Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor

Ce este o soluție la o ecuație?

Transformarea identității. Principal

tipuri de transformări identice.

rădăcină străină. Pierderea rădăcinilor.

Soluția ecuației este un proces constând în principal în înlocuirea unei ecuații date cu o altă ecuație care îi este echivalentă . Un astfel de înlocuitor se numeștetransformarea identităţii . Principalele transformări de identitate sunt următoarele:

1.

Înlocuirea unei expresii cu alta, identică cu ea. De exemplu, ecuația (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 poate fi înlocuit cu următorul echivalent:9 X 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .

2.

Transferul termenilor ecuației de la o parte la alta cu semne opuse. Deci, în ecuația anterioară, putem transfera toți membrii săi din partea dreaptă în partea stângă cu semnul „-”: 9 X 2 + 12 x + 4 – 15 X- 10 = 0, după care obținem:9 X 2 – 3 X- 6 = 0 .

3.

Înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații cu aceeași expresie (număr), alta decât zero. Acest lucru este foarte important, pentru cănoua ecuație poate să nu fie echivalentă cu cea anterioară dacă expresia cu care înmulțim sau împărțim poate fi egală cu zero.

EXEMPLU EcuațiaX- 1 = 0 are o singură rădăcinăx= 1.

Înmulțirea ambelor părți cuX- 3 , obținem ecuația

( X- 1)( X- 3) = 0, care are două rădăcini:x= 1 șiX = 3.

Ultima valoare nu este rădăcina ecuației date

X- 1 = 0. Acesta este așa-numitulrădăcină străină .

În schimb, diviziunea poate duce lapierderea rădăcinii . Asa de

în cazul nostru, dacăX- 1 )( X- 3 ) = 0 este originalul

ecuație, apoi rădăcinax= 3 va fi pierdut la divizie

ambele părți ale ecuațieiX- 3 .

În ultima ecuație (articolul 2), putem împărți toți termenii ei la 3 (nu zero!) și în final obținem:

3 X 2 - X - 2 = 0 .

Această ecuație este echivalentă cu cea inițială:

(3 x+ 2) 2 = 15 x + 10 .

4.

Poate saridică ambele părți ale ecuației la o putere impară sauextrageți o rădăcină impară din ambele părți ale ecuației . Trebuie amintit că:

a) erecțiechiar gradul poate cauzala dobândirea de rădăcini străine ;

b)gresit extracţiechiar rădăcină poate duce lapierderea rădăcinilor .

EXEMPLE. Ecuația 7X = 35 are o singură rădăcinăX = 5 .

Punând la pătrat ambele părți ale acestei ecuații, obținem

ecuația:

49 X 2 = 1225 .

având două rădăcini:X = 5 șiX = – 5. Ultima valoare

este o rădăcină străină.

Gresit luând rădăcina pătrată a ambelor

părți ale ecuației 49X 2 = 1225 rezultă în 7X = 35,

și pierdem rădăcinaX = – 5.

Corect luarea rădăcinii pătrate duce la

ecuație: | 7X | = 35, A deci doua cazuri:

1) 7 X = 35, apoiX = 5 ; 2) – 7 X = 35, apoiX = – 5 .

Prin urmare, lacorect extragerea unui pătrat

rădăcină nu pierdem rădăcinile ecuației.

Ce înseamnădreapta extrage radacina? Aici ne întâlnim

cu un concept foarte importantrădăcină aritmetică

(cm. ).

Poate duce la apariția așa-numitelor rădăcini străine. În acest articol, vom analiza mai întâi în detaliu ce este rădăcini străine. În al doilea rând, să vorbim despre motivele apariției lor. Și în al treilea rând, folosind exemple, vom lua în considerare principalele modalități de separare a rădăcinilor străine, adică verificând rădăcinile pentru prezența celor străine printre ele pentru a le exclude din răspuns.

