Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare promovării cu succes a examenului la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 din Profil USE în matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen. Probleme de text și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.

Măsurați toate distanțele necesare în metri. Volumul multor figuri tridimensionale este ușor de calculat folosind formulele adecvate. Cu toate acestea, toate valorile substituite în formule trebuie măsurate în metri. Astfel, înainte de a înlocui valorile în formulă, asigurați-vă că toate sunt măsurate în metri sau că ați convertit alte unități de măsură în metri.

• 1 mm = 0,001 m
• 1 cm = 0,01 m
• 1 km = 1000 m

Pentru a calcula volumul formelor dreptunghiulare (cutie dreptunghiulară, cub) utilizați formula: volum = L × L × H(lungimea ori lățimea ori înălțimea). Această formulă poate fi considerată ca produsul dintre suprafața uneia dintre fețele figurii și marginea perpendiculară pe această față.

• De exemplu, să calculăm volumul unei camere cu o lungime de 4 m, o lățime de 3 m și o înălțime de 2,5 m. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înmulțiți lungimea cu lățimea cu înălțimea:
  • 4×3×2,5
  • = 12 × 2,5
  • = 30. Volumul acestei camere este 30 m 3.
• Un cub este o figură tridimensională în care toate laturile sunt egale. Astfel, formula pentru calcularea volumului unui cub poate fi scrisă ca: volum \u003d L 3 (sau W 3, sau H 3).

Pentru a calcula volumul figurilor sub forma unui cilindru, utilizați formula: pi× R 2 × H. Calculul volumului unui cilindru se reduce la înmulțirea ariei bazei rotunde cu înălțimea (sau lungimea) cilindrului. Găsiți aria bazei circulare înmulțind numărul pi (3.14) cu pătratul razei cercului (R) (raza este distanța de la centrul cercului până la orice punct situat pe acest cerc). Apoi înmulțiți rezultatul cu înălțimea cilindrului (H) și veți găsi volumul cilindrului. Toate valorile sunt măsurate în metri.

• De exemplu, să calculăm volumul unei puțuri cu diametrul de 1,5 m și adâncimea de 10 m. Împărțiți diametrul la 2 pentru a obține raza: 1,5/2=0,75 m.
  • (3,14) × 0,75 2 × 10
  • = (3,14) × 0,5625 × 10
  • = 17,66. Volumul puţului este 17,66 mc.

Pentru a calcula volumul unei sfere, utilizați formula: 4/3 x pi× R3. Adică trebuie să cunoști doar raza (R) a mingii.

• De exemplu, să calculăm volumul unui balon cu diametrul de 10 m. Împărțiți diametrul la 2 pentru a obține raza: 10/2=5 m.
  • 4/3 x pi × (5) 3
  • = 4/3 x (3,14) x 125
  • = 4,189 × 125
  • = 523,6. Volumul balonului este 523,6 m 3.

Pentru a calcula volumul figurilor sub formă de con, utilizați formula: 1/3 x pi× R 2 × H. Volumul unui con este 1/3 din volumul unui cilindru care are aceeași înălțime și rază.

• De exemplu, să calculăm volumul unui cornet de înghețată cu o rază de 3 cm și o înălțime de 15 cm. Transformând în metri, obținem: 0,03 m și, respectiv, 0,15 m.
  • 1/3 x (3,14) x 0,03 2 x 0,15
  • = 1/3 x (3,14) x 0,0009 x 0,15
  • = 1/3 × 0,0004239
  • = 0,000141. Volumul unui cornet de inghetata este 0,000141 m 3.

Utilizați mai multe formule pentru a calcula volumul formelor neregulate. Pentru a face acest lucru, încercați să spargeți figura în mai multe forme de forma corectă. Apoi găsiți volumul fiecărei astfel de cifre și adăugați rezultatele.

• De exemplu, să calculăm volumul unui hambar mic. Depozitul are un corp cilindric de 12 m înălțime și o rază de 1,5 m. Depozitul are și un acoperiș conic înalt de 1 m. Calculând separat volumul acoperișului și volumul corpului, putem afla volumul total al grânar:
  • pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
  • (3,14) x 1,5 2 x 12 + 1/3 x (3,14) x 1,5 2 x 1
  • = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 x (3,14) × 2,25 × 1
  • = (3,14) × 27 + 1/3 x (3,14) × 2,25
  • = 84,822 + 2,356
  • = 87,178. Volumul grânarului este 87.178 mc.

Orice corp geometric poate fi caracterizat prin suprafață (S) și volum (V). Suprafața și volumul nu sunt același lucru. Un obiect poate avea un V relativ mic și un S mare, de exemplu, așa funcționează creierul uman. Este mult mai ușor să calculați acești indicatori pentru forme geometrice simple.

