Exponentul este notat ca , sau .
e numărul
Baza gradului exponentului este e numărul. Acesta este un număr irațional. Este aproximativ egal
e ≈ 2,718281828459045...
Numărul e este determinat prin limita secvenței. Acest așa-zis a doua limită minunată:
.
De asemenea, numărul e poate fi reprezentat ca o serie:
.
Graficul expozantului
Graficul exponentului, y = e x .Graficul arată exponentul, e in masura X.
y (x) = e x
Graficul arată că exponentul crește monoton.
Formule
Formulele de bază sunt aceleași ca pentru funcția exponențială cu o bază de gradul e.
;
;
;
Exprimarea unei funcții exponențiale cu o bază arbitrară de gradul a prin exponent:
.
Valori private
Lasă y (x) = e x. Apoi
.
Proprietățile exponentului
Exponentul are proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază de grad e > 1 .
Domeniu de definiție, set de valori
Exponentul y (x) = e x definit pentru toate x .
Domeniul său de aplicare este:
- ∞ < x + ∞
.
Setul său de semnificații:
0
< y < + ∞
.
Extreme, crește, scade
Exponentul este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.
Funcție inversă
Reciproca exponentului este logaritmul natural.
;
.
Derivată a exponentului
Derivat e in masura X este egal cu e in masura X
:
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >
Integral
Numere complexe
Operațiile cu numere complexe se efectuează folosind Formule Euler:
,
unde este unitatea imaginară:
.
Expresii în termeni de funcții hiperbolice
;
;
.
Expresii în termeni de funcții trigonometrice
;
;
;
.
Extinderea seriei de putere
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Ce „inegalitate de pătrat”? Nu o întrebare!) Dacă iei orice ecuația pătratică și schimbați semnul din ea "=" (egal) cu orice pictogramă de inegalitate ( > ≥ < ≤ ≠ ), obținem o inegalitate pătratică. De exemplu:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
Ei bine, ai înțeles ideea...)
Am legat cu bună știință ecuații și inegalități aici. Cert este că primul pas în rezolvare orice inegalitatea pătratului - rezolvați ecuația din care se face această inegalitate. Din acest motiv - incapacitatea de a rezolva ecuațiile pătratice duce automat la o eșec complet al inegalităților. Sugestia este clară?) Dacă ceva, uită-te la cum să rezolvi orice ecuații pătratice. Totul este detaliat acolo. Și în această lecție ne vom ocupa de inegalități.
Inegalitatea gata de rezolvare are forma: stânga - trinom pătrat ax 2 +bx+c, în dreapta - zero. Semnul inegalității poate fi absolut orice. Primele două exemple sunt aici sunt gata pentru o decizie. Al treilea exemplu mai trebuie pregătit.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
A fost necesară compararea valorilor și cantităților în rezolvarea problemelor practice încă din cele mai vechi timpuri. În același timp, au apărut cuvinte precum mai mult și mai puțin, mai sus și mai jos, mai ușor și mai greu, mai liniștit și mai tare, mai ieftin și mai scump etc., denotând rezultatele comparării cantităților omogene.
Conceptele de mai mult și mai puțin au apărut în legătură cu numărarea obiectelor, măsurarea și compararea cantităților. De exemplu, matematicienii din Grecia antică știau că latura oricărui triunghi este mai mică decât suma celorlalte două laturi și că latura mai mare a triunghiului se află opusă unghiului mai mare. Arhimede, în timp ce calcula circumferința unui cerc, a descoperit că perimetrul oricărui cerc este egal cu de trei ori diametrul cu un exces care este mai mic de o șapte din diametru, dar mai mult de zece șaptezeci și unu din diametru.
Scrieți simbolic relațiile dintre numere și cantități folosind semnele > și b. Intrări în care două numere sunt legate printr-unul dintre semne: > (mai mare decât), Te-ai întâlnit și cu inegalități numerice în clasele elementare. Știți că inegalitățile pot fi adevărate sau nu. De exemplu, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) este o inegalitate numerică validă, 0,23 > 0,235 este o inegalitate numerică nevalidă.