Rădăcini străine ale ecuației, definiție, exemple

Manualele școlare de algebră nu definesc o rădăcină străină. Acolo, ideea unei rădăcini străine se formează prin descrierea următoarei situații: cu ajutorul unor transformări ale ecuației, se realizează tranziția de la ecuația inițială la ecuația consecințelor, rădăcinile ecuației consecințelor obținute sunt găsite, iar rădăcinile găsite sunt verificate prin substituție în ecuația originală, ceea ce arată că unele dintre rădăcinile găsite nu sunt rădăcinile ecuației originale, aceste rădăcini sunt numite rădăcini străine pentru ecuația originală.

Pe baza acestei baze, puteți lua pentru dvs. următoarea definiție a unei rădăcini străine:

Definiție

rădăcini străine sunt rădăcinile ecuației-consecință obținute ca urmare a transformărilor, care nu sunt rădăcinile ecuației inițiale.

Să luăm un exemplu. Se consideră ecuația și corolarul acestei ecuații x·(x−1)=0 , obținute prin înlocuirea expresiei cu expresia x·(x−1) care este identic egală cu aceasta. Ecuația originală are o singură rădăcină 1 . Ecuația obținută în urma transformării are două rădăcini 0 și 1 . Deci 0 este o rădăcină străină pentru ecuația originală.

Cauzele posibilei apariții a rădăcinilor străine

Dacă nu sunt folosite transformări „exotice” pentru a obține ecuația consecințelor, ci sunt folosite doar transformări de bază ale ecuațiilor, atunci rădăcinile străine pot apărea numai din două motive:

• datorită extinderii ODZ şi
• deoarece ambele părți ale ecuației sunt ridicate la aceeași putere pară.

Aici merită amintit că extinderea ODZ ca urmare a transformării ecuației are loc în principal

• La reducerea fracțiilor;
• Când înlocuiți un produs cu unul sau mai mulți factori zero cu zero;
• Când înlocuiți zero cu o fracție cu numărător zero;
• Când se folosesc unele proprietăți ale puterilor, rădăcinilor, logaritmilor;
• La folosirea unor formule trigonometrice;
• La înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu aceeași expresie, care dispare pe ODZ pentru această ecuație;
• Când este eliberat în procesul de rezolvare a semnelor logaritmilor.

Exemplul din paragraful anterior al articolului ilustrează apariția unei rădăcini străine din cauza expansiunii ODZ, care are loc la trecerea de la ecuație la ecuația corolară x·(x−1)=0 . ODZ pentru ecuația originală este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția zero, ODZ pentru ecuația rezultată este mulțimea R, adică ODZ este extinsă cu numărul zero. Acest număr se dovedește în cele din urmă a fi o rădăcină străină.

Vom da, de asemenea, un exemplu de apariție a unei rădăcini străine datorită ridicării ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pare. Ecuația irațională are o singură rădăcină 4, iar consecința acestei ecuații, obținută din aceasta prin pătrarea ambelor părți ale ecuației, adică ecuația , are două rădăcini 1 și 4 . Din aceasta se poate observa că pătrarea ambelor părți ale ecuației a condus la apariția unei rădăcini străine pentru ecuația originală.

Rețineți că extinderea ODZ și ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere uniformă nu duce întotdeauna la apariția rădăcinilor străine. De exemplu, la trecerea de la ecuație la ecuația corolară x=2, ODZ se extinde de la mulțimea tuturor numerelor nenegative la mulțimea tuturor numerelor reale, dar rădăcinile străine nu apar. 2 este singura rădăcină a primei și a doua ecuații. De asemenea, nu există apariția de rădăcini străine în timpul trecerii de la ecuație la ecuația-consecință. Singura rădăcină a primei și a doua ecuații este x=16 . De aceea nu vorbim despre cauzele apariției rădăcinilor străine, ci despre motivele apariției posibile a rădăcinilor străine.

Ce înseamnă îndepărtarea rădăcinilor străine?

