Dar la acel moment l-am formulat într-o formă „simplificată”, convenabilă și suficientă pentru a lucra cu fracții obișnuite. În acest articol, ne vom uita la proprietatea de bază a fracțiilor așa cum se aplică fracțiilor algebrice (adică fracțiilor al căror numărător și numitor sunt polinoame; în unele manuale de algebră, astfel de fracții sunt numite fracții raționale mai degrabă decât algebrice). Mai întâi să formulăm proprietatea principală a unei fracții algebrice, îl vom justifica, iar după aceea vom enumera principalele domenii de aplicare a acestuia.

Navigare în pagină.

Formulare și justificare

Pentru început, să ne amintim cum a fost formulată proprietatea de bază a unei fracții pentru fracțiile obișnuite: dacă atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții obișnuite sunt înmulțite sau împărțite cu un număr natural, atunci valoarea fracției nu se va schimba. Această afirmație corespunde egalităților și (care sunt valabile și cu părți rearanjate sub forma și ), unde a, b și m sunt unele.

De fapt, nu este nevoie să vorbim despre împărțirea numărătorului și numitorului la un număr - acest caz este acoperit de o egalitate a formei . De exemplu, egalitatea poate fi justificată prin divizare folosind egalitatea ca , dar poate fi justificată și pe bază de egalitate ca . Prin urmare, în continuare vom asocia proprietatea principală a unei fracții cu egalitatea (și) și nu ne vom opri asupra egalității (și).

Acum vom arăta că proprietatea principală a unei fracții se aplică și fracțiilor al căror numărător și numitor sunt . Pentru a face acest lucru, demonstrăm că egalitatea scrisă este adevărată nu numai pentru numerele naturale, ci și pentru orice numere reale. Cu alte cuvinte, vom demonstra că egalitatea este adevărată pentru orice numere reale a, b și m, iar b și m sunt diferite de zero (altfel vom întâlni împărțirea la zero).

Fie fracția a/b o reprezentare a numărului z, adică . Să demonstrăm că fracției îi corespunde și numărului z, adică demonstrăm că . Aceasta va dovedi egalitatea.

Este demn de remarcat faptul că, dacă o fracție algebrică are coeficienți fracționari, atunci înmulțirea numărătorului și numitorului ei cu un anumit număr ne permite să trecem la coeficienți întregi și, prin urmare, să îi simplificăm forma. De exemplu, . Iar regulile pentru schimbarea semnelor membrilor unei fracții algebrice se bazează pe înmulțirea numărătorului și numitorului cu minus unu.

A doua cea mai importantă aplicație a proprietății de bază a fracțiilor este reducerea fracțiilor algebrice. În cazul general, reducerea se realizează în două etape: în primul rând, numărătorul și numitorul sunt factorizați, ceea ce face posibilă găsirea unui factor comun m, iar apoi, pe baza egalității, se face o tranziție la o fracțiune din formează a/b fără acest factor comun. De exemplu, o fracție algebrică după factorizarea numărătorului și numitorului ia forma www.site, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

Când un elev intră în liceu, matematica este împărțită în două materii: algebră și geometrie. Sunt tot mai multe concepte, sarcinile sunt din ce în ce mai dificile. Unii oameni au dificultăți în înțelegerea fracțiilor. Am ratat prima lecție pe acest subiect și voila. fractii? O întrebare care îmi va chinui toată viața de școală.

Conceptul de fracție algebrică

Să începem cu o definiție. Sub fracție algebrică se referă la expresiile P/Q, unde P este numărătorul și Q este numitorul. Un număr, o expresie numerică sau o expresie numerică-alfabetică pot fi ascunse sub o literă.

Înainte de a vă întreba cum să rezolvați fracțiile algebrice, trebuie mai întâi să înțelegeți că o astfel de expresie face parte din întreg.

De regulă, un număr întreg este 1. Numărul din numitor arată în câte părți este împărțită unitatea. Numărătorul este necesar pentru a afla câte elemente sunt luate. Bara de fracțiuni corespunde semnului diviziunii. Este permisă scrierea unei expresii fracționale ca operație matematică „Diviziune”. În acest caz, numărătorul este dividendul, numitorul este divizorul.

