1. Lăsați subspațiu L = L(A 1 , A 2 , …, si m) , acesta este L– învelișul liniar al sistemului A 1 , A 2 , …, si m; vectori A 1 , A 2 , …, si m– sistemul generatorilor acestui subspațiu. Apoi baza L este baza sistemului de vectori A 1 , A 2 , …, si m, adică baza sistemului de generatoare. Dimensiune L egal cu rangul sistemului de generatoare.

2. Lăsați subspațiu L este suma subspațiilor L 1 și L 2. Un sistem de generare de subspații pentru o sumă poate fi obținut prin combinarea sistemelor de generare de subspații, după care se găsește baza sumei. Dimensiunea sumei este determinată de următoarea formulă:

dim(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – dim(L 1 Ç L 2).

3. Fie suma subspațiilor L 1 și L 2 este drept, adică L = L 1 Å L 2. în care L 1 Ç L 2 = {O) Și dim(L 1 Ç L 2) = 0. Baza sumei directe este egală cu unirea bazelor termenilor. Dimensiunea unei sume directe este egală cu suma dimensiunilor termenilor.

4. Să dăm un exemplu important de subspațiu și o varietate liniară.

Luați în considerare un sistem omogen m ecuații liniare cu n necunoscut. Multe solutii M 0 al acestui sistem este o submulțime a mulțimii Rnși este închisă sub adunarea vectorilor și înmulțirea cu un număr real. Asta înseamnă că sunt multe M 0 – subspațiu al spațiului Rn. Baza subspațiului este setul fundamental de soluții al unui sistem omogen; dimensiunea subspațiului este egală cu numărul de vectori din setul fundamental de soluții al sistemului.

O multime de M soluții comune de sistem m ecuații liniare cu n necunoscute este, de asemenea, un subset al mulțimii Rn si egal cu suma multimii M 0 și vector A, Unde A este o soluție specială a sistemului original și a setului M 0 – set de soluții ale unui sistem omogen de ecuații liniare care însoțesc acest sistem (diferă de cel inițial doar în termeni liberi),

M = A + M 0 = {A = m, m Î M 0 }.

Asta înseamnă că mulți M este o varietate liniară a spațiului Rn cu vector de deplasare Ași direcție M 0 .

Exemplul 8.6. Găsiți baza și dimensiunea subspațiului definit de un sistem omogen de ecuații liniare:

Soluţie. Să găsim o soluție generală pentru acest sistem și setul său fundamental de soluții: Cu 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Cu 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Cu 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

Baza subspațiului este formată din vectori Cu 1 , Cu 2 , Cu 3, dimensiunea sa este trei.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține secțiunii:

Algebră liniară

Universitatea de Stat Kostroma numită după N. Nekrasov..

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material ți-a fost util, îl poți salva pe pagina ta de pe rețelele sociale:

Tweet

Toate subiectele din această secțiune:

BBK 22.174ya73-5
M350 Publicat prin hotărârea consiliului editorial și editorial al KSU numit după. N. A. Nekrasova Referent A. V. Cherednikov

BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU numită după. N. A. Nekrasova, 2013

Unire (sau sumă)
Definiție 1.9.Uniunea mulțimilor A și B este o mulțime A È B, formată din acele și numai acele elemente care aparțin deși

Intersecție (sau produs)
Definiția 1.10. Intersecția mulțimilor A și B este o mulțime A Ç B, care constă din acele și numai acele elemente aparținând aceluiași

Diferență
Definiție 1.11 Diferența dintre mulțimile A și B este mulțimea A B, formată din acele și numai acele elemente care aparțin mulțimii A

produs cartezian (sau produs direct)
Definiția 1.14. O pereche ordonată (sau pereche) (a, b) sunt două elemente a, b luate într-o anumită ordine. Perechi (a1

Proprietățile operațiilor de set
Proprietățile operațiilor de unire, intersecție și complement sunt uneori numite legile algebrei mulțimilor. Să enumerăm principalele proprietăți ale operațiilor pe mulțimi. Fie dată o mulțime universală U

Metoda inducției matematice
Metoda inducției matematice este folosită pentru a demonstra afirmații în formularea cărora este implicat parametrul natural n. Metoda inducției matematice - metodă de demonstrare a matematicii

Numere complexe
Conceptul de număr este una dintre principalele realizări ale culturii umane. Mai întâi au apărut numerele naturale N = (1, 2, 3, …, n, …), apoi numerele întregi Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rațional Q

Interpretarea geometrică a numerelor complexe
Se știe că numerele negative au fost introduse în legătură cu soluția ecuațiilor liniare într-o variabilă. În sarcinile specifice, un răspuns negativ a fost interpretat ca valoare a mărimii direcționale (

Forma trigonometrică a unui număr complex
Un vector poate fi specificat nu numai prin coordonate într-un sistem de coordonate dreptunghiular, ci și prin lungime și

Operații pe numere complexe în formă trigonometrică
Este mai convenabil să efectuați adunarea și scăderea cu numere complexe în formă algebrică și înmulțirea și împărțirea în formă trigonometrică. 1. Înmulțiri Fie dat doi k

Exponentiație
Dacă z = r(cosj + i×sinj), atunci zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), unde n Î

Forma exponențială a unui număr complex
Din analiza matematică se știe că e = , e este un număr irațional. Eile

Conceptul de relație
Definiție 2.1. O relație n-ară (sau n-ară) P pe mulțimile A1, A2, …, An este orice submulțime

Proprietățile relațiilor binare
Fie definită o relație binară P pe o mulțime nevide A, adică P Í A2. Definiție 2.9 Relația binară P pe o mulțime

