În acest articol, vom analiza cuprinzător una dintre principalele forme geometrice - unghiul. Să începem cu concepte și definiții auxiliare care ne vor conduce la definirea unghiului. După aceea, oferim metodele acceptate pentru desemnarea unghiurilor. În continuare, ne vom ocupa în detaliu de procesul de măsurare a unghiurilor. În concluzie, vă vom arăta cum puteți marca colțurile în desen. Am pus la dispoziție toată teoria desenele și ilustrațiile grafice necesare pentru o mai bună memorare a materialului.

Navigare în pagină.

Definirea unghiului.

Unghiul este una dintre cele mai importante figuri din geometrie. Definiția unghiului este dată prin definiția unei raze. La rândul său, ideea unei raze nu poate fi obținută fără cunoașterea unor astfel de figuri geometrice precum un punct, o linie dreaptă și un plan. Prin urmare, înainte de a vă familiariza cu definiția unghiului, vă recomandăm să reîmprospătați teoria din secțiuni și.

Deci, vom pleca de la conceptele de punct, linie dreaptă pe un plan și plan.

Să dăm mai întâi definiția unei raze.

Să ni se dea o linie dreaptă în avion. Să o notăm cu litera a. Fie O un punct al dreptei a . Punctul O împarte dreapta a în două părți. Fiecare dintre aceste părți împreună cu punctul O se numește grindă, iar punctul O se numește începutul fasciculului. De asemenea, puteți auzi că fasciculul este numit semidirectă.

Pentru concizie și comoditate, a fost introdusă următoarea notație pentru raze: o rază este desemnată fie printr-o literă latină mică (de exemplu, raza p sau raza k), fie prin două litere mari latine, prima dintre care corespunde începutului de raza, iar a doua denotă un punct al acestei raze (de exemplu, raza OA sau fasciculul CD). Să arătăm imaginea și denumirea razelor din desen.

Acum putem da prima definiție a unghiului.

Definiție.

Injecţie- aceasta este o figură geometrică plată (adică situată în întregime într-un anumit plan), care este formată din două raze nepotrivite cu o origine comună. Fiecare dintre raze este numită partea de colt, începutul comun al laturilor unghiului se numește colțul de sus.

Este posibil ca laturile unui unghi să formeze o linie dreaptă. Acest unghi are propriul nume.

Definiție.

Dacă ambele laturi ale unui unghi se află pe aceeași linie, atunci unghiul se numește dislocat.

Vă aducem în atenție o ilustrare grafică a unui unghi dezvoltat.

Un simbol unghi este folosit pentru a desemna un unghi. Dacă laturile unghiului sunt indicate cu litere mici latine (de exemplu, o parte a unghiului este k, iar cealaltă este h), atunci pentru a desemna acest unghi, după pictograma unghi, literele corespunzătoare laturilor sunt scrise în un rând, iar ordinea înregistrării nu contează (adică sau). Dacă laturile unghiului sunt indicate prin două litere mari latine (de exemplu, o parte a unghiului OA și a doua latură a unghiului OB), atunci unghiul se notează după cum urmează: după semnul unghiului, trei litere sunt scrise care participă la desemnarea laturilor unghiului și litera corespunzătoare vârfului unghiului, situată în mijloc (în cazul nostru, unghiul va fi indicat ca sau ). Dacă vârful unui unghi nu este vârful altui unghi, atunci un astfel de unghi poate fi notat cu litera corespunzătoare vârfului unghiului (de exemplu, ). Uneori puteți vedea că colțurile din desene sunt marcate cu numere (1, 2 etc.), aceste colțuri sunt notate ca și așa mai departe. Pentru claritate, vă prezentăm o figură în care sunt arătate și indicate colțurile.

Orice unghi împarte planul în două părți. În plus, dacă unghiul nu este dezvoltat, atunci se numește o parte a planului zona colțului interior, si celalalt zona de colt exterior. Următoarea imagine explică ce parte a planului corespunde cu interiorul colțului și care parte cu exteriorul.

Oricare dintre cele două părți în care un unghi aplatizat împarte un plan poate fi considerată o regiune interioară a unghiului aplatizat.

Definiția interiorului unui unghi ne conduce la a doua definiție a unghiului.

Definiție.

Injecţie- aceasta este o figură geometrică, care este formată din două raze nepotrivite cu o origine comună și regiunea interioară corespunzătoare a unghiului.

Trebuie remarcat faptul că a doua definiție a unghiului este mai strictă decât prima, deoarece conține mai multe condiții. Cu toate acestea, nu ar trebui să respingem prima definiție a unghiului și nici nu ar trebui să ia în considerare prima și a doua definiție a unghiului separat. Să explicăm acest punct. Când vine vorba de un unghi ca figură geometrică, atunci un unghi este înțeles ca o figură compusă din două raze cu o origine comună. Dacă devine necesară efectuarea oricăror acțiuni cu acest unghi (de exemplu, măsurarea unui unghi), atunci un unghi ar trebui să fie deja înțeles ca două raze cu o origine comună și o regiune internă (altfel ar apărea o situație dublă din cauza prezența atât a unei regiuni interne, cât și a uneia externe a unghiului ).

