Găsiți valoarea expresiei pentru diferite valori raționale ale variabilei x=2; 0; -3; -

Rețineți, indiferent de numărul pe care îl înlocuim în loc de variabila x, puteți găsi întotdeauna valoarea acestei expresii. Deci, luăm în considerare o funcție exponențială (y egal cu trei cu puterea x), definită pe mulțimea numerelor raționale: .

Să construim un grafic al acestei funcții făcând un tabel cu valorile acesteia.

Să trasăm o linie netedă care trece prin aceste puncte (Fig. 1)

Folosind graficul acestei funcții, luați în considerare proprietățile acesteia:

3. Creșteri pe întreaga zonă de definiție.

1. interval de la zero la plus infinit.

8. Funcția este convexă în jos.

Dacă într-un sistem de coordonate pentru a construi grafice de funcții; y=(y este egal cu doi la puterea x, y este egal cu cinci la puterea x, y este egal cu șapte la puterea x), puteți vedea că au aceleași proprietăți ca și y=(y este egal cu trei la puterea x) ( Fig. .2), adică toate funcțiile de forma y = (y este egal cu a cu puterea lui x, cu o mai mare decât unu) vor avea astfel de proprietăți

Să diagramăm funcția:

1. Alcătuirea unui tabel cu valorile acestuia.

Marcam punctele obtinute pe planul de coordonate.

Să trasăm o linie netedă care trece prin aceste puncte (Fig. 3).

Folosind graficul acestei funcții, indicăm proprietățile acesteia:

1. Domeniul definiției este mulțimea tuturor numerelor reale.

2. Nu este nici par, nici impar.

3. Scăderi pe întregul domeniu de definire.

4. Nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori.

5. Limitat de jos, dar nu limitat de sus.

6. Continuă pe întregul domeniu de definire.

7. interval de valori de la zero la plus infinit.

8. Funcția este convexă în jos.

În mod similar, dacă într-un sistem de coordonate pentru a construi grafice de funcții; y=(y este egal cu o secundă cu puterea x, y este egal cu o cincime cu puterea x, y este egal cu o șapte cu puterea x), puteți vedea că au aceleași proprietăți ca și y=(y este egal cu o treime cu puterea x). puterea lui x). x) (Fig. 4), adică toate funcțiile de forma y \u003d (y este egal cu unul împărțit la puterea lui x, cu o mai mare decât zero, dar mai mică de unu) au astfel de proprietăți

Să construim grafice ale funcțiilor într-un sistem de coordonate

aceasta înseamnă că graficele funcțiilor y \u003d y \u003d (y este egal cu a cu puterea lui x și y este egal cu unul împărțit cu a la puterea lui x) vor fi, de asemenea, simetrice pentru aceeași valoare a unui .

Rezum ceea ce s-a spus dând o definiție a unei funcții exponențiale și indicând principalele sale proprietăți:

Definiție: O funcție de forma y \u003d, unde (y este egală cu a cu puterea lui x, unde a este pozitivă și diferită de unul), se numește funcție exponențială.

Este necesar să ne amintim diferențele dintre funcția exponențială y= și funcția de putere y=, a=2,3,4,…. atât auditiv cât și vizual. Funcția exponențială X este un grad și pentru o funcție de putere X este baza.

Exemplul 1: Rezolvați ecuația (trei la puterea lui x este egal cu nouă)

(y este egal cu trei cu puterea lui x și y este egal cu nouă) fig.7

Rețineți că au un punct comun M (2; 9) (em cu coordonatele două; nouă), ceea ce înseamnă că abscisa punctului va fi rădăcina acestei ecuații. Adică, ecuația are o singură rădăcină x = 2.

Exemplul 2: Rezolvați ecuația

Într-un sistem de coordonate, vom construi două grafice ale funcției y \u003d (y este egal cu cinci cu puterea lui x și y este egal cu o douăzeci și cinci) Fig.8. Graficele se intersectează într-un punct T (-2; (te cu coordonatele minus două; o douăzeci și cinci). Prin urmare, rădăcina ecuației este x \u003d -2 (numărul minus doi).