Termenul „eliminarea rădăcinilor străine” poate fi numit doar un termen bine stabilit, nu se găsește în toate manualele de algebră, dar este intuitiv, motiv pentru care este folosit de obicei. Ceea ce se înțelege prin cernerea rădăcinilor străine devine clar din următoarea frază: „... verificarea este un pas obligatoriu în rezolvarea ecuației, care va ajuta la detectarea rădăcinilor străine, dacă există, și la eliminarea lor (de obicei se spune „elimină buruienile ”)” .

Prin urmare,

Definiție

Îndepărtarea rădăcinilor străine este detectarea și respingerea rădăcinilor străine.

Acum puteți trece la modalități de a îndepărta rădăcinile străine.

Metode de îndepărtare a rădăcinilor străine

Verificarea înlocuirii

Principala modalitate de a îndepărta rădăcinile străine este verificarea înlocuirii. Vă permite să îndepărtați rădăcinile străine care ar putea apărea atât din cauza extinderii ODZ, cât și din cauza ridicării ambelor părți ale ecuației la aceeași putere uniformă.

Verificarea substituției este următoarea: rădăcinile găsite ale ecuației consecințelor sunt înlocuite la rândul lor în ecuația originală sau în orice ecuație echivalentă cu aceasta, cele care dau egalitatea numerică corectă sunt rădăcinile ecuației inițiale, iar cele care dau un egalitatea numerică sau expresia incorectă, lipsite de sens sunt rădăcini străine pentru ecuația originală.

Să folosim un exemplu pentru a arăta cum sunt eliminate rădăcinile străine prin substituție în ecuația originală.

În unele cazuri, îndepărtarea rădăcinilor străine este mai potrivită pentru a fi efectuată în alte moduri. Acest lucru se aplică în principal acelor cazuri în care verificarea substituției este asociată cu dificultăți de calcul semnificative sau când modalitatea standard de rezolvare a ecuațiilor de un anumit tip implică o verificare diferită (de exemplu, separarea rădăcinilor străine atunci când rezolvarea ecuațiilor fracționale-raționale se realizează conform cu condiția ca numitorul fracției să nu fie egal cu zero ). Să analizăm modalități alternative de a elimina rădăcinile străine.

Potrivit ODZ

Spre deosebire de verificarea înlocuirii, eliminarea rădăcinilor străine prin ODZ nu este întotdeauna adecvată. Faptul este că această metodă vă permite să filtrați numai rădăcinile străine care apar din cauza expansiunii ODZ și nu garantează eliminarea rădăcinilor străine care ar putea apărea din alte motive, de exemplu, datorită ridicării ambelor părți ale ecuația la aceeași putere pară . Mai mult, nu este întotdeauna ușor să găsiți ODZ pentru ecuația care se rezolvă. Cu toate acestea, metoda de separare a rădăcinilor străine prin ODZ ar trebui menținută în funcțiune, deoarece utilizarea sa necesită adesea mai puțină muncă de calcul decât utilizarea altor metode.

Cernerea rădăcinilor străine conform ODZ se efectuează după cum urmează: toate rădăcinile găsite ale ecuației consecințelor sunt verificate pentru a aparține regiunii valorilor admisibile ale variabilei pentru ecuația originală sau orice ecuație echivalentă acesteia, cele care aparțin ODZ sunt rădăcinile ecuației inițiale, iar cele dintre ele care nu aparțin ODZ sunt rădăcini străine pentru ecuația originală.

O analiză a informațiilor furnizate duce la concluzia că este recomandabil să eliminați rădăcinile străine conform ODZ dacă în același timp:

• este ușor să găsiți ODZ pentru ecuația originală,
• rădăcinile străine ar putea apărea numai datorită extinderii ODZ,
• verificarea substituției este asociată cu dificultăți de calcul semnificative.

Vom arăta cum se efectuează în practică îndepărtarea rădăcinilor străine.

