Să fie dată o secvență de numere renumerotate x 1 , x 2 ,..., x n ,.. ., pe care o notăm pe scurt sau (x n ) . Această secvență poate fi scrisă în funcție de numărul n: x n =f(n) , sau x 1 =f(1) , x 2 =f(2),.. ., x n =f(n),.. ..

Orice succesiune va fi specificată dacă este specificată regula de formare a membrilor săi. Secvența este de obicei dată de formule precum x n =f(n) sau x n =f(x n-1) , x n =f(x n-1 , x n-2) etc., unde .

Exemplu.Secvența 2, 4, 8, 16, .. . dat de formula x n =2 n ; progresie geometrică a 1 , a 2 ,..., a n , .. . poate fi definit prin formula a n =a 1 q n-1 sau a n =a n-1 q ; Numerele Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... . sunt definite prin formulele x n =x n-1 +x n-2 , n=3, 4, .. ., x 1 =1 , x 2 =1 .

Graficul secvenței numerice(x n ) este format dintr-o mulțime de puncte M n (n;f(n)) pe planul nOx, adică. diagramă cu succesiune de numere constă din puncte discrete.

Sirul (x n ) se numeste crescator daca conditia formei este indeplinita.

Sirul (x n ) se numeste descrescator daca conditia formei este indeplinita.

Sirul (x n ) se numește necrescător dacă condiția formei este îndeplinită.

Secvența (x n ) se numește nedescrescătoare dacă este îndeplinită următoarea condiție: .

Astfel de secvențe sunt numite monotone. Secvențele rămase nu sunt monotone.

Următorul este numit succesiune nesfârșită orice obiecte de aceeași natură.

Exemplu.Serii de numere – serie de numere. Unele dintre funcții - gamă funcțională.

Ordinea elementelor unei serii este semnificativă. Schimbând ordinea, obținem un alt rând din aceleași elemente.

Ne interesează aici doar seria de numere și suma ei, care este încă scrisă formal (nu constructiv, neformalizat), adică suma tuturor membrilor unei șiruri infinite de numere u 1 , u 2 ,..., u n ,.. ., sau u 1 + u 2 +...+u n +.. .. Această serie poate fi scrisă compact ca

Semn - semn „sigma” sau semnul sumei, însumarea secvențială a tuturor elementelor u n de la limita inferioară n=1 (indicată în jos, poate fi infinit finit sau negativ) până la limita superioară (indicată în partea de sus, poate fi orice număr, mai mare sau egal cu limita inferioară, precum și infinit pozitiv).

Numerele u n (n=1, 2, .. .) se numesc membri ai seriei, iar u n este membrul comun al seriei.

Exemplu.La un curs școlar de matematică se dă o progresie geometrică infinit descrescătoare a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +.. ., |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .

Exemplu. Serii armonice de numere- serii de forma: . Mai jos îl vom analiza mai detaliat.

Seria de numere va fi considerată dată, adică fiecare dintre elementele sale va fi determinat în mod unic dacă este specificată regula pentru găsirea membrului său comun sau unele functie numerica argument firesc , sau u n =f(n) .

Exemplu.Dacă , atunci seria este dată , sau în notație compactă:

Dacă este dat serii armonice de numere, atunci termenul său comun poate fi scris ca , iar seria în sine poate fi scrisă ca

Să dăm definiția unei sume finite a unei serii și a unei secvențe de astfel de sume finite.

Suma finală a primilor n termeni ai seriei se numește a n-a sa sumă parțială și se notează cu S n :

Această sumă se găsește conform regulilor uzuale de însumare a numerelor. Există infinit de multe astfel de sume, adică pentru fiecare serie se poate considera o serie compusă din sume parțiale: S 1 , S 2 ,... , S n , .. . sau o succesiune de sume parțiale construite pentru această serie: .

Secvența este mărginită de sus, dacă există un astfel de număr comun M pentru toți membrii șirului, care nu este depășit de toți membrii șirului, adică dacă este îndeplinită următoarea condiție:

Secvența de numere este mărginită de jos, dacă există un număr comun m pentru toți membrii șirului, care depășește toți membrii șirului, adică dacă este îndeplinită condiția:

Secvența de numere este limitată dacă există numere m și M care sunt comune tuturor membrilor șirului și îndeplinesc condiția:

Se numește numărul a limita succesiunii numerice(x n ) , dacă există un număr atât de mic încât toți membrii șirului, cu excepția unui număr finit al primilor membri, se încadrează în vecinătatea - a numărului a , adică în cele din urmă se condensează în jurul punctul a . Astfel, toate punctele x i , i=N 0 , N 0 +1 , N 0 +2, .. trebuie să se încadreze în interval. secvente. În acest caz, numărul N 0 depinde de numărul ales, adică (Fig. 7.1) .