Exemplul 3: Rezolvați inegalitatea

Într-un sistem de coordonate, construim două grafice ale funcției y \u003d

(y este egal cu trei cu puterea lui x și y este egal cu douăzeci și șapte).

Fig.9 Graficul funcției este situat deasupra graficului funcției y=când

x Prin urmare, soluția inegalității este intervalul (de la minus infinit la trei)

Exemplul 4: Rezolvați inegalitatea

Într-un sistem de coordonate, vom construi două grafice ale funcției y \u003d (y este egal cu o pătrime din puterea lui x și y este egal cu șaisprezece). (Fig. 10). Graficele se intersectează într-un punct K (-2;16). Aceasta înseamnă că soluția inegalității este intervalul (-2; (de la minus doi la plus infinit), deoarece graficul funcției y \u003d este situat sub graficul funcției la x

Raționamentul nostru ne permite să verificăm validitatea următoarelor teoreme:

Terem 1: Dacă este adevărat dacă și numai dacă m=n.

Teorema 2: Dacă este adevărată dacă și numai dacă, atunci inegalitatea este adevărată dacă și numai dacă (Fig. *)

Teorema 4: Dacă este adevărată dacă și numai dacă (Fig.**), inegalitatea este adevărată dacă și numai dacă Teorema 3: Dacă este adevărată dacă și numai dacă m=n.

Exemplul 5: Trasează funcția y=

Modificăm funcția aplicând proprietatea gradului y=

Să construim un sistem de coordonate suplimentar și în noul sistem de coordonate vom reprezenta grafic funcția y= (y este egal cu doi cu puterea x) Fig.11.

Exemplul 6: Rezolvați ecuația

Într-un sistem de coordonate, construim două grafice ale funcției y \u003d

(Y este egal cu șapte cu puterea lui x și Y este egal cu opt minus x) Fig.12.

Graficele se intersectează într-un punct E (1; (e cu coordonatele unu; șapte). Prin urmare, rădăcina ecuației este x = 1 (x egal cu unu).

Exemplul 7: Rezolvați inegalitatea

Într-un sistem de coordonate, construim două grafice ale funcției y \u003d

(Y este egal cu un sfert cu puterea lui x și Y este egal cu x plus cinci). Graficul funcției y \u003d este situat sub graficul funcției y \u003d x + 5 la, soluția inegalității este intervalul x (de la minus unu la plus infinit).

Cunoştinţe funcții elementare de bază, proprietățile și graficele lor nu mai puțin important decât cunoașterea tablei înmulțirii. Sunt ca o fundație, totul se bazează pe ele, totul este construit din ele și totul se reduce la ei.

În acest articol, enumerăm toate funcțiile elementare principale, le dăm graficele și le dăm fără derivații și demonstrații. proprietăţile funcţiilor elementare de bază conform schemei:

• comportamentul funcției la limitele domeniului de definiție, asimptote verticale (dacă este necesar, vezi articolul clasificarea punctelor de rupere ale unei funcții);
• par si impar;
• intervale de convexitate (convexitate în sus) și concavitate (convexitate în jos), puncte de inflexiune (dacă este necesar, vezi funcția articolului convexitate, direcție de convexitate, puncte de inflexiune, convexitate și condiții de inflexiune);
• asimptote oblice și orizontale;
• puncte singulare de funcții;
• proprietăți speciale ale unor funcții (de exemplu, cea mai mică perioadă pozitivă pentru funcțiile trigonometrice).

Dacă sunteți interesat de sau, atunci puteți merge la aceste secțiuni ale teoriei.

Funcții elementare de bază sunt: ​​funcția constantă (constantă), rădăcina gradului al n-lea, funcția de putere, funcția exponențială, funcția logaritmică, funcțiile trigonometrice și trigonometrice inverse.

Navigare în pagină.

Funcție permanentă.

O funcție constantă este dată pe mulțimea tuturor numerelor reale prin formula , unde C este un număr real. Funcția constantă atribuie fiecărei valori reale a variabilei independente x aceeași valoare a variabilei dependente y - valoarea С. O funcție constantă se mai numește și constantă.

Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa x și care trece printr-un punct cu coordonatele (0,C) . De exemplu, să arătăm grafice ale funcțiilor constante y=5 , y=-2 și , care în figura de mai jos corespund liniilor negre, roșii și, respectiv, albastre.

Proprietățile unei funcții constante.

• Domeniul definiției: întregul set de numere reale.
• Funcția constantă este pară.
• Interval de valori: set format dintr-un singur număr C .
• O funcție constantă este necrescătoare și nedescrescătoare (de aceea este constantă).
• Nu are sens să vorbim despre convexitatea și concavitatea constantei.
• Nu există asimptotă.
• Funcția trece prin punctul (0,C) al planului de coordonate.

Rădăcina gradului al n-lea.

Luați în considerare funcția elementară de bază, care este dată de formula , unde n este un număr natural mai mare decât unu.

Rădăcina gradului al n-lea, n este un număr par.

Să începem cu a n-a funcție rădăcină pentru valorile pare ale exponentului rădăcină n .

De exemplu, oferim o imagine cu imagini cu grafice ale funcțiilor și , acestea corespund liniilor negre, roșii și albastre.

Graficele funcțiilor rădăcinii unui grad par au o formă similară pentru alte valori ale indicatorului.

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea pentru n chiar.

Rădăcina gradului al n-lea, n este un număr impar.

Funcția rădăcină de gradul al n-lea cu un exponent impar al rădăcinii n este definită pe întregul set de numere reale. De exemplu, prezentăm grafice ale funcțiilor și , curbele negre, roșii și albastre le corespund.

Pentru alte valori impare ale exponentului rădăcină, graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea pentru n impar.

Funcția de putere.

Funcția de putere este dată de o formulă de forma .

Luați în considerare tipul de grafice ale unei funcții de putere și proprietățile unei funcții de putere în funcție de valoarea exponentului.

Să începem cu o funcție de putere cu un exponent întreg a . În acest caz, forma graficelor funcțiilor de putere și proprietățile funcțiilor depind de exponentul par sau impar, precum și de semnul acestuia. Prin urmare, luăm în considerare mai întâi funcțiile de putere pentru valorile pozitive impare ale exponentului a , apoi pentru cele par pozitive, apoi pentru exponenții negativi impari și, în final, pentru negativul par a .

Proprietățile funcțiilor de putere cu exponenți fracționali și iraționali (precum și tipul de grafice ale unor astfel de funcții de putere) depind de valoarea exponentului a. Le vom lua în considerare, în primul rând, când a este de la zero la unu, în al doilea rând, când a este mai mare decât unu, în al treilea rând, când a este de la minus unu la zero și, în al patrulea rând, când a este mai mic decât minus unu.

În încheierea acestei subsecțiuni, de dragul caracterului complet, descriem o funcție de putere cu exponent zero.

Funcția de putere cu exponent pozitiv impar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv impar, adică cu a=1,3,5,... .

Figura de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=1 avem funcție liniară y=x.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent pozitiv impar.

Funcție de putere cu exponent pozitiv chiar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv par, adică pentru a=2,4,6,… .

Ca exemplu, să luăm grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie. Pentru a=2 avem o funcție pătratică al cărei grafic este parabolă pătratică.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent pozitiv par.

Funcția de putere cu un exponent negativ impar.

Priviți graficele funcției exponențiale pentru valori negative impare ale exponentului, adică pentru un \u003d -1, -3, -5, ....

Figura prezintă grafice ale funcțiilor exponențiale ca exemple - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=-1 avem proporționalitate inversă, al cărui grafic este hiperbolă.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ impar.

Funcția de putere cu un exponent negativ egal.

Să trecem la funcția de putere la a=-2,-4,-6,….

Figura prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent negativ par.

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional a cărui valoare este mai mare decât zero și mai mică de unu.

Notă! Dacă a este o fracție pozitivă cu un numitor impar, atunci unii autori consideră intervalul ca fiind domeniul funcției de putere. În același timp, se prevede că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera la o astfel de vedere, adică vom considera că domeniile funcțiilor de putere cu exponenți pozitivi fracționari sunt mulțimea . Încurajăm studenții să obțină perspectiva profesorului dumneavoastră asupra acestui punct subtil pentru a evita dezacordul.