În condițiile ODZ

După cum am spus în paragraful anterior, dacă rădăcinile străine pot apărea numai din cauza expansiunii ODZ, atunci ele pot fi filtrate conform ODZ pentru ecuația originală. Dar nu este întotdeauna ușor să găsiți ODZ sub forma unui set numeric. În astfel de cazuri, este posibil să se elimine rădăcinile străine nu în funcție de ODZ, ci în funcție de condițiile care determină ODZ. Să explicăm cum se realizează screening-ul rădăcinilor străine în funcție de condițiile ODZ.

Rădăcinile găsite sunt înlocuite la rândul lor în condițiile care determină ODZ pentru ecuația originală sau orice ecuație echivalentă cu aceasta. Acele dintre ele care îndeplinesc toate condițiile sunt rădăcinile ecuației. Iar acelea dintre ele care nu satisfac cel puțin o condiție sau dau o expresie care nu are sens sunt rădăcini străine pentru ecuația originală.

Să dăm un exemplu de eliminare a rădăcinilor străine în funcție de condițiile ODZ.

Eliminarea rădăcinilor străine care decurg din ridicarea ambelor părți ale ecuației la o putere egală

Este clar că îndepărtarea rădăcinilor străine care decurg din ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pară se poate face prin înlocuirea în ecuația originală sau în orice ecuație echivalentă cu aceasta. Dar o astfel de verificare poate fi asociată cu dificultăți de calcul semnificative. În acest caz, merită să cunoaștem o modalitate alternativă de a îndepărta rădăcinile străine, despre care vom vorbi acum.

Eliminarea rădăcinilor străine care pot apărea atunci când ambele părți ale ecuațiilor iraționale ale formei sunt ridicate la aceeași putere uniformă , unde n este un număr par, poate fi efectuat conform condiției g(x)≥0 . Aceasta rezultă din definiția unei rădăcini pare: o rădăcină pare n este un număr nenegativ a cărui putere a n-a este egală cu numărul rădăcinii, de unde . Astfel, abordarea vocală este un fel de simbioză a metodei de ridicare a ambelor părți ale ecuației în același grad și a metodei de rezolvare a ecuațiilor iraționale prin determinarea rădăcinii. Adică ecuația , unde n este un număr par, se rezolvă prin ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pară, iar separarea rădăcinilor străine se realizează conform condiției g(x)≥0 luată din metoda de rezolvare a ecuațiilor iraționale pentru a determina radacina.

Pierderea rădăcinilor și rădăcinilor străine la rezolvarea ecuațiilor

MOU „Școala secundară nr. 2 cu studiu aprofundat al subiectelor individuale” din orașul Vsevolozhsk. Lucrarea de cercetare a fost pregătită de un elev din clasa a 11-a B: Vasilyev Vasily. Lider de proiect: Egorova Lyudmila Alekseevna.

Ecuația Pentru început, luați în considerare diferite moduri de a rezolva această ecuație sinx+cosx =- 1

Soluția #1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Răspuns: +2

Soluția nr. 2 sinx + cosx \u003d - 1 i Răspuns: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + \u003d 0 sin cos + \u003d 0 cos (cos + sin) \u003d 0 cos \u003d 0 cos + sin \u003d 1 \u003d + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Soluția #3 i y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Răspuns:

sinx+cosx =-1 Soluția #4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Răspuns: - + 2 n

Comparăm soluții Soluții corecte Să ne dăm seama în ce cazuri pot apărea rădăcini străine și de ce

Verificarea soluției Trebuie să fac o verificare? Verificați rădăcinile pentru orice eventualitate, pentru fiabilitate? Acest lucru este desigur util atunci când este ușor de înlocuit, dar matematicienii sunt oameni raționali și nu fac acțiuni inutile. Luați în considerare diferite cazuri și amintiți-vă când este cu adevărat necesară verificarea.