Să dăm mai multe definiții ale unghiurilor adiacente și verticale.

Definiție.

Colțuri adiacente- acestea sunt două unghiuri în care o latură este comună, iar celelalte două formează un unghi drept.

Din definiție rezultă că unghiurile adiacente se completează până la un unghi drept.

Definiție.

Unghiuri verticale sunt două unghiuri în care laturile unui unghi sunt prelungiri ale laturilor celuilalt.

Figura prezintă unghiuri verticale.

Evident, două linii care se intersectează formează patru perechi de unghiuri adiacente și două perechi de unghiuri verticale.

Comparația unghiurilor.

În acest paragraf al articolului, ne vom ocupa de definițiile unghiurilor egale și inegale și, de asemenea, în cazul unghiurilor inegale, vom explica care unghi este considerat mare și care este mai mic.

Amintiți-vă că două figuri geometrice sunt numite egale dacă pot fi suprapuse.

Să ni se dea două unghiuri. Să oferim un raționament care ne va ajuta să obținem un răspuns la întrebarea: „Sunt aceste două unghiuri egale sau nu”?

Evident, putem întotdeauna potrivi vârfurile a două colțuri, precum și o latură a primului colț cu oricare dintre laturile celui de-al doilea colț. Să combinăm partea primului colț cu cea a celui de-al doilea colț, astfel încât părțile rămase ale colțurilor să fie pe aceeași parte a liniei drepte pe care se află laturile combinate ale colțurilor. Apoi, dacă celelalte două laturi ale colțurilor sunt aliniate, atunci colțurile sunt numite egal.

Dacă celelalte două laturi ale unghiurilor nu se potrivesc, atunci unghiurile sunt numite inegal, și mai mici unghiul este considerat a fi parte a altuia ( mare este unghiul care contine complet un alt unghi).

Evident, cele două unghiuri drepte sunt egale. De asemenea, este evident că un unghi dezvoltat este mai mare decât orice unghi nedezvoltat.

Măsurarea unghiului.

Măsurarea unghiului se bazează pe compararea unghiului măsurat cu unghiul luat ca unitate de măsură. Procesul de măsurare a unghiurilor arată astfel: pornind de la una dintre laturile unghiului măsurat, zona sa interioară este umplută succesiv cu unghiuri individuale, stivuindu-le strâns unul pe celălalt. În același timp, se reține numărul de colțuri stivuite, ceea ce oferă măsura unghiului măsurat.

De fapt, orice unghi poate fi luat ca unitate de măsură pentru unghiuri. Cu toate acestea, există multe unități general acceptate pentru măsurarea unghiurilor legate de diverse domenii ale științei și tehnologiei, ele au primit denumiri speciale.

Una dintre unitățile de măsurare a unghiurilor este grad.

Definiție.

un grad este un unghi egal cu o sută optzecime dintr-un unghi îndreptat.

Un grad este notat cu simbolul „”, prin urmare, un grad este notat ca.

Astfel, într-un unghi dezvoltat, putem încadra 180 de unghiuri într-un grad. Va arăta ca o jumătate de plăcintă rotundă tăiată în 180 de bucăți egale. Foarte important: „bucățile de plăcintă” se potrivesc strâns între ele (adică părțile laterale ale colțurilor sunt aliniate), cu partea primului colț aliniată cu o parte a colțului turtit și partea ultimului colț al unității a coincis cu cealaltă parte a colțului turtit.

La măsurarea unghiurilor, se află de câte ori se încadrează un grad (sau altă unitate de măsură a unghiurilor) în unghiul măsurat până când zona interioară a unghiului măsurat este complet acoperită. După cum am văzut deja, într-un unghi dezvoltat, gradul se potrivește exact de 180 de ori. Mai jos sunt exemple de unghiuri în care un unghi de un grad se potrivește exact de 30 de ori (un astfel de unghi este o șesime dintr-un unghi drept) și exact de 90 de ori (jumătate de unghi drept).

Pentru a măsura unghiuri mai mici de un grad (sau altă unitate de măsură a unghiurilor) și în cazurile în care unghiul nu poate fi măsurat cu un număr întreg de grade (unități de măsură luate), trebuie să utilizați părți dintr-un grad (părți din unități de măsură). Anumite părți ale gradului au primit nume speciale. Cele mai comune sunt așa-numitele minute și secunde.

Definiție.

Minut este o şaizecime dintr-un grad.

Definiție.

Al doilea este o şaizecime dintr-un minut.