Orez. 7.1.

Din punct de vedere matematic, existența unei limite de succesiune poate fi scrisă astfel:

Acest fapt este scris pe scurt ca sau , și spuneți că converge către numărul a . Dacă succesiunea nu are limită, atunci se numește divergentă.

Rezultă direct din definirea limitei: dacă renunțăm, adăugăm sau modificăm un număr finit de membri ai șirului, atunci convergența nu este încălcată (adică dacă șirul inițial converge, atunci șirul modificat converge) și limitele secvențelor originale și rezultate vor fi egale.

Exemplu.Asuma ca , unde , adică , . Acest fapt este ușor de demonstrat, dar deocamdată îl luăm ca pe un fapt dovedit. Apoi , : . Aflați valoarea numărului (dacă există un astfel de număr). Considera . Următoarea relație este adevărată:

Deci dacă luăm un număr , atunci inegalitatea va fi satisfăcută. De exemplu, cu valoarea , obținem numărul N 0 =99 , adică |x n -1|<0,01 . Чем меньше значение - тем больше значение N 0 . Например, если , то N 0 =999 .

Oferim acum două definiții echivalente ale limitei funcției: folosind limita șirului și folosind corespondența micilor vecinătăți ale argumentului și valoarea funcției. Validitatea unei definiții implică valabilitatea alteia. Fie definită funcția y=f(x). , cu excepția poate punctul x=x 0 , care este punctul limită al lui D(f) . În acest moment, funcția poate fi nedefinită (nedefinită) sau poate avea o pauză.

Dacă șirul converge către zero:

atunci se numește șir infinitezimal. Se mai spune că termenul său comun este la o cantitate infinitezimală. Secvențele (84.3) și (84.4) sunt infinitezimale.

Dacă aplicăm formularea conceptului de limită în cazul unei secvențe infinitezimale, adică în cazul în care limita este zero, atunci ajungem la următoarea definiție a unei secvențe infinitezimale (echivalentă cu cea dată mai sus): o secvență se numește infinitezimal dacă pentru orice dat există un astfel de număr N, încât pentru toate va exista o inegalitate

Să formulăm câteva teoreme utile despre secvențe infinitezimale (și să demonstrăm prima dintre ele ca exemplu).

Teorema 1. Suma a două sau mai multe șiruri infinitezimale este o succesiune infinitezimală.

Efectuăm demonstrația pentru cazul însumării a două secvențe. Fie secvențele infinitezimale. Dacă este șirul obținut prin adăugarea lor, atunci va fi și infinitezimal. Într-adevăr, să fie dat un număr pozitiv arbitrar e. Datorită faptului că este infinit mic, există un număr N astfel încât va fi mai mic decât numărul de la . În mod similar, pentru a doua secvență, se poate specifica un număr (în general, diferit), astfel încât pentru că avem Acum, dacă este mai mare decât cel mai mare dintre numere, atunci simultan

Dar apoi, prin proprietatea „modulul sumei nu depășește suma modulelor” (articolul 74, proprietatea 13), găsim

care va dovedi afirmaţia cerută: şirul infinitezimal se citeşte ca „cel mai mare dintre cele două numere N şi .

Teorema 2. Produsul unei secvențe mărginite și a unei secvențe convergente la zero este o secvență convergentă spre zero.

Din această teoremă, în special, rezultă că produsul unei valori constante cu un infinitezimal, la fel ca produsul mai multor infinitezimale între ele, este o mărime infinitezimală. Într-adevăr, o valoare constantă este întotdeauna o valoare limitată. Același lucru este valabil și pentru infinitezimal. Prin urmare, de exemplu, produsul a două infinitezimale poate fi interpretat ca produsul dintre un infinitezimal și unul mărginit.

Teorema 3. Coeficientul de împărțire a unei secvențe care converge la zero la o secvență care are o limită diferită de zero este o secvență care converge la zero.

Următoarea teoremă permite utilizarea infinitezimale în demonstrațiile teoremelor pe limite (Teoremele 6-8).

Teorema 4. Termenul comun al unei secvențe care are o limită poate fi reprezentat ca sumă a acestei limite și a unei mărimi infinitezimale.

