Mai întâi, încercați să găsiți domeniul de aplicare al funcției:

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile:

În regulă? Bine făcut!

Acum să încercăm să găsim intervalul funcției:

Găsite? Comparaţie:

A fost de acord? Bine făcut!

Să lucrăm din nou cu graficele, doar că acum este puțin mai dificil - să găsim atât domeniul funcției, cât și domeniul funcției.

Cum să găsiți atât domeniul, cât și domeniul unei funcții (avansat)

Iată ce s-a întâmplat:

Cu grafica, cred ca ti-ai dat seama. Acum să încercăm să găsim domeniul funcției în conformitate cu formulele (dacă nu știți cum să faceți acest lucru, citiți secțiunea despre):

Ai reușit? Control răspunsuri:

1. , deoarece expresia rădăcină trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
2. , deoarece este imposibil de împărțit la zero și expresia radicală nu poate fi negativă.
3. , întrucât, respectiv, pentru toți.
4. pentru că nu poți împărți la zero.

Cu toate acestea, mai avem încă un moment care nu a fost rezolvat...

Permiteți-mi să reiterez definiția și să mă concentrez asupra ei:

Ai observat? Cuvântul „doar” este un element foarte, foarte important al definiției noastre. Voi încerca să vă explic pe degete.

Să presupunem că avem o funcție dată de o dreaptă. . Când, înlocuim această valoare în „regula noastră” și obținem asta. O valoare corespunde unei singure valori. Putem chiar să facem un tabel cu diferite valori și să trasăm o funcție dată pentru a verifica acest lucru.

"Uite! - spui tu, - "" se intalneste de doua ori!" Deci poate parabola nu este o funcție? Nu este!

Faptul că „” apare de două ori este departe de a fi un motiv pentru a acuza parabola de ambiguitate!

Cert este că, atunci când calculăm pentru, avem un joc. Și când calculăm cu, avem un joc. Deci, așa este, parabola este o funcție. Uită-te la grafic:

Am înţeles? Dacă nu, iată un exemplu real pentru tine, departe de matematică!

Să presupunem că avem un grup de solicitanți care s-au întâlnit la depunerea documentelor, fiecare dintre ei a spus într-o conversație unde locuiește:

De acord, este destul de realist că mai mulți bărbați locuiesc în același oraș, dar este imposibil ca o persoană să trăiască în mai multe orașe în același timp. Aceasta este, parcă, o reprezentare logică a „parabolei” noastre - Mai multe x-uri diferite corespund aceluiași y.

Acum să venim cu un exemplu în care dependența nu este o funcție. Să presupunem că aceiași tipi au spus pentru ce specialități au aplicat:

Aici avem o situație complet diferită: o persoană poate aplica cu ușurință pentru una sau mai multe direcții. Acesta este un element seturile sunt puse în corespondență elemente multiple seturi. Respectiv, nu este o functie.

Să-ți testăm cunoștințele în practică.

Determinați din imagini ce este o funcție și ce nu este:

Am înţeles? Și iată răspunsuri:

• Funcția este - B,E.
• Nu este o funcție - A, B, D, D.

Te intrebi de ce? Da, iată de ce:

În toate cifrele, cu excepția ÎN)Și E) sunt mai multe pentru unul!

Sunt sigur că acum puteți distinge cu ușurință o funcție de o non-funcție, puteți spune ce este un argument și ce este o variabilă dependentă și, de asemenea, puteți determina sfera argumentului și sfera funcției. Să trecem la următoarea secțiune - cum se definește o funcție?

Modalități de a seta o funcție

Ce crezi că înseamnă cuvintele "setare functie"? Așa e, înseamnă să explicăm tuturor despre ce funcție vorbim în acest caz. Mai mult, explicați în așa fel încât toată lumea să vă înțeleagă corect și graficele funcțiilor desenate de oameni conform explicației dvs. au fost aceleași.

Cum pot face acest lucru? Cum se setează o funcție? Cel mai simplu mod, care a fost deja folosit de mai multe ori în acest articol - folosind o formulă. Scriem o formulă și, substituind o valoare în ea, calculăm valoarea. Și după cum vă amintiți, o formulă este o lege, o regulă conform căreia devine clar pentru noi și pentru o altă persoană cum un X se transformă într-un Y.

De obicei, acest lucru este exact ceea ce fac ei - în sarcini vedem funcții gata făcute definite prin formule, cu toate acestea, există și alte modalități de a seta o funcție de care toată lumea uită și, prin urmare, întrebarea „cum altfel poți seta o funcție?” încurcă. Să aruncăm o privire la totul în ordine și să începem cu metoda analitică.

Mod analitic de definire a unei funcții

Metoda analitică este sarcina unei funcții care utilizează o formulă. Aceasta este cea mai universală, cuprinzătoare și lipsită de ambiguitate. Dacă aveți o formulă, atunci știți absolut totul despre funcție - puteți face un tabel de valori pe ea, puteți construi un grafic, puteți determina unde crește funcția și unde scade, în general, explorați-o în întregime.

Să luăm în considerare o funcție. Ce conteaza?

"Ce înseamnă?" - tu intrebi. Voi explica acum.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în notație, expresia dintre paranteze se numește argument. Și acest argument poate fi orice expresie, nu neapărat simplă. În consecință, oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie.

În exemplul nostru, va arăta astfel:

Luați în considerare o altă sarcină legată de metoda analitică de specificare a unei funcții pe care o veți avea la examen.

Găsiți valoarea expresiei, la.

Sunt sigur că la început, ți-a fost frică când ai văzut o astfel de expresie, dar nu este absolut nimic înfricoșător în ea!

Totul este la fel ca în exemplul anterior: oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie. De exemplu, pentru o funcție.

Ce ar trebui făcut în exemplul nostru? În schimb, trebuie să scrieți și în loc de -:

scurtați expresia rezultată:

Asta e tot!

Muncă independentă

Acum încercați să găsiți singur sensul următoarelor expresii:

1. , Dacă
2. , Dacă

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile noastre: Suntem obișnuiți cu faptul că funcția are forma

Chiar și în exemplele noastre, definim funcția în acest fel, dar analitic este posibil să definim funcția implicit, de exemplu.

Încercați să construiți singur această funcție.

Ai reușit?

Iată cum l-am construit.

Cu ce ​​ecuație am ajuns?

Dreapta! Liniar, ceea ce înseamnă că graficul va fi o linie dreaptă. Să facem un tabel pentru a determina ce puncte aparțin liniei noastre:

Tocmai despre asta vorbeam... Unul corespunde mai multor.

Să încercăm să desenăm ce s-a întâmplat:

Este ceea ce avem o funcție?

Așa e, nu! De ce? Încercați să răspundeți la această întrebare cu o imagine. Ce ai primit?

„Pentru că o singură valoare corespunde mai multor valori!”

Ce concluzie putem trage din asta?

Așa este, o funcție nu poate fi întotdeauna exprimată în mod explicit, iar ceea ce este „deghizat” ca funcție nu este întotdeauna o funcție!

Mod tabelar de definire a unei funcții

După cum sugerează și numele, această metodă este o placă simplă. Da Da. Ca cel pe care l-am făcut deja. De exemplu:

Aici ați observat imediat un model - Y este de trei ori mai mare decât X. Și acum sarcina de a „gândi foarte bine”: crezi că o funcție dată sub formă de tabel este echivalentă cu o funcție?