Regula de bază a fracțiilor comune

Când elevii studiază această temă la școală, li se oferă exemple pentru a le consolida. Pentru a le rezolva corect și a găsi diferite căi de ieșire din situații complexe, trebuie să aplicați proprietatea de bază a fracțiilor.

Se întâmplă astfel: dacă înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr sau expresie (alta decât zero), valoarea fracției comune nu se modifică. Un caz special al acestei reguli este împărțirea ambelor părți ale unei expresii cu același număr sau polinom. Astfel de transformări se numesc egalități identice.

Mai jos ne vom uita la cum să rezolvăm adunarea și scăderea fracțiilor algebrice, înmulțirea, împărțirea și reducerea fracțiilor.

Operatii matematice cu fractii

Să ne uităm la cum să rezolvăm, principala proprietate a unei fracții algebrice și cum să o aplicăm în practică. Dacă trebuie să înmulțiți două fracții, să le adunați, să le împărțiți una cu alta sau să scădeți, trebuie să respectați întotdeauna regulile.

Astfel, pentru operația de adunare și scădere trebuie găsit un factor suplimentar pentru a aduce expresiile la un numitor comun. Dacă fracțiile sunt inițial date cu aceleași expresii Q, atunci acest paragraf ar trebui să fie omis. Odată găsit numitorul comun, cum rezolvi fracțiile algebrice? Trebuie să adăugați sau să scădeți numărători. Dar! Trebuie reținut că, dacă există un semn „-” în fața fracției, toate semnele din numărător sunt inversate. Uneori nu ar trebui să efectuați substituții sau operații matematice. Este suficient să schimbi semnul în fața fracției.

Conceptul este adesea folosit ca fracții reducătoare. Aceasta înseamnă următoarele: dacă numărătorul și numitorul sunt împărțite la o expresie diferită de una (aceeași pentru ambele părți), atunci se obține o nouă fracție. Dividendele și divizorul sunt mai mici decât înainte, dar datorită regulii de bază a fracțiilor rămân egale cu exemplul original.

Scopul acestei operații este obținerea unei noi expresii ireductibile. Puteți rezolva această problemă reducând numărătorul și numitorul cu cel mai mare factor comun. Algoritmul de operare constă din două puncte:

1. Aflarea mcd pentru ambele părți ale fracției.
2. Împărțirea numărătorului și numitorului la expresia găsită și obținerea unei fracții ireductibile egale cu cea anterioară.

Mai jos este un tabel care arată formulele. Pentru comoditate, îl puteți imprima și îl puteți purta cu dvs. într-un caiet. Cu toate acestea, pentru ca în viitor, la rezolvarea unui test sau examen, să nu existe dificultăți în problema modului de rezolvare a fracțiilor algebrice, aceste formule trebuie învățate pe de rost.

Câteva exemple cu soluții

Din punct de vedere teoretic, se ia în considerare problema cum se rezolvă fracțiile algebrice. Exemplele date în articol vă vor ajuta să înțelegeți mai bine materialul.

1. Convertiți fracțiile și aduceți-le la un numitor comun.

2. Convertiți fracțiile și aduceți-le la un numitor comun.

După ce am studiat partea teoretică și am luat în considerare partea practică, nu ar trebui să mai apară întrebări.

§ 1 Conceptul de fracție algebrică

O fracție algebrică este expresia

unde P și Q sunt polinoame; P este numărătorul fracției algebrice, Q este numitorul fracției algebrice.

Iată exemple de fracții algebrice:

Orice polinom este un caz special al unei fracții algebrice, deoarece orice polinom poate fi scris sub forma

De exemplu:

Valoarea unei fracții algebrice depinde de valoarea variabilelor.

De exemplu, să calculăm valoarea fracției

1)

2)

În primul caz obținem:

Rețineți că această fracție poate fi redusă:

Astfel, calcularea valorii unei fracții algebrice este simplificată. Să profităm de asta.

