I = ∑r eu 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)

În principiu, atât definiția, cât și formula care o descrie nu sunt complicate și a le aminti este mult mai ușor decât a înțelege esența. Dar totuși, să încercăm să ne dăm seama care este momentul de inerție și de unde vine.

Conceptul de moment de inerție a ajuns la puterea materialelor și a mecanicii structurale dintr-o altă ramură a fizicii care studiază cinematica mișcării, în special mișcarea de rotație. Dar oricum să începem de departe.

Nu știu sigur dacă un măr a căzut în capul lui Isaac Newton, dacă a căzut în apropiere sau dacă nu a căzut deloc; teoria probabilității permite toate aceste opțiuni (în plus, sunt prea multe în acest măr). din legenda biblică despre arborele cunoașterii), dar sunt sigur că Newton era un om observator, capabil să tragă concluzii din observațiile sale. Astfel, observația și imaginația i-au permis lui Newton să formuleze legea fundamentală a dinamicii (a doua lege a lui Newton), conform căreia masa unui corp m, înmulțit cu accelerație A, este egală cu forța care acționează Q(de fapt, denumirea F este mai obișnuită pentru forță, dar întrucât mai departe ne vom ocupa de aria, care este adesea denumită și F, folosesc denumirea Q pentru forța externă, considerată în mecanică teoretică ca o sarcină concentrată, de fapt, nu se schimbă):

Q = ma (1.2)

Pentru mine, măreția lui Newton constă tocmai în simplitatea și claritatea acestei definiții. Și, de asemenea, dacă luăm în considerare că cu mișcarea uniform accelerată, accelerația A egal cu raportul de creștere a vitezei ΔV la o perioadă de timp Δt, timp în care viteza s-a schimbat:

a = Δv/Δt = (v - v о)/t (1.3.1)

la V o = 0 a = v/t (1.3.2)

apoi puteți determina parametrii de bază ai mișcării, cum ar fi distanța, viteza, timpul și chiar impulsul R, care caracterizează cantitatea de mișcare:

p = mv (1.4)

De exemplu, un măr care cade de la diferite înălțimi doar sub influența gravitației va dura diferiți timpi pentru a ajunge la sol, va avea viteze diferite în momentul aterizării și, în mod corespunzător, un impuls diferit. Cu alte cuvinte, un măr care cade de la o înălțime mai mare va dura mai mult să zboare și va crăpa mai tare pe fruntea observatorului ghinionist. Iar Newton a redus toate acestea la o formulă simplă și de înțeles.

Newton a formulat și legea inerției (prima lege a lui Newton): dacă accelerația a = 0, atunci într-un cadru de referință inerțial este imposibil să se determine dacă corpul observat, asupra căruia nu este acționat de forțele externe, este în repaus sau se mișcă în linie dreaptă cu o viteză constantă. Această proprietate a corpurilor materiale de a-și menține viteza, chiar și zero, se numește inerție. Măsura inerției este masa inerțială a corpului. Uneori masa inerțială este numită inertă, dar acest lucru nu schimbă esența materiei. Se crede că masa inerțială este egală cu masa gravitațională și, prin urmare, adesea nu se specifică ce masă se înțelege, ci pur și simplu se menționează masa corpului.

Nu mai puțin importantă și semnificativă este a treia lege a lui Newton, conform căreia forța de acțiune este egală cu forța de reacție dacă forțele sunt direcționate într-o linie dreaptă, dar în direcții opuse. În ciuda aparentei sale simplități, această concluzie a lui Newton este genială, iar importanța acestei legi este greu de supraestimat. Una dintre aplicațiile acestei legi este discutată mai jos.

Totuși, aceste prevederi sunt valabile numai pentru corpurile care se deplasează translațional, adică. de-a lungul unui drum drept și în același timp toate punctele materiale ale unor astfel de corpuri se mișcă cu aceeași viteză sau cu aceeași accelerație. În timpul mișcării curbilinie și în special în timpul mișcării de rotație, de exemplu, când un corp se rotește în jurul axei sale de simetrie, punctele materiale ale unui astfel de corp se mișcă în spațiu cu aceeași viteză unghiulară w, dar în același timp viteza liniară v puncte diferite vor avea valori diferite și această viteză liniară este direct proporțională cu distanța r de la axa de rotație până în acest punct:

v=wr (1.5)

în acest caz, viteza unghiulară este egală cu raportul de creștere a unghiului de rotație Δφ la o perioadă de timp Δt, pentru care unghiul de rotație s-a modificat:

w = Δφ/Δt = (φ - φ о)/t (1.6.1)

la φ o = 0 w = φ/t (1.7.2)

în consecință accelerație normală si nîn timpul mișcării de rotație este egal cu:

a n = v 2 /r = w 2 r (1.8)

Și se dovedește că pentru mișcarea de rotație nu putem folosi direct formula (1.2), deoarece în mișcarea de rotație doar valoarea masei corporale nu este suficientă; trebuie să cunoaștem și distribuția acestei mase în corp. Se dovedește că cu cât punctele materiale ale corpului sunt mai aproape de axa de rotație, cu atât trebuie aplicată mai puțină forță pentru a face corpul să se rotească și invers, cu atât punctele materiale ale corpului sunt mai îndepărtate de axa de rotație, cu atât trebuie aplicată forța mai mare pentru a forța corpul să se rotească (în acest caz vorbim de aplicarea forței în același punct). În plus, atunci când se rotește un corp, este mai convenabil să se ia în considerare nu forța care acționează, ci cuplul, deoarece în timpul mișcării de rotație punctul de aplicare al forței este, de asemenea, de mare importanță.

Proprietățile uimitoare ale cuplului ne sunt cunoscute încă de pe vremea lui Arhimede, iar dacă aplicăm conceptul de cuplu la mișcarea de rotație, atunci semnificația cuplului. M va fi mai mare cu cât distanța este mai mare r de la axa de rotație până la punctul de aplicare a forței F(în mecanica structurală, o forță externă este adesea desemnată ca R sau Q):

M = Qr (1.9)

Din această formulă nu foarte complicată rezultă că, dacă forța este aplicată de-a lungul axei de rotație, atunci nu va exista nicio rotație, deoarece r = 0, iar dacă forța este aplicată la distanța maximă de axa de rotație, atunci valoarea momentului va fi maximă. Și dacă înlocuim în formula (1.9) valoarea forței din formula (1.2) și valoarea accelerației normale și formula (1.8), obținem următoarea ecuație:

M = mw 2 r r = mw 2 r 2 (1.10)

În cazul particular când corpul este un punct material cu dimensiuni mult mai mici decât distanța de la acest punct la axa de rotație, ecuația (1.10) este aplicabilă în forma sa pură. Cu toate acestea, pentru un corp care se rotește în jurul uneia dintre axele sale de simetrie, distanța față de fiecare punct material care alcătuiește acest corp este întotdeauna mai mică decât una dintre dimensiunile geometrice ale corpului și, prin urmare, distribuția masei corpului este de mare importanță, în acest caz, este necesar să se țină cont de aceste distanțe separat pentru fiecare punct:

M = ∑r i 2 w 2 m i (1.11.1)

М с = w 2 ∫r 2 dm

Și apoi se dovedește că, conform celei de-a treia legi a lui Newton, ca răspuns la acțiunea cuplului, va apărea așa-numitul moment de inerție. eu. În acest caz, valorile cuplului și ale momentului de inerție vor fi egale, iar momentele în sine vor fi direcționate în direcții opuse. La o viteză unghiulară constantă de rotație, de exemplu w = 1, marimile principale care caracterizează cuplul sau momentul de inerție vor fi masa punctelor materiale care alcătuiesc corpul și distanțele de la aceste puncte până la axa de rotație. Ca rezultat, formula pentru momentul de inerție va lua următoarea formă:

[- M] = I = ∑r i 2 m i (1.12.1)

I c = ∫r 2 dm(1.11.2) - când corpul se rotește în jurul axei de simetrie

Unde eu- denumirea general acceptată pentru momentul de inerție; IC- desemnarea momentului de inerție axial al corpului, kg/m 2. Pentru un corp omogen având aceeași densitate ρ pe tot corpul V Formula pentru momentul axial de inerție al unui corp poate fi scrisă după cum urmează:

I c = ∫ρr 2 dV (1.13)

Astfel, momentul de inerție este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de rotație, la fel cum masa este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării rectilinie de translație.

Cercul a completat cercul. Și aici poate apărea întrebarea, ce legătură au toate aceste legi ale dinamicii și cinematicii cu calculul structurilor statice ale clădirii? Se dovedește că niciunul nu este cel mai direct și imediat lucru. În primul rând, pentru că toate aceste formule au fost derivate de fizicieni și matematicieni în acele vremuri îndepărtate când discipline precum „Mecanica teoretică” sau „Teoria rezistenței materialelor” pur și simplu nu existau. Și în al doilea rând, pentru că întregul calcul al structurilor clădirii se bazează pe legile și formulările indicate și pe afirmația care nu a fost încă infirmată de nimeni despre egalitatea maselor gravitaționale și inerțiale. Dar în teoria rezistenței materialelor totul este încă mai simplu, oricât de paradoxal ar suna.

Și este mai simplu, deoarece atunci când se rezolvă anumite probleme, nu se poate lua în considerare întregul corp, ci doar secțiunea transversală a acestuia și, dacă este necesar, mai multe secțiuni transversale. Dar în aceste secțiuni acționează aceleași forțe fizice, deși de natură ușor diferită. Astfel, dacă luăm în considerare un anumit corp a cărui lungime este constantă, iar corpul în sine este omogen, atunci dacă nu luăm în considerare parametrii constanți - lungimea și densitatea ( l = const, ρ = const) - obținem un model în secțiune transversală. Pentru o astfel de secțiune transversală, din punct de vedere matematic, următoarea ecuație va fi valabilă:

I р = ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)

Unde Ip- momentul polar de inerție al secțiunii transversale, m 4. Drept urmare, am primit formula cu care am început (dar dacă a devenit mai clar care este momentul de inerție al unei secțiuni, nu știu).

Deoarece în teoria rezistenței materialelor se iau în considerare adesea secțiuni dreptunghiulare, iar sistemul de coordonate dreptunghiular este mai convenabil, atunci când se rezolvă probleme, se iau în considerare de obicei două momente axiale de inerție ale secțiunii transversale:

I z = ∫y 2 dF (2.2.1)

I y = ∫z 2 dF (2.2.2)

Poza 1. Valorile coordonatelor la determinarea momentelor axiale de inerție.

Aici poate apărea întrebarea de ce sunt folosite axele zȘi la, și nu cele mai familiare XȘi la? Se întâmplă că determinarea forțelor într-o secțiune transversală și selectarea unei secțiuni care poate rezista la solicitări de funcționare egale cu forțele aplicate sunt două sarcini diferite. Prima sarcină - determinarea forțelor - este rezolvată de mecanica structurală, a doua sarcină - selectarea secțiunilor transversale - este rezolvată de teoria rezistenței materialelor. În același timp, în mecanica structurilor, la rezolvarea unor probleme simple, se consideră destul de des o tijă (pentru structuri rectilinii) având o anumită lungime. l, iar înălțimea și lățimea secțiunii nu sunt luate în considerare, în timp ce se consideră că axa X trece precis prin centrele de greutate ale tuturor secțiunilor transversale și astfel, la construirea diagramelor (uneori destul de complexe), lungimea l se depune cu precizie de-a lungul axei X, și de-a lungul axei la Sunt reprezentate grafic valorile grafice. În același timp, teoria rezistenței materialelor ia în considerare tocmai secțiunea transversală, pentru care lățimea și înălțimea sunt importante, iar lungimea nu este luată în considerare. Desigur, la rezolvarea problemelor din teoria rezistenței materialelor, care sunt uneori destul de complexe, se folosesc aceleași axe familiare. XȘi la. Această stare de lucruri mi se pare că nu este în întregime corectă, deoarece, în ciuda diferenței, acestea sunt încă sarcini conexe și, prin urmare, ar fi mai indicat să folosim axe comune pentru structura care se calculează.

Valoarea momentului polar de inerție într-un sistem de coordonate dreptunghiular va fi:

I р = ∫r 2 dF =∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

Deoarece într-un sistem de coordonate dreptunghiular, raza este ipotenuza unui triunghi dreptunghic și, după cum știți, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Și există, de asemenea, conceptul de momentul de inerție centrifugal al secțiunii transversale:

I xz = ∫xzdF(2.4)

Printre axele sistemului de coordonate dreptunghiulare care trec prin centrul de greutate al secțiunii transversale, există două axe reciproc perpendiculare, față de care momentele axiale de inerție iau valori maxime și minime, în timp ce momentul de inerție centrifugal al secțiune I zy = 0. Astfel de axe sunt numite axe centrale principale ale secțiunii transversale, iar momentele de inerție în jurul unor astfel de axe sunt numite momente centrale de inerție principale.

Când vorbim despre momente de inerție în teoria rezistenței materialelor, ne referim de obicei la principalele momente centrale de inerție ale secțiunii transversale. Pentru secțiuni pătrate, dreptunghiulare, circulare, axele principale vor coincide cu axele de simetrie. Momentele de inerție în secțiune transversală sunt numite și momente de inerție geometrice sau momente de inerție de zonă, dar esența rămâne aceeași.