Se consideră o funcție de putere cu exponent rațional sau irațional a și .

Prezentăm grafice ale funcțiilor de putere pentru a=11/12 (linia neagră), a=5/7 (linia roșie), (linia albastră), a=2/5 (linia verde).

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional non-întreg mai mare decât unu.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional neîntreger a și .

Să prezentăm graficele funcțiilor de putere date de formule (linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi).

>

Pentru alte valori ale exponentului a , graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile funcției de putere pentru .

O funcție de putere cu un exponent real care este mai mare decât minus unu și mai mic decât zero.

Notă! Dacă a este o fracție negativă cu un numitor impar, atunci unii autori iau în considerare intervalul . În același timp, se prevede că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcțiile de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera doar la o astfel de vedere, adică vom considera că domeniile funcțiilor de putere cu exponenți negativi fracționali fracționali sunt, respectiv, mulțimea. Încurajăm studenții să obțină perspectiva profesorului dumneavoastră asupra acestui punct subtil pentru a evita dezacordul.

Trecem la funcția de putere , unde .

Pentru a avea o idee bună despre tipul de grafice ale funcțiilor de putere pentru , dăm exemple de grafice ale funcțiilor (curbe negru, roșu, albastru și, respectiv, verde).

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent a , .

O funcție de putere cu un exponent real neîntreger care este mai mic de minus unu.

Să dăm exemple de grafice ale funcțiilor de putere pentru , acestea sunt reprezentate în linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ non-întreg mai mic decât minus unu.

Când a=0 și avem o funcție - aceasta este o linie dreaptă din care punctul (0; 1) este exclus (expresia 0 0 a fost de acord să nu acorde nicio importanță).

Functie exponentiala.

Una dintre funcțiile elementare de bază este funcția exponențială.

Graficul funcției exponențiale, unde și ia o formă diferită în funcție de valoarea bazei a. Să ne dăm seama.

În primul rând, luați în considerare cazul în care baza funcției exponențiale ia o valoare de la zero la unu, adică .

De exemplu, prezentăm graficele funcției exponențiale pentru a = 1/2 - linia albastră, a = 5/6 - linia roșie. Graficele funcției exponențiale au un aspect similar pentru alte valori ale bazei din interval.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mică de unu.

Ne întoarcem la cazul când baza funcției exponențiale este mai mare decât unu, adică .

Ca o ilustrare, prezentăm grafice ale funcțiilor exponențiale - linia albastră și - linia roșie. Pentru alte valori ale bazei, mai mari decât unu, graficele funcției exponențiale vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mare decât unu.

Funcția logaritmică.

Următoarea funcție elementară de bază este funcția logaritmică, unde , . Funcția logaritmică este definită numai pentru valorile pozitive ale argumentului, adică pentru .

Graficul funcției logaritmice ia o formă diferită în funcție de valoarea bazei a.

Concentrarea atentiei:

Definiție. Funcţie specie se numește functie exponentiala .

Cometariu. Excluderea bazei A numerele 0; 1 și valori negative A explicată prin următoarele circumstanțe:

Expresia analitică în sine un x in aceste cazuri isi pastreaza sensul si poate fi intalnit in rezolvarea problemelor. De exemplu, pentru expresia X y punct x = 1; y = 1 intră în intervalul de valori acceptabile.

Construiți grafice ale funcțiilor: și .

Graficul unei funcții exponențiale
y= A X, a > 1	y= A X , 0< a < 1

Proprietățile funcției exponențiale

Proprietățile funcției exponențiale	y= A X, a > 1	y= A X , 0< a < 1
Domeniul de aplicare a funcției
2. Gama de valori ale funcției
3. Intervale de comparare cu unitatea	la X> 0, a X > 1	la X > 0, 0< a X < 1
	la X < 0, 0< a X < 1	la X < 0, a X > 1
4. Par, impar.	Funcția nu este nici pară, nici impară (funcția generală).
5. Monotonie.	creste monoton cu R	scade monoton cu R
6. Extreme.	Funcția exponențială nu are extreme.
7.Asimptotă	Axa O X este o asimptotă orizontală.
8. Pentru orice valori reale Xși y;

Când tabelul este completat, sarcinile sunt rezolvate în paralel cu umplerea.