Să nu mai vorbim multă vreme, dar să desenăm!

Asa de. Desenăm o funcție dată în ambele moduri:

Vedeți diferența? Nu e vorba de punctele marcate! Priveste mai atent:

L-ai văzut acum? Când setăm funcția într-un mod tabelar, reflectăm pe grafic doar acele puncte pe care le avem în tabel și linia (ca și în cazul nostru) trece doar prin ele. Când definim o funcție într-un mod analitic, putem lua orice puncte, iar funcția noastră nu se limitează la ele. Iată o astfel de caracteristică. Tine minte!

Mod grafic de a construi o funcție

Modul grafic de construire a unei funcții nu este mai puțin convenabil. Ne desenăm funcția și o altă persoană interesată poate găsi cu ce este y la un anumit x și așa mai departe. Metodele grafice și analitice sunt printre cele mai comune.

Cu toate acestea, aici trebuie să vă amintiți despre ce am vorbit la început - nu fiecare „squiggle” desenat în sistemul de coordonate este o funcție! Amintit? Pentru orice eventualitate, voi copia aici definiția a ceea ce este o funcție:

De regulă, oamenii numesc de obicei exact acele trei moduri de a specifica o funcție pe care le-am analizat - analitic (folosind o formulă), tabelar și grafic, uitând complet că o funcție poate fi descrisă verbal. Ca aceasta? Da, foarte usor!

Descrierea verbală a funcției

Cum să descrii funcția verbal? Să luăm exemplul nostru recent - . Această funcție poate fi descrisă ca „fiecare valoare reală a lui x corespunde valorii sale triple”. Asta e tot. Nimic complicat. Desigur, veți obiecta - „există funcții atât de complexe, încât este pur și simplu imposibil de stabilit verbal!” Da, există unele, dar există funcții care sunt mai ușor de descris verbal decât de stabilit cu o formulă. De exemplu: „fiecare valoare naturală a lui x corespunde diferenței dintre cifrele din care constă, în timp ce cea mai mare cifră conținută în intrarea numărului este luată ca minuend”. Acum luați în considerare modul în care descrierea noastră verbală a funcției este implementată în practică:

Cea mai mare cifră dintr-un număr dat -, respectiv, - se reduce, apoi:

Principalele tipuri de funcții

Acum să trecem la cele mai interesante - vom lua în considerare principalele tipuri de funcții cu care ați lucrat / lucrați și veți lucra în cursul școlii și institutului de matematică, adică le vom cunoaște, ca să spunem așa, și dă-le o scurtă descriere. Citiți mai multe despre fiecare funcție în secțiunea corespunzătoare.

Funcție liniară

O funcție a formei, unde sunt numere reale.

Graficul acestei funcții este o linie dreaptă, astfel încât construcția unei funcții liniare se reduce la găsirea coordonatelor a două puncte.

Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de pantă.

Domeniul de aplicare al funcției (cunoscut și sub numele de interval de argumente) - .

Gama de valori este .

funcţie pătratică

Funcția formei, unde

Graficul funcției este o parabolă, când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, când - în sus.

Multe proprietăți ale unei funcții pătratice depind de valoarea discriminantului. Discriminantul se calculează prin formula

Poziția parabolei pe planul de coordonate în raport cu valoarea și coeficientul este prezentată în figură:

Domeniu

Gama de valori depinde de extremul funcției date (vârful parabolei) și de coeficient (direcția ramurilor parabolei)

Proporționalitate inversă

Funcția dată de formula, unde

Numărul se numește factor de proporționalitate inversă. În funcție de ce valoare, ramurile hiperbolei sunt în pătrate diferite:

Domeniu - .

Gama de valori este .

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

1. O funcție este o regulă conform căreia fiecărui element al unei mulțimi i se atribuie un element unic al mulțimii.

• - aceasta este o formulă care denotă o funcție, adică dependența unei variabile de alta;
• - variabilă, sau argument;
• - valoare dependentă - se modifică atunci când argumentul se schimbă, adică după o formulă specifică care reflectă dependența unei valori față de alta.

2. Valorile argumentelor valide, sau domeniul de aplicare al unei funcții, este ceea ce este legat de posibilul sub care funcția are sens.

3. Gama de valori ale funcției- acestea sunt valorile necesare, cu valori valide.

4. Există 4 moduri de a seta funcția:

• analitice (folosind formule);
• tabular;
• grafic
• descriere verbală.

5. Principalele tipuri de funcții:

• : , unde, sunt numere reale;
• : , Unde;
• : , Unde.