Relația de echivalență
Definiția 2.15. O relație binară pe o mulțime A se numește relație de echivalență dacă este reflexivă, simetrică și tranzitivă. Raport echivalent

Funcții
Definiția 2.20 O relație binară ƒ Í A ´ B se numește funcție de la mulțimea A la mulțimea B dacă pentru orice x

Concepte generale
Definiție 3.1. O matrice este un tabel dreptunghiular de numere care conține m rânduri și n coloane. Numerele m și n se numesc ordine (sau

Adăugarea de matrici de același tip
Pot fi adăugate numai matrice de același tip. Definiția 3.12. Suma a două matrice A = (aij) și B = (bij), unde i = 1,

Proprietățile adunării matriceale
1) comutativitate: "A, B: A + B = B + A; 2) asociativitate: "A, B, C: (A + B) + C = A

Înmulțirea unei matrice cu un număr
Definiția 3.13. Produsul unei matrice A = (aij) cu un număr real k este o matrice C = (сij), pentru care

Proprietățile înmulțirii unei matrice cu un număr
1) „ A: 1×A = A; 2) „ α, β О R, „ A: (αβ)×A = α×(β×A) = β×

Înmulțirea matricei
Să definim înmulțirea a două matrici; Pentru a face acest lucru, este necesar să introduceți câteva concepte suplimentare. Definiția 3.14. Matricele A și B se numesc consistente

Proprietățile înmulțirii matriceale
1) Înmulțirea prin matrice nu este comutativă: A×B ≠ B×A. Această proprietate poate fi demonstrată cu exemple. Exemplul 3.6. A)

Matrici de transpunere
Definiția 3.16. Matricea At obtinuta de la una data prin inlocuirea fiecaruia dintre randurile sale cu o coloana cu acelasi numar se numeste transpusa la matricea data A.

Determinanții matricilor de ordinul doi și trei
Fiecare matrice pătrată A de ordinul n este asociată cu un număr, care se numește determinantul acestei matrice. Denumire: D, |A|, det A,

Definiție 4.6.
1. Pentru n = 1, matricea A este formată dintr-un număr: |A| = a11. 2. Fie cunoscut determinantul unei matrice de ordin (n – 1). 3. Definiți

Proprietățile determinanților
Pentru a calcula determinanții de ordine mai mari de 3 se folosesc proprietățile determinanților și teorema lui Laplace. Teorema 4.1 (Laplace). Determinant al unei matrice pătrate

Calculul practic al determinanților
O modalitate de a calcula determinanții de ordine peste trei este să-l extinzi pe o coloană sau un rând. Exemplul 4.4 Calculați determinantul D =

Conceptul de rang de matrice
Fie A o matrice de dimensiune m ´ n. Să selectăm în mod arbitrar k rânduri și k coloane din această matrice, unde 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Găsirea rangului unei matrice folosind metoda limitării minorilor
Una dintre metodele de găsire a rangului unei matrice este metoda de enumerare a minorilor. Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei. Esența metodei este următoarea. Dacă există cel puțin un element ma

Găsirea rangului unei matrice folosind transformări elementare
Să luăm în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice. Definiție 5.4. Următoarele transformări se numesc transformări matriceale elementare: 1. înmulțiți

Conceptul de matrice inversă și metode de găsire a acesteia
Fie dată o matrice pătrată A. Definiţia 5.7. Matricea A–1 se numește inversul matricei A dacă A×A–1

Algoritm pentru găsirea matricei inverse
Să luăm în considerare una dintre modalitățile de a găsi matricea inversă a uneia date folosind adunări algebrice. Fie dată o matrice pătrată A. 1. Aflați determinantul matricei |A|. UE

Găsirea matricei inverse folosind transformări elementare
Să luăm în considerare o altă modalitate de a găsi matricea inversă folosind transformări elementare. Să formulăm conceptele și teoremele necesare. Definiție 5.11 Matrice După nume

Metoda Cramer
Să considerăm un sistem de ecuații liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, adică m = n și sistemul are forma:

Metoda matricei inverse
Metoda matricei inverse este aplicabilă sistemelor de ecuații liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, iar determinantul matricei principale nu este egal cu zero. Forma matriceală a notării sistemului

metoda Gauss
Pentru a descrie această metodă, care este potrivită pentru rezolvarea sistemelor arbitrare de ecuații liniare, sunt necesare câteva concepte noi. Definiție 6.7. Ecuația de forma 0×

Descrierea metodei Gauss
Metoda Gauss - o metodă de eliminare secvenţială a necunoscutelor - constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul original este redus la un sistem echivalent de trepte sau t.

Studiul unui sistem de ecuații liniare
A studia un sistem de ecuații liniare înseamnă, fără a rezolva sistemul, a răspunde la întrebarea: sistemul este sau nu consecvent și, dacă este consecvent, câte soluții are? Răspunde la asta în

Sisteme omogene de ecuații liniare
Definiție 6.11 Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă termenii săi liberi sunt egali cu zero. Sistem omogen de m ecuații liniare

Proprietăți ale soluțiilor unui sistem omogen de ecuații liniare
1. Dacă vectorul a = (a1, a2, …, an) este o soluție la un sistem omogen, atunci vectorul k×a = (k×a1, k&t

Ansamblu fundamental de soluții pentru un sistem omogen de ecuații liniare
Fie M0 mulțimea soluțiilor sistemului omogen (4) de ecuații liniare. Definiţia 6.12.Vectorii c1, c2, ..., c

Dependența liniară și independența unui sistem de vectori
Fie a1, a2, …, am o mulțime de m vectori n-dimensionali, care este de obicei denumit un sistem de vectori și k1