Inegalitățile care includ necunoscute pot fi adevărate pentru unele valori ale necunoscutelor și false pentru altele. De exemplu, inegalitatea 2x+1>5 este adevărată pentru x = 3, dar falsă pentru x = -3. Pentru o inegalitate cu o necunoscută, puteți seta sarcina: rezolvați inegalitatea. Problemele de rezolvare a inegalităților în practică sunt puse și rezolvate nu mai puțin frecvent decât problemele de rezolvare a ecuațiilor. De exemplu, multe probleme economice se reduc la studiul și rezolvarea sistemelor de inegalități liniare. În multe ramuri ale matematicii, inegalitățile sunt mai frecvente decât ecuațiile.
Unele inegalități servesc ca singurul mijloc auxiliar pentru a demonstra sau infirma existența unui anumit obiect, de exemplu, rădăcina unei ecuații.
Inegalități numerice
Puteți compara numere întregi și zecimale. Cunoașteți regulile de comparare a fracțiilor obișnuite cu aceiași numitori, dar cu numărătoare diferiți; cu aceiași numărători dar numitori diferiți. Aici veți învăța cum să comparați oricare două numere găsind semnul diferenței lor.
Comparația numerelor este utilizată pe scară largă în practică. De exemplu, un economist compară indicatorii planificați cu cei reali, un medic compară temperatura unui pacient cu cea normală, un strunjător compară dimensiunile unei piese prelucrate cu un standard. În toate astfel de cazuri, unele numere sunt comparate. Ca rezultat al comparării numerelor, apar inegalități numerice.
Definiție. Numărul a este mai mare decât numărul b dacă diferența a-b este pozitivă. Numărul a este mai mic decât numărul b dacă diferența a-b este negativă.
Dacă a este mai mare decât b, atunci se scrie: a > b; dacă a este mai mic decât b, atunci se scrie: a Astfel, inegalitatea a > b înseamnă că diferența a - b este pozitivă, i.e. a - b > 0. Inegalitatea a Pentru oricare două numere a și b din următoarele trei relații a > b, a = b, a Teorema. Dacă a > b și b > c, atunci a > c.
Teorema. Dacă același număr este adăugat la ambele părți ale inegalității, atunci semnul inegalității nu se schimbă.
Consecinţă. Orice termen poate fi transferat dintr-o parte a inegalității în alta prin schimbarea semnului acestui termen în opus.
Teorema. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.
Consecinţă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.
Știți că egalitățile numerice pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen. În continuare, veți învăța cum să efectuați acțiuni similare cu inegalități. Capacitatea de a adăuga și de a multiplica inegalitățile termen cu termen este adesea folosită în practică. Aceste acțiuni vă ajută să rezolvați problemele de evaluare și comparare a valorilor expresiei.
Când se rezolvă diverse probleme, este adesea necesar să se adauge sau să se înmulțească termen cu termen părțile din stânga și din dreapta ale inegalităților. Se spune uneori că inegalitățile se adună sau se înmulțesc. De exemplu, dacă un turist a mers mai mult de 20 km în prima zi și mai mult de 25 km în a doua zi, atunci se poate argumenta că în două zile a mers mai mult de 45 km. În mod similar, dacă lungimea unui dreptunghi este mai mică de 13 cm și lățimea este mai mică de 5 cm, atunci se poate argumenta că aria acestui dreptunghi este mai mică de 65 cm2.
Luând în considerare aceste exemple, următoarele teoreme de adunare și înmulțire a inegalităților:
Teorema. Când adunăm inegalități de același semn, obținem o inegalitate de același semn: dacă a > b și c > d, atunci a + c > b + d.
Teorema. La înmulțirea inegalităților de același semn, pentru care părțile din stânga și din dreapta sunt pozitive, se obține o inegalitate de același semn: dacă a > b, c > d și a, b, c, d sunt numere pozitive, atunci ac > bd.