Dovada. Să existe o secvență astfel încât

Din definirea limitei rezultă:

pentru toate satisfacerea inegalității Notă și apoi obținem că pentru valorile indicate va fi

adică că există o cantitate infinitezimală. Dar

iar asta demonstrează teorema noastră.

Verna și invers

Teorema 5. Dacă un termen comun al unei secvențe diferă de o valoare constantă printr-o valoare infinitezimală, atunci această constantă este limita acestei secvențe.

Considerăm acum regulile de trecere la limita formulate în următoarele trei teoreme.

Teorema 6. Limita sumei a două sau mai multe secvențe care au o limită este egală cu suma acestor limite:

Dovada. Să existe secvențe astfel încât

Apoi, pe baza teoremei 4, putem scrie:

unde sunt câteva secvențe infinitezimale. Să adunăm ultimele două egalități:

Valoarea ca sumă a două constante a și b este constantă, iar ca sumă a două secvențe infinitezimale, conform teoremei 1, există o succesiune infinitezimală. Din aceasta și teorema 5 concluzionăm că

iar asta trebuia dovedit.

Dovada pe care am realizat-o acum poate fi generalizată cu ușurință în cazul unei sume algebrice a oricărui număr de secvențe date.

Fie prețul unui activ în momentul actual de timp r egal cu S(T) . Prețul de exercitare al unei opțiuni call pe acest activ cu timpul de expirare T este egal cu K. Să calculăm prețul acestei opțiuni la momentul t. Împărțim intervalul de timp [r, T] în n perioade de aceeași lungime (T - t)/n. Calculul prețului opțiunii call se realizează în cadrul modelului de preț al opțiunii binomiale n-perioade, iar apoi limita acestuia se găsește la n -> oo.
Deci, prețul opțiunii în modelul binom cu n perioade este determinat de formula (3.12). Conform definiției, jo tinde să In [K/(S(t)dn))/ ln(m/d) ca m i —» oo. Conform formulei integrale Moivre-Laplace
b&j0,n,p) - 1 -F (, b&j0,n,p") -
y/npq J \ l/np"q
unde Ф(х) = ^ dt - funcție de distribuție normală.
Folosind definiția (3.16) a numerelor și ad, obținem ca η -> oo
c \u003d S (r) Ф (гіі) - Ke-r ^-T4 (d2), (3.17)
Unde
\ii(S(t)/K) + (r + a2/2)(T - m)
d\
al/T - t
al/T - t
Formula găsită (3.17) pentru prețul opțiunii call se numește formula Black-Scholes.
Demonstrarea formulei (3.17) folosește expansiunea exponentului în serie
ex = 1 + x+^+.... (3.18)
Înlocuind și și d din formula (3.17) în egalitatea (3.8), care determină numerele р id, obținem:
erAt - ate/Sh-
R
Extinderea exponenților într-o serie după formula (3.18) și neglijând termenii care sunt mici în comparație cu At, obținem
al / At + (g - a212) At al / At - (g - a212) At
P ~ t= 1 I ~ t=
2al/M 2al/M
Dacă nu există o incertitudine a prețului pieței, atunci prețul activului S satisface ecuația
AS = fiSAt, (2,1)
unde At este suficient de mic. Pe măsură ce At -> 0 ecuația (2.1) devine diferențială
S" = /J.S.
Soluția sa S(T) = S(0)emT determină prețul S(T) al activului la momentul T.
În practică, totuși, există întotdeauna incertitudine cu privire la prețul unui activ. Pentru a descrie incertitudinea, sunt luate în considerare funcțiile de timp, care sunt variabile aleatorii pentru fiecare valoare a argumentului. Această proprietate definește un proces aleatoriu.
Un proces aleator w(t) se numește Wiener dacă r(0) = 0 și variabilele aleatoare w(t\ + s) - w(t\) și w(t2 + s) - w(t2) au o distribuție normală cu așteptare zero și cu varianță egală cu s și sunt independente pentru orice t\, t2, s care formează intervale nesuprapuse (ti,ti + s) și (t2,t2 + s).
Graficul procesului Wiener poate fi obținut, de exemplu, după cum urmează. Fixăm un număr h > 0 și definim o familie de variabile aleatoare Wh(t) la momentele t = 0, h, 2h,.... Setăm Wh(0) = 0. Diferența AWh = Wh((k+l) h) - Wh(kh) este o variabilă aleatoare și este dată de tabelul: AWh -6 6 P 1/2 1/2 monede. Atunci așteptarea matematică a variabilei aleatoare AWh este M(AI//1) = 0, iar varianța D(AWh) = S2. Numărul d este setat egal cu Vh astfel încât varianța ~D(AWh) să fie egală cu h.
Rezultă că procesul Wiener w(t) se obține din familia variabilelor aleatoare Wh(t) ca h -> 0. Trecerea la limită în sine este destul de dificilă și nu este luată în considerare aici. Prin urmare, graficul familiei Wh (t) pentru h mic este o bună aproximare a procesului Wiener. De exemplu, pentru o reprezentare vizuală a procesului Wiener pe un segment, este suficient să luăm h = 0,01.
În cel mai simplu caz, când /x = 0, adică bursa nu crește și nu scade în medie, se presupune că
AS = aS Aw,
unde w(t) este un proces Wiener și a > 0 este un număr pozitiv. Faptul că creșterile prețului activelor sunt proporționale cu prețul exprimă ipoteza naturală că incertitudinea expresiei (S(t + At) - S(t))/S(t) nu depinde de S. Aceasta înseamnă că investitorul este la fel de nesigur care obțineți o parte din profit la un preț al activului de 20 USD și la un preț al activului de 100 USD.
Modelul comportamentului prețului activelor este determinat în general de ecuație
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t)Aw, (2.2)
Coeficientul a, care este o unitate de incertitudine, se numește volatilitate.
2.2.