Proprietăți de dependență liniară a unui sistem de vectori
1) Sistemul de vectori care conțin vectorul zero este dependent liniar. 2) Un sistem de vectori este dependent liniar dacă oricare dintre subsistemele sale este dependent liniar. Consecinţă. Dacă da

Sistem vectorial unitar
Definiția 7.13. Un sistem de vectori unitari în spațiul Rn este un sistem de vectori e1, e2, …, en

Două teoreme despre dependența liniară
Teorema 7.1. Dacă un sistem mai mare de vectori este exprimat liniar printr-un sistem mai mic, atunci sistemul mai mare este dependent liniar. Să formulăm această teoremă mai detaliat: fie a1

Baza și rangul sistemului vectorial
Fie S un sistem de vectori în spațiul Rn; poate fi fie finit, fie infinit. S" este un subsistem al sistemului S, S" Ì S. Să dăm două

Rangul sistemului vectorial
Să dăm două definiții echivalente ale rangului unui sistem de vectori. Definiția 7.16. Rangul unui sistem de vectori este numărul de vectori din orice bază a acestui sistem.

Determinarea practică a rangului și bazei unui sistem de vectori
Din acest sistem de vectori compunem o matrice, aranjand vectorii ca siruri ale acestei matrice. Reducem matricea la formă eșalonată folosind transformări elementare pe rândurile acestei matrice. La

Definirea unui spațiu vectorial peste un câmp arbitrar
Fie P un câmp arbitrar. Exemple de câmpuri cunoscute de noi sunt câmpul numerelor raționale, reale și complexe. Definiție 8.1. Mulțimea V este numită

Cele mai simple proprietăți ale spațiilor vectoriale
1) o – vector zero (element), definit în mod unic într-un spațiu vectorial arbitrar peste câmp. 2) Pentru orice vector a О V există un unic

Subspații. Varietăți liniare
Fie V un spațiu vectorial, L М V (L este o submulțime a lui V). Definiție 8.2. Submulțimea L a vectorului pro

Intersecția și suma subspațiilor
Fie V un spațiu vectorial peste câmpul P, L1 și L2 subspațiile sale. Definiție 8.3. Prin trecerea subcertării

Varietăți liniare
Fie V un spațiu vectorial, L un subspațiu, un vector arbitrar din spațiul V. Definiție 8.6. Varietate liniară

Spații vectoriale cu dimensiuni finite
Definiția 8.7 Un spațiu vectorial V se numește n-dimensional dacă conține un sistem liniar independent de vectori constând din n vectori și pentru

Baza unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite
V este un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste câmpul P, S este un sistem de vectori (finiți sau infiniti). Definiția 8.10. Baza sistemului S

Coordonatele vectoriale relativ la o bază dată
Se consideră un spațiu vectorial V de dimensiune finită de dimensiune n, vectorii e1, e2, …, ro formează baza acestuia. Să fie un produs

Coordonate vectoriale în diferite baze
Fie V un spațiu vectorial n-dimensional în care sunt date două baze: e1, e2, …, en – bază veche, e"1, e

Spații vectoriale euclidiene
Dat un spațiu vectorial V peste câmpul numerelor reale. Acest spațiu poate fi fie un spațiu vectorial de dimensiune finită de dimensiunea n, fie un spațiu infinit

Punctează produsul în coordonate
În spațiul vectorial euclidian V de dimensiunea n este dată baza e1, e2, …, en. Vectorii x și y sunt descompuși în vectori

Concepte metrice
În spațiile vectoriale euclidiene, din produsul scalar introdus putem trece la conceptele de normă vectorială și unghi între vectori. Definiția 8.16. Norma (

Proprietățile normei
1) ||a|| = 0 Û a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, deoarece ||la|| =

Baza ortonormală a spațiului vectorial euclidian
Definiția 8.21. O bază a unui spațiu vectorial euclidian se numește ortogonală dacă vectorii de bază sunt ortogonali pe perechi, adică dacă a1, a

Procesul de ortogonalizare
Teorema 8.12. În fiecare spațiu euclidian n-dimensional există o bază ortonormală. Dovada. Fie a1, a2

Produsul punctat într-o bază ortonormală
Având în vedere o bază ortonormală e1, e2, …, en a spațiului euclidian V. Deoarece (ei, ej) = 0 pentru i

Complement ortogonal al subspațiului
V este un spațiu vectorial euclidian, L este subspațiul său. Definiția 8.23. Se spune că un vector a este ortogonal cu subspațiul L dacă vectorul

Relația dintre coordonatele unui vector și coordonatele imaginii acestuia
Un operator liniar j este dat în spațiul V, iar matricea sa M(j) se găsește în anumite baze e1, e2, …, en. Să fie aceasta baza

Matrici similare
Să considerăm mulțimea Рn´n de matrici pătrate de ordin n cu elemente dintr-un câmp arbitrar P. Pe această mulțime introducem relația

Proprietăți ale relațiilor de similitudine matriceale
1. Reflexivitate. Orice matrice este similară cu ea însăși, adică A ~ A. 2. Simetrie. Dacă matricea A este similară cu B, atunci B este similară cu A, adică.