În principiu, nu este mare nevoie de a determina valorile principalelor momente centrale de inerție pentru secțiunile transversale ale celor mai comune forme geometrice - pătrat, dreptunghi, cerc, țeavă, triunghi și altele. Astfel de momente de inerție au fost de mult definite și cunoscute pe scară largă. Și când se calculează momentele axiale de inerție pentru secțiuni de forme geometrice complexe, teorema Huygens-Steiner este valabilă:

I = I c + r 2 F (2.5)

Astfel, dacă sunt cunoscute ariile și centrele de greutate ale figurilor geometrice simple care alcătuiesc o secțiune complexă, atunci determinarea valorii momentului de inerție axial al întregii secțiuni nu va fi dificilă. Și pentru a determina centrul de greutate al unei secțiuni complexe, se folosesc momentele statice ale secțiunii transversale. Momentele statice sunt discutate mai detaliat într-un alt articol, voi adăuga doar aici. Sensul fizic al momentului static este următorul: momentul static al unui corp este suma momentelor pentru punctele materiale care alcătuiesc corpul, relativ la un punct (moment static polar) sau relativ la o axă (moment static axial). ), și întrucât momentul este produsul forței și brațului (1.9) , atunci momentul static al corpului se determină în mod corespunzător:

S = ∑M = ∑r i m i= ∫rdm (2.6)

și atunci momentul static polar al secțiunii transversale va fi:

S р = ∫rdF (2.7)

După cum puteți vedea, definiția momentului static este similară cu definiția momentului de inerție. Dar există o diferență fundamentală. Momentul static se numește static deoarece pentru un corp asupra căruia acționează forța de greutate, momentul static este egal cu zero față de centrul de greutate. Cu alte cuvinte, un astfel de corp se află într-o stare de echilibru dacă suportul este aplicat pe centrul de greutate al corpului. Și conform primei legi a lui Newton, un astfel de corp este fie în repaus, fie se mișcă cu o viteză constantă, adică. accelerația = 0. Și din punct de vedere pur matematic, cuplul static poate fi egal cu zero din simplul motiv că la determinarea cuplului static este necesar să se țină cont de direcția de acțiune a cuplului. De exemplu, în raport cu axele de coordonate care trec prin centrul de greutate al dreptunghiului, zonele părții superioare și inferioare a dreptunghiului vor fi pozitive, deoarece simbolizează forța de gravitație care acționează într-o direcție. În acest caz, distanța de la axă la centrul de greutate poate fi considerată pozitivă (condițional: momentul de la forța gravitațională a părții superioare a dreptunghiului încearcă să rotească secțiunea în sensul acelor de ceasornic) și până la centrul de greutate al partea inferioară - ca negativă (condiționat: momentul de la forța gravitațională a părții inferioare a dreptunghiului încearcă să rotiți secțiunea în sens invers acelor de ceasornic). Și deoarece astfel de zone sunt numeric egale și egale cu distanța de la centrele de greutate a părții superioare a dreptunghiului și a părții inferioare a dreptunghiului, atunci suma momentelor care acționează va fi 0 dorit.

S z = ∫ydF = 0 (2.8)

Acest mare zero face, de asemenea, posibilă determinarea reacțiilor de susținere ale structurilor clădirii. Dacă luăm în considerare o structură de clădire căreia, de exemplu, o sarcină concentrată Q este aplicată la un anumit punct, atunci o astfel de structură de clădire poate fi considerată ca un corp cu un centru de greutate în punctul de aplicare a forței și reacțiile de sprijin în acest caz sunt considerate forțe aplicate în punctele de sprijin. Astfel, cunoscând valoarea sarcinii concentrate Q și distanța de la punctul de aplicare a sarcinii până la suporturile structurii clădirii, se pot determina reacțiile de susținere. De exemplu, pentru o grindă pur și simplu sprijinită pe doi suporturi, valoarea reacțiilor de sprijin va fi proporțională cu distanța până la punctul de aplicare a forței, iar suma reacțiilor de sprijin va fi egală cu sarcina aplicată. Dar, de regulă, atunci când se determină reacțiile de sprijin, acestea procedează și mai simplu: unul dintre suporturi este luat ca centru de greutate, iar apoi suma momentelor de la sarcina aplicată și din reacțiile de sprijin rămase este încă egală cu zero. În acest caz, momentul din reacția de sprijin față de care se compilează ecuația momentului este egal cu zero, întrucât brațul forței = 0, ceea ce înseamnă că în suma momentelor rămân doar două forțe: sarcina aplicată. și reacția suport necunoscută (pentru structuri determinate static).

Astfel, diferența fundamentală dintre momentul static și momentul de inerție este că momentul static caracterizează secțiunea, pe care forța de gravitație încearcă să o rupă în jumătate față de centrul de greutate sau axa de simetrie și momentul de inerția caracterizează corpul, ale cărui puncte materiale se mișcă (sau încearcă să se miște într-o direcție). Poate că următoarele scheme de calcul convenționale pentru o secțiune dreptunghiulară vă vor ajuta să vă imaginați mai clar această diferență:

Figura 2. Diferența clară între momentul static și momentul de inerție.

Acum să revenim încă o dată la cinematica mișcării. Dacă facem analogii între tensiunile care apar în secțiunile transversale ale structurilor clădirii și diferitele tipuri de mișcare, atunci în elementele întinse central și comprimate central apar tensiuni care sunt uniforme pe întreaga suprafață a secțiunii transversale. Aceste solicitări pot fi comparate cu acțiunea unei forțe asupra unui corp, în care corpul se va mișca rectiliniu și progresiv. Și cel mai interesant lucru este că secțiunile transversale ale elementelor întinse central sau comprimate central se mișcă efectiv, deoarece solicitările care acționează provoacă deformații. Și amploarea unor astfel de deformații poate fi determinată pentru orice secțiune transversală a structurii. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți valoarea tensiunilor efective, lungimea elementului, aria secțiunii transversale și modulul elastic al materialului din care este realizată structura.

Pentru elementele flexibile, secțiunile transversale, de asemenea, nu rămân pe loc, ci se mișcă, iar mișcarea secțiunilor transversale ale elementelor flexibile este similară cu rotația unui anumit corp în jurul unei anumite axe. După cum probabil ați ghicit deja, momentul de inerție vă permite să determinați unghiul de înclinare a secțiunii transversale și deplasarea Δ l pentru punctele extreme ale secțiunii. Aceste puncte extreme pentru o secțiune dreptunghiulară sunt situate la o distanță egală cu jumătate din înălțimea secțiunii (de ce este descris suficient de detaliat în articolul „Fundamentele rezistenței rezistenței. Determinarea deformarii”). Și acest lucru, la rândul său, vă permite să determinați deformarea structurii.

Iar momentul de inerție vă permite să determinați momentul de rezistență al secțiunii. Pentru a face acest lucru, momentul de inerție trebuie pur și simplu împărțit la distanța de la centrul de greutate al secțiunii până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii, pentru o secțiune dreptunghiulară cu h/2. Și deoarece secțiunile studiate nu sunt întotdeauna simetrice, valoarea momentului de rezistență poate fi diferită pentru diferite părți ale secțiunii.

Și totul a început cu un măr banal... deși nu, totul a început cu un cuvânt.