Inegalități cu semnul > (mai mare decât) și 1/2, 3/4 b, c Împreună cu inegalitățile stricte > și În același mod, inegalitatea \(a \geq b \) înseamnă că numărul a este mai mare decât sau egal cu b, adică nu mai mic de b.
Inegalitățile care conțin semnul \(\geq \) sau semnul \(\leq \) se numesc nestrict. De exemplu, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nu sunt inegalități stricte.
Toate proprietățile inegalităților stricte sunt valabile și pentru inegalitățile nestricte. Mai mult, dacă pentru inegalități stricte semnele > au fost considerate opuse și știi că pentru a rezolva o serie de probleme aplicate trebuie să întocmești un model matematic sub forma unei ecuații sau a unui sistem de ecuații. În plus, veți afla că modelele matematice pentru rezolvarea multor probleme sunt inegalități cu necunoscute. Vom introduce conceptul de rezolvare a unei inegalități și vom arăta cum să verificăm dacă un anumit număr este o soluție a unei anumite inegalități.
Inegalitățile de formă
\(ax > b, \quad ax unde a și b sunt date numere și x este necunoscut, este numit inegalități liniare cu o necunoscută.
Definiție. Soluția unei inegalități cu o necunoscută este valoarea necunoscutului pentru care această inegalitate se transformă într-o adevărată inegalitate numerică. A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate soluțiile ei sau a stabili că nu există.
Ați rezolvat ecuațiile reducându-le la cele mai simple ecuații. În mod similar, la rezolvarea inegalităților, se tinde să le reducă cu ajutorul proprietăților la forma celor mai simple inegalități.
Rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă
Inegalitățile de formă
\(ax^2+bx+c >0 \) și \(ax^2+bx+c unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere și \(a \neq 0 \) sunt numite inegalități de gradul doi cu o variabilă.
Rezolvarea inegalității
\(ax^2+bx+c >0 \) sau \(ax^2+bx+c \) pot fi considerate ca găsirea de goluri în care funcția \(y= ax^2+bx+c \) este pozitivă sau valori negative Pentru a face acest lucru, este suficient să analizați modul în care graficul funcției \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) este situat în planul de coordonate: unde sunt direcționate ramurile parabolei - în sus sau în jos , dacă parabola intersectează axa x și dacă se intersectează, atunci în ce puncte.
Algoritm pentru rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă:
1) aflați discriminantul trinomului pătrat \(ax^2+bx+c\) și aflați dacă trinomul are rădăcini;
2) dacă trinomul are rădăcini, atunci marcați-le pe axa x și trasați schematic o parabolă prin punctele marcate, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus la a > 0 sau în jos la a 0 sau în jos la a 3) găsiți goluri pe axa x pentru care parabolele punctelor sunt situate deasupra axei x (dacă rezolvă inegalitatea \(ax^2+bx+c >0 \)) sau sub axa x (dacă rezolvă inegalitatea
\(ax^2+bx+c Rezolvarea inegalităților prin metoda intervalelor
Luați în considerare funcția
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor. Zerourile funcției sunt numerele -2, 3, 5. Ele împart domeniul funcției în intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5). ) \) și \( (5; +\infty) \)
Să aflăm care sunt semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele indicate.
Expresia (x + 2)(x - 3)(x - 5) este produsul a trei factori. Semnul fiecăruia dintre acești factori în intervalele considerate este indicat în tabel:
În general, să fie dată funcția de formulă
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
unde x este o variabilă și x 1 , x 2 , ..., x n nu sunt numere egale. Numerele x 1 , x 2 , ..., x n sunt zerourile funcției. În fiecare dintre intervalele în care domeniul de definiție este împărțit la zerourile funcției, semnul funcției este păstrat, iar la trecerea prin zero, semnul acesteia se schimbă.