Proprietăți ale vectorilor proprii
1. Fiecare vector propriu aparține unei singure valori proprii. Dovada. Fie x un vector propriu cu două valori proprii

Polinom caracteristic al unei matrice
Dată o matrice A О Рn´n (sau A О Rn´n). Defini

Condiții în care o matrice este similară cu o matrice diagonală
Fie A o matrice pătrată. Putem presupune că aceasta este o matrice a unui operator liniar definit într-o anumită bază. Se știe că într-o altă bază matricea operatorului liniar

Iordan forma normală
Definiția 10.5. O celulă Jordan de ordinul k legată de numărul l0 este o matrice de ordinul k, 1 ≤ k ≤ n,

Reducerea unei matrice la forma Jordan (normală).
Teorema 10.3. Forma normală Jordan este determinată în mod unic pentru o matrice până la ordinea de aranjare a celulelor Jordan pe diagonala principală. etc

Forme biliniare
Definiție 11.1. O formă biliniară este o funcție (mapping) f: V ´ V ® R (sau C), unde V este un vector arbitrar

Proprietățile formelor biliniare
Orice formă biliniară poate fi reprezentată ca o sumă de forme simetrice și asimetrice. Cu baza selectată e1, e2, …, en în vector

Transformarea unei matrice de formă biliniară la trecerea la o nouă bază. Rangul formei biliniare
Fie două baze e = (e1, e2, …, en) și f = (f1, f2,

Forme pătratice
Fie A(x, y) o formă biliniară simetrică definită pe spațiul vectorial V. Definiție 11.6.Formă cuadratică

Reducerea unei forme pătratice la forma canonică
Având în vedere forma pătratică (2) A(x, x) = , unde x = (x1

Legea inerției formelor pătratice
S-a stabilit că numărul de coeficienți canonici nenuli ai unei forme pătratice este egal cu rangul acesteia și nu depinde de alegerea unei transformări nedegenerate cu ajutorul căreia forma A(x

Condiție necesară și suficientă pentru semnul unei forme pătratice
Afirmația 11.1. Pentru ca forma pătratică A(x, x), definită în spațiul vectorial n-dimensional V, să fie definită de semn, este necesar să se

Condiție necesară și suficientă pentru forma pătratică cvasi-alternantă
Afirmația 11.3. Pentru ca forma pătratică A(x, x), definită în spațiul vectorial n-dimensional V, să fie cvasi-alternantă (adică,

Criteriul Sylvester pentru semnul definit al unei forme pătratice
Fie forma A(x, x) în baza e = (e1, e2, …, en) să fie determinată de matricea A(e) = (aij)

Concluzie
Algebra liniară este o parte obligatorie a oricărui program superior de matematică. Orice altă secțiune presupune prezența cunoștințelor, aptitudinilor și abilităților dezvoltate în timpul predării acestei discipline

Bibliografie
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Algebră liniară cu elemente de geometrie analitică. – M.: Editura HSE, 2007. Beklemishev D.V. Curs de geometrie analitică și algebră liniară.

Algebră liniară
Manual educațional și metodologic Editor și corector G. D. Neganova Tastarea computerizată de T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina

O submulțime a unui spațiu liniar formează un subspațiu dacă este închis prin adăugarea vectorilor și înmulțirea cu scalari.

Exemplul 6.1. Un subspațiu dintr-un plan formează o mulțime de vectori ale căror capete se află: a) în primul sfert; b) pe o linie dreaptă care trece prin origine? (Originile vectorilor se află la originea coordonatelor)

Soluţie.

a) nu, deoarece mulțimea nu este închisă la înmulțirea cu un scalar: atunci când este înmulțită cu un număr negativ, sfârșitul vectorului cade în al treilea trimestru.

b) da, deoarece la adunarea vectorilor și la înmulțirea lor cu orice număr, capetele lor rămân pe aceeași linie dreaptă.

Exercițiul 6.1. Următoarele submulțimi ale spațiilor liniare corespunzătoare formează un subspațiu:

a) un set de vectori plani ale căror capete se află în primul sau al treilea sfert;

b) o mulţime de vectori plani ale căror capete se află pe o dreaptă care nu trece prin origine;

c) un set de drepte de coordonate ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);

d) mulţime de drepte de coordonate ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);

e) un set de drepte de coordonate ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2).

Dimensiunea unui spațiu liniar L este numărul dim L de vectori incluși în oricare dintre bazele sale.

Dimensiunile sumei și intersecția subspațiilor sunt legate prin relație

dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U Ç V).

Exemplul 6.2. Găsiți baza și dimensiunea sumei și intersecției subspațiilor acoperite de următoarele sisteme de vectori:

Soluție Fiecare dintre sistemele de vectori care generează subspațiile U și V este liniar independent, ceea ce înseamnă că este o bază a subspațiului corespunzător. Să construim o matrice din coordonatele acestor vectori, aranjandu-i în coloane și separând un sistem de altul cu o linie. Să reducem matricea rezultată la forma treptat.

~ ~ ~ .

Baza U + V este formată din vectorii , , , cărora le corespund elementele conducătoare din matricea treptei. Prin urmare dim (U + V) = 3. Atunci

dim (UÇV) = dim U + dim V – dim (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.

Intersecția subspațiilor formează un set de vectori care satisfac ecuația (stă în partea stângă și în dreapta acestei ecuații). Obținem baza intersecției folosind sistemul fundamental de soluții al sistemului de ecuații liniare corespunzător acestei ecuații vectoriale. Matricea acestui sistem a fost deja redusă la o formă în trepte. Pe baza acesteia, concluzionăm că y 2 este o variabilă liberă și setăm y 2 = c. Atunci 0 = y 1 – y 2, y 1 = c,. iar intersecția subspațiilor formează un set de vectori de forma = c (3, 6, 3, 4). În consecință, baza UÇV formează vectorul (3, 6, 3, 4).

