Logaritmii, ca orice număr, pot fi adunați, scăzuți și convertiți în orice mod posibil. Dar, deoarece logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici există reguli care sunt numite proprietăți de bază.
Aceste reguli trebuie cunoscute - nicio problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - totul poate fi învățat într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.
Adunarea și scăderea logaritmilor
Luați în considerare doi logaritmi cu aceeași bază: log A Xși log A y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:
- Buturuga A X+jurnal A y= jurnal A (X · y);
- Buturuga A X−log A y= jurnal A (X : y).
Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este - aceleași temeiuri. Dacă bazele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!
Aceste formule vă vor ajuta să calculați expresia logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:
log 6 4 + log 6 9.
Deoarece bazele logaritmilor sunt aceleași, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.
Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.
Din nou, bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt considerați separat. Dar după transformări apar numere destul de normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, control - expresii similare cu toată seriozitatea (uneori - practic fără modificări) sunt oferite la examen.
Eliminarea exponentului din logaritm
Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă există un grad în baza sau argumentul logaritmului? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:
Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.
Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă logaritmul ODZ: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Si inca ceva: invata sa aplici toate formulele nu numai de la stanga la dreapta, ci si invers, i.e. puteți introduce numerele dinaintea semnului logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .
Să scăpăm de gradul din argument conform primei formule:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Sarcină. Aflați valoarea expresiei:
[Figura]
Rețineți că numitorul este un logaritm a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Noi avem:
[Figura] Cred că ultimul exemplu trebuie clarificat. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment, lucrăm doar cu numitorul. Ei au prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de grade și au scos indicatorii - au obținut o fracțiune „cu trei etaje”.
Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul au același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce a fost făcut. Rezultatul este răspunsul: 2.
Trecerea la o nouă fundație
Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Dacă bazele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?
Formulele pentru tranziția către o nouă bază vin în ajutor. Le formulăm sub forma unei teoreme:
Lăsați logaritmul să se înregistreze A X. Apoi pentru orice număr c astfel încât c> 0 și c≠ 1, egalitatea este adevărată:
[Figura]
În special, dacă punem c = X, primim:
[Figura]
Din a doua formulă rezultă că este posibil să se schimbe baza și argumentul logaritmului, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, i.e. logaritmul este la numitor.
Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea doar atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.
Cu toate acestea, există sarcini care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să luăm în considerare câteva dintre acestea:
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.
Rețineți că argumentele ambilor logaritmi sunt exponenți exacti. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Acum să inversăm al doilea logaritm:
[Figura]Deoarece produsul nu se schimbă din permutarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi am dat seama de logaritmi.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.
Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să-l notăm și să scăpăm de indicatorii:
[Figura]Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:
[Figura]Identitatea logaritmică de bază
Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, formulele ne vor ajuta:
În primul caz, numărul n devine exponentul argumentului. Număr n poate fi absolut orice, pentru că este doar valoarea logaritmului.
A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Se numește identitatea logaritmică de bază.
Într-adevăr, ce se va întâmpla dacă numărul b ridică la putere astfel încât bîn această măsură dă un număr A? Așa este: acesta este același număr A. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni „atârnă” de el.
La fel ca noile formule de conversie de bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.
Sarcină. Aflați valoarea expresiei:
[Figura]
Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - tocmai a scos pătratul de la bază și argumentul logaritmului. Având în vedere regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:
[Figura]Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examen :)
Unitate logaritmică și zero logaritmic
În concluzie, voi da două identități care sunt greu de numit proprietăți - mai degrabă, acestea sunt consecințe din definiția logaritmului. Se găsesc constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și elevilor „avansați”.
- Buturuga A A= 1 este unitatea logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritmul oricărei baze A din această bază în sine este egală cu unu.
- Buturuga A 1 = 0 este zero logaritmic. Baza A poate fi orice, dar dacă argumentul este unul, logaritmul este zero! deoarece A 0 = 1 este o consecință directă a definiției.
Acestea sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat sheet la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.
Interval acceptabil (ODZ) al logaritmului
Acum să vorbim despre restricții (ODZ - zona valorilor admisibile ale variabilelor).
Ne amintim că, de exemplu, rădăcina pătrată nu poate fi luată din numere negative; sau dacă avem o fracție, atunci numitorul nu poate fi egal cu zero. Există restricții similare pentru logaritmi:
Adică, atât argumentul, cât și baza trebuie să fie mai mari decât zero, iar baza nu poate fi egală.
De ce este asta?
Să începem simplu: să spunem asta. Atunci, de exemplu, numărul nu există, deoarece indiferent de gradul pe care îl ridicăm, se dovedește întotdeauna. Mai mult, nu există pentru niciuna. Dar, în același timp, poate fi egal cu orice (din același motiv - este egal cu orice grad). Prin urmare, obiectul nu prezintă interes și a fost pur și simplu aruncat din matematică.