Această proprietate este folosită pentru a rezolva inegalitățile de formă
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) unde x 1 , x 2 , ..., x n nu sunt numere egale
Metodă considerată rezolvarea inegalităților se numește metoda intervalelor.
Să dăm exemple de rezolvare a inegalităților prin metoda intervalului.
Rezolvați inegalitatea:
\(x(0,5-x)(x+4) Evident, zerourile funcției f(x) = x(0,5-x)(x+4) sunt punctele \frac(1)(2) , \; x=-4 \)Reprezentăm zerourile funcției pe axa reală și calculăm semnul pe fiecare interval:
Selectăm acele intervale la care funcția este mai mică sau egală cu zero și notăm răspunsul.
Răspuns:
\(x \în \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Mai simplu spus, acestea sunt legume fierte în apă după o rețetă specială. Voi lua în considerare două componente inițiale (salata de legume și apă) și rezultatul final - borș. Geometric, acesta poate fi reprezentat ca un dreptunghi în care o parte desemnează salată verde, cealaltă parte desemnează apă. Suma acestor două laturi va desemna borș. Diagonala și aria unui astfel de dreptunghi „borș” sunt concepte pur matematice și nu sunt niciodată folosite în rețetele de borș.
Cum se transformă salata verde și apa în borș în ceea ce privește matematica? Cum se poate transforma suma a două segmente în trigonometrie? Pentru a înțelege acest lucru, avem nevoie de funcții unghiulare liniare.
Nu veți găsi nimic despre funcțiile unghiulare liniare în manualele de matematică. Dar fără ele nu poate exista matematică. Legile matematicii, ca și legile naturii, funcționează indiferent dacă știm că există sau nu.
Funcțiile unghiulare liniare sunt legile adunării. Vedeți cum algebra se transformă în geometrie și geometria se transformă în trigonometrie.
Este posibil să faci fără funcții unghiulare liniare? Poți, pentru că matematicienii încă se descurcă fără ele. Smecheria matematicienilor constă în faptul că ei ne vorbesc întotdeauna doar despre acele probleme pe care ei înșiși le pot rezolva, și niciodată nu ne vorbesc despre acele probleme pe care nu le pot rezolva. Vedea. Dacă știm rezultatul adunării și al unui termen, folosim scăderea pentru a găsi celălalt termen. Tot. Nu cunoaștem alte probleme și nu suntem capabili să le rezolvăm. Ce să facem dacă știm doar rezultatul adunării și nu știm ambii termeni? În acest caz, rezultatul adunării trebuie descompus în doi termeni folosind funcții unghiulare liniare. Mai mult, noi înșine alegem ce poate fi un termen, iar funcțiile unghiulare liniare arată care ar trebui să fie al doilea termen pentru ca rezultatul adunării să fie exact ceea ce avem nevoie. Pot exista un număr infinit de astfel de perechi de termeni. În viața de zi cu zi, ne descurcăm foarte bine fără a descompune suma; scăderea ne este suficientă. Dar în studiile științifice ale legilor naturii, extinderea sumei în termeni poate fi foarte utilă.
O altă lege a adunării despre care matematicienii nu le place să vorbească (un alt truc al lor) cere ca termenii să aibă aceeași unitate de măsură. Pentru salată verde, apă și borș, acestea pot fi unități de greutate, volum, cost sau unitate de măsură.
Figura arată două niveluri de diferență pentru matematică. Primul nivel este diferențele din domeniul numerelor, care sunt indicate A, b, c. Asta fac matematicienii. Al doilea nivel este diferențele în zona unităților de măsură, care sunt afișate între paranteze drepte și sunt indicate prin litera U. Asta fac fizicienii. Putem înțelege al treilea nivel - diferențele în domeniul de aplicare al obiectelor descrise. Obiecte diferite pot avea același număr de aceleași unități de măsură. Cât de important este acest lucru, putem vedea din exemplul trigonometriei borș. Dacă adăugăm indicele la aceeași notație pentru unitățile de măsură ale diferitelor obiecte, putem spune exact ce mărime matematică descrie un anumit obiect și cum se modifică acesta în timp sau în legătură cu acțiunile noastre. scrisoare W Voi marca apa cu litera S Voi marca salata cu litera B- borș. Iată cum ar arăta funcțiile unghiului liniar pentru borș.