Note. 1. Dacă continuăm să rezolvăm sistemul, găsind valorile variabilelor x, obținem x 2 = c, x 1 = c, iar în partea stângă a ecuației vectoriale obținem un vector egal cu cel obținut mai sus .

2. Folosind metoda indicată, puteți obține baza sumei indiferent dacă sistemele generatoare de vectori sunt liniar independente. Dar baza intersecției va fi obținută corect numai dacă cel puțin sistemul care generează al doilea subspațiu este liniar independent.

3. Dacă se determină că dimensiunea intersecției este 0, atunci intersecția nu are nicio bază și nu este nevoie să o căutați.

Exercițiul 6.2. Găsiți baza și dimensiunea sumei și intersecției subspațiilor acoperite de următoarele sisteme de vectori:

A)

b)

Spațiul euclidian

Spațiul euclidian este un spațiu liniar peste un câmp R, în care este definită o înmulțire scalară care atribuie fiecărei perechi de vectori , un scalar , și sunt îndeplinite următoarele condiții:

2) (a + b) = a() + b();

3) ¹Þ > 0.

Produsul scalar standard este calculat folosind formulele

(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n.

Vectorii și se numesc ortogonali, se scriu ^ dacă produsul lor scalar este egal cu 0.

Un sistem de vectori se numește ortogonal dacă vectorii din el sunt ortogonali pe perechi.

Un sistem ortogonal de vectori este liniar independent.

Procesul de ortogonalizare a unui sistem de vectori , ... , constă în trecerea la un sistem ortogonal echivalent , ... , efectuată după formulele:

, unde , k = 2, … , n.

Exemplul 7.1. Ortogonalizarea unui sistem de vectori

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

Rezolvare.Avem = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

Exercițiul 7.1. Ortogonalizarea sistemelor vectoriale:

a) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

b) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

Exemplul 7.2. Sistem complet de vectori = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), la baza ortogonală a spațiului.

Soluție: Sistemul original este ortogonal, deci problema are sens. Deoarece vectorii sunt dați în spațiu cu patru dimensiuni, trebuie să găsim încă doi vectori. Al treilea vector = (x 1, x 2, x 3, x 4) este determinat din condițiile = 0, = 0. Aceste condiții dau un sistem de ecuații, a cărui matrice este formată din liniile de coordonate ale vectorilor și . Rezolvam sistemul:

~ ~ .

Variabilelor libere x 3 și x 4 li se poate da orice set de valori, altele decât zero. Presupunem, de exemplu, x 3 = 0, x 4 = 1. Atunci x 2 = 0, x 1 = 1 și = (1, 0, 0, 1).

În mod similar, găsim = (y 1, y 2, y 3, y 4). Pentru a face acest lucru, adăugăm o nouă linie de coordonate la matricea în trepte obținută mai sus și o reducem la forma treptat:

~ ~ .

Pentru variabila liberă y 3 setăm y 3 = 1. Atunci y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0 și = (0, 1, 1, 0).

Norma unui vector din spațiul euclidian este un număr real nenegativ.

Un vector se numește normalizat dacă norma lui este 1.

Pentru a normaliza un vector, acesta trebuie împărțit la norma sa.

Un sistem ortogonal de vectori normalizați se numește ortonormal.

Exercițiul 7.2. Completați sistemul de vectori la o bază ortonormală a spațiului:

a) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

b) = (1/3, -2/3, 2/3).

Mapări liniare

Fie U și V spații liniare peste câmpul F. O mapare f: U ® V se numește liniară dacă și .

Exemplul 8.1. Transformările spațiului tridimensional sunt liniare:

a) f(x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 – x 3, 0);

b) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).

Soluţie.

a) Avem f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =

= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) – (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 – x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3 , 0) =

F((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3));

f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1 , lx 2 , lx 3) = (2lx 1 , lx 1 – lx 3 , 0) = l(2x 1 , x 1 – x 3 , 0) =

L f(x 1, x 2, x 3).

Prin urmare, transformarea este liniară.

b) Avem f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);

f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2 , y 3 ) =

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).

Prin urmare, transformarea nu este liniară.

Imaginea unei mapări liniare f: U ® V este mulțimea de imagini ale vectorilor din U, adică

Im (f) = (f() ï О U). + … + un m1

Exercițiul 8.1. Găsiți rangul, defectul, bazele imaginii și nucleul mapării liniare f date de matrice:

a) A = ; b) A = ; c) A = .

Sisteme de ecuații liniare omogene

Formularea problemei. Găsiți o bază și determinați dimensiunea spațiului de soluție liniară al sistemului

Plan de rezolvare.

1. Notați matricea sistemului:

iar folosind transformări elementare transformăm matricea într-o formă triunghiulară, i.e. la o astfel de formă când toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero. Rangul matricei sistemului este egal cu numărul de rânduri liniar independente, adică, în cazul nostru, numărul de rânduri în care rămân elemente diferite de zero:

Dimensiunea spațiului soluției este . Dacă , atunci un sistem omogen are o singură soluție zero, dacă , atunci sistemul are un număr infinit de soluții.

2. Selectați variabilele de bază și libere. Variabilele libere sunt notate cu . Apoi exprimăm variabilele de bază în termeni de libere, obținând astfel o soluție generală a unui sistem omogen de ecuații liniare.

3. Scriem baza spatiului de solutii al sistemului stabilind secvential una dintre variabilele libere egala cu unu si restul egal cu zero. Dimensiunea spațiului de soluții liniare al sistemului este egală cu numărul de vectori de bază.

