Pe domeniul funcției de putere y = x p sunt valabile următoarele formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora

Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0 , atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este constantă, egală cu unu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...

Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... . Un astfel de indicator poate fi scris și ca: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, ... .

Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pentru x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 1, funcția este inversă față de ea însăși: x = y
pentru n ≠ 1, funcția inversă este o rădăcină de grad n:

Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu exponent natural par n = 2, 4, 6, ... . Un astfel de indicator poate fi scris și ca: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ... .

Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
pentru x ≤ 0 scade monoton
pentru x ≥ 0 crește monoton
Extreme: minim, x=0, y=0
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pentru x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 2, rădăcină pătrată:
pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:

Funcție de putere cu exponent negativ întreg, p = n = -1, -2, -3, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent întreg negativ n = -1, -2, -3, ... . Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ... .

Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ... .

Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0 : convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = -1,
pentru n< -2 ,

Exponent par, n = -2, -4, -6, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ... .

Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0 : monoton în scădere
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = -2,
pentru n< -2 ,

Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).

Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.

Numitorul indicatorului fracționar este impar

Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru valorile x pozitive cât și negative. Luați în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.

p este negativ, p< 0

Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ... ) mai mic decât zero: .

Grafice ale funcțiilor exponențiale cu un exponent negativ rațional pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.

Numător impar, n = -1, -3, -5, ...

Iată proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent negativ rațional , unde n = -1, -3, -5, ... este un întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.

Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y ≠ 0
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: scade monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0 : convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = -2, -4, -6, ...

Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent rațional negativ, unde n = -2, -4, -6, ... este un număr întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar .

Domeniu: x ≠ 0
Valori multiple: y > 0
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0 : monoton în scădere
Extreme: Nu
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Semn: y > 0
Limite:
; ; ;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:

Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numător impar, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: -∞ < x < +∞
Valori multiple: -∞ < y < +∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la x< 0 : выпукла вниз
pentru x > 0 : convex în sus
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = -1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = 2, 4, 6, ...

Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional , fiind în 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: -∞ < x < +∞
Valori multiple: 0 ≤ y< +∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 : монотонно убывает
pentru x > 0 : crescător monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în sus la x ≠ 0
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Semn: pentru x ≠ 0, y > 0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = 1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Exponentul p este mai mare decât unu, p > 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.

Numător impar, n = 5, 7, 9, ...

Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent rațional mai mare de unu: . Unde n = 5, 7, 9, ... este un număr natural impar, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.

Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: -∞ < y < ∞
Paritate: impar, y(-x) = - y(x)
Monoton: crește monoton
Extreme: Nu
Convex:
la -∞< x < 0 выпукла вверх
la 0< x < ∞ выпукла вниз
Puncte de întrerupere: x=0, y=0
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = -1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numător par, n = 4, 6, 8, ...

Proprietățile unei funcții de putere y = x p cu un exponent rațional mai mare de unu: . Unde n = 4, 6, 8, ... este un număr natural par, m = 3, 5, 7 ... este un număr natural impar.

Domeniu: -∞ < x < ∞
Valori multiple: 0 ≤ y< ∞
Paritate: par, y(-x) = y(x)
Monoton:
la x< 0 монотонно убывает
pentru x > 0 crește monoton
Extreme: minim la x = 0, y = 0
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
;
Valori private:
pentru x = -1, y(-1) = 1
pentru x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1
Funcția inversă:

Numitorul indicatorului fracționar este par

Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu cele ale unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).

Funcția de putere cu exponent irațional

Se consideră o funcție de putere y = x p cu un exponent irațional p . Proprietățile unor astfel de funcții diferă de cele considerate mai sus prin faptul că nu sunt definite pentru valorile negative ale argumentului x. Pentru valorile pozitive ale argumentului, proprietățile depind numai de valoarea exponentului p și nu depind de dacă p este întreg, rațional sau irațional.

y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.