Una dintre schemele posibile pentru studierea funcției și construirea graficului acesteia se descompune în următoarele etape de rezolvare a problemei: 1. Domeniul funcției (O.O.F.). 2. Punctele de întrerupere ale unei funcții, natura lor. Asimptote verticale. 3. Funcție pară, impară, periodică. 4. Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate. 5. Comportarea funcției la infinit. Asimptote orizontale și oblice. 6. Intervale de monotonitate a unei funcţii, puncte de maxim şi minim. 7. Direcțiile convexității curbei. Puncte de inflexiune. 8. Graficul funcției. Exemplul 1. Trasează funcția y \u003d 1. (vereiora sau bucla a Mariei Anieei). - întreaga axă numerică. 2. Nu există puncte de pauză; nu există asimptote verticale. 3. Funcția este pară: astfel încât graficul său să fie simetric față de axa Oy \ neperiodic. Din paritatea funcției rezultă că este suficient să-i trasezi graficul pe semi-linia x ^ 0 și apoi să-l oglindim pe axa y. 4. La x = 0, avem Yx, astfel încât graficul funcției se află în semiplanul superior y > 0. Schemă de construire a graficului funcției Investigarea funcțiilor pentru un extremum folosind derivate de ordin superior Calculul rădăcinile ecuațiilor folosind metode de acordare și tangentă că graficul are o asimptotă orizontală y = O, nu există asimptote oblice. Deci funcția crește pe măsură ce și scade când. Punctul x = 0 este critic. Când x trece prin punctul x \u003d 0, derivata y "(x) își schimbă semnul din minus în plus. Prin urmare, punctul x \u003d 0 este punctul maxim, y (Q) \u003d I. Acest rezultat este destul de evident: / (x) \u003d T ^ IV *. Derivata a doua dispare în punctele x \u003d. Studiem punctul x \u003d 4- (mai departe, considerațiile de simetrie). La avem. curba este convexă în jos; la obținem (curba este convexă în sus). Prin urmare, punctul x \u003d \u003d - este graficul punctului de inflexiune al funcției. Vom rezuma rezultatele studiului într-un tabel: Punct de inflexiune max Punct de inflexiune - întreaga axă reală, excluzând punctul 2. Punctul de discontinuitate al funcției.Deci avem linia dreaptă x = 0 - asimptota verticală. 3. Funcția nu este nici pară, nici impară [funcția în poziție generală), non- Presupunând că graficul funcției intersectează axa Ox în punctul (-1,0), nu există asimptote oblice și orizontale, de unde punctul critic. A doua derivată a funcției este într-un punct, deci x = este punctul minim. A doua derivată se transformă în uul într-un punct și își schimbă semnul la trecerea prin acest punct. Prin urmare, punctul este punctul de inflexiune al curbei. Căci) avem e. convexitatea curbei este îndreptată în jos; pentru -Eu avem. convexitatea curbei este îndreptată în sus. Rezumăm rezultatele studiului într-un tabel: Nu există Nu există Punct de inflexiune Nu există. Asimptota verticală a derivatei torusului dispare la x = e,/2. iar când x trece prin acest punct, y „schimbă semnul Prin urmare, este abscisa punctului de inflexiune al curbei. Rezumăm rezultatele studiului într-un tabel: Punct de inflexiune. Graficul funcției este prezentat în Fig. 37. Exemplu 4. Reprezentați grafic funcția întregii axe numerice, excluzând punctul Discontinuitatea punctului punct al celui de-al 2-lea fel de funcție.Deoarece Km este o asimptotă verticală directă a graficului funcției.Funcția este în poziție generală, neperiodică .Setând y = 0, avem, de unde astfel încât graficul funcției intersectează axa x în punctul Prin urmare, graficul funcției are o asimptotă oblică Din condiția obținem - un punct critic Derivata a II-a a funcția y" \u003d D\u003e 0 peste tot în domeniul definiției, în special, în punctul - punctul minim al funcției. 7. Întrucât, peste tot în domeniul definirii funcției, convexitatea graficului acesteia este îndreptată în jos. Rezumăm rezultatele studiului într-un tabel: Nu există Nu există Nu există. x \u003d 0 - asimptotă verticală Graficul funcției este prezentat în fig. Exemplul 5. Reprezentați grafic funcția întregii axe a numerelor. 2. Continuă peste tot. Nu există asimptote verticale. 3. Poziție generală, neperiodică. 4. Funcția dispare la 5. Astfel, graficul funcției are o asimptotă oblică Derivata dispare într-un punct și nu există la. Când x trece prin punctul) derivata nu își schimbă semnul, deci nu există un extremum în punctul x = 0. Când punctul x trece prin punct, derivata) își schimbă semnul din „+” în Deci, funcția are un maxim. Când x trece prin punctul x \u003d 3 (x\u003e I), derivata y "(x) își schimbă semnul, adică în punctul x \u003d 3, funcția are un minim. 7. Găsiți derivata a doua a ordin superior Calculul rădăcinilor ecuațiilor prin metodele coardelor și tangentelor Derivata a doua y „(x) nu există în punctul x = 0 și când x trece prin punctul x = 0 y” își schimbă semnul din + în așadar că punctul (0,0) al curbei este un punct nu există punct de inflexiune cu tangentă verticală Nu există inflexiune în punctul x = 3. Peste tot în semiplanul x > 0 convexitatea curbei este îndreptată în sus.în fig. 39. §7. Investigarea funcțiilor până la un extrem folosind derivate de ordin superior Formula lui Taylor poate fi folosită pentru a găsi punctele maxime și minime ale funcțiilor. Teorema It. Fie funcția f(x) dintr-o vecinătate a punctului xq să aibă o derivată de ordinul n continuă în punctul xo Fie 0. Atunci dacă numărul n este impar, atunci funcția f(x) din punctul x0 are fără extremum; când n este par, atunci în punctul x0 funcția f(x) are un maxim dacă f(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, care se află în interval, diferența - /(x0) își păstrează semnul. Conform formulei Taylor ca prin condiție, atunci din (1) obținem 1o condiția / (n * (r) este continuă într-un punct și Ф Prin urmare, datorită stabilității unei funcții continue, există astfel încât în intervalul () nu se modifică și coincide cu semnul / (n) ( Să luăm în considerare cazurile posibile: 1) n este un număr par și / Atunci eu, prin urmare, în virtutea (2) . Conform definiției, aceasta înseamnă că punctul o este punctul de minim al funcției f(r). 2) n este par și. Atunci vom avea i împreună cu aceasta și Prin urmare, punctul i va fi în acest caz punctul de maxim al funcției f(r). 3) n este un număr impar, /- Atunci, pentru x > x0, semnul > va coincide cu semnul lui /(n)(ro), iar pentru r, va fi opus. Prin urmare, pentru 0 arbitrar mic, semnul diferenței f(r) - f(r0) nu va fi același pentru toate x e (r0 - 6, r0 + t). In consecinta, in acest caz functia f(r) nu are un stremum in punctul th. Exemplu. Să luăm în considerare funcțiile A. Este ușor de observat că punctul x = 0 este un punct critic al ambelor funcții. Pentru funcția y = x4, prima dintre derivatele nenule în punctul x = 0 este derivata de ordinul 4: Astfel, aici n = 4 este un u par. Prin urmare, în punctul x = 0, funcția y = x4 are un minim. Pentru funcția y = x), prima dintre derivatele nenule în punctul x = 0 este derivata de ordinul trei. Deci, în acest caz, n = 3 este impar, iar în punctul x = 0 funcția y = x3 nu are extremă. Cometariu. Folosind formula Taylor, putem demonstra următoarea teoremă, care exprimă condițiile suficiente pentru punctul de inflexiune. „Teorema 12. Fie ca funcția /(r) dintr-o vecinătate a punctului r0 să aibă o derivată de ordinul n, continuă în punctul xq. Mo(x0, f(xo)) este punctul de inflexiune al graficului al funcției y = f(x).Cel mai simplu exemplu este oferit de funcția §8.Calculul rădăcinilor ecuațiilor prin metodele coardelor și tangentelor Problema constă în găsirea rădăcinii reale a ecuației Să presupunem că următoarele condiții sunt îndeplinite: 1) funcția f(x) este continuă pe segmentul [a, 6]; 2) numerele /(a) și f(b) sunt opuse în semn: 3) pe segmentul [a, 6] există derivate f "(x) și f "(x) care păstrează un semn constant pe acest segment. Din condițiile 1) și 2), în virtutea teoremei Bolzano-Cauchy (p. 220), rezultă că funcția f(x) dispare cel puțin într-un punct £ € ( a, b), adică, ecuația (1) are cel puțin o rădăcină reală £ în intervalul (a, b). Deoarece, prin condiția 3), derivata /"(x) pe semnul [a, b\], atunci f(x) este monoton pe [a, b] și, prin urmare, ecuația (1) are o singură rădăcină reală în intervalul (a, b). I ) cu orice grad de precizie. Sunt posibile patru cazuri (Fig. 40): 1) Fig. 40 Pentru certitudine, să luăm cazul când f \ x) > 0, f "(x) > 0 pe segmentul [a, 6) (Fig. 41). Să conectăm punctele A (a, / (a) ) și B (b, f(b)) printr-o coardă A B. Acesta este un segment al unei linii drepte care trece prin punctele A și B, a cărei ecuație y \u003d 0, găsim Din Fig. 41 este ușor pentru a vedea că punctul a \ va fi întotdeauna situat pe partea față de care semnele f (x) și f "(x) sunt opuse. Să tragem acum o tangentă la curba y \u003d f (x) în punctul B (b, f(b)), adică la acel capăt al arcului ^AB la care f(x) și /"(x) au același semn. Aceasta este o condiție esențială: fără ea, punctul de intersecție tangent la axa x poate să nu ofere deloc o aproximare a rădăcinii necesare. Punctul b\, în care tangenta intersectează axa x, este situat între t și b de aceeași parte cu 6 și este o aproximare mai bună pentru decât b. Această tangentă este determinată de ecuația Presupunând y = 0 în (3), găsim b\: Schemă de construire a unui grafic al unei funcții Investigarea funcțiilor pentru un extremum folosind derivate de ordin superior Calculul rădăcinilor ecuațiilor prin metodele acordurilor și tangentelor Pentru eroarea absolută a valorilor aproximative ale lui aj și 6, rădăcina £, putem lua valoarea |6i - ai|. Dacă această eroare este mai mare decât cea admisibilă, atunci, luând segmentul drept original, găsim următoarele aproximări ale rădăcinii unde. Continuând acest proces, obținem două secvențe de valori aproximative.Secvențele (an) și (bn) sunt monotone și mărginite și, prin urmare, au limite. Fie Se poate arăta că dacă sunt îndeplinite condițiile formulate mai sus 1 este singura rădăcină a ecuației / Exemplu. Aflați rădăcina (ecuațiile r2 - 1 = 0 pe segmentul . Astfel, sunt îndeplinite toate condițiile care asigură existența unei singure rădăcini (ecuațiile x2 - 1 = 0 pe segmentul . iar metoda ar trebui să funcționeze. 8 în cazul nostru). a = 0, b = 2. Când n \u003d I din (4) și (5) găsim Când n \u003d 2 obținem ceea ce oferă o aproximare a valorii exacte a rădăcinii (cu eroare absolută) folosind derivate de ordin superior : Răspunsuri