Cu alte cuvinte, există șaizeci de secunde într-un minut și șaizeci de minute (3600 de secunde) într-un grad. Simbolul „” este folosit pentru a desemna minute, iar simbolul „” este folosit pentru a desemna secunde (a nu se confunda cu semnele derivatei și ale derivatei a doua). Apoi, cu definițiile și notația introduse, avem , iar unghiul în care se încadrează 17 grade 3 minute și 59 secunde poate fi notat ca .

Definiție.

Măsura gradului unui unghi se numește un număr pozitiv, care arată de câte ori se încadrează un grad și părțile sale într-un unghi dat.

De exemplu, gradul de măsurare a unui unghi îndreptat este o sută optzeci, iar gradul de măsurare a unui unghi este .

Pentru măsurarea unghiurilor, există instrumente speciale de măsurare, dintre care cel mai faimos este raportorul.

Dacă sunt cunoscute atât denumirea unghiului (de exemplu,) cât și măsura gradului său (fie 110), atunci utilizați o notație scurtă a formei și spuneți: „Unghiul AOB este de o sută zece grade”.

Din definițiile unghiului și gradului de măsură a unghiului rezultă că în geometrie măsura unghiului în grade se exprimă printr-un număr real din intervalul (0, 180] (în trigonometrie, unghiuri cu grad arbitrar). sunt considerate, sunt numite).Un unghi de nouăzeci de grade are o denumire specială, se numește unghi drept. Se numește un unghi mai mic de 90 de grade unghi ascutit. Se numește un unghi mai mare de nouăzeci de grade unghi obtuz. Deci, măsura unui unghi ascuțit în grade este exprimată printr-un număr din intervalul (0, 90), măsura unui unghi obtuz - printr-un număr din intervalul (90, 180), un unghi drept este egal cu nouăzeci grade. Iată ilustrații ale unui unghi ascuțit, un unghi obtuz și un unghi drept.

Din principiul măsurării unghiurilor, rezultă că măsurile gradului de unghiuri egale sunt aceleași, măsura gradului unui unghi mai mare este mai mare decât măsura gradului unui unghi mai mic și măsura gradului unui unghi care constă din mai multe unghiuri este egală cu suma gradelor unghiurilor componente. Figura de mai jos arată unghiul AOB, care este format din unghiurile AOC, COD și DOB, în timp ce .

Prin urmare, suma unghiurilor adiacente este de o sută optzeci de grade, deoarece formează un unghi drept.

Din această afirmație rezultă că . Într-adevăr, dacă unghiurile AOB și COD sunt verticale, atunci unghiurile AOB și BOC sunt adiacente și unghiurile COD și BOC sunt de asemenea adiacente, deci sunt valabile egalitățile și, din care rezultă egalitatea.

Împreună cu gradul, se numește o unitate convenabilă pentru măsurarea unghiurilor radian. Măsura radianilor este utilizată pe scară largă în trigonometrie. Să definim un radian.

Definiție.

Un unghi radian- Acest colțul central, care corespunde lungimii arcului, egală cu lungimea razei cercului corespunzător.

Să dăm o ilustrare grafică a unui unghi de un radian. În desen, lungimea razei OA (precum și a razei OB ) este egală cu lungimea arcului AB , prin urmare, prin definiție, unghiul AOB este egal cu un radian.

Abrevierea „rad” este folosită pentru a desemna radiani. De exemplu, scrierea a 5 rad înseamnă 5 radiani. Cu toate acestea, în scris, denumirea „rad” este adesea omisă. De exemplu, când se scrie că unghiul este egal cu pi, înseamnă pi rad.

Trebuie remarcat separat că valoarea unghiului, exprimată în radiani, nu depinde de lungimea razei cercului. Acest lucru se datorează faptului că figurile delimitate de un unghi dat și un arc de cerc centrat la vârful unui unghi dat sunt similare între ele.

Măsurarea unghiurilor în radiani se poate face în același mod ca și măsurarea unghiurilor în grade: aflați de câte ori se încadrează un unghi de un radian (și părțile sale) într-un unghi dat. Și puteți calcula lungimea arcului unghiului central corespunzător și apoi o puteți împărți la lungimea razei.

Pentru nevoile de practică, este util să cunoaștem modul în care măsurile de grad și radian se relaționează între ele, deoarece o parte importantă trebuie efectuată. În acest articol, se stabilește o relație între gradul și măsura în radiani a unui unghi și sunt date exemple de conversie a gradelor în radiani și invers.

Desemnarea colțurilor în desen.

În desene, pentru comoditate și claritate, colțurile pot fi marcate cu arce, care sunt de obicei desenate în regiunea interioară a colțului de la o parte a colțului la cealaltă. Unghiurile egale sunt marcate cu același număr de arce, unghiurile inegale cu un număr diferit de arce. Unghiurile drepte din desen sunt notate printr-un simbol al formei "", care este reprezentat în regiunea interioară a unghiului drept de la o parte a colțului la cealaltă.