Notă. Transformările matriceale elementare includ:

1. înmulțirea (împărțirea) unui șir cu un factor diferit de zero;

2. adăugarea oricărei linii a unei alte linii, înmulțită cu orice număr;

3. rearanjarea liniilor;

4. transformările 1–3 pentru coloane (în cazul rezolvării sistemelor de ecuații liniare nu se folosesc transformări elementare ale coloanelor).

Sarcina 3. Găsiți o bază și determinați dimensiunea spațiului de soluție liniară al sistemului.

Scriem matricea sistemului și, folosind transformări elementare, o reducem la formă triunghiulară:

Presupunem atunci

Când am examinat conceptele de vector n-dimensional și am introdus operații pe vectori, am aflat că mulțimea tuturor vectorilor n-dimensional generează un spațiu liniar. În acest articol vom vorbi despre cele mai importante concepte conexe - dimensiunea și baza unui spațiu vectorial. Vom lua în considerare, de asemenea, teorema despre expansiunea unui vector arbitrar într-o bază și legătura dintre diferite baze ale spațiului n-dimensional. Să examinăm în detaliu soluțiile la exemplele tipice.

Navigare în pagină.

Conceptul de dimensiune a spațiului vectorial și bază.

Conceptele de dimensiune și baza unui spațiu vectorial sunt direct legate de conceptul de sistem liniar independent de vectori, așa că, dacă este necesar, vă recomandăm să faceți referire la articolul dependență liniară a unui sistem de vectori, proprietăți de dependență liniară și independență. .

Definiție.

Dimensiunea spațiului vectorial este un număr egal cu numărul maxim de vectori liniar independenți din acest spațiu.

Definiție.

Baza spațiului vectorial este o mulțime ordonată de vectori liniar independenți ai acestui spațiu, al căror număr este egal cu dimensiunea spațiului.

Să oferim câteva raționamente bazate pe aceste definiții.

Luați în considerare spațiul vectorilor n-dimensionali.

Să arătăm că dimensiunea acestui spațiu este n.

Să luăm un sistem de n vectori unitari de forma

Să luăm acești vectori drept rânduri ale matricei A. În acest caz, matricea A va fi o matrice de identitate de dimensiunea n cu n. Rangul acestei matrice este n (a se vedea articolul dacă este necesar). Prin urmare, sistemul de vectori este liniar independent și nici un singur vector nu poate fi adăugat la acest sistem fără a-i încălca independența liniară. Deoarece numărul de vectori din sistem este egal cu n, atunci dimensiunea spațiului vectorilor n-dimensionali este n, iar vectorii unitari stau la baza acestui spatiu.

Din ultima afirmație și definiție a bazei putem concluziona că orice sistem de vectori n-dimensionali, numărul de vectori în care este mai mic decât n, nu este o bază.

Acum să schimbăm primul și al doilea vector al sistemului . Este ușor de demonstrat că sistemul de vectori rezultat este, de asemenea, o bază a unui spațiu vectorial n-dimensional. Să creăm o matrice luând vectorii acestui sistem drept rânduri. Această matrice poate fi obținută din matricea de identitate schimbând primul și al doilea rând, deci rangul său va fi n. Astfel, un sistem de n vectori este liniar independentă și stă la baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Dacă rearanjam alți vectori ai sistemului , apoi obținem o altă bază.

Dacă luăm un sistem liniar independent de vectori neunitari, atunci acesta este și baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Prin urmare, un spațiu vectorial de dimensiunea n are atâtea baze câte sisteme liniar independente de n vectori n-dimensionali.

Dacă vorbim despre un spațiu vectorial bidimensional (adică despre un plan), atunci baza lui este oricare doi vectori necoliniari. Baza spațiului tridimensional este oricare trei vectori necoplanari.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplu.

Sunt vectorii baza spațiului vectorial tridimensional?

Soluţie.

Să examinăm acest sistem de vectori pentru dependența liniară. Pentru a face acest lucru, să creăm o matrice ale cărei rânduri vor fi coordonatele vectorilor și să îi găsim rangul:


Astfel, vectorii a, b și c sunt liniar independenți și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial, prin urmare, ei stau la baza acestui spațiu.

Răspuns:

Da, ei sunt.

Exemplu.

Poate un sistem de vectori să fie baza unui spațiu vectorial?

Soluţie.

Acest sistem de vectori este dependent liniar, deoarece numărul maxim de vectori tridimensionali liniar independenți este trei. În consecință, acest sistem de vectori nu poate fi o bază a unui spațiu vectorial tridimensional (deși un subsistem al sistemului original de vectori este o bază).

Răspuns:

Nu el nu poate.

Exemplu.

Asigurați-vă că vectorii

poate sta la baza unui spațiu vectorial cu patru dimensiuni.

Soluţie.

Să creăm o matrice luând vectorii originali ca rânduri:

Sa gasim:

Astfel, sistemul de vectori a, b, c, d este liniar independent și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial, prin urmare, a, b, c, d sunt baza acestuia.

Răspuns:

Vectorii originali sunt într-adevăr baza spațiului cu patru dimensiuni.

Exemplu.

Vectorii formează baza unui spațiu vectorial de dimensiunea 4?

Soluţie.

Chiar dacă sistemul original de vectori este liniar independent, numărul de vectori din el nu este suficient pentru a fi baza unui spațiu cu patru dimensiuni (baza unui astfel de spațiu este formată din 4 vectori).

Răspuns:

Nu, nu este.

Descompunerea unui vector pe baza spațiului vectorial.

Fie vectori arbitrari sunt baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Dacă le adăugăm un vector n-dimensional x, atunci sistemul de vectori rezultat va fi dependent liniar. Din proprietățile dependenței liniare știm că cel puțin un vector al unui sistem dependent liniar este exprimat liniar prin celelalte. Cu alte cuvinte, cel puțin unul dintre vectorii unui sistem dependent liniar este extins în vectorii rămași.