Sarcina este de a efectua un studiu complet al funcției și de a construi graficul acesteia.

Fiecare elev a trecut prin provocări similare.

Ceea ce urmează presupune cunoștințe bune. Vă recomandăm să consultați această secțiune dacă aveți întrebări.

Algoritmul de cercetare a funcției constă din următorii pași.

Găsirea domeniului de aplicare a unei funcții.

Acesta este un pas foarte important în studiul funcției, deoarece toate acțiunile ulterioare vor fi efectuate în domeniul definiției.

În exemplul nostru, trebuie să găsim zerourile numitorului și să le excludem din regiunea numerelor reale.



(În alte exemple, pot exista rădăcini, logaritmi etc. Reamintim că, în aceste cazuri, domeniul este căutat după cum urmează:
pentru o rădăcină de grad par, de exemplu, - domeniul de definiție se găsește din inegalitatea ;
pentru logaritm - domeniul de definiție se găsește din inegalitatea ).

Investigarea comportamentului unei funcții la limita domeniului de definiție, găsirea asimptotelor verticale.

La granițele domeniului definiției, funcția are asimptote verticale, dacă la aceste puncte de limită sunt infinite.

În exemplul nostru, punctele limită ale domeniului de definiție sunt .

Investigăm comportamentul funcției la apropierea acestor puncte din stânga și dreapta, pentru care găsim limite unilaterale:


Deoarece limitele unilaterale sunt infinite, liniile sunt asimptotele verticale ale graficului.

Investigarea unei funcții pentru paritate pară sau impară.

Funcția este chiar, Dacă . Paritatea funcției indică simetria graficului față de axa y.

Funcția este ciudat, Dacă . Ciudățenia funcției indică simetria graficului față de origine.

Dacă niciuna dintre egalități nu este satisfăcută, atunci avem o funcție de formă generală.

În exemplul nostru, egalitatea este adevărată, prin urmare, funcția noastră este pară. Vom ține cont de acest lucru la trasarea graficului - acesta va fi simetric față de axa y.

Găsirea intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare, puncte extreme.

Intervalele de creștere și scădere sunt soluții ale inegalităților și respectiv.

Se numesc punctele în care derivata dispare staționar.

Puncte critice ale funcției numiți punctele interioare ale domeniului de definiție la care derivata funcției este egală cu zero sau nu există.

COMETARIU(dacă să includă punctele critice în intervalele de creștere și scădere).

Vom include puncte critice în intervale crescătoare și descrescătoare dacă aparțin domeniului funcției.

Prin urmare, pentru a determina intervalele de crestere si scadere a unei functii

• mai întâi, găsim derivata;
• în al doilea rând, găsim puncte critice;
• în al treilea rând, împărțim domeniul definiției prin puncte critice în intervale;
• în al patrulea rând, determinăm semnul derivatei pe fiecare dintre intervale. Semnul plus va corespunde intervalului de creștere, semnul minus - intervalului de scădere.

Merge!

Găsim derivata pe domeniul definiției (în caz de dificultăți, vezi secțiunea).


Găsim puncte critice, pentru aceasta:

Punem aceste puncte pe axa numerică și determinăm semnul derivatei în interiorul fiecărui interval rezultat. Alternativ, puteți lua orice punct din interval și puteți calcula valoarea derivatei în acel punct. Dacă valoarea este pozitivă, atunci puneți un semn plus peste acest interval și treceți la următorul, dacă este negativ, apoi puneți un minus etc. De exemplu, , așadar, punem un plus peste primul interval din stânga.


Încheiem:

Schematic, plusurile / minusurile marchează intervalele în care derivata este pozitivă / negativă. Săgețile de urcare/coborare indică direcția de urcare/coborare.

punctele extreme ale funcției sunt punctele în care funcția este definită și trecerea prin care derivata își schimbă semnul.

În exemplul nostru, punctul extremum este x=0. Valoarea funcției în acest moment este . Deoarece derivata își schimbă semnul de la plus la minus când trece prin punctul x=0, atunci (0; 0) este un punct maxim local. (Dacă derivata și-ar schimba semnul din minus în plus, atunci am avea un punct minim local).

Găsirea intervalelor de convexitate și concavitate a unei funcții și a punctelor de inflexiune.

Intervalele de concavitate si convexitate ale functiei se gasesc prin rezolvarea inegalitatilor si, respectiv.

Uneori, o concavitate este numită convexitate în jos, iar o convexitate este numită convexitate în sus.

Și aici sunt valabile observații similare cu cele din paragraful despre intervale de creștere și scădere.

Prin urmare, pentru a determina intervalele de concavitate și convexitate ale unei funcții:

• mai întâi, găsim derivata a doua;
• în al doilea rând, găsim zerourile numărătorului și numitorului derivatei a doua;
• în al treilea rând, împărțim domeniul definiției prin punctele obținute în intervale;
• în al patrulea rând, determinăm semnul derivatei a doua pe fiecare dintre intervale. Semnul plus va corespunde intervalului de concavitate, semnul minus - intervalului convex.

Merge!

Găsim derivata a doua pe domeniul definiției.


În exemplul nostru, nu există zerouri la numărător, zerouri la numitor.

Punem aceste puncte pe axa reală și determinăm semnul derivatei a doua în interiorul fiecărui interval rezultat.



Încheiem:

Punctul este numit punct de inflexiune, dacă într-un punct dat există o tangentă la graficul funcției și derivata a doua a funcției își schimbă semnul la trecerea prin .

Cu alte cuvinte, punctele de inflexiune pot fi puncte prin care derivata a doua își schimbă semnul, la punctele în sine fie egale cu zero, fie nu există, dar aceste puncte sunt incluse în domeniul funcției.

În exemplul nostru, nu există puncte de inflexiune, deoarece derivata a doua își schimbă semnul la trecerea prin puncte și nu sunt incluse în domeniul funcției.

Găsirea asimptotelor orizontale și oblice.

Asimptotele orizontale sau oblice ar trebui căutate numai atunci când funcția este definită la infinit.

Asimptote oblice sunt căutate sub formă de linii drepte , unde și .

Dacă k=0 și b nu este egal cu infinitul, atunci asimptota oblică devine orizontală.

Oricum cine sunt aceste asimptote?