Mai multe despre subiectul Tranziția limită:

1. Tranziția la o economie de piață este asociată cu trecerea la un sistem de management modern, al cărui obiect principal este organizația (întreprinderea), iar în cadrul acesteia - muncitorul, muncitorul.
2. Valoarea limită (valoarea limită a unui indicator economic)

Mecanica cuantică conține clasicul ca caz limitativ. Se pune întrebarea cum se realizează această trecere la limită.

În mecanica cuantică, un electron este descris printr-o funcție de undă care determină diferite valori ale coordonatei sale; Singurul lucru pe care îl știm până acum despre această funcție este că este o soluție a unei ecuații diferențiale parțiale liniare. În mecanica clasică, totuși, un electron este considerat o particulă materială care se mișcă de-a lungul unei traiectorii care este complet determinată de ecuațiile mișcării. O relație analogă într-un anumit sens cu relația dintre mecanica cuantică și cea clasică are loc în electrodinamica dintre optica ondulată și geometrică. În optica undelor, undele electromagnetice sunt descrise de vectori de câmpuri electrice și magnetice care satisfac un anumit sistem de ecuații diferențiale liniare (ecuațiile lui Maxwell). În optica geometrică, se ia în considerare propagarea luminii de-a lungul anumitor traiectorii - raze.

O astfel de analogie ne permite să concluzionam că trecerea la limită de la mecanica cuantică la mecanica clasică are loc în mod similar cu trecerea de la optica ondulată la optica geometrică.

Să ne amintim cum se realizează matematic această ultimă tranziție (vezi II, § 53). Fie și să fie una dintre componentele câmpului dintr-o undă electromagnetică. Poate fi reprezentat ca și - cu amplitudinea reală a și fază (acesta din urmă se numește eikonal în optica geometrică). Cazul limitativ al opticii geometrice corespunde unor lungimi de undă mici, care este exprimată matematic printr-o cantitate mare de schimbare la distanțe mici; aceasta înseamnă, în special, că faza poate fi considerată mare ca valoare absolută.

În consecință, pornim de la ipoteza că cazul limită al mecanicii clasice corespunde în mecanica cuantică la funcțiile de undă de forma , unde a este o funcție care se schimbă lent și ia valori mari. După cum se știe, în mecanică traiectoria particulelor poate fi determinată din principiul variațional, conform căruia așa-numita acțiune 5 a unui sistem mecanic trebuie să fie minimă (principiul celei mai mici acțiuni). În optica geometrică, calea razelor este determinată de așa-numitul principiu Fermat, conform căruia „lungimea căii optice” a fasciculului, adică diferența dintre fazele sale la sfârșitul și la începutul traseului, ar trebui să fie minimă.

