format din 4 8 = 32 dreptunghiuri, prin urmare, aria fiecărui dreptunghi este 1/32 din aria pătratului original, adică este egală cu 1/32 unități 2. Acum să pictăm peste o parte din pătratul original. Toate acțiunile noastre sunt reflectate în figura de mai jos.

Laturile dreptunghiului umplut sunt de 5/8 unități. si 3/4 unitati. , ceea ce înseamnă că aria sa este egală cu produsul fracțiilor 5/8 și 3/4, adică unitățile 2. Dar dreptunghiul umplut este format din 15 dreptunghiuri „mici”, deci aria lui este de 15/32 de unități 2 . Prin urmare, . Deoarece 5 3=15 și 8 4=32 , ultima egalitate poate fi rescrisă ca , care confirmă formula de înmulțire a fracțiilor ordinare de forma .

Rețineți că, cu ajutorul regulii înmulțirii vocale, puteți înmulți atât fracții regulate, cât și improprii, precum și fracții cu aceiași numitori și fracții cu numitori diferiți.

Considera exemple de înmulțire a fracțiilor comune.

Înmulțiți fracția comună 7/11 cu fracția comună 9/8.

Produsul numărătorilor fracțiilor înmulțite 7 și 9 este 63, iar produsul numitorilor lui 11 și 8 este 88. Astfel, înmulțind fracțiile comune 7/11 și 9/8 rezultă fracția 63/88.

Iată un rezumat al soluției: .

Nu trebuie să uităm de reducerea fracției rezultate, dacă în urma înmulțirii se obține o fracție reductibilă și de selectarea întregii părți dintr-o fracție improprie.

Înmulțiți fracțiile 4/15 și 55/6.

Să aplicăm regula înmulțirii fracțiilor ordinare: .

În mod evident, fracția rezultată este reductibilă (semnul divizibilității cu 10 ne permite să afirmăm că numărătorul și numitorul fracției 220/90 au un factor comun de 10). Să reducem fracția 220/90: GCD(220, 90)=10 și . Rămâne să selectați partea întreagă din fracția improprie rezultată: .

Rețineți că reducerea fracțiilor poate fi efectuată înainte de a calcula produsele numărătorilor și produsele numitorilor fracțiilor înmulțite, adică atunci când fracția are forma . Pentru acest număr, a, b, c și d sunt înlocuite cu descompunerea lor în factori primi, după care aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt anulați.

Pentru a clarifica, să revenim la exemplul anterior.

Calculați produsul fracțiilor de forma .

Prin formula de înmulțire a fracțiilor obișnuite, avem .

Deoarece 4=2 2 , 55=5 11 , 15=3 5 și 6=2 3 , atunci . Acum anulăm factorii primi comuni: .

Rămâne doar să calculați produsele din numărător și numitor, apoi selectați partea întreagă din fracția improprie: .

Trebuie remarcat faptul că înmulțirea fracțiilor este caracterizată de o proprietate comutativă, adică fracțiile înmulțite pot fi interschimbate: .

Înmulțirea unei fracții cu un număr natural

Să începem cu formularea reguli pentru înmulțirea unei fracții comune cu un număr natural: înmulțirea unei fracții cu un număr natural dă o fracție al cărei numărător este egal cu produsul numărătorului fracției înmulțite cu numărul natural, iar numitorul este egal cu numitorul fracției înmulțite.

Cu ajutorul literelor, regula de înmulțire a unei fracții a/b cu un număr natural n are forma .

Formula rezultă din formula de înmulțire a două fracții ordinare ale formei . Într-adevăr, reprezentând un număr natural ca o fracție cu numitorul 1, obținem .

Luați în considerare exemple de înmulțire a unei fracții cu un număr natural.

Înmulțiți fracția 2/27 cu 5.

Înmulțirea numărătorului 2 cu numărul 5 dă 10, prin urmare, în virtutea regulii de înmulțire a unei fracții cu un număr natural, produsul lui 2/27 cu 5 este egal cu fracția 10/27.

Întreaga soluție poate fi scrisă convenabil după cum urmează: .

Atunci când înmulțiți o fracție cu un număr natural, fracția rezultată trebuie adesea redusă și, dacă este și incorectă, atunci reprezentați-o ca un număr mixt.

Înmulțiți fracția 5/12 cu numărul 8.

Conform formulei de înmulțire a unei fracții cu un număr natural, avem . Evident, fracția rezultată este reductibilă (semnul divizibilității cu 2 indică divizorul comun 2 al numărătorului și numitorului). Să reducem fracția 40/12: deoarece LCM(40, 12)=4, atunci . Rămâne de selectat întreaga parte: .

Iata intreaga solutie: .