Acestea sunt liniile pe care graficul funcției le abordează la infinit. Astfel, ele ajută foarte mult la trasarea unei funcții.

Dacă nu există asimptote orizontale sau oblice, dar funcția este definită la plus infinit și/sau minus infinit, atunci limita funcției la plus infinit și/sau minus infinit ar trebui calculată pentru a vă face o idee despre comportamentul lui. graficul funcției.

Pentru exemplul nostru

este asimptota orizontală.

Aceasta încheie studiul funcției, trecem la grafic.

Calculăm valorile funcției în puncte intermediare.

Pentru o reprezentare mai precisă, vă recomandăm să găsiți mai multe valori ale funcției în puncte intermediare (adică în orice punct din zona de definire a funcției).

Pentru exemplul nostru, să găsim valorile funcției în punctele x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Datorită parității funcției, aceste valori vor coincide cu valorile din punctele x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Construirea unui grafic.

În primul rând, construim asimptote, trasăm punctele maximelor și minimelor locale ale funcției, punctele de inflexiune și punctele intermediare. Pentru comoditatea trasării, puteți aplica și o desemnare schematică a intervalelor de creștere, scădere, convexitate și concavitate, nu în zadar am studiat funcția =).


Rămâne să trasăm liniile graficului prin punctele marcate, apropiindu-se de asimptote și urmând săgețile.


Cu această capodoperă a artei plastice, sarcina de a investiga pe deplin funcția și complot este finalizată.

Graficele unor funcții elementare pot fi construite folosind grafice ale funcțiilor elementare de bază.

Cum se investighează o funcție și se trasează graficul acesteia?

Se pare că încep să înțeleg chipul plin de suflet al liderului proletariatului mondial, autorul unor lucrări adunate în 55 de volume.... Călătoria lungă a început cu informații elementare despre funcții și grafice, iar acum lucrul pe un subiect laborios se termină cu un rezultat natural - un articol despre studiul complet al funcției. Sarcina mult așteptată este formulată după cum urmează:

Investigați funcția prin metode de calcul diferențial și, pe baza rezultatelor studiului, construiți graficul acesteia

Sau pe scurt: examinați funcția și trasați-o.

De ce explora?În cazuri simple, nu ne va fi dificil să ne ocupăm de funcții elementare, desenați un grafic obținut folosind transformări geometrice elementareși așa mai departe. Cu toate acestea, proprietățile și reprezentările grafice ale funcțiilor mai complexe sunt departe de a fi evidente, motiv pentru care este nevoie de un studiu întreg.

Principalii pași ai soluției sunt rezumați în materialul de referință Schema de studiu a funcției, acesta este ghidul dvs. de secțiune. Dummies au nevoie de o explicație pas cu pas a subiectului, unii cititori nu știu de unde să înceapă și cum să organizeze studiul, iar studenții avansați pot fi interesați doar de câteva puncte. Dar oricine ai fi, dragă vizitator, rezumatul propus cu indicatoare către diverse lecții te va orienta și te va îndrepta în direcția de interes în cel mai scurt timp posibil. Roboții au vărsat o lacrimă =) Manualul a fost alcătuit sub forma unui fișier pdf și și-a luat locul cuvenit pe pagină Formule și tabele matematice.

Obișnuiam să împărțim studiul funcției în 5-6 puncte:

6) Puncte suplimentare și grafic pe baza rezultatelor studiului.

În ceea ce privește acțiunea finală, cred că toată lumea înțelege totul - va fi foarte dezamăgitor dacă în câteva secunde va fi tăiată și sarcina este returnată pentru revizuire. UN DESEN CORECT ȘI EXACTE este principalul rezultat al soluției! Este foarte probabil să „acopere” neglijările analitice, în timp ce un program incorect și/sau neglijent va cauza probleme chiar și cu un studiu perfect realizat.

Trebuie remarcat faptul că, în alte surse, numărul de articole de cercetare, ordinea implementării lor și stilul de proiectare pot diferi semnificativ de schema propusă de mine, dar în majoritatea cazurilor este destul de suficient. Cea mai simplă versiune a problemei constă din doar 2-3 etape și este formulată cam așa: „explorează funcția folosind derivata și grafică” sau „explorează funcția folosind derivata 1 și 2, grafică”.

Desigur, dacă un alt algoritm este analizat în detaliu în manualul dvs. de instruire sau profesorul vă cere strict să respectați prelegerile sale, atunci va trebui să faceți unele ajustări la soluție. Nu mai dificil decât înlocuirea furculiței cu o lingură cu drujbă.

Să verificăm funcția pentru par / impar:

Acesta este urmat de un șablon de dezabonare:
, deci această funcție nu este nici pară, nici impară.

Deoarece funcția este continuă pe , nu există asimptote verticale.

Nu există nici asimptote oblice.

Notă : Vă reamintesc că cu cât mai sus ordinea de creștere decât , deci limita finală este exact " la care se adauga infinit."

Să aflăm cum se comportă funcția la infinit:

Cu alte cuvinte, dacă mergem la dreapta, atunci graficul merge infinit în sus, dacă mergem la stânga, infinit în jos. Da, există și două limite sub o singură intrare. Dacă întâmpinați dificultăți în descifrarea semnelor, vă rugăm să vizitați lecția despre funcții infinitezimale.

Deci funcția nelimitat de susȘi nelimitat de jos. Avand in vedere ca nu avem puncte de break, devine clar si intervalul de funcții: este, de asemenea, orice număr real.

TEHNICĂ UTILĂ

Fiecare pas de sarcină aduce informații noi despre graficul funcției, deci în cursul soluției este convenabil să folosiți un fel de LAYOUT. Să desenăm un sistem de coordonate carteziene pe proiect. Ce se știe cu siguranță? În primul rând, graficul nu are asimptote, prin urmare, nu este nevoie să desenați linii drepte. În al doilea rând, știm cum se comportă funcția la infinit. Conform analizei, tragem prima aproximare:

Rețineți că de fapt continuitate funcția pe și faptul că , graficul trebuie să traverseze axa cel puțin o dată. Sau poate sunt mai multe puncte de intersecție?

3) Zerurile funcției și intervalele de semn constant.

Mai întâi, găsiți punctul de intersecție al graficului cu axa y. E simplu. Este necesar să se calculeze valoarea funcției atunci când:

La jumătate deasupra nivelului mării.

Pentru a găsi punctele de intersecție cu axa (zerourile funcției), trebuie să rezolvați ecuația și aici ne așteaptă o surpriză neplăcută:

La sfârșit, un membru liber pândește, ceea ce complică semnificativ sarcina.

O astfel de ecuație are cel puțin o rădăcină reală și cel mai adesea această rădăcină este irațională. În cel mai rău basm, ne așteaptă trei purceluși. Ecuația este rezolvabilă folosind așa-numita formulele lui Cardano, dar deteriorarea hârtiei este comparabilă cu aproape întregul studiu. În acest sens, este mai înțelept oral sau pe o ciornă să încerci să ridici cel puțin unul întreg rădăcină. Să verificăm dacă aceste numere sunt:
- nu se potriveste;
- Există!

E noroc aici. În caz de eșec, puteți testa și, iar dacă aceste numere nu se potrivesc, atunci mă tem că sunt foarte puține șanse pentru o soluție profitabilă a ecuației. Atunci este mai bine să omiteți complet punctul de cercetare - poate ceva va deveni mai clar la pasul final, când puncte suplimentare vor trece. Și dacă rădăcina (rădăcinile) sunt în mod clar „rele”, atunci este mai bine să rămâneți modest tăcuți cu privire la intervalele de constanță a semnelor și să finalizați mai precis desenul.