1. Cele mai simple formule gata făcute c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a În cazurile în care rădăcinile sunt găsite folosind cele mai simple formule gata făcute, atunci verificarea poate fi omisă. Cu toate acestea, atunci când utilizați astfel de formule, trebuie să fiți conștienți de condițiile în care pot fi aplicate. De exemplu, formula = poate fi folosită cu condiția a 0, -4ac 0 Și cea mai grosolană greșeală este răspunsul x= arccos2+2 pentru ecuația cosx =2, deoarece formula x= arccos a +2 poate fi folosită doar pentru rădăcinile ecuației cosx = a, unde | a | unu

2. Transformări Adesea, atunci când rezolvați ecuații, trebuie să efectuați multe transformări. Dacă ecuația este înlocuită cu una nouă, având toate rădăcinile celei anterioare, și transformată astfel încât să nu existe pierdere sau achiziție de rădăcini, atunci astfel de ecuații se numesc echivalente. 1. La transferul componentelor ecuației dintr-o parte în alta. 2. Adăugând același număr la ambele părți. 3 . Când înmulțiți ambele părți ale ecuației cu același număr diferit de zero. 4 . Când se aplică identități care sunt adevărate pe mulțimea tuturor numerelor reale. În acest caz, verificarea nu este necesară!

Cu toate acestea, nu orice ecuație poate fi rezolvată prin transformări echivalente. Mai des este necesar să se aplice transformări inegale. Adesea, astfel de transformări se bazează pe utilizarea unor formule care nu sunt adevărate pentru toate valorile reale. În acest caz, în special, domeniul de definire a ecuației se modifică. Această eroare este în soluția #4. Vom analiza eroarea, dar mai întâi ne vom uita din nou la soluția numărul 4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Eroarea constă în formula sin2x= Puteți folosi această formulă, dar ar trebui să verificați suplimentar fie că sunt rădăcini numere de forma + pentru care nu este definit tg. Acum este clar că există o pierdere a rădăcinilor în soluție. Să-l ducem până la capăt.

Soluția #4 i y x 0 1 Verificați numerele = + n prin substituție: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Deci x= +2 n este rădăcina ecuației Răspuns: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Am considerat una dintre modalitățile de a pierde rădăcinile, există foarte multe dintre ele în matematică, așa că trebuie să decideți cu atenție, amintindu-vă toate regulile. Așa cum puteți pierde rădăcinile unei ecuații, puteți câștiga și altele în plus în cursul rezolvării acesteia. Să luăm în considerare soluția #3, care a făcut o astfel de greșeală.

Soluția #3 i y x 0 1 2 2 și rădăcini suplimentare! Rădăcinile străine ar putea apărea atunci când ambele părți ale ecuației au fost la pătrat. În acest caz, trebuie să verificați. Pentru n=2k avem sin k+cos k=-1; cos k=-1 pentru k=2m-1 , Atunci n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Răspuns: +2 Pentru n=2k+1 avem sin + cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 pentru k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= ( 4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Deci, am luat în considerare câteva cazuri posibile, dintre care sunt foarte multe. Încercați să nu vă pierdeți timpul și să nu faceți greșeli stupide.

DINTII. Dinții vertebratelor, în structura și dezvoltarea lor, sunt complet similari cu solzii placoizi care acoperă întreaga piele a peștilor de rechin. Deoarece întreaga cavitate bucală, și parțial cavitatea faringiană, este căptușită cu epiteliu ectodermic, un placoid tipic ... ...