Funcția de putere cu p. negativ< 0

Domeniu: x > 0
Valori multiple: y > 0
Monoton: scade monoton
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: Nu
Limite: ;
valoare privată: Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0

Indicatorul este mai mic de unu 0< p < 1

Domeniu: x ≥ 0
Valori multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în sus
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indicatorul este mai mare decât un p > 1

Domeniu: x ≥ 0
Valori multiple: y ≥ 0
Monoton: crește monoton
Convex: convex în jos
Puncte de întrerupere: Nu
Puncte de intersecție cu axele de coordonate: x=0, y=0
Limite:
Valori private: Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Vezi si:

Amintiți-vă proprietățile și graficele funcțiilor de putere cu un exponent întreg negativ.

Pentru n chiar:

Exemplu de funcție:

Toate graficele unor astfel de funcții trec prin două puncte fixe: (1;1), (-1;1). O caracteristică a funcțiilor de acest tip este paritatea lor, graficele sunt simetrice față de axa op-y.

Orez. 1. Graficul unei funcții

Pentru n impar:

Exemplu de funcție:

Toate graficele unor astfel de funcții trec prin două puncte fixe: (1;1), (-1;-1). O caracteristică a funcțiilor de acest tip este ciudățenia lor, graficele sunt simetrice față de origine.

Orez. 2. Graficul funcției

Să ne amintim definiția principală.

Gradul unui număr nenegativ a cu exponent rațional pozitiv se numește număr.

Gradul unui număr pozitiv a cu exponent rațional negativ se numește număr.

Pentru următoarea egalitate este valabilă:

De exemplu: ; - expresia nu există prin definiție a unui grad cu exponent rațional negativ; există, deoarece exponentul este un număr întreg,

Să ne întoarcem la considerarea funcțiilor de putere cu un exponent rațional negativ.

De exemplu:

Pentru a reprezenta această funcție, puteți face un tabel. Vom proceda altfel: în primul rând, vom construi și studiem graficul numitorului - îl știm (Figura 3).

Orez. 3. Graficul unei funcții

Graficul funcției numitor trece printr-un punct fix (1;1). Când se construiește un grafic al funcției originale, acest punct rămâne, când rădăcina tinde și ea spre zero, funcția tinde spre infinit. Și, invers, pe măsură ce x tinde spre infinit, funcția tinde spre zero (Figura 4).

Orez. 4. Graficul funcției

Luați în considerare încă o funcție din familia de funcții studiată.

Este important ca prin definitie

Se consideră graficul funcției la numitor: , cunoaștem graficul acestei funcții, ea crește în domeniul ei de definiție și trece prin punctul (1; 1) (Figura 5).

Orez. 5. Graficul funcției

La construirea unui grafic al funcției inițiale, punctul (1; 1) rămâne, când rădăcina tinde și ea spre zero, funcția tinde spre infinit. Și, invers, pe măsură ce x tinde spre infinit, funcția tinde spre zero (Figura 6).

Orez. 6. Graficul funcției

Exemplele luate în considerare ajută la înțelegerea modului în care merge graficul și care sunt proprietățile funcției studiate - o funcție cu un exponent rațional negativ.

Graficele funcțiilor acestei familii trec prin punctul (1;1), funcția scade pe întregul domeniu de definiție.

Domeniul de aplicare:

Funcția nu este mărginită de sus, ci mărginită de jos. Funcția nu are nici o valoare maximă, nici o valoare minimă.

Funcția este continuă, ia toate valorile pozitive de la zero la plus infinit.

Funcția convexă în jos (Figura 15.7)

Punctele A și B sunt luate pe curbă, un segment este trasat prin ele, întreaga curbă este sub segment, această condiție este îndeplinită pentru două puncte arbitrare de pe curbă, prin urmare funcția este convexă în jos. Orez. 7.

Orez. 7. Convexitatea unei funcții

Este important de înțeles că funcțiile acestei familii sunt mărginite de jos de zero, dar nu au cea mai mică valoare.

Exemplul 1 - găsiți maximul și minimul funcției pe interval și crește cuX si scade laX }