Auzim adesea expresiile: „este inert”, „mișcă prin inerție”, „moment de inerție”. În sens figurat, cuvântul „inerție” poate fi interpretat ca o lipsă de inițiativă și acțiune. Ne interesează sensul direct.

Ce este inerția

Conform definiției inerţieîn fizică, este capacitatea corpurilor de a menține o stare de repaus sau de mișcare în absența forțelor externe.

Dacă totul este clar cu însuși conceptul de inerție la nivel intuitiv, atunci moment de inerție– o întrebare separată. De acord, este greu să-ți imaginezi în mintea ta ce este. În acest articol veți învăța cum să rezolvați problemele de bază pe această temă "Moment de inerție".

Determinarea momentului de inerție

Din cursul şcolar se ştie că masa – o măsură a inerției unui corp. Dacă împingem două cărucioare de mase diferite, atunci cel mai greu va fi mai greu de oprit. Adică, cu cât masa este mai mare, cu atât este mai mare influența externă necesară pentru a schimba mișcarea corpului. Ceea ce este considerat se aplică mișcării de translație, atunci când căruciorul din exemplu se mișcă în linie dreaptă.

Prin analogie cu masa și mișcarea de translație, momentul de inerție este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de rotație în jurul unei axe.

Moment de inerție– o mărime fizică scalară, o măsură a inerției unui corp în timpul rotației în jurul unei axe. Notat prin scrisoare J și în sistem SI măsurată în kilograme ori un metru pătrat.

Cum se calculează momentul de inerție? Există o formulă generală prin care se calculează momentul de inerție al oricărui corp în fizică. Dacă un corp este rupt în bucăți infinitezimale cu o masă dm , atunci momentul de inerție va fi egal cu suma produselor acestor mase elementare cu pătratul distanței până la axa de rotație.

Aceasta este formula generală pentru momentul de inerție în fizică. Pentru un punct material de masă m , care se rotește în jurul unei axe la distanță r din ea, această formulă ia forma:

teorema lui Steiner

De ce depinde momentul de inerție? Din masă, poziția axei de rotație, forma și dimensiunea corpului.

Teorema Huygens-Steiner este o teoremă foarte importantă care este adesea folosită în rezolvarea problemelor.

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice tip de lucrare

Teorema Huygens-Steiner spune:

Momentul de inerție al unui corp față de o axă arbitrară este egal cu suma momentului de inerție al corpului față de o axă care trece prin centrul de masă paralel cu o axă arbitrară și produsul masei corpului cu pătratul a distanței dintre axe.

Pentru cei care nu doresc să se integreze constant la rezolvarea problemelor de găsire a momentului de inerție, vă prezentăm un desen care indică momentele de inerție ale unor corpuri omogene care se întâlnesc des în probleme:

Un exemplu de rezolvare a unei probleme pentru a găsi momentul de inerție

Să ne uităm la două exemple. Prima sarcină este să găsești momentul de inerție. A doua sarcină este de a folosi teorema Huygens-Steiner.

Problema 1. Aflați momentul de inerție al unui disc omogen de masă m și rază R. Axa de rotație trece prin centrul discului.

Soluţie:

Să împărțim discul în inele infinit de subțiri, a căror rază variază de la 0 inainte de Rși luați în considerare un astfel de inel. Fie raza lui rși masa - dm. Atunci momentul de inerție al inelului este:

Masa inelului poate fi reprezentată astfel:

Aici dz– înălțimea inelului. Să înlocuim masa în formula pentru momentul de inerție și să integrăm:

Rezultatul a fost o formulă pentru momentul de inerție al unui disc sau cilindru subțire absolut.

Problema 2. Fie din nou un disc cu masa m și raza R. Acum trebuie să găsim momentul de inerție al discului în raport cu axa care trece prin mijlocul uneia dintre razele sale.

Soluţie:

Momentul de inerție al discului față de axa care trece prin centrul de masă este cunoscut din problema anterioară. Să aplicăm teorema lui Steiner și să găsim:

Apropo, pe blogul nostru puteți găsi și alte materiale utile despre fizică și rezolvarea problemelor.

Sperăm că veți găsi ceva util pentru dvs. în articol. Dacă apar dificultăți în procesul de calcul al tensorului de inerție, nu uitați de serviciul pentru studenți. Specialiștii noștri vă vor sfătui în orice problemă și vă vor ajuta la rezolvarea problemei în câteva minute.

Secțiune dreptunghiulară.

O secțiune transversală dreptunghiulară are două axe de simetrie, iar axele centrale principale Cx și Cy trec prin punctele medii ale laturilor paralele.

Momentul central principal de inerție în jurul axei x

În acest caz, aria elementară dA poate fi reprezentată ca o bandă cu toată lățimea secțiunii și grosimea dy, ceea ce înseamnă dA=b*dy. Să substituim valoarea dA sub semnul integral și să integrăm pe întreaga zonă, adică. în limitele schimbării ordonatei y de la –h/2 la +h/2, obținem

In cele din urma

În mod similar, obținem formula pentru momentul central principal de inerție al unui dreptunghi relativ la axa y:

Secțiune rotundă

Pentru un cerc, momentele centrale principale de inerție în jurul axelor x și y sunt egale.

Prin urmare, din egalitate

Triunghi

2. Modificarea momentelor de inerție în timpul trecerii de la axele centrale la cele paralele:

Jx1 =Jx + a2A;

J y1 =J y + b 2 A;

momentul de inerție față de orice axă este egal cu momentul de inerție față de axa centrală paralelă cu cea dată, plus produsul dintre aria figurii și pătratul distanței dintre axe. J y 1 x 1 =J yx + abF; („a” și „b” sunt substituite în formulă ținând cont de semnul lor).

3.Modificarea momentelor de inerție la rotirea axelor

J x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Unghiul >0, dacă trecerea de la sistemul de coordonate vechi la cel nou are loc în sens invers acelor de ceasornic. J y1 + J x1 = J y + J x

Se numesc valori extreme (maximum și minim) ale momentelor de inerție principalele momente de inerție. Se numesc axele despre care momentele axiale de inerție au valori extreme axele principale de inerție. Principalele axe de inerție sunt reciproc perpendiculare. Momentele de inerție centrifuge în jurul axelor principale = 0, i.e. axe principale de inerție - axe în jurul cărora momentul de inerție centrifugal = 0. Dacă una dintre axe coincide sau ambele coincid cu axa de simetrie, atunci acestea sunt principalele. Unghi care definește poziția axelor principale:
, Dacă

 0 >0  axele se rotesc în sens invers acelor de ceasornic. Axa maximă face întotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor față de care momentul de inerție are o valoare mai mare. Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate principalele axe centrale de inerție. Momente de inerție despre aceste axe:

J max + J min = J x + J y . Momentul de inerție centrifugal relativ la principalele axele centrale de inerție este egal cu 0. Dacă sunt cunoscute momentele principale de inerție, atunci formulele de tranziție la axele rotite sunt:

J x 1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y 1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x 1 y 1 =(J max - J min)sin2;

4.Clasificarea elementelor structurale

Lanseta numit Corpuri geom în care una dintre dimensiuni este mult mai mare decât celelalte.