TUBERCULOZA PULMONARA- TUBERCULOZA PULMONARA. Cuprins: I. Anatomie patologică ........... 110 II. Clasificarea tuberculozei pulmonare.... 124 III. Clinica ..................... 128 IV. Diagnostic .................. 160 V. Prognostic .................. 190 VI. Tratamentul… Marea Enciclopedie Medicală

OTRĂVIRE- Otrăvirea. Otrăvirea este înțeleasă ca „tulburări ale funcțiilor animalelor. organisme cauzate de substanțe exogene sau endogene, active din punct de vedere chimic sau fizico-chimic, care sunt străine în ceea ce privește calitatea, cantitatea sau concentrația ... ... Marea Enciclopedie Medicală

Bacteriile nodulare ale leguminoaselor- Dovezile paleontologice sugerează că cele mai vechi leguminoase care aveau noduli erau unele plante aparținând grupului Eucaesalpinioideae. La speciile moderne de plante leguminoase s-au găsit noduli... Enciclopedia biologică

Lista de episoade din serialul animat „Luntik”- Acest articol nu are link-uri către surse de informații. Informațiile trebuie să fie verificabile, altfel pot fi puse sub semnul întrebării și eliminate. Poți... Wikipedia

PLANTE SI MEDIUL- Viața unei plante, ca orice alt organism viu, este un set complex de procese interdependente; cel mai semnificativ dintre ele, după cum se știe, este schimbul de substanțe cu mediul. Mediul este sursa din care ...... Enciclopedia biologică

Lista episoadelor din serialul „Luntik”- Articolul principal: Aventurile lui Luntik și prietenii lui Cuprins 1 Numărul de episoade 2 Lista episoadelor din serialul animat Luntik și prietenii lui ... Wikipedia

Bolile pomilor fructiferi- Pomii fructiferi, datorită îngrijirii constante a unei persoane, ar trebui să atingă o vârstă mult mai înaintată decât rudele lor necultivate, dacă nu ar fi influențele contracarante ale multor condiții ale culturii în sine, și anume cerințele pe care ni le impunem... .. .

tăierea pădurilor- V. pădurile, sau extragerea veniturilor forestiere sub formă de lemn și scoarță, se poate face în două moduri: prin săparea sau smulgerea copacilor întregi, adică trunchiuri împreună cu rădăcini, sau separat, pe părți, cad mai întâi. , sau sunt eliminate din ...... Dicţionar enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

penny- (poloneză grosz, din germană Groschen, din latină grossus (dēnārius) „denar gros”) o monedă din diferite țări și timpuri. Cuprins 1 Aspectul unui ban... Wikipedia

monede americane- 20 de dolari St. Gaudens este cea mai frumoasă și mai scumpă monedă din SUA Monede americane bătute la Monetăria SUA. Eliberat din 1792... Wikipedia

Cărți

• Principalele cauze ale căderii părului la femei, Alexey Michman, Șase din zece femei suferă de problema căderii părului la un moment dat în viața lor. Căderea părului poate apărea din mai multe motive, cum ar fi ereditatea, modificările hormonale în... Categorie:

În ultima lecție, la rezolvarea ecuațiilor, am folosit trei etape.

Prima etapă este tehnică. Cu ajutorul unui lanț de transformări din ecuația inițială, ajungem la una destul de simplă, pe care o rezolvăm și găsim rădăcinile.

A doua etapă este analiza soluției. Analizăm transformările pe care le-am efectuat și aflăm dacă sunt echivalente.

A treia etapă este verificarea. Verificarea tuturor rădăcinilor găsite prin înlocuirea lor în ecuația originală este obligatorie atunci când se efectuează transformări care pot duce la o ecuație corolar

Este întotdeauna necesar să distingem trei etape la rezolvarea unei ecuații?

Desigur că nu. Ca, de exemplu, în rezolvarea acestei ecuații. În viața de zi cu zi, de obicei nu sunt izolați. Dar toate aceste etape trebuie să fie „ține în minte” și realizate într-o formă sau alta. Asigurați-vă că analizați echivalența transformărilor. Și dacă analiza a arătat că este necesar să se efectueze o verificare, atunci este necesară. În caz contrar, ecuația nu poate fi considerată rezolvată corect.

Este întotdeauna posibil să se verifice rădăcinile unei ecuații numai prin substituție?