Acest lucru ne aduce la o teoremă foarte importantă.

Teorema.

Orice vector al unui spațiu vectorial n-dimensional poate fi descompus în mod unic într-o bază.

Dovada.

Lăsa - baza spatiului vectorial n-dimensional. Să adăugăm un vector n-dimensional x acestor vectori. Atunci sistemul de vectori rezultat va fi dependent liniar și vectorul x poate fi exprimat liniar în termeni de vectori : , unde sunt câteva numere. Așa am obținut expansiunea vectorului x față de bază. Rămâne de demonstrat că această descompunere este unică.

Să presupunem că există o altă descompunere, unde - unele numere. Să scădem din partea stângă și dreaptă a ultimei egalități părțile din stânga și din dreapta egalității, respectiv:

Deoarece sistemul de vectori de bază este liniar independentă, atunci prin definiția independenței liniare a unui sistem de vectori, egalitatea rezultată este posibilă numai atunci când toți coeficienții sunt egali cu zero. Prin urmare, , ceea ce demonstrează unicitatea descompunerii vectoriale față de bază.

Definiție.

Coeficienții se numesc coordonatele vectorului x din bază .

După ce ne familiarizăm cu teorema despre descompunerea unui vector într-o bază, începem să înțelegem esența expresiei „ni se dă un vector n-dimensional. " Această expresie înseamnă că luăm în considerare un vector de spațiu vectorial x n-dimensional, ale cărui coordonate sunt specificate într-o anumită bază. În același timp, înțelegem că același vector x dintr-o altă bază a spațiului vectorial n-dimensional va avea coordonate diferite de .

Să luăm în considerare următoarea problemă.

Să ni se dea un sistem de n vectori liniar independenți pe o bază de spațiu vectorial n-dimensional

și vector . Apoi vectorii stau și la baza acestui spațiu vectorial.

Trebuie să găsim coordonatele vectorului x în bază . Să notăm aceste coordonate ca .

Vector x în bază are o idee. Să scriem această egalitate sub formă de coordonate:

Această egalitate este echivalentă cu un sistem de n ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute :

Matricea principală a acestui sistem are forma

Să o notăm cu litera A. Coloanele matricei A reprezintă vectori ai unui sistem de vectori liniar independent , deci rangul acestei matrice este n, prin urmare determinantul său este diferit de zero. Acest fapt indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică care poate fi găsită prin orice metodă, de exemplu, sau.

În acest fel vor fi găsite coordonatele necesare vector x în bază .

Să ne uităm la teorie folosind exemple.

Exemplu.

Într-o anumită bază a spațiului vectorial tridimensional, vectorii

Asigurați-vă că sistemul de vectori este și el o bază a acestui spațiu și găsiți coordonatele vectorului x în această bază.

Soluţie.

Pentru ca un sistem de vectori să fie baza unui spațiu vectorial tridimensional, acesta trebuie să fie liniar independent. Să aflăm acest lucru determinând rangul matricei A, ale cărei rânduri sunt vectori. Să găsim rangul folosind metoda Gaussiană


prin urmare, Rank(A) = 3, care arată independența liniară a sistemului de vectori.

Deci, vectorii sunt baza. Fie vectorul x să aibă coordonate în această bază. Apoi, așa cum am arătat mai sus, relația dintre coordonatele acestui vector este dată de sistemul de ecuații

Înlocuind în ea valorile cunoscute din condiție, obținem

Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer:

Astfel, vectorul x din bază are coordonate .

Răspuns:

Exemplu.

Pe o anumită bază a unui spațiu vectorial cu patru dimensiuni, este dat un sistem de vectori liniar independent

Se știe că . Aflați coordonatele vectorului x în bază .

Soluţie.

Deoarece sistemul de vectori liniar independent de condiție, atunci este o bază a spațiului cu patru dimensiuni. Apoi egalitatea înseamnă că vectorul x din bază are coordonate. Să notăm coordonatele vectorului x în bază Cum .

Sistem de ecuații care definește relația dintre coordonatele vectorului x în baze Și se pare ca

Înlocuim valorile cunoscute în el și găsim coordonatele necesare:

Răspuns:

.

Relația dintre baze.

Să fie date două sisteme liniar independente de vectori pe baza unui spațiu vectorial n-dimensional

Și

adică sunt şi bazele acestui spaţiu.

Dacă - coordonatele vectorului din bază , apoi conexiunea de coordonate Și este dat de un sistem de ecuații liniare (am vorbit despre asta în paragraful anterior):

, care în formă matriceală poate fi scrisă ca

În mod similar pentru un vector putem scrie

Egalitățile matricei anterioare pot fi combinate într-una singură, care definește în esență relația dintre vectorii a două baze diferite.

În mod similar, putem exprima toți vectorii de bază prin bază :

Definiție.

Matrice numit matricea de tranziție de la bază până la bază , atunci egalitatea este adevărată

Înmulțirea ambelor părți ale acestei egalități de la dreapta cu

primim

Să găsim matricea de tranziție, dar nu ne vom opri în detaliu asupra găsirii matricei inverse și înmulțirii matricelor (vezi articole și dacă este necesar):

Rămâne de aflat relația dintre coordonatele vectorului x în bazele date.

Fie ca vectorul x să aibă coordonate în bază, atunci

iar în bază vectorul x are coordonatele , atunci

Deoarece părțile stângi ale ultimelor două egalități sunt aceleași, putem echivala părțile drepte:

Dacă înmulțim ambele părți din dreapta cu

atunci primim


Pe cealaltă parte

(găsiți singur matricea inversă).
Ultimele două egalități ne oferă relația necesară între coordonatele vectorului x din baze și .