Farfurii sau scoici– aceasta este geoma corpurilor care au una dintre dimensiunile<< других

Corpuri masive- toate marimile sunt la aceeasi comanda

5. Ipoteze de bază despre proprietățile materialului

Omogen - îndrăgostit. Punct că materialele sunt aceleași. fizico-chimic sfinți;

Mediul continuu este cristalin. structura si microscopic defectele nu sunt luate în considerare;

Izotrop - mecanic. proprietățile nu depind de direcția de încărcare;

Elasticitate ideală - restabilește complet forma și dimensiunea după îndepărtarea sarcinii.

6. Tipuri de suporturi

a) Suport articulat - fix (dublu conectat): Primește atât forțe verticale, cât și orizontale (forțe în unghi).

b) Balamale - suport mobil - percepe doar sarcini verticale. Reacția de sprijin este întotdeauna îndreptată de-a lungul tijei de sprijin, perpendicular pe suprafața de sprijin

c) Etanșare rigidă (cu trei conexiuni)

Reacțiile din suporturi sunt determinate din starea de echilibru (ecuația statică).

7. Clasificarea sarcinii

După locație

Suprafață și volumetrice

a) forta concentrata

b) forţa distribuită

dreptunghiular Rq= qa

triunghiular Rq= ½ qa

c) moment concentrat

îndoire

răsucirea

d) moment distribuit

Rmz= mz a – echilibre

După durată

Permanent și temporar

După natura acțiunii

Static si dinamic

După natura apariției

Activ (cunoscut) și reactiv (necunoscut)

8. Principiile de bază ale cursului studiat

Când se calculează rezistența complexă, se utilizează principiul acțiunii independente a forțelor. Un tip complex de încărcare este reprezentat ca un sistem de tipuri simple de încărcare care acționează independent unele de altele. Soluția pentru rezistența complexă se obține prin adăugarea soluțiilor obținute pentru tipuri simple de încărcare.

Principiul Saint-Venant

la o distanță suficientă de locul în care se aplică sarcina, natura impactului acesteia nu depinde de metoda de aplicare a acesteia, ci depinde de mărimea rezultantei.

9. Eforturi interne. Metoda secțiunii (metoda ROZU)

Nz=∑z (pi) normal cu

Qx=∑x (pi) transversal cu

Mz=∑mz (pi) cuplu

Mx=∑mx (pi) încovoiere

Tăierea corpului gândului plat

Renunțăm la una dintre forțele interne

Înlocuiți cu eforturi interne

După echilibrarea căldurii interne și externe

10. Regula semnelor eforturilor interne

Regula pentru semnele forțelor transversale în timpul îndoirii:

Cuplu

Împotriva situațiilor de urgență privite din lateral +

Regula pentru semnele momentelor încovoietoare:

Regula pentru verificarea corectitudinii construirii diagramelor de sarcină:

În secțiunile grinzii în care sunt aplicate sarcini externe concentrate pe diagrama d.b. un salt în mărimea acestei sarcini.

11. Diagrame ale forțelor interne

CÂND TENSIUNE-COMPRESIUNE

TORSIONALĂ

la cotul drept

12. Dependențe diferențiale în timpul îndoirii

;
;

13. Consecințele dependențelor diferențiale

Dacă nu există o distribuție a sarcinii în zonă (q = 0), atunci forța transversală în această zonă are o viteză constantă, iar diagramele de îndoire se modifică conform legii liniare

Pe terenul de antrenament unde este prezentă distribuția căldurii, postul este intens. Forța transversală se modifică conform dreptei, iar diagramele după legea parabolelor pătratice. Mai mult, diagrama mx este întotdeauna îndreptată către sarcina de distribuție. Unde Qy este egal cu 0, diagrama mx are un extrem. Dacă Qy este egal cu 0 în întreaga zonă, atunci mx este o valoare constantă

4. În zona în care Qy>0 diagrama mx crește de la stânga la dreapta

5. În acea secțiune. unde se aplică o forță centrală, diagrama Qy are un salt la viteza acestei forțe. În punctul în care momentul este centrat, diagrama mx are un salt cu valoarea acestui moment