Dacă trebuie să marcați multe unghiuri diferite în desen (de obicei mai mult de trei), atunci atunci când desemnați unghiuri, pe lângă arce obișnuite, este permisă utilizarea arcelor de un tip special. De exemplu, puteți reprezenta arce zimțate sau ceva similar.

Trebuie remarcat faptul că nu ar trebui să vă lăsați duși de desemnarea unghiurilor în desene și să nu aglomerați desenele. Vă recomandăm să marcați doar acele unghiuri care sunt necesare în procesul de rezolvare sau dovedire.

Bibliografie.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Clasele 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 de liceu.
• Pogorelov A.V., Geometrie. Manual pentru clasele 7-11 ale instituțiilor de învățământ.

Un unghi este o figură geometrică, care constă din două raze diferite care emană dintr-un punct. În acest caz, aceste raze sunt numite laturile unghiului. Punctul care este începutul razelor se numește vârful unghiului. În imagine puteți vedea colțul cu vârful în punct O, și părțile kși m.

Pe părțile laterale ale colțului sunt marcate punctele A și C. Acest colț poate fi desemnat ca unghiul AOC. În mijloc trebuie să fie numele punctului în care se află vârful colțului. Există și alte denumiri, unghiul O sau unghiul km. În geometrie, în locul cuvântului unghi, se scrie adesea o pictogramă specială.

Unghi rotit și neînvârtit

Dacă ambele laturi ale unui unghi se află pe aceeași linie dreaptă, atunci se numește un astfel de unghi dislocat unghi. Adică, o parte a colțului este o continuare a celeilalte părți a colțului. Figura de mai jos arată unghiul O.

Trebuie remarcat faptul că orice unghi împarte planul în două părți. Dacă colțul nu este extins, atunci una dintre părți se numește regiunea interioară a colțului, iar cealaltă este regiunea exterioară a acestui colț. Figura de mai jos arată un colț neaplatizat și a marcat zonele exterioare și interioare ale acestui colț.

În cazul unui unghi dezvoltat, oricare dintre cele două părți în care împarte planul poate fi considerată regiunea exterioară a unghiului. Putem vorbi despre poziția unui punct față de un unghi. Punctul poate fi situat în afara colțului (în regiunea exterioară), poate fi pe una dintre laturile sale sau poate fi în interiorul colțului (în regiunea interioară).

În figura de mai jos, punctul A se află în afara colțului O, punctul B se află pe o parte a colțului și punctul C se află în interiorul colțului.

Măsurarea unghiului

Pentru a măsura unghiurile, există un dispozitiv numit raportor. Unitatea de măsură a unghiului este grad. Trebuie remarcat faptul că fiecare unghi are o anumită măsură de grad, care este mai mare decât zero.

În funcție de măsura gradului, unghiurile sunt împărțite în mai multe grupuri.

În școala elementară, elevii sunt introduși în conceptul de unghi. Dar ca figură geometrică cu anumite proprietăți, încep să o studieze din clasa a VII-a la geometrie. Pare, formă destul de simplă ce se poate spune despre ea. Dar, dobândind noi cunoștințe, școlarii înțeleg din ce în ce mai mult că poți afla fapte destul de interesante despre ea.

In contact cu

Când sunt studiate

Cursul de geometrie școlară este împărțit în două secțiuni: planimetrie și geometrie solidă. Fiecare dintre ele are multă atenție. dat la colturi:

• În planimetrie, este dat conceptul lor de bază, are loc cunoașterea tipurilor lor în mărime. Proprietățile fiecărui tip de triunghi sunt studiate mai detaliat. Apar noi definiții pentru elevi - acestea sunt forme geometrice formate la intersecția a două linii una cu alta și la intersecția mai multor linii ale unei secante.
• În stereometrie se studiază unghiurile spațiale - diedrul și triedrul.

Atenţie! Acest articol discută toate tipurile și proprietățile unghiurilor în planimetrie.

Definiție și măsurare

Începând să studiezi, mai întâi determină, ce este un unghiîn planimetrie.

Dacă luăm un anumit punct din plan și desenăm două raze arbitrare din el, obținem o figură geometrică - un unghi, constând din următoarele elemente:

• vârful - punctul din care au fost trase razele, este indicat printr-o majusculă a alfabetului latin;
• laturile sunt trase pe jumătate de linie de sus.

Toate elementele care formează figura în care luăm în considerare împart planul două părți:

• intern - în planimetrie nu depășește 180 de grade;
• extern.

Principiul măsurării unghiurilor în planimetrie explicat intuitiv. Pentru început, elevii sunt introduși în conceptul de unghi dezvoltat.

Important! Se spune că un unghi este dezvoltat dacă semi-liniile care emană din vârful său formează o linie dreaptă. Un unghi desfășurat sunt toate celelalte cazuri.

