Vechii matematicieni știau deja despre un segment de unitate de lungime: cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea numărului.

Iraționale sunt:

Exemple de dovezi de iraționalitate

Rădăcina lui 2

Să presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat sub forma unei fracții ireductibile, unde și sunt numere întregi. Să punem la pătrat presupusa egalitate:

.

Rezultă că chiar este par și . Să fie acolo unde este întregul. Apoi

Prin urmare, chiar înseamnă par și . Am constatat că și sunt pare, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Aceasta înseamnă că presupunerea inițială a fost incorectă și este un număr irațional.

Logaritmul binar al numărului 3

Să presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și pot fi alese să fie pozitive. Apoi

Dar par și ciudat. Primim o contradicție.

e

Poveste

Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manava (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) și-a dat seama că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, cum ar fi 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit. .

Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreean care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor pentagramei. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care intra în orice segment de un număr întreg de ori. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel conține un număr întreg de segmente unitare, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar. Dovada arăta astfel:

• Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde AȘi b ales ca cel mai mic posibil.
• Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
• Deoarece A- chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
• Deoarece A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
• Deoarece A chiar, notăm A = 2y.
• Apoi A² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², prin urmare b- chiar si atunci b chiar.
• S-a dovedit însă că b ciudat. Contradicţie.

Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(de nespus), dar conform legendelor nu i-au adus respectul cuvenit lui Hippasus. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreeni „pentru că a creat un element al universului care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor”. Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

Vezi si

Note

Sisteme numerice
Socoteală seturi	numere întregi ()

Ce numere sunt iraționale? Număr irațional nu este un număr real rațional, adică nu poate fi reprezentat ca o fracție (ca un raport de două numere întregi), unde m- întreg, n- numar natural . Număr irațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală neperiodică infinită.

Număr irațional poate să nu aibă un sens exact. Doar în format 3.333333…. De exemplu, rădăcina pătrată a lui doi este un număr irațional.

Care număr este irațional? Număr irațional(spre deosebire de rațional) se numește fracție neperiodică zecimală infinită.

Set de numere iraționale adesea notat cu o literă latină majusculă în stil îndrăzneț fără umbrire. Acea.:

Acestea. Mulțimea numerelor iraționale este diferența dintre mulțimile numerelor reale și raționale.

Proprietățile numerelor iraționale.

• Suma a 2 numere iraționale nenegative poate fi un număr rațional.
• Numerele iraționale definesc tăieturile Dedekind în mulțimea numerelor raționale, în clasa inferioară a cărora nu există cel mai mare număr, iar în clasa superioară nu există unul mai mic.
• Fiecare număr transcendental real este un număr irațional.
• Toate numerele iraționale sunt fie algebrice, fie transcendentale.
• Mulțimea numerelor iraționale este densă peste tot pe linia numerică: între fiecare pereche de numere există un număr irațional.
• Ordinea în mulțimea numerelor iraționale este izomorfă cu ordinea în mulțimea numerelor reale transcendentale.
• Mulțimea numerelor iraționale este infinită și este o mulțime din categoria a 2-a.
• Rezultatul fiecărei operații aritmetice cu numere raționale (cu excepția împărțirii cu 0) este un număr rațional. Rezultatul operațiilor aritmetice asupra numerelor iraționale poate fi fie un număr rațional, fie un număr irațional.
• Suma unui număr rațional și a unui număr irațional va fi întotdeauna un număr irațional.
• Suma numerelor iraționale poate fi un număr rațional. De exemplu, lăsa X irațional atunci y=x*(-1) de asemenea irațional; x+y=0, si numarul 0 rațional (dacă, de exemplu, adunăm rădăcina oricărui grad de 7 și minus rădăcina aceluiași grad de șapte, obținem numărul rațional 0).

Numere iraționale, exemple.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Nu toate operațiile considerate în algebră sunt fezabile în domeniul numerelor raționale. Un exemplu este operația cu rădăcina pătrată. Deci, dacă egalitatea este valabilă pentru valorile lui , atunci egalitatea nu este valabilă pentru nicio valoare rațională. Să demonstrăm acest lucru. În primul rând, observăm că un întreg nu poate avea un pătrat egal cu 2: pentru că avem și pentru este cu siguranță mai mare decât 2. Să presupunem acum că fracția este: (fracția este considerată ireductibilă) și

Prin urmare, trebuie să fie un număr par (altfel pătratul nu ar fi par). Să punem.

Acum se dovedește că și este par, ceea ce contrazice presupunerea că fracția este ireductibilă

Acest lucru arată că în domeniul numerelor raționale numărul 2 nu poate avea rădăcini pătrate, simbolul nu are nicio semnificație în domeniul numerelor raționale. Între timp, sarcina: „găsește latura unui pătrat, știind că aria lui este egală cu S” este la fel de naturală cu ca și cu. Calea de ieșire din aceasta și alte dificultăți similare este să extinzi și mai mult conceptul de număr, să introduci un nou tip de numere - numere iraționale.