Selectați categoria Cărți Matematică Fizică Controlul accesului și managementul Siguranță împotriva incendiilor Furnizori de echipamente utile Instrumente de măsură Măsurarea umidității - furnizori în Federația Rusă. Măsurarea presiunii. Măsurarea cheltuielilor. Debitmetre. Măsurarea temperaturii Măsurarea nivelului. Indicatoare de nivel. Tehnologii fără șanțuri Sisteme de canalizare. Furnizori de pompe din Federația Rusă. Reparatie pompe. Accesorii pentru conducte. Supape fluture (valve fluture). Supape de reținere. Supape de control. Filtre cu plasă, filtre cu noroi, filtre magnetic-mecanice. Supape cu bilă. Conducte și elemente de conducte. Garnituri pentru filete, flanse etc. Motoare electrice, acţionări electrice... Manual Alfabete, denumiri, unităţi, coduri... Alfabete, incl. greacă și latină. Simboluri. Codurile. Alfa, beta, gamma, delta, epsilon... Evaluări ale rețelelor electrice. Conversia unităților de măsură Decibel. Vis. Fundal. Unități de măsură pentru ce? Unități de măsură pentru presiune și vid. Conversia unităților de presiune și vid. Unități de lungime. Conversia unităților de lungime (dimensiuni liniare, distanțe). Unități de volum. Conversia unităților de volum. Unități de densitate. Conversia unităților de densitate. Unități de zonă. Conversia unităților de suprafață. Unitati de masura a duritatii. Conversia unităților de duritate. Unități de temperatură. Conversia unităților de temperatură în Kelvin / Celsius / Fahrenheit / Rankine / Delisle / Newton / Reamur unități de măsură a unghiurilor ("dimensiuni unghiulare"). Conversia unităților de măsură ale vitezei unghiulare și accelerației unghiulare. Erori standard de măsurători Gazele sunt diferite ca medii de lucru. Azot N2 (agent frigorific R728) Amoniac (agent frigorific R717). Antigel. Hidrogen H^2 (agent frigorific R702) Vapori de apă. Aer (Atmosferă) Gaz natural - gaz natural. Biogazul este gaz de canalizare. Gaz lichefiat. NGL. GNL. Propan-butan. Oxigen O2 (refrigerant R732) Uleiuri și lubrifianți Metan CH4 (refrigerant R50) Proprietățile apei. Monoxid de carbon CO. Monoxid de carbon. Dioxid de carbon CO2. (Refrigerant R744). Clor Cl2 Acid clorhidric HCI, cunoscut și sub denumirea de acid clorhidric. Agenți frigorifici (agenți frigorifici). Agent frigorific (refrigerent) R11 - Fluortriclormetan (CFCI3) Agent frigorific (Refrigerant) R12 - Difluordiclormetan (CF2CCl2) Agent frigorific (Refrigerant) R125 - Pentafluoretan (CF2HCF3). Agent frigorific (refrigerant) R134a - 1,1,1,2-tetrafluoretan (CF3CFH2). Agent frigorific (agent frigorific) R22 - difluorclormetan (CF2ClH) Agent frigorific (agent frigorific) R32 - difluormetan (CH2F2). Agent frigorific (refrigerant) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / Procent din greutate. alte Materiale - proprietăți termice Abrazive - granulație, finețe, echipamente de măcinare. Soluri, pământ, nisip și alte roci. Indicatori de afânare, contracție și densitate a solurilor și rocilor. Contracție și slăbire, încărcări. Unghiuri de panta, lama. Înălțimi de corniche, gropi. Lemn. Cherestea. Cherestea. Bușteni. Lemn de foc... Ceramica. Adezivi și îmbinări adezive Gheață și zăpadă (gheață în apă) Metale Aluminiu și aliaje de aluminiu Cupru, bronz și alamă Bronz Alamă Cupru (și clasificarea aliajelor de cupru) Nichel și aliaje Corespondența calităților aliajelor Oțeluri și aliaje Tabele de referință ale greutăților metalelor laminate și țevilor . +/-5% Greutatea conductei. Greutate metal. Proprietățile mecanice ale oțelurilor. Minerale din fontă. Azbest. Produse alimentare și materii prime alimentare. Proprietăți, etc. Link către o altă secțiune a proiectului. Cauciucuri, materiale plastice, elastomeri, polimeri. Descrierea detaliată a elastomerilor PU, TPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ , TFE/P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (PTFE modificat), Rezistența materialelor. Sopromat. Materiale de construcție. Proprietăți fizice, mecanice și termice. Beton. Soluție concretă. Soluţie. Accesorii pentru constructii. Oțel și altele. Tabelele de aplicabilitate materiale. Rezistență chimică. Aplicabilitatea temperaturii. Rezistență la coroziune. Materiale de etanșare - etanșanți pentru îmbinări. PTFE (fluoroplastic-4) și materiale derivate. bandă FUM. Adezivi anaerobi Etanșanti care nu se usucă (nu se întăresc). Sigilanți siliconici (silicon organic). Grafit, azbest, paronit și materiale derivate Paronit. Grafit expandat termic (TEG, TMG), compoziții. Proprietăți. Aplicație. Productie. In pentru instalații sanitare. Garnituri elastomer din cauciuc. Materiale termoizolante și termoizolante. (link la secțiunea de proiect) Tehnici și concepte de inginerie Protecția la explozie. Protecția împotriva influențelor mediului. Coroziune. Versiuni climatice (Tabelele de compatibilitate materiale) Clase de presiune, temperatură, etanșeitate Scădere (pierdere) de presiune. — Conceptul de inginerie. Protecție împotriva incendiilor. Incendii. Teoria controlului automat (reglarii). TAU Carte de referință matematică Aritmetică, progresii geometrice și sumele unor serii de numere. Figuri geometrice. Proprietăți, formule: perimetre, suprafețe, volume, lungimi. Triunghiuri, dreptunghiuri etc. Grade la radiani. Cifre plate. Proprietăți, laturi, unghiuri, atribute, perimetre, egalități, asemănări, coarde, sectoare, zone etc. Zone de figuri neregulate, volume de corpuri neregulate. Mărimea medie a semnalului. Formule și metode de calcul al suprafeței. Diagrame. Construirea graficelor. Citirea graficelor. Calcul integral și diferențial. Derivate și integrale tabelare. Tabelul derivatelor. Tabelul integralelor. Tabel cu antiderivate. Găsiți derivata. Găsiți integrala. Diffuras. Numere complexe. Unitate imaginară. Algebră liniară. (Vectori, matrice) Matematică pentru cei mici. Grădinița – clasa a VII-a. Logica matematică. Rezolvarea ecuațiilor. Ecuații patratice și biquadratice. Formule. Metode. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale Exemple de soluții de ecuații diferențiale obișnuite de ordin mai mare decât prima. Exemple de soluții la cele mai simple = solubile analitic ecuații diferențiale ordinare de ordinul întâi. Sisteme de coordonate. Carteziană dreptunghiulară, polară, cilindrice și sferică. Bidimensional și tridimensional. Sisteme numerice. Numere și cifre (reale, complexe, ....). Tabelele sistemelor numerice. Seriile de putere ale lui Taylor, Maclaurin (=McLaren) și seria Fourier periodică. Extinderea funcțiilor în serie. Tabele de logaritmi și formule de bază Tabele de valori numerice Tabelele Bradis. Teoria și statistica probabilităților Funcții trigonometrice, formule și grafice. sin, cos, tg, ctg….Valorile funcțiilor trigonometrice. Formule de reducere a funcţiilor trigonometrice. Identități trigonometrice. Metode numerice Echipamente - standarde, dimensiuni Aparate de uz casnic, echipamente casnice. Sisteme de drenaj și drenaj. Containere, rezervoare, rezervoare, rezervoare. Instrumentare și automatizare Instrumentare și automatizare. Măsurarea temperaturii. Transportoare, benzi transportoare. Containere (link) Elemente de fixare. Echipament de laborator. Pompe si statii de pompare Pompe pentru lichide si paste. jargon de inginerie. Dicţionar. Screening. Filtrare. Separarea particulelor prin plase și site. Rezistența aproximativă a