Paralelepiped: definiție, tipuri și proprietăți

Un paralelipiped este o prismă patruunghiulară cu un paralelogram la bază. De ce ai putea avea nevoie de o formulă pentru a afla volumul unei figuri? Cărțile, cutiile de ambalaj și multe alte lucruri din viața de zi cu zi au o formă similară. Camerele din clădirile rezidențiale și de birouri, de regulă, sunt paralelipipedi dreptunghiulare. Pentru a instala ventilație, aer condiționat și pentru a determina numărul de elemente de încălzire dintr-o cameră, este necesar să se calculeze volumul camerei.

Figura are 6 fețe - paralelograme și 12 muchii, două fețe alese arbitrar se numesc baze. Paralepipedul poate fi de mai multe tipuri. Diferențele se datorează unghiurilor dintre marginile adiacente. Formulele pentru găsirea V-urilor diferitelor poligoane sunt ușor diferite.

Dacă 6 fețe ale unei figuri geometrice sunt dreptunghiuri, atunci este numită și dreptunghiulară. Un cub este un caz special de paralelipiped în care toate cele 6 fețe sunt pătrate egale. În acest caz, pentru a găsi V, trebuie să cunoașteți lungimea unei singure laturi și să o ridicați la a treia putere.

Pentru a rezolva probleme, veți avea nevoie de cunoștințe nu numai despre formulele gata făcute, ci și despre proprietățile figurii. Lista proprietăților de bază ale unei prisme dreptunghiulare este mică și foarte ușor de înțeles:

1. Fețele opuse ale figurii sunt egale și paralele. Aceasta înseamnă că nervurile situate vizavi sunt aceleași ca lungime și unghi de înclinare.
2. Toate fețele laterale ale unui paralelipiped drept sunt dreptunghiuri.
3. Cele patru diagonale principale ale unei figuri geometrice se intersectează într-un punct și o împart în jumătate.
4. Pătratul diagonalei unui paralelipiped este egal cu suma pătratelor dimensiunilor figurii (reduce din teorema lui Pitagora).

teorema lui Pitagora afirmă că suma ariilor pătratelor construite pe catetele unui triunghi dreptunghic este egală cu aria triunghiului construit pe ipotenuza aceluiași triunghi.

Dovada ultimei proprietăți poate fi văzută în imaginea de mai jos. Cursul de rezolvare a problemei este simplu și nu necesită explicații detaliate.

Formula pentru volumul unui paralelipiped dreptunghiular

Formula pentru găsirea tuturor tipurilor de forme geometrice este aceeași: V=S*h, unde V este volumul dorit, S este aria bazei paralelipipedului, h este înălțimea coborâtă de la vârful opus și perpendiculară. până la bază. Într-un dreptunghi, h coincide cu una dintre laturile figurii, așa că pentru a găsi volumul unei prisme dreptunghiulare, trebuie să înmulți trei măsurători.

Volumul este de obicei exprimat în cm3. Cunoscând toate cele trei valori a, b și c, găsirea volumului figurii nu este deloc dificilă. Cel mai frecvent tip de problemă în USE este căutarea volumului sau diagonalei unui paralelipiped. Este imposibil să rezolvi multe sarcini tipice USE fără o formulă pentru volumul unui dreptunghi. Un exemplu de sarcină și proiectarea soluției sale sunt prezentate în figura de mai jos.

Nota 1. Aria suprafeței unei prisme dreptunghiulare poate fi găsită prin înmulțirea cu 2 a sumei ariilor celor trei fețe ale figurii: baza (ab) și două fețe laterale adiacente (bc + ac).

Nota 2. Suprafața fețelor laterale poate fi găsită cu ușurință prin înmulțirea perimetrului bazei cu înălțimea paralelipipedului.

Pe baza primei proprietăți a paralelipipedelor, AB = A1B1 și fața B1D1 = BD. Conform consecințelor teoremei lui Pitagora, suma tuturor unghiurilor dintr-un triunghi dreptunghic este egală cu 180 °, iar catetul opus unghiului de 30 ° este egal cu ipotenuza. Aplicând aceste cunoștințe pentru un triunghi, putem găsi cu ușurință lungimea laturilor AB și AD. Apoi înmulțim valorile obținute și calculăm volumul paralelipipedului.

Formula pentru găsirea volumului unei cutii înclinate

Pentru a găsi volumul unui paralelipiped înclinat, este necesar să înmulțiți aria bazei figurii cu înălțimea coborâtă la această bază din unghiul opus.

Astfel, V-ul dorit poate fi reprezentat ca h - numărul de foi cu o zonă S a bazei, deci volumul pachetului este format din V-urile tuturor cărților.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcinile examenului unic trebuie finalizate într-un anumit timp. Sarcinile tipice, de regulă, nu conțin un număr mare de calcule și fracții complexe. Adesea, unui student i se oferă cum să găsească volumul unei figuri geometrice neregulate. În astfel de cazuri, ar trebui să vă amintiți regula simplă că volumul total este egal cu suma V-urilor părților constitutive.