Cu toate acestea, avem o rădăcină frumoasă, așa că împărțim polinomul fara rest:

Algoritmul de împărțire a unui polinom la un polinom este discutat în detaliu în primul exemplu al lecției. Limite complexe.

Ca rezultat, partea stângă a ecuației originale se extinde într-un produs:

Și acum puțin despre un stil de viață sănătos. Bineînțeles că înțeleg asta ecuații pătratice trebuie rezolvate în fiecare zi, dar astăzi vom face o excepție: ecuația are două rădăcini reale.

Pe linia numerică, trasăm valorile găsite Și metoda intervalului definiți semnele funcției:


og Astfel, pe intervale graficul situat
sub axa x și la intervale - deasupra acestei axe.

Constatările rezultate ne permit să ne rafinăm aspectul, iar a doua aproximare a graficului arată astfel:

Vă rugăm să rețineți că funcția trebuie să aibă cel puțin un maxim pe interval și cel puțin un minim pe interval. Dar nu știm de câte ori, unde și când se va „învârti” programul. Apropo, o funcție poate avea infinitate extreme.

4) Creșterea, descreșterea și extrema funcției.

Să găsim punctele critice:

Această ecuație are două rădăcini reale. Să le punem pe linia numerică și să determinăm semnele derivatei:


Prin urmare, funcția crește cu si scade cu .
În momentul în care funcția atinge maximul: .
În momentul în care funcția atinge minimul: .

Faptele stabilite conduc șablonul nostru într-un cadru destul de rigid:

Inutil să spun că calculul diferențial este un lucru puternic. Să ne ocupăm în sfârșit de forma graficului:

5) Convexitatea, concavitatea și punctele de inflexiune.

Aflați punctele critice ale derivatei a doua:

Să definim semnele:


Graficul funcției este convex pe și concav pe . Să calculăm ordonata punctului de inflexiune: .

Aproape totul s-a clarificat.

6) Rămâne să găsim puncte suplimentare care să ajute la construirea mai precisă a unui grafic și la efectuarea unui autotest. În acest caz, sunt puține, dar nu vom neglija:

Să executăm desenul:

Punctul de inflexiune este marcat cu verde, punctele suplimentare sunt marcate cu cruci. Graficul unei funcții cubice este simetric față de punctul său de inflexiune, care este întotdeauna situat exact la mijloc între maxim și minim.

Pe parcursul sarcinii, am dat trei desene intermediare ipotetice. În practică, este suficient să desenați un sistem de coordonate, să marcați punctele găsite și, după fiecare punct al studiului, să vă dați seama mental cum ar putea arăta graficul funcției. Nu va fi dificil pentru studenții cu un nivel bun de pregătire să efectueze o astfel de analiză doar în mintea lor, fără a implica o schiță.

Pentru o soluție de sine stătătoare:

Exemplul 2

Explorează funcția și construiește un grafic.

Totul este mai rapid și mai distractiv aici, un exemplu aproximativ de terminare la sfârșitul lecției.

O mulțime de secrete sunt dezvăluite prin studiul funcțiilor raționale fracționale:

Exemplul 3

Folosind metodele de calcul diferențial, investigați funcția și, pe baza rezultatelor studiului, construiți graficul acesteia.

Soluţie: prima etapă a studiului nu diferă în nimic remarcabil, cu excepția unei găuri în zona de definiție:

1) Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică, cu excepția punctului , domeniu: .

, deci această funcție nu este nici pară, nici impară.

Evident, funcția nu este periodică.

Graficul funcției este format din două ramuri continue situate în semiplanul stâng și drept - aceasta este poate cea mai importantă concluzie a primului paragraf.

2) Asimptote, comportamentul unei funcții la infinit.

a) Cu ajutorul limitelor unilaterale, studiem comportamentul funcției în apropierea punctului suspect, unde asimptota verticală trebuie să fie clar:

Într-adevăr, funcțiile rezistă gol nesfârșit la punct
iar linia dreaptă (axa) este asimptotă verticală Arte grafice .

b) Verificați dacă există asimptote oblice:

Da, linia este asimptotă oblică grafica daca .

Nu are sens să analizăm limitele, deoarece este deja clar că funcția într-o îmbrățișare cu asimptota ei oblică nelimitat de susȘi nelimitat de jos.

Al doilea punct al studiului a adus o mulțime de informații importante despre funcție. Să facem o schiță grosieră:

Concluzia nr. 1 se referă la intervalele de constanță a semnelor. La „minus infinit” graficul funcției este situat în mod unic sub axa x, iar la „plus infinit” se află deasupra acestei axe. În plus, limitele unilaterale ne-au spus că atât la stânga, cât și la dreapta punctului, funcția este, de asemenea, mai mare decât zero. Vă rugăm să rețineți că în semiplanul din stânga, graficul trebuie să traverseze axa x cel puțin o dată. În semiplanul din dreapta, este posibil să nu existe zerouri ale funcției.

Concluzia nr. 2 este că funcția crește pe și la stânga punctului (se duce „de jos în sus”). În dreapta acestui punct, funcția scade (se duce „de sus în jos”). Ramura dreaptă a graficului trebuie să aibă cu siguranță cel puțin un minim. În stânga, extremele nu sunt garantate.

Concluzia nr. 3 oferă informații fiabile despre concavitatea graficului în vecinătatea punctului. Până acum, nu putem spune nimic despre convexitatea/concavitatea la infinit, deoarece linia poate fi apăsată pe asimptota ei atât de sus, cât și de jos. În general, există o modalitate analitică de a descoperi acest lucru chiar acum, dar forma diagramei „degeaba” va deveni mai clară într-o etapă ulterioară.

De ce atâtea cuvinte? Pentru a controla punctele de cercetare ulterioare și a evita greșelile! Calculele ulterioare nu ar trebui să contrazică concluziile trase.

3) Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate, intervale de semn constant ale funcției.

Graficul funcției nu traversează axa.

Folosind metoda intervalului, determinăm semnele:

, Dacă ;
, Dacă .

Rezultatele paragrafului sunt pe deplin în concordanță cu concluzia nr. 1. După fiecare pas, priviți schița, referiți-vă mental la studiu și terminați de desenat graficul funcției.

În acest exemplu, numărătorul este împărțit termen cu termen cu numitor, ceea ce este foarte benefic pentru diferențiere:

De fapt, acest lucru a fost deja făcut la găsirea asimptotelor.

- punct critic.

Să definim semnele:

creste cu si scade la

În momentul în care funcția atinge minimul: .

De asemenea, nu au existat discrepanțe cu Concluzia nr. 2 și, cel mai probabil, suntem pe drumul cel bun.

Aceasta înseamnă că graficul funcției este concav pe întregul domeniu de definiție.

Excelent - și nu trebuie să desenați nimic.

Nu există puncte de inflexiune.

Concavitatea este în concordanță cu concluzia nr. 3, în plus, indică faptul că la infinit (atât acolo, cât și acolo) graficul funcției este situat superior asimptota sa oblică.

6) Vom fixa cu conștiință sarcina cu puncte suplimentare. Aici trebuie să muncim din greu, pentru că știm doar două puncte din studiu.