Avem o problemă similară în cazul: în orice grad pozitiv - aceasta, dar nu poate fi ridicată deloc la o putere negativă, deoarece va rezulta împărțirea la zero (vă reamintesc că).
Când ne confruntăm cu problema ridicării la o putere fracțională (care este reprezentată ca rădăcină:. De exemplu, (adică), dar nu există.
Prin urmare, motivele negative sunt mai ușor de aruncat decât de a le pune în joc.
Ei bine, deoarece baza a este doar pozitivă pentru noi, atunci indiferent de gradul în care o ridicăm, vom obține întotdeauna un număr strict pozitiv. Deci argumentul trebuie să fie pozitiv. De exemplu, nu există, deoarece nu va fi un număr negativ în nicio măsură (și chiar zero, prin urmare nici nu există).
În problemele cu logaritmii, primul pas este să scrieți ODZ. Voi da un exemplu:
Să rezolvăm ecuația.
Amintiți-vă definiția: logaritmul este puterea la care trebuie ridicată baza pentru a obține un argument. Și după condiție, acest grad este egal cu: .
Obținem ecuația pătratică obișnuită: . O rezolvăm folosind teorema Vieta: suma rădăcinilor este egală, iar produsul. Ușor de ridicat, acestea sunt numere și.
Dar dacă iei și notezi imediat ambele numere în răspuns, poți obține 0 puncte pentru sarcină. De ce? Să ne gândim ce se întâmplă dacă înlocuim aceste rădăcini în ecuația inițială?
Acest lucru este în mod clar fals, deoarece baza nu poate fi negativă, adică rădăcina este „terț”.
Pentru a evita astfel de trucuri neplăcute, trebuie să notați ODZ chiar înainte de a începe să rezolvați ecuația:
Apoi, după ce am primit rădăcinile și, aruncăm imediat rădăcina și scriem răspunsul corect.
Exemplul 1(incearca sa rezolvi singur) :
Găsiți rădăcina ecuației. Dacă există mai multe rădăcini, indicați-o pe cea mai mică în răspuns.
Decizie:
Mai întâi de toate, să scriem ODZ:
Acum ne amintim ce este un logaritm: la ce putere trebuie să ridici baza pentru a obține un argument? In secunda. adica:
S-ar părea că rădăcina mai mică este egală. Dar nu este așa: conform ODZ, rădăcina este terță parte, adică nu este deloc rădăcina acestei ecuații. Astfel, ecuația are o singură rădăcină: .
Răspuns: .
Identitatea logaritmică de bază
Amintiți-vă definiția unui logaritm în termeni generali:
Înlocuiți în a doua egalitate în loc de logaritm:
Această egalitate se numește identitate logaritmică de bază. Deși, în esență, această egalitate este doar scrisă diferit definirea logaritmului:
Aceasta este puterea la care trebuie să o ridici pentru a ajunge.
De exemplu:
Rezolvați următoarele exemple:
Exemplul 2
Găsiți valoarea expresiei.
Decizie:
Amintiți-vă regula din secțiune: adică atunci când creșteți un grad la o putere, indicatorii sunt înmulțiți. Să-l aplicăm:
Exemplul 3
Demonstrează asta.
Decizie:
Proprietățile logaritmilor
Din păcate, sarcinile nu sunt întotdeauna atât de simple - adesea trebuie mai întâi să simplificați expresia, să o aduceți la forma obișnuită și numai atunci va fi posibil să calculați valoarea. Este cel mai ușor să faci asta știind proprietățile logaritmilor. Deci, să învățăm proprietățile de bază ale logaritmilor. Voi demonstra fiecare dintre ele, pentru că orice regulă este mai ușor de reținut dacă știi de unde vine.
Toate aceste proprietăți trebuie reținute; fără ele, majoritatea problemelor cu logaritmii nu pot fi rezolvate.
Și acum despre toate proprietățile logaritmilor în detaliu.
Proprietatea 1:
Dovada:
Lasă, atunci.
Avem: , h.t.d.
Proprietatea 2: Suma logaritmilor
Suma logaritmilor cu aceeași bază este egală cu logaritmul produsului: .
Dovada:
Lasă, atunci. Lasă, atunci.
Exemplu: Aflați valoarea expresiei: .
Decizie: .
Formula pe care tocmai ai învățat-o ajută la simplificarea sumei logaritmilor, nu a diferenței, astfel încât acești logaritmi să nu poată fi combinați imediat. Dar puteți face opusul - „spărgeți” primul logaritm în două: Și iată simplificarea promisă:
.
De ce este nevoie de asta? Ei bine, de exemplu: ce contează?