Dacă este împărțit în 180 de părți egale, atunci se obișnuiește să se ia în considerare măsura unei părți egală cu 10. În acest caz, se spune că măsurarea se face în grade, iar măsura gradului unei astfel de figuri este de 180 de grade.

Principalele tipuri

Tipurile de unghiuri sunt subdivizate în funcție de criterii precum măsurarea gradului, natura formării lor și categoriile de mai jos.

După mărime

Având în vedere mărimea, unghiurile sunt împărțite în:

• dislocat;
• Drept;
• bont;
• picant.

Ce unghi se numește desfășurat a fost prezentat mai sus. Să definim conceptul de linie dreaptă.

Poate fi obținut prin împărțirea desfășurată în două părți egale. În acest caz, este ușor să răspunzi la întrebarea: un unghi drept, de câte grade are?

Împărțiți 180 de grade la 2 pentru a obține unghiul drept este de 90 de grade. Aceasta este o figură minunată, deoarece multe fapte din geometrie sunt asociate cu ea.

De asemenea, are propriile sale caracteristici în denumire. Pentru a arăta un unghi drept în figură, acesta este indicat nu printr-un arc, ci printr-un pătrat.

Unghiurile care se obțin prin împărțirea unei raze arbitrare a unei drepte se numesc acute. Conform logicii lucrurilor, rezultă că un unghi ascuțit este mai mic decât un unghi drept, dar măsura lui este diferită de 0 grade. Adică are o valoare de la 0 la 90 de grade.

Un unghi obtuz este mai mare decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi drept. Măsura gradului său variază de la 90 la 180 de grade.

Acest element poate fi împărțit în diferite tipuri de figuri luate în considerare, excluzând cea extinsă.

Indiferent de modul în care este rupt unghiul nerotat, se folosește întotdeauna axioma de bază a planimetriei - „proprietatea principală a măsurării”.

La împărțind unghiul cu un fascicul sau mai multe, măsura gradului unei figuri date este egală cu suma măsurilor unghiurilor în care este împărțită.

La nivelul clasei a VII-a se termină acolo tipurile de unghiuri în mărimea lor. Dar pentru a spori erudiția, se poate adăuga că există și alte soiuri care au o măsură gradată de peste 180 de grade.Se numesc convexe.

Cifre la intersecția liniilor

Următoarele tipuri de unghiuri în care sunt introduși elevii sunt elementele formate atunci când două drepte se intersectează. Figurile care sunt plasate una față de alta se numesc verticale. Caracteristica lor distinctivă este că sunt egali.

Elementele care sunt adiacente aceleiași linii sunt numite adiacente. Teorema de cartografiere a proprietății lor spune că Unghiurile adiacente se adaugă până la 180 de grade.

Elementele dintr-un triunghi

Dacă considerăm figura ca un element dintr-un triunghi, atunci unghiurile sunt împărțite în interne și externe. Triunghiul este delimitat de trei segmente și este format din trei vârfuri. Unghiurile situate în interiorul triunghiului la fiecare vârf, numite interne.

Dacă luăm orice element intern la orice vârf și extindem orice latură, atunci unghiul care se formează și este adiacent celui intern se numește extern. Această pereche de elemente are următoarea proprietate: suma lor este de 180 de grade.

Intersecția a două drepte

Intersecția liniilor

Când două drepte se intersectează, se formează și unghiuri, care sunt de obicei distribuite în perechi. Fiecare pereche de elemente are propriul nume. Arata cam asa:

• încrucișare internă: ∟4 și ∟6, ∟3 și ∟5;
• interioare unilaterale: ∟4 și ∟5, ∟3 și ∟6;
• corespunzând: ∟1 și ∟5, ∟2 și ∟6, ∟4 și ∟8, ∟3 și ∟7.

Când o secantă intersectează două

Măsurarea unghiului

Unghiul in se măsoară în grade (grad, minut, secundă), în rotații - raportul dintre lungimea arcului s și circumferința L, în radiani - raportul dintre lungimea arcului s și raza r; istoric, s-a folosit și măsura grindinei pentru măsurarea unghiurilor; în prezent, aproape niciodată nu este folosită.

1 tură = 2π radiani = 360° = 400 grade.

În terminologia nautică, unghiurile sunt indicate prin puncte.

Tipuri de colțuri

Unghiurile adiacente sunt acute (a) și obtuze (b). Unghi inversat (c)

În plus, se consideră unghiul dintre curbele netede în punctul tangent: prin definiție, valoarea acestuia este egală cu unghiul dintre tangentele la curbe.

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți care este „unghiul dezvoltat” în alte dicționare:

Un unghi egal cu două unghiuri drepte. * SCANUL unei suprafețe este o figură obținută într-un plan cu o astfel de combinație de puncte ale unei suprafețe date cu acest plan, în care lungimile liniilor rămân neschimbate. Dezvoltarea curbei vezi Involute... Dicţionar enciclopedic mare

injecţie- ▲ diferența de direcție (în spațiu) unghiul extinderii virajului dintr-o direcție în alta; diferența de direcție; parte dintr-o viraj complet (înclinare #. forma #). înclinaţie. înclinat. deviere. deviază (drumul a deviat la dreapta). ... ...