Dacă s-au folosit transformări echivalente la rezolvarea ecuației, atunci nu este necesară verificarea. Atunci când se verifică rădăcinile unei ecuații, se folosește foarte des ODZ (gama de valori acceptabile).Dacă este dificil să se verifice ODZ, atunci se realizează prin înlocuirea lui în ecuația originală.

Exercitiul 1

Rezolvați ecuația rădăcină pătrată a două x plus trei egal cu unu plus x.

Decizie

Ecuația ODZ este definită de un sistem de două inegalități: doi x plus trei este mai mare sau egal cu zero și unul plus x este mai mare sau egal cu zero. Soluția este x mai mare sau egală cu minus unu.

Patratăm ambele părți ale ecuației, transferăm termenii de la o parte a ecuației pe cealaltă, adăugăm termeni similari, obținem ecuația pătratică x pătrat este egal cu doi. Rădăcinile sale sunt

x primul, al doilea este egal cu plus sau minus rădăcina pătrată a lui doi.

Examinare

Valoarea x a primei este egală cu rădăcina pătrată a două este rădăcina ecuației, deoarece este inclusă în DPV.
Valoarea lui x secundă este minus rădăcina pătrată a lui doi nu este rădăcina ecuației, deoarece nu este inclusă în ODZ.
Să verificăm că rădăcina x este egală cu rădăcina pătrată a lui doi, înlocuind-o în egalitatea originală, obținem

egalitate adevărată, deci x egal cu rădăcina pătrată a lui doi este rădăcina ecuației.

Răspuns: rădăcină pătrată a două.

Sarcina 2

Rezolvați ecuația rădăcină pătrată a lui x minus opt este egal cu cinci minus x.

Decizie

ODZ a unei ecuații iraționale este determinată de un sistem de două inegalități: x minus opt este mai mare sau egal cu zero și cinci minus x este mai mare sau egal cu zero. Rezolvând-o, obținem că acest sistem nu are soluții. Rădăcina ecuației nu poate fi nici una dintre valorile variabilei x.

Răspuns: fără rădăcini.

Sarcina 3

Rezolvați ecuația rădăcină pătrată a lui x cub plus patru x minus unu minus opt rădăcini pătrate a lui x la a patra putere minus x este egală cu rădăcina pătrată a lui x cub minus unu plus două rădăcini pătrate a lui x.

Decizie

Găsirea ODZ în această ecuație este destul de dificilă.

Să efectuăm transformări: să pătram ambele părți ale acestei ecuații,

transferăm toți termenii în partea stângă a ecuației și aducem termeni similari, scriem două rădăcini sub una, obținem radicali asemănătoare, dăm asemenea termeni, împărțim cu un factor de minus 12 și descompunem expresia rădăcinii în factori, obținem un ecuație sub forma unui produs a doi factori egali cu zero. Rezolvând, găsim rădăcinile:

x primul este egal cu unu, x al doilea este egal cu zero.

Deoarece am ridicat ambele părți ale ecuației la o putere egală, verificarea rădăcinilor este obligatorie.

Examinare

Dacă x este egal cu unu, atunci

obținem egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că x egal cu unu este rădăcina ecuației.

Dacă x este zero, atunci rădăcina pătrată a lui minus unu este nedefinită.

Prin urmare, x egal cu zero este o rădăcină străină.

Răspuns: unul.

Sarcina 4

Rezolvați ecuația pentru logaritmul lui x pătrat plus cinci x plus doi baza doi egal trei.

Decizie

Să găsim ecuația ODZ. Pentru a face acest lucru, rezolvăm inegalitatea x pătrat plus cinci x plus doi mai mari decât zero.

Rezolvăm inegalitatea prin metoda intervalelor. Pentru a face acest lucru, îi descompunem partea stângă în factori, după ce am rezolvat anterior ecuația pătratică și ținând cont de semnul de inegalitate, determinăm ODZ. ODZ este egal cu unirea razelor deschise de la minus infinit la minus fracția cinci plus rădăcina pătrată a lui șaptesprezece împărțită la doi și din minus fracția cinci minus rădăcina pătrată a lui șaptesprezece împărțită la doi la plus infinit.