Și o poză pe care, probabil, mulți au trimis-o de mult:

Pe parcursul sarcinii, trebuie avut grijă să se asigure că nu există contradicții între etapele studiului, dar uneori situația este urgentă sau chiar în fundătură disperată. Aici analytics „nu converg” – și atât. În acest caz, recomand o tehnică de urgență: găsim cât mai multe puncte aparținând graficului (câtă răbdare este suficientă), și le marchem pe planul de coordonate. Analiza grafică a valorilor găsite în majoritatea cazurilor vă va spune unde este adevărul și unde este minciuna. În plus, graficul poate fi pre-construit folosind un program, de exemplu, în același Excel (este clar că acest lucru necesită abilități).

Exemplul 4

Folosind metodele de calcul diferențial, investigați funcția și trasați graficul acesteia.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. În ea, autocontrolul este îmbunătățit de uniformitatea funcției - graficul este simetric față de axă și, dacă ceva din studiul dvs. contrazice acest fapt, căutați o eroare.

O funcție pară sau impară poate fi investigată numai pentru , iar apoi poate fi utilizată simetria graficului. Această soluție este optimă, dar pare, după părerea mea, foarte neobișnuită. Personal, iau în considerare întreaga axă numerică, dar mai găsesc puncte suplimentare doar în dreapta:

Exemplul 5

Efectuați un studiu complet al funcției și trasați graficul acesteia.

Soluţie: s-a repezit greu:

1) Funcția este definită și continuă pe întreaga linie reală: .

Aceasta înseamnă că această funcție este impară, graficul ei este simetric față de origine.

Evident, funcția nu este periodică.

2) Asimptote, comportamentul unei funcții la infinit.

Deoarece funcția este continuă pe , nu există asimptote verticale

Pentru o funcție care conține un exponent, de obicei separa studiul „plus” și „minus infinit”, cu toate acestea, viața noastră este facilitată doar de simetria graficului - fie există o asimptotă în stânga și în dreapta, fie nu este. Prin urmare, ambele limite infinite pot fi aranjate sub o singură intrare. În cursul soluției, folosim Regula lui L'Hopital:

Linia dreaptă (axa) este asimptota orizontală a graficului la .

Fiți atenți la modul în care am evitat în mod inteligent algoritmul complet pentru găsirea asimptotei oblice: limita este destul de legală și clarifică comportamentul funcției la infinit, iar asimptota orizontală a fost găsită „ca și în același timp”.

Din continuitatea pe şi existenţa unei asimptote orizontale rezultă că funcţia limitat de susȘi limitat de jos.

3) Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate, intervale de constanță.

Aici scurtăm și soluția:
Graficul trece prin origine.

Nu există alte puncte de intersecție cu axele de coordonate. Mai mult, intervalele de constanță sunt evidente, iar axa nu poate fi trasată: , ceea ce înseamnă că semnul funcției depinde doar de „x”:
, Dacă ;
, Dacă .

4) Creșterea, descreșterea, extrema funcției.


sunt puncte critice.

Punctele sunt simetrice față de zero, așa cum ar trebui să fie.

Să definim semnele derivatei:


Funcția crește pe interval și scade pe intervale

În momentul în care funcția atinge maximul: .

Datorita proprietatii (ciudățenia funcției) minimul poate fi omis:

Deoarece funcția scade pe intervalul , atunci, evident, graficul este situat la „minus infinit” sub cu asimptota ei. Pe interval, funcția scade și ea, dar aici este adevărat opusul - după ce trece prin punctul maxim, linia se apropie de axa de sus.

De asemenea, din cele de mai sus rezultă că graficul funcției este convex la „minus infinit” și concav la „plus infinit”.

După acest punct al studiului, s-a trasat și zona valorilor funcției:

Dacă aveți o înțelegere greșită a vreunui punct, vă îndemn încă o dată să desenați axe de coordonate în caiet și, cu un creion în mâini, să reanalizați fiecare concluzie a sarcinii.

5) Convexitatea, concavitatea, inflexiunile graficului.

sunt puncte critice.

Se păstrează simetria punctelor și, cel mai probabil, nu ne înșelim.

Să definim semnele:


Graficul funcției este convex și concav pe .

S-a confirmat convexitatea/concavitatea la intervale extreme.

În toate punctele critice există inflexiuni în grafic. Să găsim ordonatele punctelor de inflexiune, reducând din nou numărul de calcule, folosind neobișnuirea funcției:

Una dintre cele mai importante sarcini ale calculului diferențial este dezvoltarea de exemple generale de studiu al comportamentului funcțiilor.

Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe interval și derivata sa este pozitivă sau egală cu 0 pe intervalul (a, b), atunci y \u003d f (x) crește cu (f "(x) 0). Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe segment și derivata sa este negativă sau egală cu 0 pe intervalul (a,b), atunci y=f(x) scade cu (f"( x)0)

Intervalele în care funcția nu scade sau nu crește se numesc intervale de monotonitate a funcției. Natura monotonității unei funcții se poate schimba numai în acele puncte ale domeniului său de definiție, la care semnul derivatei întâi se schimbă. Punctele în care derivata întâi a unei funcții dispare sau se rupe se numesc puncte critice.

Teorema 1 (prima condiție suficientă pentru existența unui extremum).

Fie definită funcția y=f(x) în punctul x 0 și să existe o vecinătate δ>0 astfel încât funcția să fie continuă pe segmentul , diferențiabilă pe intervalul (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , iar derivata ei păstrează un semn constant pe fiecare dintre aceste intervale. Atunci, dacă pe x 0 -δ, x 0) și (x 0, x 0 + δ) semnele derivatei sunt diferite, atunci x 0 este un punct extrem, iar dacă se potrivesc, atunci x 0 nu este un punct extrem. . Mai mult, dacă, la trecerea prin punctul x0, derivata își schimbă semnul din plus în minus (la stânga lui x 0, se execută f „(x)> 0, atunci x 0 este punctul maxim; dacă derivata își schimbă semnul de la minus la plus (la dreapta lui x 0 este executat de f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Punctele maxime și minime se numesc puncte extreme ale funcției, iar maximele și minimele funcției sunt numite valorile sale extreme.

Teorema 2 (criteriul necesar pentru un extremum local).

Dacă funcția y=f(x) are un extremum la curentul x=x 0, atunci fie f'(x 0)=0, fie f'(x 0) nu există.
La punctele extreme ale unei funcții diferențiabile, tangenta la graficul acesteia este paralelă cu axa Ox.

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru un extremum:

1) Aflați derivata funcției.
2) Găsiți punctele critice, de ex. punctele în care funcția este continuă și derivata este zero sau nu există.
3) Luați în considerare vecinătatea fiecăruia dintre puncte și examinați semnul derivatei la stânga și la dreapta acestui punct.
4) Determinați coordonatele punctelor extreme, pentru această valoare a punctelor critice, înlocuiți în această funcție. Folosind suficiente condiții extreme, trageți concluziile adecvate.

Exemplul 18. Investigați funcția y=x 3 -9x 2 +24x

Soluţie.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Echivalând derivata cu zero, găsim x 1 =2, x 2 =4. În acest caz, derivata este definită peste tot; prin urmare, în afară de cele două puncte găsite, nu există alte puncte critice.
3) Semnul derivatei y "=3(x-2)(x-4) se modifică în funcție de interval, așa cum se arată în figura 1. Când trece prin punctul x=2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, iar la trecerea prin punctul x=4 - de la minus la plus.
4) În punctul x=2, funcția are un maxim y max =20, iar în punctul x=4 - un minim y min =16.