frânghiilor, cablurilor, cablurilor, frânghiilor din diverse materiale plastice. Produse din cauciuc. Îmbinări și conexiuni. Diametrele sunt convenționale, nominale, DN, DN, NPS și NB. Diametre metrice și inci. SDR. Chei și canale. Standarde de comunicare. Semnale în sistemele de automatizare (sisteme de instrumentare și control) Semnale analogice de intrare și ieșire ale instrumentelor, senzorilor, debitmetrelor și dispozitivelor de automatizare. Interfețe de conectare. Protocoale de comunicaţii (comunicaţii) Comunicaţii telefonice. Accesorii pentru conducte. Robinete, supape, supape... Lungimi de construcție. Flanse si filete. Standarde. Dimensiuni de conectare. Fire. Denumiri, dimensiuni, utilizări, tipuri... (link de referință) Conexiuni („igiene”, „aseptice”) ale conductelor din industria alimentară, lactate și farmaceutică. Conducte, conducte. Diametrele conductelor și alte caracteristici. Alegerea diametrului conductei. Debite. Cheltuieli. Putere. Tabele de selecție, Cădere de presiune. Tevi de cupru. Diametrele conductelor și alte caracteristici. Conducte din clorură de polivinil (PVC). Diametrele conductelor și alte caracteristici. Țevi din polietilenă. Diametrele conductelor și alte caracteristici. Țevi din polietilenă HDPE. Diametrele conductelor și alte caracteristici. Țevi de oțel (inclusiv oțel inoxidabil). Diametrele conductelor și alte caracteristici. Țeavă de oțel. Conducta este inoxidabila. Tevi din otel inoxidabil. Diametrele conductelor și alte caracteristici. Conducta este inoxidabila. Țevi din oțel carbon. Diametrele conductelor și alte caracteristici. Țeavă de oțel. Montaj. Flanse conform GOST, DIN (EN 1092-1) si ANSI (ASME). Conexiune cu flanșă. Conexiuni cu flanșe. Conexiune cu flanșă. Elemente de conductă. Lămpi electrice Conectori electrice și fire (cabluri) Motoare electrice. Motoare electrice. Dispozitive electrice de comutare. (Link către secțiune) Standarde pentru viața personală a inginerilor Geografie pentru ingineri. Distanțe, trasee, hărți….. Ingineri în viața de zi cu zi. Familie, copii, recreere, îmbrăcăminte și locuințe. Copii ai inginerilor. Ingineri în birouri. Ingineri și alți oameni. Socializarea inginerilor. Curiozități. Ingineri de odihnă. Acest lucru ne-a șocat. Ingineri și alimente. Rețete, lucruri utile. Trucuri pentru restaurante. Comerț internațional pentru ingineri. Haideți să învățăm să gândim ca un huckster. Transport și călătorie. Mașini personale, biciclete... Fizica și chimia umană. Economie pentru ingineri. Bormotologia finanțatorilor – în limbajul uman. Concepte și desene tehnologice Scriere, desen, hârtie de birou și plicuri. Dimensiuni standard pentru fotografii. Ventilatie si aer conditionat. Alimentare cu apă și canalizare Alimentare cu apă caldă (ACM). Alimentare cu apă potabilă Apă uzată. Alimentare cu apă rece Industria galvanizării Refrigerare Linii/sisteme de abur. Conducte/sisteme de condens. Linii de abur. Conducte de condens. Industria alimentară Alimentarea cu gaze naturale Sudarea metalelor Simboluri și denumiri ale echipamentelor pe desene și diagrame. Reprezentări grafice convenționale în proiecte de încălzire, ventilație, aer condiționat și încălzire și răcire, conform Standardului ANSI/ASHRAE 134-2005. Sterilizarea echipamentelor și materialelor Alimentare cu căldură Industria electronică Alimentare cu energie electrică Carte de referință fizică Alfabete. Notatii acceptate. Constante fizice de bază. Umiditatea este absolută, relativă și specifică. Umiditatea aerului. Tabele psicrometrice. Diagramele Ramzin. Vâscozitatea timpului, numărul Reynolds (Re). Unități de vâscozitate. Gaze. Proprietățile gazelor. Constantele individuale ale gazelor. Presiune și vid Vacuum Lungime, distanță, dimensiune liniară Sunet. Ecografie. Coeficienți de absorbție a sunetului (link către altă secțiune) Clima. Date climatice. Date naturale. SNiP 23/01/99. Climatologia constructiilor. (Statistici date climatice) SNIP 23/01/99 Tabel 3 - Temperatura medie lunară și anuală a aerului, °C. Fosta URSS. SNIP 23/01/99 Tabelul 1. Parametrii climatici ai perioadei rece a anului. RF. SNIP 23/01/99 Tabelul 2. Parametrii climatici ai perioadei calde a anului. Fosta URSS. SNIP 23/01/99 Tabelul 2. Parametrii climatici ai perioadei calde a anului. RF. SNIP 23-01-99 Tabelul 3. Temperatura medie lunară și anuală a aerului, °C. RF. SNiP 23/01/99. Tabelul 5a* - Presiunea parțială medie lunară și anuală a vaporilor de apă, hPa = 10^2 Pa. RF. SNiP 23/01/99. Tabelul 1. Parametrii climatici ai sezonului rece. Fosta URSS. Densități. Greutăți. Gravitație specifică. Densitate în vrac. Tensiune de suprafata. Solubilitate. Solubilitatea gazelor și a solidelor. Lumină și culoare. Coeficienți de reflexie, absorbție și refracție Alfabetul culorilor:) - Denumiri (codificări) de culoare (culori). Proprietățile materialelor și mediilor criogenice. Mese. Coeficienți de frecare pentru diverse materiale. Cantități termice, inclusiv fierbere, topire, flacără etc.... pentru mai multe informații, vezi: Coeficienți adiabatici (indicatori). Convecție și schimb total de căldură. Coeficienți de dilatare termică liniară, dilatare termică volumetrică. Temperaturi, fierbere, topire, altele... Conversia unităților de temperatură. Inflamabilitate. Temperatura de înmuiere. Puncte de fierbere Puncte de topire Conductivitate termică. Coeficienți de conductivitate termică. Termodinamica. Căldura specifică de vaporizare (condensare). Entalpia de vaporizare. Căldura specifică de ardere (putere calorică). Necesarul de oxigen. Mărimi electrice și magnetice Momente dipolare electrice. Constanta dielectrică. Constanta electrica. Lungimi de undă electromagnetică (cartea de referință a unei alte secțiuni) Puterile câmpului magnetic Concepte și formule pentru electricitate și magnetism. Electrostatică. Module piezoelectrice. Rezistența electrică a materialelor Curentul electric Rezistența și conductibilitatea electrică. Potențiale electronice Carte de referință chimică „Alfabetul chimic (dicționar)” - nume, abrevieri, prefixe, denumiri de substanțe și compuși. Soluții și amestecuri apoase pentru prelucrarea metalelor. Solutii apoase pentru aplicarea si indepartarea acoperirilor metalice Solutii apoase pentru curatarea depunerilor de carbon (depuneri de asfalt-rasina, depozite de carbon de la motoarele cu ardere interna...) Solutii apoase pentru pasivare. Solutii apoase pentru gravare - indepartarea oxizilor de la suprafata Solutii apoase pentru fosfatare Solutii si amestecuri apoase pentru oxidarea chimica si colorarea metalelor. Soluții și amestecuri apoase pentru lustruire chimică Soluții apoase de degresare și solvenți organici Valoarea pH-ului. tabele pH. Arderea și exploziile. Oxidare și reducere. Clase, categorii, denumiri de pericol (toxicitate) substanțelor chimice Tabel periodic al elementelor chimice de D.I. Mendeleev. Masa lui Mendeleev. Densitatea solvenților organici (g/cm3) în funcție de temperatură. 0-100 °C. Proprietățile soluțiilor. Constante de disociere, aciditate, bazicitate. Solubilitate. Amestecuri. Constantele termice ale substantelor. Entalpii. Entropie. Energii Gibbs... (link către directorul chimic al proiectului) Inginerie electrică Regulatoare Sisteme de alimentare garantată și neîntreruptă. Sisteme de expediere și control Sisteme de cablare structurată Centre de date