Acum să începem să căutăm rădăcinile ecuației. Având în vedere că trei este egal cu logaritmul lui opt la baza lui doi, scriem ecuația în următoarea formă: logaritmul expresiei x pătrat plus cinci x plus doi la baza doi este egal cu logaritmul lui opt la baza doi. Potențim ecuația, obținem și rezolvăm ecuația pătratică.

Discriminantul este patruzeci și nouă.

Calculăm rădăcinile:

x primul este egal cu minus șase; X secundă este egală cu unu.

Examinare

Minus șase aparține ODZ, unul aparține ODZ, ceea ce înseamnă că ambele numere sunt rădăcinile ecuației.

Răspuns: minus șase; unu.

În ultima lecție, am luat în considerare problema apariției rădăcinilor străine. Le putem detecta verificând. Este posibil să pierdeți rădăcinile atunci când rezolvați o ecuație și cum să preveniți acest lucru?

Atunci când se efectuează astfel de acțiuni asupra ecuației, cum ar fi, în primul rând, împărțirea ambelor părți ale ecuației la aceeași expresie ax din x (cu excepția cazurilor în care se știe cu siguranță că ax din x nu este egal cu zero pentru orice x din domeniul ecuației);

în al doilea rând, îngustarea ecuației ODZ în procesul de rezolvare poate duce la pierderea rădăcinilor ecuației.

Tine minte!

Ecuația scrisă sub forma

ef din x înmulțit cu cenușa din x este egal cu zhe din x înmulțit cu cenușa din x se rezolvă în felul acesta:

este necesar să se factorizeze prin scoaterea din paranteze a factorului comun;

apoi, fiecare factor este egalat cu zero, obținându-se astfel două ecuații.

Le calculăm rădăcinile.

Exercitiul 1

Rezolvați ecuația x cubul este egal cu x.

Prima cale

Împărțim ambele părți ale acestei ecuații cu x, obținem x pătrat egal cu unu, având rădăcinile x mai întâi egale cu unu,

X secundă este egală cu minus unu.

A doua cale

x cubul este egal cu x. Să mutam x în partea stângă a ecuației, să scoatem x din paranteze, obținem: x ori x pătrat, minus unu este zero.

Să îi calculăm rădăcinile:

X primul este egal cu zero, x al doilea este egal cu unu, x al treilea este egal cu minus unu.

Ecuația are trei rădăcini.

Când rezolvăm în primul mod, am pierdut o rădăcină - x este egal cu zero.

Răspuns: minus unu; zero; unu.

Tine minte! Reducerea ambelor părți ale ecuației cu un factor care conține necunoscut poate duce la pierderea rădăcinilor.

Sarcina 2

Rezolvați ecuația logaritmul zecimal al lui x pătrat este doi.

Decizie

Prima cale

Prin definiția logaritmului, obținem ecuația pătratică x pătrat este egal cu o sută.

Rădăcinile sale: x primul este egal cu zece; x secundă este egal cu minus zece.

A doua cale

Prin proprietatea logaritmului, avem doi logaritmi zecimal x egal cu doi.

Rădăcina sa - x este egală cu zece

În a doua metodă, a existat o pierdere a rădăcinii x egală cu minus zece. Și motivul este că au aplicat formula greșită, restrângând domeniul de aplicare al ecuației. Expresia logaritm zecimal al lui x pătrat este definită pentru tot x cu excepția x egal cu zero. Expresia logaritm zecimal x este pentru x mai mare decât zero. Formula corectă este logaritmul zecimal x pătratul este egal cu doi logaritmi zecimal modulo x.

Tine minte! Când rezolvați o ecuație, aplicați corect formulele disponibile.