Sarcina numărul 1. (Pentru a găsi domeniul funcției).

Ce valori ale argumentelor sunt valabile pentru funcții:

Sarcina numărul 2. (Pentru a găsi intervalul funcției).

Figura prezintă un grafic al unei funcții. Specificați domeniul și domeniul de aplicare al funcției:

Sarcina numărul 3. (Pentru a indica intervalele de comparație cu unitatea).

Comparați fiecare dintre următoarele puteri cu una:

Sarcina numărul 4. (Pentru a studia funcția pentru monotonitate).

Comparați numerele reale după mărime mși n dacă:

Sarcina numărul 5. (Pentru a studia funcția pentru monotonitate).

Faceți o concluzie despre bază A, dacă:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4x

Cum sunt graficele funcțiilor exponențiale unele față de altele pentru x > 0, x = 0, x< 0?

Într-un plan de coordonate, sunt reprezentate grafice ale funcțiilor:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .

Cum sunt graficele funcțiilor exponențiale unele față de altele pentru x > 0, x = 0, x< 0?

Număr una dintre cele mai importante constante din matematică. Prin definiție, acesta egal cu limita succesiunii cu nelimitat crescând n . Desemnare e introdus Leonard Euler în 1736. El a calculat primele 23 de cifre ale acestui număr în notație zecimală, iar numărul în sine a fost numit după Napier „număr non-peer”. Număr e joacă un rol deosebit în analiza matematică. Functie exponentiala cu baza e, numit exponent și notat y = e x. Primele semne numere e usor de amintit: doi, o virgulă, șapte, anul nașterii lui Lev Tolstoi - de două ori, patruzeci și cinci, nouăzeci, patruzeci și cinci.

Teme pentru acasă:

Kolmogorov p. 35; Nr. 445-447; 451; 453.

Repetați algoritmul pentru construirea graficelor de funcții care conțin o variabilă sub semnul modulului.

1. O funcție exponențială este o funcție de forma y(x) \u003d a x, în funcție de exponentul x, cu o valoare constantă a bazei gradului a, unde a > 0, a ≠ 0, xϵR (R este multimea numerelor reale).

Considera graficul funcției dacă baza nu îndeplinește condiția: a>0
a) a< 0
În cazul în care un< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2

Dacă a = 0 - funcția y = este definită și are o valoare constantă 0

c) a \u003d 1
Dacă a = 1 - funcția y = este definită și are o valoare constantă de 1

2. Luați în considerare funcția exponențială mai detaliat:

0

Domeniul funcției (OOF)

Zona valorilor permise ale funcției (ODZ)

3. Zerourile funcției (y = 0)

4. Puncte de intersecție cu axa y (x = 0)

5. Funcție crescătoare, descrescătoare

Dacă , atunci funcția f(x) crește
Dacă , atunci funcția f(x) scade
Funcția y= , la 0 Funcția y \u003d, pentru a> 1, crește monoton
Aceasta rezultă din proprietățile de monotonitate ale unui grad cu exponent real.

6. Funcții pare, impare

Funcția y = nu este simetrică față de axa 0y și față de origine, prin urmare nu este nici pară, nici impară. (funcție generală)

7. Funcția y \u003d nu are extreme

8. Proprietăți ale unui grad cu exponent real:

Fie a > 0; a≠1
b > 0; b≠1

Atunci pentru xϵR; yϵR:

Proprietăți de monotonitate a gradului:

daca atunci
De exemplu:

Dacă a> 0, atunci .
Funcția exponențială este continuă în orice punct ϵ R.

9. Localizarea relativă a funcției

Cu cât baza a este mai mare, cu atât mai aproape de axele x și y

a > 1, a = 20

Dacă a0, atunci funcția exponențială ia o formă apropiată de y = 0.
Dacă a1, atunci mai departe de axele x și y și graficul ia forma apropiată de funcția y \u003d 1.

Exemplul 1
Graficul y=