Să arătăm cum să introducem numere iraționale folosind exemplul problemei extragerii rădăcinii pătrate a numărului 2; Pentru simplitate, ne vom limita la valoarea pozitivă a rădăcinii.

Pentru fiecare număr rațional pozitiv, una dintre inegalitățile sau Evident, . Apoi luăm în considerare numerele și găsim două dintre ele învecinate cu proprietatea că primul are un pătrat mai mic decât doi, iar al doilea are un pătrat mai mare decât doi. Și anume, În mod similar, continuând acest proces, obținem o serie de inegalități (pentru a obține fracțiile zecimale scrise aici, puteți folosi și binecunoscutul algoritm pentru extragerea aproximativă a rădăcinii pătrate, pasul 13):

Comparând mai întâi părțile întregi și apoi prima, a doua, a treia, etc. cifre după punctul zecimal al numerelor raționale, între pătratele cărora există 2, putem scrie secvenţial aceste zecimale:

Procesul de găsire a perechilor de numere raționale (exprimate ca fracții zecimale finite) care diferă între ele prin creșterea lui m poate fi continuat la nesfârșit. Prin urmare, putem considera fracția (6.1) ca o fracție zecimală infinită (neperiodică, deoarece dacă periodică ar reprezenta un număr rațional).

Această fracție neperiodică infinită, orice număr de zecimale pe care le putem nota, dar pentru care este imposibil să notăm toate semnele în același timp, este luată ca un număr egal cu (adică un număr al cărui pătrat este egal cu 2).

Reprezentăm valoarea negativă a rădăcinii pătrate a doi ca

sau, folosind o formă artificială de scriere a numerelor, în forma

Să introducem acum următoarea definiție: un număr irațional este orice fracție zecimală neperiodică infinită

unde a este partea care face parte a numărului (poate fi pozitiv, egal cu zero sau negativ) și sunt zecimale (cifre) ale părții sale fracționale.

Un număr irațional definit de o fracție neperiodică infinită definește două secvențe de fracții zecimale finite, numite aproximări zecimale a prin deficiență și prin exces:

De exemplu, pentru noi scriem

etc. Aici, de exemplu, 1,41 este o aproximare zecimală cu o precizie de 0,01 pentru deficiență și 1,42 pentru exces.

Înregistrarea inegalităților dintre un număr irațional și aproximările sale zecimale este inclusă în însăși definiția conceptului de număr irațional și poate fi folosită ca bază pentru determinarea relațiilor „mai mult decât” și „mai puțin decât” pentru numerele iraționale.

Posibilitatea reprezentării numerelor iraționale prin aproximațiile lor zecimale din ce în ce mai precise stă la baza definirii operațiilor aritmetice asupra numerelor iraționale, care sunt de fapt efectuate asupra aproximărilor lor iraționale prin deficiență sau exces.

Multe acțiuni duc la numere iraționale, cum ar fi acțiunea de a lua rădăcina unei puteri dintr-un număr rațional (dacă nu reprezintă o putere a altui număr rațional), logaritm, etc. Un număr irațional este egal cu raportul dintre circumferința unui cerc până la diametrul acestuia (art. 229).

Toate numerele raționale și iraționale formează împreună mulțimea numerelor reale (sau reale). Astfel, fiecare fracție zecimală, finită sau infinită (periodică sau neperiodică), determină întotdeauna un număr real.

Fiecare număr real, altul decât zero, este fie pozitiv, fie negativ.

În acest sens, să reamintim următoarea definiție. Valoarea absolută sau modulul unui număr real a este un număr determinat de egalitățile a if

Astfel, modulul unui număr nenegativ este egal cu acel număr însuși (linia superioară a egalității); Modulul unui număr negativ este egal cu acest număr luat cu semnul opus (linia de jos). De exemplu,

Din definiția modulului rezultă că modulul oricărui număr este un număr nenegativ; dacă modulul unui număr este egal cu zero, atunci numărul în sine este egal cu zero; în alte cazuri, modulul este pozitiv.

Numerele reale formează un câmp numeric - un câmp de numere reale: rezultatul operațiilor raționale asupra numerelor reale este din nou exprimat printr-un număr real. Rețineți că numerele iraționale luate individual nu formează nici un câmp, nici măcar un inel: de exemplu, suma a două numere iraționale este egală cu numărul rațional 3.

Scurta noastră schiță a dezvoltării conceptului de număr, construit conform schemei

Vom încheia subliniind cele mai importante proprietăți ale mulțimii numerelor reale.

1. Numerele reale formează un câmp.

2. Operațiile pe numere reale sunt supuse legilor obișnuite (de exemplu, adunarea și înmulțirea - legile comutativității, asociativității, distributivității, paragraful 1).