Momentul axial de rezistență- raportul dintre momentul de inerție în jurul axei și distanța de la aceasta până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii. [cm 3, m 3]

Deosebit de importante sunt momentele de rezistență raportate la principalele axe centrale:

dreptunghi:
; cerc:W x =W y =
,

secțiune tubulară (inel): W x =W y =
, unde = d N / d B .

Momentul polar de rezistență - raportul dintre momentul polar de inerție și distanța de la pol până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii:
.

Pentru un cerc W р =
.

Torsiune

T

Acest tip de deformare în care apare un singur cuplu în secțiuni transversale este Mk. Semnul cuplului Mk este determinat în mod convenabil de direcția momentului exterior. Dacă, văzut din lateralul secțiunii, momentul exterior este îndreptat în sens invers acelor de ceasornic, atunci M k >0 (se găsește și regula opusă). Când are loc torsiune, o secțiune se rotește în raport cu alta unghi de răsucire-. Atunci când o grindă rotundă (arborele) este torsiune, apare o stare de efort de forfecare pură (nu există solicitări normale), apar doar tensiuni tangenţiale. Se presupune că secțiunile sunt plate înainte de răsucire și rămân plate după răsucire - legea secțiunilor plane. Tensiunile tangenţiale la punctele de secţiune transversală variază proporţional cu distanţa punctelor de la axă. Din legea lui Hooke la forfecare: =G, G - modulul de forfecare,
,
- momentul polar de rezistență al unei secțiuni circulare. Tensiunile tangențiale la centru sunt zero; cu cât sunt mai îndepărtate de centru, cu atât sunt mai mari. Unghi de răsucire
,GJ p - rigiditatea secțiunii la torsiune.
-unghi relativ de răsucire. Energia potențială în timpul torsiunii:
. Stare de forță:
, [] = , pentru un material plastic  se presupune că este limita de curgere la forfecare  t, pentru un material fragil –  in este rezistența la rupere, [n] este factorul de siguranță. Condiție de rigiditate la torsiune:  max [] – unghi de torsiune admis.

Torsiunea unei grinzi dreptunghiulare

P În acest caz, legea secțiunilor plane este încălcată, secțiunile necirculare sunt îndoite în timpul torsii - deplanare secțiune transversală.

Diagrame ale tensiunilor tangențiale ale unei secțiuni dreptunghiulare.

;
,J k și W k ​​se numesc în mod convențional momentul de inerție și momentul de rezistență la torsiune. W k = hb 2 ,

J k = hb 3 , Tensiunile tangenţiale maxime  max vor fi în mijlocul laturii lungi, tensiunile în mijlocul laturii scurte: =  max , coeficienţii: ,, sunt daţi în cărţile de referinţă în funcție de raportul h/b (de exemplu, cu h/b=2, =0,246; =0,229; =0,795.

Îndoiți

P
îndoitură plată (dreaptă).- când momentul încovoietor acționează într-un plan care trece prin una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunii, i.e. toate forțele se află în planul de simetrie al fasciculului. Principalele ipoteze(presupune): ipoteza despre non-presiunea fibrelor longitudinale: fibrele paralele cu axa grinzii sufera deformare la tractiune-compresiune si nu exercita presiune unele asupra altora in directie transversala; ipoteza secțiunilor plane: o secțiune a unei grinzi care este plată înainte de deformare rămâne plată și normală față de axa curbă a grinzii după deformare. În cazul îndoirii plane, în general, factori interni de putere: forța longitudinală N, forța transversală Q și momentul încovoietor M. N>0, dacă forța longitudinală este de tracțiune; la M>0, fibrele de deasupra fasciculului sunt comprimate iar fibrele de pe fund sunt întinse. .

CU
se numește un strat în care nu există extensii strat neutru(axă, linie). Pentru N=0 și Q=0, avem cazul curba pură. Tensiuni normale:
, este raza de curbură a stratului neutru, y este distanța de la o anumită fibră la stratul neutru. Legea lui Hooke în îndoire:
, de unde (formula Navier):
,J x - momentul de inerție al secțiunii față de axa centrală principală perpendiculară pe planul momentului încovoietor, EJ x - rigiditatea la încovoiere, - curbura stratului neutru.

M
Tensiunile maxime de încovoiere apar în punctele cele mai îndepărtate de stratul neutru:
,J x /y max =W x - momentul de rezistență al secțiunii la încovoiere,
. Dacă secțiunea nu are o axă orizontală de simetrie, atunci diagrama normală a tensiunilor nu va fi simetrică. Axa neutră a secțiunii trece prin centrul de greutate al secțiunii. Formulele pentru determinarea tensiunii normale pentru încovoiere pură sunt aproximativ valabile chiar și atunci când Q0. Acesta este cazul încovoiere transversală. În timpul încovoierii transversale, pe lângă momentul încovoietor M, acţionează o forţă transversală Q şi în secţiune apar nu numai tensiuni normale , ci şi  tangenţiale. Tensiunile de forfecare sunt determinate Formula lui Zhuravsky:
, unde S x (y) este momentul static relativ la axa neutră a acelei părți a zonei care se află sub sau deasupra stratului situat la o distanță „y” de axa neutră; J x - momentul de inerție Total secțiune transversală față de axa neutră, b(y) este lățimea secțiunii din stratul pe care se determină eforturile de forfecare.

D
Pentru o secțiune dreptunghiulară:
,F=bh, pentru o secțiune circulară:
,F=R 2, pentru o secțiune de orice formă
,

k-coeficient, în funcție de forma secțiunii (dreptunghi: k= 1,5; cerc - k= 1,33).

M

max și Q max sunt determinate din diagramele momentelor încovoietoare și forțelor tăietoare. Pentru a face acest lucru, fasciculul este tăiat în două părți și una dintre ele este examinată. Acțiunea piesei aruncate este înlocuită cu factorii de forță interni M și Q, care sunt determinați din ecuațiile de echilibru. În unele universități, momentul M>0 este amânat în jos, adică. Diagrama momentului este construită pe fibre întinse. La Q = 0 avem un extremum al diagramei momentului. Dependențe diferențiale între M,QȘiq:

q - intensitatea sarcinii distribuite [kN/m]

Tensiuni principale în timpul îndoirii transversale:

.

Calculul rezistenței la încovoiere: două condiţii de rezistenţă legate de puncte diferite ale grinzii: a) conform solicitărilor normale
, (punctele cele mai îndepărtate de C); b) prin tensiuni tangenţiale
, (puncte de pe axa neutră). Din a) determinați dimensiunile grinzii:
, care sunt verificate de b). În secțiunile de grinzi pot exista puncte în care există simultan tensiuni de forfecare mari normale și mari. Pentru aceste puncte se găsesc tensiuni echivalente, care nu trebuie să le depășească pe cele admisibile. Condițiile de rezistență sunt testate împotriva diferitelor teorii de rezistență

primul:
;II-a: (cu raportul lui Poisson=0,3); - folosit rar.

Teoria lui Mohr:
(folosit pentru fontă, care are o efort de întindere admisibil [ p ][ s ] – în compresiune).