Răspuns:

Matricea de tranziție de la bază la bază are forma
;
coordonatele vectorului x în baze și sunt legate prin relații

sau
.

Am examinat conceptele de dimensiune și baza unui spațiu vectorial, am învățat să descompunem un vector într-o bază și am descoperit legătura dintre diferite baze ale spațiului vectorial n-dimensional prin matricea de tranziție.

P Și A– subset de L. Dacă A el însuşi constituie un spaţiu liniar peste câmp P privind aceleași operațiuni ca L, Acea A numit subspațiu al spațiului L.

Conform definiției spațiului liniar, astfel încât A a fost un subspațiu în care este necesar să se verifice fezabilitatea A operatii:

1) :
;

2)
:
;

și verificați dacă operațiunile sunt în A sunt supuse opt axiome. Totuși, acestea din urmă vor fi redundante (datorită faptului că aceste axiome sunt valabile în L), adică. urmatorul lucru este adevarat

Teorema. Fie L un spațiu liniar peste un câmp P și
. O mulțime A este un subspațiu al lui L dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele cerințe:

Afirmație. Dacă L – n-spaţiu liniar dimensional şi A subspațiul său, atunci A este, de asemenea, un spațiu liniar de dimensiuni finite și dimensiunea lui nu depășește n.

P exemplu 1. Este un subspațiu al spațiului vectorilor de segment V 2 mulțimea S a tuturor vectorilor plani, fiecare dintre care se află pe una dintre axele de coordonate 0x sau 0y?

Soluţie: Lăsa
,
Și
,
. Apoi
. Prin urmare S nu este un subspațiu .

Exemplul 2. Este un subspațiu liniar al unui spațiu liniar V 2 există mulți vectori de segment plan S toți vectorii plani al căror început și sfârșit se află pe o dreaptă dată l acest avion?

Soluţie.

E vector sli
inmultiti cu numarul real k, atunci obținem vectorul
, aparţinând tot lui S. Dacă Și sunt doi vectori din S, atunci
(după regula adunării vectorilor pe linie dreaptă). Prin urmare S este un subspațiu .

Exemplul 3. Este un subspațiu liniar al unui spațiu liniar V 2 o multime de A toți vectorii plani ale căror capete se află pe o dreaptă dată l, (presupunem că originea oricărui vector coincide cu originea coordonatelor)?

R decizie.

În cazul în care linia dreaptă l multimea nu trece prin origine A subspațiu liniar al spațiului V 2 nu este, pentru că
.

În cazul în care linia dreaptă l trece prin origine, set A este un subspațiu liniar al spațiului V 2 , deoarece
iar la înmulțirea oricărui vector
la un număr real α din câmp R primim
. Astfel, cerințele de spațiu liniar pentru o mulțime A efectuat.

Exemplul 4. Să fie dat un sistem de vectori
din spațiul liniar L peste câmp P. Demonstrați că mulțimea tuturor combinațiilor liniare posibile
cu cote
din P este un subspațiu L(acesta este un subspațiu A se numeşte subspaţiul generat de un sistem de vectori sau înveliș liniar acest sistem vectorial, și notat după cum urmează:
sau
).

Soluţie. Într-adevăr, din moment ce , apoi pentru orice elemente X, yA avem:
,
, Unde
,
. Apoi

De atunci
, De aceea
.

Să verificăm dacă a doua condiție a teoremei este îndeplinită. Dacă X– orice vector din AȘi t– orice număr de la P, Acea . Deoarece
Și
,, Acea
, , De aceea
. Astfel, conform teoremei, mulțimea A– subspațiul spațiului liniar L.

Pentru spațiile liniare cu dimensiuni finite este adevărat și invers.

Teorema. Orice subspațiu A spațiu liniar L peste câmp este intervalul liniar al unui sistem de vectori.

La rezolvarea problemei găsirii bazei și dimensiunii unei învelișuri liniare, se folosește următoarea teoremă.

Teorema. Baza de înveliș liniar
coincide cu baza sistemului vectorial. Dimensiunea învelișului liniar coincide cu rangul sistemului de vectori.

Exemplul 4. Găsiți baza și dimensiunea subspațiului
spațiu liniar R 3 [ X] , Dacă
,
,
,
.

Soluţie. Se știe că vectorii și rândurile lor de coordonate (coloanele) au aceleași proprietăți (în ceea ce privește dependența liniară). Realizarea unei matrice A=
din coloanele de coordonate ale vectorilor
în bază
.

Să găsim rangul matricei A.

. M 3 =
.
.

Prin urmare, rangul r(A)= 3. Deci, rangul sistemului de vectori este 3. Aceasta înseamnă că dimensiunea subspațiului S este 3, iar baza sa este formată din trei vectori
(din moment ce la minor de bază
sunt incluse doar coordonatele acestor vectori).

Exemplul 5. Demonstrează că setul H vectori spațiali aritmetici
, ale căror prima și ultima coordonată sunt 0, constituie un subspațiu liniar. Găsiți-i baza și dimensiunea.

Soluţie. Lăsa
.

Apoi , și . Prin urmare,
pentru orice . Dacă
,
, Acea . Astfel, conform teoremei subspațiului liniar, mulțimea H este un subspațiu liniar al spațiului. Să găsim baza H. Luați în considerare următorii vectori din H:
,
, . Acest sistem de vectori este liniar independent. Într-adevăr, să fie.