Pe baza acestei analogii, putem afirma că faza funcției de undă în cazul limită clasic ar trebui să fie proporțională cu acțiunea mecanică S a sistemului fizic luat în considerare, adică ar trebui să fie . Coeficientul de proporționalitate se numește constanta Plant și este notat cu litera . Are dimensiunea acțiunii (pentru că este adimensională) și este egală cu

Astfel, funcția de undă a unui sistem fizic „aproape clasic” (sau, după cum se spune, semiclasic) are forma

Constanta lui Planck joacă un rol fundamental în toate fenomenele cuantice. Valoarea sa relativă (în comparație cu alte cantități de aceeași dimensiune) determină „gradul de cuantum” al acestui sau aceluia sistem fizic. Tranziția de la mecanica cuantică la mecanica clasică corespunde unei faze mari și poate fi descrisă formal ca o tranziție la o limită (la fel cum trecerea de la undă la optica geometrică corespunde unei tranziții la limita lungimii de undă zero,

Am clarificat forma limitativă a funcției de undă, dar încă rămâne întrebarea cum este legată de mișcarea clasică de-a lungul unei traiectorii. În cazul general, mișcarea descrisă de funcția de undă nu se transformă deloc în mișcare pe o anumită traiectorie. Legătura sa cu mișcarea clasică constă în faptul că, dacă într-un moment inițial este dată funcția de undă și, odată cu aceasta, distribuția probabilității coordonatelor, atunci în viitor această distribuție se va „mișca” așa cum ar trebui să fie conform legilor lui mecanică clasică (pentru mai multe detalii, vezi sfârșitul § 17).

Pentru a obține mișcare de-a lungul unei anumite traiectorii, este necesar să se pornească de la o funcție de undă de o formă specială, vizibil diferită de zero doar într-o secțiune foarte mică a spațiului (așa-numitul pachet de undă), dimensiunile acestei secțiuni. poate tinde spre zero împreună cu d. Apoi se poate argumenta că, în cazul semiclasic, pachetul de undă se va deplasa în spațiu de-a lungul traiectoriei clasice a particulei.

În cele din urmă, operatorii mecanici cuantici în limită trebuie reduși pur și simplu la înmulțirea cu mărimea fizică corespunzătoare.

O anumită funcție f va tinde către numărul A, deoarece x tinde către punctul x0 când diferența f(x) - A este arbitrar mică. Cu alte cuvinte, expresia |f(x) –A| devine mai mic decât orice număr fix preatribuit h > 0, pe măsură ce modulul incrementului argument |∆x| scade.

Limitați tranziția

Găsirea acestui număr A din funcția f se numește trecere la limită. În cursul școlar, trecerea la limită se va produce în două cazuri principale.

1. Trecerea la limită în raport cu ∆f/∆x la găsirea derivatei.

2. La determinarea continuităţii unei funcţii.

Continuitatea funcției

O funcție este numită continuă la x0 dacă f(x) tinde spre f(x0) așa cum x tinde spre x0. În acest caz: f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f.
Aceasta înseamnă că |∆f| va fi mic pentru mic |∆x|. În cuvinte, mici modificări ale argumentului corespund micilor modificări ale valorii funcției.

Funcțiile care se găsesc într-un curs de matematică școlar, de exemplu, o funcție liniară, o funcție pătratică, o funcție de putere și altele, sunt continue în fiecare punct din zona pe care sunt definite. Pentru aceste funcții, graficele sunt reprezentate ca linii curbe continue.

Acest fapt stă la baza metodei de construire a unui grafic al unei funcții „prin puncte”, pe care o folosim de obicei. Dar înainte de a-l folosi, este necesar să aflați dacă funcția luată în considerare este într-adevăr continuă. Pentru cazuri simple, acest lucru se poate face pe baza definiției continuității pe care am dat-o mai sus.

De exemplu: vom demonstra că o funcție liniară este continuă în fiecare punct al dreptei reale y = k*x + b.

Prin definiție, trebuie să arătăm că |∆f| devine mai mic decât orice număr prealocat h>0, pentru mic |∆x|

|∆f| = |f(x0 +∆x) – f(x0)| = |(k*(x0+ ∆x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|.

Dacă luăm |∆x| >h/|k| pentru k nu este egal cu zero, atunci |∆f| va fi mai mic decât orice h>0, ceea ce urma să fie demonstrat.

Reguli limitative

Când utilizați operația de tranziție limită, trebuie să vă ghidați după următoarele reguli.

1. Dacă funcția f este continuă în punctul x0, atunci ∆f tinde spre zero pe măsură ce ∆x tinde spre zero.

2. Dacă funcția f are o derivată în punctul x0, atunci ∆f/∆x tinde spre f’(x0) pe măsură ce ∆x tinde spre zero.

3. Fie că f(x) tinde spre A, g(x) tinde către B așa cum x tinde către x0. Apoi:

f(x) + g(x) tinde spre A + B;