Rețineți că reducerea s-ar putea face prin înlocuirea numerelor din numărător și numitor cu expansiunile lor în factori primi. În acest caz, soluția ar arăta astfel:

În încheierea acestui paragraf, observăm că înmulțirea unei fracții cu un număr natural are o proprietate comutativă, adică produsul unei fracții cu un număr natural este egal cu produsul acestui număr natural cu o fracție: .

Înmulțiți trei sau mai multe fracții

Modul în care am definit fracțiile obișnuite și acțiunea de înmulțire cu acestea ne permite să afirmăm că toate proprietățile înmulțirii numerelor naturale se aplică înmulțirii fracțiilor.

Proprietățile comutative și asociative ale înmulțirii fac posibilă determinarea în mod unic înmulțirea a trei sau mai multe fracții și numere naturale. În acest caz, totul se întâmplă prin analogie cu înmulțirea a trei sau mai multe numere naturale. În special, fracțiile și numerele naturale din produs pot fi rearanjate pentru comoditatea calculului, iar în absența parantezelor care indică ordinea în care sunt efectuate acțiunile, putem aranja singuri parantezele în oricare dintre modurile permise.

Luați în considerare exemple de înmulțire a mai multor fracții și numere naturale.

Înmulțiți trei fracții comune 1/20, 12/5, 3/7 și 5/8.

Să scriem produsul pe care trebuie să-l calculăm . În virtutea regulii de înmulțire a fracțiilor, produsul scris este egal cu o fracție al cărei numărător este egal cu produsul numărătorilor tuturor fracțiilor, iar numitorul este produsul numitorilor: .

Înainte de a calcula produsele din numărător și numitor, este recomandabil să înlocuiți toți factorii prin expansiunile lor în factori primi și să reduceți (desigur, puteți reduce fracția după înmulțire, dar în multe cazuri acest lucru necesită mult efort de calcul): .

.

Înmulțiți cinci numere .

În acest produs, este convenabil să grupați fracția 7/8 cu numărul 8 și numărul 12 cu fracția 5/36, acest lucru va simplifica calculele, deoarece cu o astfel de grupare reducerea este evidentă. Noi avem
.

.

www.cleverstudents.ru

Popular:

• Când depuneți cererea la tribunalul districtual Dragi vizitatori ai site-ului! Departamentul Trezoreriei Federale pentru Sankt Petersburg (Interdistrict IFTS al Rusiei nr. 10 pentru Sankt Petersburg) NIF al autorității fiscale Numărul de cont al beneficiarului NORD-VEST […]
• Calculul taxei de stat pentru reducerea cuantumului pensiei alimentare Instanțele aderă la următoarea poziție: Taxa de stat se calculează din suma cu care se reduce cuantumul pensiei alimentare (din valoarea creanței). Un exemplu de calcul al valorii datoriei de stat față de instanță atunci când [...]
• Împărțirea fracțiilor zecimale, reguli, exemple, soluții. Continuăm să studiem acțiunile cu fracții zecimale, este timpul să vorbim despre împărțirea fracțiilor zecimale. Să începem cu principiile generale ale împărțirii zecimale. Mai departe […]
• Articolul 333.19 din Codul fiscal al Federației Ruse. Valoarea taxei de stat în cazurile examinate de Curtea Supremă a Federației Ruse, instanțele de jurisdicție generală, judecătorii de pace ST 333.19 din Codul Fiscal al Federației Ruse. 1. În cauzele în fața Curții Supreme […]
• Model de regulament privind comisia (autorizată) pentru asigurările sociale N 556a „Model de regulament privind comisia (autorizată) pentru asigurările sociale” APROBAT de președintele Fondului de asigurări sociale al Federației Ruse […]
• Detaliile pentru plata taxei de stat a Forțelor Armate ale Federației Ruse, precum și a Curții de Arbitraj din Moscova și a Curții de Arbitraj a Districtului Moscovei, s-au modificat. Noi detalii bancare pentru achitarea taxei de stat în cazurile aflate în discuție la Suprem. Curtea Federației Ruse, Curtea de Arbitraj a orașului Moscova și […]
• Un rezervor în foraj este o rocă cu porozitate și permeabilitate ridicate, care conține cantități recuperabile de petrol și gaze. Principalele caracteristici de clasificare ale rezervorului sunt condițiile de filtrare și acumulare în […]
• Grupul nostru din VK Obțineți o reducere la antrenament. Grăbește-te pentru a obține o reducere de 1000 de ruble! Inscrierea la o scoala de soferi Completeaza acest formular, te vom contacta si te invitam la cursuri. Bine ati venit! 1. Semne de avertizare Avertizare […]