În al doilea caz obținem:

După cum puteți vedea, odată cu modificarea valorilor variabilelor, valoarea fracției algebrice s-a schimbat.

§ 2 Valori admisibile ale variabilelor unei fracții algebrice

Luați în considerare fracția algebrică

Valoarea x = -1 este invalidă pentru această fracție, deoarece numitorul fracției la această valoare a lui x devine zero. Cu această valoare a variabilei, fracția algebrică nu are sens.

Astfel, valorile admisibile ale variabilelor unei fracții algebrice sunt acele valori ale variabilelor la care numitorul fracției nu dispare.

Să rezolvăm câteva exemple.

La ce valori ale variabilei nu are sens fracția algebrică:

Pentru a găsi valori nevalide ale variabilelor, numitorul fracției este setat la zero și se găsesc rădăcinile ecuației corespunzătoare.

La ce valori ale variabilei este fracția algebrică egală cu zero:

O fracție este egală cu zero dacă numărătorul este zero. Să echivalăm numărătorul fracției noastre cu zero și să găsim rădăcinile ecuației rezultate:

Astfel, pentru x = 0 și x = 3, această fracție algebrică nu are sens, ceea ce înseamnă că trebuie să excludem aceste valori ale variabilei din răspuns.

Deci, în această lecție ați învățat conceptele de bază ale unei fracții algebrice: numărătorul și numitorul unei fracții, precum și valorile acceptabile ale variabilelor unei fracții algebrice.

Lista literaturii folosite:

1. Mordkovich A.G. „Algebra” clasa a VIII-a. La 2 ore.Partea 1 Manual pentru institutii de invatamant / A.G. Mordkovici. – Ed. a 9-a, revizuită. – M.: Mnemosyne, 2007. – 215 p.: ill.
2. Mordkovich A.G. „Algebra” clasa a VIII-a. La 2 ore.Partea 2 Cartea de probleme pentru institutii de invatamant / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya. – ed. a VIII-a, – M.: Mnemosyne, 2006 – 239 p.
3. Algebră. clasa a 8-a. Teste pentru studenții instituțiilor de învățământ din L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovich ed. a 2-a, șters. - M.: Mnemosyne 2009. - 40 p.
4. Algebră. clasa a 8-a. Muncă independentă pentru studenții instituțiilor de învățământ: la manualul de A.G. Mordkovich, L.A. Alexandrov, ed. A.G. Mordkovici. Ed. a 9-a, șters. - M.: Mnemosyne 2013. - 112 p.

În § 42 s-a spus că dacă împărțirea polinoamelor nu poate fi realizată complet, atunci câtul se scrie sub forma unei expresii fracționale în care dividendul este numărătorul și divizorul este numitorul.

Exemple de expresii fracționale:

Numătorul și numitorul unei expresii fracționale pot fi ele însele expresii fracționale, de exemplu:

Dintre expresiile algebrice fracționale, cel mai adesea trebuie să aveți de-a face cu acelea în care numărătorul și numitorul sunt polinoame (în special, monomii). Fiecare astfel de expresie se numește fracție algebrică.

Definiție. O expresie algebrică care este o fracție al cărei numărător și numitor sunt polinoame se numește fracție algebrică.

Ca și în aritmetică, numărătorul și numitorul unei fracții algebrice se numesc termenii fracției.

În viitor, după ce am studiat operațiile pe fracții algebrice, vom putea transforma orice expresie fracțională într-o fracție algebrică folosind transformări identice.

Exemple de fracții algebrice:

Rețineți că întreaga expresie, adică un polinom, poate fi scrisă ca fracție; pentru a face acest lucru, este suficient să scrieți această expresie la numărător și 1 la numitor. De exemplu:

2. Valori acceptabile ale literelor.

Literele incluse numai în numărător pot lua orice valoare (cu excepția cazului în care sunt introduse restricții suplimentare de condiția problemei).

Pentru literele incluse în numitor, sunt valabile doar acele valori care nu transformă numitorul la zero. Prin urmare, în cele ce urmează vom presupune întotdeauna că numitorul unei fracții algebrice nu este egal cu zero.