Acum este evident că.
Acum ușurează-ți:
Sarcini:
Raspunsuri:
Proprietatea 3: Diferența de logaritmi:
Dovada:
Totul este exact la fel ca în paragraful 2:
Lasă, atunci.
Lasă, atunci. Noi avem:
Exemplul din ultimul punct este acum și mai simplu:
Exemplu mai complicat: . Ghiciți cum să decideți?
Aici trebuie remarcat faptul că nu avem o singură formulă despre logaritmi la pătrat. Aceasta este ceva asemănător cu o expresie - aceasta nu poate fi simplificată imediat.
Prin urmare, să ne îndepărtam de formulele despre logaritmi și să ne gândim la ce formule folosim în general în matematică cel mai des? Încă din clasa a VII-a!
Aceasta este - . Trebuie să te obișnuiești cu faptul că sunt peste tot! Și în exponențial, și în trigonometric și în probleme iraționale, se găsesc. Prin urmare, ele trebuie amintite.
Dacă te uiți cu atenție la primii doi termeni, devine clar că așa este diferența de pătrate:
Răspuns pentru a verifica:
Simplificați-vă.
Exemple
Răspunsuri.
Proprietatea 4: Derivarea exponentului din argumentul logaritmului:
Dovada:Și aici folosim și definiția logaritmului: let, then. Avem: , h.t.d.
Puteți înțelege această regulă astfel:
Adică, gradul argumentului este luat înainte de logaritm, ca coeficient.
Exemplu: Găsiți valoarea expresiei.
Decizie: .
Decide pentru tine:
Exemple:
Raspunsuri:
Proprietatea 5: Derivarea exponentului de la baza logaritmului:
Dovada: Lasă, atunci.
Avem: , h.t.d.
Amintiți-vă: de la temeiuri gradul este redat ca verso număr, spre deosebire de cazul precedent!
Proprietatea 6: Derivarea exponentului de la bază și argumentul logaritmului:
Sau dacă gradele sunt aceleași: .
Proprietatea 7: Tranziția la noua bază:
Dovada: Lasă, atunci.
Avem: , h.t.d.
Proprietatea 8: Schimbarea bazei și a argumentului logaritmului:
Dovada: Acesta este un caz special al formulei 7: dacă înlocuim, obținem: , p.t.d.
Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.
Exemplul 4
Găsiți valoarea expresiei.
Folosim proprietatea logaritmilor nr. 2 - suma logaritmilor cu aceeași bază este egală cu logaritmul produsului:
Exemplul 5
Găsiți valoarea expresiei.
Decizie:
Folosim proprietatea logaritmilor nr. 3 și nr. 4:
Exemplul 6
Găsiți valoarea expresiei.
Decizie:
Folosind proprietatea numărul 7 - mergeți la baza 2:
Exemplul 7
Găsiți valoarea expresiei.
Decizie:
Cum iti place articolul?
Dacă citiți aceste rânduri, atunci ați citit întreg articolul.
Și e tare!
Acum spune-ne cum ți se pare articolul?
Ai învățat să rezolvi logaritmi? Dacă nu, care este problema?
Scrie-ne în comentariile de mai jos.
Și da, mult succes la examene.
La Unified State Exam și OGE și în general în viață
(din greaca λόγος - „cuvânt”, „relație” și ἀριθμός - „număr”) numere b prin rațiune A(log α b) se numește un astfel de număr c, și b= a c, adică log α b=cși b=ac sunt echivalente. Logaritmul are sens dacă a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Cu alte cuvinte logaritm numere b prin rațiune A formulat ca un exponent la care trebuie ridicat un număr A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numere pozitive).
Din această formulare rezultă că calculul x= log α b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b.
De exemplu:
log 2 8 = 3 deoarece 8=2 3 .
Remarcăm că formularea indicată a logaritmului face posibilă determinarea imediată valoarea logaritmului când numărul de sub semnul logaritmului este o anumită putere a bazei. Într-adevăr, formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b prin rațiune A egală cu. De asemenea, este clar că subiectul logaritmului este strâns legat de subiect grad de număr.
Se face referire la calculul logaritmului logaritm. Logaritmul este operația matematică de luare a unui logaritm. Atunci când se ia un logaritm, produsele factorilor sunt transformate în sume de termeni.
Potentarea este operația matematică inversă logaritmului. La potențare, baza dată este ridicată la puterea expresiei pe care se realizează potențarea. În acest caz, sumele de termeni sunt transformate în produsul factorilor.
Destul de des, se folosesc logaritmi reali cu baze 2 (binare), e numărul Euler e ≈ 2,718 (logaritm natural) și 10 (zecimal).
În această etapă, merită luat în considerare mostre de logaritmi jurnal 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.