După cum puteți vedea din exemplul din imaginea de mai sus, nu este nimic complicat în rezolvarea unor astfel de probleme. Sarcinile din secțiuni mai complexe necesită cunoașterea teoremei lui Pitagora și a consecințelor acesteia, precum și a formulei pentru lungimea diagonalei unei figuri. Pentru a rezolva cu succes sarcinile de testare, este suficient să vă familiarizați în avans cu mostre de sarcini tipice.

Revizuire generală. Formule de stereometrie!

Salutare dragi prieteni! În acest articol, am decis să fac o prezentare generală a problemelor din stereometrie, care va fi UTILIZARE în matematică e. Trebuie spus că sarcinile din acest grup sunt destul de diverse, dar nu dificile. Acestea sunt sarcini pentru găsirea mărimilor geometrice: lungimi, unghiuri, arii, volume.

Considerate: un cub, un paralelipiped dreptunghiular, o prismă, o piramidă, un poliedru compus, un cilindru, un con, o bilă. Este trist că unii absolvenți nici măcar nu își asumă astfel de sarcini la examen în sine, deși peste 50% dintre ele sunt rezolvate elementar, aproape verbal.

Restul necesită puțin efort, cunoștințe și tehnici speciale. În articolele viitoare, vom lua în considerare aceste sarcini, nu le ratați, abonați-vă la actualizarea blogului.

Pentru a rezolva, trebuie să știi formule de suprafață și volum paralelipiped, piramidă, prismă, cilindru, con și sferă. Nu există sarcini complexe, toate sunt rezolvate în 2-3 pași, este important să „vedeți” ce formulă trebuie aplicată.

Toate formulele necesare sunt prezentate mai jos:

Minge sau sferă. O suprafață sferică sau sferică (uneori pur și simplu o sferă) este locul punctelor din spațiu care sunt echidistante de un punct - centrul mingii.

Volumul mingii egal cu volumul piramidei, a cărei bază are aceeași zonă ca suprafața mingii, iar înălțimea este raza mingii

Volumul unei sfere este de o ori și jumătate mai mic decât volumul unui cilindru circumscris în jurul acesteia.

Un con rotund poate fi obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unuia dintre picioarele sale, așa că un con rotund este numit și con de revoluție. Vezi și Suprafața unui con circular

Volumul unui con rotund este egal cu o treime din produsul dintre aria bazei S și înălțimea H:

(H - înălțimea muchiei cubului)

Un paralelipiped este o prismă a cărei bază este un paralelogram. Paralepipedul are șase fețe și toate sunt paralelograme. Un paralelipiped ale cărui patru fețe laterale sunt dreptunghiuri se numește paralelipiped drept. O cutie dreaptă în care toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri se numește cutie dreptunghiulară.

Volumul unui cuboid este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea:

(S este aria bazei piramidei, h este înălțimea piramidei)

O piramidă este un poliedru, care are o singură față - baza piramidei - un poligon arbitrar, iar restul - fețe laterale - triunghiuri cu un vârf comun, numit vârful piramidei.

O secțiune paralelă cu baza piramidei împarte piramida în două părți. Partea piramidei dintre baza ei și această secțiune este o piramidă trunchiată.

Volumul unei piramide trunchiate este egal cu o treime din produsul înălțimii h (OS) prin suma ariilor bazei superioare S1 (abcde), baza inferioară a piramidei trunchiate S2 (ABCD)şi media proporţională dintre ele.

1.

V=

n - numărul de laturi ale unui poligon regulat - bazele unei piramide regulate
a - latura poligonului regulat - bazele piramidei regulate
h - înălțimea piramidei regulate

O piramidă triunghiulară regulată este un poliedru cu o singură față - baza piramidei - un triunghi regulat, iar restul - fețe laterale - triunghiuri egale cu un vârf comun. Înălțimea coboară spre centrul bazei de sus.

Volumul unei piramide triunghiulare regulate este egal cu o treime din produsul ariei unui triunghi echilateral, care este baza S (ABC) la inaltime h (OS)

a - latura unui triunghi regulat - bazele unei piramide triunghiulare regulate
h - înălțimea unei piramide triunghiulare regulate

Derivarea formulei pentru volumul unui tetraedru

Volumul unui tetraedru se calculează folosind formula clasică pentru volumul unei piramide. Este necesar să înlocuiți înălțimea tetraedrului și aria unui triunghi regulat (echilateral).

Volumul unui tetraedru- este egal cu fracția la numărătorul căreia rădăcina pătrată a lui doi la numitor este doisprezece, înmulțită cu cubul lungimii muchiei tetraedrului

(h este lungimea laturii rombului)

Circumferinţă p are aproximativ trei întregi și o șapte din lungimea diametrului unui cerc. Raportul exact dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia este notat cu litera greacă π

Ca rezultat, perimetrul unui cerc sau circumferința unui cerc se calculează prin formula

π rn

(r este raza arcului, n este unghiul central al arcului în grade.)