Injecţie- Colțuri: 1 vedere generală; 2 adiacente; 3 adiacente; 4 verticale; 5 dislocați; 6 drepte, ascuțite și contondente; 7 între curbe; 8 între o linie dreaptă și un plan; 9 între drepte care se intersectează (nu se află în același plan) drepte. UNGHI, geometric… … Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

O figură geometrică formată din două raze diferite care emană din același punct. Sună Rays laturile U., iar începutul lor comun este vârful U. Fie [ BA), [ BC) laturile unghiului, B vârful acestuia, planul determinat de laturile U. Figura împarte planul ... ... Enciclopedie matematică

Un unghi egal cu două unghiuri drepte. * * * UNGHI REVELAT ANGUL REVELAT, un unghi egal cu două unghiuri drepte... Dicţionar enciclopedic

O ramură a matematicii care studiază proprietățile diferitelor forme (puncte, linii, unghiuri, obiecte bidimensionale și tridimensionale), dimensiunea și poziția relativă a acestora. Pentru comoditatea predării, geometria este împărțită în planimetrie și geometrie solidă. LA… … Enciclopedia Collier

1) O linie întreruptă închisă, și anume: dacă puncte diferite, nici trei consecutive nu se află pe aceeași linie dreaptă, atunci se numește mulțimea de segmente. poligon (vezi fig. 1). M. poate fi spațial sau plat (sub ...... Enciclopedie matematică

peste- ▲ la un unghi maxim, unghi oblic transversal. peste în unghi drept. . unghi drept de deviere maximă; un unghi egal cu cel alăturat; sfert de tură. perpendicular. perpendiculară în unghi drept. perpendicular. ... ... Dicționar ideologic al limbii ruse

grad- a, m. 1) Unitatea de măsură a unui unghi plat, egală cu 1/90 dintr-un unghi drept sau, respectiv, cu 1/360 dintr-un cerc. Un unghi de 90 de grade se numește unghi drept. Unghiul extins este de 180 de grade. 2) O unitate de măsură pentru un interval de temperatură având ... ... Dicționar popular al limbii ruse

Teorema lui Schwartz Christoffel, o teoremă importantă în teoria funcțiilor unei variabile complexe, poartă numele matematicienilor germani Karl Schwartz și Alvin Christoffel. Foarte importantă din punct de vedere practic este problema conformării ...... Wikipedia

Unghiul este figura geometrică principală, pe care o vom analiza pe parcursul subiectului. Definiții, metode de setare, notare și măsurare a unghiului. Să analizăm principiile selectării colțurilor din desene. Întreaga teorie este ilustrată și are un număr mare de desene vizuale.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiția 1

Injecţie- o simplă figură importantă în geometrie. Unghiul depinde direct de definiția unei raze, care constă, la rândul său, din conceptele de bază ale unui punct, o dreaptă și un plan. Pentru un studiu amănunțit, trebuie să aprofundați subiectele linie dreaptă pe un plan - informații necesareși avion - informații necesare.

Conceptul de unghi începe cu conceptele de punct, plan și linie dreaptă descrise pe acest plan.

Definiția 2

Dată o linie a pe un plan. Indicați un punct O pe el. Linia este împărțită de un punct în două părți, fiecare având un nume Ray, iar punctul O este pornirea fasciculului.

Cu alte cuvinte, o grindă sau semilinie - este o parte a unei linii, formată din puncte ale unei linii date, situate pe aceeași parte față de punctul de plecare, adică punctul O.

Desemnarea fasciculului este permisă în două variante: o literă mică sau două litere mari ale alfabetului latin. Când este notat cu două litere, fasciculul are un nume format din două litere. Să aruncăm o privire mai atentă asupra desenului.

Să trecem la conceptul de definire a unghiului.

Definiția 3

Injecţie- aceasta este o figură situată într-un plan dat, formată din două raze nepotrivite care au o origine comună. colțul lateral este o grindă vârf- începutul comun al părţilor.

Există un caz în care laturile unui unghi pot acționa ca o linie dreaptă.

Definiția 4

Când ambele laturi ale unui unghi sunt situate pe aceeași linie dreaptă sau laturile sale servesc ca semilinii suplimentare ale unei linii drepte, atunci un astfel de unghi se numește dislocat.

Figura de mai jos arată un colț turtit.

Un punct de pe o dreaptă este vârful unghiului. Cel mai adesea, este notat cu punctul O.

Un unghi în matematică este notat cu semnul „∠”. Când laturile unui unghi sunt notate cu latină mică, atunci pentru definirea corectă a unghiului, literele sunt scrise pe rând, respectiv, în funcție de laturi. Dacă două laturi sunt notate k și h, atunci unghiul este notat ca ∠ k h sau ∠ h k .