Și intrările lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nu au sens, deoarece în primul dintre ele un număr negativ este plasat sub semnul logaritmului, în al doilea - un număr negativ în baza, iar în al treilea - și un număr negativ sub semnul logaritmului și al unității în bază.
Condiții pentru determinarea logaritmului.
Merită să luăm în considerare separat condițiile a > 0, a ≠ 1, b > 0. definirea unui logaritm. Să ne gândim de ce sunt luate aceste restricții. Acest lucru ne va ajuta cu o egalitate de forma x = log α b, numită identitate logaritmică de bază, care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus.
Luați condiția a≠1. Deoarece unul este egal cu unu la orice putere, atunci egalitatea x=log α b poate exista doar atunci când b=1, dar log 1 1 va fi orice număr real. Pentru a elimina această ambiguitate, luăm a≠1.
Să dovedim necesitatea condiției a>0. La a=0 conform formulării logaritmului, poate exista numai atunci când b=0. Și apoi în consecință log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Pentru a elimina această ambiguitate, condiția a≠0. Și atunci când A<0 ar trebui să respingem analiza valorilor raționale și iraționale ale logaritmului, deoarece exponentul cu exponent rațional și irațional este definit doar pentru baze nenegative. Din acest motiv, condiția a>0.
Și ultima condiție b>0 rezultă din inegalitate a>0, deoarece x=log α b, și valoarea gradului cu bază pozitivă A intotdeauna pozitiv.
Caracteristicile logaritmilor.
Logaritmi caracterizat prin distinctiv Caracteristici, ceea ce a dus la utilizarea lor pe scară largă pentru a facilita foarte mult calculele minuțioase. În trecerea „în lumea logaritmilor”, înmulțirea se transformă într-o adunare mult mai ușoară, împărțirea în scădere, iar ridicarea la putere și luarea rădăcinii se transformă în înmulțire și, respectiv, împărțirea cu un exponent.
Formularea logaritmilor și un tabel al valorilor acestora (pentru funcțiile trigonometrice) au fost publicate pentru prima dată în 1614 de matematicianul scoțian John Napier. Tabelele logaritmice, mărite și detaliate de alți oameni de știință, au fost utilizate pe scară largă în calculele științifice și de inginerie și au rămas relevante până când calculatoarele electronice și calculatoarele au început să fie folosite.
„Formulele de înmulțire abreviată” - La înmulțirea a două polinoame, fiecare termen al primului polinom este înmulțit cu fiecare termen al celui de-al doilea polinom și se adună produsele. Formule de înmulțire prescurtate. La adăugarea și scăderea polinoamelor se folosesc regulile pentru deschiderea parantezelor. Monomiile sunt produse ale numerelor, variabilelor și puterilor lor naturale.
„Rezolvarea sistemului de ecuații” - Metoda grafică (algoritm). O ecuație este o egalitate care conține una sau mai multe variabile. Ecuația și proprietățile ei. Metoda determinanților (algoritm). Sistemul de ecuații și soluția acestuia. Rezolvarea sistemului prin metoda comparației. Ecuație liniară cu două variabile. Rezolvarea sistemului prin metoda adiției.
„Rezolvarea sistemelor de inegalități” - Intervale. Dictarea matematică. Sunt luate în considerare exemple de rezolvare a sistemelor de inegalități liniare. Rezolvarea sistemelor de inegalități. Pentru a rezolva un sistem de inegalități liniare, este suficient să rezolvați fiecare dintre inegalitățile incluse în acesta și să găsiți intersecția mulțimilor soluțiilor lor. Notați inegalitățile ale căror mulțimi de soluții sunt intervale.
„Inegalități indicative” - Semnul inegalității. Rezolvați inegalitatea. Rezolvarea celor mai simple inegalități exponențiale. Rezolvarea inegalităților exponențiale. Ce ar trebui luat în considerare la rezolvarea inegalităților exponențiale? Rezolvarea celor mai simple inegalități exponențiale. O inegalitate care conține o necunoscută în exponent se numește inegalitate exponențială.
„Relații de numere” - Ce este o proporție? Care sunt numele numerelor m și n în proporția a: m = n: c? Coeficientul a două numere se numește raportul dintre cele două numere. Lan de marketing. În proporția corectă, produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii și invers. Ce este o atitudine? Proporții. Raportul poate fi exprimat ca procent.
„Discriminantul unei ecuații pătratice” - teorema lui Vieta. Ecuații cuadratice. discriminant. Ce ecuații se numesc ecuații pătratice incomplete? Câte rădăcini are o ecuație dacă discriminantul ei este zero? Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete. Câte rădăcini are o ecuație dacă discriminantul ei este un număr negativ?
În total sunt 14 prezentări la subiect