3. Pentru oricare două numere reale a și b, una și numai una dintre cele trei relații este valabilă: a este mai mare decât b (a > b) și este mai mică decât , și este egal cu . Prin urmare, ei spun că mulțimea numerelor reale este ordonată.

4. În fine, se obișnuiește să se spună că mulțimea numerelor reale are proprietatea continuității. Semnificația dată acestei expresii este explicată în paragraful 8. Această proprietate este cea care distinge în mod semnificativ câmpul numerelor reale de câmpul numerelor raționale.

numere întregi

Numerele folosite în numărare se numesc numere naturale. De exemplu, $1,2,3$ etc. Numerele naturale formează mulțimea numerelor naturale, care este notat cu $N$. Această denumire provine din cuvântul latin naturalis- natural.

Numerele opuse

Definiția 1

Dacă două numere diferă doar prin semne, ele se numesc în matematică numere opuse.

De exemplu, numerele $5$ și $-5$ sunt numere opuse, deoarece Ele diferă doar prin semne.

Nota 1

Pentru orice număr există un număr opus și doar unul.

Nota 2

Numărul zero este opusul său.

Numere întregi

Definiția 2

Întreg numerele sunt numerele naturale, contrariile lor și zero.

Mulțimea numerelor întregi include mulțimea numerelor naturale și contrariile lor.

Se notează numere întregi $Z.$

Numerele fracționale

Numerele de forma $\frac(m)(n)$ se numesc fracții sau numere fracționale. Numerele fracționale pot fi scrise și sub formă zecimală, adică. sub formă de fracții zecimale.

De exemplu: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ etc.

La fel ca numerele întregi, numerele fracționale pot fi fie pozitive, fie negative.

Numere rationale

Definiția 3

Numere rationale este o mulțime de numere care conține o mulțime de numere întregi și fracții.

Orice număr rațional, atât întreg cât și fracționar, poate fi reprezentat ca o fracție $\frac(a)(b)$, unde $a$ este un număr întreg și $b$ este un număr natural.

Astfel, același număr rațional poate fi scris în moduri diferite.

De exemplu,

Aceasta arată că orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală finită sau o fracție zecimală infinită periodică.

Mulțimea numerelor raționale se notează cu $Q$.

Ca rezultat al efectuării oricărei operații aritmetice asupra numerelor raționale, răspunsul rezultat va fi un număr rațional. Acest lucru este ușor de demonstrat, datorită faptului că la adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite, obțineți o fracție obișnuită.

Numere irationale

În timp ce studiezi un curs de matematică, de multe ori trebuie să te confrunți cu numere care nu sunt raționale.

De exemplu, pentru a verifica existența unei mulțimi de numere altele decât cele raționale, să rezolvăm ecuația $x^2=6$ Rădăcinile acestei ecuații vor fi numerele $\surd 6$ și -$\surd 6$ . Aceste numere nu vor fi raționale.

De asemenea, când găsim diagonala unui pătrat cu latura $3$, aplicăm teorema lui Pitagora și aflăm că diagonala va fi egală cu $\surd 18$. Nici acest număr nu este rațional.

Se numesc astfel de numere iraţional.

Deci, un număr irațional este o fracție zecimală neperiodică infinită.

Unul dintre numerele iraționale întâlnite frecvent este numărul $\pi $

Când se efectuează operații aritmetice cu numere iraționale, rezultatul rezultat poate fi fie un număr rațional, fie un număr irațional.

Să demonstrăm acest lucru folosind exemplul de găsire a produsului numerelor iraționale. Sa gasim:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Prin decizie

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Acest exemplu arată că rezultatul poate fi fie un număr rațional, fie un număr irațional.

Dacă numerele raționale și iraționale sunt implicate în operații aritmetice în același timp, atunci rezultatul va fi un număr irațional (cu excepția, desigur, înmulțirea cu $0$).

Numere reale

Mulțimea numerelor reale este o mulțime care conține mulțimea numerelor raționale și iraționale.

Mulțimea numerelor reale se notează cu $R$. Simbolic, mulțimea numerelor reale poate fi notată cu $(-?;+?).$

Am spus mai devreme că un număr irațional este o fracție zecimală infinită neperiodică și orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală finită sau o fracție zecimală infinită periodică, deci orice fracție zecimală finită și infinită va fi un număr real.

La efectuarea operațiilor algebrice se vor respecta următoarele reguli:

1. La înmulțirea și împărțirea numerelor pozitive, numărul rezultat va fi pozitiv
2. La înmulțirea și împărțirea numerelor negative, numărul rezultat va fi pozitiv
3. La înmulțirea și împărțirea numerelor negative și pozitive, numărul rezultat va fi negativ

Numerele reale pot fi, de asemenea, comparate între ele.