Teorema 3. (a 2-a condiție suficientă pentru existența unui extremum).

Fie f "(x 0) și f "" (x 0) există în punctul x 0. Atunci dacă f "" (x 0)> 0, atunci x 0 este punctul minim și dacă f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pe segment, funcția y \u003d f (x) poate atinge cea mai mică (cel puțin) sau cea mai mare (cel mult) valoare fie în punctele critice ale funcției aflate în intervalul (a; b), fie la capete a segmentului.

Algoritmul pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue y=f(x) pe segment:

1) Găsiți f „(x).
2) Găsiți punctele în care f „(x) = 0 sau f” (x) - nu există și selectați dintre ele pe cele care se află în interiorul segmentului.
3) Calculați valoarea funcției y \u003d f (x) la punctele obținute la paragraful 2), precum și la capetele segmentului și alegeți cel mai mare și cel mai mic dintre ele: acestea sunt, respectiv, cele mai mari ( pentru cele mai mari) și cele mai mici (pentru cele mai mici) valori ale funcției de pe segment.

Exemplul 19. Aflați cea mai mare valoare a unei funcții continue y=x 3 -3x 2 -45+225 pe segmentul .

1) Avem y "=3x 2 -6x-45 pe segment
2) Derivata y" există pentru tot x. Să găsim punctele în care y"=0; primim:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Calculați valoarea funcției în punctele x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Numai punctul x=5 aparține segmentului. Cea mai mare dintre valorile găsite ale funcției este 225, iar cea mai mică este numărul 50. Deci, la max = 225, la max = 50.

Investigarea unei funcții pe convexitate

Figura prezintă graficele a două funcții. Primul dintre ele este răsturnat cu o umflătură în sus, al doilea - cu o umflătură în jos.

Funcția y=f(x) este continuă pe un segment și diferențiabilă în intervalul (a;b), se numește convexă în sus (jos) pe acest segment, dacă pentru axb graficul său nu este mai sus (nu mai jos) decât tangenta desenat în orice punct M 0 (x 0 ;f(x 0)), unde axb.

Teorema 4. Fie funcția y=f(x) să aibă o derivată a doua în orice punct interior x al segmentului și să fie continuă la capetele acestui segment. Atunci dacă inegalitatea f""(x)0 este satisfăcută pe intervalul (a;b), atunci funcția este convexă în jos pe segment ; dacă inegalitatea f""(x)0 este valabilă pentru intervalul (a;b), atunci funcția este convexă în sus pe .

Teorema 5. Dacă funcția y=f(x) are derivată a doua pe intervalul (a;b) și dacă își schimbă semnul la trecerea prin punctul x 0 , atunci M(x 0 ;f(x 0)) este un punct de inflexiune.

Regula pentru găsirea punctelor de inflexiune:

1) Găsiți punctele în care f""(x) nu există sau dispare.
2) Examinați semnul f""(x) la stânga și la dreapta fiecărui punct găsit la primul pas.
3) Pe baza teoremei 4, trageți o concluzie.

Exemplul 20. Găsiți punctele extreme și punctele de inflexiune ale graficului funcției y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Avem f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Evident, f"(x)=0 pentru x 1 =0, x 2 =1. Derivata, la trecerea prin punctul x=0, isi schimba semnul din minus in plus, iar la trecerea prin punctul x=1, nu isi schimba semnul. Aceasta înseamnă că x=0 este punctul minim (y min =12) și nu există un extremum în punctul x=1. În continuare, găsim . A doua derivată dispare în punctele x 1 =1, x 2 =1/3. Semnele derivatei a doua se schimbă astfel: Pe raza (-∞;) avem f""(x)>0, pe intervalul (;1) avem f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Prin urmare, x= este punctul de inflexiune al graficului funcției (tranziția de la convexitate în jos la convexitate în sus) și x=1 este, de asemenea, un punct de inflexiune (tranziție de la convexitate în sus la convexitate în jos). Dacă x=, atunci y= ; dacă, atunci x=1, y=13.

Un algoritm pentru găsirea asimptotei unui grafic

I. Dacă y=f(x) ca x → a , atunci x=a este o asimptotă verticală.
II. Dacă y=f(x) ca x → ∞ sau x → -∞ atunci y=A este asimptota orizontală.
III. Pentru a găsi asimptota oblică, folosim următorul algoritm:
1) Calculați. Dacă limita există și este egală cu b, atunci y=b este asimptota orizontală; dacă , atunci treceți la pasul al doilea.
2) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu k, atunci treceți la pasul al treilea.
3) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu b, atunci treceți la pasul al patrulea.
4) Notați ecuația asimptotei oblice y=kx+b.

Exemplul 21: Găsiți o asimptotă pentru o funcție

1)
2)
3)
4) Ecuația asimptotă oblică are forma

Schema studiului funcției și construcția graficului acesteia

I. Găsiți domeniul funcției.
II. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.
III. Găsiți asimptote.
IV. Găsiți puncte de extremum posibil.
V. Găsiți punctele critice.
VI. Folosind desenul auxiliar, investigați semnul primei și a doua derivate. Determinați ariile de creștere și descreștere ale funcției, găsiți direcția convexității graficului, punctele extreme și punctele de inflexiune.
VII. Construiți un grafic, ținând cont de studiul efectuat în paragrafele 1-6.

Exemplul 22: Trasează graficul unei funcții conform schemei de mai sus

Soluţie.
I. Domeniul funcției este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția x=1.
II. Deoarece ecuația x 2 +1=0 nu are rădăcini reale, atunci graficul funcției nu are puncte de intersecție cu axa Ox, ci intersectează axa Oy în punctul (0; -1).
III. Să clarificăm problema existenței asimptotelor. Investigam comportamentul functiei in apropierea punctului de discontinuitate x=1. Deoarece y → ∞ pentru x → -∞, y → +∞ pentru x → 1+, atunci linia x=1 este o asimptotă verticală a graficului funcției.
Dacă x → ​​+∞(x → -∞), atunci y → +∞(y → -∞); prin urmare, graficul nu are o asimptotă orizontală. Mai departe, din existența limitelor

Rezolvând ecuația x 2 -2x-1=0, obținem două puncte ale unui extremum posibil:
x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2

V. Pentru a găsi punctele critice, calculăm derivata a doua:

Deoarece f""(x) nu dispare, nu există puncte critice.
VI. Investigăm semnul primei și a doua derivate. Posibile puncte extreme de luat în considerare: x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2, împarte aria de existență a funcției în intervale (-∞;1-√2),(1-√2). ;1+√2) și (1+√2;+∞).

În fiecare dintre aceste intervale, derivata își păstrează semnul: în primul - plus, în al doilea - minus, în al treilea - plus. Secvența de semne a primei derivate se va scrie astfel: +, -, +.
Obținem că funcția pe (-∞;1-√2) crește, pe (1-√2;1+√2) scade, iar pe (1+√2;+∞) crește din nou. Puncte extreme: maxim la x=1-√2, în plus f(1-√2)=2-2√2 minim la x=1+√2, în plus f(1+√2)=2+2√2. Pe (-∞;1) graficul este convex în sus, iar pe (1;+∞) - în jos.
VII Să facem un tabel cu valorile obţinute

VIII Pe baza datelor obținute, construim o schiță a graficului funcției