Dacă luăm o parte din apă și o parte din salată, împreună se vor transforma într-o porție de borș. Aici iti propun sa faci o mica pauza de la bors si sa iti amintesti de copilaria ta indepartata. Îți amintești cum am fost învățați să punem iepurași și rațe împreună? A fost necesar să se afle câte animale vor ieși. Atunci ce am fost învățați să facem? Am fost învățați să separăm unitățile de numere și să adunăm numere. Da, orice număr poate fi adăugat oricărui alt număr. Aceasta este o cale directă către autismul matematicii moderne - nu înțelegem ce, nu este clar de ce și înțelegem foarte prost cum se leagă asta cu realitatea, din cauza celor trei niveluri de diferență, matematicienii operează doar pe unul. Va fi mai corect să înveți cum să treci de la o unitate de măsură la alta.
Și iepurașii, rațele și animalele mici pot fi numărate în bucăți. O unitate de măsură comună pentru diferite obiecte ne permite să le adunăm. Aceasta este o versiune a problemei pentru copii. Să ne uităm la o problemă similară pentru adulți. Ce primești când adaugi iepurași și bani? Există două soluții posibile aici.
Prima varianta. Determinăm valoarea de piață a iepurașilor și o adăugăm la numerarul disponibil. Am obținut valoarea totală a averii noastre în termeni de bani.
A doua varianta. Puteți adăuga numărul de iepurași la numărul de bancnote pe care le avem. Vom obține cantitatea de bunuri mobile în bucăți.
După cum puteți vedea, aceeași lege de adunare vă permite să obțineți rezultate diferite. Totul depinde de exact ce vrem să știm.
Dar să revenim la borșul nostru. Acum putem vedea ce se va întâmpla cu diferite valori ale unghiului funcțiilor unghiului liniar.
Unghiul este zero. Avem salată, dar fără apă. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este, de asemenea, zero. Asta nu înseamnă deloc că zero borș este egal cu zero apă. Borșul zero poate fi și la zero salată (unghi drept).
Pentru mine personal, aceasta este principala dovadă matematică a faptului că . Zero nu schimbă numărul atunci când este adăugat. Acest lucru se datorează faptului că adăugarea în sine este imposibilă dacă există un singur termen și lipsește al doilea termen. Vă puteți raporta la asta după cum doriți, dar amintiți-vă - toate operațiile matematice cu zero au fost inventate de matematicieni înșiși, așa că renunțați la logica și înghesuiți prostește definițiile inventate de matematicieni: „împărțirea cu zero este imposibilă”, „orice număr înmulțit cu zero”. este egal cu zero”, „în spatele punctului zero” și alte prostii. Este suficient să vă amintiți o dată că zero nu este un număr și nu veți avea niciodată o întrebare dacă zero este un număr natural sau nu, deoarece o astfel de întrebare pierde în general orice semnificație: cum se poate considera un număr ceea ce nu este un număr . Este ca și cum ai întreba ce culoare să-i atribui o culoare invizibilă. A adăuga zero la un număr este ca și cum ai picta cu vopsea care nu există. Au fluturat o pensulă uscată și spun tuturor că „am pictat”. Dar mă abatem puțin.
Unghiul este mai mare decât zero, dar mai mic de patruzeci și cinci de grade. Avem multă salată verde, dar puțină apă. Drept urmare, obținem un borș gros.
Unghiul este de patruzeci și cinci de grade. Avem cantități egale de apă și salată verde. Acesta este borșul perfect (fie ca bucătarii să mă ierte, e doar matematică).
Unghiul este mai mare de patruzeci și cinci de grade, dar mai mic de nouăzeci de grade. Avem multă apă și puțină salată verde. Luați borș lichid.