Când există o desemnare cu majuscule, atunci, respectiv, părțile laterale ale colțului au denumirile O A și O B. În acest caz, unghiul are un nume de trei litere ale alfabetului latin, scrise pe rând, în centru cu un vârf - ∠ A O B și ∠ B O A . Există o desemnare sub formă de numere atunci când colțurile nu au nume sau litere. Mai jos este o figură în care unghiurile sunt indicate în moduri diferite.

Un unghi împarte planul în două părți. Dacă unghiul nu este dezvoltat, atunci o parte a planului are numele zona colțului interior, celălalt - zona colțului exterior. Mai jos este o imagine care explică care părți ale avionului sunt externe și care sunt interne.

Când este împărțită la un unghi drept pe un plan, oricare dintre părțile sale este considerată a fi interiorul unghiului drept.

Zona interioară a colțului este un element care servește pentru a doua definiție a colțului.

Definiția 5

colţ se numește o figură geometrică, constând din două raze necoincidente, având o origine comună și o zonă internă corespunzătoare a unghiului.

Această definiție este mai riguroasă decât cea anterioară, deoarece are mai multe condiții. Nu este recomandabil să luăm în considerare ambele definiții separat, deoarece un unghi este o figură geometrică transformată folosind două raze care ies dintr-un punct. Când este necesar să se efectueze acțiuni cu un unghi, atunci definiția înseamnă prezența a două raze cu o origine comună și o regiune internă.

Definiția 6

Cele două colțuri sunt numite legate de, dacă există o latură comună, iar celelalte două sunt semilinii complementare sau formează un unghi drept.

Figura arată că colțurile adiacente se completează unul pe celălalt, deoarece sunt o continuare unul celuilalt.

Definiția 7

Cele două colțuri sunt numite vertical, dacă laturile uneia sunt semilinii complementare ale celeilalte sau sunt prelungiri ale laturilor celeilalte. Figura de mai jos prezintă o imagine a colțurilor verticale.

La încrucișarea liniilor se obțin 4 perechi de unghiuri adiacente și 2 perechi de unghiuri verticale. Mai jos este prezentat în imagine.

Articolul prezintă definițiile unghiurilor egale și inegale. Vom analiza ce unghi este considerat mare, care este mai mic și alte proprietăți ale unghiului. Două cifre sunt considerate egale dacă, atunci când sunt suprapuse, coincid complet. Aceeași proprietate se aplică pentru compararea unghiurilor.

Date două unghiuri. Este necesar să ajungem la concluzia dacă aceste unghiuri sunt egale sau nu.

Se știe că vârfurile a două colțuri și partea primului colț se suprapun cu orice altă parte a celui de-al doilea. Adică, în caz de coincidență completă, atunci când unghiurile sunt suprapuse, laturile unghiurilor date vor coincide complet, unghiurile egal.

Este posibil ca atunci când suprapuneți părțile laterale să nu fie combinate, apoi colțurile inegal, mai mic din care constă dintr-un altul, și Mai multîncorporează un alt unghi complet. Mai jos sunt unghiuri inegale nealiniate atunci când sunt suprapuse.

Unghiurile dezvoltate sunt egale.

Măsurarea unghiurilor începe cu măsurarea laturii unghiului măsurat și a regiunii sale interioare, umplându-le cu unghiuri unitare, acestea sunt aplicate unul altuia. Este necesar să se numără numărul de colțuri stivuite, ele predetermină măsura unghiului măsurat.

O unitate de unghi poate fi exprimată în orice unghi măsurabil. Există unități de măsură general acceptate care sunt utilizate în știință și tehnologie. Ei sunt specializați în alte titluri.

Conceptul cel mai des folosit grad.

Definiția 8

un grad se numește unghi care are o sută optzecime dintr-un unghi îndreptat.

Notația standard pentru un grad este „°”, apoi un grad este 1°. Prin urmare, un unghi drept este format din 180 de astfel de unghiuri, constând dintr-un grad. Toate colțurile disponibile sunt stivuite strâns unele pe altele, iar laturile celui precedent sunt aliniate cu următoarea.

Se știe că numărul de grade dintr-un unghi este aceeași măsură a unghiului. Colțul dezvoltat are 180 de colțuri stivuite în compoziția sa. Figura de mai jos prezintă exemple în care unghiul este așezat de 30 de ori, adică o șesime din extins și de 90 de ori, adică jumătate.

Minutele și secundele sunt folosite pentru a determina cu precizie măsurătorile unghiului. Ele sunt utilizate atunci când valoarea unghiului nu este o desemnare a unui grad întreg. Astfel de părți ale unui grad vă permit să efectuați calcule mai precise.

Definiția 9

minut numită o şaizecime de grad.

