Se pot observa o serie de rezultate inerente acestei acțiuni. Aceste rezultate sunt numite proprietățile adunării numerelor naturale. În acest articol, vom analiza în detaliu proprietățile adunării numerelor naturale, le vom scrie folosind litere și vom oferi exemple explicative.

Navigare în pagină.

Proprietatea asociativă a adunării numerelor naturale.

Acum dăm un exemplu care ilustrează proprietatea asociativă a adunării numerelor naturale.

Imaginează-ți o situație: 1 măr a căzut din primul măr, iar 2 mere și încă 4 mere au căzut din al doilea măr. Acum luați în considerare următoarea situație: 1 măr și încă 2 mere au căzut din primul măr și 4 mere au căzut din al doilea măr. Este clar că același număr de mere va fi pe pământ atât în ​​primul, cât și în al doilea caz (ceea ce poate fi verificat prin recalculare). Adică, rezultatul adunării numărului 1 la suma numerelor 2 și 4 este egal cu rezultatul adunării sumei numerelor 1 și 2 la numărul 4.

Exemplul luat în considerare ne permite să formulăm proprietatea asociativă a adunării numerelor naturale: pentru a adăuga o sumă dată de două numere la un număr dat, puteți adăuga primul termen al acestei sume la acest număr și adăugați al doilea termen de această sumă la rezultatul obținut. Această proprietate poate fi scrisă folosind litere ca aceasta: a+(b+c)=(a+b)+c, unde a , b și c sunt numere naturale arbitrare.

Vă rugăm să rețineți că în egalitatea a+(b+c)=(a+b)+c există paranteze „(” și „)”. Parantezele sunt folosite în expresii pentru a indica ordinea în care sunt efectuate acțiunile - acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi (mai multe despre aceasta în secțiune). Cu alte cuvinte, parantezele includ expresii ale căror valori sunt evaluate mai întâi.

În încheierea acestui paragraf, observăm că proprietatea asociativă a adunării ne permite să determinăm în mod unic adunarea a trei, patru și mai multe numere naturale.

Proprietatea de a adăuga zero și un număr natural, proprietatea de a adăuga zero la zero.

Știm că zero NU este un număr natural. Deci, de ce am decis să luăm în considerare proprietatea de adunare a lui zero și a unui număr natural în acest articol? Există trei motive pentru aceasta. În primul rând: această proprietate este folosită atunci când se adună numere naturale într-o coloană. În al doilea rând: această proprietate este folosită la scăderea numerelor naturale. În al treilea rând: dacă considerăm că zero înseamnă absența a ceva, atunci sensul adunării zero și a unui număr natural coincide cu sensul adunării a două numere naturale.

Să realizăm raționamentul care ne va ajuta să formulăm proprietatea de adunare a lui zero și a unui număr natural. Imaginați-vă că nu există articole în cutie (cu alte cuvinte, există 0 articole în cutie) și că un element este plasat în ea, unde a este orice număr natural. Adică, a adăugat 0 și un item. Este clar că după această acțiune există articole în cutie. Prin urmare, egalitatea 0+a=a este adevărată.

În mod similar, dacă o cutie conține un articol și 0 articole sunt adăugate la ea (adică nu sunt adăugate articole), atunci după această acțiune, un articol va fi în cutie. Deci a+0=a .

Acum putem afirma proprietatea de adunare a lui zero și a unui număr natural: suma a două numere, dintre care unul este zero, este egală cu al doilea număr. Matematic, această proprietate poate fi scrisă ca următoarea egalitate: 0+a=a sau a+0=a, unde a este un număr natural arbitrar.

Separat, acordăm atenție faptului că la adunarea unui număr natural și zero, proprietatea comutativă a adunării rămâne adevărată, adică a+0=0+a .

În cele din urmă, formulăm proprietatea de adăugare zero-zero (este destul de evidentă și nu necesită comentarii suplimentare): suma a două numere care sunt fiecare zero este zero. adica 0+0=0 .

Acum este timpul să ne dăm seama cum se realizează adunarea numerelor naturale.

Bibliografie.

• Matematică. Orice manuale pentru clasele 1, 2, 3, 4 ale instituțiilor de învățământ.
• Matematică. Orice manuale pentru 5 clase de instituții de învățământ.

Subiectul căruia îi este dedicată această lecție este „Proprietățile adunării”. În acesta, vă veți familiariza cu proprietățile comutative și asociative ale adunării, examinându-le cu exemple specifice. Aflați când le puteți utiliza pentru a ușura procesul de calcul. Cazurile de testare vă vor ajuta să determinați cât de bine ați învățat materialul.

Lecția: Proprietăți de adăugare

Aruncă o privire atentă la expresia:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Trebuie să-i găsim valoarea. S-o facem.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Rezultatul expresiei 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Spune-mi, a fost convenabil să calculezi? Calcularea nu a fost foarte convenabilă. Privește din nou numerele din această expresie. Este posibil să le schimbați astfel încât calculele să fie mai convenabile?

Dacă rearanjam numerele diferit:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Rezultatul final al expresiei este 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vedem că rezultatele expresiilor sunt aceleași.

Termenii pot fi interschimbați dacă este convenabil pentru calcule, iar valoarea sumei nu se va schimba de la aceasta.

Există o lege în matematică: Legea comutativă a adunării. Se spune că suma nu se modifică din rearanjarea termenilor.

Unchiul Fiodor și Sharik s-au certat. Sharik a găsit valoarea expresiei așa cum a fost scrisă, iar unchiul Fiodor a spus că știe un alt mod mai convenabil de a calcula. Vedeți o modalitate mai convenabilă de a calcula?

Mingea a rezolvat expresia așa cum este scrisă. Iar unchiul Fiodor a spus că știe legea care vă permite să schimbați termenii și a schimbat numerele 25 și 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Vedem că rezultatul rămâne același, dar calculul a devenit mult mai ușor.

Privește următoarele expresii și citește-le.

6 + (24 + 51) = 81 (la 6 se adaugă suma 24 și 51)
Există o modalitate convenabilă de a calcula?
Vedem că dacă adunăm 6 și 24, obținem un număr rotund. Este întotdeauna mai ușor să adăugați ceva la un număr rotund. Luați între paranteze suma numerelor 6 și 24.
(6 + 24) + 51 = …
(adăugați 51 la suma numerelor 6 și 24)

Să calculăm valoarea expresiei și să vedem dacă valoarea expresiei s-a schimbat?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Vedem că valoarea expresiei rămâne aceeași.

Să exersăm cu încă un exemplu.

(27 + 19) + 1 = 47 (adăugați 1 la suma numerelor 27 și 19)
Ce numere pot fi grupate convenabil în așa fel încât să se obțină un mod convenabil?
Ai ghicit că acestea sunt numerele 19 și 1. Să luăm suma numerelor 19 și 1 dintre paranteze.
27 + (19 + 1) = …
(la 27 se adaugă suma numerelor 19 și 1)
Să găsim valoarea acestei expresii. Ne amintim că acțiunea din paranteze este executată mai întâi.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Sensul expresiei noastre rămâne același.

Legea asociativă a adunării: doi termeni alăturați pot fi înlocuiți cu suma lor.

Acum să exersăm folosind ambele legi. Trebuie să calculăm valoarea expresiei:

38 + 14 + 2 + 6 = …

În primul rând, folosim proprietatea comutativă a adunării, care ne permite să schimbăm termeni. Să schimbăm termenii 14 și 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Acum folosim proprietatea asociativă, care ne permite să înlocuim doi termeni vecini cu suma lor.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

În primul rând, aflăm valoarea sumei 38 și 2.

Acum suma este 14 și 6.

3. Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ().

face acasa

1. Calculați suma termenilor în diferite moduri:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Calculați rezultatele expresiilor:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Calculați suma într-un mod convenabil:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Asa de, în general, scăderea numerelor naturale NU are proprietatea comutativă. Să scriem această afirmație cu litere. Dacă a și b sunt numere naturale inegale, atunci a−b≠b−a. De exemplu, 45−21≠21−45 .

Proprietatea de a scădea suma a două numere dintr-un număr natural.

Următoarea proprietate este legată de scăderea sumei a două numere dintr-un număr natural. Să ne uităm la un exemplu care ne va oferi o înțelegere a acestei proprietăți.

Imaginează-ți că avem 7 monede în mâini. Ne hotărâm mai întâi să păstrăm 2 monede, dar crezând că acest lucru nu va fi suficient, decidem să mai economisim o monedă. Pe baza semnificației adunării numerelor naturale, se poate argumenta că în acest caz am decis să salvăm numărul de monede, care este determinat de suma 2 + 1. Deci, luăm două monede, le adăugăm o altă monedă și le punem într-o pușculiță. În acest caz, numărul de monede rămase în mâinile noastre este determinat de diferența 7−(2+1) .

Acum să ne imaginăm că avem 7 monede și punem 2 monede în pușculiță, iar după aceea - o altă monedă. Din punct de vedere matematic, acest proces este descris prin următoarea expresie numerică: (7−2)−1 .

Dacă numărăm monedele care rămân în mâini, atunci în primul și al doilea caz avem 4 monede. Adică 7−(2+1)=4 și (7−2)−1=4 , deci 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Exemplul luat în considerare ne permite să formulăm proprietatea de a scădea suma a două numere dintr-un număr natural dat. A scădea dintr-un număr natural dat o sumă dată a două numere naturale este același lucru cu scăderea primului termen al acestei sume dintr-un număr natural dat și apoi scăderea celui de-al doilea termen din diferența rezultată.

Amintiți-vă că am dat sens scăderii numerelor naturale numai în cazul în care minuendul este mai mare decât subtraend sau egal cu acesta. Prin urmare, putem scădea o sumă dată dintr-un număr natural dat numai dacă această sumă nu este mai mare decât numărul natural care se reduce. Rețineți că în această condiție, fiecare dintre termeni nu depășește numărul natural din care se scade suma.

Folosind litere, proprietatea de a scădea suma a două numere dintr-un număr natural dat se scrie ca o egalitate a−(b+c)=(a−b)−c, unde a , b și c sunt niște numere naturale, iar condițiile a>b+c sau a=b+c sunt îndeplinite.

Proprietatea luată în considerare, precum și proprietatea asociativă de adunare a numerelor naturale, vă permit să scădeți suma a trei sau mai multe numere dintr-un număr natural dat.

Proprietatea de a scădea un număr natural din suma a două numere.

Trecem la următoarea proprietate, care este legată de scăderea unui număr natural dat dintr-o sumă dată a două numere naturale. Luați în considerare exemple care ne vor ajuta să „vedem” această proprietate de a scădea un număr natural din suma a două numere.

Să presupunem că avem 3 bomboane în primul buzunar și 5 bomboane în al doilea și trebuie să dăm 2 bomboane. Putem face acest lucru în moduri diferite. Să le luăm pe rând.

Mai întâi, putem pune toate bomboanele într-un singur buzunar, apoi scoatem 2 bomboane de acolo și le dăm. Să descriem aceste acțiuni matematic. După ce punem bomboanele într-un buzunar, numărul lor va fi determinat de suma 3 + 5. Acum, din numărul total de bomboane, vom oferi 2 bomboane, în timp ce numărul rămas de bomboane pe care îl avem va fi determinat de următoarea diferență (3+5)−2 .

În al doilea rând, putem da 2 bomboane scoțându-le din primul buzunar. În acest caz, diferența 3−2 determină numărul de bomboane rămase în primul buzunar, iar numărul total de bomboane rămase va fi determinat de suma (3−2)+5 .

În al treilea rând, putem oferi 2 bomboane din al doilea buzunar. Apoi diferența 5−2 va corespunde numărului de bomboane rămase în al doilea buzunar, iar numărul total de bomboane rămase va fi determinat de suma 3+(5−2) .

Este clar că în toate cazurile vom avea același număr de dulciuri. Prin urmare, sunt valabile egalitățile (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2).

Dacă ar trebui să dăm nu 2, ci 4 bomboane, atunci am putea face asta în două moduri. Mai întâi, dă 4 bomboane, punându-le anterior pe toate într-un buzunar. În acest caz, numărul rămas de dulciuri este determinat de o expresie ca (3+5)−4 . În al doilea rând, am putea da 4 bomboane din al doilea buzunar. În acest caz, numărul total de bomboane dă următoarea sumă 3+(5−4) . Este clar că în primul și al doilea caz vom avea același număr de dulciuri, prin urmare, egalitatea (3+5)−4=3+(5−4) este adevărată.

După analizarea rezultatelor obținute prin rezolvarea exemplelor anterioare, putem formula proprietatea de a scădea un număr natural dat dintr-o sumă dată de două numere. Scăderea unui număr natural dat dintr-o sumă dată de două numere este la fel cu scăderea unui număr dat dintr-unul dintre termeni și apoi adăugarea diferenței rezultate și a unui alt termen. Trebuie remarcat faptul că numărul scăzut NU trebuie să fie mai mare decât termenul din care se scade acest număr.

Să scriem proprietatea de a scădea un număr natural dintr-o sumă folosind litere. Fie a, b și c niște numere naturale. Atunci, cu condiția ca a să fie mai mare sau egal cu c, atunci egalitatea (a+b)−c=(a−c)+b, iar cu condiția ca b este mai mare sau egal cu c , egalitatea (a+b)−c=a+(b−c). Dacă ambele a și b sunt mai mari sau egale cu c, atunci ambele ultime egalități sunt adevărate și pot fi scrise după cum urmează: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

Prin analogie, se poate formula proprietatea de a scădea un număr natural din suma a trei sau mai multe numere. În acest caz, acest număr natural poate fi scăzut din orice termen (desigur, dacă este mai mare sau egal cu numărul care se scade), iar termenii rămași pot fi adăugați la diferența rezultată.

Pentru a vizualiza proprietatea vocală, ne putem imagina că avem multe buzunare și conțin dulciuri. Să presupunem că trebuie să dăm 1 bomboană. Este clar că putem da 1 bomboană din orice buzunar. În același timp, nu contează din ce buzunar îl dăm, deoarece acest lucru nu afectează numărul de dulciuri care ne-au rămas.

Să luăm un exemplu. Fie a , b , c și d niște numere naturale. Dacă a>d sau a=d , atunci diferența (a+b+c)−d este egală cu suma lui (a−d)+b+c . Dacă b>d sau b=d , atunci (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Dacă c>d sau c=d , atunci egalitatea (a+b+c)−d=a+b+(c−d) este adevărată.

Trebuie remarcat că proprietatea de a scădea un număr natural din suma a trei sau mai multe numere nu este o proprietate nouă, deoarece rezultă din proprietățile adunării numerelor naturale și proprietatea de a scădea un număr din suma a două numere.

Bibliografie.

• Matematică. Orice manuale pentru clasele 1, 2, 3, 4 ale instituțiilor de învățământ.
• Matematică. Orice manuale pentru 5 clase de instituții de învățământ.