Unghi drept. Avem apă. Au rămas doar amintiri despre salată, în timp ce continuăm să măsurăm unghiul de la linia care a marcat cândva salata. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este zero. În acest caz, ține-te și bea apă cât este disponibilă)))
Aici. Ceva de genul. Pot spune și alte povești aici care vor fi mai mult decât potrivite aici.
Cei doi prieteni aveau cotele lor în afacerea comună. După uciderea unuia dintre ei, totul a mers către celălalt.
Apariția matematicii pe planeta noastră.
Toate aceste povești sunt spuse în limbajul matematicii folosind funcții unghiulare liniare. Altă dată vă voi arăta locul real al acestor funcții în structura matematicii. Între timp, să revenim la trigonometria borșului și să luăm în considerare proiecțiile.
Sâmbătă, 26 octombrie 2019
Am vizionat un videoclip interesant despre rândul lui Grandi Un minus unu plus unu minus unu - Numberphile. Matematicienii mint. Ei nu au efectuat un test de egalitate în raționamentul lor.
Acest lucru rezonează cu raționamentul meu despre .
Să aruncăm o privire mai atentă la semnele că matematicienii ne înșală. Chiar la începutul raționamentului, matematicienii spun că suma șirului DEPINE dacă numărul de elemente din ea este par sau nu. Acesta este un FAPT STABILIT OBIECTIV. Ce se întâmplă în continuare?
În continuare, matematicienii scad șirul din unitate. La ce duce asta? Acest lucru duce la o modificare a numărului de elemente din succesiune - un număr par se schimbă într-un număr impar, un număr impar se schimbă într-un număr par. La urma urmei, am adăugat un element egal cu unul la secvență. În ciuda tuturor asemănărilor externe, succesiunea de dinaintea transformării nu este egală cu succesiunea de după transformare. Chiar dacă vorbim despre o succesiune infinită, trebuie să ne amintim că o succesiune infinită cu un număr impar de elemente nu este egală cu o succesiune infinită cu un număr par de elemente.
Punând un semn egal între două secvențe diferite ca număr de elemente, matematicienii susțin că suma șirului NU DEPINE de numărul de elemente din șir, ceea ce contrazice un FAPT STABILIT OBIECTIV. Raționamentul suplimentar despre suma unei secvențe infinite este fals, deoarece se bazează pe o egalitate falsă.
Dacă vezi că matematicienii pun paranteze în cursul dovezilor, rearanjează elementele unei expresii matematice, adaugă sau elimină ceva, fii foarte atent, cel mai probabil încearcă să te înșele. Asemenea conjurătorilor de cărți, matematicienii vă distrag atenția cu diverse manipulări ale expresiei pentru a vă oferi în cele din urmă un rezultat fals. Dacă nu poți repeta șmecheria cărților fără să cunoști secretul înșelăciunii, atunci în matematică totul este mult mai simplu: nici măcar nu bănuiești nimic despre înșelăciune, dar repetarea tuturor manipulărilor cu o expresie matematică îți permite să-i convingi pe alții de corectitudinea rezultatului, la fel ca atunci când v-am convins.
Întrebare din partea publicului: Și infinitul (ca număr de elemente din secvența S), este par sau impar? Cum poți schimba paritatea a ceva care nu are paritate?
Infinitul pentru matematicieni este ca Împărăția Cerurilor pentru preoți - nimeni nu a fost vreodată acolo, dar toată lumea știe exact cum funcționează totul acolo))) Sunt de acord, după moarte vei fi absolut indiferent dacă ai trăit un număr par sau impar de zile , dar ... Adăugând doar o zi la începutul vieții tale, vom obține o persoană complet diferită: numele lui de familie, prenumele și patronimul sunt exact aceleași, doar data nașterii este complet diferită - el sa născut unul cu o zi înaintea ta.
Și acum la obiect))) Să presupunem că o secvență finită care are paritate pierde această paritate atunci când merge la infinit. Atunci orice segment finit al unei secvențe infinite trebuie să-și piardă și paritatea. Noi nu observăm acest lucru. Faptul că nu putem spune cu certitudine dacă numărul de elemente dintr-o succesiune infinită este par sau impar, nu înseamnă deloc că paritatea a dispărut. Paritatea, dacă există, nu poate dispărea în infinit fără urmă, ca în mâneca unei cărți ascuțite. Există o analogie foarte bună pentru acest caz.
L-ai întrebat vreodată pe cucul care stă în ceas în ce direcție se rotește acul ceasului? Pentru ea, săgeata se rotește în direcția opusă a ceea ce numim „în sensul acelor de ceasornic”. Poate suna paradoxal, dar direcția de rotație depinde numai de partea din care observăm rotația. Și așa, avem o roată care se rotește. Nu putem spune în ce direcție are loc rotația, deoarece o putem observa atât dintr-o parte a planului de rotație, cât și din cealaltă. Nu putem decât să depunem mărturie despre faptul că există rotație. Analogie completă cu paritatea unei secvențe infinite S.
Acum să adăugăm o a doua roată rotativă, al cărei plan de rotație este paralel cu planul de rotație al primei roți rotative. Încă nu putem spune exact în ce direcție se învârt aceste roți, dar putem spune cu o certitudine absolută dacă ambele roți se învârt în aceeași direcție sau în direcții opuse. Compararea a două secvențe infinite Sși 1-S, am arătat cu ajutorul matematicii că aceste secvențe au paritate diferită și punerea unui semn egal între ele este o greșeală. Personal, cred în matematică, nu am încredere în matematicieni))) Apropo, pentru a înțelege pe deplin geometria transformărilor unor secvențe infinite, este necesar să introducem conceptul "simultaneitate". Acesta va trebui desenat.
miercuri, 7 august 2019
Încheind conversația despre , trebuie să luăm în considerare un set infinit. A dat prin faptul că conceptul de „infinit” acționează asupra matematicienilor, ca un boa constrictor asupra unui iepure. Oroarea tremurătoare a infinitului îi privează pe matematicieni de bunul simț. Iată un exemplu:
Se află sursa originală. Alfa denotă un număr real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau un infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu un set infinit de numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi reprezentate după cum urmează:
Pentru a-și demonstra vizual cazul, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe dansurile șamanilor cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele camere nu sunt ocupate și în ele sunt instalați noi oaspeți, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Mutarea unui număr infinit de vizitatori necesită o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră de oaspeți, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat prost, dar acesta va fi deja din categoria „legea nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: adaptăm realitatea la teoriile matematice sau invers.
Ce este un „hotel infinit”? Un han infinit este un han care are întotdeauna orice număr de locuri libere, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă toate camerele din holul nesfârșit „pentru vizitatori” sunt ocupate, mai există un hol nesfârșit cu camere pentru „oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. În același timp, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii, pe de altă parte, nu sunt capabili să se îndepărteze de problemele banale de zi cu zi: Dumnezeu-Allah-Buddha este întotdeauna unul singur, hotelul este unul, coridorul este doar unul. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem cei neîmpinși”.
Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspundeți la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece noi înșine am inventat numerele, nu există numere în Natură. Da, Natura se pricepe la numărătoare, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. După cum crede Natura, vă voi spune altă dată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Luați în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine unui adevărat om de știință.
Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe un raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și nu există de unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problema. Putem lua o unitate din setul pe care l-am luat deja și o putem întoarce la raft. După aceea, putem lua o unitate de pe raft și o putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, obținem din nou un set infinit de numere naturale. Puteți scrie toate manipulările noastre astfel:
Am scris operațiile în notație algebrică și notație în teoria mulțimilor, enumerând elementele mulțimii în detaliu. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată doar dacă din el se scade unul și se adaugă aceeași unitate.
Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raft. Subliniez – DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce primim:
Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă o mulțime infinită este adăugată la o altă mulțime infinită, rezultatul este o nouă mulțime infinită constând din elementele primelor două mulțimi.
Setul de numere naturale este folosit pentru numărare în același mod ca o riglă pentru măsurători. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi deja o linie diferită, nu egală cu originalul.
Puteți să acceptați sau să nu acceptați raționamentul meu - aceasta este treaba voastră. Dar dacă te confrunți vreodată cu probleme de matematică, gândește-te dacă te afli pe calea raționamentului fals, călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, orele de matematică, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi ne adaugă abilități mentale (sau invers, ne privează de gândirea liberă).
pozg.ru
Duminică, 4 august 2019
Scriam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:
Citim: „... baza teoretică bogată a matematicii Babilonului nu avea un caracter holistic și s-a redus la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi”.
Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Este slab pentru noi să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am obținut următoarele:
Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu are un caracter holistic și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și bază de dovezi.
Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic un întreg ciclu de publicații celor mai evidente gafe ale matematicii moderne. Ne vedem în curând.
Sâmbătă, 3 august 2019
Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură, care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Luați în considerare un exemplu.
Să avem multe DAR format din patru persoane. Acest set este format pe baza de „oameni” Să desemnăm elementele acestui set prin scrisoare A, indicele cu un număr va indica numărul ordinal al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „caracteristica sexuală” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului DAR pe gen b. Observați că setul nostru „oameni” a devenit acum setul „oameni cu gen”. După aceea, putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bm si de femei bw caracteristici de gen. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care este bărbat sau femeie. Dacă este prezent la o persoană, atunci îl înmulțim cu unul, dacă nu există un astfel de semn, îl înmulțim cu zero. Și apoi aplicăm matematica obișnuită a școlii. Vezi ce sa întâmplat.
După înmulțire, reduceri și rearanjamente, am obținut două submulțimi: submulțimea masculină bmși un subgrup de femei bw. Aproximativ în același mod în care matematicienii raționează atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne lasă să intrăm în detalii, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni sunt formați dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare, cât de corect a aplicat matematica în transformările de mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că de fapt transformările sunt făcute corect, este suficient să cunoașteți justificarea matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor secțiuni ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.
În ceea ce privește superseturile, este posibil să combinați două mulțimi într-un singur superset, alegând o unitate de măsură care este prezentă în elementele acestor două mulțimi.
După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac ca teoria mulțimilor să devină un lucru din trecut. Un semn că nu totul este în regulă cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au făcut ceea ce şamanii au făcut cândva. Doar șamanii știu să-și aplice „corect” „cunoștințele”. Această „cunoaștere” ne-o învață.
În concluzie, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii
Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... în studiul problemei au fost implicate analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice. ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.
Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până la o oprire completă în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel precedent. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limbajul lui Zeno, arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă la problemă. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina deplasarea mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite de timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (desigur, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta) . Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.
Voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solid roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Așa se hrănește șamanii legându-și teoria seturilor de realitate.
Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid într-un coș cu fundă” și să unim aceste „întregi” după culoare, selectând elemente roșii. Avem mult „roșu”. Acum o întrebare dificilă: seturile primite „cu fundă” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa să fie.
Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „coșuri roșii solide cu fundă”. Formarea a avut loc după patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (în coș), decorațiuni (cu fundă). Doar un set de unități de măsură face posibilă descrierea adecvată a obiectelor reale în limbajul matematicii. Iată cum arată.
Litera „a” cu indici diferiți denotă unități de măsură diferite. În paranteze sunt evidențiate unități de măsură, conform cărora „întregul” este alocat în etapa preliminară. Unitatea de măsură, conform căreia se formează setul, este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități de măsură pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansurile șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând cu „evidență”, deoarece unitățile de măsură nu sunt incluse în arsenalul lor „științific”.
Cu ajutorul unităților de măsură, este foarte ușor să împărțiți unul sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă la algebra acestui proces.