Definiția 10

al doilea numit o şaizecime de minut.

Un grad conține 3600 de secunde. Minutele indică """, iar secundele """". Desemnarea are loc:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

iar notația pentru unghiul 17 grade 3 minute și 59 secunde este 17° 3 „59””.

Definiția 11

Să dăm un exemplu de desemnare a gradului de măsură a unui unghi egal cu 17 ° 3 "59" ". Intrarea are o altă formă 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

Pentru a măsura cu precizie unghiurile, se folosește un dispozitiv de măsurare, cum ar fi un raportor. La desemnarea unghiului ∠ A O B și a gradului său de măsură de 110 grade, se folosește o notație mai convenabilă ∠ A O B \u003d 110 °, care spune „Unghiul A O B este egal cu 110 grade”.

În geometrie, se folosește o măsură a unghiului din intervalul (0 , 180 ], iar în trigonometrie se numește o măsură de grad arbitrară unghiuri de rotire. Valoarea unghiurilor este întotdeauna exprimată ca număr real. Unghi drept este un unghi care are 90 de grade. Colt ascutit este un unghi care este mai mic de 90 de grade și bont- Mai mult.

Un unghi ascuțit este măsurat în intervalul (0, 90) , iar un unghi obtuz - (90, 180) . Trei tipuri de unghiuri sunt prezentate clar mai jos.

Orice măsură de grad a oricărui unghi are aceeași valoare. Un unghi mai mare, respectiv, are o măsură de grad mai mare decât unul mai mic. Gradul de măsurare a unui unghi este suma tuturor gradelor de măsură disponibile ale unghiurilor interioare. Figura de mai jos arată unghiul AOB, format din unghiurile AOC, COD și DOB. În detaliu, arată astfel: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Pe baza acestui fapt, se poate concluziona că sumă toate unghiurile adiacente este de 180 de grade deoarece toate formează un unghi extins.

De aici rezultă că orice unghiurile verticale sunt egale. Dacă luăm în considerare acest lucru cu un exemplu, obținem că unghiul A O B și C O D sunt verticale (în desen), atunci perechile de unghiuri A O B și B O C, C O D și B O C sunt considerate adiacente. Într-un astfel de caz, egalitatea ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° împreună cu ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° sunt considerate unic adevărate. Prin urmare avem că ∠ A O B = ∠ C O D . Mai jos este un exemplu de imagine și denumirea capturilor verticale.

Pe lângă grade, minute și secunde, se folosește o altă unitate de măsură. Se numeste radian. Cel mai adesea poate fi găsit în trigonometrie atunci când se desemnează unghiurile poligoanelor. Ceea ce se numește radian.

Definiția 12

Un unghi radian numit unghi central, care are raza unui cerc egală cu lungimea arcului.

În figură, radianul este reprezentat ca un cerc, unde există un centru, indicat printr-un punct, cu două puncte de pe cerc legate și convertite în raze O A și O B. Prin definiție, acest triunghi A O B este echilateral, ceea ce înseamnă că lungimea arcului A B este egală cu lungimile razelor O B și Oh A.

Denumirea unghiului este luată drept „rad”. Adică, o intrare în 5 radiani este abreviată ca 5 rad. Uneori puteți găsi o denumire care are numele pi. Radianii nu depind de lungimea unui cerc dat, deoarece figurile au un fel de restricție cu ajutorul unui unghi și arcul său cu un centru situat la vârful unui unghi dat. Sunt considerate similare.

Radianii au aceeași semnificație ca și grade, doar că diferența este în mărimea lor. Pentru a determina acest lucru, este necesar să împărțiți lungimea calculată a arcului unghiului central la lungimea razei acestuia.

În practică, ei folosesc convertiți grade în radiani și radiani în grade pentru rezolvarea mai usoara a problemelor. Articolul specificat conține informații despre legătura dintre măsura gradului și radian, unde puteți studia în detaliu traducerile de la grad la radian și invers.

Pentru o reprezentare vizuală și convenabilă a arcurilor, unghiurilor, desenelor sunt utilizate. Nu este întotdeauna posibil să descrii și să marchezi corect un anumit unghi, arc sau nume. Unghiurile egale au denumirea sub forma aceluiași număr de arce și inegale sub forma unora diferite. Desenul arată desemnarea corectă a unghiurilor ascuțite, egale și inegale.

Când trebuie marcate mai mult de 3 colțuri, sunt utilizate denumiri speciale de arc, cum ar fi ondulat sau zimțat. Nu contează atât de mult. Figura de mai jos arată denumirea acestora.

Desemnarea unghiurilor trebuie să fie simplă pentru a nu interfera cu alte valori. Când rezolvați o problemă, se recomandă să selectați doar colțurile necesare rezolvării, pentru a nu aglomera întregul desen. Acest lucru nu va interfera cu soluția și dovada și va oferi, de asemenea, un aspect estetic desenului.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter